Aula 4Equação do RadarEquação do Radar

Capítulo 4 - Battan

Hipóteses Assumidas• O transmissor (antena) irradia a energia EM de forma isotrópica (todas as direções);

• A energia EM que retorna ao radar é proveniente de partículas esféricas de água ou gelo

LembreteLembrete: : Potência é energia por unidade de tempoPotência é energia por unidade de tempo

Radiação Incidente sobre a gota

Radiação espalhada isotropicamente pela gota

• A energia EM será espalhada em todas as direções igualmente

Antena

P

Para saber quanto de energia chega sobre a gota, precisamos calcular primeiramente o fluxo de EM que é irradiado pelo radar através da densidade de potência transmitida (S).

No nosso caso, temos que a densidade é a razão entre a Potência Transmitida (PT) pela área da superfície esférica que circunda o radar.

24 r

PS T

π=

r � distância do radar

Entretanto sabemos que os radares meteorológicos não irradiam energia em todas as direções, mas em ângulos sólidos pois utilizam antenas que concentram energia em feixes.

Logo, temos a concentração de energia ao longo de um feixe de radiação.

Em geral os radares meteorológicos utilizam antenas parabólicas

Neste sentido temos que definir o Ganho da antena o Ganho da antena (G) como sendo a razão entre a potência por unidade de área ao longo do eixo do feixe do radar pela Potência irradiada isotropicamente. (Valores típicosvariamentre 20 a 45 dB)

2πD

=2

log10λ

πDkG

G ganho sobre um a fonte isotrópica (dB)K é um fator de eficiência que pode variar entre 0,5 a 0,6D é o diâmetro da antena em metrosλ é o comprimento de onda em metros

Logo se tivermos um alvo a uma distância r do radar com uma seção transversal AT, temos que a Potência Interceptada Potência Interceptada (Pσ)pode ser expressa como:

AT

TT GAr

PP

24πσ =

Agora assumimos que o alvo não absorve nenhuma energia e ele re-irradia isotropicamente toda a energia recebida. Esta energia espalhada chegará até a antena do radar.

Assim definimos a seção transversal efetiva (Ae) da antenareceptora como:

Ae = ρAp

Onde Ap é a área física da antena e ρ é a eficiência da antena.

A partir de considerações teóricas para antenas circulares e parabólicas, temos que a área efetiva (Ae), o ganho (G) e a área da antena (Ap) podem se relecionar da seguinte forma.

Note que para um λλ fixo, um refletor grande produz um

πλ

4

2GAe = 23

8

λπ PA

G =

Note que para um λλ fixo, um refletor grande produz um ganho maior. Por outro lado, temos que para aumentar o Ganho de umaantena, basta diminuir o λ.

Combinando as duas equações acima temos:

Pe AA3

2=

22 44 r

AGA

r

PP e

TT

R ππ=

Portanto inserindo as características da antena, a Potência Potência Recebida Recebida (PPRR ) pelo radar é dada por:

I II III

PT

S

AT

I - distância II – área interceptada III – área recebida

Como a área efetiva da antena (AAee ) pode ser expressa em função do ganho da antena (G) e do comprimento de onda do radar (λ.), temos:

πλ

4

2GAe =

Re-escrevendo a equaçãp do radar novamente

222 AGPGPAP λλ === ( ) 432222 444444 r

AGP

r

GGA

r

P

r

AGA

r

PP TT

TTe

TT

R πλ

ππλ

πππ===

224364

λπ T

TR AG

r

PP =

Anteriormente, havíamos assumido que o alvo tinha uma seção transversal AT que espalhava isotropicamente.

No entanto não existem alvos meteorológicos que espalham isotropicamente, pois a potência re-irradiada pelo alvo depende de uma relação entre o tamanho da partícula interceptada pela onda EM e o λ da onda incidente (espalhamento frontal – Mie por exemplo).

