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Apresentao
Este uma atividade pratica supervisionada apresentada aos alunos a fim
aumentar o conhecimento em calculo com a apresentao de integral e suas
propriedades, servindo como um plano de aprendizagem, pois atravs de pesquisas
e clculos praticaremos o estudo passado pela professora atravs de suas aulas.
Na Etapa 1 apresentamos conceitos de integral definida e integral indefinida
e suas propriedades e tambm o conceito de integral como funo inversa da
derivada.
Na Etapa 2 temos integrao por substituio e integrao por partes,
resoluo de vrios tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.
Na Etapa 3 abordaremos o tema de calculo de rea utilizando as regras de
integrais.
Na Etapa 4 apresentamos calculo de volume de solido de revoluo atravs
dos clculos de integrais e suas teorias.
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Etapa 1
Integral.
Os primeiros problemas que apareceram na historia relacionados com
integrais so os problemas de quadratura(um termo antigo que se tornou sinnimo
do processo de determinar rea). Um dos problemas mais antigos dos gregos foi o
da medio de superfcie a fim de encontrar suas reas. Quando os antigos
gemetras comearam a estudar as reas de figuras planas, eles as relacionavamcom a rea do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam
encontrar um quadrado que tivesse rea igual da figura em questo. Uma das
questes mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuies
gregas para o calculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. trata-se de um teorema de
Arquimedes para a quadratura da parbola.
Arquimedes descobriu que a rea da regio limitada por uma parbola
cortada por uma corda qualquer, igual a 4/3 da rea do triangulo que tem a mesmaaltura e que tem a corda como base. Arquimedes gerou tambm uma soma com
infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando,
com o mtodo da exausto, a dificuldade com quantidade infinita de parcelas. Outra
contribuio de Arquimedes foi utilizao do mtodo de exausto para encontrar a
rea do circulo, obtendo uma das primeiras aproximaes para o numero .
A contribuio seguinte para o calculo integral apareceu ao final do sculo
XVI quando a mecnica levou vrios matemticos a examinar problemas
relacionados com o centro da gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou
de quadratura parbola onde utilizou o mesmo mtodo grego para resolver
problemas de calculo de rea desse tipo. Kepler, em seu trabalho sobre movimento
dos planetas, teve que encontrar as reas de vrios setores de uma regio elptica,
o mtodo de Kepler consistia em pensar na superfcie como a soma de linhas, ele
subdividiu o solido em varias fatias, chamadas infinitsimos, e a soma desses
infinitsimos se aproximava do volume desejado.
Os prximos matemticos que tiveram grande contribuio para o
nascimento do calculo integral foram Fermat e Cavalieri. Cavalieri desenvolveu a
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idia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas, Cavalieri pensou na rea
como uma soma infinita de componentes ou segmentos indivisveis. Todo o
processo geomtrico desenvolvido por Cavalieri foi ento aritmetizado por Wallis.
Wallis desenvolveu principalmente de induo e interpolao que o levaram a
encontrar diversos resultados importantes.
Fermat desenvolveu uma tcnica para achar a rea sob cada uma das
parbolas maiores: curvas do tipo y=kxn, onde k>0 constante de n=2,3,4, etc. Por
volta de 1640, a formula geral da integral das parbolas maiores era conhecida por
Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros. O problema do movimento
estava sendo estudado desde a poca de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow
consideraram o problema do movimento com velocidade variada. A derivada da
distancia era a velocidade e a operao inversa partindo da velocidade levavam a
distancia. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema
Fundamental do Calculo, estava trabalhando em direo a esse resultado, foi
Newton, entretanto, quem, continuando na direo, formulou o teorema.
Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do
movimento dos corpos e desenvolveu o calculo aproximadamente dez anos antes de
Leibniz. Ele desenvolveu os mtodos das fluxions derivao e fluents integrao e utilizou-os na construo da mecnica clssica. Principalmente como
conseqncia do Teorema Fundamental do Calculo de Newton, as integrais foram
simplesmente vistas como derivadas reversas. Na poca da publicao das
tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemticos
para integrar todas as funes racionais.
Hoje em dia o calculo integral largamente utilizado em varias reas do
conhecimento humano e aplicado para a soluo de problemas no s deMatemtica, mas de Fsica, astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Qumica,
por exemplo.
