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Universidade Federal Fluminense

Aula 3 – Equações Integrais

FENÔMENOS DE TRANSPORTE

Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)

TCE – Escola de Engenharia

Aula 3 – Equações Integrais

Leis Básicas

Vazão

Volume de Controle

Teorema de transporte de Reynolds e aplicações:

▪ Conservação da Massa

▪ Quantidade de movimento linear

▪ Quantidade de movimento angular

▪ Energia

Métodos de Solução

Métodos de solução de problemas com fluidos:

F

u(r)

Solução analítica ou numérica

(CFD – ComputationalFluid Dynamics)

VCGrandezas integrais (volume de controle – VC):

• Vazão• Força • Energia

EQUAÇÕES INTEGRAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

MÉTODOS EXPERIMENTAIS

Grandezas infinitesimais (pontual):

• Velocidade: 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)• Tensão: 𝜎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 , 𝜏 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡

• Modelos reduzidos em laboratório, protótipos ou medições em campo

• Análise dimensional

Disponível em <http://www.canadianautoreview.ca/news/gm-reduced-scale-wind-tunnel.html>. Acesso em 27 mar. 2018.

Leis Básicas

𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑐𝑡𝑒

→𝑑𝑚

𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

= 0

CONSERVAÇÃO DA MASSA(Continuidade)

Quantidade de movimento linear

(momentum): 𝑃𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑀 𝑉 𝑑𝑚

2ª Lei de newton:

𝐹 =𝑑 𝑃

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

PRINCÍPIO DA QTD. DE MOVIMENTO LINEAR

Quantidade de movimento

angular: 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑀 𝑟 × 𝑉𝑑𝑚

𝑀 =𝑑𝐻


PRINCÍPIO DA QTD. DE MOVIMENTO ANGULAR

Energia: 𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑀 𝑒 𝑑𝑚

1ª Lei da Termodinâmica: 𝑄 − 𝑊 =𝑑𝐸


2ª Lei da Termodinâmica: 𝛿𝑆 ≥𝛿𝑄

𝑇

ENERGIA

Relações de estado:

• 𝑝 = 𝑝 𝜌, 𝑇• 𝑒 = 𝑒 𝜌, 𝑇

Ex. de gases ideais:𝑝𝑉 = 𝑚𝑅𝑇

→ 𝑝 =𝑚

𝑉𝑅𝑇

→ 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇

Vazão

𝑉

𝑛

𝑉𝑛

𝑉𝑡

𝑉𝑛 = 𝑉 ∙ 𝑛 = 𝑉 cos 𝜃

dh

VAZÃO VOLUMÉTRICA

𝑄 =𝑑V

𝑑𝑡→ 𝑑𝑄 =

𝑑ℎ ∙ 𝑑𝐴

𝑑𝑡= 𝑉𝑛𝑑𝐴

→ 𝑄 = 𝑆

𝑉𝑛𝑑𝐴 = 𝑆

𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴

→ 𝑄 = 𝑆

𝑉 ∙ 𝑑 𝐴

VAZÃO MÁSSICA

𝑚 =𝑑𝑚

𝑑𝑡

→ 𝑚 = 𝑆

𝜌 𝑉 ∙ 𝑑 𝐴

=𝜌 𝑑V

𝑑𝑡→ 𝑑 𝑚 = 𝜌 𝑑𝑄

dA

VAZÃO VOLUMÉTRICA

𝑄 =𝑑V

𝑑𝑡→ 𝑑𝑄 =

𝑑ℎ ∙ 𝑑𝐴

𝑑𝑡= 𝑉𝑛𝑑𝐴

→ 𝑄 = 𝑆

𝑉𝑛𝑑𝐴 = 𝑆

𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴

→ 𝑄 = 𝑆

𝑉 ∙ 𝑑 𝐴

VAZÃO MÁSSICA

𝑚 =𝑑𝑚

𝑑𝑡

→ 𝑚 = 𝑆

𝜌 𝑉 ∙ 𝑑 𝐴

=𝜌 𝑑V

𝑑𝑡→ 𝑑 𝑚 = 𝜌 𝑑𝑄

S

u(y,z) um

x𝑄, 𝑚

Velocidade uniforme ou média:

𝑄 = 𝑉𝑚 ∙ 𝐴 = 𝑉𝑚𝐴 cos 𝜃

Velocidade uniforme ou média:

