CUADERNOS núm. 8

“Fragmentos de un diario de clase”

ÁNGEL RAMÍREZ MARTÍNEZ

Aula libre

MATEMÁTICAS

“Fragmentos de un diario de clase”

ÁNGEL RAMÍREZ MARTÍNEZ

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Para Mar a Jes s.

Siempre se escribe para alguien.Incluso un diario de clase.

Afortunadamente hay personasque nos incitan a escribir

s lo con su recuerdo.

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ŒNDICE

Una excusa para pensar..............................................9Escritos encontrados y soldados......................................11

FRAGMENTOS DE UN DIARIO DE CLASE

Un reto...........................................................14Almud var no es un nombre de tango..................................15Multiplicando......................................................23El ngel de los n meros..............................................27La b squeda de un lenguaje..........................................30`Qu problemas le ponen a Calvin!....................................34El miedo tiene ra ces dif ciles de arrancar...............................39Menos mal que andan estos tipos y tipas por el Instituto........43Qui n dijo que las cosas s lo pueden hacerse de una manera?

46El exquisito detalle de los dibujos de Asterix............................47Qu matem ticas son coeducativas?...................................51El irresistible encanto de la artesan a...................................56Me llamo Bala Rastreadora............................................59La convincente fuerza de la imagen....................................62`Veo el sen2x!.....................................................66Otra vez se oye hablar de victoria.....................................72Rombos cruzados ..................................................74Once a os de variaciones sobre un vieja idea..........................77Los datos sensibles y los silogismos de la raz n....................81En el reino del ingenio...............................................87

EPŒLOGO

He puesto sobre la mesa las viejas banderas rotas..................94Ejercicio de prospectiva..............................................97

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Una excusa para pensar

Para pensar ... sobre los triángulos, losnúmeros, los objetos matemáticos en sí mismos ...Desde luego, pero también sobre el maravillosohecho de que esos objetos –mitad inventadosmitad encontrados– se ajusten tan bien al mundomaterial en el que vivimos, sean tan fascinantesdesde un punto de vista estético y tengan unacapacidad tan grande de vida propia.

Para pensar, pues, sobre las matemáticas ysobre la vida, matematizando la vida y viviendolas matemáticas.

Para sorprendernos una y otra vez ante elmaravilloso espectáculo de la mente humana cre-ando ... entre el fragor de la realidad física ysocial, y en el contexto de su propia interioridadpsicológica y afectiva.

Para comprender que la libertad de crea-ción necesita de las sugerentes propiedades de loparticular y de la visión englobadora de lo gene-ral.

Para sentir pensando y pensar sintiendo.Para comprender y sentir la necesidad de

un pensamiento crítico: ante las inercias de la grancostumbre, ante los reduccionismos con queintenta trabarnos el Poder.

Para comprender y sentir las limitacionesdel conocimiento científico y la necesidad de lapoesía.

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ESCRITOS ENCONTRADOS Y SOLDADOS

Escritos redactados en los ltimos ocho a os y que en un momen-to dado se me ocurri soldar. Estos d as, mientras los rele a, les ao no modificaciones o ampliaciones, los ordenaba, he recordado aque-llas esculturas que Pablo Serrano titulabaHierros encontrados y solda-dos, o bienOrdenaci n del caos.Y pensaba que s , que puede ser un

buen s mil.

Escritos-hierros encontrados —reencontrados en los archivosinmateriales de la memoria y en los archivos f sicos del silicio o depapel— que en su momento fueron cada uno de ellos, a su vez, un escri-to encontrado, una ordenaci n del caos que result funcional duranteun cierto intervalo de tiempo.

He recordado tambi n lasB vedas para el hombre, del mismoPablo Serrano, que me parecen ahora grupos de objetos encontrados —oquiz s buscados, porque ya no son tan arbitrarios: el bronce tomamuchas veces la forma del ladrillo— con una finalidad espiritual, casm stica. Ya no es el juego constructivista que explora variaciones; sconstruye no por el placer de jugar sino porque el ser humano tienenecesidad de recogimiento y de protecci n.

Escritos-hierros encontrados que han pasado a formar parte demi B veda vital particular. Escritos-hierro cuyas motivaciones son muydiferentes: colaboraciones en el escolar del peri dico local, textoslos alumnos, relatos de situaciones ocurridas en clases de Primaria ySecundaria o, simplemente, archivos personales de papel a los que serecurre cuando las ideas ocupan demasiado espacio en la mente.

Es armonioso el conjunto? Observad las fotograf as. Son armo-niosos losHierros soldadoso lasB vedas de Serrano? Lo vital tiene

Hierros encontrados y juntados

B veda para el hombre Hombre-B veda

siempre imperfecciones, arrugas que contradicen las suaves texturalo planificado desde el platonismo. Y esto es as para todo. Es m-bable que el mapa conceptual de un alumno o alumna que haya tenidoposibilidad de ser art fice importante de su construcci n se asemem s a loshierros soldadosque a una pieza tersa y sin salientes in t-les e inexplicables . Tendr , eso s , y sta es la clave, el cor-do y brillante, luminoso, de losHombres puertau Hombres b veda(otra vez Serrano, claro), pero ese calor interno requiere de un ecurtido en el contacto con el mundo. La otra alternativa? Los pro-pos oficiales: piezas fr as, sin vida, que aparentan un acabado r-so. Cambiando algunas palabras, todo esto es v lido para el caminopersonal del profesor o profesora que no ha renunciado al derechoinventar cada a o sus guiones.

Ser armonioso el conjunto? Pretender que lo sea es segurame-te falta de humildad, como atreverse a compararlo con las obras dePablo Serrano. Pero lo he hecho s lo porque me gustaba el s mil; matrevimiento no va m s all . Los amigos y amigas deAula Libredeci-dieron que s , que podr a merecer la pena juntar mis escritos-hiera ellos tengo que agradecer la oportunidad de este ejercicio de re-raci n y ordenaci n en mi memoria reciente.

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Fragmentos de un diario de clase

141 Publicado en elEscolar del DiariodelAltoarag ndel 17 — X — 96.2 Imre Lakatos:Pruebas y refutaciones.Alianza Universidad, 1978.

UN RETO 1

Pensar es algo que marea, opinaba un personaje de D. Hammet.En efecto: hay que vencer la pereza o el p nico ante la situaci n-blema planteada; en las bifurcaciones, no caer en la tentaci n de-tinuar sin m s la primera idea que se encuentre; controlar los passe van dando; si se intuye algo, no eludir el camino aunque est a-ras. Entre las caracter sticas de una persona inteligente no estcapaz de pensar sino tambi n atreverse a ello y querer hacerlo.

Establecer conexiones, elaborar y comprobar conjeturas, son ldos componentes b sicas del hecho de pensar. El sistema educativodeber a influir positivamente en ambas mediante un proceso de apre-dizaje que convirtiera en algo familiar a la mente algunas t cnica-cillas para potenciarlas. Desde el punto de vista de las Matem ticResoluci n de Problemas ha aportado excelentes ideas en los ltimoveinte a os.

La Resoluci n de Problemas como contexto de trabajo. Todo unreto para nuestras clases. Y no porque en su momento lo dijeran lao la Aquella —ya no dicen nada—, sino por aportar a nuestros alumnalumnas la afici n al libre pensamiento. Alguna vez habr que rompcon la situaci n descrita por Lakatos2, quien opinaba quela educaci n

matem tica y cient fica es un semillero de autoritarismo, siendo eenemigo del pensamiento cr tico e independiente .

ALMUD VAR NO ES UN NOMBRE DE TANGO

I

Dos veces, en invierno y en primavera, he paseado lentamente lascalles de Almud var. En las dos encontr motivos para el recuerdo.Opinaba T pies que un cuadro, una pintura, puede ser lo que t quie-ras que sea. Como un pueblo. Como una profesi n (aunque no todas).Como una hora de clase.

Me quedo con dos im genes. En invierno, la tierra desnuda, abs-tracta, combinada con Guara, los Pirineos y el Moncayo, blancos en lalejan a. En primavera, la explosi n de amapolas a la entrada del pueby de rosas y violetas en la calle central. Perpendiculares a ella, la-versales tienen nombres tan sugerentes como Ram n y Cajal, Servet,Goya, o calle de Las Ciencias, que permite el acceso al colegio.

Matr culas

Al desviarme para el pueblo retengo la matr cula del coche que meprecede. El azar ( ?) aporta una idea para la clase de 8… (hoy dir am8… ESO).

- Buscad matr culas parecidas a sta: HU - 5532 - L. Parecidas enlos n meros. Vamos a dejar de lado las letras.

- Qu quiere decir parecidas?- Elige t mismo qu quiere decir. S lo hay una condici n: tienes

que explicar tu opci n.

Durante diez minutos, individualmente, piensan sobre la pro-puesta. Despu s comenzamos el di logo, en el que recogemos sietecriterios, aunque todav a quedaban m s.

Patricia propone el 5539,porque s lo he cambiado un n mero.Edurne, el 3255,porque los n meros son los mismos y s lo los

he cambiado de orden.Francisco sugiere el 5395 y argumenta tambi n que s lo ha cam-

biado un n mero. `En realidad lleva raz n!. Todos hab amos interpre-tado el criterio de Patricia con la suposici n impl cita de mantenerorden. Pero la justificaci n que dio admite el n mero de Francisco.Discutimos esto.

Cristina aporta un criterio m s sofisticado: 5734,porque 55-32=23 y57-34=23 .

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Paco, el profesor de Matem ticas indica el 9918,porque las dosprimeras cifras son iguales y la suma de las dos ltimas es su val.Pero este mismo n mero es sugerido por un alumno a partir de unaopci n diferente:porque 5 y 9 son impares, 1 y 3 son impares, y 8 yson pares.

Aparece tambi n 9213,porque la suma de las cifras es 15, ytodav a quedan m s en los tinteros, como 5533 5632, justificadosaparentemente por un criterio tan poco refinado como queno se ale-jan mucho de 5532 . Pero incluso en este caso habr a unas cuantascosas que discutir.

- Para la pr xima semana os propongo escribir un resumen de ladiscusi n, aportando otros criterios de parecido si los ten is. Deelegid uno, y estudiad cu ntas matr culas hay parecidas a 5322 segel que hab is elegido y seg n el de Patricia.

Mariposas, espejos y joteros

Contempla el temario (programaci n, secuenciaci n, ltimo nide concreci n o como se le quiera llamar) el estudio de la simetr4… de Primaria? Es necesario que lo contemple para hacerlo? Hay qarriesgarse. As que la palabra reson en el aula produciendo una-presa que pod a haber intuido.

Afortunadamente, Teresa ha conseguido llenar de mariposas yvencejos las paredes de su aula. De manera que, visto el desconcieuna bonita mariposa se desprendi de la pared, sobrevol las cabezante el general asombro, y se detuvo en varios puestos mostrando yjuntando sus alas. Su intervenci n fue eficaz. No fue necesario dainformaci n. Voces an nimas empezaron a sugerir que ya sab an quera la simetr a.

- Vamos a ver si es verdad que sab is lo que es. Qu cosas hen clase con simetr a?.

- `Los joteros!.La pared del fondo est adornada con una fila de joteros al-

nados con joteras que han ido pintando en las semanas anterioresdirigen all las miradas e inmediatamente discuten.

- `No!, porque al jotero la guitarra le sale por un lado.- `Pues la jotera!.- `No!, porque lleva la banda a la izquierda.- Pues la jotera de amarillo no tiene banda. `Esa s que valeIntervengo en la conversaci n.- Y yo, tengo simetr a?.

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- No.Me sorprendo y pregunto por qu .- Por el pelo. Tienes la raya en un lado.- `Ah!, es por eso. Menos mal, me hab a asustado. Hay algo m s

en clase con simetr a?.- La pizarra.

Pero alguien interviene negando este ejemplo, porquelos gan-chos no est n bien puestos. Es cierto. En la parte superior de la piza-rra hay unos ganchos para sujetar una pantalla que rompen la simetr aMe sorprende este predominio de lo concreto. No hacen abstracci n delos detalles, no separan la forma del objeto real. Tengo sin embargosensaci n de que son capaces de hacerlo, y de que se trata m s de unacuesti n psicol gica o afectiva.

Yo buscaba que propusieran un objeto que tuviera dos simetr as,as que termin por coger un folio (hubo que rechazar el primero por-que se le detectaba una peque a mancha en un lado) y pregunt pord nde ten a que doblar. Ten an claro que hab a dos posibilidades.

Bien. Pasamos a cada uno/a un alfabeto y una lista de n merosdel 0 al 9, elegidos en el ordenador de forma que las simetr as queda-ran respetadas. Propusimos que localizaran qu n meros y qu letrasten an simetr a, y cu ntas. Teresa les pas espejos para se sirvieranellos en la b squeda. M s adelante les dijimos que formaran n merosy palabras con simetr a. Y aqu hubo que poner alg n ejemplo paraexplicar qu quer amos decir: AMA es una palabra con simetr a, pero nTETA, como hab a propuesto un grupo bas ndose en que todas susletras la ten an.

Y volvi a quedar claro que, en situaci n de libertad para elegircaminos, los ni os y ni as emplean sistemas parecidos a los de cual-quier adulto que puede y quiere elegir el suyo. Y as , dos ni as enco-traron una idea, 803, y decidieron buscar variantes: 308, 380, 883,388,........ Esto nos lleva a un problema de combinatoria, aunque ellno lo supieran, y vuelve a demostrar, una vez m s ( cu ntas har nfalta?), lo absurdo que es cualquier temario, programaci n, secuencia-ci n, ltimo nivel de concreci n, o como pu eta quiera llam rsele.

Un mes m s tarde la clase mostr su correcto dominio del con-cepto de simetr a en una animada sesi n de diapositivas que, lamenta-blemente, no grabamos en v deo.

lgebra a la hora del vermut

En el bar Almud var la nuit (abre por el d a a pesar de su nom-bre), tomamos el vermut tres colegas. Al d a siguiente preguntamos en

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la clase de 7… si eran capaces de decirnos el precio de las consum-nes sabiendo que nos hab an cobrado 340 ptas. por tres tapas y dosvinos.

Como result haber muchas posibilidades, sugerimos que lasordenaran en una tabla y que eligieran la que les pareciera m s r-nable.

Pero siempre hay amantes de la exactitud, as que para ayudaral terminar la ma ana, fuimos otra vez al bar. Esta vez tomamos do

tapas y tres vinos, que nos costaron 310 ptas.Jorge present el informe que sigue. l no lo sab a, pero hab a

resuelto un sistema de ecuaciones.

191 Ahora hay modelos en los que esto no es as , pero son m s caros

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Una exploraci n con la calculadora

- As que sab is hacer cuentas con la calculadora?. `Bien! Mpues ahora se trata de encontrar muchas maneras de que salga 30 en

la pantalla. O sea: encontrar cuentas que dede resultado 30.

En niveles m s altos, el respeto a la diver-sidad (es decir: el respeto a la forma quecada cual tenga de plantear un trabajo) es uderecho del alumnado, y una forma para elprofesor o profesora de disfrutar y aprendercon la variedad de situaciones que puedenplantearse. En 1… de Primaria es algo m selemental: es una necesidad. Porque cadapersonajillo de 6 a os elegir inconsciente-mente su propia l nea de investigaci n.Y as , Juan se empe a en obtener el 30

empleando sietes: 7+7+7+9, 7+7+7+7+2,7+7+10+6, etc. Me divierte su empe o en conseguir cuantos m s sie-tes mejor. Pero tiene problemas: se equivoca al trasladar los 7 a-culadora. Si le comenta Esperanza, su profesora, que con 7+7+7+7+3no funciona y que se ha debido equivocar, intenta comprobar y siem-pre introduce alg n 7 de m s o de menos. Se ayuda con los dedos,apunta los que lleva, pero le cuesta ajustar definitivamente. Su mintuye con rapidez pero tiene dificultades para recorrer el camino

atraviesa el t nel hasta la luzintuida. Y adem s —y esto esimportante— la calculadora es

un instrumento atractivo peromuy peculiar: una vez introducidos, los sumandos desaparecen de suvista1.

A B

Enfrente de l, una ni a se ocupa justamente en todo lo contra-rio: obtener el 30 sin repetir n meros en las cuentas.

Y a Jer nimo no le gusta el 30. Prefiere obtener el 18. Pero el p-blema no es que se haya saltado las condiciones propuestas, sino ellimitado n mero de posibilidades que obtiene. Y tambi n, quiz s, porqu no ha sido capaz de retener el 30?

Geometr a colectiva

El embaldosado de la foto fue realizado por alumnas de 2… delcolegio Sancho Ram rez. La diapositiva del embaldosado dio lugar a unexplosi n de pol gonos en el citado curso de 4… de Almud var.Hex gonos, rombos, tri ngulos, romboides, fueron detectados por uncurso que acept impl citamente, sin discusi n, que la baldosa grandeera asimilable a un punto. Este mismo grupo de alumnos y alumnas nohab a aceptado que el profesor tuviera simetr a, porque ten a m s pela un lado que a otro. Aunque son detectables los motivos psicol gicosgeom tricos y t cnicos que favorecieron el enfoque abstracto en uncaso y no en el otro, no deja de ser un ejemplo m s de lo sutil y com-plejo que es el funcionamiento de la mente humana.

