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RUMO PRÉ-VESTIBULAR MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A

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Aula 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto nos dá ideia de grupo, coleção de certos objetos e “coisas” que satisfazem certa classificação ou regra. Para os números temos seis conjuntos básicos que foram sendo introduzidos conforme a necessidade e aplicação ao longo da história da matemática. Os conjuntos numéricos são chamados de naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Mas antes de estudarmos suas regras e aplicações vamos à sua linguagem, suas definições e ideias importantes:

a) Chamamos o grupo de interesse de conjunto e os objetos de elementos.

b) Representamos os elementos por letras minúsculas (Ex: a, b, t...) e os conjuntos com letras maiúsculas (Ex: A, T, Y...).

c) Para dizermos que um elemento PERTENCE (está ou não dentro do conjunto) usamos o símbolo , caso não pertença ao conjunto, usamos este

símbolo ou . Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmo elementos (dizemos que o conjunto A é igual ao conjunto B, matematicamente A=B).

d) O conjunto vazio é o que não possui elementos e

representamo-lo com o símbolo ou { }.

e) Conjunto universo é o que possui todos os elementos de todos os conjuntos estudados.

f) Dizemos que um conjunto A é um SUBCONJUNTO de outro B, se todos os elementos em A também estiverem em B. Dizemos então que A está contido em B (matematicamente A C B) ou que B contém A (B Ͻ A). Os símbolos que negam esta afirmação são com um traço no meio, por exemplo: O conjunto A não está contido em B (matematicamente A B).

Vamos ver agora como representamos um conjunto. Há três formas:

a) Por extenso: colocamos os elementos entre chaves e separamo-los com vírgulas. Exemplos: A = {0,1,4,8,10} -> conjunto FINITIO; B = {2,4,6,...} -> conjunto INFINITO

b) Por extensão: representamos através de uma regra ou propriedade do conjunto. Exemplo: A = {x | x seja vogal } ou seja A = {a,e,i,o,u}

c) Por diagrama de Veen: Forma-se uma figura e os pontos internos à figura são os elementos do conjunto, os externos não são. Exemplo:

Os conjuntos acima são escritos como: A = {0,1,4,7,8} ; B={0,3,4,5,6,8,10};C = {4,6,8,10,12,14}.

Entendido melhor a linguagem vamos às operações com conjuntos. Para tal considere os seguintes conjuntos:

A = {0,2,4,6} e B = {1,2,3,4,5}

a) União de conjuntos (símbolo U): A união entre o conjunto A e B será dada por um novo conjunto V que terá todos os elementos de que tem em A e que tem em B. Matematicamente A U B = {0,1,2,3,4,5,6} = V. A regra geral para a operação de união entre quaisquer dois conjuntos D e F é: D U F

= {x | x є A ou x є B} onde lemos: D união com F é

igual a os elemento x, tal que x pertença ao conjunto A ou x pertença ao conjunto B.

b) Intersecção de conjuntos (símbolo ∩): A interseção entre o conjunto A e B é dado por um novo conjunto T, que irá ter os elementos que são iguais entre os conjuntos A e B. Matematicamente A ᴖ B = {2,4}. A regra geral para tal operação é dada como:

T = A ∩ B = { x | x є A e є B- onde lemos, o conjunto

A intersecção com B é igual os elementos x, tal que x pertença ao conjunto A e pertença ao conjunto B.

c) Diferença de conjuntos (símbolo - ): Será a diferença entre os conjuntos A e B um conjunto O tal que este tenha os elementos que pertencem ao conjunto A mais que não pertençam ao conjunto B. Matematicamente A – B = {0,6}. A regra geral para

esta operação é: O = A – B = {x | x є A e x B} onde

lemos o conjunto A menos o conjunto B é igual a os elementos x, tal que x pertença ao conjunto A e não pertença ao conjunto B.


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Uma fórmula muito interessante que pode ser utilizada em problemas de conjuntos é:

n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) Onde a notação n() significa o número de elementos. Exemplo: n(A) é o número de elementos do conjunto A. d) Produto cartesiano (símbolo x): Dados dois conjuntos A e B o produto cartesiano representado por A x B será um no conjunto formado por todos os pares ordenados (x;y), que se obtém com x є A e y є B. Matematicamente temos A x

B={(x;y) | x є A e x є B}. Exemplo: O produto cartesiano dos

conjuntos A e B acima é: A x B = {(0;1),(0;2),(0;3),(0;4),(0;5),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5), (6;1),(6;2),(6;3),(6;4);(6;5)}.

Essas são as principais operações sobre os conjuntos, sendo esta última a que irá nos ajudar a definir matematicamente funções e o plano cartesiano, onde faremos os gráficos das funções. Mas, vamos agora estudar como esta matemática pode nos ajudar quando usamos os números como os conhecemos. Nós estudamos na revisão como os conjuntos foram aparecendo, vamos agora defini-los: a) Conjuntos dos números naturais: IN = {0,1,2,3,4,5,...} (É comum usarmos também o conjuntos dos naturais sem o elemento 0 na seguinte forma IN* = {1,2,3,4,5,...}.) b) Conjuntos dos números inteiros: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} (É comum usarmos as representações dos conjuntos dos inteiros sem o zero ou só os positivos ou só os negativos nas formas Z*, Z- e Z+ respectivamente) c) Conjunto dos números racionais: Q = {x | x = a/b, com a

є Z e b є Z*}

d) Conjunto dos números irracionais: I = ,x | x ≠ a/b, com a

є Z e b є Z*}

e) Conjunto dos números reais: R = {x | x є Q e x є I}

f) Conjunto dos números complexos:

C = {x | x = a+ib, com a e b є R}

Temos outra forma de representar os conjuntos dos números que nos será útil quando analisarmos intervalos. Essa forma se dá em retas onde representamos os elementos dos conjuntos. Exemplo:

Reta dos Reais Reta dos Inteiros Reta dos Racionais

Desta forma podemos representar intervalos numéricos tanto abertos (número não faz parte do

intervalo), simbolizados por ᴑ e intervalos fechados

(número faz parte do intervalo), simbolizados por ●. Podemos inclusive fazer operações com os intervalos. As figuras a seguir mostram os símbolos utilizados, exemplos de intervalos e suas representações:

Mas vamos agora praticar através de exercícios!