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1.1. Passo 1: integral definida e integral indefinida
Integral indefinida
Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e fsica
dependem de derivao para trs ou antiderivao. Este , s vezes, chamado
problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma funo, achar a prpria
funo. De agora em diante trabalharemos com as mesmas regras de derivao. No
entanto, aqui essas regras so usadas no sentido contrario e levam em particular a
integrao de polinmios.
Se y=F(x) uma funo cuja derivada conhecida, por exemplo:
2x
Podemos descobrir qual a funo F(x)?
F(x) = x2
Podemos acrescentar um termo constante que no muda a derivada.
x2 + 1; x2 - ; x2 + 5....
e mais geralmente, x2 + C onde C uma constante qualquer.
Definio: Se F(x) uma primitiva de f(x), a expresso F(x) + c chamada integral
indefinida da funo f(x) e detonada por:
O smbolo chamado sinal de integrao, f(x) funo integrando e
f(x)dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma funo
chamado integrao. O smbolo dx que aparece no integrando serve para
identificar a varivel de integrao.
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, representa uma famlia de funo (a famlia de
todas as primitivas da funo integrando).
Exemplo: ou
Esto ambas corretas, mas a primeira da uma integral enquanto a segundada todas as possveis integrais. A constante c na segunda formula chama-seconstante de integrao e freqentemente referida como uma constante arbitraria.
Propriedades da integral indefinida: Proposio sejam f, g: I R e K umaconstante. Ento:
1.
2.
A integral da soma a soma das integrais separadas. Isto se aplica a
qualquer numero finito de termos.
3. , n-1 para integrar uma potencia, some ao expoente
uma unidade e divida a nova potencia pelo novo expoente.
Exemplos de integrais indefinidas:
a.
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b.
c.
d.
Integral definida
Suponha que voc conhea a taxa f(x) = dF/dx, na qual certa grandeza F
esta variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variara entrex=a e x=b. voc pode primeiro encontrar F por antidiferenciao, e ento calcular a
diferena.
Variao em F entre: x=a e x=b = F(b) F(a)
O resultado numrico deste calculo chamado de integral definida da
funo fe denotado pelo smbolo:
O smbolo lido como a integral definida de f de a ate b. Os
nmeros a e b so denominados limites de integrao. Nos clculos que envolvem
as integrais definidas, freqentemente conveniente usar o smbolo: paraa diferena F(b) F(a).
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Definio: seja fuma funo continua no intervalo [a,b]. Suponha que este intervaloseja dividido em n partes iguais de largura x = (b-a)/n e seja x, um numeropertencente ao j-simo intervalo, para j=1,2,......,n. neste caso, a integral definida de
f em [a,b]. Denotada por , dada por , se estelimite existir. Pode-se mostrar que se a funo y= f(x) continua em um intervalo[a,b], ento ela integrvel em [a,b].
Interpretao geomtrica:
Suponha que y=f(x) seja continua e positiva em um intervalo [a,b]. Dividimos
este intervalo em n sub-intervalos de comprimentos iguais, ou seja, de comprimento
, de modo que a = a0 < a1 < a2
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A soma das reas dos n retngulos construdos dada pelo somatrio das
reas de cada um deles, isto :
Intuitivamente possvel admitir que medida que n cresce, x diminui, e
conseqentemente o somatrio anterior converge para a rea A da regio limitada
pelo grfico de f e pelas retas y=0, x=a e x=b. Portanto, a rea desta regio dada
por
Mas este limite exatamente igual definio de integral e como isso
observamos que a integral definida de uma funo continua e positiva. Para x
variando de a ate b, fornece a rea da regio limitada pelo grfico de f, pelo eixo-x e
pelas retas x=a e x=b.
Teorema Fundamental do Calculo: Se y = f(x) uma funo continua no intervalo[a,b] e F(x) = f(x) [isto , F(x) uma primitiva ou anti-derivada f(x)], ento
.
Propriedades da integral definida: Se f e g so funes continuas no intervalo
[a,b], ento:
a- , onde c uma constante.
b- .
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c- , onde a c b.
d- f(x) 0, x [a,b] .
e- f(x) g(x), x [a,b] .
f- Se f(a) .
Exemplo de integrais definidas:
a.
b.
