aula otimizacaov1 01 - microsistemascol.com · planning –sistemas de gestão corporativa. 13 13...

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OTIMIZAÇÃO

Processos e sistemas

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2

Objetivos deste Curso1. Desenvolver modelos matemáticos

apropriados para otimização de processos 2. Entender os algoritmos de otimização3. Aplicar os algoritmos de otimização 4. Resolver problemas de otimização5. Objetivo não-prioritário:

desenvolver e/ou implementar algoritmos.

3

3

1. Experiência2. Modelos3. Métodos numéricos4. Procedimentos e informações confiáveis.

Requesitos para fazer otimização:

4

4

Programa1. Definição de um problema de otimização2. Métodos para solução de problemas sem

restrições3. Métodos para solução de problemas com

restrições4. Aplicação num problema proposto,

formulado, desenvolvido e resolvido pelas equipes (máximo de 2 alunos por equipe)

5. Estudo de casos.

5

5

ProgramaP1: Introdução e ObjetivosP2: Conceitos MatemáticosP3: Formulação Matemática: FO e FR’sP4: Otimização Unidim. Sem RestriçõesP5: Otimização Multidim. Sem RestriçõesP6: Aplicações de OMSRP7: Otimização Multivariável C/ RestriçõesP8: Aplicações OMCR ProcessosP9: Seminário com apresentação dos trabalhos

desenvolvidos.

6

6

• Maximização do lucro• Minimização dos custos• Melhoria da qualidade• Aumento da segurança

operacional • Diversificação da produção• Aumento da produção• Minimização do impacto

ambiental negativo• Maximização da

eco2-eficiência

• Troca da tecnologia• Aperfeiçoamento do

processo• Melhoria da gestão• Controle estatístico do

processo (CEP)• Controle automático do

processo (CAP)• Integração de processos:

HEN, MEN, M&HEN• Otimização das condições

operacionais

Ferramentas para aumento da Produtividade

Objetivos Ferramentas

7

7

Otimizaçãodefinição filosófica:

“A oposição dos contrários é a condição de transformação das coisas e, ao mesmo tempo, princípio e lei.

O estado de estabilidade, de concordância e de paz é apenas a confusão das coisas no abrasamento geral.

O que é contrário é útil e é daquilo que está em luta que nasce a mais bela harmonia.

Tudo se faz por discórdia.”Heráclito de Efeso

8

8

Otimizaçãooutras definições possíveis: Campo da matemática dedicado ao

desenvolvimento de métodos eficientes de determinação de máximos e mínimos de funções de uma ou mais variáveis

A ciência que determina as melhores soluções para certos problemas físicos; problemas que são descritos por modelos matemáticos.

9

9

Definição apropriada para Otimização:

Busca da melhor solução,

entre as possíveis soluções,

que atenda a um critério estabelecido previamente.

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OtimizaçãoConflito de interesses

“O grito” de Edvard Munch

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APLICAÇÕES DA OTIMIZAÇÃO

Otimização “off-line”Projeto de equipamentosSíntese de processosAmpliação de processosIntegração (retrofit) de processosAjuste/identificação de modelos estáticos ou dinâmicosReconciliação de dados

Otimização em linha (“on-line”)Identificação de modelos estáticos e/ou dinâmicosControle adaptativoControle ótimoReconciliação de dadosPontos operacionais ótimos.

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Antes de otimizar a base deve estar firme

Controle Preditivo

Otimização

Instrumentação (sensores e atuadores)

ERP

Controle básico

Controle avançado no SDCD

PROCESSO

ORGANIZAÇÃO

Enterprise Resources Planning – sistemas de

gestão corporativa

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OTIMIZAÇÃO DAS CONDIÇÕES OPERACIONAIS

QUALIDADE

QUANTIDADESEGURANÇA e MEIO AMBIENTE

Investimento Inicial

PID + CA +MPC +

OTIMIZAÇÃO

PID + Ctrl.Avançado +Controle Preditivo

Multivariável (MPC)


PID + Controle Avançado (Feedforward + Inferencial + Ganho não linear + ...)


Controladores (PID)


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Etapas p/ solução de problemas1. Definir os objetivos = formular a pergunta2. Estudo e análise qualitativa

Quais as ferramentas adequadas Nova tecnologia Seis Sigma, CEP CAP ... Otimização

3. Estudo e análise quantitativa Escolha a ferramenta técnica-econômica-ambiental adequada Avaliação técnico-econômica a priori

4. Aplicação da ferramenta escolhida5. Análise de sensibilidade e validação6. Avaliação técnico-econômica a posteriori7. Auditoria continuada ≡ manutenção continuada.

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Solução geral de um problema de otimização

1. Definir os objetivos econômicos e ambientais2. Estudo e análise qualitativa3. Estudo e análise quantitativa - Modelo de otimização

a) Função Objetivob) Variáveis de decisãoc) Restrições de mercado, ambientais, técnicas e modelo matemático

4. Simplificação do problema5. Mapeamento da função objetivo (variação das VD’s)6. Aplicação dos algoritmos de otimização

a) Escolha do algoritmob) Definição dos parâmetros do método numéricoc) Normalização do modelod) Execução do algoritmo

7. Análise de sensibilidade e validação (variação dos parâmetros)8. Implantação da solução obtida9. Avaliação técnica e econômica da otimização10. Auditoria continuada = manutenção continuada.

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Mapeamento da Função Objetivo

Como a Função Objetivo varia com os valores das variáveis de decisão (de projeto):1. Avaliar sensibilidade da FO às VD’s2. Definir região viável3. Definir estimativa inicial4. Detectar erros de modelagem ou outros erros5. Avaliar o valor da FO6. Conhecer melhor o problema

o MAPEAMENTO será tão extenso quanto for sua ignorância.