𝑚 = 𝜌𝑉𝑚 ∙ 𝐴 = 𝜌𝑉𝑚𝐴 cos 𝜃

S

𝑄 = 𝑉𝑚𝐴

... e perpendicular à superfície S: ... e perpendicular à superfície S:

𝑚 = 𝜌𝑉𝑚𝐴

Exemplo: Tratando-se de escoamentos laminares no interior de tubulações, é possível obter a solução analítica da distribuição de velocidades ao longo da seção, dada por 𝑢 𝑟 = 𝐾(𝑅2 − 𝑟2), onde r é a coordenada polar que representa a distância até o eixo do tubo e K é uma constante, calculada em função das propriedades do fluido e o raio R da tubulação. Faça um esboço do perfil de distribuição de velocidades, calcule a vazão (volumétrica) escoada e a velocidade média.

Q= SVndA

xr

= Su dA

A = πr2 → dA = 2πrdr

Q = 0

RK R2−r2 2πrdr

→ Q =2πK R2r2

2−r4

4 0

R

→ Q = 2πK 0

RR2r−r3 dr

Q =πKR4

2u(r)

Q = VmA →πKR4

2= Vm πR2 → Vm =

KR2

2

Teorema do Transporte de Reynolds

Volume deControle

Superfície de Controle

Vizinhança

me

ms

𝐹

𝑀

e

Troca na SC

B no VCdA

𝐵 = 𝑚, 𝑃, 𝐻 𝑜𝑢 𝐸

𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚

dm

𝑑𝐵 =𝑑𝐵

𝑑𝑚𝑑𝑚

𝜌 𝑑V

𝛽

𝐵𝑉𝐶 = 𝑉𝐶

𝛽 𝜌 𝑑V

𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝛽 𝜌 𝑑V

𝑛

𝑉 𝑑𝐵 =𝑑𝐵

𝑑𝑚𝑑𝑚

𝑑 𝑚 = 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴

𝛽

Sistema = VC + SC

=𝑑𝐵

𝑑𝑚

𝑑𝑚

𝑑𝑡𝑑𝑡

= 𝛽 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴 𝑑𝑡

→ 𝑑𝑑𝐵

𝑑𝑡= 𝛽 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴

+ 𝑆𝐶

𝛽 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴

Volume deControle


→𝑑𝐵

𝑑𝑡𝑆𝐶

= 𝑆𝐶

β ∙𝑉ߩ 𝐴

dA

𝐵 = 𝑚, 𝑃, 𝐻 𝑜𝑢 𝐸

𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚

dm

𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝛽 𝜌 𝑑V

𝑛

𝑉

Sistema = VC + SC

+ 𝑆𝐶


Aberturas uniformes:

= 𝛽𝑖 𝜌𝑖𝑉𝑖 ∙ 𝑛𝑖 𝑆𝑖

𝑑𝐴

𝐴𝑖

Volume deControle


dA

𝑛

Saída:

𝑉

𝑉 ∙ 𝑛 > 0

Entrada:

𝑛dA

𝑉

𝑉 ∙ 𝑛 < 0

𝑉 ∙ 𝑑 𝐴 > 0 𝑉 ∙ 𝑑 𝐴 < 0

=

𝑆𝐶

𝛽𝑖 𝜌𝑖𝑉𝑖 ∙ 𝐴𝑖

• na aberturas i:

• em todas aberturas:

𝑉 ∙ 𝑛 = 𝑉 cos 𝜃 →

𝜃 < 90° 𝜃 > 90°

VCVC

VC FIXO VC COM VELOCIDADE UNIFORME

VC DEFORMÁVEL

𝑉SC

𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝛽 𝜌 𝑑V + 𝑆𝐶


Disponível em <http://www.modelcityfirefighter.com/2014/10/29/colorado-firefighters-know-big-fire-means-big-water/>. Acesso em 27 mar. 2018.

Disponível em <https://medium.com/@brendanarmstrong_71005/filling-the-cup-f96e102b0783>. Acesso em 27 mar. 2018.

Disponível em <http://www.maxsonlab.com/kayak/040716pendoreille/040716pendoreille.htm>. Acesso em 27 mar. 2018.