1.2. Passo 2: Desafios
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Desafio A
Qual das alternativas abaixo representa a integral de: da?
a- F(a)= 12a4 - + ln
b- F(a)= - + 3 ln
c- F(a)= + - 3 ln
d- F(a)= 12a4 + + ln
e- F(a)= a4 + + 3 ln
Desafio B
Suponha que o processo de perfurao de um poo de petrleo tenhacusto fixo de U$ 10000 e um custo marginal de C(q)=1000 + 50q dlares por p,onde q a profundidade em ps. Sabendo que C(0)= 10000, a alternativa queexpressa C(q), o custo total para se perfurar q ps, :
a- C(q)=10000 + 1000q + 25q2
b- C(q)=10000 + 25q + 1000q2
c- C(q)=10000q2
d- C(q)=10000 + 25q2
e- C(q)=10000q + q2 + q3
Desafio C
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No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petrleo cresceuexponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petrleo no instante t, onde t o numero de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximadopara C(t) dado por: C(t)= 16,1x e0,07t. Qual das alternativas abaixo respondecorretamente a quantidade de petrleo consumido entre 1992 e 1994?
a a 56,43 bilhes de barris de petrleo
a a 48,78 bilhes de barris de petrleo
a a 39,76 bilhes de barris de petrleo
a a 26,54 bilhes de barris de petrleo
a a Nenhuma das alternativas
Desafio D
A rea sob a curva y=ex/2 de x=-3 a x=2 dada por:
a- 4,99b- 3,22
c- 6,88
d- 1,11
e- 2,22
1.3. Passo 3: Concluso
Desafio A
A resposta correta para este desafio o numero 3.
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b- F(a) = para associao n3
Desafio B
A resposta correta para este desafio o numero 0.
a- C(q) = 10000 + 1000q + 25q2
C(q) = 1000 + 50q para associao n0
Desafio C
A resposta correta para este desafio o numero 0.
1994 1992 = 2 anos.
C(t) = 16,1 x e0,07t
C(2) = 16,1 x e0,07(2) C(2) = 16,1 x e0,14 =18,52.
e- nenhuma das alternativas. para associao n0
Desafio D
Tabela 1: desafio
X Y Y = e x/2
-4 0,13 y = e -4/2 = 0,13
-3 0,22 y = e -3/2 = 0,22
-2 0,37 y = e -2/2 = 0,37
-1 0,61 y = e -1/2 = 0,61
0 1 y = e 0/2 = 1
1 1,65 y = e 1/2 = 1,65
2 2,72 y = e 2/2 = 2,72
3 4,48 y = e 3/2 = 4,48
4 7,39 y = e 4/2 = 7,39
Fonte: CORREA, 2012.
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Grafico1: Grfico da funo y=ex/2
Fonte: CORREA, 2012.
Resposta correta a-4,99 para associao n9
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Etapa 2
Integrao por Substituio e Integrao por Partes.
As contribuies dos matemticos para o nascimento do Clculo so
inmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou no rigorosa, j
utilizavam conceitos do Clculo para resolver vrios problemas, por exemplo,
Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda no havia umasistematizao, no sentido de uma construo logicamente estruturada.
A unio das partes conhecidas e utilizadas at ento, aliada ao
desenvolvimento e aperfeioamento das tcnicas, aconteceu
com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do
Clculo: as Derivadas e as Integrais.
2.1. Histrica do Calculo: Passo 1
Calculo Integral: alguns fatos histricos
Os primeiros problemas que apareceram na historia relacionados com as
integrais so os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos
enfrentados pelos gregos foi o da medio de superfcies a fim de encontrar suas
reas. Quando os antigos gemetras comeam a estudar as reas de figuras
planas, eles as relacionavam com a rea do quadrado, por ser essa a figura plana
mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse rea igual da
figura em questo.
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Outras integraes foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o
volume da esfera e a rea da superfcie esfrica, o volume do cone e a rea da
superfcie da cnica, a rea limitada por uma elipse, o volume de um parabolide de
revoluo e o volume de um hiperbolide de revoluo. Em seus clculos,
Arquimedes encontrava somas com um numero infinito de parcelas. O argumento
utilizado era a dupla reductio ad absurdum para escapar da situao incomoda.
Basicamente, se no podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.
