aula 7 - análise combinatória ii

Sumario

ANALISE COMBINATORIA

Luciana Santos da Silva Martino

PROFMAT - Colegio Pedro II

15 de maio de 2015

Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton

Sumario

1 Outras Formulas Combinatorias

2 O Binomio de Newton


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Outras Formulas Combinatorias

Exemplo 14: De quantos modos 5 criancas podem formaruma roda de ciranda?

Exemplo 15: Quantos sao os anagramas da palavra“BULGARO” que nao possuem duas vogais adjacentes?

Exemplo 16: Quantas sao as solucoes inteiras nao negativasda equacao x1 + x2 + ...+ xn = p?

Exemplo 17: De quantos modos podemos comprar 3 sorvetesem umbar que os oferece em 6 sabores distintos?


Outras Formulas Combinatorias

Exercıcio p.134 n. 6.52: De quantos modos podemos formaruma mesa de buraco com 4 jogadores?

Exercıcio p.134 n. 6.53: De quantos modos podemos formaruma roda de ciranda com 5 meninos e 5 meninas de modo quepessoas de mesmo sexo nao fiquem juntas?

Exercıcio p.134 n. 6.54: De quantos modos podemos formaruma roda de ciranda com 6 criancas, de modo que duas delas,Vera e Isadora, nao fiquem juntas?


Exercıcios

Exercıcio p.134 n. 6.55: Quantas sao as soluc oes inteiras epositivas de x + y + z = 7?

Exercıcio p.134 n. 6.53: Quantas sao as soluc oes inteiras enao negativas de x + y + z <= 6?

Exercıcio p.134 n. 6.54: Uma industria fabrica 5 tipos de balasque sao vendidas em caixas de 20 balas, de um so tipo ousortidas. Quantos tipos de caixas podem ser montados?


O Triangulo Aritmetico

Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557): matematico italiano



Blaise Pascal (1623-1662): matematico, filosofo e fısicofrances



O Triangulo de Tartaglia-Pascal

C00

C01 C1

1C0

2 C12 C2

2C0

3 C13 C2

3 C33

C04 C1

4 C24 C3

4 C44

C05 C1

5 C25 C3

5 C45 C5

5

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1



Relacao de Stifel

Cpn + Cp+1

n = Cp+1n+1

Teorema das Linhas

C0n + C1

n + ...+ Cnn = 2n

Teorema das Colunas

Cpp + Cp

p+1 + Cpp+2 + ...+ Cp

n = Cp+1n+1



Teorema das Diagonais

C0n + C1

n+1 + C2n+2 + ...+ Cp

n+p = Cpn+p+1

Teorema: Cpn = Cn−p

n

Exemplo 18: Um palacio tem 7 portas. De quantos modospode ser aberto o palacio?


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O Binomio de Newton

Isaac Newton (1642-1727): matematico e fısico ingles


O Binomio de Newton

Termo generico do produto: Cpn apxn−p

O Binomio de Newton

(x + a)n =n∑

p=0

Cpn apxn−p

= C0na0xn + C1

na1xn−1 + C2na2xn−2 + ...+ Cn

nanx0


O Binomio de Newton

Exemplo 19: Determine o coeficiente de x3 no

desenvolvimento de(

x4 − 1x

)7

Exemplo 20: Determine o termo maximo do desenvolvimento

de(

1 + 13

)50


Exercıcos

Exercıcio p.138 n. 6.58: Com 7 vitaminas diferentes, quantoscoqueteis de duas ou mais vitaminas podemos formar?

Exercıcio p.138 n. 6.59: Determine p para que seja maximo:

a) Cp10

b) Cp21

Exercıcio p.138 n. 6.63: Determine o termo independente de

x no desenvolvimento de(

x3 − 1x2

)10


Exercıcos

Exercıcio p.138 n. 6.64: Determine o coeficiente de xn nodesenvolvimento de (1− x)2.(x + 2)n

Exercıcio p.138 n. 6.65: Determine o valor da somaC0

n + 3C1n + 32C2

n + ...+ 3nCnn

Exercıcio p.138 n. 6.66: Se(1 + x + x2)

n= A0 + A1x + A2x2 + ...+ A2nx2n, determine o

valor de:

a) A0 + A1 + A2 + ...+ A2n

b) A0 + A21 + A4 + ...+ A2n


Exercıcos

Exercıcio p.138 n. 6.67: Determine o termo maximo do

desenvolvimento de(

1 + 12

)100

Exercıcio p.138 n. 6.68: Prove que 10150 > 9950 + 10050


Revisao

Exemplo 21: Considere os conjuntos A = {1,2, ...,m} eB = {1,2, ...,n}. Quantas sao:

a) As funcoes de A em B?

b) As funcoes injetivas de A em B?

c) As funcoes sobrejetivas de A em B?

d) As funcoes crescentes de A em B?

e) As funcoes nao decrescentes de A em B?


Exercıcos

Exercıcio p.141 n. 6.70 (OBMEP 2012 Nıvel 1 Segunda Fase):Vitor tem 24 cartoes, sendo oito azuis, oito brancos e oito verdes.Para cada cor, ele enumerou os cartoes de 1 a 8.

a) De quantas maneiras Vitor pode escolher 2 cartoes azuis de modoque a soma de seus nuemros seja igual a 9?

b) De quantas maneiras Vitor pode escolher 2 cartoes de modo quea soma de seus numeros seja igual a 9?

c) De quantas maneiras Vitor pode escolher 3 cartoes de modo quea soma de seus numeros seja igual a 9?


Exercıcos

Exercıcio p.141 n. 6.71 (PROFMAT - AV3 - 2011): Uma senhade banco e formada por 4 dıgitos de 0 a 9.

a) Quantas sao as senhas em que aparecem exatamente tresdıgitos diferentes?

b) Quantas sao as senhas em que nao ha dıgitos consecutivosiguais?


Exercıcos

Exercıcio p.141 n. 6.72 (PROFMAT - AV2 - 2012): Num portaCDs, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formandouma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 demusica classica.

a) De quantos modos diferentes posso empilha-los de modoque todos os CDs de rock fiquem juntos?

b) De quantos modos posso escolher 4 CDs para levar em umaviagem, de modo que eu leve pelo menos um CD de cada tipode musica?

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