VC

Teorema de transporte de Reynolds

Superfície de controle em movimento uniforme

𝑉𝑎

𝑉𝑠

SC



𝑉𝑎

𝑉𝑠

𝑉𝑆 = 𝑉𝑎



𝑉𝑠

𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + 𝑆𝐶

𝛽𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴



𝑉𝑠

dt 𝑽

−𝑉𝑠

𝑉𝑉𝑟

𝑉𝑟 = 𝑉 − 𝑉𝑠

𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶


𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝑛 𝑑𝐴



dt 𝑉𝑟 = 𝑉 − 𝑉𝑠𝑽

𝑉𝑠


Caso geral:

Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:

𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



A1

A2 A3

Ai

An

VC


Caso geral:


𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



A1

A2 A3

Ai

An

∑ ±𝛽 𝑚 𝑖


Caso geral:

Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:Na i-ésima abertura:

𝐴𝑖

𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝛽𝑖 𝜌𝑖 𝑉𝑟𝑖 ∙ 𝑛𝑖 𝐴𝑖

𝑑𝐴

= 𝛽𝑖 𝜌𝑖 𝑉𝑟𝑖 ∙ 𝑛𝑖 𝐴𝑖

𝑆𝐶


Em toda a SC:

= ∑ 𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝐴 𝑖

±𝜌𝑉𝑛𝑟𝑖𝐴𝑖

𝑄𝑖

= ± 𝑚𝑖

+ saídas entradas

=

= ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖

𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



= 𝛽𝑖 ± 𝜌𝑖 𝑉𝑛𝑟𝑖𝐴𝑖

A1

A2 A3

Ai

An


Caso geral:


𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖

+ saída entrada

𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴𝑄

𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚

𝑑𝐵


=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶


𝛽𝜌 𝑉𝑛𝑟 𝑑𝐴

Eq. Integral da Continuidade


𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶


Teorema de transporte de Reynolds:

• Conservação da massa:

𝐵 = 𝑚 → 𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚= 1

𝑑 𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝑑𝑡= 0

𝑑 𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝜌 𝑑𝑉 + ± 𝑚𝑖= 0

𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚

(+ saída; - entrada) 𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴

𝑄

Equação integral da continuidade

Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes

▪ Transiente

▪ Permanente

+ saída entrada

𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝜌 𝑑𝑉 + ± 𝑚𝑖 = 0

± 𝑚𝑖 = 0

Conservação da massa

Exemplo:

Escreva a relação de conservação de massa

para o escoamento permanente de um fluido

incompressível através de um tubo de corrente

(escoamento paralelo as paredes em todos os locais)

com uma única saída 1 e uma única entrada 2,

uniformes.

1

2

V2

V1


Exemplo:

1

2

V2

V1+ saída entrada

m= ρ Vnr A∑± mi = 0

∑ mi = 0

→ −ρ1V1A1 + ρ2V2A2 = 0

𝜌 =𝑑𝑚

𝑑𝑉

→ V1A1 = V2A2 = Q

→ V2=V1A1A2incompressível

→ − m1 + m2 = 0


Exemplo:

Água à 20°C flui em regime permanente por um tanque fechado,

conforme figura abaixo. Na seção 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 m³/h. Na

seção 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade média é de 8,00 m/s. Se D3 =

4,00 cm, calcule Q3 em m³/h e a velocidade média V3 em m/s

Água

1

2

3


Exemplo:





Água

1

2

3

∑± mi = 0

− m1 + m2 + m3 = 0

+ saída entrada

m= ρ Vnr A

Q

−ρ Q1 + ρ V2A2 + ρ Q3 = 0


Exemplo:





Água

1

2

3

Q3 = Q1 − V2A2 = Q1 − V2 πD22

4

= 100 − 8 π0,05 2

4 3600 = 43,4 m³/h

Q3 = V3A3 → V3 =Q3A3

=43,4/3600

π 0,04 2/4= 9,6 m/s

∑± mi = 0

− m1 + m2 + m3 = 0

+ saída entrada

m= ρ Vnr A

Q

−ρ Q1 + ρ V2A2 + ρ Q3 = 0

Eq. Integral do Momentum


𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



• Relação da qtd. de movimento linear:

𝐵 = 𝑉𝑑𝑚 → 𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚= 𝑉

𝑑 𝑚𝑉

𝑑𝑡=

𝐹 =𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑉

2ª Lei de Newton

=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑉 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ± 𝑚𝑉𝑖

𝐹

𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚


𝑄

(+ saída; - entrada)

Equação integral da quantidade de movimento linear


▪ Transiente

▪ Permanente

+ saída entrada


𝑄

𝐹 =𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶


𝐹 = ∑ ± 𝑚𝑉𝑖

Quantidade de movimento linear Exemplo: Um volume de controle fixo em regime permanente possui uma

entrada uniforme (1, A1, V1) e uma saída uniforme (2, A2, V2). Encontre uma expressão para a força resultante no volume de controle.

