aufgabenstellung aufgabenstellung: what do the following terms (formulae) express? which of these...
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Aufgabenstellung
•Aufgabenstellung: What do the following terms (formulae) express? Which of these terms characterize all sequences of real numbers , x_n [n], that approximate some "limit" x : xn-->x? Give examples and counter examples. Sketch pictures.
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Inhalt
•Konvergenz für Folgen : Schwierigkeiten
•First Order Logic
•Jede Menge Beispiele.
•Alternative Darstellung von Quantoren
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Konvergenz von Folgen: Schwierigkeiten
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Konvergenz von Folgen
• Eine mögliche Definition :– Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt :
mit
a00 n 0| |na a n n ( )
nna
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Konvergenz für Folgen
• Eine mögliche Definition :– Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt :
mit
• Schwierigkeiten : – Was bedeutet ?– Wofür steht ?– Was passiert, wenn man die Reihenfolge von ,
vertauscht? – Was bedeutet die Definition als ganzes?
a00 n 0| |na a n n ( )
nna
0n
0 0n
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Konvergenz für Folgen
• Eine mögliche Definition:– Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt :
mit
• Ansatz: – Die Definitionen basiert auf First-Order Logic.
• Erklären von Grundkenntnisse in F.O. Logic, um Fehler zu vermeiden.
• Simple Umformungen einführen, um von F.O. Logic Termen einfachere Termen zu machen
• Mit Abbildungen zeigen, was die Formeln denn eigentlich bedeuten
a00 n 0| |na a n n ( )
nna
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First-Order Logic
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Semantik
• Prädikate: – Ausdrücke die zu richtig oder falsch auswerten.
• 0, 1 oder mehrere Argumente
• Quantoren:– Allquantor :
• für alle a‘s aus P gilt das Predikat t.
– Existenzquantor : • es gibt mindestens ein a aus P für dem das Predikat t gilt.
• Beispiel : –
– Es exisitiert ein Freund von mir der Paul kennt
[ ]( )a P t
[ ]( )a P t
[ ]( _ ( ))x Freunde Paul kennt x
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Einfache First-Order Umformung
• Negation eines First-Order Ausdruck :– Allquantoren werden zu Existenzquantoren, und umgekehrt– Das Predikat t wird negiert– Beispiel : aus
wird
• Allquantor in Existenzquantor
umwandeln:– a a
[ ]( _ ( ))x Bär coca cola moegen x [ ]( _ ( ))x Bär coca cola moegen x
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Jede Menge Beispiele
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Übersicht über die Definitionen
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• Definition 1 :
• Der Ausdruck ist wahr für die Folgen für die gilt: – Für einen Wert x und einer beliebig kleine Distanz ab ein
bestimmtes sind die Folgenglieder beliebig nah von x
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
(( )))))n
x N n
n N x x
N
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• Definition 2 :
• Der Ausdruck ist wahr für: – Die Folgen die sich ab ein bestimmten beliebig nah von einen
Punkt x befinden.N
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
(( )))))n
x N n
n N x x
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• Definition 3 :
• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen die für kein Punkt x konvergieren
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
( ( )))))n
x N n
n N x x
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• Definition 3, nochmal :
• Tipp : – Umformung des Ausdrucks kann das Verständnis erleichtern !
• Negation sind oft leichter am Anfang eines Ausdrucks zu lesen.
• Umformung :
Ist falsch für die Folgen die sich ab ein bestimmtes beliebig nah an einen Punkt x befinden -> Gegenteil von Definition 1
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
( ( )))))n
x N n
n N x x
( [ ]( [ ]( [ ]( [ ]
(( ))))))n
x N n
n N x x
N
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• Definition 4 :
• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen die nicht beliebig nah von einen Punkt x kommen ab ein
bestimmtes N
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
( ( )))))n
x N n
n N x x
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• Definition 5 :
• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen die ab einem bestimmten Punkt beliebig nah an
allen x ist.
• Beispiel:– Die Folge, dessen Wertebereich eine Ein-Elementige Menge ist, und
bei der alle n’s auf dieses eine Element abgebildet werden – Es gibt kein Beispiel solcher Folgen dessen Wertebereich in
ist
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
(( )))))n
n N x
n N x x
n N
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• Definition 6 :
• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen bei der kleiner sind als ein beliebig großes
• Beispiel:– Das ist für jede Folge wahr!
0x
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
(( )))))n
x N n
n N x x
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• Definition 7 :
• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen bei der maximal einer bestimmten Distanz von alle
x’s aus der Grundmenge entfernt ist. 0x
[ ]( [ ](( [ ]( [ ]
(( )))))n
x N n
n N x x
1 für i = 0
0 sonsti
i
x
x
,nx n
• Beispiel:– Eine Folge, dessen
Grundmenge beschränkt ist.
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• Definition 8 :
• Der Ausdruck ist wahr für… : – ab n größer N gibt es für alle ein x, das beliebig nah dran ist
(trivial wahr mit =x) nx
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
(( )))))n
N n x
n N x x
nx
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• Definition 9 :
• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen bei denen für alle n gilt: es gibt ein x so dass x an
beliebig nah dran ist nx
• Wahr für alle Folgen mit x =
[ ]( [ ]( [ ]( [ ]
(( )))))n
N n x
n N x x
nx
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Alternative Representation von Existenzquantoren
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Alternative Repräsentation:
• Die Reihenfolge der Quantoren spielt eine Rolle (beim Existenzquantor)– Um das zu verdeutlichen werden in manche Mathebücher diese
Notation benutzt :
• Statt :
• wird
geschrieben
– Damit lässt es sich vermeiden, dass man die Reihenfolge der Quantoren vertauscht.
0 0[ 0] ( [ ](| | ))n n a
0 0[ 0] ( [ ( ) ](| ( ) | ))n n a
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Ende