Embora Euler tenha feito clculos mais analticos que geomtricos, com
nfase em funes (1748; 1755; 1768), houve vrios mal-entendidos sobre o
conceito de funo, propriamente dito, no sculo 18. Certos problemas de fsica,
como o problema da corda vibrante, contriburam para esta confuso. Euler
identificou tanto funes com expresso analtica, que pensou em uma funo
contnua como sendo definida apenas por uma nica frmula em todo seu domnio.
A idia moderna de uma funo contnua, independente de qualquer frmula, foi
iniciada em 1791 por Louis-Franois Arbogast (1759--1803): "A lei de continuidade
consiste em que uma quantidade no pode passar de um estado [valor] para outro
[valor] sem passar por todos os estados intermedirios [valores] ...". Esta idia
tornou-se rigorosa em um panfleto de 1817 por Bernhard Bolzano (1781--1848) e
conhecida agora como o Teorema do Valor Intermedirio. Funes descontnuas (no
sentido moderno) foram foradas na comunidade matemtica e cientfica por Joseph
Fourier (1768--1830) no seu famoso Analytical Theory of Heat (Teoria Analtica do
Calor,1822).
Integrao por Partes
Se f e g so funes diferenciveis, ento, pela regra de diferenciao do produto,
integrando ambos os lados, obtemos
ou
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Uma vez que a integral direita ira produzir outra constante de integrao,
no h necessidade de manter o C nesta ultima equao; assim sendo, obtemos.
.
A qual chamada de formula de integrao por partes. Usando esta
formula, s vezes podemos tornar um problema de integrao mais simples. Na
pratica, usual reescrever fazendo. u = f(x), du = f (x)dx e v = g(x), dv = g (x)dx ,
isso da lugar seguinte forma alternativa para:
Exemplo: Calcule .
Soluo. Para aplicar, precisamos escrever a integral na forma uma maneira
de fazer isso colocar u = x e dv = ex dx para que, du = dx e deste
modo, a partir de .
Regra da substituio
importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas
formulas de antidiferenciao no mostra como calcular integrais do tipo:
u = 2x+4
du = 2 dx
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Se substituirmos estas expresses na equao, obtemos:
Assim resolvendo esta integral teremos:
Portanto, usando este resultado e substitudo u por u = 2x + 4, obtemos:
Regra da substituio:
Se u = g(x) for uma funo diferenciavel cuja imagem um intervalo l e f for
continua em l, ento .
2.2. Desafio: Passo 2
Considerem as seguintes igualdades:
I.
II.
Podemos afirmar que:
a) (I) e (II) so verdadeiras
b) (I) falsa e (II) verdadeira
c) (I) verdadeira e (II) falsa
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d) (I) e (II) so falsas (correta)
II.3. Soluo do desafio: Passo 3
Desafio I
Desafio II
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(Resposta do desafio b) I falsa e II verdadeirapara associao n5
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Etapa 3Calculo de rea.
Os dois conceitos principais do clculo so desenvolvidos a partir de idias
geomtricas relativas a curvas. A derivada provm da construo das tangentes auma dada curva. O assunto deste e dos prximos captulos, a integral, tem origem
no clculo de rea de uma regio curva. Como vimos no incio deste livro, o
problema de calcular reas j despertava, por suas aplicaes prticas, grande
interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de vrias frmulas para o clculo de
reas de figuras planas serem conhecidas desde esta poca, e at mesmo
problemas do clculo de reas de regies limitadas por segmentos de retas e
algumas curvas, como a parbola, terem sido estudados e resolvidos, para casosparticulares, at o sculo XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos do
Clculo Diferencial e Integral como uma teoria matemtica digna de crdito, no se
conhecia nenhuma frmula ou mtodo geral que se pudesse aplicar para resolver o
problema de calcular reas de regies limitadas por curvas quaisquer.
Nos meados do sculo XVII, vrios estudiosos europeus, entre eles Fermat e
Pascal, passaram a usar nos seus trabalhos o mtodo da exausto, empregado por
Arquimedes no clculo de reas de segmentos parablicos (veja o projetoArquimedes e a Quadratura da Parbola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram
como este mtodo estava relacionado com o Clculo Diferencial. Este importante
resultado e denominado teorema fundamental do calculo e um dos resultados mais
importantes de toda a matemtica. Como vimos, a derivada tem aplicaes que
transcendem a sua origem geomtrica. Nos prximos captulos, veremos que o
mesmo acontece com a integral.
