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Aula 1: Teoria quânticaIntrodução aos principais conceitos
Rafael Rabelo – [email protected]
Departamento de Física da Matéria CondensadaInstituto de Física “Gleb Wataghin”
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Aula 1
1. Sistemas quânticos
2. Notação e definições básicas
3. Qubits
4. Estados
5. Emaranhamento
6. Mapas
7. Medições
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Sistemas quânticos
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Sistemas quânticos
Um sistema quântico é qualquer coisa que admite umadescrição dinâmica fechada dentro da teoria quântica.
Asher Peres
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Notação e definições básicas
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Espaços de Hilbert
Espaços de HilbertA todo sistema quântico é associado um espaço de Hilbert H:
• espaço vetorial;• dotado de produto interno;• no qual toda seuquência de Cauchy é convergente.
DimensãoNeste curso, consideraremos apenas espaços de Hilbert complexosde dimensão finita d,
H = Cd.
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Notação de Dirac
KetsUm vetor arbitrário de H será denotado |ψ⟩:
|ψ⟩ = [ψ1, . . . , ψd]T .
BrasPara todo vetor de H, existe um elemento dual, denotado ⟨ψ|:
⟨ψ| = [ψ∗1 , . . . , ψ∗d ] .
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Produtos
Produto interno: braket
⟨ψ|ϕ⟩ .
Norma
|| |ψ⟩ || =√⟨ψ|ψ⟩.
Produto externo
|ψ⟩⟨ϕ| .
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Operadores
Operador identidade
1 |ψ⟩ = |ψ⟩ .
Projetor
Π2 = Π.
• UnidimensionalΠ = |ψ⟩⟨ψ| .
• Multidimensional:
Π =∑i
|ψi⟩⟨ψi| ,⟨ψi|ψj
⟩= δi,j.
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Operadores
Hermitiano:
A = A† = (A∗)T .
Decomposição espectral:
A =d−1∑i=0
ai |ai⟩⟨ai| .
Positivo semi-definido:
A ≥ 0 → ⟨ψ|A |ψ⟩ ≥ 0.
Unitário:
U† = U∗ = U−1.
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Uma visão operacional
Preparação, transformação e medição
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Relembramentos
Estado: |ψ⟩ ∈ H
• Normalização:|| |ψ⟩ || = 1,
• Fase global:|ψ⟩ ∼ eiφ |ψ⟩ .
Transformação: U unitária
U |ψ⟩ = |ϕ⟩ .
Observável: A hermitiano
• Valor esperado:⟨A⟩|ψ⟩ = ⟨ψ|A |ψ⟩ ,
• Probabilidades:p(ai) = |⟨ai|ψ⟩|2 .
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Qubits
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Qubits
QubitO qubit é o sistema quântico mais simples, H = C2.
Estado de um qubit
|ψ⟩ = α |0⟩+ β |1⟩= |α| eiφα |0⟩+ |β| eiφβ |1⟩= cos (δ) eiφα |0⟩+ sin (δ) eiφβ |1⟩= cos (δ) |0⟩+ sin (δ) ei(φβ−φα) |1⟩= cos (θ/2) |0⟩+ sin (θ/2) eiφ |1⟩ .
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Esfera de Bloch
|ψ⟩ = cos (θ/2) |0⟩+ sin (θ/2) eiφ |1⟩ .
| i
|0i
|1i
✓
'x̂
ŷ
ẑ
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Matrizes de Pauli
σx =
(0 11 0
)σy =
(0 −ii 0
)σz =
(1 00 −1
)
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Estados
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Estados puros
Estados purosUm estado puro pode ser representado por um vetor |ψ⟩ ∈ H, e, deacordo com a teoria quântica, é a melhor descrição possível de umsistema quântico.
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Estados mistos
Estados mistosSuponha que exista um procedimento de preparação P que prepareo estado |ψ1⟩, com probabilidade p1, e |ψ2⟩, com probabilidade p2. Ovalor esperado de um observável A é, então
⟨A⟩ = p1 ⟨ψ1|A |ψ1⟩+ p2 ⟨ψ2|A |ψ2⟩= p1Tr (|ψ1⟩⟨ψ1|A) + p2Tr (|ψ2⟩⟨ψ2|A)= Tr (ρA) ;
ρ = p1 |ψ1⟩⟨ψ1|+ p2 |ψ2⟩⟨ψ2| .
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Operador densidade
Operador densidade ρ
• Positivo semi-definido:ρ ≥ 0;
• Normalizado:Tr (ρ) = 1.
