Regras de deduo para lgica proposicional- Equivalncia- InfernciaMtodo dedutivo- Silogismo hipottico

Regras de equivalncia

Permitem que fbfs individuais sejam reescritas mantendo o mesmo valor lgico.

Regras de inferncia

Permitem a deduo de novas fbfs a partir de fbfs anteriores na sequncia de demonstrao.

fbf So frmulas bem formuladas.Do ingls wff (well-formed formula)ExemplosA ^ (B C) ((A v B) ^ C) (B v C)(A v B)Uma fbf com diversos conectivos, o ltimo a ser aplicado o conectivo principal.ExemplosA ^ (B C) O conectivo principal ^(A B) ^ (B A) O conectivo principal ^(A ^ B) C O conectivo principal Letras maisculas, como P, Q, R e S so usadas para representar as fbfs.Exemplo((A v B) ^ C) (B v C) = P Q*

Sequncia de demonstrao, uma sequncia de fbfs nas quais cada fbf uma hiptese ou o resultado de se aplicar uma das regras de deduo s fbfs anteriores na sequncia.

Regras de deduo, so regras que modificam uma fbf de modo a preservar seu valor lgico.

* Todo argumento que podemos provar uma tautologia

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Regras de equivalncia

Determinados pares de fbfs so equivalentes.Preservam os valores lgicos.

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ExpressoEquivalente aNome/AbreviaoP v QP ^ QQ v PQ ^ PComutatividade - com(P v Q) v R(P ^ Q) ^ RP v (Q v R)P ^ (Q ^ R)Associatividade - ass(P v Q) (P ^ Q)P ^ QP v QLeis de Morgan De MorganP QP v QCondicional - condP(P)Dupla Negao - dnP Q (P Q) ^ (Q P)Definio de equivalncia - equi

Regras de equivalncia

Exemplo

(A v B) v C

1) (A v B) v C hip (hiptese)2) (A ^ B) v C 1, De Morgan3) (A ^ B) C 2, cond.

Passo 1 a hiptese.Passo 2 deduzido do passo 1 usando-se uma das leis de Morgan.Passo 3 deduzido do passo 2 usando a regra do condicional (P Q P v Q), onde P A ^B e Q C.

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Regras de equivalnciaAs regras de equivalncia permitem substituio em qualquer direo.

ExemploNo exemplo anterior, substitumos A v B por (A ^ B) mas, em outra sequncia de demonstrao usando a mesma regra, poderamos substituir (A ^ B) por A v B. *

Regras de inferncia

As regras de inferncia dizem que se uma ou mais fbfs, contidas na primeira coluna das regras de inferncia, fazem parte de uma sequncia de demonstrao, ento podemos adicionar uma nova fbf na sequncia substituindo-se a(s) anterior(res) pela(s) fbfs correspondente(s) na segunda coluna das regras.

Ao contrrio das regras de equivalncia, as regras de inferncia no funcionam em ambas as direes.

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*Exemplo

Suponha que A (B ^ C) e A so duas hipteses em um argumento. Uma sequncia de demonstrao para o argumento poderia comear com os seguintes passos:

Justificativa: P A e Q B ^ C. Regras de inferncia

DePodemos deduzirNome / AbreviaoP, P QQModus ponens - mpP Q, QPModus tollens mtP, QP ^ QConjuno conjP ^ QP, QSimplificao simpPP v QAdio ad

A (B ^ C) - hipA- hipB ^ C - 1, 2 mp1) P Q2) P3) QModus ponens:P, P Q deduz Q

Sequncia de demonstraoA ^ (B C) ^ [(A ^ B) (D v C)] ^ B D

A hipB Chip(A ^ B) (D v C)hipBhipC2,4 mpA ^ B1,4 conjD v C3,6 mpC v D7 comC D8 condD5,9 mp

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Sugestes de deduoModus Ponens , provavelmente, a regra de inferncia mais intuitiva. Tente us-la muitas vezes.

Fbfs da forma (P ^ Q) ou (P v Q) dificilmente so teis numa sequncia de demonstrao. Tente usar leis de Morgan para convert-las em P v Q e P ^ Q, respectivamente, separando os componentes individuais.

Fbfs da forma P v Q dificilmente so teis em uma sequncia de demonstrao, j que no implicam P nem Q. Tente usar a dupla negao para converter P v Q em (P) v Q e depois usar a regra do condicional para obter P Q.*

Mtodo dedutivoSuponha que o argumento que queremos provar tenha a forma

P1 ^ P2 ^ P3 ^ ... ^ Pn (R S)

onde a concluso uma implicao.

Ao invs de usar P1, ..., Pn como hipteses e inferir R S, o mtodo dedutivo nos permite adicionar R como hiptese adicional e depois inferir S. Em outras palavras, podemos provar

P1 ^ P2 ^ P3 ^ ... ^ Pn ^ R S

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Exemplo

Usando o mtodo dedutivo, temos duas hipteses ao invs de uma e queremos obter B.

[A (A B)] (A B)

A (A B)hipAhipA B1,2 mpB2,3 mp*Mtodo dedutivo

Mtodo dedutivoA regra para o silogismo hipottico (sh)

De P Q e Q R pode-se deduzir P R.

O que essa regra diz que (P Q) ^ (Q R) (P R) um argumento vlido.

Exemplo(A v B) ^ (B C) (A C)

A v BhipB ChipA B1, condA C2,3 sh*

Sequncia de demonstrao no utilizando o silogismo hipottico

A v BhipB ChipA B1 condAhipB3,4 mpC2,5 mp

*Mtodo dedutivo

LEMBRETEOs exerccios devem ser entregues na prxima aula (28/05).So individuais*

1) Prove a validade dos argumentos:(A B) ^ (C v A) ^ C B(J I) ^ (F v I) ^ J FC ^ (D C) D

2) Justifique cada passo na sequncia de demonstrao:a) A ^ (B C) (B (A ^ C))AB CBCA ^ C

b) A ^ B ^ [B (A v C)] CABB (A v C)A v C(A) v CA CC

*EXERCCIOS PARA ENTREGAR

3) Justifique cada passo na sequncia de demonstrao:[A (B v C)] ^ B ^ C AA (B v C)BCB ^ C(B v C)A

4) Use a lgica proposicional para provar que o argumento vlido.(A B) ^ [A (B C)] (A C)

A ^ (A v B) B

(P v Q) ^ P Q

P ^ P Q

*EXERCCIOS PARA ENTREGAR

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