aula 6 - probabilidade condicional
TRANSCRIPT
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Probabilidade Condicional
Cássius Henrique Xavier Oliveira
Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
2015
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Relembrando...
Probabilidade para eventos equiprováveis:
Axiomas de probabilidade:
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Relembrando...
Probabilidade da união de eventos:
Dois eventos com interseção
N eventos sem interseção
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Relembrando...
Conceitos importantes:
Experimento aleatório
Espaço Amostral: S
Evento
Eventos Mutuamente Exclusivos
Interseção de eventos
União de eventos
Evento complementar
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Relembrando...
Técnicas de Contagem
Permutação
Combinação Simples
Arranjo Simples
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Em sua opinião, o que poderia ser uma “probabilidade condicional”? Cite exemplos...
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Probabilidade Condicional
No estudo das probabilidades existem casos de eventos de um espaço amostral que ocorrem independentes dos outros, e eventos que apresentam relações de dependências com os demais que possam ocorrer.
A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrência de um evento A, sabendo da ocorrência de outro evento B, ambos sendo eventos de um espaço amostral S finito.
A ocorrência de A está condicionada ao fato de B já ter ocorrido, ou seja, a ocorrência do evento B é interferida pela ocorrência do evento A.
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Considere que em uma caixa, das que foram descarregadas em uma fábrica, haja 5 ferramentas:
2 martelos
3 chaves de fenda
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Quais são as chances de que um funcionário, escolhendo aleatoriamente uma das ferramentas contidas na caixa, retire um martelo?
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Quais são as chances de que um funcionário, escolhendo aleatoriamente uma das ferramentas contidas na caixa, retire um martelo?
5
2
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Suponha que o operário retirou uma chave de fenda. Qual a chance de que outro operário retire um martelo?
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Suponha que o operário retirou uma chave de fenda. Qual a chance de que outro operário retire um martelo?
Após a retirada da primeira ferramenta, as
chances são mudadas...
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Suponha que o operário retirou uma chave de fenda. Qual a chance de que outro operário retire um martelo?
4
2
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Considere agora que o operário tivesse retirado um martelo inicialmente (e não uma chave de fenda). Qual a chance do segundo operário retirar um martelo?
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Considere agora que o operário tivesse retirado um martelo inicialmente (e não uma chave de fenda). Qual a chance do segundo operário retirar um martelo?
4
1
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Compare os resultados...
Retirar um martelo depois de retirar uma chave de fenda
Retirar um martelo depois de retirar um martelo
4
1
4
2
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
As chances referentes à segunda ferramenta dependem da primeira retirada
O segundo evento depende do primeiro evento
Notação: P(B | A)
Eventos Dependentes
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)?
A = retirar um martelo na primeira tentativa
B = retirar um martelo na segunda tentativa
Interesse: Probabilidade de A e B: )( BAP
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)?
Probabilidade de retirar um martelo na primeira tentativa P(A)
Probabilidade de retirar um martelo na segunda tentativa, dado que um martelo foi retirado na primeira tentativa P(B | A)
5
2
4
1
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)?
Logo, a probabilidade de retirada de 2 martelos em sequência será:
4
1
5
2
)( BAP
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Contextualizando...
Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)?
Observações:
Então:
Probabilidades Condicionais
10
1
4
1
5
2)( BAP
)(
)()|(
)|()()(
AP
BAPABP
ABPAPBAP
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Matematicamente: Probabilidade Condicional
)(
)()|(
AP
BAPABP
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Matematicamente: Probabilidade Condicional
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()|(
An
BAn
Sn
An
Sn
BAn
AP
BAPABP
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 1
(MAUÁ/SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Qual a probabilidade de que esse número seja menor que 5?
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 1
(MAUÁ/SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Qual a probabilidade de que esse número seja menor que 5?