1

2

V2

V1

F= ∑ ± mVi=− m1V1+ m2V2

∑ mi=0 →− m1+ m2=0

→ m1= m2

Pela equação da continuidade:

= m

∑F=− m1V1+ m2V2

∑F= m V2−V1V2

−V1V2 − V1

∑ 𝐹


Exemplo: Um jato de água ( = 1000 kg/m³) com velocidade Vj atinge

perpendicularmente uma placa plana que se move para direita com velocidade Vc. Calcule a força necessária para manter a placa se movendo à velocidade constante se a área do jato é de 3 cm², Vj = 20 m/s e Vc = 15 m/s. Despreze o peso do jato e da placa e assuma escoamento permanente e que o jato se divida em partes iguais.

Vc

Vc

Vj

SC

F= ∑ ± mVi

F

m=ρVnrA


Exemplo: Um jato de água ( = 1000 kg/m³) com velocidade Vj atinge

perpendicularmente uma placa plana que se move para direita com velocidade Vc. Calcule a força necessária para manter a placa se movendo à velocidade constante se a área do jato é de 3 cm², Vj = 20 m/s e Vc = 15 m/s. Despreze o peso do jato e da placa e assuma escoamento permanente e que o jato se divida em partes iguais.

Vc

Vc

Vj

SC

F= ∑ ± mVi

x

y

• em x: ∑Fx =− meVe

F=− ρVnrAj𝑒Vj−Vc

F

Vj-Vc

Vj-Vc

F=−ρAj Vj−Vc2

F=−1000. 3.10−4 . 20−15 2

F=−7,5 N

m=ρVnrA


Forças de pressão

np

𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑆𝐶

𝑝 −𝑛 𝑑𝐴


Forças de pressão

-np




Forças de pressão constante (Ex.: Pressão atm.)

𝑆

𝐵 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑉

𝛻 ∙ 𝐵 𝑑𝑉


𝑝𝑎 −𝑛 𝑑𝐴

-npa

Teorema de Gauss:

→ 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 0

𝛻 =𝜕

𝑥 𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧 𝑘

= − 𝑉𝐶

𝛻𝑝𝑎 𝑑𝑉 = 0


Forças de pressão X Pressão manométrica

p

pm = 0

pa

pp

pa

SC

𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝𝑎


Forças de pressão X Pressão manométrica

pm = p - pa

pm = 0

pa

pm

pm

pa

SC




= 𝑆𝐶

𝑝𝑚 + 𝑝𝑎 −𝑛 𝑑𝐴

= 𝑆𝐶

𝑝𝑚 −𝑛 𝑑𝐴 + 𝑆𝐶

𝑝𝑎 −𝑛 𝑑𝐴

0

→ 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑆𝐶

𝑝𝑚 −𝑛 𝑑𝐴

p = pm + pa


Forças de pressão - Pressão manométrica

▪ Exemplo:


= 3”

40 psi(abs)

15 psi (abs)

15 psi(abs)

15 psi (abs)1

2

pa = 15 psi



▪ Exemplo:

= 3”

40 psi(abs)

15 psi (abs)

15 psi(abs)

15 psi (abs)

𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝𝑎pa = 15 psi

1

2

pm = 25 psi

0 psi

0 psi

0 psi

Pressões manométricas:Pressões absolutas:

1

2

= 3”

Fpressão= SC

pm −n dA



▪ Exemplo:

= pm −n SC

dA

= pm −n 𝐴

Fpressão= pm A = 25 psi ∙π 3" 2

4

Fpressão= 177 lbf


pm = 25 psi

0 psi

0 psi

0 psi

1

2

Pressões manométricas: = 3”

pa = 15 psi


Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12” e D2 = 6”, com pressão de

entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para água à 20°C, calcule a

força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.

