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EAC-082: Geodésia Física
Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges
Aula 10
Reduções Gravimétricas
https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/
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Considerações Iniciais
De acordo com Gemael (1999) A anomalia da
gravidade, ou o valor da gravidade estão sujeitas a
diferentes tipos de reduções, que dependem de sua
aplicação. Uma delas denominada de anomalia de
Bouguer considerada isoladamente tem pouca
importância ao geodesista nas determinações das
ondulações do geóide; já as reduções isostática tem
interesse aos geodesistas e aos geólogos, mas não se
adequam aos trabalhos de prospecção de natureza local.
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Segundo Hofmann-Wellenhof e Moritz (2005) as
reduções gravimétricas servem como uma ferramenta
para três objetivos principais:
1. Determinação do geoide;
2. Interpolação e extrapolação da gravidade;
3. Investigação da crosta terrestre.
Somente as duas primeiras propostas são de
natureza direta da Geodésia.
Considerações Iniciais
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Vimos também que a clássica fórmula de STOKES
pressupõe a inexistência de massas externas ao geoide.
Isso implicará em métodos de redução que eliminem ou
transfiram para outras posições as “massas topográficas”. É
óbvio que em tais circunstâncias o geoide sofrerá
variações, maiores ou menores, consoante ao processo
utilizado, o que, por sua vez, também exigirá um novo
tratamento.
Por outro lado, nas reduções isostáticas são
eliminadas tanto as massas externas ao geoide como as
correspondentes massas internas de compensação, com o
que se verifica uma alteração relativamente fraca do
potencial gravífico (GEMAEL, 1999).
Considerações Iniciais
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Para que possamos visualizar o problema na sua forma
geral, iremos recordar a definição genérica de anomalia
da gravidade.
𝚫𝒈 = 𝒈𝟎 − 𝜸
O índice 0 na gravidade real visa enfatizar que ela
refere-se à superfície do geoide; a gravidade teórica é
obtida com a “fórmula internacional” em função da
latitude do ponto observado, sobre a superfície do
modelo.
Considerações Iniciais
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• Fórmula internacional da gravidade – 1930:
Em 1927 a Assembleia Geral da IUGG1 esteve
reunida em Praga com o objetivo de debater as diferentes
fórmula para a obtenção da gravidade normal e, assim obter
uma uniformização para Geodésia Física e definir a adoção
de uma fórmula internacional da gravidade normal.
Assim na assembleia seguinte (Estocolmo, 1930), passou-
se a adotar de forma oficial a fórmula sugerida por Cassinis,
aplicada ao elipsoide internacional de Hayford.
𝛾30 = 978.049 ∗ (1 + 0,0052884 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝜑) – 0,0000059 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(2𝜑))
1 – International Union of Geodesy and Geophysics
Considerações Iniciais
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• Fórmula internacional da gravidade – 1967:
Em 1964 a União Astronômica Internacional adotou o
Sistema de Constantes Astronômicas UAI e, em 1967 a
UGGI, decorrido quase meio século da
“internacionalização”, recomendou o Sistema Geodésico de
Referência 1967, resultando na fórmula internacional de
1967.
𝛾67 = 978031,846 ∗ 1 + 0,005278895 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 (𝜑) − 0,000023462 ∗ 𝑠𝑒𝑛4(𝜑)
Para o elipsoide GRS 80 adotou-se a seguinte equação:
𝛾80 = 978032,700 ∗ (1 + 0,0053024 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝜑) – 0,0000058 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(2𝜑))
Considerações Iniciais
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Sistemas de Constantes Astronômicas U.A.I.
Considerações Iniciais
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Para “reduzirmos ao nível médio do mar” a gravidade
observada na superfície física da Terra, introduzimos a
chamada “correção ao ar livre” 𝑪𝒇.
A anomalia resultante recebe o mesmo nome da correção.
Assim temos:
𝚫𝒈𝒇 = 𝒈 + 𝑪𝒇 − 𝜸
Considerações Iniciais
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A remoção das massas topográficas ou massas externas ao
geoide, para legitimar a aplicação da integral de STOKES,
se obtém empregando, além da redução anterior, a
chamada correção de Bouguer (𝑪𝒃).
A anomalia resultante é designada com o nome do cientista
francês, que foi o primeiro a considera-la. Assim temos:
𝚫𝒈𝒃 = 𝒈 + 𝑪𝒇 + 𝑪𝒃 − 𝜸
Considerações Iniciais
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Se quisermos ainda considerar a circunstancia de achar-se
a maior parte da crosta terrestre em equilíbrio isostático,
impomos, além das correções anteriores, mais uma
correção (𝑪𝒊).