Dessa maneira, temos que definir a seção transversal de retroseção transversal de retro--espalhamentoespalhamento(σσ) como a seção transversal de um espalhador isotrópico que retornaria a mesma potência para o radar como o alvo atual.

Emgeral temos queσ > AT

Uma definição alternativa paraσ:

A área a qual, quando multiplicada pela Potência Incidente (PI) dá a potência total irradiada por uma fonte isotrópica que irradia a mesmapotência na direção contrária (retro) que um espalhador atual.

222

444

r

PrSrP T

I πππσ ==

2444

rrSrPI π

ππσ ==

Área x Densidade

Então para um espalhamento simples temos:

esta equação pode ser aplicada para alvos isolados como a Lua,

IT

TT

R Gr

PAG

r

PP σλ

πλ

π22

4322

43 )4(64==

esta equação pode ser aplicada para alvos isolados como a Lua, Avião e uma gota de chuva.

Portanto podemos usar esta equação para “calibrar um radar uma vez que conhecemos as dimensões do Sol e da Lua e são fáceis de localizar no espaço”.

Além disso, temos que lembrar que o feixe do radar ilumina um volume (descrito pelos pulsos), que por sua vez dispõe de diversos alvos (gotas de chuva) que estão espalhando a energia individualmente.

Portanto, dentro de um volume iluminado temos a contribuição individual de diversas seções transversais de retro-espalhamento (σσII ) que retornam energia ao mesmo tempo para o radar, portanto:

Volume iluminado

Como as partículas se movimentam (gravidade e correntes ascendentes e descendentes), temos que a potência refletida pode variar no tempo.

Entretanto após um período da ordem 0,01 segundos o espalhamento aleatório destas partículas se torna independente.

Dessa maneira, temos que fazer uma média da potência recebida sobre um número grande de alvos, temos que:

Temposn.

onde a somatória é sobre o volume iluminado volume iluminado (Vm) que espalha de volta a energia para o radar.

( ) ∑=

=Temposn

tI

TR G

r

PP

.

0

22

434σλ

π

Se as partículas estão distribuídas uniformemente dentro do volume iluminado Vm, podemos normalizar a potência recebida pelo volume amostrado. Logo Vmé dado por

222

hrrVm

= ϕθπ222

onde r = distância do alvoθ,ϕ = largura do feixe da antena (radianos)(1-2 graus)h = comprimento do pulso emmetros (cτ/2)τ = duração do pulso (tipicamente 1 µs)

h

Portanto a seção transversal total de retroseção transversal total de retro--espalhamento espalhamento é o retroo retro--espalhamento por unidade de volume espalhamento por unidade de volume vezes vezes VmVm..

( )

( ) ∑

∑

=

=

=

=

n

tI

TR

n

tI

TmR

Gr

PhrrP

Gr

PVP

σλπ

ϕθπ

σλπ

0

22

43

0

22

43

4222

4

Sendo assim, podemos definir a a refletividade do radar refletividade do radar (ηη) como

ηη==ΣσΣσII , que tem unidades de {cm2/m3} ou cm-1.

( )

∑=

=

volumeI

TR

t

hGr

PP

r

σθϕλπ

π22

22

0

512

4222

Por outro lado, quando esta equação do radar foi utilizada sobre alvos conhecidos observou-se grandes desvios.

Posteriormente, verificou-se que estas variações eram devidas aos lóbulos da antena (principal e secundários) .

Esta discrepância foi explicada por Probert-Jones em 1962 que constatou-se que a Potência por unidade de área podia ser representada por um função gaussiana.

Dessa maneira, a equação do radar pode ser re-escrita novamente. Dessa maneira, a equação do radar pode ser re-escrita novamente.

∑=volume

IT

R hGr

PP σθϕλ

π22

22512)2ln2(

Efeito do lóbulo da antena

A largura do feixe da antena θ, é definida como ½ da potência = 3 dB fora do centro ou 10log2 ou uma largura de 6 dB

A largura do feixe da antena também é função do comprimento de onda e do tamanho da antena D

θ

Φ

θ = 1.27 λ / D (radianos)

θ = 73 λ / D (graus)

onde onde λλ é o comprimento de onda em cm e é o comprimento de onda em cm e D o diâmetro da antena em cm.D o diâmetro da antena em cm.