EXERCÍCIOS EM SALA:


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EXERCÍCIOS PARA CASA:

1) Dados os conjuntos A = {0,1,2,3}, B = {0,1,3,5,7} e C = {2,4,6,8}, determine: a)A – B b) A U B c) (A∩C)U(C∩B) d) B – (A U C) e) (A ∩ C)∩(C-B) f) (C-A)U(B-C)∩B g) AxB h) BxC i) (CxA)U(CxB) j)(BxC)∩(AxC)

2) Represente na reta real os intervalos: a)[2,10] b) ]-2,8[ c) [-5,5* d) *0,∞+ e) ]-∞,1+ f) *4,8+U+-1,6] g) ]-3,7* ∩ *-2,5] h) ,x є IR | 2< x < 9} i) ,x є Q | 1.5 < x < 4.5}

3) Um número racional qualquer: a) tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais, b) tem sempre um número infinito de casas decimais, c) não pode expressar-se em forma decimal exata, d) nunca se expressão na forma decimal exata, e) nenhuma das anteriores.

4) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, podemos dizer sempre que: a) x.y é racional, b) y.y é irracional, c) x+y é racional, d) x – y é racional, e) x + 2y é irracional.

5) Em uma escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos dois jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é: a) 279 b)141 c)158 d)129 e)199

6) O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos -1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se concluir então que: a) x≤-1 ou x >3 b) x ≥ 2 ou x < 0 c)x >2 ou x <-1 d) x<3 e) n.d.a.

7) A e B são conjuntos. O número de elementos de A é 7 e o de A U B é 9. Os valores mínimos e máximos possíveis para o número de elementos do conjunto B são respectivamente: a) 0 e 2 b) 0 e 9 c)2 e 9

8) Uma prova era constituída de dois problemas. 300alunosacertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova.

9) Se A = ,x|x є Z, -3< x ≤ 1- e B = ,x|x є N, x2<16},

então (A U B)-(A∩B) é o conjunto: a){-2,-1,0,1,2,3} b){-2,-1,2,3} c){-3,-2,-1,0} d) {0,1,2,3} e)n.d.a.


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Aula 2 – FUNÇÕES

Definição: Seja um conjunto R um subconjunto de um produto cartesiano, dizemos que R é uma função de A em B se todos os x є A tiverem um único y є B.

Ou seja, se ao fazermos um produto cartesiano entre A e B e pegarmos um subconjunto R chamado de relação binária, este conjunto R será função se, e somente se, todos os elementos x que pertencem ao conjunto A tiverem um único elemento y que pertencem ao conjunto B. Exemplo:

Seja os conjuntos A = {1,2} e B = {1,2,3} o produto cartesiano de A x B será:

A x B = {(1;1),(1;2),(1;43,(2;1),(2;2),(2;3)}

Vamos dizer que temos três relações binárias ou subconjuntos do produto cartesiano A x B:

R1= {(1;1),(1;2),(2;3)}, R2 = {(1;1),(1;3)} e R3 = {(1,1),(2,3)}

Vamos praticar quais relações binárias serão funções ou não:

Devemos saber três elementos:

- Domínio: é o conjunto de partida. Representado por D(f)

- Contra domínio: é o conjunto de chegada. Representado por CD(f).

- Imagem: é o dos elementos de CD(f) que possuem elemento x no D(f). Representado por Im(f).

Vamos ver isso através do diagrama de Veen e de gráficos cartesianos:

Classificamos as funções de acordo com certas regras, vamos a elas:

- Uma função de A em B (f:A -> B) é sobrejetora quando o contra domínio coincidir com a imagem. Ou seja, quando CD(f) = Im(f). Reconhecimento:

a) Através do diagrama de Veen

b) Através de gráficos


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- Uma função de A em B é injetora quando cada y є B for imagem de um único x є A. Reconhecimento:

a) Diagrama de Veen

b) Gráficos

- Uma função é dita bijetora quando for sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Reconhecimento:

a) Diagrama de Veen

b) Gráficos

Entendido a classificação das funções vamos a algumas funções com características importantes:

- A função PAR: Uma função (f: A -> R) é par se, e somente

se, f(x)=f(-x). Seu gráfico sempre será simétrico em relação

ao eixo dos y.

- A função ÍMPAR: Uma função (f: A -> R) é ímpar se, e

somente se, f(-x)= - f(x). Seu gráfico é sempre simétrico

em relação à origem.

- Funções especiais são igualdades que se verificam com determinadas funções. Exemplos:

f(a ± b) = f(a) ±f (b) f(a ± b) = f(a).f(b) f(a).f(b) = (a) ±f (b) f(a.b) = f(a).f(b)

(UFPR) A função f: R -> R é tal que, para todo x є R, f(2.x) = 3 . f(x); sabendo-se que f(8) = 45, calcule f(2).

- Função composta: Dadas duas funções f: A -> B e g: B -> C, chama-se função composta das funções, g e f, a função definida de A em C tal que: (g ◦ f) = g[f(x)].


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- Função inversa: Se f: A -> B for bijetora, a função inversa de f é uma função definida de B em A e indicada por f

-1 : B -> A.

Representação y = f-1

(x).

Regra prática: troca-se x por y e y por x. Isola-se o y.



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01.01 (ULBRA) Sendo A = {1,2}, B= {3,4}

e C = {4,5}, o produto cartesiano A x (B

C) é:

a) {(1,4), (2,4)}; b){(1,4), (1,5)};

c){(1,3), (1,4), (2,3) (2,4)};

d) {(1,4), (1,5), (2,4) (2,5)}; e)

01.02 (PUC) O número de elementos

do conjuntos A é e do conjunto B é

. Então o número de elementos de A x

B é:

a) + ; b) + ; c) . ;

d) . n; e)

01.03 Os diagramas abaixo

representam relações binárias. Pede-se

para cada um:

a)Dizer se é função ou não;

b)Em caso afirmativo determinar o

domínio, o contradomínio e a imagem.

01.04 (UFRGS) Considerando A = { x

Z / -1 < x 10 e sendo R a relação em A

formada pelos pares (x,y) tais que y =2x -

1, o domínio e a imagem dessa relação

correspondem, respectivamente, a:

a) {0,1,2,3} e {1,3,5,7}

b) {1,2,3,4} e {3,5,7,9}

c) {1,2,3,4} e {0,2,4,6,8}

d) {1,2,3,4,5} e {1,3,5,7,9}

e) {1,2,3,4,5} e {0,2,4,6,8}

01.05 (UNAERP) Quais dos seguintes

gráficos não representam uma função f:

IR IR?