A anomalia resultante é conhecida como anomalia
isostática. Assim temos:
𝚫𝒈𝒊 = 𝒈 + 𝑪𝒇 + 𝑪𝒃 + 𝑪𝒊 − 𝜸
Considerações Iniciais
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Anomalia do ar livre
A correção do ar livre para um ponto de altitude ortométrica (H) é
dada por:
𝑪𝒇 = (𝜹𝒈/𝜹𝑯) ∗ 𝑯
Sendo δg/δH o gradiente vertical da gravidade.
Nos trabalhos rotineiros de Geodesia e Geofísica podemos utilizar
o gradiente da gravidade normal: 𝑪𝒇 = 0,3086 ∗ 𝐻.
Com 𝑯 em metros e 𝑪𝒇 em miligals. Resulta então numa anomalia
do ar livre:
𝚫𝒈𝒇 = 𝒈 + 𝟎, 𝟑𝟎𝟖𝟔 ∗ 𝑯 – 𝜸
Nos casos de maior precisão podemos usar:
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Anomalia do ar livre
Segundo Gemael (1999), a determinação relativa de g em
uma estação terrestre utilizando o gravímetro é uma operação
relativamente simples que se conclui em poucos minutos com
notável precisão.
Porém, no caso da anomalia do ar livre pressupõe a
definição cartográfica do ponto: latitude para o cálculo da gravidade
teórica e altitude para a correção do gradiente.
De acordo com Miranda et al (2012), o gradiente vertical da
gravidade teórica coloca a necessidade de ser conhecida com muito
rigor a altitude dos pontos de medida utilizados para os estudos
gravimétricos. Os melhores gravímetros disponíveis podem medir a
gravidade com uma precisão de 0,001 𝑚𝐺𝑎𝑙. Neste caso, para ser
utilizada toda a precisão disponível nesta medida, torna-se
necessário conhecer a altitude com uma precisão melhor que 3 mm.
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1. Considere os dados abaixo das estações
gravimétricas e calcule o valor da anomalia do ar
livre.
Datum SIRGAS2000
1. Ponto
g = 978017,80 𝑚𝐺𝑎𝑙φ = -06º 45’ 17”
λ = -38º 57’ 56”
H = 245,116 m
2. Ponto
g = 978018.50 𝑚𝐺𝑎𝑙φ = -06º 46’ 12”
λ = -38º 58’ 29”
H = 239,659 m
Exercício
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Exercício
Cálculo da Anomalia de Ar Livre Cálculo da Anomalia de Ar Livre
-6°.45' 17.00000'' -6.7547222222 -6°.46' 12.00000'' -6.7700000000
-38°.57' 56.00000'' -38.9655555556 -38°.58' 29.00000'' -38.9747222222
978017.80 mGal 978018.50 mGal
245.116 m 239.659 m
978104.1339 mGal 978104.456 mGal
Cf1 = 75.64279760 mGal Cf1 = 73.95876740 mGal
Cf2 = 75.68280442 mGal Cf2 = 73.99787717 mGal
-10.69115174 mGal -11.99719762 mGal
-10.65114492 mGal -11.95808785 mGal
a = 0.003352810681 a = 0.003352810681
a = 6378137.0000 m a = 6378137.0000 m
b = 6356752.3141 m b = 6356752.3141 m
e = 9.7803267715 m/s² e = 9.7803267715 m/s²
w = 7.292115E-05 rad/s w = 7.292115E-05 rad/s
m = 3.449786003E-03 m = 3.449786003E-03
𝜑 =
=
=
𝐻 =
𝜑 =
=
=
𝐻 =
𝛾 =
1 =
𝛾 =
1 =
2 = 2 =
𝜑 =
=
=
𝐻 =
𝜑 =
=
=
𝐻 =
𝛾 =
1 =
𝛾 =
1 =
2 = 2 =
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Anomalia de Bouguer
Mencionamos anteriormente que a fórmula de STOKES
pressupõe a inexistência de massas externas ao geoide. A remoção
de tais massas topográficas, bem como o preenchimento das bacias
oceânicas por material de mesma densidade que o da crosta
terrestre, será executada em duas fases:
FONTE: Sneeuw (2006)
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Anomalia de Bouguer
1. Redução modificada de BOUGUER: é a que elimina as
massas da região “próxima” à estação (“zonas literais de
HAYFORD”); é constituída por uma calota esférica cujo o polo
é a estação e cujo o raio é igual a 166,7 km.
2. Redução topoisostática: é a que elimina as massas
topográficas das regiões “distantes”, que se estendem até o
ponto oposto simetricamente da estação. Esta redução se
processa juntamente com a correção isostática.