1

2

pa = 103,4 kPa





1

2

Pressões absolutas:

pa = 103,4 kPa

pa

pa

pa

Pressões manométricas:

p1

1

2

0 Pa

0 Pap1 - pa

0 Pa





+ saída entrada

pa = 103,4 kPa


1

2

0 Pa

0 Pa

0 Pa

∑F= ∑ ± mVi

• Pela eq. da continuidade: m1 = m2

m=ρVnrA

→ p1−pa A1 − F = − m1V1+ m2V2

→ ρ1V1A1 = ρ2V2A2

→ V1 = V2A2A1

= 17612

2

F

= V2D2D1

2

V1 = 4,25 m/s

p1 - pa





pa = 103,4 kPa


1

2

0 Pa

0 Pa

0 Pa

∑F= ∑ ± mVi


→ p1−pa A1 − F = − m1V1+ m2V2F

V1 = 4,25 m/s

m1= ρ V1 π D12 4

= 998 ∙ 4,25 ∙ π ∙ 12 ∙ 0,0254 2 4

m1= 310 kg/s

A1= 0,073 m2

p1 - pa

+ saída entrada

m=ρVnrA





pa = 103,4 kPa


1

2

0 Pa

0 Pa

0 Pa

∑F= ∑ ± mVi


→ p1−pa A1 − F = − m1V1+ m2V2F

V1 = 4,25 m/s m1= 310 kg/s

→ F = p1−pa A1 + m1 V1 − V2

p1 - pa

A1 = 0,073m2

→ F = 7,6 kN

+ saída entrada

m=ρVnrA

Equação integral da quantidade de movimento linear


▪ Transiente

▪ Permanente

▪ VC acelerado:

+ saída entrada 𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴

𝑄

𝐹 =𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶


𝐹 = ∑ ± 𝑚𝑉𝑖

𝐹𝑠𝑢𝑝 + 𝑃 − 𝑎𝑉𝐶𝑚𝑉𝐶

Ex.: foguete.

Eq. Integral da Qtd. de Movimento Angular



𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶


r

dmV

O

𝑑𝐻𝑂 = 𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚 → 𝐻𝑂 = 𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚

• Relação da qtd. de movimento angular:

𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚


𝑄



𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



• Relação da qtd. de movimento angular:

𝐵 = 𝐻𝑂 → 𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚= 𝑟 × 𝑉

𝑑𝐻𝑂𝑑𝑡

=

𝑀 =𝑑𝐻𝑂𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ± 𝑟 × 𝑉 𝑚𝑖

𝑀

r

dmV

O

𝐻𝑂 = 𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚

𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚


𝑄


Equação integral da quantidade de movimento angular


▪ Transiente

▪ Permanente

▪ Momento

𝑀 =𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ± 𝑟 × 𝑉 𝑚𝑖

𝑀 = ∑ ± 𝑟 × 𝑉 𝑚𝑖

+ saída entrada 𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴

𝑄

𝑟 × 𝐹𝑠 + 𝑉𝐶

𝑟 × 𝑔 𝜌 𝑑V + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜

Eq. integral da quantidade de mov. angular :

Exemplo: O regador giratório de grama com três braços (vista superior na figura

abaixo) recebe água à 1.800 L/h. Se o atrito do colar gera um torque de

0,1 N.m, calcule a sua rotação permanente.

d = 7 mm

𝑄𝑒 = 1800 𝐿 ℎ = 1800 1000 ∙ 3600 = 5 ∙ 10−4 m³ s

Princípio da continuidade:

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝜌 𝑑V +

𝑆𝐶

𝜌𝑖𝑉𝑟𝑖 ∙ 𝐴𝑖 = 0

0 (permanente)

→

𝑆𝐶

±𝜌𝑖 𝑉𝑟𝑖𝐴𝑖𝑄𝑖

𝑚𝑖

= 0 → −𝜌𝑄𝑒 + 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 0

1

2

3

e

→ 𝑚1 =𝜌𝑄𝑒3

=1000 ∙ 5 ∙ 10−4

3= 0,167 kg s

→ 𝑉𝑟1 = 𝑚1

𝜌𝐴1=

𝑚1

𝜌𝜋𝐷2

4

=4 ∙ 0,167

1000 ∙ 𝜋 ∙ 0,007 2 = 4,34 m s

y

x

Eq. integral da quantidade de mov. angular :