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Mapeamento da FOExemplo: Z = sen(R)/R; R2 = X2 + Y2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Gráfico bidimensional

10-0.5

0.5

0

1

-10-5

05

10

-10-5

05

Gráfico tridimensional

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18

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-0.2

-0.2

0

0

0

0

0

0

0.20.4

0.6

0.8

Curvas de nível

-10-5

05

10

-10-5

05

10-0.5

0

0.5

1Gráf. trid. c/ curvas de nível

Curva de nível pseudo-colorida

0 200 400 600 800 1000 1200-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Valores alinhados da função

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19

Exemplo de otimização:Programação de produção de uma refinaria

REFINARIADE

PETRÓLEO

Petróleo 1

X1= 24 R$/t

Petróleo 2

X2= 15 R$/t

G: X3= 36 R$/t

Q: X4= 24 R$/t

O: X5= 21 R$/t

A: X6= 10 R$/t

Qual a quantidade ÓTIMA de petróleo tipo 1 e tipo 2 a ser adquirida ?

Resposta: a que der o maior LUCRO

20

20

Exemplo de otimização:Programação de produção de uma refinariaFO: maximizar o lucro = max L = Receita - Custo

Receita = ∑$j.Produçãoj = 36x3 + 24x4 + 21x5 + 10x6Custo = custo matéria-prima + custo processamentocusto matéria-prima = 24x1 + 15x2custo processamento = 0,5x1 + 1,0x2

FR’s: quanto ao rendimento de cada produtoGasolina: 0,80x1 + 0,44x2 = x3Querosene: 0,05x1 + 0,10x2 = x4Óleo combustível: 0,10x1 + 0,36x2 = x5Resíduo: 0,05x1 + 0,10x2 = x6.

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FR’s: quanto à capacidade total de produçãoGasolina: x3 < 24 ou 0,80x1 + 0,44x2 < 24Querosene: x4 < 2 ou 0,05x1 + 0,10x2 < 2Óleo combustível: x5 < 6 ou 0,10x1 + 0,36x2 < 6

FR’s: quanto à natureza das variáveisxi > 0 , i = 1, 2, ..., 6

Portanto: max f(x) = 8,1x1 + 10,8x2

submetido a: xi > 0 , i = 1, 20,80x1 + 0,44x2 < 24 (A)0,05x1 + 0,10x2 < 2 (B)0,10x1 + 0,36x2 < 6 (C).


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Mapeamento de uma função objetivo

Item VD1=X1 VD2=X2 FO FR1 FR2 FR3

1 5 12 10 33 15 54 25 75 30 96 35 117 40 13

max f(X) = 8,1.X1 + 10,8.X2

s. a: xi > 0 , i = 1, 20,80.X1 + 0,44.X2 < 24 (FR1)0,05.X1 + 0,10.X2 < 2 (FR2)0,10.X1 + 0,36.X2 < 6 (FR3)

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23

Região viável:

Vamos ao EXCELL


max f(x) = 8,1x1 + 10,8x2

s.a: xi > 0 , i = 1, 20,80x1 + 0,44x2 < 24 (A)0,05x1 + 0,10x2 < 2 (B)0,10x1 + 0,36x2 < 6 (C).

24

24


REFINARIADE

PETRÓLEO

Petróleo 1

X1= 26,2 t/h

Petróleo 2

X2= 6,9 t/h

Gasolina: X3= 24,0 t/h

Querosene: X4= 2,0 t/h

Óleo comb.: X5= 5,1 t/h

Asfalto: X6= 2,0 t/h

Lucro máximo = 287 000 reais / hora

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25

Análise de sensibilidade aos PARÂMETROS

Item p1 p2 p3 FR1 FO X1 X2

1 8,0 10,8 0,44 e 0,36 242 8,1 10,8 0,44 e 0,36 24 287 26 73 8,2 10,8 0,44 e 0,36 244 8,1 10,7 0,44 e 0,36 245 8,1 10,9 0,44 e 0,36 246 8,0 10,7 0,44 e 0,36 247 8,2 10,8 0,48 e 0,32 24

max f(X) = 8,1.X1 + 10,8.X2


26

26

Análise de sensibilidade às RESTRIÇÕES

Item FR1 FR2 FR3 FO ∆FO X1 X2

1 23 2 62 24 2 6 287 0 26 73 25 2 64 24 1 65 24 2 66 24 3 67 24 2 7

max f(X) = 8,1.X1 + 10,8.X2


27

27

Qual a relação custo/benefício atual e qual a esperada com a implantação

da otimização? Onde otimizar? Alto consumo de matéria-prima Alto consumo de energia Produção elevada Produtos de grande valor econômico Limites operacionais rígidos Produção diversificada e flexível Perdas elevadas.

28

28

OTIMIZAÇÃO EM-LINHA em 3 camadas ou em 2 camadas

OTIMIZADORAPC - MPC

PROCESSO

Variá

veis

Man

ipul

adas

Variá

veis

de

Proc

esso

DCS – SDCD - PLC

OTIMIZADORNÃO LINEAR

PROCESSO

CONTROLADOR APC - MPC

Setpoints

VariáveisManipuladasVa

riáve

is d

e Pr

oces

so

DCS – SDCD - PLC

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29

Estudos de otimização Cursos de Especialização (CEASI, CECAPI,

CEEGAN 1, CICOP 1, CICOP 2 e CICOP 3), cursos e dissertações de mestrado com aplicações em 23 processos reais

DUPONT (ex-GRIFFIN) ELEKEIROZ (ex-CIQUINE) MONSANTO BRASKEM-UNIB DOW BRASKEM-PE1 (ex OPP)

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30

Aplicação da metodologia em CONTROLE - GRIFFIN

• Coluna de destilação de isômeros da GRIFFIN• 15 anos em malha aberta

• Instrumentação - OK• Processo - OK• Estrutura de controle (PVs, MVs e PV-MV) - OK• Algoritmo de controle - OK• SINTONIA? - CAUSA RAIZ