01.06 (UEL) Sejam os conjuntos A

={0,1,2,3,4} e B = {2,8,9} e relação R, de

A em B, definida por R = {(x,y)} A x B x

é divisor de y}. Nessas condições, R é o

conjunto:

a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9),

(2,2), (2,8), (3,9),(4,8)}.

b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8),

(3,9),(4,8)}.

c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1),

(9,3)}.

d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)}.

e) {(2,0), (2,2), (2,4)}.

01.07 (FAAP-SP) Durante um mês, o

número y de unidades produzidas de um

determinado bem é função do número x

de funcionários empregos de acordo com

a lei y=50√ . Sabendo que 121

funcionários estão empregados, o

acréscimo de produção, com a admissão

de 48 novos funcionários, é:

a) 550 b) 250 c) 100 d) 650 e)200

01.08 (PUC) Suponha-se que o número

f(x) de funcionários necessários para

distribuir, em um dia, contas de luz entre

x por cento de moradores, uma

determinada cidade, seja dado pela

função f(x) =

. Se o número de

funcionários para distribuir, em um dia,

as contas de luz foi 75, a porcentagem de

moradores que as receberam, foi:

a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50

01.09 (UNOPAR) O gráfico mostra que

a função y = f(x) representada é

crescente para os valores de x tais que:

a) x -2 e x < 4 b) 2 < x < 4

c) X 6 d) X > -4 e x < 2 e) 4 < x < 7


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01.10 (PUC-MG) A função f,

representada no gráfico, está definida

em [-2, 2]. Se m=f (-3/2) +f (1/2), é

correto afirmar:

a) -2 m 0;

b) -2 m 1;

c) -2 m ;

d) 0 m 2;

e) 2 m ;

01.11 (VUNESP) Uma pessoa obesa,

pesando num certo momento 156kg,

recolhe-se a um SPA onde se anunciam

perdas de peso de até 2,5Kg por semana.

Suponhamos que isso realmente ocorra.

Nessas condições:

a) Encontre uma fórmula que expresse o

peso mínimo, P, que essa pessoa poderá

atingir após n semanas;

b) Calcule o número mínimo de semanas

completas que a pessoa deverá

permanecer no SPA para sair de lá com

menos de 120 kg de peso.

01.12 (UEL-PR) Seja a função de IR em

IR, definida por:

-x -1 se x - 1

f(x) = - + 1 se – 1 < x < 1

x -1 se 1

O conjunto imagem de f é o intervalo:

c) ]- , - 1]; b) ]- , 1]; c) [0, + [;

d)[ 1, + ; e) [ - 1, 1].

01.13 (UEL-PR) Considere a função de

IR em IR dada f(x) = + 3. Seu conjunto-

imagem é:

d) ]- , - 3[; b) ]- , 5[; c) [3, + 5];

d)] 3, + ; e) ]5, + [

01.14 (UFMA) Considerando a função

real f, definida por:

1 se x √

f(x) = - 1 se √ < x < √ ,

2 se x √

, o valor da expressão A =

A = ( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )

( ⁄ )

é igual a:

a) 1 b) ½ c) 0 d) 2 e) 3

01.15 (F.CARLOS CHAGAS) Se g é a

função de IR em IR, cujo gráfico

representado a seguir, então a imagem

do intervalo fechado de x [5; 9] é:

a) (2; 6); b) [2; 6]; c) [3; 6]; d) (3; 6);

e) [2, 4].

01.16 (VUNESP) A poligonal ABDC da

figura adiante é o gráfico de uma função

f cujo domínio é o intervalo -1 x 7.

Sabe-se que AB é paralelo CD e BC é

paralelo ao eixo dos x. Nessas condições,

f(7) –f(4,5) é igual a:

a) 3/2; b) 5/3; c) 17/10; d) 9/5; e) 2

02.01 (PUCCAMP) Seja f a função de IR

em IR, dada pelo gráfico a seguir

É correto afirmar que:

a) f é sobrejetora e não injetora;

b) f é bijetora;

c) f(x) = f(-x) para todo real;

d) f(x) > 0 para todo real;

e) O conjunto imagem de f é ]- , - 2].

02.02 (UFSC) Considere a função f: IR

IR dada por f(x) = [2x + 5]. Determine a

somados números associados às

proposições corretas.

01) f é injetora;

02) O valor mínimo assumido por f é

zero;

04) O gráfico de f intercepta o eixo y no

ponto de coordenadas (0, 5);

08) O gráfico de f é uma reta;

16) f é uma função par.


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02.03 (MACKENZIE) Dada a função real

definida por f(x) = √ de [ - 2, 2]

em [0, 2]. Considere:

I) f(x) é par

II) f(x) é injetora

III) O gráfico de f(x) é uma

semicircunferência. Dentre as afirmações

anteriores:

a) I, II e III são verdadeiras;

b) somente I e III são verdadeiras;

c) somente I e II são verdadeiras;

d) somente II e III são verdadeiras;

e) I , II e III são falsas.

02.04 (UFGO) Se f: Z Z é tal que f(n +1)

= n -1, então o valor f( n-1) é:

a) n + 1 b) n c) n – 1 d) n – 2 e) n – 3

2.05 (UFPR) Seja f uma função definida

para todo número inteiro tal que f(4) = 1

e f(n + 1 ) = f(n) – 1. O valor de f(-100) é:

a) 101 b) 102 c) 103 d) 104 e) 105

02.06 (MACK-UP) A função f de IR em IR é

tal que, para todo x IR, f(3x) = 3. f(x). Se

f(9) = 45, então:

a) f(1) = 5 b) f(1) = 6 c) f(1) = 9 d) f(1) não

pode ser calculado; e) n.d.a

02.07 (UFPR) Seja f um função tal que

f(1) =2 e f(x + 1) = f(x) – 1, para todo valor

real de x. Então f(100) é igual a:

a) -99; b) – 97; c) 96; d) 98; e) 100.

02.08 (FUVEST) Uma função f de variável

real satisfaz a condição f(x+1) = f(x) + f(1),

qualquer que seja o valor da variável X.