Exemplo: O regador giratório de grama com três braços (vista superior na figura

abaixo) recebe água à 1.800 L/h. Se o atrito do colar gera um torque de

0,1 N.m, calcule a sua rotação permanente.

d = 7 mm

𝑄𝑒 = 1800 𝐿 ℎ = 1800 1000 ∙ 3600 = 5 ∙ 10−4 m³ s

Princípio da continuidade:

1

2

3

e

y

x

→ 𝑚1 = 0,167 kg s

→ 𝑉𝑟1 = 4,34 m s

Princípio da qtd. de mov. angular: 𝑀 =

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑟 × 𝑉𝜌 𝑑V +

𝑆𝐶

± 𝑟 × 𝑉 𝑚𝑖

0 (permanente)

𝑟 × 𝐹𝑠 + 𝑉𝐶

𝑟 × 𝑔 𝜌 𝑑V + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜0 0 0 ( 𝑟𝑒 = 0)

𝜌𝑖𝑉𝑛𝑟𝑖𝐴𝑖

→ 𝑇𝑎𝑡 𝑘 = 3 𝑟1 × 𝑉1 𝑚1

𝑉1 𝑉𝑆1 = 𝜔𝑅 𝑖

𝑅 𝑗 𝑉𝑟1 + 𝑉𝑆1= 𝜔𝑅 − 𝑉𝑟1 𝑖

= 3𝑅 𝜔𝑅 − 𝑉𝑟1 𝑚1 𝑗 × 𝑖

− 𝑘

→ 𝜔 =𝑉𝑟1𝑅−

𝑇𝑎𝑡3𝑅2 𝑚1

=4,34

0,15−

0,1

3 0,15 20,167= 20,1 rad s = 192 rpm

→ 𝑇𝑎𝑡 = 3𝑅 𝑉𝑟1 − 𝜔𝑅 𝑚1

× 60/2𝜋

+e 1 2 3+ +-

Eq. Integral da Energia


𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶



• Equação da Energia:

𝐵 = 𝐸 → 𝛽 =𝑑𝐵

𝑑𝑚=𝑑𝐸

𝑑𝑚

𝑑𝐸

𝑑𝑡==

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑒 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝑒 𝑚 𝑖

𝑑𝑄

𝑑𝑡−𝑑𝑊

𝑑𝑡

𝑑𝑄

𝑑𝑡−𝑑𝑊

𝑑𝑡=𝑑𝐸

𝑑𝑡

1ª Lei da termodinâmica:

= 𝑒

Equação integral da energia

𝑑𝑄

𝑑𝑡−𝑑𝑊

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑒 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝑒 𝑚 𝑖

• Energia:

• Trabalho:

𝑒 = 𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑒𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑒𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑒𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑢 𝑉22

𝑔𝑧

𝑑𝑊

𝑑𝑡= 𝑊 = 𝑊𝑚á𝑞 + 𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 + 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐

𝐹𝑖 ∙ 𝑉𝑖

+ saída entrada


𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 + 𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 + 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 = +𝐼 + ∑ ± 𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝑚

𝑖

= 𝑝𝑖 ∙ 𝐴𝑖 ∙ 𝑉𝑛𝑟𝑖 = 𝑝𝑖 ∙ 𝑚𝑖

𝜌𝑖

𝑝𝑖𝜌𝑖∙ 𝑚𝑖

𝑚𝑖𝜌𝑖

𝐼

Equação integral da energia


𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 − 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 = +𝐼 + ∑ 𝑢 +𝑝

𝜌+𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝑚

𝑖

𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 + 𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 + 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 = +𝐼 + ∑ ± 𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝑚

𝑖

𝑝𝑖𝜌𝑖∙ 𝑚𝑖

𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 − 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 =𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑒 𝜌 𝑑𝑉 +

𝑖=1

𝑁𝑎

𝑢 +𝑝

𝜌+𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝑚

𝑖

Equação integral da energia Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:

Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saída (2):


𝑑𝑡 𝑉𝐶


𝑖=1

𝑁𝑎

𝑢 +𝑝

𝜌+𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝑚

𝑖

𝑑𝑄

𝑑𝑡−

𝑑𝑊𝑚á𝑞

𝑑𝑡+𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐

𝑑𝑡= − 𝑢1 +

𝑝1𝜌1

+𝑉12

2+ 𝑔𝑧1 𝑚1 + 𝑢2 +

𝑝2𝜌2

+𝑉22

2+ 𝑔𝑧2 𝑚2

• Pela equação da continuidade: 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚

