aula 2 – sistemas de numeração...
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores 1
Aula 2 – Sistemas de Numeração (Revisão)
Anderson L. S. [email protected]
http://dase.ifpe.edu.br/~alsm
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores 2
O que fazer com essa apresentação
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Agenda
• Breve revisão da aula anterior• Introdução• Sistemas de Numeração• Conversão de Bases• Representação de números• Exemplos
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores 4
Breve evolução dos componentes
Válvula
Transistores
Circuito Integrado
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores 5
Evolução dos processadores
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores 6
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Introdução
• Não tem como fugir:– Matemática Computação
• Com Arquitetura de Computadores o sistema se torna o mesmo:– Tudo depende em parte de sistemas matemáticos de estudo;
• Porém qual o método mais prático de contagem?
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Introdução
• No início utilizou-se o sistema de correspondência um-para-um, para cada objeto e os dedos das mãos;
• Aprimoramento foi o uso de traços:
• Os primeiros algarismos encontrados consistiam de marcas horizontais e verticais (como os acima). Podemos considerar os romanos como a evolução dos traços:
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000
• Além disso utilizou uma série de regras para formar números de grandeza maior:VI = 5+1 = 6 IV = 5-1 = 4 CXVI = 100+10+5+1 = 116
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Introdução
• A realização de cálculos com esse sistema, especialmente para operações como multiplicação e divisão era extremamente complexa e de aplicação praticamente impossível:
Exercício 1 – Procurar como realizar operações matemáticas com algarismos romanos.
• Posteriormente os árabes utilizaram-se de um sistema originário da Índia, que possuía 10 algarismos (0 a 9)
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Introdução
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Introdução
• Esse sistema começou a ser utilizado na Europa no século 12. Destaca-se pelas seguintes características:
– Existe um símbolo para o valor nulo;– Cada algarismo utilizado é uma unidade maior que seu
predecessor;– A notação é posicional;– Cada posição possui um determinado peso.
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Representação de números
• Os sistemas atuais formam os números pela fórmula a seguir, onde a representa o número propriamente dito; B representa a base do sistema de numeração (B >= 2); xi representa os algarismos (0 ≤ xi ≤ B); e o intervalo de –m a n-1 representa o número de posições utilizadas. Com B=10 tem-se o sistema decimal.
∑−
−=
⋅=1
)(n
mi
ii Bxa
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Representação de números
• Para os sistemas de numeração utilizam-se as seguintes regras:– A base B de um sistema é igual à quantidade de algarismos
distintos utilizados. Para a base decimal, tem-se 10 algarismos distintos (de 0 a 9);
– Quando uma posição é ocupada pelo maior algarismo e ela deve ser aumentada de uma unidade, esta posição recebe o símbolo nulo e a posição seguinte deve ser aumentada de uma unidade;
– O algarismo mais à direita (digito menos significativo) tem peso 1, o imediatamente a esquerda tem peso B, o seguinte peso B ao quadrado e assim sucessivamente;
– O valor de cada algarismo de um número é determinado multiplicando-se o algarismo pelo peso de sua posição;
– O valor de um número é determinado pela soma dos valores de cada algarismo.
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
• Os computadores manipulam dados (sinais brutos e sem significado individual) para produzir informações.
• A conversão de dados em informações, e estas novamente em dados, é uma parte tão fundamental em relação ao que os computadores fazem que é preciso saber como a conversão ocorre para compreender como o computador funciona.
• Infelizmente os computadores não usam nosso sistema de numeração.
A Informação e sua Representação
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Sistema de Numeração
• Conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a forma de representação.
• Cada sistema de numeração é apenas um método diferente de representar quantidades.
• As quantidades em si não mudam, mudam apenas os símbolos usados para representá-las.
• A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base.
• Representação numérica mais empregada: notação posicional.
A Informação e sua Representação
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Não Posicionais Valor atribuído a um símbolo é inalterável,
independente da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representam uma quantidade.