Sabendo-se que f(2) = 1, podemos

concluir que f(5) é igual a:

a) 1/2; b) 1; c) 5/2; d) 5; e) 10.

02.09 (PUC-SP) Uma função que verifica a

propriedade: “qualquer que seja x, f(-x) =

-f(x)” é:

a) f(x) = 2; b) f(x) = 2x; c) f(x) = ;

d) f(x) = ; e) f(x) = cos x.

02.10. (PUC-SP) Qual das funções a seguir

é par?

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) = x

d) f(x) =

e) f(x) = x

02.11 (FUVEST-SP) Seja f uma função tal

que f(x + 3) = + 1 para todo x real.

Então f(x) é igual a:

a) - 2; b) 10 – 3x; c) -3 + 16x – 20

d) - 6x + 10 e) - 6x – 16

02.12 (UEL-PR) Seja f a função de IR em

IR|, definida por f(x) = . É correto

afirmar que:

a) função inversa de f é definida por

(x) = √ ;

b) f é sobrejetora e não injetora;

c) f é injetora e não sobrejetora;

d) f é bijetora;

e) f não é injetora e não é sobrejetora;

02.13 (UFSC) Dado f(0) = 2 e que, para

todo t, t 0, f(t) = 3f (t-1) +3, tem-se que

f(2) é igual a:

02.14 (UFSC) Dada à função f: IR ,

definida por f(x) = + 1, determine a

soma dos números associadso às

afirmações verdadeiras:

01) A função é sobrejetora;

02) A imagem da função é IR;

04) A função é bijetora;

08) Para x = √ , temos f(x) = 6;

16) O gráfico da função é uma reta;

32) A função é par.

Ao terminar de estudar este capítulo você deve saber definir uma função, saber identificá-la, saber seus elementos, classificá-la, saber as linguagens matemáticas para conjuntos e funções, o que é uma função par, ímpar, especial e composta!


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Definição: Toda função f: R -> R, definida por f(x) = c, com c є R é uma função constante. O gráfico é sempre uma reta paralela ou coincidente com o eixo da abscissa (eixo x). Exemplos:

f(x) = 2 f(x) = 0 f(x) = -5

Iremos estudar agora duas funções muito importantes funções de 1° e 2° grau, como serão suas definições, suas características e sinais, suas aplicações e gráficos.

Definição: Uma função polinomial é chamada de função do 1° grau ou função afim se for definida por y(x) = f(x) = ax + b, com a e b reais e a ≠ 0. Onde “a” é chamado de coeficiente angular e “b” de coeficiente linear. Vamos aos possíveis gráficos e pontos importantes:

Observações:

- O zero da função é dado pelo ponto –b/a;

- O gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,b);

- A função é sempre injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o gráfico em apenas um ponto;

- A função é sobrejetora pois Im(f)= CD(f) = R

- Como a função do 1° é sobre e injetora temos que é bijetora.

A função de primeiro grau também é chamada por equação do primeiro grau já que há um sinal de igualdade. Mas como já estudamos anteriormente, temos situações onde é importante a exclusão de certos números e fazemos isto utilizando a notação de intervalos e desta forma a equação se torna uma inequação, pois não temos mais o sinal de igualdade. Desta forma define-se uma inequação do primeiro grau como:

ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0

Resolver uma inequação significa determinar os valores de x que satisfazem a desigualdade.

Vamos agora à função do 2° grau aonde iremos recordar a famosa fórmula de Bhaskara!

Definição: Uma função polinomial f: R -> R é chamada de função do 2° grau ou função quadrática quando é definida

por f(x) = y(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c є R e a ≠ 0.

Exemplo: f(x) = y(x) = 2x2- 4x + 2.

O gráfico de uma função quadrática é representado por uma curva chamada parábola, para construí-lo devemos identificar a, b e c e colocar valor em x para obtermos y(x). Com isso formamos os pontos no plano cartesiano. Observe:

Obs.: A parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0,c).


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Os zeros da função são muito importantes para a construção do gráfico além de serem sempre pontos de interesse em problemas. O zero de uma função do segundo grau é o valor de x que faz com que:

f(x)=y(x)=ax

2+bx+c = 0

√

Para fazermos os problemas geralmente precisamos desenhar o gráfico e saber certas características como se a parábola está para cima ou para baixo, se é crescente ou decrescente. Para isso analisamos os sinais de a e do nosso ∆ da seguinte maneira:

Outro ponto importante é o vértice da parábola, que nos dá o seu ponto máximo quando a < 0 e seu ponto mínimo quando a > 0, sendo esses os maiores e menores valores assumidos pela função, respectivamente. Além disto, o vértice da parábola nos dá o inicio (ou término) do conjunto imagem da função do segundo grau.

Assim como na função do primeiro grau temos inequações do segundo grau, as equações se reduzem as seguintes formas:

ax2+bx+c ≥ 0 ax

2+bx+c > 0 ax

2+bx+c < 0 ax

2+bx+c ≤ 0

Para resolvermos essas inequações, estudaremos o sinal da função y(x)= ax

2+bx+c, nos seguintes casos:

Exemplo:



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03.01 (F.M.SANTA CASA – SP) Se é a função inversa da função f, com IR em IR, definida por f(x) = 3x – 2, então (-1) é igual a:

a) -1 b) -

c) –

d)

e)

03.02 (UFSC) Dadas as funções f(x) =

√ e g(x) = – 1, o valor de (g f)(4) é:

03.03 (UFMS) Dada à função real f(x) = - 3, determine f(f(3)):

03.04 (PUC-PR) Sejam f: IR IR e g: IR IR duas funções dadas por f(x) = - 1 e g(x) = x – 1. A diferença entre as funções compostas (gof)(3) – (fog)(3) é compostas (gof)(3) – (fog)(3) é igual a:

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.

03.05(FGV-SP) Considere as funções: f(x) = 2x + 1 e g(x) = - 1. Então, as raízes da equação f[g(x)] = 0 são:

a) inteiras; b) negativas;

c) racionais não inteiras;

d) inversas uma da outra;

e) opostas.

