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Problemas de
congestionamento(Teoria das Filas)
Prof. Msc. Rodolfo Benedito da Silva
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Objetivos
I. Analisar os sistemas de atendimento a clientes daorganizao (internos ou externos) para identificar
os possveis pontos de congestionamentos (filas);II. Modelar e resolver os problemas de
congestionamento com uso de tcnicas da Teoriadas Filas;
III. Desenvolver sistemas de atendimento a clientespara atender um nvel de servio desejado aomenor custo total possvel.
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Programao
1
Introduo ao assunto
2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas
3 Medidas da efetividade de um sistema
4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita
5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema
6 Sistema de uma fila e diversos canais
7 Sistema de um Canal com Populao Finita
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Programao
1
Introduo ao assunto
2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas
3 Medidas da efetividade de um sistema
4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita
5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema
6 Sistema de uma fila e diversos canais
7 Sistema de um Canal com Populao Finita
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Introduo
Levante a mo quem nunca
Pegou uma fila na vida...
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Introduo
As Filas esto presentes no nosso dia-a-dia:
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Introduo
Estrutura de um Sistema de Filas de espera:
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Introduo
Aplicaes da Teoria das Filas: Estabelecimento de uma poltica de atendimento ao pblico,
em empresas pblicas, determinando o n de atendentes e a
especializao de cada um; Estudo da operao de um centro de processamento de
dados p/ determinar polticas de atendimento e prioridadesdos servios;
Determinao de equipes de manuteno em grandesinstalaes, onde h custos elevados associados aequipamentos danificados, espera de reparos;
Estudo de operaes de caixas com o objetivo de estabeleceruma poltica tima de atendimento ao pblico.
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Introduo
Exemplo do sistema de manuteno:
Clientes: equipamentos danificados que solicitamservios (reparos). Eventualmente devem formar filas e
esperar sua vez.
Atendentes: pessoal das equipes.
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Introduo
Neste caso dois eventos ocorrem de modo aleatrio:
1) Os equipamentos no se danificam regularmente(por exemplo: de hora em hora);
2) Os tempos gastos nos reparos no so os mesmos(por mais bem treinada que seja a equipe).
Sntese: em determinado dia, no h um s equipamento p/reparo, enquanto no dia seguinte o n de equipamentosdanificados superior capacidade de atendimento,ocasionando congestionamento do sistema.
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Introduo
So essas irregularidades nas ocorrncias dos eventos
que determinam o funcionamento desse tipo de
sistema e que so expressas em termos probabilsticos
no estudo de Teoria das Filas.
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Programao
1
Introduo ao assunto
2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas
3 Medidas da efetividade de um sistema
4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita
5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema
6 Sistema de uma fila e diversos canais
7 Sistema de um Canal com Populao Finita
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Fatores que condicionam a
operao dos sistemas
Diversos fatores podem interferir em um
sistema de filas:
Forma de atendimento;
Modo de chegada;
Disciplina da fila;
Estrutura do sistema
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Forma de atendimento
O levantamento estatstico permite determinar adistribuio de probabilidades do n de atendimentosou da durao de cada atendimento.
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Modo de chegada
As chegadas de clientes ocorrem de formaaleatria (o n de clientes/tempo varia);
Fazer levantamento estatstico p/ descobrir se oprocesso obedece uma dist. de probabilidades;
Este processo deve estar no chamado estadoestacionrio (a dist. de probabilidades que
identifica o processo hoje ser = a de amanh).Caso contrrio o sistema est em estado no-estacionrio ou transitrio.
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Modo de chegada
Exemplo do banco:
Afluncia de pblicoestacionrio
Greve bancria ou falnciano estacionrio
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Distribuio de chegada
Na maioria dos sistemas de filas, os clienteschegam de forma aleatria, ou seja, o nmero dechegadas que ocorrem em um determinado
perodo de tempo uma varivel aleatria; Apropriado modelar o processo de chegadaatravs de um processo de Poisson;
Para utilizar a distribuio de probabilidades dePoisson, deve-se especificar um valor para a taxa dechegadados clientes (),que representa o nmero
mdio de chegadas por unidade de tempo;
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Distribuio de chegada
De acordo com a distribuio de Poisson, aprobabilidade da chegada de n clientes em umperodo de tempo especfico dada por:
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Distribuio de chegada - Exemplo
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Distribuio de chegada - Exemplo
Clientes chegam a um balco de reclamaes emuma loja de departamentos a uma taxa de cincoclientes por hora. Qual a probabilidade de quatro
clientes chegaram na prxima hora?
