aula 14 pilar
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Aula 14: Pilares
Professor: Alex Bortolon de Matos, M.Sc.
Universidade Federal de Roraima
Departamento de Engenharia Civil
CIV-28 – Pontes
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CIV-28 – Pontes
O projeto de pontes em viga reta pode ser constituído por duas longarinas apoiadas diretamente sobre duas linhas de pilares, ou constituídas por várias vigas principais, onde os apoios das vigas podem ser formados por paredes transversais ou pilares separados ligados por vigas transversais.
1. Tipos construtivos de pilares
2
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CIV-28 – Pontes
• Nos pilares nos temos a atuação de esforços verticais e horizontais:
• Esforços verticais:
Reação da carga permanente (Ng);
Reação da carga móvel (Nq);
Peso próprio do pilar e vigamentos transversais.
2. Esforços atuantes nos pilares
3
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CIV-28 – Pontes
• Esforços horizontais:
a) Esforços longitudinais atuantes na superestrutura:
Variação de temperatura do vigamento principal;
Retração do concreto do vigamento principal;
Frenagem e aceleração;
Empuxo de terra e sobrecarga nas cortinas;
Componente longitudinal do vento.
2. Esforços atuantes nos pilares
4
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• Esforços horizontais:
b) Esforços transversais atuantes na superestrutura:
Vento;
Força centrífuga (pontes em curva horizontal);
Impacto lateral (pontes rodoviárias)
Componente transversal devido ao empuxo de terra nas cortinas.
2. Esforços atuantes nos pilares
5
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• Esforços horizontais:
c) Esforços que atuam diretamente nos pilares (esforços longitudinais e transversais):
Empuxo de terra;
Pressão do vento;
Pressão da água.
2. Esforços atuantes nos pilares
6
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CIV-28 – Pontes
• Na etapa anterior (neoprene) já foi feito um pré-dimensionamento dos pilares. Assim, já possuímos as dimensões dos pilares, bem como as cargas atuantes provenientes da superestrutura.
3. Dimensionamento dos pilares
7
L
T
50.00 cm
80.0
0 c
m
h1= 4,5 m
L
T
60.00 cm
80.0
0 c
m
h2= 6,5 m
L
T
50.00 cm
80.0
0 c
m
h3= 5,5 m
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Cargas permanentes e móveis:
• Peso próprio do pilar: Ppp = γconcreto × b × d × h
PpP1 = 25 × 0,5 × 0,8 × 4,5 = 45kN
• Peso próprio da viga contraventada:
Ppvc = γconcreto × b × h × l
Ppvc = 25 × 0,2 × 1,00 × 5,00 = 25 kN
3.1 Carregamentos verticais
8
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Cargas permanentes e móveis:
• Carga permanente final dos pilares (Rg):
Ng,P1 = Ng +Ppvc
2+ PpP = 1617kN
• Linha de influência de reação dos pilares: Nqmáx,P1 = 933,6 kN Nqmín,P1 = 81 kN
3.1 Carregamentos verticais
9
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Reações finais nos apoios (máximas e mínimas):
𝑁𝑑,𝑚á𝑥 = 1,35𝑁𝑔 + 1,5𝑁𝑞
𝑁𝑑,𝑚á𝑥 = 1,35 × 1617 + 1,5 × 933,6
𝑁𝑑,𝑚á𝑥 = 3583,35 𝑘𝑁
𝑁𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 1,00𝑁𝑔 + 1,5𝑁𝑞
𝑁𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 1,00 × 1617 + 1,5 × 81
𝑁𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 1738,50 𝑘𝑁
3.1 Carregamentos verticais
10
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𝐻𝑙𝑑 = 1,2𝐻𝑙1 + 1,35𝐻𝑙2 + 1,5𝐻𝑙3
𝐻𝑙1 =Temperatura e retração do concreto;
𝐻𝑙2 = Empuxo de terras diretamente sobre os Pilares;
𝐻𝑙3 = Frenagem.
3.2 Carregamentos horizontais longitudinais
11
Calculado na etapa 4
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Empuxo de terra
• Para o cálculo do empuxo de terra que atua diretamente sobre os pilares de extremidade, adota-se um caimento do aterro de 2:3 e calcula-se a altura do aterro (h’ ou ha) que o pilar recebe;
• O empuxo é dado pela seguinte equação:
𝐸 = 𝑘𝑎 × 𝛾 ×ℎ′2
2× 3 × 𝑑
3.2 Carregamentos horizontais longitudinais
12 Coeficiente de empuxo do solo = 0,33
Peso específico do solo = 18
Maior dimensão do pilar
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𝑥 =2
3× 5,00 = 3,333
ℎ′ = 4,5 − 3,333 = 1,17𝑚
𝐸 =9,78kN
3.2 Carregamentos horizontais longitudinais
13
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Empuxo de terra
• Este empuxo E gera um momento na base do pilar de extremidade e transmite uma força horizontal ao tabuleiro na parte superior, sendo que este sofre um deslocamento horizontal;
• Para efeito de cálculo, considera-se, inicialmente, um modelo com o pilar de extremidade como uma viga engastada na base e apoiada no topo, apesar deste apoio não existir, pois o tabuleiro é deslocável;
• O empuxo de terra deve ser calculado pela direita em um dos pilares de extremidade e pela esquerda no outro, considerando a pior situação.