• Resultados• Malha fechou na primeira implementação

• Ganho do controlador 10 vezes maior que o típico

• Tempo integral 20 vezes maior que o típico

• Retorno econômico –US$ 100.000/ano em vapor

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31

Aplicação da metodologia em OTIMIZAÇÃO – BRASKEM-PE1

• Operação do reator em baixa carga• Condição operacional atípica

• Instrumentação - OK• Processo - CAUSA RAIZ• Estrutura de controle (PVs, MVs e PV-MV)• Algoritmo de controle• Sintonia

• Resultados• Mudança na política operacional• Retorno econômico R$ 410.000/ano em etileno

• Otimização das condições operacionais• Não necessita de investimento de capital• Ganho potencial R$ 1 750 000 por ano

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Aplicação da metodologia em OTIMIZAÇÃO - MONSANTO

• Troca de matéria prima da MONSANTO• Duas matérias primas

• Uma mais nobre e mais cara• Outra com mais contaminantes e mais barata• Limitação quanto ao contaminante

• Resultados• Mudança na política de compra

• De 20 % do mais barato• Para 30 % do mais barato

• Retorno econômico –US$ 800.000/ano

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33

Aplicação da metodologia em OTIMIZAÇÃO - ELEKEIROZ

• Operação ótima de colunas de destilação • Resultados

• Para cada coluna retorno econômico de R$ 600.000,00/ano US$ 170.000,00/ano

• 3 colunas:R$ 1.800.000,00/anoUS$ 510.000,00/ano

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34

Otimização das condições operacionais de um conversor de acetileno

Caso BRASKEM - UNIB

estimativa do tempo ótimo de campanha

controlador preditivo multivariável

cálculo da condições operacionais ótimaspara os dias restantes da campanha

trocaro leito

Sim

Não

"Setpoint'

35

35

Comparação entre campanhas com tempo real e ótima

Conclusão: Sem investimento, reduzindo o tempo de campanha, ganha-se US$ 1.408.000 ano.

Item Real Ótima

Nº campanhas 1 3

Duração (dias) 231 77

Lucro diário US$/dia 6.600,00 10.500,00

Lucro em 231 dias US$ milhões 1,5 2,5

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36

Otimização das condições operacionais de um conversor de acetileno

estimativa do tempo ótimo de campanha

controlador preditivo multivariável

cálculo da condições operacionais ótimaspara os dias restantes da campanha

trocaro leito

Sim

Não

"Setpoint'

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37

FO: tr fixo, dia-a-dia e com FCO

f

62624242entt,entt,

2Hentt,

COf

t

0t

entt,HC

sait,HC

t2

entt,HC

sait,HC

t1fperdasfL

T,F,F,t

FFPFFPtCtCmax

f

o

62624242entt,entt,

2Hentt,

CO

t

tt

entt,HC

sait,HC

t2

entt,HC

sait,HC

t1

T,F,F

FFPFFPmax

tttt oo ,,1,para

FFPFFP entt,HC

sait,HC

t2

entt,HC

sait,HC

t1

T,F,F62624242

entt,entt,2H

entt,CO

max

38

38

FO: tr fixo, dia-a-dia e com FCO

f

62624242entt,entt,

2Hentt,

COf

t

0t

entt,HC

sait,HC

t2

entt,HC

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t1fperdasfL

T,F,F,t

FFPFFPtCtCmax

f

o

62624242entt,entt,

2Hentt,

CO

t

tt

entt,HC

sait,HC

t2

entt,HC

sait,HC

t1

T,F,F

FFPFFPmax

39

39

Variáveis de decisão

valores iniciais das variáveis de decisãovariáveis de decisão no ponto ótimo

restrições operacionais

20 40 60 80 100 120 1400

10

20

30

CO

(kg/

h)

20 40 60 80 100 120 1400

100

200

H2

(kg/

h)

20 40 60 80 100 120 140

40

60

80

T en

trada

(ºC

)

Dias em Operação

40

40

Restrições Operacionais

valores iniciais das restriçõesvariáveis das restrições no ponto ótimo

restrições operacionais

50 100 1500

0.1

0.2

0.3

0.4C

2H2

saíd

a (%

mol

)

50 100 15

200

400

600

800

1000

H2

saíd

a (p

pm m

ol)

50 100 1501

1.2

1.4

1.6

1.8

2

H2/

C2H

2 en

trada

Dias em Operação50 100 15

70

80

90

100

110

120

T sa

ída

(ºC)

Dias em Operação

41

41

função objetivo no ponto ótimo (total = US$ 379 mil)

função objetivo no início da otimização (total = US$ 178 mil)

Diferença anual = US$ 520 mil.

20 40 60 80 100 120 140

0

1

2

3

4

5

Funç

ão O

bjet

ivo

(1e3

US

$/di

a)

Dias em Operação

Função objetivo econômica na campanha

42

42

OTIMIZAÇÃO EM LINHA DE CONVERSOR DE ACETILENO

Caso BRASKEM-UNIB Otimizando o tempo de campanha

+ US$ 1,4 milhões/ano Otimizando as condições operacionais

+ US$ 500 mil/ano Total: US$ 1,9 milhões/ano Investimento de capital = zero Investimento apenas de hh

43

43

Otimização de plantas existentescom investimento necessário apenas emm hh

Empresa Tema Receita annual US$ milhões

BRASKEM-PE 1

Otimização do reator de polietileno US$ 700 mil / ano

BRASKEM-UNIB

Otimização do conversor de acetileno

I = 2 eng x 7.680 h = 15.360 hhUS$ 1.900 mil / ano

ELEKEIROZ (ex CIQUINE)

Otimização de 3 colunas de destilação

(purificação de butanos)US$ 600 mil / ano

MONSANTO Troca de matéria prima US$ 800 mil / anoMONSANTO produção de PCl3 US$ 330 mil / anoMONSANTO produção de PIA US$ 400 mil / ano

DOW coluna de lavagem de sal (SWC)

US$ 1.800 mil / ano e diminui 130 mil t / ano de H20

44

44

Softwares para otimização de processos:

ITENS BD termo.