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Disciplina da Fila
A disciplina da fila so as regras que determinama ordem em que os clientes sero atendidos.
1. Pode ser feito pela ordem de chegada FIFO (oprimeiro a chegar o primeiro a ser atendido);
2. Pela ordem inversa de chegada - LIFO (o ltimo achegar o primeiro a ser atendido);
3. Pelo atendimento com prioridade para certasclasses (Ex.: Hospitais, Preferencial, etc...).
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Estrutura do sistema
Sistema de uma fila e um canal:
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Estrutura do sistema
Sistema de uma fila e trs canais paralelos:
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Estrutura do sistema
Sistema complexo de filas e canais em srie e
paralelo:
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Programao
1 Introduo ao assunto
2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas
3 Medidas da efetividade de um sistema
4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita
5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema
6 Sistema de uma fila e diversos canais
7 Sistema de um Canal com Populao Finita
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Medidas de efetividade de um
sistema
Nas variveis referentes ao sistema temos:
TSTempo mdio de permanncia no sistema
NSNmero mdio de clientes no sistema
Nas variveis referentes ao processo dechegada temos:
(lambda) Ritmo mdio de chegada
ICIntervalo mdio entre chegadas (IC = 1/ )
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Medidas de efetividade de um
sistema
Nas variveis referentes fila temos:
TFTempo mdio de permanncia na fila
NFNmero mdio de clientes na fila
Nas variveis referentes ao processo de atendimentotemos:
TATempo mdio de atendimento
cCapacidade de Atendimento
NA N mdio de clientes sendo atendidos
- Ritmo mdio de atendimento de cada cliente
(TA = 1/)
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Localizao das variveis no
sistema de filas
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1 Introduo ao assunto
2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas
3 Medidas da efetividade de um sistema
4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita
5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema
6 Sistema de uma fila e diversos canais
7 Sistema de um Canal com Populao Finita
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Representao:
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Caractersticas Gerais
- As chegadas se processam segundo uma distribuio dePoisson com mdia ;
- Os tempos de atendimento seguem a distribuioexponencial negativa com mdia 1/ (ou seja: o nmero deatendimentos segue a distribuio de Poisson com mdia);
- O atendimento fila feito pela ordem de chegada;
- O nmero de possveis clientes suficientemente grandepara que a populao possa ser considerada infinita.
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo:
a) Probabilidade de haver n clientes no sistema,ou seja, a distribuio de probabilidades do nde clientes no sistema:
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo:
b) Probabilidade de que o nmero de clientes nosistema seja superior a um certo valor r:
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo:
c) Probabilidade de que o sistema esteja ocioso:percentual de tempo que sistema est inativo,tambm chamado de taxa de ociosidade
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo:
d) Probabilidade de que o sistema estejaocupado: tambm chamado de fator ou taxa deocupao
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo: parmetros relativos
quantidade de clientes
e) Nmero mdio de clientes no sistema (NS):
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo: parmetros relativos
quantidade de clientes
f) Nmero mdio de clientes na fila (NF):
Este valor inclui as filas de tamanho zero. Podemos calcular
tambm o tamanho mdio da fila, apenas quando h fila.
d l f l
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo: parmetros relativos
quantidade de clientes
g) Nmero mdio de clientes na fila (p/ fila > 0):
i d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo: parmetros relativos aos
tempos gastos pelos clientes
h) Tempo mdio de espera na fila por cliente (TF):
Si d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Equaes do modelo: parmetros relativos aos
tempos gastos pelos clientes
h) Tempo mdio gasto no sistema por cliente(TS):
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Si d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
1) A gerente de uma mercearia na afastadacomunidade de Sunnyville est interessada emoferecer bom atendimento a todos os idosos. Em
mdia 30 idosos por hora chegam ao caixa, deacordo com uma distribuio de Poisson, e soatendidos a uma taxa mdia de 35 clientes por
hora, com tempos exponenciais. Encontre asseguintes caractersticas operacionais:
Si d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
a. Probabilidade de zero cliente no sistema;
(R: 0,1429 ou 14,29%)
b. Utilizao mdia do funcionrio do caixa;(R: 0,8571 ou 85,71%)
c. Nmero mdio de clientes no sistema; (R: 6 clientes)
d. Nmero mdio de clientes na fila; (R: 5,14 clientes)e. Tempo mdio gasto no sistema; (R: 0,2 horas ou 12 min)
f. Tempo mdio de espera na fila. (R: 0,1714 h ou 10,29 min)
Si t d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
2)Em um sistema de filas seqenciais no qual aspeas fluem para a linha de produo, temos:
1= 10; 2= 5; 1= 15; 2= 30; 3= 20
Calcule:
a) NF, TF, NS e TS para cada servidor;
b) NS e TS para o sistema como um todo.
