auditoriski 6

ФАКУЛТЕТ ЗА ИНФОРМАТИЧКИ НАУКИ И КОМПЈУТЕРСКО ИНЖЕНЕРСТВО


Минимизација на Булови функции

АРХИТЕКТУРА И ОРГАНИЗАЦИЈА НА КОМПЈУТЕРИАудиториска вежба 6


Содржина• Основни алгебарски поими• Минимизација на функции со Карноови мапи

– Минимизација на функции со 2, 3 и 4 променливи– Производ од суми– Реализација со помош на НИ/НИЛИ порти– Произволни вредности (don’t care)

• Метод на Квин‐Мекласки– Генерирање на примарни импликанти– Избор на примарни импликанти

2


Основни алгебарски поими• Елементарна конјункција претставува производ од

една или повеќе променливи со или без негација(ниту една од променливите не се појавува повеќе од еднаш)Пример: ABC, AB'C', A'B'C' се елементарни конјункции, но AA'BC, AB'B'C', ABCC не се

• Секоја функција може да се претстави во облик сума на елементарни конјункции

3


Основни алгебарски поими• Доколку функцијата f ја претставиме во облик сума

на елементарни конјункции, секој од производите претставува импликант на f. Со други зборови импликант е елементарна конјункција што ја имплицира fПример: Импликанти на f = AB + ABC + BC се AB, ABC и BC затоа што ако било која од нив е 1, тогаш f = 1

4


Основни алгебарски поими• Еден импликант на една функција f е примарен, ако

бришењето на било која променлива од неа резултира во производ кој не е импликант на fПример: f = AB + ABC + BCПримарни импликанти се AB и BCABC не е примарна импликанта затоа што A може да се избрише и ќе остане BC, а BC ја имплицира функцијата f

5


Основни алгебарски поими• Минимален израз на дадена функција f e

претставување на f како сума на примарни импликанти од кои ниедна не може да се испушти

• Еден примарен импликант е есенцијален ако покрива барем еден минтерм што не е покриен од ниеден друг примарен импликант. Есенцијалните примарни импликанти мора да бидат вклучени во минималните изрази што претставуваат некоја функција

6


Минимален израз на функција• Минимален израз на дадена функција се добива ако:

1. Се одредат сите есенцијални примарни импликанти. Ако ова множество ги покрива сите минтерми за кои функцијаа има 1, тогаш минималниот израз е добиен

2. Се одредат најмалиот број на неесенцијални примарни импликанти што ги покриваат минтермите што се уште не се покриени од есенцијалните примарни импликанти

3. Ако постои избор во вториот чекор, се избираат оние неесенцијални примарни импликанти со помал број на елементи (променливи)

7


Карноови мапи• Карноовите мапи (Вичови дијаграми) претставуваат

логички мапи во кои можат да се претстават сите минтерми. 1 значи дека соодветниот минтерм е импликант на функцијата

• Се користат за минимизација на Булови функции

8

y0 1

x

0 m0 m1

1 m2 m3

y0 1

x

0 x’y’ x’y

1 xy’ xy


Карноови мапи• Секое квадратче одговара на еден минтерм.

Соседните квадратчиња одговараат на минтерми кои што се разликуваат само во една променлива (во едниот минтерм е без негација, а во другиот е со негација)Пример F(x, y) = x + yF(x, y) = x + y = x’y + xy’ + xy

9

Y0 1

x

0 1

1 1 1


Минимизација на функции со Карнови мапи

• Се одредуваат сите најголеми области со единици што ја покриваат целосно функцијата

• Доколку некоја единица е покриена само од една област, тогаш таа област определува есенцијална примарна импликанта која мора да биде вклучена во минималниот израз

10


Минимизација на функции од 2 променливи

• Област од 1 квадрат одговара на соодветниот минтерм (ПРИМЕР: f=m0=x’y’)

• Област од 2 соседни квадрати одговара на елементарна конјункција од 1 променлива(ПРИМЕР: f=m0+m1=x’y’+x’y; f=x’)

• Област од 4 квадрати одговара на функцијата f=1 (ПРИМЕР: f=m0+m1+m2+m3=1; f=1)

• Функцијата се претставува како сума од елементарни конјункции што ги покриваат сите единици во табелата