03.06 (UEL-PR) Sejam f e g funções de IR em IR, dadas por f(x) = 4x – 3 e g(x) = 2x+1. Se f(g(x)) = g(f(x)), então a inversa de g é definida por:

a)

b)

c)

d)

e)

03.07 (MACK-SP) Dadas às funções f, g e h, definidas de IR em IR, onde f(x) = 3x, g(x) = - 2x + 1 e h(x) = x +2, então h{f [g(2)]} é igual a:

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.

03.08 (UFPR) Para cada valor real de x, sejam f(x) = e g(x) = f(f (x)).

Calcule o valor de

.

03.09 Sejam f e g funções de IR em IR definidas por: f(x) = + 1 e f(x) = 3x +1 aonde IR é o conjunto dos números reais. Então o valor de f (g(1)) + g (f(1)) é:

a) 15 b) 16 c) 17 d) 24

03.10 (MACK-SP) Dada à função f e g de IR em IR, sendo g(x) = 4x – 5 f(g (x)) = 13- 8x, então f(x) é:

f(x) = 2 – 3x; b) f(x) = 3 – 2x;

c) f(x) = 2 + 3x; d) f(x) = -2 + 3x;

e) f(x) = 2x + 3;

03.11 (PUC-SP) Sejam as funções dadas por: f(x) = 3x – 2 e g(x) = 2x + 3. Se b= f(a), então g(b) vale:

a) 6a -1 b) 5a +1 c) 3a – 2 d) 6a – 6

e) 5a – 2

03.12 (UFSC) Considere as funções f, g: IR IR tais que g(x) = 2x + 1 e g(f (x)) = 2 + 2x + 1. Calcule f(7).

03.13 (UNIRIO) Considerando-se a função f: IR IR, x y = 2x + 1. Determine a lei que define a função .

03.14 (F.CARLOS CHAGAS – SP) Dadas às funções reais f(x) 1 -2x e g(x) = 3x + k, o valor de k, de modo que f[g(x)] = g [f(x)], é:

a) -3; b) -1; c) -

; d)

; e) n.d.a

03.15 Seja y= f(x) uma função definida no intervalo [-5; 4] pelo gráfico dado. Então, o valor de f(f (-3)) é:

a) -2 b) 0 c) -1 d) 1 e) 2

03.16 (ACAFE-SC) Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) = - x o valor de f (g(-1)) - (-5) é:

a) -3 b) 0 c) 2 d) 8 e) 4


13

03.17 (UFMG) Para um número real fixo a, a função f(x)= ax-2 é tal que f(f (1)) = -3. O valor de a é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

03.18 Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretaria da Saúde de um município verificaram que o custo da vacinação de x por cento da população local era de,

aproximadamente, y =

milhares

de reais. Nessa expressão, escrevendo-se x em função de y, obtém-se x igual a:

a) 4/3 b) 300y/(400 – y)

c) 300y/(400 + y) d) 400y/(300 – y)

e) 400y/(300 + y)

03.19 Seja f uma função real de variável real, representada pelo gráfico abaixo:

Determine a soma dos números associados à(s) afirmativa(s) VERDADEIRA(S):

f tem três zeros reais.

f é uma função crescente em seu domínio.

04) a imagem de f é R

f é inversível em seu domínio.

16) o domínio de f é R

04.01 (ITAJUBÁ-MG) O gráfico

abaixo pode representar qual das expressões:

a) y = 2x – 3

b) y = -2x + 3

c) y = 1,5x + 3

d) 3y = -2x

e) y = -1,5x + 3

04.02 (UFPI) A função real de variável real, definida por f(x) = (3 – 2a) x + 2 é crescente quando:

a) a > 0 b) a < 3/2

c) a = 3/2 d) a > 3/2

04.03 (UNIFOR –CE) Seja a função f, de IR em IR, definida por f(x) = mx + t, representada pelo gráfico abaixo, nessas condições:

m=2t b) t = 2m c) m=t

d) m + t = 0 e) m – t = 4

04.04. Seja a função f: IR IR, tal que f(x) =ax + b. Se os pontos (0, -3) e (2,0) pertencem ao gráfico de f, então a+b é igual a:

b) 3 c)

d)

e) -1

04.05 (PUC) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e f(3) = -3. Então f(0) é igual a:

a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1

04.06 (FGV-SP) Uma função polimonial f do 1º grau é tal que f(3)= 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é:

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

04.07 (UFPA) A função linear y=Ax + B passa pelo ponto (1,2) e interceptar o eixo y no ponto de ordenada 3. Então A -2B é igual a:

a) - 12 b) – 10 c) -9 d) -7 e) 0

04.08 (MACKENZIE-SP) Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 3 é:

a) maior que 8 b) 6 c) 2 d) 1 e) 0

04.09 (UNICAMP) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e da terceira por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que o aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e


14

4,5 na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação?

04.10 (CESCEM-SP) A figura representa a função y = ax + b. O valor da função no ponto x = 1/3 é:

a) 3,8 b) 3,6 c) 3,5 d) 1,8 e) 1,7

04.11 (UNIOESTE) Um vendedor tem duas opções de emprego em empresas do mesmo ramo. A proposta da empresa A é um salário fico de R$ 200,00 mais um adicional de 3% sobre as vendas. A proposta da empresa B é um salário fixo de R$ 150,00, mais um adicional de 5% sobre as vendas. Nessas condições, a proposta da empresa B é mais vantajosa que a proposta da empresa A se as vendas mensais ultrapassarem, em reais um valor V, tal que V/100 é igual a?

04.12 (UFPE) Um provedor de acesso à internet oferece dois planos para seus assinantes: Plano A – Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 para cada minuto de conexão durante o mês. Plano B – Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 para cada minuto de conexão durante o mês. Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo plano B?

a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240

04.13 (PUCCAMP-SP) Seja f a função de IR em IR, definida por f(x) = ax + b, com a, b IR e a 0. Se so pontos (-1; 3) e (2; - 1) pertencem ao gráfico de f, então f(x) 0 se, e somente se

a) x 0 b) x

c) x 0 d) x

e) x 5

04.14 (FGV-SP/EAESP) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal dado por C = 5.000 + 15x, onde x é o número de camisas produzidas por mês. Casa camisa é vendida por R$ 25,00. Atualmente, o livro mensal é de R$ 2.000,00. Para dobrar esse lucro, a fabrica deverá produzir e vender mensalmente:

a)o dobro do que produz e vende.

b) 100 unidades a mais que produz e vende.

c) 200 unidades a mais do que produz e vende.

d) 300 unidades a mais do que produz e vende.

e) 50% a mais do que produz e vende.