1
2
3
1
2 3
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Si t d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
3) Uma seo de apoio administrativo, ligada linha de produo de uma grande indstria, encarregada de preencher diversos tipos de
formulrios referentes a requisio de peas,materiais e manuteno de equipamentos. Para obom desempenho da linha de produo, essa
seo deve processar os formulriosrapidamente, a fim de no causar atraso nosprocessos produtivos que dependem dasrequisies e dos formulrios processados.
Si t d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Por outro lado, o sistema tem caractersticasaleatrias, j que os encarregados de produono podem prever, com muita antecipao, os
pedidos que devem ser feitos.Deseja-se estudar o funcionamento da equipe, demodo a determinar os elementos de deciso com
relao a uma possvel ampliao.
Si t d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Levantamento de dados:
- As caractersticas do sistema de filas foramestudados com o objetivo de escolher o modelo
de filas adequado.
- Qualquer funcionrio tinha condies depreencher todos os tipos de formulrios.
- Clientes: formulrios e requisies.
- Populao de clientes: infinita (no havia
restries ao n de formulrios e requisies).
Si t d l fil
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Levantamento de dados:
- Verificou-se que o sistema pode ser analisadopelo modelo de uma fila e um canal com
populao infinita.
- Levantamento estatstico do n de pedidos deformulrios por dia de servio e dos temposgastos no preenchimento.
- Os experimentos foram realizados em 120 diasteis.
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Sistema de m canal e ma fila
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Sistema de um canal e uma fila
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Sistema de um canal e uma fila
com populao infinita
Medidas de desempenho do sistema:
- Nmero mdio de pedidos/dia: = 15 pedidos
- Nmero mdio de atendimentos/dia: = 21 atendimentos
- Taxa de utilizao da seo: = 0,714
- Nmero mdio de pedidos na seo: NS = 2,5
- Nmero mdio de pedidos aguardando processamento: NF = 1,78
- Tempo mdio de espera por formulrio, antes do preenchimento:TF = 0,12 dia ou 57,6 minutos
- Tempo mdio gasto na seo por formulrio, incluindo espera epreenchimento: TS = 0,17 dia ou 81,6 minutos.
P
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Programao
1 Introduo ao assunto
2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas
3 Medidas da efetividade de um sistema
4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita
5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema
6 Sistema de uma fila e diversos canais
7 Sistema de um Canal com Populao Finita
Taxa de servio para Mnimo Custo
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Taxa de servio para Mnimo Custo
Total do Sistema
No sistema de fila analisado tem-se dois tipos
de custos:
1) Custo do cliente: custo decorrido da espera
que o cliente gasta dentro do sistema;
2) Custo do atendimento: todos os custosproduzidos pelo processo de atendimento
(salrios, aluguis, equipamentos, etc.).
Taxa de servio para Mnimo Custo
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Taxa de servio para Mnimo Custo
Total do Sistema
Objetivo: determinar a taxa de servio que
resulta no menor custo total do sistema.
Taxa de servio para Mnimo Custo
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Taxa de servio para Mnimo Custo
Total do SistemaNomenclatura:
CT: custo total do sistema
CE: custo de permanncia do cliente no sistema mdio
por perodo
CA: custo de atendimento mdio por perodo
CEunit: custo de permanncia unitrio (por cliente) por
perodo
CAunit: custo de atendimento unitrio, por cliente
Taxa de servio para Mnimo Custo
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Taxa de servio para Mnimo Custo
Total do Sistema
Taxa de servio para Mnimo Custo
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Taxa de servio para Mnimo Custo
Total do SistemaExemplo: Uma oficina de reparos de eletrodomsticosrecebe por dia uma mdia de 2 pedidos, segundo umadistribuio de Poisson. O eletricista consegue reparar umamdia de 2,5 aparelhos por dia, tambm segundo uma
distribuio de Poisson. A oficina estima que cada dia deespera de um aparelho custa R$ 80 em termos de seguros edeteriorao da imagem da firma. Por outro lado, cadaconserto custa uma mdia de R$ 80 de mo de obra. Pede-
se:
1. O custo total de operao da firma, por dia;
2. A eficincia do eletricista que resultaria no menor custo
total.