3.2 Carregamentos horizontais longitudinais
14
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CIV-28 – Pontes
Empuxo de terra
3.2 Carregamentos horizontais longitudinais
15
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Ação do vento
• Para determinação da ação do vento na direção transversal sobre a ponte deve-se considerar os dois seguintes casos:
1. Ponte carregada;
2. Ponte descarregada.
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
16
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
• Considera-se a ação do vento sobre a ponte como sendo a resultante de uma pressão de 1,0kN/m² atuando normalmente à superfície da ponte
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
17
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Ação do vento – Ponte carregada
h = 2,00 + 0,15 + 2,20 = 4,35m
l = 61 m
v = 1,00 × 4,35 × 61 = 265,35 kN
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
18
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Ação do vento – Ponte carregada
• Determinação da parcela do vento que a atua em cada quadro formado por dois pilares:
Cálculo da rigidez dos pilares na direção transversal:
IP =50×80³
12= 2133333,33 cm4
IV =20×100³
12= 1666666,67 cm4
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
19
L
T
50.00 cm80
.00
cm
h1= 4,5 m
L
T
60.00 cm
80.0
0 cm
h2= 6,5 m
L
T
50.00 cm
80.0
0 cm
h3= 5,5 m
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
Cálculo da rigidez dos pilares na direção transversal:
𝛿1 = 1,23 × 10−2 𝑚𝑚
𝑘1 =1
𝛿1=
1
1,23×10−5= 81300,81𝑘𝑁/𝑚
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
20
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
• Distribuição da ação do vento (componente transversal) entre os pilares:
A ponte está sujeita à dois movimentos, um de rotação e outro de translação;
O movimento como um todo pode ser descrito pela expressão:
δi = A + B × xi
Onde a constante A é obtida para o movimento de translação e a constante B pelo movimento de rotação.
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
21
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
• Distribuição da ação do vento (componente transversal) entre os pilares:
1° movimento (translação): o tabuleiro sofre somente translação se V estiver aplicada no centro elástico e todos os quadros se deslocam do mesmo valor δ. A força em cada quadro é dada por:
𝑉 = 𝑘 × 𝛿
Supondo que δ=1 para manter o equilíbrio.
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
22
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
1° movimento (translação):
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
23
30
K1 K2 K3
x
o' o
V
30
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
1° movimento (translação):
O centro elástico é calculado pela condição de equilíbrio onde a somatória dos momentos é igual a zero em relação a qualquer ponto do tabuleiro. Assim:
x =k2l1 + k3 l1 + l2
k= 17,49m
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
24
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
1° movimento (translação):
Somente para o movimento de translação, temos: 𝛿𝑖 = 𝐴
Assim,
𝑉 = 𝑘𝑖 × 𝛿𝑖 = 𝑘𝑖 × 𝐴
Logo, a constante A pode ser obtida por:
A =V
ki= 1,62 × 10−3
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
25
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
• Distribuição da ação do vento (componente transversal) entre os pilares:
1° movimento (rotação): admitindo-se o tabuleiro rígido, o mesmo sofrerá uma rotação em torno do ponto “O”.
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
26
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
• Distribuição da ação do vento (componente transversal) entre os pilares:
1° movimento (rotação):
CG = centro de gravidade da ponte:
CG =22+22
2= 22m
α = é a distância entre o CG e a resultante do vento (x). α = CG − x → α = 22 − 17,49 = 4,51
x1 = 17,49m / x2 = 4,51m / x3 = 26,51m
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
27
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
• Distribuição da ação do vento (componente transversal) entre os pilares:
1° movimento (rotação):
Assim, temos:
B =α × V
k × xi2=
α × V
k1 × x12 + k2 × x2
2 + k3 × x32
B = 2,02 × 10−5m
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
28
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte carregada
• Distribuição da ação do vento (componente transversal) entre os pilares:
Parcela da força do vento em cada pilar:
Ft1,P1 = (A + B × x1) × k1
Ft1,P1 = 1,62 × 10
−3 + 2,02 × 10−5 × 17,49 × 81300,81
Ft1,P1 = 160,43 kN
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
29
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte descarregada
• Considera-se a ação do vento sobre a ponte como sendo a resultante de uma pressão de 1,50kN/m² atuando normalmente à superfície da ponte
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
30