Resolução:
A = retirar uma bola com número ímpar (já ocorreu)
B = retirar uma bola menor que 5
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
B = {1, 2, 3, 4}
A B = {1, 3}
3
1
11
6
11
2
)(
)(
)(
)(
)(
)()|(
Sn
An
Sn
BAn
AP
BAPABP
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 2
(OSEC/SP) Em uma comunidade, 15% das pessoas leem o jornal A, 12% leem o B e 3% leem ambos os jornais. Sorteando-se uma pessoa e sabendo-se que esta lê o jornal B, qual a probabilidade de que leia também o jornal A?
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 2
(OSEC/SP) Em uma comunidade, 15% das pessoas leem o jornal A, 12% leem o B e 3% leem ambos os jornais. Sorteando-se uma pessoa e sabendo-se que esta lê o jornal B, qual a probabilidade de que leia também o jornal A?
Resolução:
A = pessoa lê o jornal A
B = pessoa lê o jornal B
%25%12
%3
)(
)()|(
BP
BAPBAP
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
Dicas para a resolução de problemas
Nomeie os eventos de interesse
Faça diagramas
Evidencie as operações necessárias (e classifique-as quanto ao tipo)
Apresente a resposta utilizando linguagem matemática
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
L1.4. Exercício 1
Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos e ensaios anteriores, as seguintes as probabilidades são conhecidas:
probabilidade de A falhar é de 0,2
probabilidade de A e B falharem é de 0,15
probabilidade de apenas B falhar é de 0,15.
a) Calcule a probabilidade de A falhar desde que B tenha falhado.
b) Calcule a probabilidade de B falhar desde que A tenha falhado.
c) As probabilidades calculadas anteriormente são iguais? Justifique.
d) Esse é um caso de probabilidade condicional? Em que se fundamenta seu raciocínio?
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
L1.4. Exercício 2
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é de 1/7. Carlos, então, recebe um telefone de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente a que probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a...
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
L1.4. Exercício 3
Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas.
a) Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?
b) Se a pessoa sorteada (desse grupo) fosse usuária da marca Y. Qual seria a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca X?
c) As probabilidades anteriores são iguais? Justifique.
d) As probabilidades calculadas anteriormente estão associadas a eventos complementares? Justifique.
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
L1.4. Exercício 4
(CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) A FGV traça o perfil de alunos on-line. Mulheres solteiras, com curso superior e renda até R$ 2.000,00. Esse é o perfil do brasileiro que busca aperfeiçoamento profissional gratuito na Internet, como mostra levantamento feito pelo FGV on-line, de março a setembro de 2009 (Jornal O Globo, 03 mar. 2010).
Os resultados desse levantamento são os seguintes: São mulheres: 58,3%; Ganham até R$ 2 mil por mês: 77,7%; Têm graduação: 68,1%; Concentram-se em SP, RJ e MG: 62,8%; Ocupam o cargo de analista: 34,1%
Considere que 2.000 pessoas participaram dessa entrevista e que, do total de pessoas que se concentram em São Paulo, Rio de Janeiro e Minas Gerais, 50% são homens. Escolhendo-se, ao acaso, um dos homens entrevistados, qual é, aproximadamente, a probabilidade de que ele seja de São Paulo, Rio de Janeiro ou Minas Gerais?
a) ( ) 0,568 b) ( ) 0,703 c) ( ) 0,753 d) ( ) 0,879
Cássius Henrique
Aula 6
Probabilidade Condicional
CEA 012 – Probabilidade
L1.4. Exercício 5
Peças provenientes de um fornecedor são testadas quanto à resistência a temperaturas acima de 100 °C e à umidade. Os resultados estão apresentados abaixo.
Determine a probabilidade de que a peça tenha:
a) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C.
b) baixa resistência à umidade.
c) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C se ela não tiver baixa resistência à umidade.
d) alta resistência à umidade sabendo que ela não tem baixa resistência a temperaturas acima de 100 °C.
e) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C dado que ela tenha baixa resistência à umidade.
Alta resistência à umidade Baixa resistência à umidade
Alta resistência a temperaturas acima de 100 °C 1400 180
Baixa resistência a temperaturas acima de 100 °C 320 50