Misturas
ρ =∑i
pi |ψi⟩⟨ψi| .
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Qubit
Operador densidade de um qubit
ρ =12
(1+ vz vx − ivyvx + ivy 1− vz
)
=12 (1+ vxσx + vyσy + vzσz)
=12(1+ v⃗.σ⃗
).
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Bola de Bloch
ρ =12(1+ v⃗.σ⃗
)|0i
|1i
x̂
ŷ
ẑ
~v
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Emaranhamento
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Sistemas compostos
Espaço de HilbertO espaço de Hilbert de um sistema composto por dois subsistemasé o produto tensorial dos espaços de Hilbert dos subsistemas
HAB = HA ⊗HB.
DimensãoSe HA = CdA e HB = CdB , então HAB = CdAdB .
BaseSe {|iA⟩}dA−1i=0 é base ortonormal de HA e {|jB⟩}
dB−1j=0 é base ortonormal
de HB, então {|iA⟩ ⊗ |jB⟩}dA−1,dB−1i=0,j=0 é base ortonormal de HA ⊗HB.
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Estados puros
Estado produtoUm estado puro |ψ⟩ ∈ HA ⊗HB é produto se existem |ϕA⟩ ∈ HA e|φB⟩ ∈ HB tais que
|ψ⟩ = |ϕA⟩ ⊗ |φB⟩ .
Estado emaranhadoUm estado puro |ψ⟩ ∈ HA ⊗HB é emaranhado se não é produto.
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Exemplos
Exemplo 1
|ψ⟩ = 12 (|00⟩+ |01⟩+ |10⟩+ |11⟩)
=
(1√2(|0⟩+ |1⟩)
)(1√2(|0⟩+ |1⟩)
).
Exemplo 2
|ψ⟩ = 1√2(|00⟩+ |11⟩)
Exemplo 3
|ψ⟩ = α |00⟩+ β |01⟩+ γ |10⟩+ δ |11⟩
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Decomposição de Schmidt
Decomposição de Schmidt
Para todo |ψ⟩ ∈ HA ⊗HB, existem bases {|αi⟩}dA−1i=0 de HA e {|βi⟩}dB−1i=0
de HB tais que
|ψ⟩ =d−1∑i=0
ci |αiβi⟩ ,
onde d = min {dA,dB} e ci ≥ 0, para todo i.
Rank de SchmidtO rank de Schmidt é o número de coeficientes de Schmidtestritamente maiores que zero.
Estados puros emaranhadosUm estado |ψ⟩ ∈ HA ⊗HB é emaranhado se, e somente se, seu rankde Schmidt é maior que 1.
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Estados separáveis
Estados produtoUm estado ρ atuando em HA ⊗HB é produto se existem estados ρAatuando em HA e ρB atuando em HB tais que
ρ = ρA ⊗ ρB.
Estados separáveisUm estado ρ é separável se pode ser escrito como combinaçãoconvexa de estados produto
ρ =∑i
piρiA ⊗ ρiB,
ondepi ≥ 0,
∑i
pi = 1.
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Operações locais
Forma geral do estado bipartido
ρ =∑ijαβ
aijαβ |i⟩⟨j| ⊗ |α⟩⟨β|
Transposição parcial
ρTB =∑ijαβ
aijαβ |i⟩⟨j| ⊗ |β⟩⟨α|
Traço parcial
TrB (ρ) =∑ijαβ
aijαβ |i⟩⟨j| ⊗(∑
γ
⟨γ|α⟩⟨β|γ⟩
)
=∑ij
(∑α
aijαα
)|i⟩⟨j|
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Critério de Peres
Critério de PeresSe ρTB ≱ 0, então ρ é emaranhado.
ProvaAssumindo que ρ é separável,
ρTB =∑i
piρiA ⊗ (ρiB)T.
Critério de Peres-HorodeckiSe ρ atua em um espaço de Hilbert global H de dimensão menor ouigual a 6, então ρ é emaranhado se, e somente se, ρTB ≱ 0.
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Quantificadores de emaranhamento
Monótonos de emaranhamentoUm monótono de emaranhamento é uma função E(ρ) real quesatisfaz:
• E (ρ) = 0 se ρ é separável.• E (Λ (ρ)) ≤ E (ρ) se Λ é uma operação local com comunicaçãoclássica (LOCC).