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A fim de tornar clara a discusso sobre reas vai introduzir na prxima seo
uma notao matemtica padro usada para abreviar somas que envolvem um
nmero muito grande de parcelas.
3.1. Historia de calculo de rea: Passo 1
Parece que o primeiro a calcular a rea exata de uma figura limitada por
curvas foi Hipocrates de Chios, o mais famoso matemtico grego do sculo V A.C..
Ele calculou a rea da figura em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao
lado. Esta figura, construda por dois crculos (o crculo centrado em (0, 0) e raio
unitrio e o crculo centrado em (0, 1) e passando pelos pontos (1, 0) e (1, 0))
recebeu o nome de lnula de Hipocrates, em homenagem aquele que descobriu que
a sua rea igual rea do quadrado cujo lado o raio do crculo. 2 1.5 1 0.5
0 0.5 1 x. O problema da quadratura de um crculo, isto , de achar um quadrado de
rea equivalente a de um crculo de raio dado, um dos problemas clssicos da
Geometria a que muitos matemticos dedicaram ateno, desde a Antiguidade.
Hipocrates quadrou a lnula, embora fosse incapaz de resolver o problema da
quadratura do crculo.
Os gemetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um
problema construir a sua soluo utilizando somente uma rgua no graduada e
um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do crculo impossvel
de resolver utilizando-se apenas rgua e compasso. A primeira vista parece que o
problema de calcular reas um assunto de interesse apenas para gemetras, sem
aplicaes na vida prtica fora da Matemtica. Isto no verdade. No transcorrer
dos prximos captulos, veremos que muitos conceitos importantes de Fsica, tais
como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a fora total que age
sobre uma barragem em virtude da presso de gua no reservatrio, por exemplo,
dependem das mesmas idias utilizadas neste captulo para o clculo de reas.
O calculo de reas como limites
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Em geral, a definio formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes
dificuldades. Por exemplo, tivemos grandes dificuldades ao tentarmos formalizar
uma definio para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. A
formalizao do conceito de rea apresenta dificuldades semelhantes. Em geometria
elementar, so deduzidas frmulas para reas de muitas figuras planas, mas se
pararmos para pensar um pouco chegar concluso de que uma definio,
matematicamente aceitvel de rea, raramente nos fornecida. A rea de uma
regio definida, s vezes, como o nmero de quadrados de lados de comprimento
um que cabem numa dada regio. Desse modo, obtivemos frmulas para reas de
figuras planas tais como quadrados, retngulos, tringulos, trapzios, etc. Basta, no
entanto que a regio seja um pouco mais complicada para que esta definio se
mostre inadequada. Como poderamos calcular, por exemplo, o nmero de
quadrados, que cabem em um crculo unitrio?
Tentaremos definir reas de regies com fronteiras curvas. A maior parte do
nosso trabalho se concentrar num caso particular desse problema geral. Mais
especificamente, tentaremos achar a rea de uma regio limitada pelo grfico de
uma funo y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como
mostra a figura para a funo y = x 2.
Calculo de reas e Integrais Definidas.
A soma das reas dos retngulos assim construdos converge para o mesmo
limite anterior, como mostramos a seguir. Considere a soma, SM, das reas dos
retngulos cujas alturas so o valor da funo f, calculada no ponto mdio de cada
subintervalo [xi1, xi], isto , no ponto 1 + i x 2. Com a ajuda do Maple, obtemos.
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(Para provar a frmula acima veja o projeto O Maple e o principio da induo
matemtica.)
Destes clculos, podemos concluir que, medida que n aumenta, quaisquer
das somas acima tende a um mesmo nmero, que ser o valor da rea da regio
considerada. Note que a partio do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade
de que medida que n cresce o valor de x tende a zero. Esta propriedade
fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a rea da regio.
Considere, por exemplo, a seguinte partio em 20 partes (n = 20) do intervalo [ 1,
2 ]:
Observe que, neste caso, mesmo considerando valores de n cada vez
maiores, a soma das reas dos retngulos inscritos, jamais se aproximar da rea
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da regio em questo. Como mostra este exemplo, o importante no a diviso em
partes iguais, mas o fato do comprimento de cada um dos subintervalos [xi, xi+1]
tenderem a zero medida que se aumenta o nmero de divises do intervalo.