Tambi n construido por alumnas del Sancho Ram rez. No lleg adiscutirse en la clase de Almud var, pero s fue analizado por unpeque o grupo de profesores/as. Si se observa detenidamente es unamina geom trica. Como ejemplo, si se eligen adecuadamente piezas delas que forman el embaldosado, es posible encontrar hex gonos con 0,1, 2, 3 y 6 ejes de simetr a. Es decir, todas las variantes posiblesun hex gono.

Una bonita muestra de variaciones sobre un mismo tema. Suautora, un alumna de 3… de primaria de La Rioja, las obtuvo como res-puesta a una propuesta de trabajo en la que se ped a llenar los cuadrcon dos colores de manera que cada uno de ellos ocupara la mitad dela superficie disponible, y que cada uno de los resultados finales fudiferente a los otros. En particular, los cuadros 1 y 4; 2, 3 y 6; 7,9 y 12, explotan un tema concreto en cada caso.

Cuando mostramos en diapositiva ste y otros trabajos similaresa los alumnos y alumnas de 4… de Almud var, nos sorprendi su habi-lidad para localizar los ejes de simetr a en cada cuadro. Nos sorprenel acierto general, la rapidez de las respuestas, la facilidad para c-gir errores que hab a en los dibujos y, en algunos casos, la precisisus argumentos sobre si la recta elegida era o no eje de simetr a. Coejemplo, la explicaci n de Francisco a prop sito del cuadro n… 4. Larecta mediatriz a los dos lados horizontales del cuadrado no era ejesimetr a, como alguien hab a propuesto, porque entonces el cuadrito d

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la esquina superior izquierda no deber a ser como el de la figuraA, sinocomo el deB.

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2 Habla Felipe Alaiz. Lo he tomado de Francisco Carrasquer:Felipe Alaiz. Estudio y anto-log a por Francisco Carrasquer del primer escritor anarquista espa ol.Ed. J car. 1981.3 Recurro a la terminolog a de Miguel Labordeta en su poemaAula n… 6: Entierra tu amorbien hondo / alma de clari n y de or n / porque no se enteren los emperadores aztecy denunci ndote a los metales xidos / devoren tu seno de arcilla tierna .

Ep logo

Cuando se trabaja conjuntamente con personas, la creatividadfinal es una de las resultantes posibles al componer todas las creati-dades individuales.

Mi creatividad como profesor se manifiesta en el trabajo de alum-nos y alumnas. Dependo de ellos, pero creo a trav s de ellos.

Mi creatividad como asesor del CEP depende de mis colegas, demis compa eras y compa eros de zona. De conseguir algo, lo conse-guiremos juntos.

Pero para que sea posible la creatividad es necesario compartirtareas libremente aceptadas. Si no, nos quedamos en el cuartel o en ucadena de montaje.

Gracias, por permitirme compartir sus tareas diarias, a Agust n ysus ni as y ni os de 2… del colegio Sancho Ram rez. Y a Paco, TeresaEsperanza, y sus alumnos y alumnas de 8… y 7…, 4… y 1… del colegio deAlmud var.

II

El escrito de este apartado anterior fue pensado como aportaci nalI Seminario Provincial de Experiencias de Innovaci n en Educaci nInfantil y Primaria, organizado por los CPRs de la provincia de Huesca,en septiembre del 96. Trabajaba entonces como Asesor de matem ti-cas en el CPR de Huesca, e intent con l cubrir varios objetivos.

1) Mostrar algunas experiencias de trabajo en el aula, en las quse hab an utilizado materiales diferentes.

2) Agradecer su colaboraci n a los/as colegas en cuyas aulas sehab an desarrollado esas experiencias.

3) Mostrar cu les deb an ser —en mi opini n— el m todo y lostemas en los que ten a que basarse el trabajo de un asesor. Una pro-puesta in til, puesto que en ese momento estaba ya avanzado el pro-ceso de desmantelamiento de la Reforma mediante esterilizantes dis-cusiones te ricas que pretend an —y consiguieron— apartar a docentesasesores de la imprescindible reflexi nsobre lo que realmente pasa en las aulas ysobre c mo se aprende.

4) Las conclusiones de las est rilesdiscusiones te ricas citadas se presentabanen los papeles con su propio formato:interminable listado (``aburrid simo lista-do!!, ``chapap tico listado!!) de intenciones

231 El apartado I de este escrito fue publicado en elEscolardelDiario del Altoarag ndel 23-V- 96.

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varias a las que era dif cil oponerse. Acaso se puede estar en d-acuerdo con proclamas comoamaos los unos a los otroso proleta-rios de todos los pa ses, `un os!? `Claro que no! El problema es c molas han interpretado y aplicado las burocracias religiosas o partiLa burocracia educativa de la Reforma s lo estuvo interesada en lopapeles y no en la pr ctica.

As pues, hu adrede de los escol sticos listados e intent i-ducir en el escrito la vida de las aulas. Inevitablemente matizadadesde luego, pero de paso quedar a claro que yo, como cualquier co-ga, tambi n viv a y sent a en el aula. Por eso tambi n la entradil-raria, para escapar m s a n de los formatos oficiales y porque la-la ocurre en un lugar concreto del globo.

El t tulo del escrito? `Nada! La ltima noche en que se proy-ba en Huesca la pel culaMalena es un nombre de tangono pude ir averla porque no lo ten a terminado. Nadie dijo nada ni pregunt de-pu s. Estas publicaciones se hacen para que no las lea nadie. LosSeminarios de Experiencias, o similares, ... para qu se hacen? Shubiera tituladoLa sombra del cipr s es alargadahabr a dado lomismo.

Una ltima e importante observaci n: he pensado los objetivoseste escrito siete a os despu s de haberlo redactado. [El escritor queescribe lo que se propone no ha escrito nada ,dec a Borges] Cuandoescrib a no se me ocurri elaborar un listado de objetivos: me guiintuici n. Sab a siempre Maradona lo que quer a al dar un pase?sab a Saura al dar un brochazo? Lo puede saber un profesor o prof-sora al empezar el curso, sin conocer siquiera a las alumnas y alua su cargo? Lo nico que se sabe , sin necesidad de explicitarlala variedad de experiencias que uno mismo selecciona para elegir

m s conveniente2 y a partir de las cuales elaborar otras nuevas en

proceso de crecimiento continuo.Pero ellos, los emperadores aztecas y los metales xidos3, orde-

nan y piden programaciones, criterios definidos y claros de evaluaetc., etc. Para arreglar problemas —que los hay— no les importa coriesgo de violentar la vida.

362x 45--------

103015--------1810

82412--------16290

1810

30

362x 45

15

82412

16290

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MULTIPLICANDO 1

I

Roger Garaudy, uno de los muchos y excelentes pensadores queha tenido Francia en el siglo XX, en su precioso libroPalabra de hom-bre, escribi lo siguiente:Yo era, `pobre de m !, un buen alumno; esdecir, que yo cre a en lo que se me ense aba.

Os propongo dudar -como parece que hizo despu s el Garaudyadulto- y como este art culo tiene que tratar de matem ticas, podr a-mos plantearnos qu podemos no creernos de lo que nos dicen, o noshan dicho, en clase. Pero ... qu acabo de escribir? Porque se puededudar de muchas cosas, pero, c mo hacerlo de que dos y dos son cua-tro?

Veamos. La mayor parte del tiempo de las clases de matem ticasse dedica a intentar conseguir que los chicos y chicas en edad escolarepit is mecanismos o rutinas de c lculo (se llaman algoritmos), biencon n meros o con letras. Por ejemplo, el c lculo de 362 x 45 tal ycomo est hecho a laderecha.

Se puede dudar de esto? Os ayudar un poco:

Sab is por qu funciona este mecanismo dec lculo? Es decir: por qu las multiplicacionesse hacen como se hacen?

Quiz s sea dif cil contestar a esta pregunta tal comoest hecha. Vamos a traducirla a otras m s concretas:

Por qu se escribe el 45 a la derecha y no a laizquierda?

Por qu hay un hueco encima del 1 del 1448 yotro debajo del cero de 1810?

- Por qu no se escribe ?

Se puede hacer la operaci n de otra manera?

2 Jean Paul Collette:Historia de las matem ticas.Siglo XXI. Madrid, 1985.3 Desdoblamiento ? Mejor duplicaci n , supongo. No s qu escribi Collette. Quientradujo emple desdoblamiento .4 Obviamente, Escuela de Verano del Altoarag n.5 La referencia a la cebada est justificada por el contexto egipcio . Se pagaba enespecie y la cebada era uno de los productos utilizados para ello.

Desde luego, a lo largo de la Historia no se ha seguido siempeste m todo. Por ejemplo, los rabes tomaron de la India y graciasellos se difundi por Europa, el m todo de la rejilla .

Y los antiguos egipcios, all por el 1500 a.d.C., usaron esteque sorprendentemente `funciona!

362 45181 90 9090 180 36045 360 144022 720 288011 1440 115205 2880 ---------2 5760 162901 11520

Funciona? Es decir, sabr as aplicarlo a otros productos disEs m s dif cil explicar por qu funciona, pero merece la pena inte-lo.

De todas formas, aunque busquemos m todos de c lculo en laHistoria podemos seguir pensando que, a fin de cuentas, nuestro al-ritmo de clase es, hoy en d a, de uso general en todo el mundo. Sisalirnos del mbito europeo y mediterr neo, quiz s os sorprenda saque en Italia organizan la multiplicaci n como se muestra a la der

Por qu funciona el m todo italiano?

Pero ... por qu copiar lo que hacen o han hechoen otro sitios? Pod is inventar otras formas de multiplicar?

Se puede empezar una multiplicaci n por la izquierda?Por qu multiplicar para multiplicar? Se puede hacer

usando otras operaciones? O combinando la multiplicaci ncon otras?

C mo multiplicar ais con una calculadora que tengaestropeada la tecla x ? Y si el producto es tan complicadocomo 362 x 45?

II

El método egipcio para la división es un algoritmo para quienes sólo usan latabla del dos. Hay que tener en cuenta que en el sistema jeroglífico que se empleaba enEgipto para escribir los números –muy poco útil para efectuar cálculos de manera rápi-

266 Georges Ifrah:Historia universal de las cifras.Espasa Calpe. 2000.

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EL NGEL DE LOS N MEROS 1

V rgenes con escuadras Ni sol, luna, ni estrellas,y compases, velando ni el repentino verdelas celestes pizarras. del rayo y el rel mpago,

ni el aire. S lo nieblas.Y el ngel de los n meros,pensativo, volando V rgenes sin escuadras,del 1 al 2, del 2 sin compases, llorando.al 3, del 3 al 4.

Y en las muertas pizarras,Tizas fr as y esponjas el ngel de los n meros,rayaban y borraban sin vida, amortajadola luz de los espacios. sobre el 1 y el 2,

sobre el 3, sobre el 4 ...

Rafael Alberti

I

6442 millones de cifras

El mismo d a en que se dio la noticia de la posible existencia deagua en la Luna, el informativo de la ma ana de I aki Gabilondo comu-nic que dos matem ticos japoneses hab an logrado determinar el valorde π con 6.442 millones de cifras decimales exactas. Obviamente, lo

que consiguieron fue programar una computadora para que suministrelas cifras. Hace ya unos cuantos a os que la obtenci n del primer milde cifras deπ se convirti en un peque o examen para valorar la capa-

cidad calculadora de un ordenador.La historia de los esfuerzos de la humanidad para controlar este

n mero m tico est llena de an cdotas. Una de las m s desgraciadas esla del ingl s William Shanks que, tras un trabajo de veinte a os, obt-vo las 707 primeras sin advertir el fallo en la n mero 528, lo que in-lidaba las siguientes. Si la serie de cifras deπ no responde a ning n cri-

terio podemos considerarla un producto del azar, lo que nos permiteesperar porcentajes aproximadamente iguales para 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, y 9 al analizar un n mero suficientemente amplio de decimales.Esta regularidad no exist a en la lista del bueno de Shanks, pero apa-ci al efectuar las correcciones necesarias.

Lo m s sorprendente de todo esto es su inutilidad. La conocidaaproximaci n por exceso, 3«1416, es suficiente para c lculos t cnicos

1 El apartado I de este escrito fue publicado en elEscolardelDiario del Altoarag ndel 27— II — 97.

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con cierto grado de refinamiento. Queda muy lejos de mi intenci nque se me interprete como un defensor de la inutilidad de lasMatem ticas. Creo firmemente en lo contrario, y creo que ello debeestar presente en los enfoques did cticos. Pero tambi n creo en elentusiasmo del ser humano por el juego; una muestra de inteligenccomo tuve ocasi n de o rle a Jorge Wagensberg, el director del Musde la Ciencia de Barcelona. Algo de juego tiene la asunci n por la-sivas generaciones de la tarea de prolongar la lista deπ. El ngel de los

n meros, cuya agon a en las aulas lamenta Alberti en su poema, ins-ra, con toda seguridad, esta interminable b squeda.

Todo un mundo

Una ma ana de noviembre en una clase de 6… del colegio deSari ena. Se ha pedido a alumnas y alumnos que utilicen su calcula-ra para encontrar n meros que al multiplicarlos por s mismos denresultados comprendidos entre 300 y 400. Al poco rato se cambian lcondiciones: ahora el producto tiene que estar entre 30 y 40. Hay-nes empiezan a intuir que existen muchas posibilidades porque se p-den poner en juego los decimales. Cuando volvemos a cambiar el int-valo y lo acotamos con 3 y 4, se oyen afirmaciones que aseguran qu

da lo mismo, que existen infinitas respuestas.Recogemos en la pizarra sus preferidas. Tardan en aparecer

n meros decimales complicados , como 1«887888, pero finalmente seproduce una avalancha. Pablo va m s lejos que nadie. Su n mero reco-rre el borde del folio hasta alcanzar agotado una meta , pero nosadvirti que se podr a haber llegado mucho m s lejos.

Un mundo. De alguna manera, Pablo est intuyendo que hay todoun mundo entre 1«9 y 2. He tenido ocasi n de observar c mo muchosalumnos y alumnas de Secundaria y Bachiller no han tenido esa vivenciSin duda andaban perdidos en el espeso bosque de c lculos algor tmicoen el que hab an sido planificadamente extraviados.Jugamos?

Varones y mujeres, mujeres y varones, disfrutamos con el juego.Y entre nuestros juguetes siempre han estado los n meros. A pesar delempe o de todos los sistemas (supuestamente) educativos por impe-dirlo, pervirti ndolos al convertirlos en una obligaci n o un castigosiempre ha habido quienes han escapado a esas trampas y han reen-contrado al ngel de los n meros.

Quer is jugar un rato? El n mero de Pablo no se ajusta estricta-mente a un criterio —le falta muy poco; se percibe la voluntad de quese ajuste—, pero podemos emplear el que mantiene al principio. Qucifra ocupar a entonces la posici n 89? Y la posici n 1.111? Cu l e-r a en el puesto 6.442.000.000? Y si cambiamos el criterio, como hacPablo, e introducimos ceros, qu cifras ocupar n esos lugares?

II

`Los decimales deπ! Me gusta especialmente la aproximaci n que

obtuvo al-Kashi (Isfah n - Samarkanda; siglos XIV-XV), por dos moti-vos:

En primer lugar, por el objetivo que persegu a con su c lculo: de-pu s de criticar la insuficiencia de los valores deπ que hab an maneja-

do otros matem ticos rabes, decide quela circunferencia de un c r-culo debe ser expresada en funci n del di metro con una precisi n talque el error sobre la longitud de la circunferencia de un c rculo cuydi metro sea igual a 600 000 veces el de la Tierra no sobrepase el es-sor de un cabello. Para ello, necesit obtener 16 cifras decimales exac-tas.

El segundo es el hecho de que al-Kashi realizara sus c lculos enbase 60 (en esta base efectuaban sus c lculos astron micos tanto losmatem ticos rabes como los occidentales). l mismo realiz el paso abase 10.

29

30

LA B SQUEDA DE UN LENGUAJE

I

Todos conoc is la f rmula(a+b)2=a 2+2ab+b 2 , y quiz s hay is

visto dos demostraciones de su validez: una geom trica y otra alge-braica.

Geom tricamente razonar amos as :

(a+b)2 es el rea de un cuadrado de lado

a+b. La figura de la izquierda prueba queesa rea se obtiene sumando la de los doscuadrados, uno de lado a y otro de lado b,y la de los dos rect ngulos iguales, de lada y b.

Algebraicamente razonar amos as :

Aplicando las propiedades distributiva, conmutativa y asociatdel producto y de la suma, se tiene:

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ba+b 2=a 2+2ab+b 2

La primera demostraci n se encuentra en el segundo libro de ude las obras m s editadas y estudiadas de la historia: losElementos, deEuclides, un matem tico alejandrino del siglo III antes de Cristosegunda demostraci n podr a firmarla un matem tico de siglo XVII(aunque no todos).

Las diferencias entre estas dos demostraciones ilustran muy bel tremendo avance de la matem tica moderna respecto de la antiguaEn cierto modo, podr amos decir que la matem tica griega era unamatem tica gr fica . Un n mero no era un ente abstracto desprovisde conexi n con la realidad concreta —salvo la que en un determinaproblema queramos nosotros establecer—, como lo es para nosotros hd a. Para los griegos un n mero era inseparable de su representacimediante una longitud, un rea o un volumen, y las operaciones ari-m ticas se efectuaban mediante construcciones gr ficas. As , por e-plo, Euclides llama lados a los factores de un producto, que servez, el rea del rect ngulo construido.