04.15 (FATEC-SP) Os gráficos cartesianos das funções f e g, de IR em IR, interceptam-se num ponto do 1º quadrante. Se f(x) = x +7 e g(x) = -2x + k, onde k é constante, então k satisfaz a condição:

a) k > 7 b) 1 < k < 7 c) 0 < k 1

d) -1 < k 0 e) -7 < k -1

04.16 Durante uma viagem de férias, João observou que ao colocar 25 litros de gasolina no carro, o ponteiro

do marcador que indicava

do

tanque passou a marcar

.

a) Qual a capacidade do tanque?

b) Qual é a quilometragem máxima que o carro consegue fazer com um tanque, sabendo-se que o veículo tem um rendimento de 9Km por litro?

05.01. (UFAM-AM) Em relação ao gráfico da função f(x) = - + 7x – 10, pode-se afirmar que:

a) Intercepta o eixo das abscissas em P (5,0) e Q (-5,0).

b) Seu vértice é o ponto {

}.

c) É uma parábola de concavidade voltada para cima.

d) O seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas.

e) Intercepta o eixo das ordenadas em R (0, 10).

05.02. Se o ponto (-2, 1) é o vértice da parábola definida pela sentença y = + kx + t, então k-t é igual a:

a)2 b)1 c)0 d) – 1 e) -2

05.03. (FATEC-SP) A distância do vértice da parábola y = - + 8x – 17 ao eixo das abscissas é:

a) 1 b) -4 c) 8 d) 17 e) 34

05.04. (PUC-RS) A imagem da função f:IR IR, definida por f(x) = - 1, é o intervalo:

a) [ - 1; ) b) ( -1; ) c) [ 0; )

d) (- ; -1 ) e) (- ; -1]


15

05.05 (PUC-SP) A função f:R R dada por y = -2 + 10x - 12, admite como conjunto imagem o conjunto:

a) {y IR / y

}

b) {y IR / y

}

c) {y IR / y

}

d) {y IR / y

}

e) {y IR / y 0 }

05.06. (UFPA) O gráfico da função quadrática y = + px + q tem uma só intercecção com o eixo dos x. Então, os valores de p e q obedecem à relação:

a) q =

b) =

c) q = -

d) = 4p e) = - 4p

05.07. Sejam duas funções de R em R dadas por f(x) = - 2x + 3 e g(x) = 2 - 4x + 4. É verdade que seus gráficos:

a) cortam o eixo das ordenadas num mesmo ponto;

b) não tem ponto em comum;

c) interceptam-se num único ponto de ordenada igual a 2;

d) interceptam-se em dois pontos distintos situados no 1º quadrante;

e) cortam o eixo das abscissas em valores positivos.

05.08. A única função cujo gráfico pode ser a parábola representada na figura é:

a) y = + 6x + 9 b) y = - 6x + 9

c) y = + 3x -10 d) y = +7x + 10 e) y = - 7x + 10

05.09(FGV-SP) Seja a função f(x) = o valor de f(m+n) – f(m-n) é:

a) 2 + 2 b) 2 c) 4mn

d) 2 e) 0

05.10. (CESGRANRIO-RJ) Sendo e os zeros da função f(x) = a + bx +

c, representada a seguir, podemos concluir:

a) b < 0 e c > 0

b) b < 0 e c < 0

c) b > 0 e c < 0

d) b > 0 e c > 0

e) b > 0 e c = 0

05.11. (UFBA) em um reservatório de água, o nível y varia com o tempo t, em horas a partir da meia-noite, conforme a função y = -1,3 + 7,8t – 4,2. O instante em que o reservatório está mais cheio é:

a) 1h 18min.

b) 1h 30min.

c) 3h

d) 6h

e) 7h 48min.

05.12(ACAFE-SC) Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos, por minuto, varia em função da temperatura ambiente e (em Graus Celsius), segundo a função N(t) = 0,1 - 4t + 90. O número mínimo de batimentos por minuto e a temperatura em que ocorrem, respectivamente, são:

a) 50 e 40 b) 50 e 20 c) 80 e 20 d) 60 e 30 e) 80 e 40

05.13. (FURB-SC) O gráfico abaixo representa uma função quadrática: Y= a + bx + c. Os valores de a, b e c, respectivamente são:

a) -1, -2 e -1 b) 1, -2 e 1 c) -1, -2 e 1 d) – 1, 2 e -1 e) 1, 2 e 1

05.14. (UFMT-MT) Dispondo de 1.200 metros de tela, um fazendeiro pretende cercar uma área retangular e dividi-la por meio de uma cerca paralela a um dos lados. Qual a área máxima em hectares, que poderá ser delimitada?

05.15. (UNIOESTES) Observando o gráfico da função f: IR IR, quadrática representado abaixo, é correto afirmar que:

01) o sinal da função no intervalo (0, + ) é positivo.

02) a função f é decrescente nos intervalos (- , -2) e (2, + ).

04) o menor valor que f(x) assume é 4.

08) o domínio da função f é IR.

16) a imagem da função f é

(- ,0).

32) o sinal da função f é negativo nos intervalos (- , -2) e (2, + ).

05.16. (UNIFEI-MG) Considere a figura abaixo, em que os lados do retângulo medem 10 e 3x metros, e determine para a área hachurada.

a) a função de x que fornece a área;

b) o valor de x para que a área seja máxima;

c) o valor da área máxima.