÷ 𝑚 →

𝑑𝑄𝑑𝑡 𝑚−

𝑑𝑊𝑚á𝑞

𝑑𝑡+𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡

𝑚= − 𝑢1 +

𝑝1𝜌1

+𝑉12

2+ 𝑔𝑧1 + 𝑢2 +

𝑝2𝜌2

+𝑉22

2+ 𝑔𝑧2

𝑑𝑄𝑑𝑡 𝑚=

𝑑𝑄𝑑𝑡

𝑑𝑚𝑑𝑡

=𝑑𝑄

𝑑𝑚= 𝑞

𝑑𝑊𝑑𝑡 𝑚=𝑑𝑊

𝑑𝑚=𝑑𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

𝑑𝑚= 𝑔 ∙ ℎ

𝑞 𝑔ℎ𝑚á𝑞 + 𝑔ℎ𝑣𝑖𝑠𝑐




𝑑𝑡 𝑉𝐶


𝑖=1

𝑁𝑎

𝑢 +𝑝

𝜌+𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝑚

𝑖

𝑑𝑄

𝑑𝑡−

𝑑𝑊𝑚á𝑞

𝑑𝑡+𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐

𝑑𝑡= − 𝑢1 +

𝑝1𝜌1

+𝑉12

2+ 𝑔𝑧1 𝑚1 + 𝑢2 +

𝑝2𝜌2

+𝑉22

2+ 𝑔𝑧2 𝑚2

• Pela equação da continuidade: 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚

÷ 𝑚 →

𝑑𝑄𝑑𝑡 𝑚−

𝑑𝑊𝑚á𝑞

𝑑𝑡+𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡

𝑚= − 𝑢1 +

𝑝1𝜌1

+𝑉12

2+ 𝑔𝑧1 + 𝑢2 +

𝑝2𝜌2

+𝑉22

2+ 𝑔𝑧2

𝑞 𝑔ℎ𝑚á𝑞 + 𝑔ℎ𝑣𝑖𝑠𝑐

÷ 𝑔 →𝑝1𝜌1𝑔

+𝑉12

2𝑔+ 𝑧1 =

𝑝2𝜌2𝑔

+𝑉22

2𝑔+ 𝑧2 +

𝑢2 − 𝑢1 − 𝑞

𝑔+ ℎ𝑚á𝑞 + ℎ𝑣𝑖𝑠𝑐

ℎ𝑇 − ℎ𝐵𝛾1 𝛾2

ℎ𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠



▪ Se 𝑞 = Δ𝑢:

▪ Bernoulli (Δ𝐻 = 0):


𝑑𝑡 𝑉𝐶


𝑖=1

𝑁𝑎

𝑢 +𝑝

𝜌+𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝑚

𝑖

𝑝1𝛾1𝑔

+𝑉12

2𝑔+ 𝑧1 =

𝑝2𝛾2𝑔

+𝑉22

2𝑔+ 𝑧2 +

𝑢2 − 𝑢1 − 𝑞

𝑔+ ℎ𝑇 − ℎ𝐵 + ℎ𝑃

𝑝1𝛾1𝑔

+𝑉12

2𝑔+ 𝑧1 =

𝑝2𝛾2𝑔

+𝑉22

2𝑔+ 𝑧2 + ℎ𝑇 − ℎ𝐵 + ℎ𝑃

𝐻1 𝐻2 → 𝐻1 = 𝐻2 + ∆𝐻

→ 𝐻1 = 𝐻2 = ⋯ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

ExemploUm navio bombeiro suga água

do mar (densidade 1,025) de um

tubo submerso e a recalca através

de um bico, conforme figura abaixo.

A perda total de carga é de 2,0 m.

Se a e bomba tem eficiência de

75%, qual a potência do motor

necessária?

p1γ1

+V12

2g+z1 =

p2γ2

+V22

2g+z2 +hTurb−hBomba+hperda

2

d

hp

3,0 m

Bomba

D = 2,0”

36 m/s

D = 6,0”

1,8 m

1

Exemplod = 1,025hatrito = 2,0 m. = 75%Pot = ?