Mét. num. e flexib. I H M

Ass. téc. local

Recon.dados $$$ Soma

ASPEN/HYSYS 5 3 5 5 1 1 20UNISIM 5 3 5 5 1 3 22

GPROMS 5 5 5 1 3 1 20EES 3 3 3 5 1 3 18

GAMS 1 5 3 3 5 3 20LINGO 1 3 3 3 3 3 16

MATLAB 1 3 3 5 3 1 16EMSO 3 5 3 5 5 5 26

45

45

Idiossincrasias dos softwares

Max f(x) = Min -f(x) Restrições de igualdade = 0 Restrições de desigualdade < 0 Mensagens incompletas ou

incompreensíveis Manuais mal escritos Exemplos inapropriados ...

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46

Introdução e Definições A seleção natural estimula a otimização Otimização precisa informações

confiáveis:mercado fornecedor e consumidormercado financeirorecursos naturais e humanos disponíveislimitações de natureza física, social,

temporal, psicológica, etcmodelo do processo/sistema.

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47

Referências Bibliográficas Principais Bazaraa, Mokhtar S. Nonlinear Programming: Theory and

Algorithms. Editora Wiley. Beveridge, G. S. and Schehter, R. S.; Optimization Theory and

Practice. McGraw-Hill, 1970. Traz uma discussão mais profunda a respeito dos fundamentos matemáticos em que os métodos de otimização são baseados

Himmelblau, D. M. and Edgar, T. F. Optimization of Chemical Process. McGraw-Hill, 1989. Livro essencial para quem quer iniciar e/ou aprofundar seus estudos sobre otimização de processos químicos. Código na Biblioteca da EP: 660.28 E23D

Himmelblau, D. M.; Process Analysis by Statistical Methods. Jonh Wiley & Sons, 1970. Livro que traz os algoritmos de vários métodos de otimização e aplica esses métodos principalmente ao ajuste de modelos matemáticos a dados experimentais

Kalid, Ricardo de A., Otimização de Processos Químicos. Departamento de Engenharia de Química, Universidade Federal da Bahia, material publicado em www.LACOI.ufba.br

Reklaitis, G. V.; Ravindran, A.; Ragsdell, K. M.; Engineering Optimization: Methods and Applications. Jonh Wiley & Sons, 1983. Livro importante e complementar ao de Himmelblau e Edgar (R1).

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48

OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS INDUSTRIAIS

muitas perguntas ... uma solução:

ABORDAGEM SISTÊMICA & SISTEMÁTICA.

49

49

OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS e Sistemas

Processos e sistema

50

50

Por que Otimizar?

Promover ganhos econômicos- minimizar investimento- maximizar lucro total- maximizar lucro por unidade produzida- minimizar os custos operacionais- minimizar os custos de manutenção.

51

51

Por que Otimizar? (cont.)

Aumentar vantagens técnicas e operacionais- maximizar a produção- minimizar a produção insumos indesejáveis- minimizar consumo matéria-prima/energia- minimizar o tempo de batelada- minimizar a diferença entre o SP e a PV

Promover, simultaneamente, ganhos econômicos e operacionais.

52

52

Exemplos de Aplicação• Melhor localização de uma planta• Escalonamento do parque de tancagem• Dimensionamento e layout de pipelines• Projeto de plantas e/ou de equipamentos• Escalonamento de reposição e manutenção

de equipamentos• Planejamento e escalonamento da

construção de plantas;

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53

Exemplos de Aplicação (cont.)

Ajuste de modelos matemáticos Minimização de inventário Alocação de recursos ou serviços entre

diferentes processos Operação de equipamentos e/ou

plantas.

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54

Definição de um problema de otimização:

Busca da melhor solução,

entre as possíveis soluções,

que atenda a um critério estabelecido previamente.

55

55

Partes de um problema de otimização:- O propósito: a Função Objetivo (FO)- As limitações: Funções de Restrição (FR)- As variáveis de decisão

A solução é um ponto que maximiza ou minimiza um certo critério e que pertença à região viável

Para otimizar é essencial que seja possível manipular as variáveis de decisão (VD), graus de liberdade > 0

variáveis de decisão = variáveis de projeto.

Partes de um problema de otimização:

56

56

A Função Objetivo (FO)

Estabelece o alvo a ser alcançado Função matemática a ser maxi/minimizada Definida a partir de:

- critérios estritamente econômicos- critérios apenas técnicos/operacionais- critérios técnico-econômicos

Para sua formulação é necessário conhecer profundamente o processo a ser otimizado.

57

57

Variáveis de Decisão (VD)

No var. de decisão = No graus de liberdade (gl)

Se gl = 0 então não há como otimizar

As VD devem ter influência sobre a FO

Se a FO é extremamente sensível a uma VD é difícil reproduzir na prática o ponto ótimo.

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58

As Restrições Capacidade máxima de processamento Temperatura e pressão absolutas > 0 0 < frações molares < 1 Fechamento dos balanços Capacidade de absorção do mercado Preço máximo de venda ou de compra Equações algébricas ou diferenciais Inequações algébricas ou diferenciais.

59

59

A Região Viável Região ou espaço de busca ou de

pesquisa Cuidado com a escolha da região viável Exemplo

FO:

sujeita a: 10 < x < 20.

max y

y a x b x c1

12 . .

-1600

-1400

-1200

-1000

10 12 14 16 18 20

-800

-600

-400

-200FO com restrição

60

60

Obstáculos à Otimização Não disponibilidade de dados ou de um

modelo matemático confiável do sistema Descontinuidades da FO ou da FR Não-lineraridade da FO ou da FR Interação entre as variáveis de decisão FO "achatada" ou exponencial a FO é multimodal perto do ponto ótimo IGNORÂNCIA dos benefícios IGNORÂNCIA das dificuldades.