Todav a conservamos en nuestro lenguaje restos de esta formaentender las matem ticas. Llamamos cuadrado o cubo a las poten-cias de orden 2 3 de un n mero, en clara referencia a la constru

geom trica que representa la operaci n.Ya desde el siglo XIII empieza a tomar cuerpo el ideal de una

ciencia universal; de un m todo casi capaz de mecanizar el pensa-miento. Por lo que a las matem ticas se refiere, ese ideal se plasmaren el desarrollo del c lculo algebraico o c lculo literal (c lculoletras). Entonces, en el siglo XVI, se le llam log stica speciosa-tica = aritm tica; species = forma, s mbolo). En los cursos anteriorehab is peleado por asimilar sus reglas.

El desconcierto que este c lculo con s mbolos y letras (species),motiv en su poca, queda bien reflejado en esta idea de Cavalieri,importante ge metra del XVII:

Los algebristas ..., suman, restan, multiplican y dividen las rade los n meros, a n siendo inefables, absurdas y desconocidas, y estconvencidos de haber actuado correctamente ... .

Es decir, nosotros sabemos que , al margen de cu l

sea la naturaleza de—al margen de qu tipo de n mero sea—, o

que (a+b)2=a 2+2ab+b 2, independientemente de los valores de a y b, y

de que sean o no el resultado de la medida de unas longitudes. En el

c lculo algebraico, con unas pocas reglas generales —como las propie-dades conmutativa, asociativa y distributiva— aplicadas correctamenteobtenemos resultados de validez general. Y en esto radica su potencia-lidad. Ve moslo con otro ejemplo.

Haciendo uso del c lculo literal, obtenemos con rapidez que:

(a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab-ba-b2=a 2-2ab+b 2

Mientras que para probar con un gr fico el mismo resultado,hemos de fijarnos en la siguiente figura:

31

El cuadrado construido sobre a-b es igual al total (a2), menos dos

veces el rect ngulo de lados a y b, m s el cuadrado de lado b queque sumarlo porque lo hemos restado dos veces, una con cada rect n-gulo.

Para demostrar gr ficamente otros resultados, como(a+b)(a-b)=a2-b2 o las f rmulas correspondientes a(a+b)3 y (a-b)3 , debemos

inventar construcciones nuevas, a veces complicadas, mientras quec lculo algebraico nos da la respuesta en una l nea. Pensemos inclen la imposibilidad de obtener con gr ficos resultados para exponemayores que 3. El c lculo algebraico nos proporciona un m todo,mecaniza el trabajo y permite avanzar m s lejos y m s deprisa. En-bras de Descartes, en suDiscurso del m todo:

Por lo que hace al an lisis de los antiguos (...), est siemsujeto a la consideraci n de las figuras que no puede ejercitar el-dimiento sin fatigar mucho la imaginaci n .

Descartes, matem tico y fil sofo franc s del siglo XVII, propsu geometr a de las coordenadas —que el llam geometr a anal tica—la que ya hab is tenido contacto, que pudo ser desarrollada graciaexistencia del c lculo algebraico. Con la geometr a de Descartes,proceso de simbolizaci n —eliminaci n de gr ficos— es llevado m slejos, los propios objetos geom tricos son expresados por n merosno al rev s, como hac an los antiguos) e incluso por s mbolos (letcombinaciones de s mbolos. As , un punto es un par de n meros (o dletras) y una recta, o una curva, una ecuaci n, una igualdad algebEn consecuencia, no s lo no se har n ya las operaciones aritm ticagr ficos sino que las operaciones geom tricas —determinaci n de co-tes de figuras, trazado de rectas o curvas, ...— dejar n de hacersregla y comp s (gr ficamente) y pasar n a ser simples ejercicios dlog stica speciosa .

No es nada exagerado decir que, para el progreso humano, laintroducci n y difusi n del c lculo literal, en sustituci n del lgeom trica, ha sido una revoluci n comparable a la adopci n de lam quina en lugar del trabajo manual. La comparaci n es v lida entodos los aspectos: tambi n en el de que el trabajo manual es supeal trabajo a m quina.

La belleza, la fantas a, la originalidad y la individualidadpieza es lo que le falta a la producci n mec nica en serie. As , p-

32

1 Editorial Laia, 1983. La edici n italiana es de 1971.

plo, la demostraci n de Euclides que hemos expuesto antes, acerca delbinomio a+b, nos parece incomparablemente m s bonita, m s viva,m s sugestiva que la vuelta de manivela algebraica que nos permitellegar en diez segundos al mismo resultado. A n as , lo mismo que nose nos ocurre destrozar los telares mec nicos para volver a la lanzad-ra y al huso, tampoco rechazaremos la log stica speciosa por amor ala belleza del lgebra geom trica.

Trataremos, de todos modos, de conservar en nosotros, aunqueusemos los nuevos instrumentos, el esp ritu del viejo Euclides, la im-ginaci n geom trica de los antiguos griegos, que ser esencial paranosotros cuando no se trate de aplicar unas reglas sino de descubrircrear otras nuevas .

II

Aunque con a adidos m os, lo anterior es casi una par frasis —encuanto al gui n de ideas; no en lo que al texto se refiere— de un apa-tado del libro de Lucio Lombardo Radice:La matem tica de Pit goras aNewton1, pensada para consumo de alumnos y alumnas en el entorno

del final de la Secundaria.Hace diecis is a os que entr en contacto con las ideas que all

expone, y con el p rrafo citado delDiscurso del m todo,y siguen sien-do una referencia inevitable. La historia deber a ser un acompa antenecesario en las clases de matem ticas, pero es complicada de usarporque si nuestros alumnos y alumnas no saben matem ticas es dif cilque la entiendan. Radice elabora una mezcla muy instructiva y digeri-ble de contenidos de las dos materias, cuyo inter s no est solamenteen ese logro sino, sobre todo, en las potentes conexiones que estable-ce. Nos ense aron en su momento el c lculo algebraico como algointemporal, y hay un serio riesgo de que en muchas aulas de nuestrosInstitutos est ocurriendo lo mismo. En contrapartida, la comparaci nde las dos demostraciones2 de un resultado tan sencillo como la f r-

mula de (a+b)2 advierte que las matem ticas son el resultado de una

creaci n colectiva, que han ido variando con el tiempo y que lo hanhecho —como sugiere la larga cita ltima— en conexi n con los cambiosque se han ido produciendo en otros campos de la actividad social.Ideas importantes para la visi n de las matem ticas que ir n constru-yendo alumnas y alumnos, pero tambi n para que circulen como trans-versales en la mente de los profesores.

332 Es sorprendente que haya alumnos y alumnas que terminen el Bachiller sin haber vistonunca la demostraci n de Euclides ...

34

`QU PROBLEMAS LE PONEN A CALVIN!

I

Calvin transmutado en zombi para no atacar definitivamente elproblema. Quiz s no le gustar a a Watterson, el dibujante, pero yaCalvin no lo hace propongo que lo hagamos nosotros. He pasado estatira a varias personas adultas y, quiz s porque una historieta conni o como protagonista les ha llevado a suponer el enunciado ingentodas han pensado en las dos posibilidades de la figura 1. En la p-ra,d(A,C)=3?3; y en la segunda,d(A,C)=10.

Pero no haypor qu reducir elplano a una soladirecci n. Habrotras soluciones,en las que los trespuntos formen untri ngulo? El enun-ciado que lee Calvinobliga a que C seencuentre en elcontorno de unacircunferencia decentro B y radio 5.Las dos posicionesdel punto A en lafigura 1 se encuen-tran en el mismo

Fig. 1

Fig. 2 Fig. 3

di metro (fig. 2). Podemos colocarlo en otro sitio manteniendo la ex-gencia de qued(A,C)=2d(A,B)?

35

Fig. 4 Fig. 5

Fig. 6

Es muy probable que las primeras conjeturas que elaboremos alintentar resolver un problema sean inciertas, pero pueden encerrarintuiciones v lidas. Si giramos A hasta A« (fig. 3) de forma que Asea rect ngulo,d(A´,C) > 2d(A´,B) , pero la idea de colocar A en esa per-

pendicular no es mala. Si A« se aleja de B manteniendo la direcciaumentan sus distancias a C y B al tiempo que disminuye la proporcentre ambas desde hasta , momento en el que A« alcanzar la

curva de la circunferencia. Ser 2 cuando A«BC sea la mitad de un-gulo equil tero. Obtenemos as otras dos soluciones al problema (AA«« en fig. 4).

El caso es que tenemos ya cuatro puntos A y surge la tentaciimaginar que todos los posibles se encuentran en la misma circunfe-rencia (fig. 5) que, puesto que lo que ocurra a un lado de AC tendplasmaci n sim trica al otro, bien podr a ser el lugar geom tricoresuelva el problema. Si as fuera, cu l podr a ser su centro? En-dad no tiene tanto m rito conjeturar en situaciones propuestas porenunciados de matem ticas. Nos movemos en un mundo plat nico enel que la armon a viene incluida en el paquete que acompa a comoconsecuencia inevitable a las definiciones. S , desde luego que noeste un argumento muy serio, pero d nde colocar el centro si no eel otro punto situado en el di metro AC a distancia 5/3 de B? CABRpermite comprobar que la intuici n es acertada (figura 6; el dibujhecho con BC = 2«78 cm, pero es evidente que ello no modifica lascaracter sticas geom tricas de la curva soluci n del problema)

Pero es dif cil ver que la proporci n 2 conduce a una circu-rencia con ese centro y ese radio, as que se puede recurrir a los-ques de Descartes —para poderejercitar el entendimiento sin fatigarmucho la imaginaci n1— e introducir un sistema de coordenadas con

origen en B (figura 7), de forma que C sea el punto (5,0). Nuestro-blema ser entonces localizar los puntos A(x,y) tales que

361 Ver el cap tuloLa b squeda de un lenguaje. El fragmento de frase que he empleadoest sacado de contexto y lo he utilizado con cierta iron a, pero no me parece quetraicionado a Descartes.

Fig. 7 Fig. 8

37

2d(A,B)=d(A,C). El c lculo nos guiar ciegamente desde

hastax2+y2+3?3x-8?3=0 , que es la ecuaci n de

la circunferencia que hab amos intuido. Esto avala nuestra conjetura,pero sigue sin responder a la petici n de una demostraci n emp rica.

Se puede tambi n probar a posteriori el resultado, aplicando elteorema del coseno a los tri ngulos ADC y ABC, buscando en el prime-ro una expresi n para 2x, y para x en el segundo. Combinando las dosse llega a que AD es siempre 10/3 (independientemente del valor de x)lo que valida de nuevo nuestra circunferencia. Pero sentimos otra vezsensaci n de ir guiados por un lazarillo, sin comprender las razonesestructura geom trica que justifican la respuesta encontrada.

El proceso inductivo inicial da pistas pero no certezas; permite

conjeturar y, por tanto, crea conocimiento. El proceso deductivo segu-do al introducir el sistema de coordenadas crea conocimiento, porquetampoco conoc amos la respuesta al comenzarlo, y adem s aporta cer-

Fig. 9

Fig. 10 Fig. 11

38

teza. El razonamiento deductivo ltimo —en el que hemos empleado eteorema del coseno— es de tipo eucl deo: se trataba en definitivademostrar una tesis previamente establecida; no crea conocimientos lo lo valida. Pero en ninguno de los tres casos hemos podido veporqu f sico —si se puede decir de esta manera— del resultado.

ello habr amos tenido que conjeturar deductivamente, al estilo de-tra segunda argumentaci n, pero sin coordenadas, partiendo de lasfiguras 2, 4 5 a que nos hab an llevado las condiciones del prob

En realidad, es f cil localizar la circunferencia soluci n cocomp s, pues una vez determinados A«y A«« (fig. 4), basta con trazpor uno de ellos una perpendicular al segmento A«C. El corte de essegmento con la prolongaci n de BC (fig. 9) es el centro de la cir-rencia. O tambi n, dibujando un tri ngulo equil tero de lado A«A.esto, sin embargo, sigue sin aportar luz sobre la necesidad f sicla misma.

II

Empezamos imaginando los tres puntos en una sola direcci npara despu s colocarlos en el plano, pero las dos situaciones sonreduccionistas. Somos seres de tres dimensiones en un espacio trid-mensional, y en l es donde deber a plantearse de forma natural el-blema. La tentaci n inmediata es suponer que la respuesta, ahora,la esfera de centro D y radio 10/3. Es muy f cil justificar esta s-ci n: las distancias AB y AC (fig. 10) no se van a ver modificadas-que giremos toda la figura respecto del di metro ABAC, de manera qel tri ngulo ABC cambie su posici n manteniendo fijo un lado. En lfigura 11 est n marcadas algunas de las posibles localizaciones depunto A. Dos ampliaciones de nuestra perspectiva de observadores nhan llevado de las dos nicas opciones de los extremos del segmentABA, a los infinitos puntos de la circunferencia y de la esfera qua ese segmento como di metro.

Si colocamos un tr pode coordenado en el punto B (fig. 12),

Fig. 12

EL MIEDO TIENE RAŒCES DIFŒCILES DE ARRANCAR

I

- Cu nto es 20?

- 1- Por qu ?- ...? Nos dijeron que es as .

Otra respuesta habitual al por qu suele ser:

- 20 es 1 por convenio.

Y as un a o tras otro. Muy de vez en cuando aparece alguien queexplica que es as porque al dividir potencias de igual base hay que-tar los exponentes. Por supuesto, nadie da como raz n la evoluci nparalela de estas dos series:

...... 23 22 21 20 2-1 2-2 ......

...... 8 4 2 1 0?5 0?25 ......

Ese argumento se les suele ocurrir a ellos/as (es decir, a algunoalguna de ellos/as), tambi n de vez en cuando, cuando se les pide quebusquen (no que recuerden) una justificaci n del famoso convenio.Porque los convenios se adoptan por algo, no son arbitrariedades.Responden a algo o se persigue algo con ellos. En matem ticas, meparece que, sobre todo, responden a algo. Y es incre blemente escan-daloso que se les haga creer que los convenios se adoptan por conve-nio. As se fomenta el esp ritu cr tico que se supone que desarrollaclases de ciencias? O estamos m s bien ante otra variante de un cate-cismo dogm tico?

- Nos dijeron que es as .- Los enemigos del hombre son tres: el mundo, el demonio y la

carne1.

- S , bwana.- Por qu para estas integrales se usa este cambio?- Mira, muchacho, no te plantees el porqu de las cosas que eso

39

1 Parec a como si la mujer no tuviera enemigos, pero me temo que era mucho peor: erael enemigo mismo.2 No son inventadas esta ltima pregunta y la respuesta del profesor. Me las transmitiun observador presencial. El di logo tuvo lugar en un aula de COU en los a os noventa,en alg n lugar de la ib rica piel de toro.

no lleva a nadabueno2.

- S , bwana.

Sin duda, el sistema educativo tiene en su curr culum ocultoobjetivo de laformaci n de mentalidades sumisas. Pero ocurre que tie-nen que tener conocimientos t cnicos que permitan con el tiempoexplotarlas laboralmente. Parece que se supone que las matem ticasescolares son tiles en ese proceso posterior de explotaci n, astienen que haber visto—`qu expresi n, Dios m o:haber visto—muchas (muchas matem ticas). Hay, pues, que quemar etapas y, paraello, qu mejor que la historia de los convenios? Son necesarioss lo porque permiten ganar tiempo, sino tambi n porque si alumnay alumnos no han alcanzado todav a la necesaria capacidad de abstr-

ci n y soportan mal lo quetienen que ver , lasoluci n son los con-venios.

II

No trabaj con este grupo, en 4… ESO, las potencias de expone-te fraccionario. Ahora, en 1… de bachillerato, antes de entrar enlogaritmos —tampoco les dediqu tiempo cuando oficialmente ten a qhaberlo hecho— empiezo una bater a de preguntas sobre el significa

y el valor de cosas como 2-3,20?5, 0?60?6 . Explico en la pizarra un razo-

namiento t pico. Algo as como

Y hacemos unas cuantas variantes. Hay en el aula alumnos yalumnas de procedencia variada y, puesto que algunos han seguido lcauces program ticos oficiales, se supone, tambi n oficialmente, qdominan estas cosas. Pero en el camino, al hilo de la conversaci ntengo que justificar incluso las propiedades m s elementales de laoperaciones con potencias. Me estoy refiriendo a esto:

34Æ33=3 7 porque 34Æ33=(3Æ3Æ3Æ3)Æ(3Æ3Æ3)

Y a otras cuestiones que habitualmente se consideran triviale

40

3 Las dos citas est n cogidas de unas breves notas de trabajo que se publicaron cont tulo deEn torno a la dial ctica.Tengo la edici n de la editorial Progreso (Mosc , 1983)Las notas a pie de p gina son tendenciosas.

pero que parece que no lo son tanto. Por ejemplo:= ( )3 . Ocurre

que la mente necesita tiempo. Tiempo para hacer tanteos, para equivo-carse, para redescubrir lo que le han mostrado. Y ocurre que las just-ficaciones por convenio no producen conocimientos asentados.

A estas alturas no me f o de muchas expresiones de conformidadcon lo que se ha hablado en el aula. Puede ser que las hagan para notener que implicarse m s a fondo. As que unos d as m s tarde volvsobre el tema. Por eso y porque creo que es conveniente avanzar enespiral. Lo recomendaban los libros blancos aquellos. Me pregunto sise inspirar an en Lenin3: El conocimiento del hombre(supongo yo que

el de la mujer tambi n)no es (no sigue) una l nea recta, sino una l neacurva que se aproxima infinitamente a una serie de c rculos, a una es-ral .Y contin a:Cualquier segmento, trozo, fragmento de esta l neacurva puede ser transformado (transformado unilateralmente) en unal nea recta, independiente, ntegra, que conduce (si los rboles no dver el bosque) en tal caso a la charca, al oscurantismo clerical .Unabuena descripci n de los procesos de aprendizaje de convenios indis-cutidos.