-50 -10 0 10 50

Padrão do feixe

Inte

nsid

ade

da

Rad

iaçã

o(d

B) 0

-20

-25

Ângulo for a do eixo

-30

-10θ

Lóbulo principal

A seguir temos que analisar como a EM interage com os

hidrometeoros

RetroRetro--Espalhamento de pequenas esferas de água Espalhamento de pequenas esferas de água ee gelogelo

Quando uma onda plana polarizada passa sobre um gota esférica, esta onda induzirá uma oscilação de dipolo elétrico (polarizam) e magnético na gota, uma vez que ela é um dielétrico.

Sendo que a energia incidente será repartida da seguinte forma: a) uma fração será absorvida pela gota na forma de calore a outra

b) será re-irradiada na forma de espalhamento com o mesmo comprimento de onda da onda (energia) incidente.

Dipólos

•Dipolos são induzidos como cargas livres e os momentos de dipoloassociados com cada molécula ficamalinhados com o campo elétricoincidente. incidente.

•As cargas do dipolo oscilamna frequência do campo incidente.

•A oscilação destas cargas produz um campo que é espalhado peloalvo. (Lembrem-se da da definição de uma antena de dipolo –transmissor)

Re-escrevendo o espalhamento de uma onda plana a partir da teoriaMie, temos que a seção transversal de retro-espalhamento de uma gota esférica pode ser expressa por:

onde aa� raio da gota e αα=2πa/λ � parâmetro de tamanho

2

12

2

))(12()1(∑∞

=

++−=n

nnn ban

a

απσ

onde aa� raio da gota e αα=2πa/λ � parâmetro de tamanho

an� coeficiente de espalhamento induzido pelo dipolo, quadrupolo, etc., magnético

bn� coeficiente de espalhamento induzido pelo dipolo, quadrupolo, etc., elétrico.

os valores de an e bn podem ser expressos em termos de funções esféricas de Bessel e Hankel como argumentos α e m. Onde m é o índice de refração complexo

m = n –ik

n � índice de refração

k � coeficiente de absorçãok � coeficiente de absorção

Interpretação Fisica de an e bn

O termo bn representa o espalhamento de cargas de dipolo que foraminduzidos pelo campo elétrico incidente.

O termo an representa o espalhamento pelo dipólo, quadrupólo (e etc) induzido pelo campo magnético.

Na região das microondas estes dipolos de carga estão associadoscom o momentode dipolopermanentedamoléculade água. com o momentode dipolopermanentedamoléculade água.

Estes dipólos e quadrupolos podemser visto como:

--

---

++

++

++

Obs. Dipolos, quadrupolos e etc, são resultados da polarização daradiação incidente emmateriais dielétricos.

Figura 4.2 ilustra a seção transversal de seção transversal de espalhamento espalhamento normalizada normalizada (σ/πa2) normalizada normalizada (σ/πa2) para esferas de água e gelo e para um λ=3.21 cm (banda X)

Note que para α muito pequeno, σ aumenta com α(entre 1 e 2)

A diferença entre a água e o gelo deve-se à constante dielétrica, onde:

Água é um espalhador mais eficiente do que o Água

Gelo

mais eficiente do que o gelo, pois a água cria um dipolo mais alinhado.

Para α > 2, σ do gelo é maior que a da água, uma vez que a absorção da água excede a do gelo

Água

O Comportamento de σ para α grande é altamente oscilatório, pois existe um espalhamento grande espalhamento grande na direção de propagação da onda que está associado a múltiplas reflexões da onda(espalhamento mie)

Transição entre o retro-espalhamento Rayleigh e Mie

A questão é saber qual o valor do parâmetro de tamanho α (2πa/λ) em que a aproximação Rayleigh é valida.