11


Минимизација на функции од 2 променливи

• Пример: Минимизирајте ја функцијатаF(x, y) = x’y + xy’ + xy = sum(1, 2, 3)

F(x, y) = x + y(x – хоризонтално, y – вертикално заокружување)

12

y0 1

x

0 1

1 1 1


Карноова мапа за функции од 3променливи

• Соседните квадрати се разликуваат за 1 променлива

13

yz00 01 11 10

x0 m0 m1 m3 m2

1 m4 m5 m7 m6

yz00 01 11 10

x

0 x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’

1 xy’z’ xy’z xyz xyz’

• Пример: F(x, y, z) = sum(5, 7)

F(x, y, z) = xy’z + xyz = xz(y + y’) = xz

yz00 01 11 10

x0

1 1 1


Минимизација на функции од 3променливи

• Област од 1 квадрат одговара на соодветниот минтерм

• Област од 2 соседни квадрати одговара на елементарна конјункција од 2 променливи

• Област од 4 квадрати (правоаголник или квадрат) одговара на елементарна конјункција од 1 променлива

• Функцијата се претставува како сума од елементарни конјункции што ги покриваат сите единици во табелата

• Како соседни се сметаат и првата и четвртата колона14



• Пример: Претстави ја следната функција како сума од минтерми и минимизирај јаF(x, y, z) = x’y’z + xz + x’y

• Решение:

• F = sum(1, 2, 3, 5, 7) = z + x’y

15

yz00 01 11 10

x

0 1 1 1

1 1 1



• Пример: Минимизирај ја следната функција дефинирана како

16

x y z f0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1



• Решение:F(x, y, z) = x’y’z’ + x’y’z + xy’z + xyz

F(x, y, z) = sum(0, 1, 5, 7) = x’y’ + xz• Забелешка: На цртежот со црвено се претставени

есенцијалните примарни импликанти

17

yz00 01 11 10

x0 1 1

1 1 1



• Задача: Минимизирај ја F(x, y, z) = sum(2, 3, 4, 5)Одговор: F(x, y, z) = xy’ + x’y

• Задача: Минимизирај ја F(x, y, z) = sum(0, 2, 4, 5, 6)Одговор: F(x, y, z) = z’ + xy’

• Задача: Минимизирај ја функцијата

18

x y z f20 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Одговор: F(x, y, z) = x’y’z’ + x’yz + xy’z + xyz’


Карноова мапа за функции од 4променливи

• Соседните квадрати се разликуваат за 1 променлива

• Соседни се првиот и четвртиот ред, и првата и четвртата колона

19

yz00 01 11 10

wx

00 m0 m1 m3 m2

01 m4 m5 m7 m6

11 m12 m13 m15 m14

10 m8 m9 m11 m10

yz00 01 11 10

wx

00 w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’

01 w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’

11 wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’

10 wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’



• Област од 1 квадрат одговара на соодветниот минтерм• Област од 2 соседни квадрати одговара на

елементарна конјункција од 3 променливи• Област од 4 квадрати одговара на елементарна

конјункција од 2 променливи• Област од 8 квадрати одговара на елементарна

конјункција од 1 променлива• Област од 16 квадрати одговара на функцијата f=1• Забелешка: Областите можат да бидат квадрати или

правоаголници со страна степен на 2 (1, 2 или 4)20



• Пример: Минимизирај ја функцијатаF(w, x, y, z) = sum(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)

• F(w, x, y, z) = y’ + w’z’ + xz’

21

yz00 01 11 10

wx

00 1 1 1

01 1 1 1

11 1 1 1

10 1 1



• Во следните примери, со црвено и сино се обележани импликантите кои влегуваат во минималниот израз

22



• Во следните примери, со црвено и сино се обележани импликантите кои влегуваат во минималниот израз

23


Минимизација на функции од 5 и повеќе променливи

• Минимизација на функции од 5 променливиСе креираат 2 дијаграми по 16 квадратчиња

• Минимизација на функции од 6 променливиСе креираат 4 дијаграми по 16 квадратчиња

24


Производ од суми• Според Деморгановите правила:

Комплемент на сума од производи е производ од комплементи и обратно

• Со Вичовите дијаграми се гледаат 0, а не 1, и се прави комплемент

25


Производ од суми• Пример: Минимизирај ја функцијатаF(w, x, y, z) = sum(0, 1, 2, 5, 8, 9 10)

• Од дијаграмот: F’ = xz’ + wx + yz(F’)’ = (xz’ + wx + yz)’ = (xz’)’(wx)’(yz)’== (x’ + z)(w’ + x’)(y’ + z’) 26

yz00 01 11 10

wx

00 1 1 0 1

01 0 1 0 0

11 0 0 0 0

10 1 1 0 1


Реализација со НИ‐порти• Сите прекинувачки функции можат да се

реализираат со користење само на операцијата НИ • Секоја од трите основни операции во Буловата

алгебра може да се претстави преку НИ‐портиx’= (xx)’

x + y = ((x + y)’)’ = (x’y’)’ = ((xx)’(yy)’)’

xy = ((xy)’)’ = ((xy)’(xy)’)’27

xy xy


Реализација со НИ‐порти• Доколку сакаме да реализираме со НИ‐порти некоја

функција која ни е дадена како сума од производи ги користиме Деморгановите правила:Пример: F(A, B, C, D, E) = AB + CD + E == ((AB + CD + E)’)’ = ((AB)’(CD)’E’)’1. Ја минимизираме функцијата како сума од производи2. Ја заменуваме операцијата ИЛИ со НИ‐порта3. За секој посебен производ употребуваме НИ‐порта4. Доколку некоја од директните променливи е негација

ја претставуваме со НИ‐порта со помош на x’ = (xx)’

28


Реализација со НИ‐порти• Комплемент на функцијата можеме да

реализираме со НИ‐порти со користење на Вичови дијаграми. Ги покриваме сите нули со импликанти за да го добиеме минималниот израз за комплементот на функцијата. Понатамошните чекори за трансформација на изразот се исти како тие во претходниот слајдПример: F(x, y, z) = sum(0, 6)

F = x’y’z’ + xyz’F’ = x’y + xy’ + z

29

yz00 01 11 10

x0 1 0 0 0

1 0 0 0 1


Реализација со НИ‐портиF = x’y’z’ + xyz’ = ((x’y’z’)’(xyz’)’)’На цртежот е дадена реализација на функцијата само со НИ‐порти. Илустрирано е F(1, 1, 0)=1 (m6=1)

30


Реализација со НИЛИ‐порти• Сите прекинувачки функции можат да се реализираат

со користење само на операцијата НИЛИ • Секоја од трите основни операции во Буловата

алгебра може да се претстави преку НИЛИ‐портиx’ = (x + x)’

31

x + y = ((x + y)’)’ = ((x + y)’ + (x + y)’)’

xy = ((xy)’)’ = (x’ + y’)’ = ((x + x)’ + (y + y)’)’


Реализација со НИЛИ‐порти• Доколку сакаме да реализираме со НИЛИ‐порти

некоја функција ги користиме Деморгановите правила:1. Ја минимизираме функцијата како производ од суми2. Ја заменуваме операцијата И со НИЛИ‐порта3. За секоја посебна сума употребуваме НИЛИ‐порта4. Доколку некоја од директните променливи е

негација ја претставуваме со НИЛИ‐порта со помош на x’ = (x + x)’

32


Реализација со НИЛИ‐портиF = sum(0, 6); (F’)’ = (x’y + xy’ + z)’ = (x + y’)(x’ + y)z’F = (F’)’ = (((x + y’)(x’ + y)z’)’)’ = ((x + y’)’ + (x’ + y)’ + z)’На цртежот е дадена реализација на функцијата само со НИЛИ‐порти. Илустрирано е F(1, 1, 0)

33


Реализација со НИЛИ‐порти (НИ‐порти)

(a) F Сума на производи Комбинирај 1 НИ(b) F’ Сума на производи Комбинирај 0 НИ(c) F Производ на суми Комплементирај го F’ од (b) НИЛИ(d) F’ Производ на суми Комплементирај го F од (a) НИЛИ