61

61

Definição do Problema:a) Qual o objetivo a alcançar? b) Qual a função objetivo ?c) Quais as variáveis de decisão? d) Quais as restrições

(técnicas e/ou operacionais, econômicas e/ou mercadológicas) ?

e) Qual o modelo do processo (balanços de massa e energia) ?.

62

62

Otimização de Processos Químicos:Capítulo 2

Conceitos Matemáticos

Notas: Ricardo de Araujo Kalid.

63

63

Conceitos Matemáticos Compreensão intuitiva dos conceitos Para implementar algoritmos temos que

conhecer profundamente:- álgebra linear- cálculo diferencial- estatística (reconciliação e estimativa de parâmetros de modelos)- cálculo numérico.

64

64

Classificações para a FO: Quanto a continuidadecontínuadiscreta

Quanto a convexidadecôncava (têm um único máximo)convexa (têm um único mínimo);

65

65

É melhor que x* esteja afastado da descontinuidade Exemplo: projeto de tubulações

- realizar otimização discreta (+ complexa)- realizar otimização contínua e aproximar (sub-ótimo).

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10 4 Função descontínua

0 5 10 15 20 25

300

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Função com derivada descontínua

66

66

Funções Côncavas e Convexas

Funções convexas e côncavas são unimodais

Função côncava:

Estritamente côncava:.

Função côncava

-40 -20 0 20 40 60-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

-40 -20 0 20 40 600

500

1000

1500

2000

2500

3000Função convexa

baba xfxfxxf 11

ba xfxff 1

67

67

-100 -50 0 50 100-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

4 Função Multimodal

Quanto ao número de pontos críticos.

-100 -50 0 50 100-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

4 Função Unimodal

68

68

Funções Unimodais e Multinodais

Funções com + de 1 pto. de máximo ou de mínimo

Todo extremo global é também local

Apenas um dos extremos locais é global

Métodos numéricos detectam apenas extremos locais, a menos que o problema seja convexo.

69

69

Definições

Matriz:

Matriz Identidade:

Vetor: .

nmnn

m

m

mxn

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

100001

0000100001

nxnI

nT xxxx

xn211

70

70

Operações básicas com matrizes e vetores

Igualdade: A = B aij = bij

Adição: A + B = C cij = aij + bij

Multiplicação: Anxm x Bmxr = Cnxr

Multiplicação de matriz por escalar:

Transposta de um produto de matrizes:

c a bij ik kjk

m

1

sA B s a bij ij .

AB B AT T T

71

71

Produto interno entre dois vetores:

Se os vetores são ortogonais

Inversa de uma matriz:

por exemplo

Determinante de uma matriz:|A2x2| = a11.a22 - a12.a21 .

x y x y x yTi i

i

n

,

1

x x xTi

i

n

2

1

x yT 0

A A A A I 1 1

z Ax A z x 1

72

72

Gradiente - derivada de uma função escalar de um campo vetorial:

11

2 2

n n

f xxx

f xf x

xgrad f x f x f x f x xx x

f xx x

73

73

matriz hessiana H(x):

1

2

1 11

2

22 22

T

nn n

n

f x f xx xx

f x f xf x f x

xH x f x x xx x x xx

f x f xxx x

x

fxH x

x

2 2 2

21 2 11

2 2 2

22 1 22

1 2

2 2 2

21 2

n

nn

n n n

f x f x f xx x x xx

f x f x f xx f x f x

x x x xxx x x

f x f x f xx x x x x

74

74

Dicas:

bx

xbT

Tx Az

Azx

T

Tx Ax

Ax A xx

2

Tx AxAx

x

2

2 2 .Tx Ax

Ax

e se A for simétrica

2

2

T

Tx Ax

A Ax

Tx b bx

75

75

Independência linear, matriz singular e rank

M é singular det(M) = 0 M é singular quando todos os elementos de

uma ou mais linhas (ou colunas) são nulos M é singular quando uma ou mais linhas

(colunas) da matriz tem dependência linear com outra(s) linha(s) (colunas)

Para matrizes quadradas linhas dependentes implicam em colunas dependentes.

76

76

Operadores linha ou coluna

aumente a matriz A com a matriz identidade:

pré-multiplique a matriz aumentada por A-1

A Aaug

A A A 1 1

77

77

Solução de sist. eq. lin.

Para b 0 e se a matriz |A| 0

bxaxaxa nn 2211

a a aa a a

a a a

xx

x

bb

b

Ax b

n

n

n n nn n n

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

x A b 1Ax b

78

78

Para b 0- Se posto de A = n existe uma solução- Se posto de A < n existem infinitas soluções ou a solução não existe

Se b = 0 - a solução é trivial se x = 0- a solução é não-trivial se x 0 e det[A] = 0

Então o sistema é indeterminado.

x A b 1Ax b

79

79

Graus de liberdade Um sistema com n incógnitas e r

equações:n > r gl = n - r > 0 otimizaçãon = r o sistema não tem graus de

liberdade: sistema linear tem apenas uma solução sistema não-linear pode ter + de uma solução

n < r gl < 0Se o sistema é linear então o mesmo está

sobre-determinado.