Sistema de numeração Romano
XXI XIX
10 10 1 10 1 10
Sistemas de Numeração
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Posicionais Valor atribuído a um símbolo dependente da posição
em que se encontre no conjunto de símbolos que representa uma quantidade.
Sistema de Numeração Decimal
5 7 3 3 5 7
500 70 3 300 50 7
Sistemas de Numeração
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• Sistema de numeração – código• Operação básica – contagem• Grupo com um determinado número de objetos –
base (raiz)
• Sistemas de numeração básicos:– Decimal– Binário– Octal– Hexadecimal
Sistemas de Numeração
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Exemplos de Sistemas de Numeração
Sistema Base Algarismos
Binário 2 0,1
Ternário 3 0,1,2
Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7
Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Duodecimal 12 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Como os números representados em base 2 são muito extensos e, portanto, de difícilmanipulação visual, costuma-se representar externamente os valores binários emoutras bases de valor mais elevado (octal ou hexadecimal). Isso permite maiorcompactação de algarismos e melhor visualização dos valores.
Sistemas de Numeração
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Padrões de Representação
• Letra após o número para indicar a base;• Número entre parênteses e a base como um
índice do número.
• Exemplo: – Sistema Decimal – 2763D ou (2763)10
ou 276310
Sistemas de Numeração
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• Sistema mais utilizado.
• 10 símbolos para representar quantidades.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
• Peso – representar quantidades maiores que a base.
• Peso trouxe: unidade, dezena, (dez unidades), centena (cem unidades), milhar (mil unidades), dezena de milhar, centena de milhar, etc.
• Exemplo: 2574 é composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5 centenas e 2 milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574
Sistema Decimal (Base 10)
Sistemas de Numeração
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• Utiliza dois símbolos para representar quantidades.
0 e 1
• Segue as regras do sistema decimal - válidos os conceitos de peso e posição. Posições não têm nome específico.
• Cada algarismo é chamado de bit. Exemplo: 1012
• Expressão oral - diferente dos números decimais. – Caractere mais à esquerda - Most-Significative-Bit -
“MSB”. – Caractere mais à direita - Least-Significative-Bit - “LSB”.
Sistema Binário (Base 2)
Sistemas de Numeração
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• Utiliza 8 símbolos.
0 1 2 3 4 5 6 7
• Exemplo: 5638
• Expressão oral - similar ao sistema binário.
Sistema Octal (Base 8)
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• Possui 16 símbolos (algarismos) para representar qualquer quantidade.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
• Uso das letras - facilidade de manuseio.
• Exemplo: 5A316
• Expressão oral - similar ao sistema binário.
Sistema Hexadecimal (Base 16)
Sistemas de Numeração
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Ao trabalhar com sistemas de numeração, em qualquer base, deve-se observar o seguinte:
• O número de dígitos usado no sistema é igual à base.• O maior dígito é sempre menor que a base.• O dígito mais significativo está à esquerda, e o menos
significativo à direita• Um “vai-um” de uma posição para outra tem um peso
igual a uma potência da base.• Em geral se toma a base decimal como referência.
Sistemas de Numeração
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Decimal Binário Octal Hexadecimal 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9
10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sistemas de Numeração
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Conversão entre Sistemas de Numeração• Procedimentos básicos: - divisão
(números inteiros) - polinômio- agrupamento de bits
OCTAL
Sistemas de Numeração
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• Divisão (Decimal outro sistema)
– Divisão inteira (do quociente) sucessiva pela base, até que resto seja menor do que a base.
– Valor na base = composição do último quociente (MSB) com restos (primeiro resto é o bit menos significativo - LSB)
Conversão entre Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
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• Divisão (Decimal outro sistema)
• Dividir o número por b (base do sistema) e os resultados consecutivas vezes.
Ex.: (125)10 = (? )2 (538)10 = (? )16
Conversão entre Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
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Notação Polinomial ou Posicional
• Válida para qualquer base numérica.