Pero estaba en que volv sobre el tema. Tengo, por supuesto,ejemplos de lo complicadas que son las cosas, aunque siempre quedansutilezas inesperadas. Pregunt si alguien pod a explicar por qu

. Finalmente accedi a salir a la pizarra C ... , pero su seg-

ridad no llegaba al punto de utilizar 0?5 y advirti que prefer a 1/2supuesto —son buenos alumnos/as— sab a de qu iba la cosa, pero loque escribi indicaba que no estaba todo claro:

El asterisco lo he introducido ahora yo. Sus colegas advirtieronque la conclusi n final era , pero yo segu insistiendo y pre-

gunt que por qu se daba este ltimo paso. Desde luego que frasessimilares a sta:el n mero que multiplicado por s mismo da 0?5 es lara z cuadrada de 0?5, luego 0?50?5tiene que ser , hab an sonado en

el aula durante estos d as, `pero no es una frase tan sencilla!, requpensar un poco, tener alguna idea clara, de manera que la mayor a —eses lo que intu en ese momento— hab a mecanizado el algoritmo paraevitarse l os y evitar el pensamiento. No es tan dif cil. Veamos:

Qu hay que observar para esto?

41

1/2 1/2

1/2

1/4 1/4 1/4 1/4 1/4

1) Si hay un 4 en el denominador, hay que poner cuatro factoriguales.

2) Una vez montado el escenario, se remata pasando el 4 al n-ce del radical.

Y, ciertamente, no hace falta entender nada para repetirlo ad-t ndolo a las condiciones que marque el exponente.

III

Por qu ocurre todo esto? Sin duda son situaciones naturalesse nos meter n en la cabeza algunas cosas:

- Utilizamos s mbolos e ideas muy abstractos.- Y, adem s, descontextualizados.- Les importan un r bano. `Como es natural! Bien, puedo suavi-

zar: les importan, en el mejor de los casos, pero dentro de un orda su edad, hay desde luego rdenes m s importantes y m s interesan-tes. `Tambi n era as en mi caso!

- El conocimiento conceptual y procedimental oficializado enpizarra paraliza los procesos abiertos de reflexi n personal. Estoquiere decir que no haya que oficializar nada, pero s que hay quehacerlo con delicadeza, dejar tiempo para que las mentes se aclaredialogar con sus dudas, sus m todos y sus soluciones.

42

4 Erich Fromm:Sobre la desobediencia. Paid s, 2001.

43

MENOS MAL QUE ANDAN ESTOS TIPOSY TIPAS POR EL INSTITUTO

Si no fuera as , hace unos meses que habr a intentado reconver-tirme a camionero. Cada vez m s, la resistencia al pensamiento seacent a en las aulas y me canso de violentar mentes todas las ma a-nas. Observo despu s al ciudadano que sirve cervezas en la barra delbar y no puedo evitar cierta envidia. Si no quieres una ca a, no la pel resultado es que no s lo no ri e contigo sino que adem s conversa-mos amablemente. Hoy, sin ir m s lejos, se han molestado en la clasede 3… porque hay demasiadas parejas de n meros cuyo producto es 2.Una vez superado el peque o inconveniente de casos como0?3x6 ,advertido por alguien en el transcurso de la discusi n, la informacide que tambi n sale 2 con x ha suscitado protestas, e incl-so indignaci n en algunos casos. Las chicas lo han exteriorizado rui-dosamente; los chicos, en apariencia no, pero sus caras dejaban ver lpreocupaci n ante la pesadumbre mental que esta nueva variantepodr a producirles a medio plazo. Dado el rechazo al cuadrado dehe hecho ver que yo no tengo la culpa de que pasen estas cosas y que,si as lo prefieren, puedo ocultarles informaciones de este tipo. Antuna amenaza como esta, de imprevisibles consecuencias para su futu-ro, han cedido.

I

Hab is visto a un gato jugar, por ejemplo, con una hoja de lechu-ga? Posada en el suelo, la observa, le da la vuelta fij ndose detenid-te en detalles que desde mi posici n no puedo intuir, la desplaza conpata, suavemente, con cuidado, como si temiera romperla, pero con eltiempo acontece una tremenda agitaci n: la hoja salta por el aire, elda volteretas asido a su enigm tico objeto de observaci n. Qu ocurrEs una hoja? Ser otra cosa? Parece lechuga ... pero quiz s esta co-

tura no sea la correcta ...Debo a M» Jes s la comparaci n entre este comportamiento de un

gato y el de alguien que HACE matem ticas. Es exagerada? Desdeluego los gatos son curiosos y tienen iniciativa propia, aunque quizes cierto, no elaboran conjeturas sobre las hojas de lechuga. Me tild-r is de roussoniano ingenuo, pero creo imposible que la Naturaleza nohaya dotado de menos curiosidad que a los gatos, as que achaco a lasociedad (familia, escuela, TV, ...) el esfuerzo destructivo para eli-la.

Pero ya digo que andan estos tipos/as por el Instituto.

,

1 Alguna vez nos daremos cuenta de que esta clasificaci n de los alumnos y alumnas de4… en funci n de las matem ticas fue uno de los comienzos del proceso de derribo de unaReforma anunciada pero nunca llevada a cabo?

44

II

Dicen —los Temarios, el Departamento, etc.— que hay que dar-gonometr a en 4… ESO B1, as que seg n sub amos para el aula despu sdel recreo les he pedido que averig en qu ngulo forma la escalerel suelo. Llevamos mucho tiempo ocup ndonos de la pendiente de unarecta como si de una hoja de lechuga se tratara y ayer, cuando pedprimera vez que dieran la abertura de los ngulos de un tri ngulo-jado en la pizarra, como no encontraron un m todo de pasar de los-culos derivados de sus medidas a los famosos grados2, les advert alirme que Tr fico no necesita de ellos para informar sobre ngulossus se ales de carretera.

Es verdad que fue una pista excesiva, porque al hilo de la pe-diente de una recta hab amos dibujado perfiles de carreteras con100% de pendiente, un 200%, un 22%, un 0«25%, etc., de manera quebastantes han ido directamente a tomar las medidas necesarias para

calcular la pendiente de la escalera. Contodo, Pilar y Alicia se han limitado a un c-culo a ojo: el ngulo era menor que los 45…de una escuadra y le han asignado la terce-ra parte de un recto3. La mayor a dividi susmedidas para obtener 0?53 de pendiente yme ped an ansiosamente c mo pasar de aha un valor en unidades de medida de ngu-

los. Pero siempre hay que preguntar, como con las hojas de lechugaqueda alguna otra posibilidad. Leticia, entonces, nos cuenta el to-so camino de su grupo hacia la pendiente. Ellas no han medido el c-to vertical y el horizontal, sino este ltimo dato y la hipotenusaque han tenido que recurrir a Pit goras para saber la altura4: 1«6metros.

Han colocado entonces un sistema de coordenadas en el rinc nla escalera (el dibujo est hecho tal y como han visto y sentido l-lera al medir, subiendo hacia su izquierda): la ecuaci n de la rec-nada ser del tipoy=mx + 1?6 y, como pasa por el punto A (3,0),0=3m+1?6 .

De ah obtienen la pendiente ``de la escalera!! Hay que-cutir, claro, el que salga negativa. Por mi parte, nada que objeta-que ya el resto de la clase advierte que se pod a haber dividido 1directamente, sin necesidad de buscar ecuaciones de rectas.

2 A pesar de que se supone que conocen el seno y el coseno por las clases de F sEn matem ticas, ya se sabe, siempre vamos con retraso.3 Y no han errado mucho: menos de 2 grados. Creo que es la primera vez en todo el cque se dejan llevar por un empirismo tan tosco.4 A pesar, de nuevo, del referente del coseno en las clases de F sica.

Los sistemas de coordenadas est n para esto: para colocar-los all donde hagan falta a alguien para resolver un problema. S lofijos e inamovibles, como las ideas eternas, en los listados de ejercde los libros de texto. El camino de Leticia y sus colegas me indicamis propuestas de cambiar de sistema de referencia en una mismasituaci n, para observar las modificaciones que ello introduce en lasecuaciones de las rectas, han dado el resultado que buscaba: introdu-cir un cierto materialismo epistemol gico y filos fico. Los sistemasherramientas, no objetos et reos de naturaleza esot rica.

Hablamos de esto —de las herramientas, no de la epistemolog a,claro— y paso a dar informaci n. Hay suerte, y al pedirles que pulsenteclatan-1 salen resultados distintos, lo que permite hablar de losmodos DEG ,GRAD y RAD . Y cuando me reclaman qu estan-1, por quda la respuesta esa tecla?, avisan del cambio de clase. No puedo evit-lo, y me cisco en el timbre con cierta contundencia.

Ya digo que, afortunadamente, andan estos tipos/as por elInstituto.

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5 Pedagog a de la indignaci n . Ed. Morata. Madrid, 2001.Freire emplea la palabra for-maci n con el significado dedesafiar al educando a pensar cr ticamente en la realidadsocial, pol tica e hist rica en que est presente .El uso que yo he hecho su frase, sac n-dola de su contexto, reduce el contenido de formaci n , que pasa a ser algo as comodesafiar al educando a pensar cr ticamente sobre los m todos de las matem ticas .Aunque he recurrido a este reduccionismo, creo que no hay que olvidar el significadoamplio —`y dif cil de practicar!— con que l la emplea.

46

QUI N DIJO QUE LAS COSAS S LO PUEDENHACERSE DE UNA MANERA?

Hace algunos a os que Ignacio Ramonet, el director de Le MonDiplomatique , acu la afortunada expresi n pensamiento nicopara referirse al dogma neoliberal que nos impone tir nicamente supropuesta pol tica y econ mica. Pero me temo que la afici n a un p-samiento nico, como forma de autodefensa de las distintas socieda-des frente a posibles alternativas cr ticas que pudieran modificardesde dentro, tiene una larga tradici n en la Historia. Me temo taque el sistema educativo ha sido, desde su aparici n como institucoficial (retroc dase en el tiempo lo que se crea conveniente), unohabituales instrumentos para que las sucesivas generaciones aceptepensamiento nico del momento.

La vida es plural; los problemas que plantea admiten enfoquesvariados y la tensi n entre ellos es la base de la creatividad colPor qu sorprenderse de que se hayan inventado m s de 250 formas

de demostrar el Teorema de Pit goras? Qu se pretende (es decir:se consigue inconscientemente) cuando se propone, por ejemplo, unanica forma (oficial) de efectuar una multiplicaci n?

Una clase es —deber a serlo— un taller de creaci n colectivaque se buscan soluciones variadas a problemas variados. Os presentuna sencilla pero bonita muestra de la inventiva de que han dado m-tra hace unos d as en 3… ESO y en 1… de bachillerato tecnol gico.-taba de insertar signos de operaci n en la lista de n meros 1 2 37 8 9, sin cambiar su orden, para que el resultado fuera 1.

1 - 2 + 3 + 4 - 5 + 6 - 7 - 8 + 9 = 1 (Sa l U.; Jorge R.;Ignacio)1 + 2 - 3 + 4 - 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 1 (Blanca)({ [ (1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6} : 7 + 8 ) : 9 = 1(Oihane; Marcos A.)1 (2 - 3) (4 - 5) (6 - 7) (8 - 9) = 1 (Jorge L.; Guillermo)1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 = 1 (Jorge L.)1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + 7 - 8 -√9 = 1 (Pablo)1 :[ (2 - 3) (4 - 5) + (6 - 7) - (8 - 9)] = 1 (Roberto)(- 1 x 2) + (3 x 4) -[ ( - 5 + 6) - (- 7 + 8)] - 9 = 1 (Javier)1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 1 (Beatriz; Jos Miguel)1 - 2 + 3 - 4 + 5 + 6 - 7 + 8 - 9 = 1 (Nacho)(1 + 2 - 3) 4 + 5 + 6 + 7 - 8 - 9 = 1 (Susana)

Y, haciendo algo de trampa ...

(9 x 7) - (8 x 6) 1 - (2 + 3 + 4 + 5) = 1 (Sa l S.)1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 7 + 8 - 9 = 1 (Juan)

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EL EXQUISITO DETALLE DE LOS DIBUJOS DE ASTERIX

Siempre me ha gustado Asterix. Me refiero, claro, al Asterix de lpoca de Goscinny. Disfruto con los dibujos y ese humor refinado depresentaci n impresionista. Creo que fue en la aventura deLa ciza adonde apareci por primera vez una vista a rea del pueblecito de losirreductibles galos (figura 1). Desde entonces, a los atractivos ante-res se uni el de comprobar si las distintas perspectivas de rinconespueblo que se ven en las vi etas cuadraban con la vista general. Y cu-dran, claro que lo hacen. Por lo general, cuadran con una precisi n tque se dir a que es el ojo de una c mara, antes que el l piz de un di-

jante, quien selecciona los espacios por los que deambulan los galos.La primera p gina deAsterix en Helvecia(figura 2) es un bonito

ejemplo de esta precisi n. La c mara-dibujante empieza con una vistcercana del centro del pueblo desde el aire; desciende a ras de suelopara centrarse en un peque o rinc n; enfoca hacia le centre villehab amos perdido, lo que nos permite observar que de la casa del jefea la de Asterix el camino desciende; muestra las que ve Asterix desdela suya; y cruza el camino para captar la conversaci n del encuentrojefe con Asterix y Obelix que, efectivamente, deben estar situados aizquierda seg n viene andando. As pues, la primera hoja de esta aven-

Fig.1

48

Con la informaci n que dan estas vi etas, dibuja un mapasencillo del centro del pueblo de Asterix. Tienen que estar locali-das la casa del jefe, la herrer a, la pescader a y la casa de Aste

Puedes a adir algo m s? M s casas o rboles?

Fig.2

49

tura aporta informaci n suficiente para conectar entre s unos cuantoedificios del pueblo, y eso es lo que solicit a un grupo de 1… ESO etexto que acompa a a la figura 2.

Funcion bien? S . Los mapas que trajeron eran muy deslavaza-dos —no es nada c modo el dibujo; haced un intento ...—, pero la disc-si n en clase fue apasionada. Prepar varias transparencias (figuras3, 4 y 5) que proporcionaran m s informaci n para ir utiliz ndola cua-do alg n grupo de discutidores/as no consiguiera llegar a acuerdos, yotras dos (6 y 7) que prueban que en los primeros n meros de la serieel pueblo no hab a tomado cuerpo en la mente de los autores.

Me ha quedado un bonito recuerdo. Como el tama o de las trans-parencias result muy grande y se sal an de la pantalla al proyectarlun grupo coloc unas sillas junto a la pared para poder llegar a la z

Fig.3

Fig.4

50

Fig.6

Fig.7

Fig.5

51

QU MATEM TICAS SON COEDUCATIVAS? 1

Las dos menos cuarto del mediod a con un curso de 1… ESO. `Quhorarios! `Qu falta de respeto a estos 18 chicos y chicas! Seis horafingiendo educadamente inter s y atenci n ...

I

Corto. Me iba del tema nada m s empezar. Lo cierto es que esed a no fing an nada. Hab an construido ya mosaicos semirregulares yestaban familiarizados por tanto con el fragmento que muestra la figu-ra 1. Pregunt por el n mero de v rtices y Jorge contest 36. Es clarque no se dio cuenta de que contaba dos veces muchos de ellos, peroera Jorge, y su contrastada competencia matem tica fue suficiente parque la mitad de la clase decidieraque ya no hac a falta seguir pensan-do. Natalia expres con rotundidadesta convicci n.

Afortunadamente Lidia, siem-pre peleando por aclararse, indicdesde el fondo del aula, ante laincredulidad del citado 50%, ques lo eran 28. Su estrategia derecuento no era muy especial —hab a ido v rtice por v rtice cuidan-do de no olvidar ninguno — peroalab su b squeda de un criteriopropio m s all de las opiniones ajenas previas. Ariana, con clarivid-te contundencia, explic que s lo hab a que tener en cuenta cinco cua-drados y ocho v rtices sueltos de los oct gonos.

Afortunadamente tambi n, la lucidez de Jorge le permite aceptarsin problemas sus errores. Mejor a n: le permite no creerse lo que secree el 50%. As que todo sali bien: para la coeducaci n y para lo qpodr amos llamar la construcci n democr tica del conocimiento (indi-vidual y colectivo).

La siguiente propuesta fue pedirles que buscaran todos los cua-drados que pudieran de forma que sus v rtices fueran cuatro de esos28. Quer a trabajar no s lo el orden y la exhaustividad al efectuar urecuento sino tambi n luchar contra las limitaciones subliminales quese producen como consecuencia de esa tradici n cultural que hace queun cuadrado aparezca casi siempre apoyado sobre uno de sus lados.

1 Publicado en el n mero 26 de la revistaAda Byron(2002), editada por la Organizaci npara la Coeducaci n Matem tica Ada Byron.

Fig. 1

Encontraron 31, y todos, chicas y chi-cos, tuvieron especial empe o enmostrar a los dem s sus hallazgosdesde la pantalla del retroproyector.