Gunn e East (1954) examinaram esta região a partir do cálculo da razão entre a seção transversal de retro-espalhamento Mie e Rayleigh δ=σMie/σRayleigh.Mie Rayleigh

Para esferas de água a 18oC e λ entre 0.9 à 10 cm temos que a aproximação Rayleigh é válida para α < 0.22 (D < 0,07 λ).

Neste intervalo, σ irá variar mais que 0.75 do valor preciso, o que representa 1.5 dB. De todas as maneiras σRayleighsubestima o valor verdadeiro de σ.

Para o gelo, entretanto, Ryde (1946), indica que a aproximacao Rayleigh para σ pode ser utilizada para α < 0.5 (D < 0,16 λ).ser utilizada para α < 0.5 (D < 0,16 λ).

Usando a aproximação Rayleigh, ou seja, αα < 0.22 (2< 0.22 (2ππa/a/λλ)) temos que o diâmetro máximo observado para diferentes radares é:

BandaBanda λλ(cm)(cm) Freq(GHz)Freq(GHz) < D(mm) observado< D(mm) observadoáguaágua ( gelo) ( gelo)

SS 10,010,0 33 7 7 (16,0)(16,0)

CC 5,05,0 66 3,5 3,5 (8,0)(8,0)

XX 3,03,0 1010 2,1 2,1 (4,8)(4,8)

KK 1,01,0 3030 0,7 0,7 (1,6)(1,6)

Portando os radares Banda S detectam todos os hidrometeoros exceto as grandes pedras de gelo, porém radares com λ pequeno entram na região de espalhamento Mie, o que implica que estes radares são mais indicados para a medidas de física de nuvens.

WW 0,40,4 7575 0,25 0,25 (0,64)(0,64)

A não associação da aproximação Rayleigh se deve ao fato de que existem outras contribuições de espalhamento e absorção da energia EM, ou seja, a seção transversal de retro-espalhamento (σ ) é reduzida devido ao aumento do (σ ) é reduzida devido ao aumento do espalhamento na direção de propagação da onda, ou ainda, devido ao aumento do efeito de absorção da partícula.

Dessa maneira, temos que para α << 1, ou seja, raio da gota muito menor que λ temos a aproximação Rayleigha aproximação Rayleigh.

Logo a seção transversal de espalhamento pode ser descrita por:

62

4

52

2

26

2

2

1iI DK

m

m

λπα

πλσ =

+−=

onde Di é o diâmetro da partícula e K o índice de refração dapartícula

2

12

2

+−=

m

mK

Termo T(oC) Comprimento de onda λ (cm)

10 3.21 1.24 0.62

20 0.928 0.9275 0.9193 0.8926

|K|2 10 0.9313 0.9282 0.9152 0.8726

0 0.9340 0.9300 0.9055 0.8312

-8 .............. .............. 0.8902 0.7921

20 0.00474 0.01883 0.0471 0.0915

ÁguaÁgua

Im(-K) 10 0.00688 0.0247 0.0615 0.1142

0 0.01102 0.0335 0.0807 0.1441

-8 ............. ............... 0.1036 0.1713

Termo T(oC)0 0.197

|K|2 -10 0.197-20 0.197

0 9.6x10-4

Im(-K) -10 3.2x10-4

-20 2.2x10-4

GeloGelo????????

2KI ≈σ

Por outro lado, em vez de expressar a σ como função do diâmetro gota, podemos fazer em função do quantidade de água, uma vez que estamos interessados em chuva por intervalo de tempo (mm/h).