80

80

Autovalores e autovetores

Uma matriz Anxn tem n auto-valores/vetores

Por definição solução trivial: v = 0solução não-trivial: v ≠ 0 =>

Se todos os autovalores de A são > 0 existe a sua inversa.

vvA 0 vIA

0det IA

81

81

Estudo de função Condição necessária (função de 1 variável): f’(x*) = 0 x* é ponto estacionário x* é ponto crítico

é máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

0 100 200 300 400 5000

500

1000

1500

2000

2500

Função monovariável

82

82

Condição suficiente (função univariável): f’(x*) = 0 e f”(x*) > 0 x* é pto mínimo f’(x*) = 0 e f”(x*) < 0 x* é pto máximo f(x) = x4/3 x* = 0 é mínimo e f’’(x*) ñ

Condição necessária (função multivariável):

f’(x*) = 0 x* é pto. crítico

Condição suficiente (função multivariável):f’(x*) = 0 e H(x*) > 0 x* é pto. de mínimof’(x*) = 0 e H(x*) < 0 x* é pto. de máximo.

f xx

0

83

83

A hessiana determina a concavidade:- Se H(x) > 0 , f(x) é estritamente convexaH(x) é positiva-definida xTH x > 0Se todos os autovalores de H(x) positivos (>0)

- Se H(x) < 0 , f(x) é estritamente côncavaH(x) é negativa-definida xTH x < 0Se todos os autovalores de H(x) negativos (<0)

- Se H(x) > 0 ou < 0 a depender de x ,f(x) não é côncava nem convexa

- Se H(x) = 0 , f(x) é côncava/convexa e linear A soma de funções côncavas (convexas) é uma

função côncava (convexa).

84

84

Continuidade de funções f(x) é continua em xo se e somente se:

(a) f(xo) existe(b) lim f(xo) existe(c) lim f(xo) = f(xo)

f(x,y) é continua em (xo,yo) se e somente se:(a) f(xo,yo) existe(b) lim f(xo,yo) existe(c) lim f(xo,yo) = f(xo,yo)

85

85

Região Convexa Região de busca na qual todas as retas entre dois

pontos interiores estão contidas na região

Se uma região é definida por gi(x) > 0 todas côncavas região convexa fechada

Se uma região é definida por gi(x) < 0 todas convexas região convexa fechada.

Regiões convexas Regiões não convexas

86

86

Se na figura (c), a procura iniciar mais à esquerda será encontrado o máximo local.

Para achar o global convertemosa região para convexa.

(a) Ponto de máximo fora da região viável

(b) Ponto de máximo dentro da região viável

(c) Região não-convexa

87

87

Sendo a região convexa então:- Se a FO é côncava existe apenas um máximo- Se a FO é côncava existem + de um mínimo- Se a FO é convexa existe apenas um mínimo- Se a FO é convexa existem + de um máximo

Se a FO e suas FR’s são bem comportadas a otimização é facilitada

PROBLEMA CONVEXO Se a FO é côncava e a região viável é convexa um ponto de

máximo local = máximo global Se a FO é convexa e a região viável é convexa um ponto de

mínimo local = mínimo global

FO lineares são convexas e côncavas tem apenas um máximo e um mínimo local (global).

88

88

Condições Necessárias e Condições Suficientes para um Extremo de uma Função Expandindo f(x) em série de Taylor:

Para x* ser pto. de mínimo => f(x) - f(x*) > 0 como é < ou > que zero e tão pequeno quanto se queira

Logo a condição necessária para que x* seja ponto de mínimo é que gradiente f(x*) = 0 .

23

12

TTf x f x f x x x f x x O x

x T f x 0

T f x 0

89

89

Condição suficiente:

Se , então para que x*seja ponto de mínimo, pois é < ou > que zero e tão pequeno quanto se queira

Resumindo, para x* seja ponto de mínimo:

CN1: f(x) seja uma vez diferenciável no pto x*

CN2: , isto é, x* seja pto. crítico

CS1: f(x) seja duas vezes diferenciável no pto x*

CS2: e .

T f x 0 2 0f xx

T f x 0

2 0f x H x T f x 0

90

90

2.14. Interpretação da Função Objetivo em Termos de uma

Aproximação QuadráticaFO = função quadrática:

Os autovalores de H(x) no ponto x*identificam a natureza deste ponto.

2 20 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2f x b b x b x b x b x b x x

91

91

2.14. Interpretação da Função Objetivo em Termos de uma

Aproximação QuadráticaFO = função quadrática:

Os autovalores de H(x) no ponto x*identificam a natureza deste ponto

Os autovetores de H(x) no ponto x* são paralelos aos eixos principais dos contornos de f(x)

f x b b x b x b x b x b x x 0 1 1 2 2 11 12

22 22

12 1 2

92

92

1 2 1 2

1 2 1 2 ou 2 1 10 0 0 e ou

93

93

2 1 10 0 0 e ou

94

94

Otimização de Processos Químicos:Capítulo 3

Formulação Matemática de um Problema de Otimização

Notas: Profe. Ricardo de Araujo Kalid

95

95

Solução geral de um problema de otimização

1. Definir os objetivos2. Estudo e análise qualitativa 3. Estudo e análise quantitativa

Modelo de otimização – estabelecer:a) Função Objetivob) Variáveis de decisãoc) Restrições

4. Simplificação do problema5. Mapeamento da função objetivo6. Aplicação dos algoritmos de otimização7. Análise de sensibilidade e validação8. Implantação da solução obtida9. Avaliação técnica e econômica10. Auditoria continuada ≡ manutenção continuada.

96

96


1. Avaliar sensibilidade da FO às VD’s2. Detectar erros grosseiros3. Adquirir sensibilidade sobre o problema4. Conhecer melhor o problema5. Definir estimativa inicial6. Definir região viável7. Avaliar o valor da FO

o MAPEAMENTO será tão extenso quanto for sua ignorância

97

97


Como a Função Objetivo varia com os valores das variáveis de decisão (de projeto):

1. Avaliar sensibilidade da FO às VD’s2. Definir região viável3. Definir estimativa inicial4. Conhecer melhor o problema5. Detectar erros de modelagem ou outros erros6. Avaliar o valor da FO O mapeamento será tão extenso quanto for

sua ignorância.

98

98

Expressão matemática:A Função Objetivo (FO)

Variáveis de decisão: xAs Funções de Restrição (FR):

min f xx

( )

.0 e/ou

0 a sujeito

xgxh

Problema de otimização

99

99

A Função Objetivo (FO)

Traduzir para linguagem matemática- maximização (minimização) de algo

Não empregar expressões do tipo- construir um mundo melhor- desenvolver uma sociedade mais justa

Objetivos econômicos ou operacionais.