El siguiente problema fue m scl sico en cuanto a su petici n, aun-que no en cuanto a la libertad de elec-ci n que permit a su enunciado.Tomando el lado de los oct gonos (ode los cuadrados; fig. 1) como unidad de medida, se trataba de obt-ner el per metro y la superficie de tres de esos 31 cuadrados. Cadpod a seleccionar los que quisiera. Hay que tener en cuenta que lamayor a no conoce todav a el llamado teorema de Pit goras: la libede elecci n era obligada. Dispon an sin embargo de t cnicas que nohab a explorado did cticamente hasta este a o y que me parece quehacen camino hacia Pit goras. Todo hab a empezado cuando, sin nin-g n problema, determinaron el rea del cuadrado de la figura 2.

La trama permiti ver cinco cuadraditos unidad en su interiorcomparaci n —mediante una tabla— entre los lados y las reas de di-sos cuadrados llev a bastantes a concluir que el lado era. Hay queadvertir que el que alguien concluya algo acertadamente —incluso salguien es un adulto— no es motivo suficiente para que una semanadespu s lo recuerde con claridad? Hay que dar ocasiones a la menterevisar lo que va construyendo, y en esta direcci n iba mi propuesmedir tres cuadrados. Por ejemplo, ABCD y PQRS (fig. 1) proporciondos buenas ocasiones para profundizar en la idea utilizada en el c-drado de rea 5. Imagino que buscar n primero la longitud de los ly despu s la superficie; para esta ltima, por supuesto, est la c-dora. Pero siempre espero alguna sorpresa de este curso. No puedocontaros el final, porque dos actividades inesperadas nos llevaronclase de matem ticas hasta el timbre de las vacaciones de SemanaSanta.

II

A pesar de su ingenuidad, una historieta como la anterior disde ser habitual. El centro de atenci n de la clase no estaba en laen el centro f sico del aula, entre el grupo de alumnas y alumnos-caci n en el an lisis de las situaciones propuestas —casos dif cil-gen— era alta. Las preguntas preocupaban a todo el mundo. Pero uncomo ste no surge de forma espont nea, entre otras cosas porque na os de permanencia en el sistema educativo son un lastre muy fuer

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Fig. 2

condiciona hacia la receptividad pasiva. Un clima de trabajo y toleras lo es posible si se intenta ganar desde el primer d a como un objetfundamental, con el convencimiento de que es m s importante que las p-piedades de un cuadrado, la cantidad de divisores de un n mero o el-rema del coseno. Pero hay m s: las buenas intenciones no bastan, hayelegir adecuadamente las propuestas de trabajo. En la terna investigaproblema — ejercicio, la calidad desciende por ese orden. Un ejercicidefinici n, no deja de ser una actividad de amaestramiento. El pensam-to necesita espacios abiertos para crecer; el di logo sobre temas menproducir resultados menores (el adjetivo menor , por supuesto, est-dicionado al nivel acad mico y particular de la clase). Afortunadamenmuchas investigaciones y problemas posibles, y bastantes ejercicios p-den abrirse hasta convertirse en problemas. Afortunadamente tambi n,todo puede ser un problema, por lo menos cuando se empieza. Hay querechazar la idea de que todo esto s lo es v lido para contextos alte-nativos de trabajo pero no para los serios . Los alternativos no-r an tener este car cter ni la seriedad en sentido tradicional es u-que deseable. Los serios s lo son necesariamente serios por laspenosas exigencias que introducen en los procesos de ense anza-aprendizaje las rid culas imposiciones de los/as bur cratas de turno.

III

Las piezas poligonales con las que construimos los mosaicos nospermitieron obtener la medida de los ngulos de los pol gonos regula-res de 3, 4, 6, 8 y 12 lados mezclando observaci n y razonamiento. Unejemplo: puesto que en cada v rtice del embaldosado de la fig. 1 con-curren un cuadrado y dos oct gonos, el ngulo de ste deber ser lamitad de 270…. Tuve que sugerir yo esta t cnica porque el bloqueo llea hacerse general. Pero la explicaci n tuvo xito, as que me anim apedirles que completaran la siguiente tabla.

N mero ngulo del Total delde lados pol gono pol gono-----------------------------------------------

-----------------------------3 60 1804 90 36056 12078 1359

53

54

101112 150n

La novedad no era por supuesto la actividad en s misma, sinohecho de que nunca la hab a lanzado en 1… ESO. Me preocupaba sobretodo el efecto que pudiera producir la n . Ya hab a hecho alg n i-to de trabajar con ella y s lo hab a sido aceptablemente interpretpor la mitad de la clase. Les advert que podr an obtener resultadla segunda columna, y pasar despu s a la tercera, o al rev s.

Puesto que la observaci n de regularidades en tablas era ya ut cnica habitual, la mayor a encontr c modo conjeturar —apoy ndosen el aval del hex gono y el oct gono— que la tercera columna avande 180… en 180…. Sergio fue el primero y, como quer a poner en cue-ti n su confianza en la inducci n, le ped garant as ... que no dil ni sus colegas porque su l nea de trabajo no pod a darlas y no-

ron capaces de cambiarla. Realmente es dif cil que comprendan lanecesidad de hacerlo ... [Por cierto: las seguridades se obtienen-mente pensando en d nde van a para los 180… que a ade cada lado quse aumenta. `Pero no lo hab a pensado nunca!]

Y el resto? Un grupo de chicas eligi obtener conclusiones a-tir de la segunda columna, y conjetur deductivamente (en clase de-mos razon al estilo de Sherlock Holmes ) para obtener los ngulopara 5, 7, etc. Como las explicaciones de Ariana indicaban claramque comprend a la validez general del m todo que empleaban, le pro-puse que llegara directamente al resultado correspondiente a n lLo consigui , y al comparar con las obtenidas por los chicos nos e-tramos con expresiones de aspecto muy dispar que sorprendentemen-te produc an resultados an logos. La sorpresa, claro, ven a de la-cultad para establecer la igualdad entre ellas, dadas las limitaci

1 Las ideas circulan por el aire con rapidez cuando alguien las ha pensado, y es veque tiene que ser reinterpretadas por cada uno y cada una, pero tambi n que ha habiquien les ha dado rienda suelta por vez primera.

Fig. 3 Fig. 4

todav a tienen al operar con el c lculo simb lico.A la hora de la puesta en com n quer a atender a varias cosas.

Hab a que comentar los dos m todos, reconocer el m rito a sus inven-tores1 y ocuparse de que tuvieran reconocimiento dos chicos que empe-

zaban a subir la calidad de su trabajo. No pod an salir todos y si ha-ban Alejandro y Fernando me quedaba sin chica. As que Alejandroexplic el m todo de Ariana y Fernando el de Sergio. Afortunadamente,otra vez, me parece que las cosas quedaron bien para la coeducaci n.

IV

La mente no suele avanzar en l nea recta. A estas alturas conoz-co la importancia de saber responder a las preguntas tontas . Lostri ngulos que hab amos empleado eran equil teros, y puesto que sepueden juntar seis en un v rtice, cada ngulo es de 60… y hacen 180…entre los tres. Pregunt qu habr a ocurrido si no hubieran sido equi-teros. Contestaron que la suma es 180… porque una vez les ense aronuna especie de puzzle . Mostr el puzzle con el retroproyector, hechocon los tri ngulos regulares, y me dijeron, claro, que con tri ngulosequil teros no ser a posible. Bien: hubo que hacer el puzzle con esca-lenos al d a siguiente. Una vez dado este paso, pens que era un buenmomento para descender del nivel de investigaci n, en el que hab amosestado en la tabla anterior, al de problema. Propuse obtener el valorlos ngulos definidos por las l neas de la figura 3. Y m s adelante,vez que explicaron esto en clase, descendimos al de ejercicio en un t-bajo individual, pidiendo lo mismo para el caso de la figura 4.

V

No me parece que desde la preocupaci n coeducativa el proble-ma sea la preferencia por la geometr a frente a los n meros, o al revEstos y aquella son festejados o rechazados por alumnas y por alum-nos, dependiendo en cada caso de circunstancias muy particulares. Lassutilezas anteriores son las que diferenciar n una clase coeducativamatem ticas de otra que no lo sea. En realidad, fundamentalista comosoy, me siento inclinado a pensar que diferenciar n a una clase dematem ticas —as , sin adjetivos— de cualquier simulacro m s o menosburocratizado. Como sugiri Polya, y en su l nea sugieren las histori-tas anteriores, el di logo y la construcci n democr tica del conoci-miento en una clase de matem ticas pasan por la recuperaci n de losprocesos inductivos y por el convencimiento de que las matem ticas, eltima instancia, se fundamentan en la experiencia.

55

56

EL IRRESISTIBLE ENCANTO DE LA ARTESANŒA

`Todo el curso sin decir nada! `Qu dif cil arrancarle una paAlberto! El caso es que parec a que pensaba, pero si lo hac a, nun-biendo algo. El 80% de los d as su papel terminaba la clase en blImaginad mi desesperaci n porque, adem s, los intentos de di logodieron nunca resultado. Estoy hablando de un tipo de 3… ESO.

De vez en cuando generaba sorpresas. Como cuando propuse a laclase que sumara los cien primeros n meros y no di ninguna informa-ci n. Las correctas y convencionales chicas del fondo me ri erondurante casi un cuarto de hora recrimin ndome que as no se hacencosas, que c mo iban a hacerlo si no sab an qu hab a que hacer. Mdefend a —explicando la diferencia entre problema y ejercicio— peraqu , aunque por motivos distintos, tampoco funcionaba el di logoestaba dudando si merec a la pena prolongar la situaci n y, en casque decidiera que no, qu actitud adoptar, cuando al pasar por el-to de Alberto vi escrito, as , escuetamente, el n mero m gico: 505pregunt c mo lo hab a hecho —esta vez s acert a explic rmelo— yanunci a toda la clase que alguien lo hab a resuelto. El aciertoAlberto result m s convincente que mis alegatos sobre la necesidaresolver problemas.

Y as todo el a o: una par lisis externa que sin embargo dejaentrever en algunas ocasiones —s lo en algunas— una cierta actividinterior no plasmada en el papel. A principios de mayo decid querend a, que se me escapaba Alberto.

Y llegamos al ltimo examen del curso. En principio prefierohacer ex menes, pero no siempre es posible. Hay alumnos y alumnasque prefieren los ex menes porque as tienen que trabajar menosquienes van a clase particular y los trabajos que entregan llevanmarca de una convencional (matem ticamente) persona adulta, etc.,etc. As que seg n como sean las caracter sticas del grupo, hay quhacer ex menes; y las cosas van a peor desde este punto de vista.alumnos y alumnas funcionarios quieren ex menes y cada vez pareceque aumenta su n mero ... En fin, siempre hay salida: si el examenhace con los apuntes encima de la mesa, entoncesaumentan las posibilidades de descargar de buro-cracia un actividad burocr tica donde las haya.Tambi n mediante la correcci n posterior, claro.

Me voy. Est bamos en que llegamos al ltimoexamen. Qu hizo Alberto? Inevitable: lo de siem-pre. Pero en su limpia hoja aparec a una breveexplicaci n de uno de los problemas y la soluci n Fig. 1

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—``s lo la soluci n!!— del que hab a resultado m s dif cil a toda laDe hecho, nadie lo termin bien, y la mayor a prefiri centrarse en ode aspecto m s burocratizado. Veamos el problema:

Zigzag vertical

Qu superficie tienen los picos rayados?Cu l es la distancia entre A y B?

[Trabaja sin calculadora, please. A ver quse te ocurre hacer ...]

Hab amos dedicado tiempo a medir superficiescontando cuadritos en la trama cuadrada y a calculardistancias construyendo un cuadrado sobre ellas yobservando su superficie para despu s extraer la ra zcuadrada1. Pretend a con ello recuperar algo del senti-

do com n que se pierde al aplicar burocr tica y pre-maturamente las distintas f rmulas —por ejemplo,recordar en qu consiste medir una superficie— y pre-parar el camino para (en este caso) recordar el teoremade Pit goras. De hecho, despu s de haber tenido oca-si n de recurrir a l para resolver varios problemas, yoesperaba que aqu hubieran hecho algo parecido aaplicarlo en el tri ngulo ABC. ComoAC=1?5 y

CB=0?5 , ped a yo ir nicamente que no emplearan la calculadora,porque sab a de las resistencias que hab an puesto a operar con radi-cales.

Pero mis previsiones se fueron abajo. Es cierto que cuando inven-t el zigzag me preguntaba si no ser a una situaci n muy complicada .no por su resoluci n, sino porque no es el tipo de enunciados que lesguste, —aunque hayan tenido ocasi n de ver otros semejantes— a alum-nas y alumnos funcionarizados. S lo contest Alberto, pero su respues-ta —``correcta!!— era un lac nico.

1 Como en la figura 2 del art culoQu matem ticas son coeducativas?.

5

Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

Fig. 5

Al d a siguiente, mientras coment bamos en clase los di-tintos problemas, le ped que fuera a otra aula. All , l solo, tehora para explicar por escrito c mo hab a llegado a su. Adem s,esta vez no ten a escapatoria: seguir a all hasta que escribieragust mucho su redacci n, con esos dibujos y esas graf as que meresultaron muy delicados. Como quiz s no se entienda su letra, exp-dr aqu los pasos de su razonamiento.

- Si lo que indica la flecha(fig. 1)es , cada lado del cuadra-

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ME LLAMO BALA RASTREADORA

I

`Un caso dif cil para Bala Rastreadora! Empec a re rme en la s p-tima vi eta y ya no pude parar hasta el final. Este entrelazado tempode la realidad ficticia del detective-alumno y la realidad-f sica decliente-profesora deber a figurar en cualquier tratado de pedagog a.lo largo de cuatro tiras m s, el investigador privado rastrear un n-ro que resuelva su caso y que finalmente encontrar en el archivonum rico de su despacho: 1000000.

Pero, por qu la risa (mi risa, la tuya, si se ha producido)? Ponos han mostrado el contraste de mundos en que se encuentran Calviny la dama persuasiva . En un aula normal, una escena como la de vi e-ta siete ser a valorada como un descaro intolerable por parte de un malumno. En la realidad de la escuela, ste no dispone de la ayuda queen la ficci n del tebeo le proporciona un gui n que, si no toma partiexpl citamente por l, al menos explica que en ese momento seencuentra muy atareado. He cometido ya un desliz en el primer p rra-fo: llamar realidad ficticia a la que ocupa en un determinado momen-

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to la mente de Calvin. Desde la ideolog a cientista en la que estainmersos, lo que no es directamente tangible es despreciado.

Calles mojadas, como sin duda lo son las que conducen a la re-puesta de un problema de matem ticas. Y preguntas clave:qui neseran esos fulanos?. No anda mal encaminado el dibujante: la psicolo-g a del aprendizaje hace tiempo que advierte que no es did cticame-te eficaz plantear problemas descontextualizados. Recuerdo una sig-ficativa conversaci n con un curso de alumnos y alumnas del anteri1… de bachiller (15 a os). Les ped algo as como quebuscaran todoslos puntos que est n a igual distancia de dos puntos dados, A y BPuesbien: como mucho, localizaban el intermedio entre ambos. Una felizintuici n me hizo cambiar la pregunta:

Luisa ha hecho su casa en este sitio(marco un punto L en la piza-rra)Antonio en este otro(marco un punto A).Ana quiere hacer la suyaen un lugar desde el que le cueste lo mismo ir a casa de cualquiersus dos amigos.

Ten an quince a os, s , bastantes m s que Calvin. `A los cincominutos todo el mundo hab a dibujado la mediatriz! Acaso los adultosno so amos —en especial en conferencias o en cursos de formaci n queno nos interesan lo m s m nimo— convirti ndonos en cosas m s rid cu-las que un detective de novela por m s que est n socialmente m s con-sideradas?

No he forzado en absoluto mi defensa de Calvin. La aventura de BaRastreadora, en las condiciones en que est descrita, tiene que ver cenorme e inmoral desd n de los sistemas educativos ante las realidadesociales, psicol gicas y afectivas de alumnas y alumnos de todas las-des. Por eso su fuerza transgresora y reivindicativa.

II

He pasado esta historieta en varios cursos de ESO (3… y 4…) y dede bachillerato. Por lo general, no se reconocen en el personaje y mepiden que se la explique. Quiz s la huida enso adora de los adolesce-tes no tiene tintes tan novelescos?Acept moslo. Pero tengo conjeturasm s inquietantes. Es posible que la preocupaci n por la nota haya ll-gado a un punto tal que ni siquiera les permita so ar en no hacer unproblema ... aunque luego haya realmente quienes no son capaces deello, ya sea por su dificultad o por la inercia paralizadora acumuladlos a os, tanto respecto a las matem ticas como ante el trabajo engeneral. Es posible tambi n que el aumento de las exigencias de sumi-si n al sistema para poder progresar en l reduzca la capacidad paracaptar la iron a.

Es posible que, m s que alumnos y alumnas Calvin, sean necesa-rios con urgencia profesoras y profesores capaces de transmutarse enBala Rastreadora.

61

LA CONVINCENTE FUERZA DE LA IMAGEN 1

Abro uno de aquellos libros de tapas duras, texto apretado yaspecto austero, y abstracto y atractivo dise o en su portada, de-torial Mir. Encerraban mucha sabidur a matem tica. En este caso setrata deV. Lidski y otros: Problemas de matem ticas elementales.Lode elementalesdebe ser porque fueron propuestos a los graduadosde las escuelas secundarias en los ex menes de ingreso al InstituF sico — T cnico de Mosc2. Le do esto, el t tulo resulta casi ofensi

para lectores y lectoras —si se pueden emplear estas expresiones-p sito de un libro de problemas de matem ticas— espa oles.