Chegamos assim seguinte definio:
Considere a regio limitada pelo gra co de uma funo continua e positiva y =
f(x), pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x. Considere uma partio do
intervalo [a, b]
Tal que, para todo i, xi 0 quando n , onde xi = xi xi1 e o
comprimento de cada subintervalo da partio. Ento, a rea da regio dada por:
Onde ci e um ponto qualquer do subintervalo [xi1, xi].
Vamos ilustrar esta definio com outro exemplo. Considere a funo g(x) =
sen(x), para x no intervalo [0, ]. Queremos calcular a rea hachurada mostrada na
figura:
Primeiro dividimos o intervalo [0, ] em n partes iguais. Neste caso, x =n.
Considerando retngulos cujas alturas so iguais ao valor da funo na extremidade
xi1 de cada subintervalo [xi1, xi], obtemos as seguintes aproximaes para a
rea, quando dividimos o intervalo [0, ] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:
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Considerando retngulos cujas alturas so o valor da funo na extremidade
xi de cada subintervalo [xi1, xi], obtm as aproximaes mostradas na figura,
esquerda. Da mesma maneira, tomando retngulos cujas alturas so o valor da
funo no ponto mdio de cada subintervalo [xi, xi+1], obtm as aproximaes
mostradas na figura direita.
As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a rea procurada
deve ser igual a 2. Vamos usar o Maple para calcular as somas que aparecem nos
trs casos considerados e calcular o seu limite quando o nmero de retngulos
cresce sem limite (tende a infinito). Seja SN1 a soma das reas dos retngulos cujas
alturas so as extremidades inferiores dos subintervalos. Assim,
Calculo de reas e Integrais Definidas
Simplificando a soma acima se obtm:
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Calculando o limite desta expresso, quando n , tem-se que
Da mesma maneira, considerando-se retngulos cujas alturas so o valor da
funo na extremidade xi1 de cada subintervalo [xi1, xi], obtm:
Considerando retngulos cujas alturas so o valor da funo no ponto mdio de
cada subintervalo [xi1, xi], tem tambm
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O valor do limite ser o mesmo para qualquer soma do tipo i f(ci) xi
escolhida, onde ci [xi1, xi]. Este limite nico por definio, a rea da regio R
limitada pelo grfico de uma funo f continua e positiva, pelo eixo x e pelas retas
dadas x = a e x = b.
Exemplo para calculo de rea: Use integrao para calcular a rea das
regies delimitadas pelo eixoxe pelas funes abaixo:
a a F(x) = 2x + 1, no intervalo [1,3].
Figura 2 grfico da funoFonte: CORREA, 2012.
aa F(x) = x2 4x,no intervalo [1,3].
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Figura 3 grfico da funoFonte: CORREA, 2012.
Como f(x)
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3.2. Desafio: Passo 2
Considerem as seguintes regies S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As reas de S1
e S2 so, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.
Podemos afirmar que:
a. (I) e (II) so verdadeiras
b. (I) falsa e (II) verdadeira
c. (I) verdadeira e (II) falsa
d. (I) e (II) so falsas
3.3. Resoluo do desafio: Passo 3
Desafio figura 1
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S1 = A1 + A2 = 0 + 0,693 = 0,693 u.a.
Desafio figura 2
A = A1 + A2 = 26,455 37,545 = -11,09 ento A= 11,09 u.a.
Resposta do desafio c)I verdadeira e II falsapara associao n8
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Etapa 4
Volume de Slido de Revoluo.
Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos
verificar que muito poucas tm formas regulares, dificilmente poderamos encontrar
o volume de um corpo slido encontrado comumente na natureza por meio da
geometria euclidiana, as curvas so comuns no nosso mundo, muitas delas podemser determinadas por equaes, porm antes que a teoria do Clculo fosse
elaborada os volumes eram calculados por aproximaes. Hoje podemos obter
muitos dos volumes de corpos sinuosos pelo Clculo, os mtodos descritos a seguir
so os mais bsicos para curvas que podem ser determinadas matematicamente, no
decorrer dos prximos volumes aprenderemos a calcular formas mais complexas.
4.1. Conceito de calculo de volume de um solida: Passo 1
Curvas rotacionadas
Imaginemos que tenhamos uma curva matematicamente determinvel, uma
parbola, por exemplo, e tenhamos a rea delimitada pela mesma e o eixo x, se fizer
com que o eixo y servisse de mastro e girssemos a parbola em torno do mesmo, oque teramos? Teramos um slido formado pelas infinitas lminas em forma de
parbola.