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Exemplos de quantificadores
Entropia de emaranhamento
E (|ψ⟩) = S (ρA) = −Tr (ρA log (ρA)) .
Emaranhamento de formação
Ef (ρ) = min{pi,|ψi⟩}∑i
piE (|ψi⟩)
ρ =∑i
pi |ψi⟩⟨ψi|
Negatividade
N (ρ) =∣∣∣∣ρTA ∣∣∣∣1 − 1
2 .
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Alguns estados interessantes
Estados de Bell
∣∣ϕ±⟩ = 1√2(|00⟩ ± |11⟩) ,∣∣ψ±⟩ = 1√
2(|01⟩ ± |10⟩) .
Estados de Werner
ρW = w∣∣ψ−⟩⟨ψ−∣∣+ (1− w)14 .
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Mais estados interessantes
Maximamente emaranhado
|Ψd⟩ =1√d
∑i
|ii⟩ .
GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger)
|GHZ⟩ = 1√2(|000⟩+ |111⟩)
W (Wooters)
|W⟩ = 1√3(|001⟩+ |010⟩+ |100⟩) .
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Mapas
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Mapas
Mapas quânticosUm Mapa quântico Λ é um funcional que transforma o estado dosistema. É desejável que ele preserve as condições do estado:
• Λ seja positivo: se ρ ≥ 0, então Λ (ρ) ≥ 0.• Λ preserve traço: Tr (Λ (ρ)) = Tr (ρ).
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Mapas k-positivos
k-extensõesUm mapa Λ que atua sobre HA pode ser trivialmente estendido paraatuar obre HA ⊗Hk
Λk = Λ⊗ 1k,
onde k representa a dimensão de H.
Mapas k-positivosUm mapa Λ é k-positivo se sua extensão Λk é positiva.
Mapas completamente positivosUm mapa Λ é completamente positivo (CP) se é k-positivo para todok.
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Critério de Peres-Horodecki
Estados emaranhadosUm estado ρ atuando em HA ⊗HB é emaranhado se, e somente se,existe um mapa Λ positivo, mas não completamente positivo, tal queΛdB (ρ) ≱ 0.
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Decomposição de Krauss
Operadores de KraussUm mapa Λ é completamente positivo se, e somente se, existemoperadores {Ki} tais que
Λ (ρ) =∑i
K†i ρKi.
Mapas CP que preservam traço (CPTP)Os operadores de Krauss dos mapas CP que preservam traço devemsatisfazer: ∑
i
KiK†i = 1.
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Medições
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A teoria quântica
Num sentido estrito, a teoria quântica é um conjunto deregras para se calcular as probabilidades dos possíveisresultados de uma medição realizada em um sistema cujapreparação é conhecida.
Asher Peres
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Medições projetivas (MPs)
ProjetoresEm uma MP x, a cada resultado a é associado a um projetor Πa|x:
• Πa|xΠa′|x = δa,a′Πa|x,•∑
a Πa|x = 1.
Regra de BornSe a medição x é realizada sobre um sistema de estado ρ, então aprobabilidade de se obter o resultado a é
p(a|x) = Tr(ρΠa|x
).
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Medições projetivas (MPs)
Estado pós mediçãoO estado do sistema imediatamente após a medição, obtido oresultado a, é dado por
ρa|x =Πa|xρΠa|x
Tr(ρΠa|x
) .Observáveis
Ax =∑aaΠa|x.
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POVMs
Positive Operator Valued MeasureEm um POVM x, cada possível resultado a é associado a umoperador positivo semi-definido Ea|x
Ea|x ≥ 0,∑aEa|x = 1.
Regra de BornSe o POVM x é realizado sobre um sistema de estado ρ, então aprobabilidade de se obter o resultado a é
p(a|x) = Tr(ρEa|x
).
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POVMs
Estado pós mediçãoCaso seja possível, o estado do sistema imediatamente após amedição, obtido o resultado a, é dado por
ρa|x =E1/2a|xρE
1/2a|x
Tr(ρEa|x
) .
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Sumário
• Estados quânticos, puros e mistos;• Qubits, esfera e bola de Bloch;• Emaranhamento em sistemas bipartidos
• Estados puros: decomposição de Schmidt;• Estados mistos: critério de Peres (transposição parcial);• Quantificadores;• Exemplos
• Mapas quânticos, positivos e completamente positivos;• Medições projetivas e POVMs, regra de Born.
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Sistemas quânticosNotação e definições básicasQubitsEstadosEmaranhamentoMapasMedições