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Redução Modificada de Bouguer:
A anomalia BOUGUER considera a massa existente entre o geóide e a
superfície física da Terra. A remoção das massas topográficas pode ser
expressa por:
O primeiro termo (A) constitui a correção de BOUGUER propriamente
dita: corresponde à componente vertical da atração exercida por um platô
horizontal de espessura H sobre um ponto de massa unitária situado à sua
superfície.
FONTE: MOLINA (2014)
Anomalia de Bouguer
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19/33Correção Topográfica. FONTE: MOLINA (2014)
Redução Modificada de Bouguer:
A componente (A), na realidade, se aproxima da que seria produzida por
uma calota de mesma espessura e com raio esférico de 166,7 km. A função
do segundo termo (B) é converter o platô em calota.
O terceiro termo (C), que designaremos por correção topográfica, considera
as irregularidades da topografia em relação à calota.
Anomalia de Bouguer
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Redução Modificada de Bouguer:
𝐵 = – 𝛾 + 0,3086 ∗ 𝐻 − 0,1119 ∗ 𝐻 – 𝐵 + 𝐶
O terceiro termo (C) é a correção topográfica e assume valores relativamente
pequenos. Em escala regional, esta correção pode ser negligenciada desde
que a topografia seja plana ou moderada. Em escala local, no entanto, ela
tem que ser considerada pois as anomalias envolvidas, neste caso,
normalmente são pequenas.
O segundo termo (B) é fornecido pela seguinte tabela:
Anomalia de Bouguer
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H Calota Platô B (10-4 Gal)
100 11,26 11,18 0,8
200 22,62 22,36 2,6
300 33,98 33,54 4,4
400 45,24 44,72 5,2
500 56,60 55,90 7,0
600 67,86 67,08 7,8
700 79,12 78,26 8,6
800 90,48 89,44 10,4
900 101,74 100,62 11,2
1000 113,00 111,80 12,0
1100 124,26 122,98 12,8
1200 135,52 134,16 13,6
1300 146,78 145,34 14,4
1400 158,04 156,52 15,2
1500 169,20 167,70 15,0
1600 180,46 178,88 15,8
1700 191,72 190,06 16,6
1800 202,98 201,24 17,4
1900 214,14 212,42 17,2
2000 225,30 223,60 17,0
FONTE: MOLINA (2014)
Anomalia de Bouguer
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O cálculo da correção topográfica (correção do terreno C) envolve boas
cartas topográficas da região vizinha à estação. Por meio de circunferências
concêntricas, cujos raios são tabelados.
A partir da localização da estação, a região é dividida em zonas
denominadas zonas literais de Hayford. São designadas com letras
maiúsculas desde A (pequena calota que envolve a estação) até O, que
representa a região mais afastada (com raio de 166,7 km) e que precisamente
delimita a calota de Bouguer.
As zonas C, D, E, F, e O às vezes são subdivididas em C1, C2, D1, D2, etc..
Anomalia de Bouguer
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Segundo MOLINA (2014), em
regiões pouco acidentadas, como
no caso do Brasil, a correção
topográfica é relativamente
pequena (em grande parte do
território brasileiro é inferior a 3
mGal).
As zonas de Hayford, por sua
vez, são subdivididas por radiais,
em compartimentos, conforme
tabela a seguir:
Zonas e Compartimentos. FONTE: MOLINA (2014)
Anomalia de Bouguer
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Raio: externo (em metros) ; n: número de compartimentos. FONTE: GEMAEL (1999)
Anomalia de Bouguer
Zona Raio n Zona Radial Raio n
A 2 1 18 1°,41' 13,0'' 1
B 68 4 17 1°,54' 52,0'' 1
C 130 4 16 2°,11' 53,0'' 1
C' 230 4 15 2°,33' 36,0'' 1
D 380 6 14 3°,03' 05,0'' 1
D' 590 6 13 4°,19' 13,0'' 16
E 870 8 12 5°,46' 34,0'' 10
E' 1280 8 11 7°,51' 30,0'' 8
F 1680 10 10 10°,44' 00,0'' 6
F' 2290 10 9 14°,09' 00,0'' 4
G 3520 12 8 20°,41' 00,0'' 4
H 5240 16 7 26°,41' 00,0'' 2
I 8440 20 6 35°,58' 00,0'' 18
J 12400 16 5 51°,04' 00,0'' 16
K 18800 20 4 72°,13' 00,0'' 12
L 28800 24 3 105°,48' 00,0'' 10
M 58800 14 2 150°,56' 00,0'' 6
N 99000 16 1 180°,00' 00,0'' 1
O 132880 28
O' 166735 28
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1. Considere os dados abaixo das estações
gravimétricas e calcule o valor da anomalia de
Bouguer, considerando que o valor do termo C
pode ser negligenciável.