Sendo assim podemos expressar σ em função da massa e a respectiva densidade no caso de estarmos medindo partículas com densidades variadas (água ~ 1 g/cm3 , gelo ~ 0.9 g/cm3 , neve ~ 0.05 g/cm3 )

Lembrando que assumimos gotículas esféricas, temos que a massa pode ser expressa por:

4

Logo a seção transversal de retro-espalhamento pode ser expressa como:

ρπ 3

3

4adensidadeVolumeMassa =•=

22

2

4

336Massa

K•=

ρλπσ

Finalmente, a Potência recebida pelo retro-espalhamento de partículas esféricas pode ser expressa como:

Espalhamento Rayleigh:

Espalhamento Mie

∑•=

volumei

TR D

r

KhGPP 6

2

2

2

32

)2(ln6416 λπθϕ

∑= T hGPP σλθϕ 22 1

onde o Fator Refletividade do Radar Z é

enquanto que a Refletividade do Radar η é

∑••=

volumei

TR r

P σπ 22 )2(ln6416

∑volume

iD6

∑volume

iσ

Logo se soubermos a distribuição de tamanho das partículas dentro do volume iluminado, podemos expressar Z como:

ou

∑= 6ii DnZ

∫∞

=0

6)( dDDDNZ

Sendo assim podemos expressar a Potência recebida pelo radar em termos do Fator Refletividade do Radar e a constante do Radar

Zr

KCtePR 2

2

•=

Caso a aproximação Rayleigh não possa ser aplicada, temos que :

onde Ze é o fator refletividade equivalente, e pode ser expresso por:

eR Zr

KCteP

2

2

•=

25

4

KZe

πηλ=

Usualmente, os radares meteorológicos assumem que as partículas iluminadas são água liquida, logo |K|2 = 0.93

Logo:

Onde M Onde M �� Conteúdo de água Liquida, Conteúdo de água Liquida, ρρ �� densidade da partícula, D densidade da partícula, D �� diâmetro.diâmetro.

ZeZe (mm(mm66/m/m33), ), λλ(cm), D(cm), (cm), D(cm), σσ(cm(cm22) e M(g/m) e M(g/m33).).

326

46

DK

MZe

ρπσλ=

Finalmente podemos expressar a potência do radar recebida em termos mais comuns, ou seja:

Convertendo para dB (10Log10 ) , temos

eR Zr

KCteP

2

2

•=

ZLogrLogKLogCteLogPLog2

1020101010 +−+= eR ZLogrLogKLogCteLogPLog 1010101010 1020101010 +−+=

Percebam que a equação é representada pela adição ousubtração. Portanto qualquer erro de calibração eletrônicado radar e a própria identificação da partir pode ser corrigidafacilmente.

Logo medindo PR a uma distância r, podemos calcular Ze.

Usualmente usamos Ze em termos de dBZ, que é definido como:

dBZe= 10Log10Ze.

[ ] rLogKCteLogdBMPdBZZ Re 10

2

10 2010)()( +×−=

Alvo Característica do radar distância

Como podemos inferir a Precipitação?

Sabemos que o fator refletividade do radar (Z) é proporcional à distribuiçãode tamanhode gotasvezeso D6. distribuiçãode tamanhode gotasvezeso D6.

Portanto se houvesse uma maneira de expressar o Conteúdo de Água Líquida (LWC) ou a Taxa de Precipitação (R) emfunçãoda distribuição de tamanho de gotas, poderíamos relacionarestas grandezas com as medidas feitas pelo radar.

Temos que a Taxa de Preciptação pode ser expressa como:

Ondew é a velocidadevertical. Na superfíciew = 0.

[ ]∫∞

−=0

3 )()(6

)/( dDwDVDDNhmR T

π

Ondew é a velocidadevertical. Na superfíciew = 0.

Já o conteúdo de água líquida pode ser expresso como:

∫∞

=0

33 )(6

)/( dDDDNmgLWC Lρπ

Logo a partir das relação Z-R ou Z-LWC podemos obter estes parâmetros. Mas para isso temos que ter uma idéia da distribuição de tamanho de gotas, N(D).

Estas medidas de distribuição são feitas em geral a partir de medidas com disdrômetros ou coletores de partículas em aeronaves.

