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BCC464/PCC174 — 2018/2Departamento de Computação — UFOP

Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br

Otimização Linear e InteiraAula 05: Dualidade

Dualidade

/ 12/ 34 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira — Aula 05: Dualidade

DualidadeThe football leagues grouping problem

Problem constraints:

Leagues must comprise between m� and m+ teams.At most 2 teams from the same club can be in a league.There is a limit on the level difference between teams inthe same league.There is a limit on the travel time/distance between teamsin the same league.

It’s a generalization of the clique partitioning problem withminimum clique size requirement.

7 / 25 Toffolo et al. – IP heuristics for nesting problems

Seja o PL a seguir o PL primal:

0:..

)(min

≥

≥

=

xbAxasxfxct

njx

mibxaas

xc

j

n

jijij

n

jjj

,...,10

,...,1:.

min

1

1

=∀≥

=∀≥∑

∑

=

=

�3







Associado a este PL, existe um outro PL, chamado PL dual:

0:..

)(max

≥

≤

=

ucuAas

xfubtt

D

miu

njcuaas

ub

i

m

ijiij

m

iii

,...,10

,...,1:.

max

1

1

=∀≥

=∀≤∑

∑

=

=

�4







O dual de um problema de maximização é um problema de minimização.

The football leagues grouping problem





As m restrições primais estão em correspondência com as m variáveis duais.






As n restrições duais estão em correspondência com as n variáveis primais.






O coeficiente de cada variável na FO, primal ou dual, aparece no outro problema como lado direito da restrição correspondente.






A matriz de coeficientes do primal é transposta no dual.

�5


Dualidade

0:..

)(min

≥

≥

=

xbAxasxfxct

0:..

)(max

≥

≤

=

ucuAas

xfubtt

D

PL Primal PL Dual

�6


Transformação Primal x Dual

MIN

Restrição≤ ≤

Variável

MAX

= qq.≥ ≥

Variável≤ ≥

Restriçãoqq. =≥ ≤

�7


Exemplo:Exemplo: O Problema da Dieta

Minimizar: 3x1+2, 5x2 (1)

Sujeito a: 8x1+ 4x2 � 32 (2)6x1+ 6x2 � 36 (3)x1 � 0 (4)

x2 � 0 (5)

21 / 30 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 01: Introdução

Exemplo: O Problema da Dieta


Sujeito a: 8x1+ 4x2 � 32 (2)6x1+ 6x2 � 36 (3)x1 � 0 (4)

x2 � 0 (5)


�8


Maximizar:

Sujeito a:

Exemplo:The football leagues grouping problem





Encontre o PL Dual do modelo abaixo:


Minimizar: 32u1+36u2 (6)

Sujeito a: 8u1+ 6u2 3 (7)4u1+ 6u2 2, 5 (8)u1 � 0 (9)

u2 � 0 (10)


�9


Exercício:






Encontre o PL Dual do modelo abaixo:

Exercício

Exercício1 Encontre o PL Dual do modelo a seguir:

min. 300x1+ 280x2

s.a. 70x1+ 50x2 � 35050x1+ 80x2 � 400

x1 � 2x1, x2 � 0

21 / 34 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 03: Simplex e Modelagem�10







É igualmente válido definir o primal como sendo um problema de minimização ou maximização

Dual:Primal:

1

1

max

S. a 1, 2,...,

0 1,2,...,

n

j jj

n

ij j ij

j

w c x

a x b i m

x j n

=

=

=

£ =

³ =

å

å

1

1

min

S. a 1, 2,...,

y 0 1,2,...,

m

i ii

m

ij i ji

i

z b y

a y c j n

i m

=

=

=

³ =

³ =

å

å

�11


Dualidade: Teorema

O dual do dual é o primal.

�12


Dualidade: Teorema

Teorema da dualidade fraca






Se o primal for um PL de maximização que tem uma solução viável x com valor z e o seu dual tem solução viável y com valor w, então z ≤ w.