Datum SIRGAS2000
1. Ponto
g = 978017,80 𝑚𝐺𝑎𝑙φ = -06º 45’ 17”
λ = -38º 57’ 56”
H = 245,116 m
2. Ponto
g = 978018.50 𝑚𝐺𝑎𝑙φ = -06º 46’ 12”
λ = -38º 58’ 29”
H = 239,659 m
Exercício
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Exercício
A = 27.4284804 A = 26.8178421
100 1.8 100 1.8
45.116 0.812088 0.3412088 39.659 0.713862 0.3313862
-38.46084094 mGal -39.14642592 mGal
-38.42083412 mGal -39.10731615 mGal 2 = 2 =
1 = 1 =
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Anomalia isostática
Isostasia:
A isostasia estuda o estado de equilíbrio da litosfera sob os
efeitos da gravidade. Aos excessos (montanhas) e às deficiências
(oceanos) de massa em relação ao geóide corresponde massas internas
de compensação.
O equilíbrio isostático pode estar plenamente atingido em
certas regiões, por isso ditas compensadas. Em outras pode se achar em
fase de processamento (são as regiões ditas sub compensadas) ou ter
sido ultrapassado (regiões super compensadas), daí um processamento
no sentido inverso.
Uma anomalia isostática aproximadamente nula indicaria
equilíbrio isostático; as anomalias fortemente negativas corresponderiam
regiões super compensadas e às positivas, regiões sub compensadas.
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O sistema PRATT-HAYFORD:
Segundo MOLINA (2014) o sistema de Pratt postula a igualdade
entre as massas topográficas e as chamadas massas de compensação, que se
estendem do geóide até uma determinada profundidade, denominada
profundidade de compensação.
O equilíbrio isostático ocorreria através da variação de densidade
do material subjacente ao geóide: sob as montanhas (excesso de massa em
relação ao geóide) haveria uma deficiência de densidade e sob o leito dos
oceanos (as massas oceânicas representariam uma deficiência de massa)
haveria um excesso em relação ao valor médio atribuído às massas
superficiais.
Anomalia isostática
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Sistema PRATT-HAYFORD. FONTE: MOLINA (2014)
Onde:ρ é a densidade da camada superficial (massa topográfica);ρ1 é a densidade da parte subjacente ao geoide;A diferença ρ’1 = ρ – ρ1 é denominada densidade de compensação.
Em outras palavras, blocos prismáticos de seção unitária conteriam
a mesma massa, quer fossem eles: continentais (a), litorâneos (b) ou
oceânicos (c), delimitados inferiormente pela superfície de compensação de
profundidade H.
Anomalia isostática
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A isostasia postula que:
ou seja, às massas topográficas do bloco correspondem massas internas de
compensação iguais, mas de sinal contrário, logo, a densidade de
compensação é expressa por:
Anomalia isostática
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Em um bloco oceânico de profundidade p, designando por:
Uma vez arbitrado o valor de H, a densidade de compensação
resultante conhecida é a correção isostática, isto é, a componente vertical da
atração produzida pelas massas de compensação pode ser calculada, em
essência, de maneira análoga ao efeito das massas topográficas.
Anomalia isostática
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Zona Continental Oceânica
B 0,00656 H 0,00403 r
C 0,01608 0,00989
D 0,03576 0,02199
E 0,06857 0,04217
F 0,09941 0,06114
G 0,11975 0,07365
H 0,16502 0,10149
I 0,29987 0,18442
J 0,35826 0,22033
K 0,55029 0,33837
L 0,79034 0,48606
M 1,91861 1,17995
N 1,7467 1,07422
O 1,6988 1,04476
Correção Isostática Sistema PRATT-HAYFORD (Gal x 10−5). FONTE: GEMAEL (1999)
As tábuas fundamentais de
CASSINIS, base das tábuas de
correção topográfica, servem à
correção isostática mediante à
conveniente adoção da densidade de
compensação. Na prática, sem prejuízo
à precisão e com economia de tempo,
a correção relativa às massas de
compensação pode ser calculada a
partir do quadro ao lado.
Anomalia isostática
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ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – PresidentePrudente, 2009.
CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências daUniversidade de Lisboa – Lisboa, 2000.
GEMAEL, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR, Curitiba,
1999.
HOFMANN-WELLENHOF, B. e MORITZ, H. Physical Geodesy. Ed.SpringerWienNewYork –Austria, 2005.
MIRANDA, J. M., LUIS, J. F., COSTA, P. T. e SANTOS, F. M.Fundamentos de Geofísica. 2012.
MOLINA, E. C. Gravimetria e Geomagnetismo - notas de aula.<disponível em: http://www.iag.usp.br/~eder/agg0333/>, 2014.
SNEEUW, N. Physical Geodesy. Institude of Geodesy UniversitätStuttgart – Stuttgart, 2006.
Referências Bibliográficas