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CIV-28 – Pontes
Ação do vento – Ponte descarregada
l = 61 m v = 1,50 × 3,10 × 61 = 283,65 kN
Seguir o mesmo processo que para a ponte carregada e utilizar as maiores forças encontradas (pior situação)
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
31
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CIV-28 – Pontes
Esforços devidos à pressão da água
• A pressão da água em movimento sobre os pilares podem ser determinadas através da expressão:
p = k × Va2
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
32
Coeficiente adimensional
Velocidade da água (m/s)
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CIV-28 – Pontes
Esforços devidos à pressão da água
• O esforço total proveniente da pressão da água pode ser obtida pela expressão:
F = p × a × h F = k × Va
2 × a × h
Ft2,P1 = 0,71 × 1,60² × 0,50 × 0,50 = 0,45 kN
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
33
Largura do pilar na direção da correnteza
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Esforços finais
𝐻𝑡𝑑 = 1,5𝐻𝑡1 + 1,5𝐻𝑡2
3.2 Carregamentos horizontais Transversais
34
P1 P2 P3
Ht1 169,37 63,15 108,09
Ht2 0,45 2,73 1,36
Htd 254,73 98,82 164,175
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• Cálculo do momento fletor na direção transversal devido à força longitudinal (Mtd):
𝑀𝑡𝑑 = 𝐻𝑙𝑑 × ℎ𝑃
𝑀𝑡𝑑 = 54,14 × 4,5 = 244,07𝑘𝑁𝑚
3.3 Esforços na base dos pilares
35
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CIV-28 – Pontes
• Cálculo do índice de esbeltez na direção longitudinal:
𝑙𝑒 = 2 × ℎ = 2 × 4,5 = 9,0 𝑚
𝜆𝑙 =𝑙𝑒𝑖=900
0,288 × ℎ=900
0,288 × 50= 62,50
3.3 Esforços na base dos pilares
36
h/2
h/2
h=4,
5 m
Nd
HLd
Mc
MTd=244,07kNm
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CIV-28 – Pontes
• Cálculo do índice de esbeltez na direção transversal:
Cálculo do λ1:
Para pilares em balanço, temos:
αb = 0,80 + 0,20McentroMtd≥ 0,85
0,85 ≤ αb ≤ 1,0
Mc =244,07
2= 122,035 kN.m
αb = 0,80 + 0,20 ×122,035
244,07= 0,9
3.3 Esforços na base dos pilares
37
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CIV-28 – Pontes
• Cálculo do índice de esbeltez na direção transversal:
Cálculo do λ1:
Momento mínimo de primeira ordem:
M1d,min = Nd × 0,015 + 0,03h
M1d,min = 3505,73 × 0,015 + 0,03 × 0,50 M1d,min = 105,17 kNm
Onde h é a dimensão da seção transversal do pilar na direção em que se considera a excentricidade.
3.3 Esforços na base dos pilares
38
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CIV-28 – Pontes
• Cálculo do índice de esbeltez na direção transversal:
Cálculo do λ1:
λ1 =25 + 12,5
e1h
αb
e1 =MtdNd máx
=244,07
3505,73= 0,0696 m = 6,96 cm
e1h=6,96
50= 0,139
λt =25 + 12,5 × 0,139
0,9= 29,71 < 35
λl = 62,50 > λt ∴ adotar pilar médio
3.3 Esforços na base dos pilares
39
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• Cálculo do momento fletor na direção longitudinal devido à força transversal (MLd):
MLd = Htd ×M(P = 1)
MLd = 254,73 × 1,3 = 331,15kNm MLd = 254,73 × 0,8 = 203,78kNm
3.3 Esforços na base dos pilares
40
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• Cálculo do índice de esbeltez na direção transversal:
IP =50×80³
12= 2.133.333,33 cm4
IV =20×100³
12= 1666666,67 cm4
3.3 Esforços na base dos pilares
41
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• Cálculo do índice de esbeltez na direção transversal:
Parâmetros de entrada nas tabela 22c do prf. Pfeil:
Ka = K2 =1
2×213,33 × 10−4
166,67 × 10−4×6,15
4= 0,984
Kb = K1 = 0
lel= 1,277 → le = 1,277 × 4 = 5,11
λt =lei=511
0,288 × 80= 22,18 < 35
3.3 Esforços na base dos pilares
42
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• Cálculo do índice de esbeltez na direção longitudinal:
203,78
x=331,15
4 − x
x = 1,52 m
3.3 Esforços na base dos pilares
43
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• Cálculo do índice de esbeltez na direção longitudinal:
331,15
2,48=Mc0,48→ Mc = 64,09 N.m
Momento mínimo de primeira ordem:
M1d,min = Nd × (0,015 + 0,03h) M1d,min = 3505,73 × (0,015 + 0,03 × 0,80)
M1d,min = 136,72 kN
3.3 Esforços na base dos pilares
44
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• Cálculo do índice de esbeltez na direção longitudinal:
αb = 0,80 + 0,20 ×64,09
331,15= 0,84 → αb = 0,85
e1 =MLdNd máx
=331,15
3505,73= 0,0944 m = 9,44 cm
e1h=9,44
80= 0,118
λl =25 + 12,5 × 0,118
0,85= 31,15 < 35
Como em um dos casos tivemos λ maior que 35, o dimensionamento será para um pilar médio.
3.3 Esforços na base dos pilares
45
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• Na direção longitudinal:
• Na direção transversal:
3.4 Esforços solicitantes no pilar
46
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• Na base da seção:
3.4 Esforços solicitantes no pilar
47
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Aula 14: Pilares
Professor: Alex Bortolon de Matos, M.Sc.
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