16


Nós aprendemos nos capítulos anteriores o que é uma função, seus elementos, classificação e suas formas mais simples como função constante, funções pares e ímpares, função do 1° e do 2° grau. Nestas duas últimas vimos que às vezes podemos ter desigualdades e assim temos as chamadas inequações para resolver. Para isso achamos os pontos de zero, as raízes da equação, e analisamos o sinal da função em intervalos que nos interessa. Exemplo: Iremos agora analisar inequações do tipo produto (produto de funções) e quociente (divisão de funções): - As inequações do tipo produto são na forma: f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) ≤ 0, f(x).g(x) ≥ 0. Como na multiplicação as regras dos sinais são: +.+ = +, -.- = + e +.- = -.+ = -, temos que analisar os sinais de cada função separadamente e fazer a multiplicação através dos sinais. Exemplo - As inequações do tipo quociente são na forma: f(x)/g(x) ≥ 0, f(x)/g(x) ≤ 0, f(x)/g(x) < 0, f(x)/g(x) > 0. Como as regras dos sinais na divisão são os mesmos que na multiplicação temos que analisar separadamente os sinais de cada função e fazer a análise dos sinais. Exemplo: Quando estudamos os elementos das funções vimos que cada um tinham sua importância. Exemplos: - A imagem é o conjunto dos resultados da nossa função e nos dá os pontos y nos gráficos dado o x; - O contra domínio é o conjunto que terá os elementos relacionados com o domínio e formam o eixo y no gráfico; - O domínio da função é o conjunto dos números que possuem resultados matematicamente possíveis. Por exemplo: A função f(x) = 1/x possui o domínio { R – {0}} (lê-se: para todo x pertencente ao conjunto dos números reais menos o zero). Isso ocorre, pois divisão por zero não é definido matematicamente! Iremos estudar agora o domínio de determinadas funções devido à sua importância na análise das funções e na resolução de exercícios. Obter o domínio de uma função y = f(x) significa encontrar todos os x para os quais existem valores reais (do conjunto

dos números reais) de y em correspondência. Para facilitar a tabela abaixo nos mostra as restrições que temos no domínio para as funções mais utilizadas: Exemplos de análise do domínio de funções: EXERCÍCIOS EM SALA:


17


06.01. Obter o domínio das funções

reais y = f(x) a seguir:

a) y =

b) y = √

c) y =

√

d) y = √

e) y = √

√

06.02. (PUC-GO) O domínio da função

f(x) = √ é dado por:

a) {x R / x - 3oux 3}

b) {x R /- 3 x 3}

c) {x R / x 3}

d) {x R / x - 3- e) Φ

06.03. (MACKENZIE-SP) O domínio da

função definida por f(x) = √

é:

a) x 3

b) -3 x 3 e 0

c) IR

d) os reais negativos

e) 3 < x <-3 e x 0

06.04. (FEI) O domínio da função real

f(x) = √

é:

a) {x R / 0 < x 1}

b) {x R /- 1 x <0 ou x 1}

c) {x R / -1 x 1}

d) {x R / -1 < x < 1}

e) {x R / x > 4}

06.05. (U.F. SALVADOR-BA) O

domínio da função f definida por f(x)

= √

é A. Qual o menor inteiro que

pertence ao conjunto A?

06.06. (U.S.F.BRAGANÇA) A soma das

soluções inteiras da desigualdade -

4 < 2 – x é:

a) -2 b) -1 c)0 d) 1 e)2

06.07.(CESGRANRIO-RJ) As figuras

abaixo nos mostram as funções f(x) e

g(x) representadas pelos gráficos

cartesianos.

A solução da inequação

0 é:

a) x 1 ou 2 < x 3 b) 1 x < 2 ou

x 3 c) x < 2 ou x 3 d) 1 x 3

e x 2 e) x 1 e x 0

06.08. (FEI) Determinar o domínio da

função f tal que f(x) = √

.

06.09. Determinar o domínio da

função f tal que f(x) = √

√ .


18

06.10. (CEFET-PR) O domínio da

função f(x) = √

é:

a) {x R / x < -1 ou

x < 2}

b) {x R /- 1 x 2 ou x

}

c) {x R / -1 x 2 e x

}

d) {x R / x

e x 1 e x 2}

e) {x R / x - 1 e x 2}

06.11. (UEL) Em R, qual é o domínio

mais extenso possível da função dada

por: f(x) = √

?

a) {x R / -2 < x < 2} b) {x R / 0 < x

< 2} c) {x R / 0 < x < 4} d) {x R / x

> 2} e) {x R / x > 4}

06.12. (F.F. RECIFE) Dadas às funções

reais definidas por f(x) = 2x-6 e g(x) =

+ 5x + 3pode-se dizer que o

domínio da função h(x) = √

é?

a) {x R / x 0} b) {x R / x - 5}

c) {x R / -5 x 0} d) {x R / x

-5 ou x 0 } e) {x R / x 5}

06.13.(CEFET-PR) O domínio da

função real de variável real f(x) =

–

é dado pelo

conjunto:

a) {x R / x < -5 ou x > 3}

b) {x R / x - 5 ou x 3 }

c) {x R / -5 < x < 3}

d) {x R / x -3 ou x 5 }

e) {x R / x < - 3 ou x > 5}

06.14. (CEFET-PR) A função f(x) = a +

5x – 10 possui concavidade voltada

para cima. O valor de f(1), sabendo

que “a” é um número inteiro

pertencente ao domínio da função

g(x) =

√ é:

a)10 b) – 10 c)4 d) – 6 e) -4

06.15. (UNICENTRO) Para que um

remédio produza o efeito desejado,

sua concentração, na corrente

sanguínea deve estar acima de certo

valor, o nível terapêutico mínimo.

Supondo-se que a concentração de

determinado antibiótico, 4 horas,

após ingerido, seja dado por

g/ml e sabendo-se que o nível

terapêutico mínimo, nesse caso é de

4g/ml, esse nível será excedido

quando:

a)1 < t < 4 b) 1 < t < 6 c) 2 < t < 8

d) 0 < t < 12 e) 1 < t < 12

06.16. (PUC-SP) Identifique a

alternativa correta. O domínio da

função real y= √ + √

é:

a) [-1,1] b) {-1,1} c) (- , -1] [1, )

d) ] – 1, 1[ e)


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Aula 5 – MATRIZES

Definição: Denominamos de matriz uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Então uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), é aquela formada por m linhas (horizontais) e n colunas (verticais), representadas entre colchetes [ ] ou entre parênteses ( ). Exemplos:

Matriz 3x2 (3 linhas e 2 colunas): [

]

Matriz 2x3 (2 linhas e 3 colunas): *

+

Notação: Uma matriz genérica A de ordem m x n pode ser escrita na seguinte forma: A(aij)mxn. Onde o termo a localiza-se na linha i e na coluna j. Exemplo:

A2x2 = *

+ A2x3 = *

+

Amxn = [(

)]

É interessante conhecermos certos tipos de matrizes que usamos muito:

- Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 3. A = ] - Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1: - Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1. a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1). - Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. Por exemplo:

- Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

- Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz.

Por exemplo:

- Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.