100

100

Objetivos Econômicos Maximizar o lucro: fluxo de caixadepreciaçãovalor presente e valor futuroinflaçãovida econômicataxa de retorno de investimentotempo de retornocustos de capital e operacional.

101

101

FO: Max lucros operacionais Reator a batelada com regeneração:x1 número de dias de operaçãox2 número de dias de regeneração

Hipóteses ou premissas:H1. Partida da planta nas manhãs: x1 + x2 inteiroH2. Inventário da carga é constante (q) [=] kg/diaH3. Custo constante da matéria-prima (C1) [=] $/kgH4. Valor constante do produto (C2) [=] $/kg H5. Custo constante da regeneração (C3) [=] $/kg H6. Atividade catalítica: A = 1 - K.x1

H7. Custo de separação desprezívelH8. Custo de recirculação negligenciável.

102

102

Reator batch c/ regeneração Qual a variável de projeto/decisão (VP)?

tempo ótimo de campanha (x1 + x2) FO: maximizar o lucro diário

lucro (L) = receita (R) - custo (C)R = preço venda (C2) x produção diária (PD)PD = produção total (PT) / no total de diasPT = vazão x atividade média x no de dias operaçãoC = custo matéria-prima (CMP) + custo regeneração(CR)CMP = preço matéria-prima (C1) x consumo diário (CD) CD = consumo total (CT) / no total de diasCR = custo regeneração por ciclo (C3) / no total de dias.

103

103

no total de dias = (x1 + x2)

L = f(q,x1,x2,C1,C2,C3,A) = R - C

R = C2.PD = C2.PT / (x1 + x2) = C2.q.Amed.x1 / (x1 + x2)

C = CMP + CR

CMP = C1.CD = C1.CT / (x1 + x2) = C1.q.x1 / (x1 + x2)

CR = C3 / (x1 + x2).

1 1

1

1

2

1 1 1 10 0 1

1 11

0

12 1

2

x x

med x

xAdx Kx dx x K xA Kx x

dx

Reator batch c/ regeneração

104

104

FO: max f(q,x1,x2,C1,C2,C3,A)

Derivando f(q,x1,x2,C1,C2,C3,A) em relação a x1 e igualando a zero:

P/ x2 = 2 , K = 0,02 , q = 1000 , C1 = 0,4C2 = 1 , C3 = 1000 => x1* = 12,97 ~ 13.

f q x x C C C AC qA x C qx C

x xmed, , , , , ,1 2 1 2 3

2 1 1 1 3

1 2

x x xK

xC xC

CqC

xopt1 1 2

22

1 2

2

3

22

2

Reator batch c/ regeneração

105

105

FO: Min custos de capital

Projeto de um vaso cilíndrico de pressão:V - volume do vaso (fixo)L - altura do vasoD - diâmetro do vasoH1. Topo e fundo planosH2. Paredes de espessura (t) e massa esp. cte. H3. Iguais custos para extremidades e lateralH4. Não existe perda de material na fabricação.

106

106

Projeto de vaso de pressão

Qual a variável de projeto/decisão (VP)?L e D

FO: minimizar o custo de fabricação- custo (C) = custo por peso (S) x peso (P).

min f

onde f S t D L SD

DL t

S t D L, , , ,

, , , ,

1

1

2

24

107

107

Como S, t, e a massa esp. são ctes =>

Mas V é fixo =>

Função objetivo:

min f

onde f D L D DL

D L,

,

3

3

2

2

2

2

44D VV L L

D

.4

2

min2

4

4

DVDDfonde

fD


108

108

Derivando f4 e igualando a zero:

Mas o critério empírico: L/Dopt = 3 1 Por que? Quem ou o que está errado?

1

sejaou

4

emconsequent e,

4

3/1

3/1

opt

opt

opt

DL

VL

VD


109

109

Projeto do vaso com novas hipóteses:

Topo e fundo tem o formato de elipses 2:1, com uma área dada por 2(1,16D 2) = 2,32D 2

Custo de fabricação das extremidades é maior que para a lateral c/ um fator de 1,5

Custo de fabricação por unidade de peso S($/unidade de peso) e massa esp. são ctes.

P/ pressão de 250 psi (17 atm) e uma corrosão de 1/8 in: t = 0,0108D + 0,125

110

110

FO a ser expressa em $:

Substituindo t(D) em f5 e lembrando que S e a massa esp. são ctes. e que

min f

onde f S t D L S D DL t

S t D L, , , ,

, , , , , ,

5

521 5 2 32

34

2 DLDV

min f

onde f D VVD

D D

D6

62 30 0432 0 5 0 3041 0 0263 , , , ,

Novo projeto de vaso de pressão

111

111

Solução para vários níveis de pressão e V :

Cuidado! não consideramos as perdas de material durante a fabricação do vaso.

Novo projeto de vaso de pressão

Ponto ótimo: (L/D)opt

Pressão de projeto (psi)

Capacidade(galões)

100 250 400

2500 1,7 2,4 2,9

25000 2,2 2,9 4,3

112

112

FO: Max economia anual

Projeto espessura de isolamento (VP) Custo de capital x economia de energia

H1. Q perda de calor por hora:

H2. Custo de instalação por unidade de áreaCI = F0 + F1.x

H3. Tempo de vida do isolamento = 5 anosH4. Investimento será pago em 5 anos.

chkx

TAQ 1

113

113

Definiçõesr - fração do custo de instalaçãoHt - custo de reposição do calor ($/106 Btu)Y - número de horas de operação por ano

FO: maximizar L L = R - C R = economia de energia por ano C = custo do isolamento por ano

Economia de energia: Q(x = 0) - Q = Q0 - QCusto (pagamento) por ano: P = r.(F0+F1.x).A

f(hc,A,T,k,F0,F1,r,x) = (Q0 - Q).Y.Ht - r.(F0+F1.x).A.