I

En el cap tulo de trigo-nometr a encuentro al azar unenunciado de aspecto tolera-ble. El problema n mero 551dice:

Demostrar que

A qui n se le ocurrir n estas cosas? Pero el caso es que ta1/2 como el /5 resultan atractivos, as que pienso un poco: puesque /5 es 36…, estamos ante una relaci n entre los cosenos de 36…72…. Si dibujo un pent gono regular y otro estrellado con el mismo-tro, tendr una abundante colecci n de ngulos con estos dos valorEsto se anima.

En la figura 1, DBC=36… y ABC=72…. Est n juntos y podr a co-

621 Publicado, junto con la primera parte del cap tulo siguiente, en el n mero 45 de-

ta SUMA (febrero 2004).

Fig. 1 Fig. 2

63

parar sus cosenos en los tri ngulos que resultan al trazar la vertica(fig. 2), pero las hipotenusas son diferentes y perder una demostracvisual. Ser posible conseguir tanto? Para empezar, tengo que elegiruna unidad. Me decido por el lado: BC = 1. Tiene la ventaja de que esun 1 que lo puedo colocar en muchas posiciones. EC y FE, por ejemplo,tambi n valen 1 (fig. 3).

Se trata ahora de observar con cuidado. No creo que me sirva demucho el 1 de FE. M s interesante me parece que FA =1, porqueAFE=36…. `Ya est !, ya tengo el primer sumando. En la figura 4 se pue

ver que .

Para puedo tener en cuenta que AFC=72… y FA =1, pero

aparecer en el segmento FC. C mo compararlos? Ya veremos;

de momento dibujo (fig. 5). `Est n casi juntos! y

.

Bueno, no es tan dif cil ponerlos sobre la misma recta. Lo puedo

Fig. 3 Fig. 4

Fig. 5 Fig. 6

64

hacer mediante unacircunferencia de centro F y radio FH (fig. 6).

manera que .Quiere decir esto que el segmento JG

deber ser 1/2.`Y s , ciertamente lo es! Est claro (fig. 7).

Est claro? `Alguna garant a habr que buscar! Veamos: si eldel pent gono regular es 1, su diagonal mide el valor del n mero

. Como QP =1 (fig.8), entonces FQ =Φ -1 y su mitad (FQB es

is sceles) es justamente cos 72…, como puede comprobarse con la ca-culadora.

II

Voy a las soluciones y miro a ver c mo demuestran los autoreslibro y —supongo— los candidatos a estudiantes del Instituto F sicT cnico de Mosc , que la diferencia entre los cosenos de 36… y 72justamente 0«5. No me resisto a incluir su argumentaci n.

Parten de la f rmula , para expresar

como . Multiplican esta expresi n y la divide

por , y emplean la f rmula de sen2α para llegar a

Como , y ,

concluyen que el resultado es 0«5.

Fig. 7 Fig. 8

`Flipante! Un ejercicio de estilo que demuestra pero no convencede nada. Puro formalismo desprovisto de significado. Me temo que nohabr a sido admitido en el Instituto F sico — T cnico de Mosc .

III

Al comienzo de este escrito he ironizado alpreguntar a qui n se le puede ocurrir que la dife-rencia entre los cosenos de 36… y 72… es justamen-te 0?5. La sorpresa, m s que la iron a, me surge cadavez que abro un libro de problemas de matem ticas,motivada por esos infinitos listados de igualdades yejercicios descontextualizados.

Pues bien: en este caso es posible saber que laigualdad en cuesti n se re-monta, por lo menos, alsiglo X. Probablemente figurara en alguna obra de Abu-l-Wafa, comouna etapa en el camino hacia el valor de . En el apartado que G.Gheverghese Joseph (La cresta del pavo real. Pir mide, 1996) dedica ala trigonometr a rabe se puede ver otra construcci n para llegar a e(p gina 459). Gheverghese incluye el dibujo en su texto sin explicarc mo se obtiene el resultado. No s si Abu-l-Wafa lo ver a o recura semejanzas de tri ngulos a partir de las cuales conseguir el 0?5 dediferencia entre los cosenos, pero su tri ngulo permite verlo .

Si AB = 1, entonces AD = CD =1, yCA = . Adem s, BP = , luegoCB = .

As pues, .

Si se gira la figura de manera que el tri ngulo se apoye en CA,se observa que es el mismo tri ngulo is sceles FAE de la figura 3; peahora hemos tomado como unidad su lado peque o. Todo esto, endefinitiva, no son m s que variaciones sobre el hecho de que

.No creo que Abu-l-Wafa siguiera esta argumentaci n, pero me

temo que tampoco la del Instituto F sico-T cnico de Mosc .

65

66

`VEO EL SEN 2X!

I

Figuras 1 y 2: Una tentaci n habitual, , que se puederechazar con un simple contraejemplo num rico pero que es instruct-

vo visualizar. En la fig. 2 se ve que MS =< BT = senx .

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 2

Fig. 4

Fig. 5 Fig. 6

67

Figura 2:sen2x=2senx cosxquiere decir que la proporci n entreOA y OT = cosx es la misma que entre BT =senx y CT. Ciertamente,a simple vista, OT puede ser un 80% del radio en el ejemplo de la fig-ra, y CT puede ser un 80% de BT. Al multiplicarsenx porcosx lo esta-mos reduciendo en un 80%.

Figuras 3 y 4: Una intuici n: si giro el tri ngulo OBT un ngulox,el punto T coincidir justamente con el punto R. `Cierto!

Figura 5: Pero es l gico que as sea.

Figura 6: En PMR se ve c mo el factorcosx proyectasenx a la

direcci n vertical, convirti ndolo en. Por tanto,sen2x=2senx

cosx.Si, ya s que no he descubierto nada nuevo. Pero hace tiempo que

quer a visualizar —ver con mis ojos, de la misma forma que Santo Tomquiso sentir la llaga con sus manos— c mo el factor coseno evitaba laproporcionalidad 2 entre el seno de un ngulo y el de su doble. Hab avisto otras construcciones (por ejemplo, en Roger B. Nelsen3), pero que-

r a una que lo probara con el cuadrante que habitualmente dibujamosen clase.

S , ya s que no es m s que un caso particular de la que se suelehacer para demostrar la f rmula desen(x+y), pero me ocurre queahora, despu s de este caso particular, entiendo mejor la otra que, a-m s, no la hab a particularizado.

Qu por qu no lo hice? Porque ced a las tentaciones de ladeducci n: no era m s que un simple caso particular desen(x+y)quese obten a por aritm tica elemental.

A qui n le cuento que he tardado tanto tiempo en sentir experi-mentalmente la f rmula del seno del ngulo doble? Rebajar is por ellmi prestigio profesional?

Os acord is de Dieudonn y sus diatribas contra la trigonome-tr a? Los globalizadores1 act an siempre as , despreciando la belleza de

lo particular que queda anulada en sus construcciones te ricas. Perologeneral no existe m s que en lo particular, a trav s de lo particularytoda cosa particular es (de alguna manera) general2. Nuestra creati-

vidad did ctica, motivada por la ambici n intelectual y el atrevimiennecesita tanto de los esquemas generales en los que insertar nuestrotrabajo como de la inesperada belleza de la artesan a. Es m s: sin esltima, el riesgo de que aburramos es muy alto.

1 Ya sea en matem ticas, en did ctica o en pol tica.2 Lenin (con perd n).3 Roger B. Nelsen:Demostraciones sin palabras. Ed. Proyecto Sur. Granada, 2001.

68

II

El caso es que si se vesen2x, seguro que se ve tambi ncos2x.Lo supuse hace tres semanas, cuando escrib el apartado anterior,entonces no sent a —sent a es una palabra importante— que me fueraa resultar sencillo. Me paralizaba un poco el que en la igualdad p

cos2x,senx y cosx figuren al cuadrado. Interpretaba ambos sumandoscomo reas y, sin rechazar que fuera posible, no intu a c mo podrformar un tri ngulo rect ngulo cuya hipotenusa fueracosxy uno de suscatetoscos2x. Tres semanas despu s, trabajando con un grupo de 1…de bachillerato sobre las figuras anteriores parasen2x, se me abri lapista que ocultaba esta inconsciente y poco acertada interpretacisen2x aparece como un segmento en el tri ngulo PMR de la figura 6.

Sicosx proyectaPR=senx sobrePM , entoncessenx proyecta asenx sobreMR . As pues,MR=sen 2x. Lo que queda es f cil:OH (fig.7)

tiene que sercos2x para quecos2x=OS=OH-SH=cos 2x-sen2x . Pero es

claro, porque en el tri nguloORH se observa que cosx proyecta

Fig. 7 Fig. 8

Fig. 9 Fig. 10

OR=cosx sobreOH=cos 2x.

Cuando se la comento, mi amigo Carlos Us n me advierte queestaltima construcci n s que aparece en alg n libro de texto. Parece qutodav a quedan irreductibles que se resisten a abandonar la realidadgeometr a) como referente ltimo. Pero todav a hay m s. En la figuraqueda claro queSH=HA y, por tanto, . De

la frialdad del intangible c lculo simb lico[ ] a la calidez de lo evidente. Parece

claro, sin embargo, que para ver la tercera opci n [ ]

habr que a adir algunas l neas al dibujo ... pero no ser n tantas, p-que inesperadamente encuentro otra forma de visualizar aquello de

como una suma de segmentos en vez de una relaci n

pitag rica: ``OH+HA=1 !!. De manera que si marco el sim trico delpunto O respecto del segmentoRH, el puntoQ de la figura 9, resulta:

69

Fig. 11

Fig. 12 Fig. 13

Llegado a este punto reviso mis entusiasmadas conclusiones deapartado anterior: quiz s aburra en el aula si insisto en exceso p

camino. Pero ese ya no es el problema, la did ctica ha pasado a se-do plano. Necesito ver tambi n.

Empecemos desde el principio (fig. 10): ciertamente,. Si

duplicamostgx (segmento AL de fig. 11), encontramos la primerasrelaciones interesantes.PJes perpendicular aOP , porqueOJ es bisec-triz de 2x. As pues,PJ=tgxy el tri nguloPJLes is sceles. Lo sorpren-dente es que su lado distinto,LP, parece paralelo aOJ. En efecto,

70

Fig. 14 Fig. 15

Fig. 16 Fig. 17

, de manera que y, por tanto, .

Me hace falta un segmento equivalente atg2x, pero el caso ante-

rior decos2x ha servido para coger algo de pr ctica en la b squeda desegmentos cuya longitud sea el cuadrado de una raz n trigonom trica.La mediatriz dePL(fig. 12) me permite formar el tri nguloJAVen el quetgx proyecta aJA=tgx sobre la horizontal, con lo queAV=tg 2x. Para

construir1-tg2x trasladoAV al puntoO (fig. 13):AW=1-tg 2x.

Todo encaja ahora r pidamente. La prolongaci n dePL cae justa-mente en el puntoJ«(fig. 14) yWL es paralela aOG (fig. 15). En el tri n-

guloLWA queda claro que . En definitiva, es la

raz n de semejanza entre los tri ngulosOGA y LWA [o entreG«WV yLWA (fig. 16)].

Pero el paralelismo entreWL y OG me resulta todav a una intuici ncertera y no una seguridad, as que (fig. 17) no est de m s asegurarde que cuadran los valores de los ngulos.

`Qu trama tan perfectamente montada subyace debajo de unaf rmula un poco pasada de moda y que incluso en sus mejores recien-tes tiempos tampoco goz del privilegio de una especial consideraci n`Qu falta de respeto a la vida (s , creo que no exagero, que se pueddecir a la vida ; ya haremos las matizaciones filos ficas pertinenteel bar) si queda relacionada s lo con un desapasionado proceso arit-m tico!

III

71

Fig. 18 Fig. 19

72

OTRA VEZ SE OYE HABLAR DE VICTORIA 1

General, tu avi n es poderoso,vuela como tormenta y destruye la ciudad.

General, pero tiene un defecto:necesita un hombre que lo pueda pilotar.

Bertolt Brech

I

Febrero de 2003

Desde que tengo uso de raz n pol tica —la poca del golpe deestado en Chile— todos los presidentes norteamericanos se han emba-cado de forma directa en empresas militares sangrientas.Indirectamente, es decir, guardando con hipocres a las apariencias-males, han sostenido multitud de reg menes dictatoriales que han p-ducido aut nticas masacres entre su poblaci n. En los ltimos a osgrado de cinismo ha crecido exponencialmente; el de barbarie sigueconstante, pero el hecho de que su justificaci n forme parte de la-r a hace que la situaci n sea mucho m s dura.

Tomando como excusa el terror del 11 de septiembre, la invaside Afganist n se desarroll con el benepl cito de los creadores de-ni n convenientemente tolerados y mantenidos por el Poder. Nuestravidas, mientras tanto, siguieron su curso. M s agitadas, es ciertofuerte sensaci n de que el mundo giraba a peor y de que las consec-cias ser an imprevisibles a medio plazo, pero la rutina se mantuvoseguimos ocup ndonos de nuestros silenciosos intentos de microrrev-luciones did cticas.

Se supon a, se supone, que todo eso dejar un poso; que nuestposibilidades de actuaci n no dan para m s. Y es cierto: somos d by limitados. No podemos cortar por lo sano los ejercicios de barbadel Poder. Pero la pregunta es si, ante tanta agresi n a la vida,tanta cultura de la fuerza formando con el ejemplo, la publicidadpropaganda, las mentalidades de nuestros alumnos y alumnas, loslogros did cticos en el campo de la introducci n al lgebra —es undecir— sirven para testimoniar la necesidad de un mundo m s solidaA fin de cuentas, las ciencias, el pensamiento y la historia forma-bi n parte de las herramientas que utilizan ahora mismo los mediosadoctrinamiento —oficialmente de comunicaci n— para convencernos dla inevitabilidad del mundo real. Por qu suponer que un/a adoles-te asociar la belleza de la generalizaci n que ha desarrollado poma ana en un contexto num rico, o el disfrute de un poema de

1 La primera parte de este escrito se public en el n mero 78 deAULA LIBRE(marzo2003).

Cernuda —en el supuesto, claro est , de que tengan acceso a estas lin-dezas y no hayan sido absolutamente sometidos/as al chapapotedid ctico habitual—, con la posibilidad de imaginar un mundo mejor?Acaso era sana la ideolog a del ensalzado y exquisito Herbert vonKarajan?

El conocimiento, por s solo, no es suficiente para producir per-sonas solidarias. Necesita ir acompa ado de la explicitaci n de unasintenciones. Desde este punto de vista, nuestro silencio exterior antbarbarie, la potencia. La justifica, no porque la apoyemos directamen-te, sino porque al evitarla sin cr tica le damos de alguna manera elbueno. EnAm n , la ltima pel cula de Costa Gavras, un pastor protes-tante al que acude un SS alem n para testimoniar escandalizado sobrelas barbaridades que ha tenido ocasi n de observar, termina aconse-j ndole algo parecido a:Dichoso quien no ve lo que ocurre, porque asno se ve en la obligaci n de actuar.

Imagino una situaci n posible dentro de un mes. EEUU ataca Irakla misma semana en que planteo a mis alumnas/os de 4… ESO un atrac-tivo problema: colocar en forma de cuadrado m gico multiplicativo los16 divisores de 216. Supongamos adem s que la propuesta generaentusiasmo. Es razonable que mi trabajo en el aula contribuya de estmanera a alejar la atenci n de un tema mucho m s importante? Estico este encierro en la torre de cristal de los n meros? No sacarmayor provecho (humano) si optara por dar testimonio de mi oposici na la barbarie? Aprender/ense ar a pensar: de acuerdo. Pero, para qu

En cualquier caso, ser dif cil, muy dif cil, dar testimonio. Cadvez lo es m s. El peso de la rutina diaria es demoledor; tambi n lo esoledad. La soledad del lector o lectora de fondo a quien el peri dicinforma del poder destructor de una cualquiera de las bombas termo-b ricas lanzadas sobre Afganist n. La soledad de quien escucha en laradio la sorprendente declaraci n de un alto cargo norteamericano enla que afirma que llegado el caso emplear n armamento nuclear. Lasoledad de quien se pregunta hasta d nde haremos dejaci n de res-ponsabilidades? Hasta d nde les dejaremos? Existir alg n tope?Probablemente no. Esa es una de las lecciones de la pel cula de CostaGavras, quiz s por ello menos publicitada que otras que apelan m s alsentimiento.

Cuesta mucho decir que NO en solitario.

II

27 — III — 03

Les preocupa la guerra. Les preocupa honradamente. Esta noche

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74

ROMBOS CRUZADOS

La vieja pol mica entre partidarios de la raz n o de la expercomo fundamento del conocimiento humano, siempre renovada en eltiempo con los ropajes propios de cada poca, me parece fascinanteCreo en las s ntesis, pero son posibles porque existen dos polos elos que se produce la chispa. La clase de matem ticas es un buenobservatorio para comprender la necesidad de ambas aportaciones ydebilidad de una pr ctica basada en el uso exclusivo de una de ellPero para poder observar algo, claro, tiene que haber di logo.

I

Propuesta de trabajo para un grupo de 4…ESO:

Los dos rombos de la figura se cortan for-mando un oct gono. Puedes dar su per me-tro y su superficie?

- Describe el oct gono. Di todo lo que seocurra sobre l.

- En particular: Cu ntos ejes de simetr atiene?