O efeito da rotao de uma parbola pode ser visualizado pelo grfico
tridimensional, o que vemos o que chamados de parabolide, um slido
semelhante ao recipiente de lquido de uma taa. Considerando a parte interna
preenchida teremos um volume a ser calculado, o que podemos fazer utilizando o
"Clculo".
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Parabolide
O efeito da rotao de uma elipse pode ser visualizado da mesma forma, o
que nos possibilita ver o que chamados de elipside, um slido semelhante a um ovo
de rptil. O volume a ser calculado tambm pode ser conseguido atravs do
"Clculo".
Elipside
Slidos delimitados por uma curva
O mtodo para clculo de volumes delimitados por curvas rotacionadas, como
expostas acima, consiste na diviso do slido em discos com raio igual ao valor da
funo que est sendo rotacionada, ou seja, para cada ponto da funo teremos um
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disco de raio determinado pela mesma, o que nos permite fazer uma somatria de
discos que acompanham o contorno da curva, vejamos o desenho abaixo:
Seo de um slido
Temos a funo variando ao longo do eixo x, o que nos permite dizer que
uma reta perpendicular ao eixo que passa por um ponto do grfico um raio de um
disco... Em um intervalo onde , no
qual , agrupemos pares de valores nas abscissas, de forma que o valor
mdio da funo seja . Tomando cada disco com um volume aproximado de:
Considerando que a preciso do clculo aumenta quando os discos se
tornam menos espessos, temos que admitir que exista uma norma de partio que
pode ser definida para o intervalo que pretendemos calcular, portanto podemos
fazer:
Onde temos um volume de disco para cada ponto da curva e a norma pode
ser inversamente proporcional ao nmero n. Logo, verificamos que:
ou
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O intervalo refere-se a uma parte do slido, da qual queremos calcular o
volume.
Exemplo
Calcular o volume do slido de revoluo criado pela rotao da
parbola em torno do eixo das abscissas, no intervalo .
Aplicando a frmula anteriormente vista temos:
Slidos delimitados por duas curvas
Agora podemos definir um slido "oco", ou seja, para que um slido tenha
uma abertura devemos delimitar uma face externa e outra interna, o que nos pede
que tenhamos uma curva para cada face.
Para a determinao das duas faces considere as duas funes e
sendo que, para determinar o slido de forma regular, estabelecemos o seguinte
conjunto de regras:
1.
2.
3.
Observemos a ilustrao a seguir:
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"Plano dos eixos"
Consideremos um corte que nos permita observar uma fatia do slido, como
podemos ver o retngulo que tomamos no centro do desenho representa uma fatia
de um disco "oco".
Agora podemos encontrar o volume ocupado pelo slido, no espao
delimitado pelas duas funes, considerando que as duas sofrem rotao, mantendo
o eixo como base de rotao, conforme fizemos no caso do tpico anterior com
uma funo, a nica diferena que temos um volume que dever ser subtrado do
outro.
Segundo o mesmo raciocnio da anlise anterior, verificamos que o volume de
um disco de seo do slido no intervalo pode ser determinado como seque:
Inevitavelmente vemos a correspondncia entre os dois casos, simplesmente
h uma subtrao de volumes, que veremos refletida no resultado final...
Prosseguindo, faamos a somatria dos valores das sees dentro do intervalo
quando as parcelas diminuem infinitesimalmente:
Finalmente encontramos o volume:
ou
Exemplo
Calcular o volume do slido gerado pela rotao das curvas
e em relao ao eixo das abscissas, considerando o intervalo
entre e o ponto de encontro das duas curvas.
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Antes de tudo vamos encontrar o ponto de encontro das curvas, ou seja:
As curvas se encontram quando
Devemos encontrar o volume entre as duas curvas no intervalo :
Cilindros concntricos
Agora imaginemos um slido cujo eixo se encontra nas ordenadas, ou seja,
para cada ponto da funo teremos uma circunferncia, se traarmos uma reta at o
eixo das abscissas para cada ponto teremos cilindros concntricos ao eixo das
ordenadas.