FO: Max economia anual

114

114

FO: Max economia anual FO em $ por ano:

Diferenciando em relação a x e igualando a zero:

Se utilizar capital próprio temos que definir uma taxa mínimo de retorno.

rAxFFHYxQQxrFFkTAhf

xrFFkTAhf

tc

cx

....,,,,,,,onde

,,,,,,,min

10010

10

c

topt

hrFkTYHkx 1...10

..

16

chkx

TAxQ 1

115

115

Objetivos Operacionais Não considerar explicitamente os $ $ $ $ $ Mínimo tempo de processamento Maximizar a produção total Maximizar a produção de um componente Minimizar o consumo de utilidades Minimizar o consumo de matéria-prima Diferença entre os SP’s e o valor das PV’s.

116

116

FO: Min erros nos balanços

Reconciliação de dados de processos

H1. O processo está em estado estacionárioH2. As medições MA , MB e MC têm incertezas.

PlantaA B

CMc1 = 11,1 kg/hMc2 = 10,8 kg/hMc3 = 11,4 kg/h

MB1 = 92,4 kg/hMB2 = 94,3 kg/hMB3 = 93,8 kg/hMc1 = 80,5 kg/h

Mc2 = 82,0 kg/hMc3 = 84,8 kg/h

117

117

Balanço de massa: MA + MC = MB

FO: encontrar um valor de MA (VP) que minimize os erros nos balanços de massa

exp

exp

exp

exp

exp

exp

2

.exp 2

, , 12

2

2

12

min , ,

, ,

i

iA B C

i

i

i

i

ótimoA A

noótimo

A B C B BM M M i

ótimoC C

recA A

recA B C B B

i

recC C

M M

f M M M M M

M M

M M

ou melhor f M M M M M

M M

.expno

Reconciliação de dados

118

118

Simulação X Reconciliação Usa o dado para

melhorar o modelo Usa o modelo para

melhorar o dado Entradas e saídas

são independentes Cálcula as saídas a

partir das entradas Desempenho é

monitorado Desempenho é predito

Índices devem ser especificados Índices podem ser

corrigidos Redundância é a

fonte da informação. Redundância é

fonte de problemas

119

119

FO: Maximizar a produção Reator batch Esquema reacional:

Maximizar a concentração do produto Bmax CB(k1, k2, k3, k4, CA, CB, CC, CD , t)

Hipóteses simplificadoras:H1. O reator é fechadoH2. Operação isotérmicaH3. Equações das taxas de 1a ordemH4. Reação em fase líquida (volume constante)

A BC

D

k1

k2

k3

k4

120

120

Modelo do processo: balanço por componente:acúmulo = formado - consumido

dCdt

k C k CAB A 2 1

dCdt

k C k k k CBA B 1 2 3 4( )

dCdt

k CCB 3

dCdt

k CDB 4

A BC

D

k1

k2

k3

k4

FO: Maximizar a produção

121

121

Modelo do processo: balanço globalmassa inicial = massa final

no de moles inicial = no de moles finalconc. inicial = conc. final

CA0 + CB0 + CC0 + CD0 = CA + CB + CC + CD

Queremos maximizar CB , as condições iniciais são dadas, portanto só nos resta manipular o tempo de campanha (VP)

Resolvendo as eq. diferenciais, obtemos:CB(t) = a1.exp(b1.t) + a2.exp(b2.t)

diferenciando e derivando em relação a t :t* = 0,63 h => CB* = 23,04 g-mol/L

122

122

Ajuste de modelo matemático

Viscosidade de gases

Fonte: The Properties of Gases and Liquids, Fifth Edition. Bruce E. Poling, John M. Prausnitz, John P. O’Connell. McGraw-Hill

123

123

Viscosidade de gases

Fonte: The Properties of Gases and Liquids, Fifth Edition. Bruce E. Poling, John M. Prausnitz, John P. O’Connell. McGraw-Hill

124

124

FO: Minimizar os desvios entre SP’s e PV’s Controle Ótimo Controle Preditivo Objetivo sistema de controle: Min |SP - PV| Manipulação difícil FO: Min (SP - PV)2

ou FO: Min [E(t)]2 Min [E(t)TE(t)] Variação suave nas MV’s:FO: Min { [E(t)TW1 E(t)] + [MV(t)T W2 MV(t)]}

125

125

Combinação de Objetivos Operacionais com Objetivos

Econômicos Minimizar os erros entre SP’s e PV’s

com um mínimo consumo de utilidades

tMVtMVWtMVtEWtE

tMV 2

T1

Tmin

tMVMV

tMVWtMV

tPVtSPWtPVtSP

TR

T

T

tMV

.

min

$

2

1

126

126

Funções de Restrição FR Restrições de natureza

- operacional, p.ex. MV’s entre limites- física, p.ex. máxima capacidade do equip.- mercadológica, p.ex. máx. capac. do mercado

P.ex. controle preditivo ótimo:

tPVtSPtE

tPVtPVtPVtMVtMVtMV

tMVtMVtMV

tMVWtMVWtMVtEWtEtMV

maxmin

maxmin

maxmin

32T

1T

)(

a sujeito

.min

DEMVfPV , Modelo do processo

127

127

Exemplos de modelo de problemas de otimização do livro:”Optimization of chemical processes” do Edgar & Himmelblau

Recuperação de calor rejeitado Projeto de trocadores de calor Síntese de redes de trocadores de calor Projeto de evaporadores Sistema caldeira-turbina Extração líquido-líquido Coluna de destilação Ajuste de modelo ELV Diâmetro ótimo de tubulação Mínimo trabalho de compressão Operação econômica de um filtro Projeto de uma rede de transmissão de gás Tempo de residência ótimo em reator a batelada Otimização de um reator de craqueamento catalítico Maximização do rendimento Projeto ótimo de um reator de amônia.

aula otimizacaov1 01 - microsistemascol.com · planning –sistemas de gestão corporativa. 13 13...

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