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- Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At. É simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij. -Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo:

Assim como os números em termos de operações e propriedades (a chamada álgebra) iremos começar a estudar agora a álgebra de matrizes:

- Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

- Operações envolvendo matrizes:

Adição: Dadas as matrizes | | | | , chamamos de soma dessas matrizes a matriz | | , tal que Cij = aij + bij, para todo: 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ j ≤ n. Exemplos:

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do

mesmo tipo. Propriedades da adição: Sendo A, B e C matrizes do mesmo

tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n. d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 Subtração: Dadas as matrizes | | | | , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B. Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz. Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij.

Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x. (yA) = (xy). A b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x. (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y). A = xA + yA d) elemento neutro: xA = A, para x=1, ou seja, A=A .

Multiplicação de matrizes: O produto de uma matriz

por outra não é determinado por meio do produto dos

seus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes

A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em

que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos

produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha

de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz *

+

*

+ para entender como se obtém cada Cij:

1) 1ª linha e 1ª coluna:




21


Assim, *

+ .

Observe que:

Portanto, , ou seja, para a multiplicação de

matrizes não vale a propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes:

Da definição, temos que a matriz produto A. B só existe

se o número de colunas de A for igual ao número de linhas

de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o

número de colunas de B(n):

Se A3 x 2 e B 2 x 5, então ( A . B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto.

Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a

multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) Associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) Distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) Elemento neutro: A. In = In . A = A, sendo In a

matriz identidade de ordem n.

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente,

não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale

também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x

n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica,

necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir

uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A =

In , então A' é matriz inversa de A e representamos a

matriz inversa por A-1 .



22


01.01 (UFPA) Sendo A = ( ) e B

=( ), calcule o valor de 2A – B.

a)( ) b)(

) c)(

) d)(

)

e)( )

01.02.(FACEAG-SP) Dadas as matrizes:

A = ( ) B= (

),

então, 3A – 4B é igual a:

a) (

)

b) (

)

c) (

) d) (

)

e) Operação não definida.

01.03. (SANTA CASA-SP) Dadas as

matrizes A = ( ) e B = (

)

, se At é a matriz de A, então (At - B)

é:

a) ( ) b) (

) c) (

)

d) ( ) e) (

)

01.04. (UFSE) Se dadas as matrizes A

= ( ) e B = (

), a matriz

X = At + 2B, onde At é a matriz

transposta de A, é igual a:

a) (

) b) (

) c)

(

) d) (

) e) (

)

01.05. (PUC-SP) Se A= (

), B=

( ) e C = (

), então a matriz X,

tal que A + B – C – X = 0 é:

a) (

) b) (

) c) (

) d)

(

) e) (

)

01.06.(PUC-SP) Se A = (

), B =

( ) e C= (

), então a

matriz X, de ordem 2, tal que

=

+ C, é igual a:

a) (

) b) (

) c) (

)

d) (

) e) (

)

01.07. (UFPA) A matriz A = é

definida de tal modo que

={

. Então, A é igual a:

a) (

) b) (

) c)

(

) d) (

) e)

( )

01.08. (PUCMG) Seja A a matriz A =

, cuja lei de formação é dada

abaixo. É correto afirmar que:

={

a) A= ( ) b) (

) c)

( ) d) (

)

01.09. (UNIRIO-RJ) Seja X = uma

matriz quadrada de ordem 2, onde

={

A soma dos

seus elementos é igual a :

a) -1 b) 1 c) 6 d)7 e) 8


23

01.10. Calcule os números reais a, b, x

e y que tornam verdadeira a

igualdade:

a. ( ) + b. (

) = (

)

01.11. (FGV) Dadas as matrizes: A =

( ), B = (

) e C =

(

) e sendo 3A = B + C,

então:

a) x+y+z+w = 11 b) x+y+z+w = 10 c)

x+y-z-w =0 d) x+y-z-w =- 1 e)

x+y+z+w >11

01.12. (UFFLUMINENSE) Toda matriz

de ordem 2x2, que é igual a sua

transposta, possui:

a) pelo menos dois elementos iguais

b)os elementos da diagonal principal

iguais a zero c) os elementos da

diagonal secundária iguais a zero d)

linhas proporcionais e) nenhuma das

alternativas anteriores.

01.13. (F.SANTANA-BA) Se a matriz

(

) for simétrica, então (z+3).x-y

é igual a:

a)1 /9 b) 1/8 c) 0 d) - 1 e) 1

01.14.(SANTACASA-SP) Se uma matriz

A é tal que At = -A, ela é chamada de

matriz antissimétrica. Sabe-se que M

é antissimétrica e: M =

(

). Os termos

de M, valem

respectivamente:

a)-4,-2,-4 b) 4,-2,4 c) 4,2,-4 d) -4,2,4

e) -4,-2,4

01.15.(UEL) Sabendo-se que a matriz

(

) é igual a sua

transposta. O valor de x+2y é:

a)-20 b)-1 c)1 d)13 e)20

01.16. (UFRJ) Antônio, Bernardo e

Cláudio saíram para tomar chope, de

bar em bar, tanto no sábado quanto

no domingo. As matrizes a seguir

resumem quantos chopes cada um

consumiu e como a despesa foi

dividida:

S = ( ) e D = (

) S

refere-se às despesas de sábado e D

às de domingo. Cada elemento nos

dá o número de chopes que i pagou

para j, sendo Antônio o número 1,

Bernardo o número 2 e Cláudio o

número 3 ( representa o elemento

da linha i, coluna j de cada matriz).

Assim, no sábado Antônio pagou 4

chopes que ele próprio bebeu, 1

chope de Bernardo e 4 de Cláudio

(primeira linha da matriz S).

a) Quem bebeu mais chope no fim da

semana?

b) Quantos chopes Cláudio ficou

devendo para o amigo Antônio?

01.17. (UERJ) Três barracas de frutas,

B1, B2 e B3, são propriedades de uma

mesma empresa. Suas vendas são

controladas por meio de uma matriz,

na qual cada elemento bij representa

a soma dos valores arrecadados pelas

barracas Bi e Bj, em milhares de reais,

ao final de um determinado dia de

feira.

( ) Calcule, para esse dia,

o valor, em reais:

a) arrecadado a mais pela barraca B3

em relação à barraca B2,

b) arrecadado em conjunto pelas três

barracas.

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