• LEI DE FORMAÇÃO(Notação ou Representação Polinomial):
Número =
an = algarismo, b = base do númeron = quantidade de algarismo - 1
00
22
11 . . .babababa n
nn
nn
n ++++ −−
−−
Conversão entre Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Ex.:
a) (1111101)2 = (? )10
b) (21A)16 = (? )10
(21A)16 = 2x162 + 1x161 + 10x160 = 53810
(1111101)2 = 1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 12510
Conversão entre Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
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Agrupamento de Bits
• Sistemas octal e hexa binário (e vice versa)• associando 3 bits ou 4 bits (quando octal
ou hexadecimal, respectivamente) e vice-versa.
Ex.: (1011110010100111)2 = ( ? )16 (A79E)16 = ( ? )2
Conversão entre Sistemas de Numeração
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Conversão octal hexadecimal
• Não é realizada diretamente - não há relação de potências entre as bases oito e dezesseis.
• Semelhante à conversão entre duas bases quaisquer - base intermediária (base binária)
• Conversão em duas etapas:1 - número: base octal (hexadecimal) binária.2 - resultado intermediário: binária hexadecimal (octal).
Conversão entre Sistemas de Numeração
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Ex.:
a) (175)8 = ( ? )16
(175)8 = (1111101)2 = (7D)16
b) (21A)16 = (? )8
(21A)16 = (001000011010)2 = (1032)8
Conversão entre Sistemas de Numeração
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Conversão de Números Fracionários
• Lei de Formação ampliada (polinômio):
Conversão entre Sistemas de Numeração
Exemplo: (101,110)2 = ( ? )10
1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 +1 × 2-1 + 1 × 2-2 + 0 × 2-3 = (5,75)10
Sistemas de Numeração
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Conversão de Números Fracionários
• Operação inversa: multiplicar a parte fracionária pela base até que a parte fracionária do resultado seja zero.
♦ Decimal outro sistema
Exemplo: (8,375)10 = ( ? )2
Sistemas de Numeração
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• Mostre que:
– 5,810 = 101,11001100... 2 (uma dízima).
– 11,610 = 1011,10011001100... 2• a vírgula foi deslocada uma casa para a
direita, pois 11,6 = 2 x 5,8 .
Sistemas de Numeração
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• Uma caixa alienígena com o número 25 gravado na tampa foi entregue a um grupo de cientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17 objetos. Considerando que o alienígena tem um formato humanóide, quantos dedos ele tem nas duas mãos?
Sistemas de Numeração
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• Solução:1710 = 25b17 = 2xb1 + 5xb0
17 = 2b + 5b = (17-5)/2 b = 6
Sistemas de Numeração
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• Elabore um programa que realiza conversões entre sistemas de numeração, conforme descrição apresentada na figura abaixo.
Sistemas de Numeração
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Como um computador “identifica” que um número é negativo?
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• A resposta a esta pergunta é que isso depende da convenção usada na representação de números.
• As convenções mais usuais são as seguintes :
– Representação de grandeza com sinal (sinal e magnitude)
– Representação em complemento de 2
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Exemplo : (8 bits)
001010012 = 4110
11010111c2 = - 4110
Exemplo : (8 bits)
000011002 = 1210
11110100c2 = -1210
Representação de números inteiros positivos– igual à representação usual já apresentada
Representação de números inteiros negativos– mantém-se os bits menos significativos da direita para a esquerda
até à ocorrência do primeiro bit igual a 1 (inclusive), sendo os bits restantes complementados de 1.
– Esta operação equivale a: complemento de 1 + 1.
Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)
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♦ Exemplo: Números inteiros codificados em binário de 8 bitsem um sistema que utiliza complemento de 2:
(-128, -127, ..., -2. -1, 0, +1, +2,..., +127)
{10000000, 10000001, ..., 11111110, 11111111, 00000000,
00000001, 00000010, ..., 01111111}
♦ Bit mais significativo informação de sinal (0 = positivo e 1 = negativo)
Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)
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Requer um só circuito (somador) para fazer a adição e a subtração.
Há apenas uma representação para o valor 0 (disponibilidade para mais uma representação) - mais um número negativo pode ser representado (para 8 bits, pode-se representar o número –12810 ⇒100000002) .
A quantidade de números positivos é diferente da quantidade de números negativos.
Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)
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Exemplo:
Escreva os números decimais abaixo na representação em complemento de 2 (utilizando 8 bits, se existir representação).a) -1b) –20c) –127 d) –128
Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)
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• Até meados dos anos 1980, cada fabricante de computador tinha seu próprio formato para representar números em ponto flutuante.
• Solução: criação do Padrão 754 (IEEE 1985).
• O Padrão IEEE 754 procurou uniformizar a maneira como as diferentes máquinas representam os números em ponto flutuante, bem como devem operá-los.
• O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a representação mais comum para números reais em computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.
Representação de Números Reais
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O padrão IEEE 754 define três formatos:
• Precisão simples (32 bits)• Precisão dupla (64 bits)• Precisão estendida (80 bits)
• Os formatos de precisão simples e precisão dupla usam a base 2 para o significando e a notação em excesso para o expoente.
O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
Bits 1 8 23
Significando
Sinal Expoente
Bits 1 11 52
Significando
Sinal Expoente
Precisão simples
Precisão dupla
O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores
• Sinal: 0 = + e 1 = -• Combinações: Sinal + Expoente + Significando• Notação em excesso de 127 (bit de polarização): precisão
simples.• Notação em excesso de 1023 (bit de polarização): precisão
dupla.
Precisão Sinal Expoente(+/-) Significando
Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]
Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]
O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante
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Grandes números
Símbolo Lê-se Equivale a
Valorbinário Valor decimal Valor decimal
aproximado
Factor multiplicador :1024
K Kilo 1024 210 1 024 103
M Mega 1024 K 220 1 048 576 106
G Giga 1024 M 230 1 073 741 824 109
T Tera 1024 G 240 1 099 511 627 776 1012
• Utilizam-se mais frequentemente para expressar a capacidade de memória de um computador (em bytes). Exemplos: 512 MB, 40 GB, 2 TB.
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores José Delgado ©
Cálculo de potências de 2
Potência 2 Decomposição Ou seja… Resultado
212 1K * 4210 * 22
220 64K * 16216 * 24 1M
4K214
227
64K / 4216 / 22
1M * 128220 * 27
16K128M
230
220
1M * 1K220 * 210
1K * 1K210 * 210
1G
1M
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Essencial saber!
• O computador é a verdadeira “caixa que mudou o mundo”, mas não por mérito próprio;
• Computador executa cegamente as instruções que lhe dão sem saber o que está fazendo;
• A inteligência aparente de alguns programas é apenas do programador;
• O código de máquina consiste numa seqüência de instruções básicas que o computador sabe executar diretamente e que refletem diretamente os recursos internos que o processador dispõe;
• Os computadores atuais atuam utilizando a base binária com apenas dois símbolos: 1 e 0. Não entendem a linguagem natural;
• É preciso converter nossas idéias em código de máquina.
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Exercícios
Considere o número A3F9 C05BH.
a) Quantos bits são necessários para o representar?
b) Em complemento para 2 com 32 bits, é positivo ou negativo?
c) Determine o seu complemento para 2 (apresente-o em hexadecimal).
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Exercícios
1. Que gama de números em decimal é possível representar em binário com 12 bits:
a) sem sinalb) em complemento para 2? Justifique.
2. Indique a que número decimal corresponde o número binário 1100111001B, supondo que este:
a) não tem sinalb) está em complemento para 2.
3. Considere o número decimal –20. Represente-o:a) em complemento para 2 com 8 bits (binário)b) em hexadecimal com 2, 4 e 8 dígitos.
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Exercícios
4. Qual o maior e o menor número que consegue representar com 8 dígitos em hexadecimal?a) sem sinalb) em complemento para 2?
5. Quantos bits no total têm 12 Kbytes (resposta em decimal) ?
6. Qual o valor do expoente da potência de 2 equivalente a K, M, G e T?
7. Utilizando estes factores de escala, indique o valor das seguintes potências de 2 (exemplo: 214 = 16 K): 226, 219, 238, 245.
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Anderson Moreira Arquitetura de Computadores 57
Dúvidas