Se o primal for um PL de minimização que tem uma solução viável x com valor z e o dual tem solução viável y com valor w, então z ≥ w.

�13


Dualidade: Teorema

Teorema da dualidade forte






Se o primal tem solução ótima x* com valor z*, então o dual tem solução ótima y* com valor w* e z*=w*.

Consequência:






Sempre é possível usar uma solução do dual para provar que uma solução ótima do primal realmente é ótima.

�14


Dualidade: VantagensThe football leagues grouping problem





É possível “cercar” a solução ótima e/ou conferir se uma solução é de fato ótima (exemplo: um PL de minimização)

x* = u*

f(x)

fD(x)

(valor do primal)

(valor do dual)

�15


Dualidade: VantagensThe football leagues grouping problem





Situações na qual a matriz de coeficientes do primal tem mais linhas do que de colunas:

Dual

A base no dual é menor neste caso!

�16


Dualidade: Teorema

Pelo Teorema da dualidade fraca:






Se o primal for ilimitado, o dual é inviável.






Se o dual for ilimitado, o primal é inviável.The football leagues grouping problem





Observação: é possível que tanto o primal quanto o dual sejam inviáveis.

�17







Relações entre o primal e o dual:

�18

Ótimo Ilimitado Inviável

Ótimo Possível Nunca Nunca

Ilimitado Nunca Nunca Possível

Inviável Nunca Possível Possível

DualidadeAnálise de Sensibilidade


Dualidade: Interpretação EconômicaThe football leagues grouping problem





Sejam os dois PLs a seguir:

njx

mibxaas

xfxc

j

n

jijij

n

jjj

,...,10

,...,1:.

)(max

1

1

=∀≥

=∀≤

=

∑

∑

=

=

miu

njcuaas

ufub

i

m

ijiij

m

iDii

,...,10

,...,1:.

)(min

1

1

=∀≥

=∀≥

=

∑

∑

=

=

PL Primal PL Dual

�20







Sejam x* e u* soluções ótimas dos PLs primal e dual, e seja B* a base relativa a essas soluções.

∑=

===m

iiiD ubbuufxf

1

**** )()(

**)(

ubxf

=∂

∂






Supondo b variável e derivando em relação a b:

u* é a taxa de variação de f(x*) com b. Como u* ≥ 0, então f(x*) cresce à medida que bi cresce

�21







Considere o primal um problema de alocação de recursos, com m recursos disponíveis nas quantidades b1, b2, ..., bm com os quais desejamos fabricar n produtos nas quantidades x1, x2, ..., xn a serem determinadas.






Cada unidade do produto j consome aij unidades do recurso i trazendo um retorno de cj unidades monetárias.






Queremos determinar a quantidade a ser fabricada de cada produto de modo a maximizar o retorno.

�22







Suponha, agora, aumentada em uma unidade a quantidade disponível do recurso k, isto é, temos (bk + 1) unidades.






Suponha que a base associada permaneça a mesma.






Neste caso, a nova solução ótima u** do dual permanece a mesma.






A nova solução ótima x** será:

�23


Dualidade: Interpretação Econômica






f(x**) – f(x*) = uk*, ou seja, uk* é o incremento no lucro trazido pelo aumento de uma unidade da matéria disponível k.






uk* é chamado shadow price, valor incremental, efficiency price, valor implícito, etc.

*

1

*** )1()( kk

m

kii

ii ububxf ++=∑≠=

***

1

* )( kk

m

iii uxfuub +=+=∑

=

�24


Exemplos para aula prática:

max.

s.a.


Minimizar: 32u1+36u2 (6)

Sujeito a: 8u1+ 6u2 3 (7)4u1+ 6u2 2, 5 (8)u1 � 0 (9)

u2 � 0 (10)




Sujeito a: 8x1+ 4x2 � 32 (2)6x1+ 6x2 � 36 (3)x1 � 0 (4)

x2 � 0 (5)


min.

s.a.