• Pelo princípio da continuidade:

p1γ+V12

2g+z1 =

V22

2g+z2 −hB+hP

m1 = m2 → ρ V1 A1 = ρ V2 A2

→ V1π 6∙0,0254 2

4= 36

π 2∙0,0254 2

4→ V1 = 4,0 m/s

2

3,0 m

Bomba

D = 2,0”

36 m/s

D = 6,0”

1,8 m

1

Exemplod = 1,025hatrito = 2 m. = 75%Pot = ?V1 = 4,0 m/s

p1γ+V12

2g+z1 =

V22

2g+z2 −hB+hP

γ∙1,8γ

+42

2g−1,8 =

362

2g+3 −hB+2

→ hB = 69 m

PotH =dE

dt=dm g h

dt= m g h → PotH = ρV1A1g h

η =PotHPotB

→ PotB =PotHη

→ PotB =ρV1A1g h

η

2

3,0 m

Bomba

D = 2,0”

36 m/s

D = 6,0”

1,8 m

1

Exemplod = 1,025hatrito = 2 m. = 75%Pot = ?V1 = 4,0 m/shB = 69 m

PotT =ρV1A1g h

η

PotB =1022 ∙ 4 ∙

π ∙ 6 ∙ 0,0254 2

4 ∙ 9,8 ∙ 69

0,75 = 67 kW

→ ρ = d ρa = 1,025 ∙ 998 = 1022 kg/m³

= 90 cv

2

3,0 m

Bomba

D = 2,0”

36 m/s

D = 6,0”

1,8 m

1

ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada

venturi, forma uma região de baixa pressão que pode aspirar fluidode um reservatório, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressão para velocidade V1

suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.

h

D1

D2

V2

p2 = pa

pa

Água

Água

V1




→ ρ1V1A1 = ρ2V2A2 m1 = m2


→ V1 A1 = V2 A2

• Pela equação de Bernoulli:

p1γ1

+V12

2g+ z1 =

p2γ2

+V22

2g+ z2

Aplicações do efeito Venturi

http://www.asperjato.com.br/. Acesso em 20/01/2016.

http://www.ozonesolutions.com/journal/2013/ozone-venturi-injectors-work-dissolve-ozone-water/. Acesso em 20/01/2016.

http://animais.grandemercado.pt/setubal/peixes-acessorios/filtro-aquario-novo-294629.htm. Acesso em 20/01/2016.http://www.sintecpromaquinas.com.br/pistola-eletrica-para-pintura.

Acesso em 20/01/2016.

http://nostalgika.com.br/wp/blog/2013/08/28/agosto-em-paris-parte-iv/. Acesso em 20/01/2016.




h

D1

D2

V2

p2 = pa

pa

Água

Água

V11 2

p1γ1

+V12

2g+z1 =

p2γ2

+V22

2g+z2

Exemplo

p1γ1

+V12

2g+z1 =

p2γ2

+V22

2g+z2

pa− γh

γ+V12

2g=paγ+V22

2g

h

D1

D2

V2

p2 = pa

pa

Água

Água

V11 2

p3 = pa = p1 + γh= p1 + ρgh

→ p1 = pa − γh

→V12 − 2gh = V2

2

3

Exemplo

→ ρ1V1A1 = ρ2V2A2

p1γ1

+V12

2g+z1 =

p2γ2

+V22

2g+z2

pa− γh

γ+V12

2g=paγ+V22

2g

h

D1

D2

V2

p2 = pa

pa

Água

Água

V11 2

p3 = pa = p1 + γh= p1 + ρgh

→ p1 = pa − γh

→V12 − 2gh = V2

2

m1 = m2

→ V2 = V1D12

D22 → V2

2 = V12D1

4

D24


→ V1 = 2gh 1−D14

D24

3

Sumário

Leis Básicas

Vazão

Volume de Controle

Teorema de transporte de Reynolds e aplicações:

▪ Conservação da Massa

▪ Quantidade de movimento linear

▪ Quantidade de movimento angular

▪ Energia

BIBLIOGRAFIA:

WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-

Hill, 2010.

FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à

Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y.,

Tradução: LTC, 2014.

www.HidroUff.uff.br

aula 3 equações integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/fentran... ·...

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