34

Пример: F(x, y, z) = sum(0, 6)F = x’y’z’ + xyz’F’ = x’y + xy’ + zF = (F’)’ = (x’y + xy’ + z)’ = (x + y’)(x’ + y)z’F’ = (x’y’z’ + xyz’)’ = (x + y + z)(x’ + y’ + z)


Произволни вредности (don’t care)

• Ако за секоја комбинација на вредности на влезот, функцијата добива конечна дефинирана вредност (0 или 1), тогаш функцијата се нарекува комплетно дефинирана функција

• Во одредени случаи некои комбинации од вредности на променливи воопшто не се појавуваат. Во таков случај излезот од колото не е дефиниран, а функцијата е некомплетно дефинирана функција. Недефинираните вредности ќе ги означиме со “X”

• При минимизација на некомплетно дефинирани функции со Карноови мапи, се покриваат сите квадрати со 1, а можеме да користиме и квадрати со X

35


Произволни вредности (don’t care)

• Пример: Да ја минимизираме функцијатаF(w, x, y, z) = sum(1, 3, 7, 11, 15)и произволни вредностиd(w, x, y, z) = sum(0, 2, 5)

36

yz00 01 11 10

wx

00 X 1 1 X

01 0 X 1 0

11 0 0 1 0

10 0 0 1 0

yz00 01 11 10

wx

00 X 1 1 X

01 0 X 1 0

11 0 0 1 0

10 0 0 1 0

F = yz + w’x’ F = yz + w’z


Метод на Квин‐Мекласки• Погоден е за повеќе променливи• Метод на табулација• Наоѓање на листа на минтерми• Наоѓање на примарни импликанти со процес на

споредување. Ако 2 минтерми се разликуваат во 1 променлива, тогаш таа се изоставуваПример: x’yz + xyz = yz(x + x’) = yz

37


Метод на Квин‐Мекласки• Пример: Минимизација на функција со помош на

методот на Квин‐МекласкиF(x1, x2, x3, x4) = sum(0, 1, 2, 8, 10, 11, 14, 15)1. Се подредуваат минтермите според бројот на единици

во групи2. Потоа се групираат паровите од редици кои се

разликуваат само во една позиција (кај едната редица има вредност 0, а кај другата 1). На позицијата каде што се разликуваат се става “‐”

3. Со √ се означуваат импликантите кои влегле во поголема група

4. Се продолжува со чекорот 2 се додека има помали групи што можат да формираат поголема група 38


Метод на Квин‐Мекласки

Резултат:F(x1, x2, x3, x4) = x1’x2’x3’ + x2’x4’ + x1x3

39

x1 x2 x3 x4

0 0 0 0 0 √

1 0 0 0 1 √

2 0 0 1 0 √

8 1 0 0 0 √

10 1 0 1 0 √

11 1 0 1 1 √

14 1 1 1 0 √

15 1 1 1 1 √

x1 x2 x3 x4

0, 1 0 0 0 ‐

0, 2 0 0 ‐ 0 √

0, 8 ‐ 0 0 0 √

2, 10 ‐ 0 1 0 √

8, 10 1 0 ‐ 0 √

10, 11 1 0 1 ‐ √

10, 14 1 ‐ 1 0 √

11, 15 1 ‐ 1 1 √

14, 15 1 1 1 ‐ √

x1 x2 x3 x4

0, 2, 8, 10 ‐ 0 ‐ 0

0, 8, 2, 10 ‐ 0 ‐ 0

10, 11, 14, 15 1 ‐ 1 ‐

10, 14, 11, 15 1 ‐ 1 ‐


Метод на Квин‐Мекласки• Методата на табулација не секогаш генерира

минимален израз, односно не генерира најмал број на производи

• За таа цел треба да се пристапи кон избор на примарни импликанти

• Следува пример за илустрација

40


Метод на Квин‐Мекласки• Пример: Да се минимизира функцијатаF(w, x, y, z) = sum(1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15)

• Прво ја минимизираме функцијата со помош на Карноови мапи

41

yz00 01 11 10

wx

00 1

01 1 1 1

11 1

10 1 1 1 1

Резултат: F = x’y’z + w’xz’ + xyz + wx’