PL Primal PL Dual

�25


Ex. 1: Carteira de Investimentos

Uma empresa gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de investimentos para diversos clientes, baseados em bonds de diversas empresas. Um de seus clientes exige que:






Não mais de 25% do total aplicado deve ser investido em um único investimento;






Um valor superior ou igual a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maiores que 10 anos;






O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 45% do total investido.

Considerando a tabela de retorno, risco e maturidade (próximo slide), determine a estratégia ótima para o investidor de forma que a rentabilidade de sua aplicação seja máxima.

�26



Título Retorno anual (%)

Maturidade (anos)

Risco

1 8,7 15 1 – Muito baixo

2 9,5 12 3 – Regular

3 12,0 8 4 – Alto4 9,0 7 2 – Baixo5 13,0 11 4 – Alto6 20,0 5 5 – Muito alto

�27



�28

Forma Padrão

max .X

j2Titulos

retornoj

100xj

s.a. xj 25 8j 2 TitulosX

j2Titulos|maturidadej�10

xj � 50

X

j2Titulos|riscoj�4

xj 45

X

j2Titulos

xj = 100

3 / 34 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 03: Simplex e Modelagem



1. Qual o melhor retorno que se pode obter? Quanto se deve aplicar em cada título para que se tenha o retorno ótimo?

2. Em qual percentual aumentaria o retorno se fosse permitido aplicar 1% a mais no Título 2? Qual seria o retorno? Essa regra vale até quanto?

3. A partir de qual percentual a aplicação no Título 3 é vantajosa?

4. Se fosse imposto limitar a aplicação em cada título em 24% para um dentre os títulos 2, 4 e 6, em qual título deveria ser feita a diminuição de aplicação? Justifique.

5. Quanto é a influência da limitação de aplicação em título de alto risco? Qual seria o retorno se esta limitação fosse de 49%?

�29


Ex. 2: Produção de automóveisThe football leagues grouping problem





Uma empresa deve produzir 1000 automóveis. Ela tem quatro fábricas, as quais, devido a diferenças na mão-de-obra e avanços tecnológicos, as plantas diferem no custo de produção de cada carro. Elas também utilizam diferentes quantidades de matéria-prima e mão-de-obra. A tabela abaixo resume essas informações:

Fábrica Custo (R$ mil) Mão-de-Obra Mat. Prima

1 15 2 32 10 3 43 9 4 54 7 5 6

�30


Ex. 2: Produção de automóveisThe football leagues grouping problem





Um acordo trabalhista requer que pelo menos 400 carros sejam produzidos na Fábrica 3. Existem 3300 horas de mão-de-obra e 4000 unidades de material que podem ser alocas às 4 fábricas:

åÎFabricasj

jj xcmin

åÎ

£Fabricasj

jj TotMObraxMObra

åÎ

£Fabricasj

jj x aTotMatPrimMatPrima

åÎ

=Fabricasj

jx Producao

0| ¹Î"³ jjj AcordoFabricasjAcordox

�31


Ex. 2: Produção de automóveis

1. Quais são as quantias ótimas de produção? Qual o custo da produção?

2. Quanto custa produzir mais um veículo? Quanto economizamos produzindo um veículo a menos?

3. Como mudaria a solução se custasse somente R$8.000,00 para produzir na fábrica 2? Como ficaria o custo?

4. Quanto o acordo está custando? Qual seria a variação no custo se o acordo fosse de 250 carros?

5. Até que custo ainda é vantajoso produzir na Fábrica 2?

�32

Exercício


ExercícioExercício

Exercício1 Resolva o PL abaixo e seu dual utilizando o método

Simplex:

min. x1+ x2

s.a. 2x1+ 5x2 � 105x1+ 3x2 � 4x1, x2 � 0

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