P
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1 Introduo ao assunto
2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas
3 Medidas da efetividade de um sistema
4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita
5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema
6 Sistema de uma fila e diversos canais
7 Sistema de um Canal com Populao Finita
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
Representao:
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
Caractersticas Gerais
- CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIO DEPOISSON com mdia chegadas/tempo
- TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuioexponencial negativa com mdia 1/
- NMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuio dePoisson com mdia
- O atendimento fila feito por ordem de chegada
- Nmero de canais de servio: S
Cont...
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
Caractersticas Gerais
- O nmero de clientes potenciais suficientemente grandepara que a populao possa ser considerada infinita.
- Ritmo de servio: . S
- Condio de estabilidade do sistema: < . S
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
Equaes do modelo:
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Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
Equaes do modelo:
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
Clculo Grfico da POCUP. TOTAL:
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
Exemplos...
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
1)Em um banco, cuja mdia de chegada de clientes de36 por hora, existem 3 caixas que trabalham noatendimento dos mesmos. Cada caixa tem capacidade
de atender somente 15 clientes por hora. Pede-se:a) O nmero mdio de clientes na fila
b) O tempo mdio que o cliente fica na fila
c) O nmero mdio de clientes no sistema
d) O tempo mdio que o cliente fica no sistema
e) Qual a probabilidade de haver 5 clientes no sistema?
f) Qual a probabilidade de haver 2 clientes no sistema?
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
Respostas:
a) NF = 2,58 clientes
b) TF = 0,0717 h
c) NS = 4,98 clientes
d) TS = 0,138 h
e) P5 = 0,0826 ou 8,26%
f) P2 = 0,1613 ou 16,13%
Sistema de uma fila e diversos
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Sistema de uma fila e diversos
canais
2) Um sistema de uma fila e um canal est com sobrecargade trabalho. Aps anlise estatstica, o analista de PesquisaOperacional descobriu que a mdia de chegada de clientesao sistema de 30 por hora. O atendente tem capacidade de
atender somente 20 clientes por hora. Desta forma, ele estplanejando criar mais uma seo de atendimento igual aprimeira e passar a operar com dois canais e uma filasomente. Para essa nova situao, calcule:
a) O tempo mdio que o cliente fica na fila; (R.: TF = 0,0643)
b) O nmero mdio de clientes na fila. (NF = 1,929 clientes)
Programao
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2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas
3 Medidas da efetividade de um sistema
4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita
5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema
6 Sistema de uma fila e diversos canais
7 Sistema de um Canal com Populao Finita
Sistema de um Canal com
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Sistema de um Canal com
Populao Finita
Representao:
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Sistema de um Canal com
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Sistema de um Canal com
Populao Finita
Exemplos
- Um almoxarifado atendendo a sees de uma fbrica (nde operrios que necessitam de ferramentas e peas
finito);- Uma equipe de manuteno encarregada de manter emoperao um certo n de mquinas;
- Um sistema de caminho-escavadeira com n finito decaminhes para carregamento.
Sistema de um Canal com
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Sistema de um Canal com
Populao Finita
Equaes do modelo:
Sistema de um Canal com
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Sistema de um Canal com
Populao Finita
Equaes do modelo:
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Sistema de um Canal com
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Sistema de um Canal com
Populao Finita
1) Uma seo de fbrica dispe de 6 mquinas queapresentam defeito a uma taxa mdia de 3 por semana,segundo a distribuio de Poisson. A equipe demanuteno consegue reparar, em mdia, 6 mquinaspor semana. Pede-se:
a) Calcule a probabilidade de haver n mquinas fora de operao(1 mquina em reparo e n1 esperando), para n= 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6.b) Calcule o tempo mdio gasto por mquina na equipe demanuteno, o tempo mdio gasto na espera, o n mdio demquinas na fila e o n mdio de mquinas paradas por semana.
Sistema de um Canal com
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Sistema de um Canal com
Populao Finita
1) Uma seo de fbrica dispe de 6 mquinas queapresentam defeito a uma taxa mdia de 3 por semana,segundo a distribuio de Poisson. A equipe demanuteno consegue reparar, em mdia, 6 mquinaspor semana. Pede-se:
a) Calcule a probabilidade de haver n mquinas fora de operao(1 mquina em reparo e n1 esperando), para n= 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6.b) Calcule o tempo mdio gasto por mquina na equipe demanuteno, o tempo mdio gasto na espera, o n mdio demquinas na fila e o n mdio de mquinas paradas por semana.
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T i d Fil
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