42

w x y z

1 0 0 0 1 √

4 0 1 0 0 √

8 1 0 0 0 √

6 0 1 1 0 √

9 1 0 0 1 √

10 1 0 1 0 √

7 0 1 1 1 √

11 1 0 1 1 √

19 1 1 1 1 √

w x y z

1, 9 ‐ 0 0 1

4, 6 0 1 ‐ 0

8, 9 1 0 0 ‐ √

8, 10 1 0 ‐ 0 √

6, 7 0 1 1 ‐

9, 11 1 0 ‐ 1 √

10, 11 1 0 1 ‐ √

7, 15 ‐ 1 1 1

11, 15 1 ‐ 1 1

w x y Z

8, 9, 10, 11 1 0 ‐ ‐

8, 10, 9, 11 1 0 ‐ ‐

Резултат:F(w, x, y, z) = x’y’z + w’xz’ + w’xy + xyz + wyz + wx’Овој израз не е минимален!


Метод на Квин‐Мекласки• Откако ќе се најдат примарните импликанти треба

да се направи соодветен избор за да се формира минимизирана форма

• За таа цел се формира табела на примарните импликанти. Во оваа табела секоја приматна импликанта се претставува со редица и секој минтерм со колона. На позициите каде што треба да се прикаже композиција на минтерми се појавува ознаката x. Се избира најмалото множество на примарни импликанти за да се покријат сите минтерми во функцијата

43


Метод на Квин‐Мекласки• Се разгледуваат сите непокриени минтерми.

Доколку некоја минтерма е покриена од само една примарна импликанта тогаш таа импликанта влегува во минималниот израз и сите минтерми што ги покрива импликантата се означуваат како покриени

• Претходниот чекор се повторува се додека не се покријат сите минтерми

44



45

1 4 6 7 8 9 10 11 15

x’y’z 1, 9 x x

w’xz’ 4, 6 x x

w’xy 6, 7 x x

xyz 7, 15 x x

wyz 11, 15 x x

wx’ 8, 9, 10, 11 x x x x



46

1 4 6 7 8 9 10 11 15

x’y’z 1, 9 x x

w’xz’ 4, 6 x x

w’xy 6, 7 x x

xyz 7, 15 x x

wyz 11, 15 x x

√ wx’ 8, 9, 10, 11 x x x x

√ √ √ √



47

1 4 6 7 8 9 10 11 15

x’y’z 1, 9 x x

w’xz’ 4, 6 x x

w’xy 6, 7 x x

xyz 7, 15 x x

wyz 11, 15 x x

√ wx’ 8, 9, 10, 11 x x x x

√ √ √ √



48

1 4 6 7 8 9 10 11 15

√ x’y’z 1, 9 x x

w’xz’ 4, 6 x x

w’xy 6, 7 x x

xyz 7, 15 x x

wyz 11, 15 x x

√ wx’ 8, 9, 10, 11 x x x x

√ √ √ √ √



49

1 4 6 7 8 9 10 11 15

√ x’y’z 1, 9 x x

w’xz’ 4, 6 x x

w’xy 6, 7 x x

xyz 7, 15 x x

wyz 11, 15 x x

√ wx’ 8, 9, 10, 11 x x x x

√ √ √ √ √



50

1 4 6 7 8 9 10 11 15

√ x’y’z 1, 9 x x

√ w’xz’ 4, 6 x x

w’xy 6, 7 x x

xyz 7, 15 x x

wyz 11, 15 x x

√ wx’ 8, 9, 10, 11 x x x x

√ √ √ √ √ √ √



51

1 4 6 7 8 9 10 11 15

√ x’y’z 1, 9 x x

√ w’xz’ 4, 6 x x

w’xy 6, 7 x x

√ xyz 7, 15 x x

wyz 11, 15 x x

√ wx’ 8, 9, 10, 11 x x x x

√ √ √ √ √ √ √ √ √



52

1 4 6 7 8 9 10 11 15

√ x’y’z 1, 9 x x

√ w’xz’ 4, 6 x x

w’xy 6, 7 x x

√ xyz 7, 15 x x

wyz 11, 15 x x

√ wx’ 8, 9, 10, 11 x x x x

√ √ √ √ √ √ √ √ √

Резултат:F(w, x, y, z) = x’y’z + w’xz’ + xyz + wx’

auditoriski 6

Documents