O disdrômetro mede a distribuição de tamanho de gotas (DSD) em um intervalo de tempo a partir do impacto das gotas sobre uma superfície de 50 cm2. O impacto das gotas provoca uma vibração na membrana, sendo que esta energia mecânica é então proporcional a um tamanho.

Medidas realizadas em 1948 (Marshall e Palmer) indicaram que as precipitações estratiformes seguiam uma distribuição exponencial, enquanto que mais tarde observou-se que as convectivas seguiam uma distribuição gamma e ou lognormal.

De uma maneira simplificada, podemos utilizar a expressão exponencial proposta inicialmente por Marshall e Palmer (1948) e derivar as relações Z-R e Z-LWC.derivar as relações Z-R e Z-LWC.

Para isso assumimos:

{ } 30 /,exp)( cmgotasDNDN Λ−=

Λ(R) = 4,1R-0,21 mm-1 [R(mmh-1)] e N0 = 0,08 cm-4

λ

No

λ

Logo a Z pode ser expressa por:

Mashall e Palmer encontraram que Λ=f(R), na forma de Λ(R) = 4,1R-0,21

Portanto,

{ }7070

0

60

0

636 !6)7(exp)(][

Λ=

ΛΓ=Λ−== ∫∫

∞∞− NNdDDDNdDDDNmmmZ

≈==

647,121,07 213

!6!6 mmRRNNZ x

Porém na literatura temos que a relação ZR é:

≈=

Λ=

347,121,07

7070 2131,4

!6!6

m

mmRRNNZ x

6,1200RZ =

Relação Z-R e Z-M para gotas de água e cristais de gelo e neve.

TipoZ(mm6/m3) x M(g/m3) Z(mm6/m3) x R(mm/h)

Chuva (MP) M = 3,93x10-3Z0,55 Z = 200R1,6

São Paulo (Morales, 1991)

M = 1,4 x10-3Z0,64 Z = 378R1,34

Neve e agregados M = 1,7x10-2Z0,45 Z = 150R1,54

Granizo (molhado) M = 9,5x10-7Z1,02 Z = 486R1,37Granizo (molhado) M = 9,5x10-7Z1,02 Z = 486R1,37

Granizo (seco) M = 5,5x10-6Z0,97

Nuvem M = 4,56Z0,5 Z = 69R1,8

Obs: para mais relações utilizar:1) Sauvageot, H., and J. Omar, 1987: Radar Reflectivity of Cumulus Clouds.

J. Atmos. Oceanic Technol., 4, 264–272, e2) Battan L.J., 1973: Radar Observation of the Atmosphere.3) Morales, C.A.R., 1991: Distribuição de tamanho de gotas nos trópicos: Ajuste de

uma função gama e suas aplicações. Dissertação de Mestrado, IAG, USP.

Lista de Exercício 4Entrega: 7 de Abril de 2016

1) Utilizando a relação M = 1,4 x10-3Z0,64

Onde M esta em g/m3 e Z em mm6/m3

Derive uma distribuição de tamanho de gotas – N(D) do tipo exponencial, tal qual função de Marshall e Palmer e calcule Λ e N0 em função de M ou Z.

2) Derive as relação Z-R e Z-LWC para uma distribuição exponencial de cristais de gelo que tem os seguintes parâmetros: Λ(R) = 25,5R-0,48 (cm-1) e N0 = 3,8 x 10-2R-0,87 cm-4

3) Utilizando a relação Z-R de Marshall e Palmer (1948) e a de Morales (1991) calcule a diferença entre as taxas de precipitação estimada para o Z variando de 0,5,15,20,25,30,40,50,55 e 60 dBZ. Comente os resultados e explique porque das diferenças encontradas na taxa de precipitação para o mesmo valor de Z.

4) Utilizando a equação do radar, mostre como a potência média do radar mudaria se você estivesse observando cristais de gelo em vez de água, sendo que ambos tem o mesmo o conteúdo de água liquida/gelo, potência de água liquida/gelo, potência transmitida, ganho da antena.

5) Como os resultados do exercício anterior variam em função da distância.