Para definir o volume do cilindro consideremos:
1. O intervalo para a espessura do cilindro em ;2. Chamamos de a partio:
;
3. Dentro de h sempre uma subpartio que a maior, a qual chamou de
norma, identificando a como:
4. Existindo os nmeros de forma que ;
O volume de um pequeno segmento do cilindro :
Somamos todos os segmentos para encontrar o volume total:
Se levarmos os subintervalos entre os valores de a nmeros cada vezmenores teremos:
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ou seja:
Como podemos fazer:
Conclumos que:
ou
Lminas paralelas
Os mtodos anteriormente utilizados para o clculo de volumes podem ser
englobados em um conceito geral, no qual podemos fazer a soma de pequenos
segmentos de um slido encontrando o volume total, uma forma de fazer isso
utilizar o seciona mento de forma a relacionar a rea de cada seo varivel
independente, ou seja, se temos sees transversais perpendiculares ao eixo davarivel independente e podemos relacionar a rea de cada "lmina" ao valor da
varivel, temos um meio de integrar todas as lminas e encontrar o volume do slido
com uma somatria das mesmas. Considerando: rea da seo.
O volume :
Uma vez que quando temos e que temos sees dentro
do intervalo , onde a maior a norma, podemos concluir que a somatria
levada, no limite, a ser a integral:
Ou seja, para que possamos encontra a rea nestes casos basta encontrar a
integral definida da funo rea; sempre que for possvel encontrar uma funo
contnua da rea da seo em relao varivel independente, poderemos
encontrar o volume do slido integrando esta funo rea.
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4.2. Desafio: Passo 2
Desafio A
A rea da superfcie de revoluo obtida pela rotao, em torno do eixo x, da curva
Dada por de : u.a.. Est correta essa
afirmao?
Desafio B
Qual o volume do slido de revoluo obtido pela rotao, em torno da reta
y= 2 , da regio R delimitada pelos grficos das equaes: y= sen x, y= (sen x)3
dex= 0 at ?
(a) 3,26 u.v.
(b) 4,67 u.v.
(c) 5,32 u.v.
(d) 6,51 u.v.
(e) 6,98 u.v.
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4.3. Resoluo do desafio: Passo 3
Desafio A
Como foi dada a resposta calculando ficara.
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Sendo assim a resposta do desafio esta certa, e associando o numero 4 para
o mesmo.
Desafio B
Tabela 2: sen(x)
X Y y = sen(x)/2 1 y = sen(/2)/4 0,707 y = sen(/4)/8 0,383 y = sen(/8)
0 0 y = sen(0)Fonte: CORREA, 2012.
Tabela 3: (sen(x))3
X Y y = (sen(x))3
/2 1 y = (sen(/2))3
/4 0,353 y = (sen(/4))3
/8 0,056 y = (sen(/8))3
0 0 y = (sen(0))3
Fonte: CORREA, 2012.
Grafico2: Grfico do desafio B
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Fonte: CORREA, 2012.
Com todas as etapas e passos resolvidas conhecemos a quantidade de litros
extrados pela empresa Petrofuels, que de aproximadamente 30095840 milhes
de litros cbicos.
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Consideraes Finais
Com a concluso de todas as etapas e passos desta atividade pratica
supervisionada, chegamos concluso da importncia do mesmo para o
aprendizado, pois os desafios propostos servem como um teste para o contedo
dado pela professora, e ajudando os alunos a praticar e ter solues que sero teis
ao dia a dia de um engenheiro mecnico, sendo assim muito importante para nosso
futuro.
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Referncias
HUGHES-HALLETT, Deborah. Matemtica Aplicada I: Calculo de uma varivel. 3
ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A., 2004.
USP. Nascimento do calculo. Calculo : Calculo diferencial e integral. So Paulo,
2001. Disponvel em: Acessoem: 25 de agosto. 2012.
SOUZA, Edmilson. Integral indefinida. Fsica - Licenciatura plena : Uems. Mato
Grosso do Sul, 2011. Disponvel em:
Acesso em: 25 de
agosto. 2012.
SOUZA, Edmilson. Integral definida. Fsica - Licenciatura plena : Uems. Mato
Grosso do Sul, 2011. Disponvel em:
Acesso em: 25 de
agosto. 2012.
Calculo de rea. Matemtica Instituto de Matemtica de UFRJ: Rio de Janeiro,
2011. Disponvel em:
Acesso em: 25
de agosto. 2012.