- Calcula el radio de su circunferencia in-crita. [[[Pregunta tonta: por qu no te pidode la circunscrita?]]]

En los escritos que recog , aparecieron varios m todos para o-

ner el lado y la apotema del oct gono. Afortunadamente hubo variac-nes. Digo afortunadamente porque me parece una muestra de que sesienten libres a la hora de resolver un problema. Esta libertad la

Fig. 1 Fig. 2

peleando contra s mismos/as, desde luego, pero es cierto que noentran en la batalla si desconf an de ti, as que tambi n la siento cuna conquista m a. Selecciono algunas ideas.

Mikel Calle utiliza la semejanza entre los tri ngulos A«OT y A«OD(fig. 1):

Propone tambi n (fig. 2) que el lado del oct gono mide

porque se ve en la cuadr cula: . Para poder verlo

hizo una ampliaci n de la figura 1 hasta que el punto S coincidiera cun v rtice de un cuadrado de la trama (en fig. 2, sin embargo, he red-cido el dibujo).

Alejandro Escuer, por su parte, coloca un sistema de coordenadasen el punto O (fig. 1). Entonces la recta AS tiene de ecuaci ny=-3x+3; y la recta A«D,y=-1/3x+1 . Su corte est en el punto (3/4, 3/4), loque confirma la conjetura visual de Mikel.

Pilar Jarn dibuja un oct gono regular (emplea comp s) y hace unalarde de virtuosismo calcul stico a partir de sucesivas aplicacionesteorema de Pit goras. En realidad, nadie ha dudado que el oct gono seregular, pero en los razonamientos anteriores no ha influido esta sup-sici n. Es despu s, al utilizar los datos obtenidos para calcular el-metro o la superficie cuando han echado mano de ella. Pilar lo ha hecdesde el principio.

Fotocopio los tres trabajos para que todos/as puedan compartir-

los, y les aviso que queda un problema pendiente: el oct gono no esregular. La mayor a sigue sin haberse convencido de ello al d a sigui-te. Por mi parte, preparo una transparencia con tres ampliaciones defigura. Hay que tener en cuenta que si OA« = 1, entonces `OS =1«06066!, de manera que para dar opciones a la vista hay que agran-dar el dibujo.

75

Fig. 3 Fig. 4

Diego Bened y Alberto P rez advierten (fig. 3) que A«PC«R estorcido respecto a la vertical com n a A«P y C«R que, adem s, no emediatriz. Mikel razona (fig. 4) que si D«N = 1, entonces SV =, con-

clusi n correcta a la que ha llegado observando su dibujo ampliadoComo no dispone de una transparencia, indica a sus colegas que rod-en una de las mesas y se lo explica sobre el papel.

Comenzamos entonces una interesante conversaci n sobre ladiferencia entre pol gono regular, equil tero y equi ngulo. Pensamqu ocurre en el campo de los cuadril teros y de los tri ngulos, yobservamos el oct gono del problema para mirar cu ntos ejes de sim-tr a tiene. Terminan volviendo a sus pupitres para dibujar oct gonequi ngulos con cuatro y dos ejes de simetr a.

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77

ONCE A OS DE VARIACIONES SOBRE UNA VIEJA IDEA

La creatividad (...) no consiste en la persecuci n de la «granidea«, sino m s bien en dejar —como dice Hofstadter— que la mente sigsu camino de m nima resistencia, porque es cuando se siente m s rela-jada, menos forzada, cuando es m s probable que sea m s creativa. (..

Ese camino de m nima resistencia suele ser el de hacer «variacio-nes sobre un mismo tema«. Hay as una cierta naturalidad en el proce-so creador: la percepci n, los conceptos, las categor as se entremezcinconscientemente y de cuando en cuando llegan a relaciones que no sehab an establecido con anterioridad .1

Hace once a os que la que entonces llam figura interesante2 —el

motivo de la figura 1— ha sido uno de mis temas recurrentes, tanto enconversaciones con alumnos y alumnas como con colegas. `Es una minapara plantear problemas! El curso pasado decid hacer los rombos m salargados, y la redacci n del art culo anterior —en el que he comentael juego que este nuevo dise o de la figura 2 dio en la clase de 4…

con preguntas que iban en la misma direcci n que las que hab a utili-zado otras veces con la figura 1— fue una buena ocasi n para, compa-rando los dos modelos, continuar la b squeda de variaciones sobre estviejo tema.

Si nos dejamos llevar ingenuamente por curiosidades num ricas,hay alg n cambio atractivo. En la figura 1, la parte rayada y el oct-

1 Francisco Hern n:Variaciones sobre un cuadrado .En La Alhambra, n mero mono-gr fico que la revista EPSILON dedic al palacio nazar . La segunda edici n (Granada,1995) corri a cargo de la S.A.E.M. Thales.2 Angel Ram rez:Una figura interesante .En el n mero 11 (enero de 1992) de la revistaSIGMA, editada por el Departamento de Educaci n del Gobierno Vasco.

Fig. 1 Fig. 2

no son cada uno la tercera parte del cuadrado total, con lo que squeda dividido en tres zonas de igual superficie. En fig. 2, el oces la sexta parte del cuadrado total y la parte rayada el doble de-gono, de manera que entre los dos rombos ocupan la mitad del cua-drado. Pero el oct gono de fig. 2 tiene s lo 1/8 m s de la superfioct gono de fig. 1.

Al cambiar de la figura 1 a la figura 2, el lado del cuadradoencierra los rombos ha pasado de 2a 3 , y dentro de este segun-do cuadrado hab a dos posibilidades para construirlos rombos. Pod amos haber elegido el punto B««(fig. 3) en lugar del punto B«: el nuevo modelo es elde la figura 4.

Qu ocurre con las superficies anteriores? Secomplican: el oct gono de fig. 4 es m s de la mitaddel cuadrado (16/30), y la parte rayada la mitad deloct gono (8/30 del cuadrado). Al resto le queda s loel 20% del cuadrado.

No es dif cil medir estas reas. Hay un m todo que, con lasvariantes necesarias, se puede adaptar para todos estos casos. Sitri ngulo gris claro (fig. 5) tiene de superficies, el tri ngulo blanco

78

Fig. 3 Fig. 4

Fig. 5

79

tiene2s, porque su altura es la misma pero la base del blanco mide eldoble. El tri ngulo gris oscuro ocupa lo mismo que el blanco, y entredos hacen un cuarto del oct gono que ser equivalente, por tanto, a16s.

Adem s, los tres tri ngulos forman otro cuyarea es 3. As pues, (s es el 60% de un cuadradito dela trama). Ahora podemos obtener con comodidadtodos los datos anteriores.

Pero, sobre todo, me atraen las flechas rayadas de la fig. 4. Sonlas m s estilizadas de todas las que hemos dibujado hasta ahora.Eliminemos los puntos y coloreemos todo uniformemente. Incluso gire-mos el dibujo a ver qu resultado se obtiene.

Me siguen maravillando los distintos efectos est ticos que se pro-

ducen al modificar las condiciones de un dise o, aunque el nuevo man-

tenga las propiedades geom tricas del primero; o, simplemente, al-biar su posici n. Volvamos a las puntas de flecha. Eliminando el c-

do y gir ndolas 45… resultan dos variaciones inesperadas.El pol gono central tiene 16 lados y seguro que es interesant

Adem s disponemos ya de una bater a b sica de preguntas. Pero quipiensa en eso ahora? Nos domina en este momento el atractivo de la

forma, superior —me parece— al de la medida. Hay juegos elementaleque no por repetidos han perdido capacidad de divertir. Las cuatro-chas de la fig. 4 tienen, en conjunto, las propiedades de simetr acuadrado. En los dibujos siguientes aparecen coloreadas de forma qcompletemos todo el cat logo de posibilidades si las vamos elimina-do paulatinamente.

I y II con dos ejes de simetr a, como un rombo o un rect ngult rminos t cnicos, la estructura que les corresponde es el grupo d-co D2.

III y IV con un eje de simetr a, como una cometa o un trapeciis sceles.

V y VI con s lo el centro de la figura como centro de giro de4 de orden 2 (grupos c clicos C4 y C2 ), equiparables a un molinete de

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81

LOS DATOS SENSIBLES Y LOS SILOGISMOS DE LA RAZ N

C mo voy a confiar en los datos sensibles cuando el m s segu-ro es el que procede del sentido de la vista y siendo as que esta (.mira a una estrella y la ve peque a, del tama o de un dinar, pero lasdemostraciones geom tricas prueban que es de un tama o mayor queel de la Tierra?

(...)No me veo en sue os dando cr dito a una serie de cosas e ima-

ginando situaciones, crey ndolo todo firme y decididamente, sin dudary luego cuando despierto me doy cuenta de que todas aquellas cosas alas que daba cr dito no tienen ning n fundamento ni valor? Qugarant a tengo de que todo aquello a lo que doy cr dito por medio delsentido o de la raz n estando despierto, sea verdadero en relaci n alestado en el que estoy ...?1.

I

Ofrecen tantas ocasiones las matem ticas para dudar delos datossensiblesy los silogismos de la raz n2 que, a riesgo de ser reiterati-

vo —ya hemos visto el caso del oct gono no regular enRombos cruza-dos—, incluyo a continuaci n algunos ejemplos que me agradan espe-cialmente y mezclados con otros que han aparecido en clase en los lt-mos d as.

El tri ngulo de la figura 1 parece equil tero y si empleamos un

comp s o una regla para comprobarlo dar n el visto bueno a esa intui-

1 Algazel:Confesiones: el salvador del error .Alianza, 1989. La apuesta por su libertadde pensamiento condujo parad jicamente a Algazel (1058 — 1111) —al no encontrar nadaen que asegurar con certeza sus conclusiones— al camino de la m stica. Pero el comienzode este libro es un precioso canto a la indagaci n personal.2 Datos sensibles ; silogismos de la raz n . Cojo de Algazel las dos expresiones.

Fig. 1

ci n visual pero, en realidad, sus lados miden 8 y =

8«062257748.... . Es equil tero en un taller de carpinter a, peroel mundo de los objetos plat nicos de las matem ticas. [Dicho estoltimo, reviso este p rrafo: qu quiere deciren realidad?]

Ahora en trama triangular. El tri ngulo ABC de la figura 2 parect ngulo, pero no lo es por muy poco: el ngulo en B mide 90«2…

fuera de 90… deber an ser iguales BH y HC, puesto que AB = BC, perBH = 9«5 y HC = 5?5=9?526279.... Nunca coincidir n dos distanciasdefinidas por puntos de la trama si corresponden una al eje AC y o

al eje BH, porque en el primero la distancia entre puntos es m ltiy en el segundo son n meros enteros. ABC es is sceles pero no r-

t ngulo.Ni el cuadrado se lleva bien con la trama isom trica ni el tr-

lo equil tero con la trama cuadrada. El conflicto surge porque en-lidad f sica s pueden hacerlo, y es necesario un ejercicio de volpara aceptar la posibilidad de que la apariencia material ofrezcaenga oso. De hecho, los alumnos y alumnas de Secundaria no suelenentender en un primer momento por qu su profesor se empe a en lle-var la contraria a la regla graduada.

El tri ngulo de lados 7, 11 y 13 no es rect ngulo, por m s qudibujarlo con regla y comp s quede como muestra la figura 3. El n-

82

Fig. 2

Fig. 3

83

lo entre los lados de 11 y 13 unidades mide 89«6…, y

Si en un primero de bachillerato tecnol gico no recurren al teorema dPit goras y aceptan el enga o del dibujo, podemos limitarnos a lamen-tar el bajo nivel acad mico etc. etc. —en la misma direcci n argumentque las ministras y las personas oficialmente de orden— pero quedarseah es una muestra de tosquedad similar a la de suponer que el tri n-gulo es rect ngulo. Es quedarse en lo superficial, en lo visible; emp-mo burdo. Indudablemente conocen Pit goras, y si no lo utilizan en escaso como prueba de lo que la vista sugiere, si ni siquiera se planteesa elemental norma de prudencia, el problema no es solamente el bajonivel acad mico sino sobre todo la falta de esp ritu cr tico y el des-r s que el sistema escolar les ha inculcado. Forman parte del curr cu-lum oculto, ese que la burocracia educativa no detecta porque est deacuerdo con l aunque sus publicaciones digan lo contrario. As se leha acostumbrado a trabajar. Temas desconectados entre s y separadosde forma disjunta en cap tulos distintos, desinter s por la calidad dresultado, etc., etc. `Diez a os de adoctrinamiento metodol gico nopasan en balde!

II

Los t picos problemas de geometr a anal tica son un excelentecontexto para este tipo de discusiones. Pero no s lo para dudar de lodatos sensibles sino tambi n para cargarlos de significado. Veamos unenunciado t pico:

3 De nuevo el recuerdo de Descartes. La cita completa en el cap tuloLa b squeda de unlenguaje.4 Por cierto, un libro recomendable.D. Kletenik: Problemas de geometr a anal tica. Ed. Mir.Mosc , 1979.La colecci n de problemas es excelente, y nada impide enfocarlos como acada cual le parezca.

Fig. 4

El punto A(2, -5) es el v rtice de un cuadrado, uno de cuyosest en la recta r: x — 2y — 7 = 0. Calcular el rea de este cuadr

Desde luego, se puede buscar la perpendicular a la recta r popunto A, hallar el corte entre ambas y obtener el lado del cuadradincluso aplicar la f rmula de la distancia de un punto a una rectaello sin dibujar nada en absoluto —para no fatigar la imaginaci n3—, en

un n tido papel en blanco, sin cuadricular. Es decir: m todos sercomo corresponde a un enunciado serio recogido de un libro seri4.

Pero, por qu no obtener la respuesta experimentalmente, dibujandEntonces (figura 4), el 5 que se obtiene queda dotado de sentido.

Pero, c mo interpretar ahora que se sorprendan —tambi n en p-mero de bachillerato tecnol gico— si, en el caso de que hayan actucon seriedad , se les pide que busquen d nde est el 5? Y de quesorprendan m s todav a al encontrarlo? Las explicaciones al uso norecurrir n esta vez al bajo nivel ... Es el pernicioso curr culumque propicia, al ser sistem ticamente aplicado durante a os y a osdescuido empirista de los ejemplos anteriores y el alejamiento ide-ta —en sentido filos fico— de la realidad en este ltimo.

III

En la novela Los se ores Golovliov del escritor ruso SaltikSchedrin (1826 - 1889) aparece el siguiente fragmento:

Porfiri Vlad rimovich est en su despacho escribiendo cantiden hojas de papel. Trata de saber cu nto dinero tendr a si los cierublos que le regal su abuelo al nacer, en lugar de ser gastadosmadre hubieran sido depositados en la Caja de Ahorros. Sin embargoel resultado no es muy elevado: ochocientos rublos

Imagina a Porfiri Vlad rimovich. Intenta encontrar una respuerazonable a estas dos preguntas: Cu ntos a os tiene Porfiri? A qinter s habr an estado colocados los cien rublos en la Caja de Aho(Ten en cuenta que las entidades bancarias son m s bien r canas)

Una idea de Perelman6 a la que quit su ltimo dato: los 50 a os

que propone en su enunciado para Porfiri en el momento del c lculoPretend a abrir el problema para que llegaran a una funci n expone-cial, y que realizaran una valoraci n de las posibles soluciones p-gir la que a su juicio era la m s razonable (de ah mi advertenciala

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6 Y. Perelman:Algebra recreativa.Ed. Mir. Mosc , 1978. Se sigue editando en Espa a porvarias editoriales. Otro excelente libro.

falta de altruismo de los bancos, para que no emplearan tasas de inte-r s altas).

Siempre me ha ocurrido lo mismo con este problema en 1… debachillerato. Aparecen tres desconciertos: ante una f rmula exponen-cial como representaci n de la variaci n de dos magnitudes; ante lapropia idea de funci n; y ante la petici n de elegir la respuesta porno viene determinada de forma un voca por las condiciones del enun-ciado. Diego aport un interesante trabajo en el que fall esta vez pno haber reflexionado sobre lossilogismos de la raz n.

Empieza buscando la sucesi n de capitales al acabar cada a o,suponiendo que la tasa de inter s hubiera sido del 10 %: 100, 110, 12133?1, 146?41............ El problema entonces es determinar entre quposiciones se encuentra en esa serie el n mero 800. Pero introduceaqu una simplificaci n:

Espero que se me perdonar por despreciar los decimales. Detodos modos, una moneda no se puede dividir en partes para queadquieran un valor m s peque o.

M s all del sorprendente alejamiento de la realidad que supone lconsideraci n de las monedas como algo que se divide materialmente entrozos para fraccionarlas, Diego ten a sin duda un motivo para su pro-puesta. Reconoci en las partes enteras de los primeros capitales anu-

85

les una progresi n aritm tica de segundas diferencias constantes,

100 110 121 133 14610 11 12 13

1 1 1

un tema en el que se sent a fuerte. Si hubiera seguido hasta el set rmino, habr a advertido que esa regularidad se rompe, pero olvidobligada prudencia ante las decisiones que se van tomando al inves-gar un problema y busc —en un proceso de agradable lectura— el t-mino general de su sucesi n:100+9?5n+0?5n2

.Lo igual a 800 y obtu-

vo dos soluciones: 29«1 y —48«1. Por tanto, la edad de Porfiri si-ro hubiera estado colocado al 10% ser a 29«1 a os. En realidad, laecuaci n 100Æ1?1n=800 da una edad de 21«8 a os.

