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GPEFEOscilações
Prof. Me. Diego A. C. Albuquerque
megafisica.com.br
Aula 12:
Oscilações
Oscilações
Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir deum certo instante começa a repetir esta trajetória, dizemos que essemovimento é periódico. Quando o movimento se repete em intervalosregulares é chamado de movimento harmônico.
fT
1=
No MHS são válidas as relações entre frequência (f) eperíodo (T).
Oscilações
O movimento pode seravaliado em uma sequênciade instantâneos:
)cos(.)( ϕω += txtx m
O deslocamento x da partícula é uma funçãodo tempo e pode ser representado por:
Imagine um partícula realizando um movimentoperiódico como mostrado na figura a seguir:
A grandeza xm, denominada
Amplitude, é uma constantepositiva e depende do efeitocausador do movimento.
Oscilações
Para o movimento apresentado anteriormente temos oseguinte gráfico.
)cos(.)( ϕω += txtx m
Amplitude
Tempo
Frequência angular
Ângulo de fase
Fase
Como a função cosseno possui osvalores máximos de 1 e -1 aposição da partícula pode ser nomáximo +xm ou –xm
Oscilações
O gráfico a seguir ilustra dois movimentos de diferentesamplitudes:
A grandeza dependente do tempo (ωt + φ) é chamada de fase e aconstante de fase φ depende das características do deslocamento evelocidade da partícula em t = 0.
Oscilações
Para compreendermos o efeito da frequencia angular, vamossupor um movimento com constante de fase nula, i.e., φ = 0. elembrando que T é o período, ou seja, o tempo de um ciclocompleto, temos que x(t) = x(t+T) para todo t. Logo:
)()( Ttxtx +=
))(cos(.)cos(. Ttxtx mm += ωωA função cosseno se repete pela primeira vez quando seu argumentoaumentar por 2π rad, e assim:
)(2 Ttt +=+ ωπω
fT
ππω 22 ==
Oscilações
O gráfico a seguir ilustra dois movimentos de diferentesfrequências angulares
)cos(.)( ϕω += txtx m
Velocidade no MHS
Da definição de velocidade temos:
Ou:
)]cos([)(
)( ϕω +== txdt
d
dt
tdxtv m
)()( ϕωω +−= tsenxtv m
E portanto:
)()( ϕω +−= tsenvtv m
mm vx =ω
Amplitude da velocidade
Aceleração no MHS
Da definição de aceleração temos:
Ou:
)]([)(
)( ϕωω +−== tsenxdt
d
dt
tdvta m
)cos()( 2 ϕωω +−= txta m
E portanto:
)cos()( ϕω +−= tata m
mm ax =2ω
Amplitude da aceleração
Ou:
)()( 2txta ω−=
Gráficos no MHS
Força no MHS
Aplicando a Segunda Lei de Newton no MHS temos:
xmmaF )( 2ω−==E lembrando a situação de uma mola e a lei de Hooke temos:
xkF el−=Temos então que:
elkm =²ωm
kel=ω
T
πω 2= elk
mT π2=
Oscilador Harmônico Simples
Linear
O sistema bloco-mola da figura forma umoscilador harmônico simples linear onde“linear” indica que F é proporcional à x e não aalguma outra potência de x.
Todo sistema oscilante, seja ele um trampolimou uma corda de violino, possui algumelemento “elástico” e algum elemento de“inércia” ou massa, e assim se assemelha aum oscilador linear.No oscilador linear estes elementos estão empartes separadas do sistema, como aelasticidade da mola e a massa do bloco noexemplo dado.
Energia no MHS
Em um oscilador linear a energia é transferida entre energiacinética e potencial, enquanto que a soma das duas (a EnergiaMecânica) se mantém constante.
2
)²(cos²
2
)]²cos(.[
2
² ϕωϕω +=+== txktxkxkU melmelel
A energia potencial (U) depende da deformação da mola:
A energia cinética (K) depende da velocidade do bloco v(t):
2
)²(²
2
)]²([
2
² ϕωϕωω +=+−
== tsenxktsenxmmvK melm
Energia no MHS
E por fim, a Energia Mecânica:
2
)²(²
2
)²(cos² ϕωϕω +++= tsenxktxkE melmel
KUE +=
( ))²()²(cos2
² ϕωϕω +++= tsentxk
E mel
2
²melxkKUE =+=
A energia mecânica de um oscilador linear é
constante!!!!
Energia no MHS
E x t E x x
A energia mecânica de um oscilador linear é constante!!!!
Pêndulos
- Pêndulo ângular:
κθτ −=
A equação é semelhante a lei deHooke porém na forma angular.
Assim, o período de oscilação no MHS angular pode ser definido como:
κπ I
T 2=
Pêndulos
- Pêndulo Simples:
O pêndulo simples é um tipo de oscilador composto poruma partícula de massa m suspensa em uma dasextremidades de um fio inextensível de massa desprezívele comprimento L com a outra extremidade fixa como nafigura.
As forças que atuam sobre opêndulo são a força peso e a forçaT exercida pelo fio.
Pêndulos
- Pêndulo Simples:
A componente do peso, tangencial aodeslocamento é a força de restauração dessemovimento, porque age no corpo de modo a trazê-lo de volta à sua posição central de equilíbrio,produzindo um torque restaurador.
A componente do peso, perpendicular aodeslocamento é equilibrada pela tração exercidapelo fio.
Pêndulos
Assim:
αθτ IsenPL =−=
θαI
mgL−=
Para θ pequenos, senθ ~ θ e então:
xa2ω−=
Lembrando
I
mgL=²ωmgL
IT π2=
θI
mgL
R
a −=
- Pêndulo Simples:
Pêndulos
- Pêndulo Simples:
Utilizando o conceito do Momento de Inérciapara uma partícula:
mgL
mL
mgL
IT
²22 ππ ==
g
LT π2=
Pêndulos
- Pendulo Composto:
Em alguns casos o pêndulo pode ter umadistribuição complicada de massa, diferentedo pêndulo simples.
Nesse caso, não temos um comprimento Lbem definido, apenas um comprimento h quecorresponde da distância do ponto de apoioao centro de massa do corpo. Partindo daí aequação do período pode ser expressa como:
mgh
IT π2=
MHS e MCU
Observando um movimento circular e uniforme podemos concluir que oMHS nada mais é que uma projeção do movimento circular sobre umplano de referência:
O raio do movimentocircular é exatamente aamplitude do movimentoharmônico projetado.
MHS Amortecido
)'cos()( 2/ ϕω += −textx
mbt
m
2
2
4'
m
b
m
k ±=ω
Oscilações Forçadas
)cos()( ϕω += txtx dm
dωω =
Condição de Ressonância:
Aplicações: AFM
Microscopia de Força Atômica (AFM):