Por m s que la divulgaci n oficial sobre la ciencia presente-boraci n de conjeturas y los silogismos como procesos as pticos, emuy influenciados por nuestra ideolog a, nuestra forma de pensar ynuestra afectividad. Supongo que en el caso de Diego, entre otrascosas, por el deseo de controlar el problema. Por mucho que nos em-emos, no es lo mismo la libre investigaci n que la que se efect a

aprobar una asignatura.

IVUn caso extremo de desvar o por alejamiento de la experiencia

por dejar sola a la raz n. Ni siquiera la llamada al orden del tig-ce conseguir efecto alguno. Ciertamente, qu se puede esperar detipo que puede creerse el capit n Spiff?

Despu s de comentar el trabajo de Diego —un escrito interesana pesar de todo— les pas estas dos tiras de Calvin. Sus risas fuerisas inteligentes: un buen dato para valorar aquella hora de clas

V

Tienen que aprender a dudar. Despu s de tantos cursos de recl-si n en el sistema educativo, con su servidumbre de obediencia cietienen que practicar la duda. Decidir por cuenta propia —sin el apla autoridad del profesor o profesora— y responsabilizarse de las-clusiones obtenidas, condici n necesaria —aunque no suficiente, escierto— para que se interesen por ellas.Tienen que aprender a dudarsupone, claro, que tenemos que proporcionarles ocasiones para ello

867 John Holt:El fracaso de la escuela.Alianza Editorial. Madrid, 1977.

87

EN EL REINO DEL INGENIO

No se empe en en ense arles a ni os o j venes el estudio dedistintas tablas de sumar, restar, multiplicar; en la memorizaci nmec nica de diferentes reglas y f rmulas, sino que, ante todo, acos-t mbrenles apensarcon placer y conciencia. Lo dem s se a adir conel tiempo. No molesten a nadie con c lculos y ejercicios mec nicos mulargos y aburridos.

Cuando a alguien le sean necesarios en la vida, los har por ssolo. Adem s ahora hay para ello distintas m quinas calculadoras,tablas y otros dispositivos.

Este es el final del pr logo que E. I. Ign tiev escribi para la-ci n de 1911 de su libroEn el reino del ingenio1.Hac a dos semanas que

en el grupo de 4… ESO hab amos discutido dos de sus problemas, peroel destello deslumbrante del ingenio se produjo en relaci n con variapreguntas normales convertidas en problemas abiertos por las condi-ciones en que las plant e (entre otras cosas, no conoc an la f rmulapara la suma de los infinitos t rminos de una progresi n geom trica draz n mayor que -1 y menor que 1).

Sumas de infinitos sumandos

Quiz s te parezca sorprendente, pero la suma de infinitos n me-ros puede no dar infinito. Empecemos por una pregunta f cil:

Busca ahora otras sumas parecidas. Puedes dar una f rmulageneral?

Justificarla es m s dif cil. Se te ocurre algo?C mo debe ser la serie para que tenga suma?

Esta fue la propuesta para una investigaci n individual en el aul(45 minutos). A pesar de que ten amos ya pr ctica en elaborar conjetu-ras mediante procesos inductivos, no result f cil la pregunta. Puestque la suma del enunciado da 0?1 y la conexi n con 1/9 s que la ten-an clara, esperaba que pasaran a igualdades como

(*). De hecho, Lorenzo lleg incluso a construir

, pero ya digo que fue una investigaci n

1 Editorial Mir — Rubi os 1860. vila, 1995.

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2 Se deben escribir estas cosas? Es igual, lo digo: si se hace directamente con fr1/x, la probabilidad de que s lo la entienda una sola persona de la clase es muy alCierto, cada curso es cada curso, pero se consiguen mejores resultados si se empiez

1/4 y se pide despu s que generalicen la demostraci n.3 Pensado a partir de los dibujos deAdrian Pinelen Progresiones geom tricas, unpeque o pero sugerente art culo inclu do enGeometr a. Matem ticas 8, (MEC. 1988)de la

complicada. Y es que se pueden cruzar muchas cosas en el camino. Pejemplo, hubo quienes recurrieron a la calculadora y no pasaron a-ci n los resultados de las sumas que obten an, con lo que quedabaimposibilitado el proceso de generalizaci n. Seis meses es poco ti-po para que todas las personas de una clase adquieran una experiensolvente como elaboradoras de conjeturas.

Aclarada la f rmula de Lorenzo al d a siguiente, quedaba el p-blema de su demostraci n. Pod a haber recurrido directamente a unrazonamiento del tipo

restando luego t rmino a t rmino2, pero prefer seguir dando vueltas al

agujero, con el siguiente problema3:

Espiralesa) Explica c mo se construir a el siguiente tri ngulo de la p-

ra espiral.b)Si el lado del tri ngulo inicial es 1, escribe el valor de

y las reas de los tri ngulos construidos en los pasos siguientesc) Qu parte del tri ngulo cubre la espiral completa ? Este-

tado se puede expresar mediante una curiosa f rmula ... ...d) Qu f rmulas corresponden a las otras dos espirales?

La f rmula que se busca en c) es, claro, la de (*), pero la s

(**)

pregunta molesta a la tercera, porque para que aparezca (*) hay quehacer un cambio de unidades. La unidad de superficie debe ser ahorael rea del primer tri ngulo que se divide en cuatro partes. Entoncesrea del primer tri ngulo rayado mide 1/4; la del segundo ser la cua-ta parte de este 1/4 (es decir, 1/42); y as sucesivamente. Como el tri n-gulo inicial contiene tres espirales, se llega a la igualdad (*).S lo Mikel intuy esto con claridad, despu s de alguna indica-ci n m a.

Pablo, por su parte, prefiri aprovechar otras ideas que hab an iapareciendo en clase. No hab amos visto ninguna definici n de l mite,pero s hab amos expresado con notaci n correcta la tendencia dealgunas sucesiones. En realidad, no hace falta ninguna indicaci n pre-via para dar el visto bueno a igualdades como

y hab an estudiado por su cuenta el l mite de an, conn→∞,seg n los

valores dea.Tambi n estaba disponible la f rmula de la suma de losnprimeros t rminos de una progresi n geom trica. A partir de estosingredientes, Pablo razon (empleo su notaci n y no incluyo todos loscasos particulares con los que trabaj ) de esta manera:

Es posible que haya quien considere que calcular doce resultadosparticulares es un atraso, evitable por el camino directo del c lculoletras, pero este atajo requiere seguridad experimental y eso es lo qestaba adquiriendo Pablo. Adem s, los decimales le produjeron algunasincomodidades: 0«25, 0?1 se asocian sin problemas con su quebradocorrespondiente, pero si la respuesta tiene que dar 1/7, esa conexi nse hace m s complicada. Finalmente expuso sus conclusiones:

Tengo ya suficientes ejemplos para ver que la suma de los infini-tos t rminos de una progresi n geom trica en la cual el numerador no

var a y el denominador es una serie de potencias es .

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De nuevo es posible que los/as amantes del rigor se molestenlas imprecisiones de la f rmula de Pablo: no conectn con r y, por

tanto, es evidente que, en lugar de hacer el c lculo ltimo, induj

de los casos particulares. Cierto, pero ello no reduce para nada e-r s y el atractivo de su b squeda.

Oficialic su m todo en la pizarra, corrigiendo las imprecisiempleando correctamente la notaci n de l mites, y probablemente de-arroll mi argumento de (**), pero no escrib algo as como. De

manera que cuando, unos d as m s tarde, volvimos a explorar el misterreno cada cual volvi a buscarse la vida como pudo. Salvo Pablopara algo hab a elaborado por su cuenta un m todo que hab a sidotransmitido a sus compa eros y compa eras pero que stos no hab anhecho suyo. El enunciado —olvidado entre otros tres m s desde hacdos meses— dec a lo siguiente:

Expresar 0?16 como suma de todos los t rminos de una progre-si n geom trica. Qu raz n tiene?

Entonces yo hab a imaginado que alguien podr a sugerir una re-puesta que no se ajustaba exactamente a la

pregunta: . Como ahora dispon an de otra

posibilidad: , cre que hab a propuesto sencilla-

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mente un ejercicio. Afortunadamente mis caminos no coinciden deltodo con los suyos, y ello permiti que aparecieran variantes.

Leticia debi decidir que ya estaba bien de no disponer de infor-maci n fiable (l ase oficial ), y busc en un libro el. Sin duda

es una buena capacidad esta de conseguir localizar la informaci n quese necesita en un determinado momento, pero hubiera preferido quehubiese intentado contruir algo con los materiales de que dispon a. Ecualquier caso, interpret con acierto, a partir de la f rmula, que hinfinitas maneras de escribir 1/6 como suma de una progresi n geo-m trica infinita. Eligi a1=0?1, con lo quer = 0«38125[ella trabaj con

0?16=16/99 en lugar de 1/6 =0?16 ].

Mikel, por su parte, estableci una conexi n inesperada y muyhermosa.

Consider que 1/6 es la tercera parte del rea del tri ngulo ini-

914 En un comentario en la secci n deportiva deHeraldo de Arag n.

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Epílogo

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HE PUESTO SOBRE LA MESA LAS VIEJAS BANDERAS ROTAS

I

Conjetura lanzada al aire de una clase de tutor a de 1… de ba-llerato:

Me parece que la mayor a est is aqu por uno de estos tres mo-vos:

- Quer is conscientemente disfrutar de un cierto nivel de co-didad material en el futuro.- En casa os han mandado. Es decir: en casa quieren que dis-frut is de ese nivel futuro de comodidad material.- Pasabais por aqu . Es decir: os hab is encontrado ante unbifurcaci n y, sin tener las ideas nada claras hab is elegeste camino.

Una mayor a casi absoluta dio el visto bueno a mi conjetura.

Las tres posibilidades tienen el mismo origen: una fuerte presocial que define ese curr culum oculto que marca a hierro a las a-les generaciones, seg n el cual se aprende —mejor dicho, se apruebcon un objetivo exclusivamente pragm tico.

Sin curiosidad intelectual, es posible desarrollar un procesense anza — aprendizaje efectivo? Es posible con esa presi n socisobre los afectos, la psicolog a y el origen social de adolescentej venes?

Una utop a posible —me parece— es que quien no quiera estudiamatem ticas, no las estudie. La finalidad de la ense anza no es pr-cir personas con la mente llena sino con capacidad para pensar cr-mente y para ser felices y solidarias. Y para conseguir esto no so-mente no son necesarias tantas matem ticas, sino que incluso puedeser contraproducentes. Freudenthal, el excelente matem tico holandpreocupado —rara avis— por la ense anza secundaria, opinaba que lcantidad de matem ticas que un adolescente debe estudiar es aquellque le sea til para desarrollarse como persona. Es decir: las mat-ticas al servicio de la persona y no al rev s. Como esta ley b sicrespeta, el sistema educativo, para poder funcionar, reparte un pimediocre y amorfo que se supone puede ser comestible por todos losest magos. Que proporcione una buena digesti n es otra cuesti n.

Quien no quiera, que no estudie matem ticas, s , pero recorda-

do que a pesar de ello tiene derecho a la educaci n. En Summerhill seatend a a todo el mundo. Eso es caro, por supuesto, pero el principalproblema es que choca con el objetivo fundamental de la organizaci nsocial: suministrar mano de obra no pensante para alimento del Mollocempresarial.

La nica utop a posible es cara, s , pero quiz s nunca hayamostenido a mano tantos medios para poder intentarla.

II

A qui n puede interesarle que adolescentes y j venes se ejerci-ten enla anarqu a entendida como responsabilidad? Al Poder, desdeluego, no.

A qui nes incluye la palabra el Poder ? En primer lugar, al podecon mico, y luego, en cascada, al poder militar y al poder pol tico.Probablemente, tambi n a las familias, al menos si no se les explicasignifica eso de la anarqu a y la responsabilidad. Es cierto que las-lias son el ltimo eslab n de control social de adolescentes y j venepero podr an estar de acuerdo con planteamientos que en principio seles escapaban porque, a fin de cuentas, les quieren. Los otros eslabo-nes, el poder econ mico, militar y pol tico, no les tienen ning n afey los/as contemplan como futuros componentes de la cadena social deltrabajo: t para aqu , t para all , en un proceso al que se intentatintes de apariencia dem cratica y de bienestar social.

Como profesoras/es, nuestro contacto con el Poder se establece atrav s del eslab n pol tico, as que volver a repetir, adaptada a esnivel de concreci n, la frase del principio:

A las administraciones educativas —centrales o auton micas— no leinteresa que adolescentes y j venes se ejerciten en la anarqu a enten-da como responsabilidad.

Con los tiempos que corren, de un conformismo por lo visto irre-sistible, quiz s parezca esta afirmaci n un exabrupto por mi parte.Ser a ya una suerte, pues supondr a que se ha interpretado como posi-tivo lo deanarqu a entendida como responsabilidad.Qu otra cosa vana querer ministras/os y consejeros/as que lo mejor para los/as adoles-centes? Pero si desconfi is de m pod is leer a Bertrand Russell1.

Claro, habr is mirado la nota a pie de p gina y habr is pensado:- Pero hombre de Dios, `ese est en el museo! All se le contem-

951 Bertrand Russell:Principios de reconstrucci n social.Espasa — Calpe. 1975 (primera edi-ci n en espa ol, 1921)

pla y se le rinde homenaje. Por qu ?, ... eso da igual, `no vamosahora haciendo caso a todos esos tipos!

Qui n me ha contestado? La ministra, el consejero, la delegel padre ...? `Espero que no haya sido la colega! `Qu triste ser

Porque no hay que perder de vista que otro contacto del Poderlos/as adolescentes somos nosotros, los profesores y profesoras. Ysi de forma burocratizada asumimos Su programa, odiaremos tambi nque nuestros alumnos y alumnas ejerzanla anarqu a entendida comoresponsabilidad.Y entonces nos parecer n bien todas las trabas quesibilinamente pone Su Poder o a que las aulas puedan intentar acer-se alreino del ingenio:programaciones, libros de texto, ex menes,leyes de calidad, .... y aumento de las ratios en las aulas.

Sus servidores incansables, planifican medidas destructoras daprendizajes comprensivos y creativos. Son medidas inmorales, perolas han convertido en legales y pretenden con ello dormir la preoc-ci n social. El ejercicio dela anarqu a entendida como responsabilidades caro, y prefieren desviar el dinero hacia otros asuntos. Lo dem`no les importa! No les importamos ni t , ni yo, ni los adolescent

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EJERCICIO DE PROSPECTIVA

Se acab . S , esta vez se ha acabado. No s d nde me encuentro,y no controlo bien la extra a geometr a del espacio en que me muevo.Tendr algo que ver con Lobachevsky? Ser posible que la curvaturasea realmente negativa? Claro que, para qu me intereso ahora poresto?

Sin duda es un intento de mantener la calma. Es un mecanismomuy natural.

Es San Pedro. Lleva raz n, y sab a que terminar a encontr ndolo,pero me ha sorprendido mucho que haya interrumpido de esta maneramis in tiles pensamientos. Va derecho al grano.

-Ya sabes lo que te voy a preguntar.-S . Pero supongo que a pesar de ello tienes que hacer el interro-

gatorio.-As es. Vamos a ver: por qu llevaste a tu hija primero a la

Escuela y luego al Instituto?-Sabes lo que voy a responder. Porque no me atrev a no hacerlo.-A pesar de que sab as lo que pasa dentro de esos sitios. A pesar

de que sab as que all se atentaba contra la obra de la Naturaleza in-tando eliminar la curiosidad y el libre pensamiento.

-S , a pesar de eso. Ya te digo que no me atrev .-Bien. No tienes coartada. Si hubieras sido, por ejemplo, notario

o hubieras trabajado en una gasolinera, no estabas obligado a conocerlas interioridades del sistema educativo. De momento, ir s al Infiern

-Ya me lo hab a imaginado. Pero, por qu has dicho de momen-to ?

-Te queda una peque a oportunidad. Parece que alguna vezescribiste un cuadernillo para Aula Libre. Lo revisaremos. Quiz s con-tenga alg n atisbo de coherencia.

- ...?- Por qu te sorprendes?- Sabes lo que iba a contestar, pero no el contenido de lo que he

escrito?-Nos interesan m s las personas que lo que escriben. Ya sabes:

por sus hechos los conocer is . Pero es verdad que tienes derecho aesta ltima posibilidad. De todos modos, esperar s en el Infierno.

No contesto nada. Doy la vuelta y me pierdo de nuevo en el vac o.El Infierno es probablemente esto, la condena a la soledad, al vac o

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T tulo: Fragmentos de un diario de clase.

Autor: ngel Ram rez Mart nez

Edita: Movimiento de Renovaci n Pedag gica AULA LIBREApartado de correos, n… 88 - 22520 FRAGA (Huesca)

Dise o portada:Mar a Jes s Buil Salas

Imprime:Imprenta Coso, s.c.

Dep sito Legal:HU-72-2004

I.S.B.N.:84 -923123-9-4

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Los “Cuadernos deAula Libre” nacen como vía deexpresión para quienes, con sus experiencias e investi-gaciones, tengan algo que aportar en la mejora de lascondiciones de aprendizaje de los alumnos y alumnas enla escuela.

“Cuadernos” se edita con la vocación inequívocade ser útil al colectivo de profesionales que trabaja día adía en su centro y se esfuerza por poner en prática meto-dologías alternativas.

En este octavo número se recogen experiencias yreflexiones de un profesor de matemáticas sobre su tra-bajo diario.