Exercícios propostosMatemática capítulo 3

35

151. Classifique as circunferências a seguir. a) 2 3

3( )

b) 1 2 3

3

+( )

c) 2 2 3

3

+( )

d) 3 2 3

3

+( )

e) 1 3 3

3

+( )

155. Para fazer um trabalho de Artes, Daniela está recortando círculos de uma folha de cartolina, con-forme o modelo de corte da figura a seguir. A carto-lina tem dimensões 60 cm x 54 cm e todos os círculos têm o mesmo raio.

54 cm

60 cm

Quanto mede o raio de cada círculo recortado?

156. (UFES) A carroceria de um caminhão tem a forma de um retângulo de dimensões 2,4 m × 5,1 m. Deseja-se transportar duas peças circulares de diâmetro 2,4 m e duas peças circulares menores de mesmo diâmetro, sem sobreposição.

1.

2.

3.

4.

152. Sendo r1 e r2 os raios das circunferências C1 e C2, respectivamente, e d a distância entre os centros, dê as posições relativas em cada caso:

a) r1 = 2 cm, r2 = 5 cm e d = 10 cmb) r1 = 3 cm, r2 = 7 cm e d = 4 cmc) r1 = 5 cm, r2 = 5 cm e d = 8 cm d) r1 = 4 cm, r2 = 3 cm e d = 7 cme) r1 = 3 cm, r2 = 2 cm e d = 0

153. (CFT-MG) Na figura a seguir, os círculos de cen-tros A, B e C são tangentes. Os raios medem, respecti-vamente, 10 cm, 4 cm e 2 cm. O perímetro do triângulo ABC, em cm, é:

A

B

C

a) 30 b) 24 c) 20 d) 18

154. (FEI-SP) Três circunferências de raio r estão dis-postas no interior de outra circunferência de raio R con-

forme a figura a seguir. Qual é o valor da razão K =Rr

?

Figura 1 Figura 2

a) Determine o maior diâmetro das peças menores que podem ser transportadas na carroceria do caminhão e acomodadas conforme a figura 1.

b) Sabendo que o motorista do caminhão decidiu rearrumar as peças maiores conforme a figura 2, determine o maior diâmetro das peças menores que podem ser transportadas.

36

157. As circunferências da figura são tangentes exter-namente. Se a distância entre os centros é de 26 cm e a diferença entre os raios é de 4 cm, determine os raios.

158. Duas circunferências são tangentes interna-mente e a soma dos raios é de 30 cm. Se a distân-cia entre os centros é de 10 cm, determine os raios.

159. Três círculos de raio r estão dispostos no interior de outro círculo de raio R, conforme a figura a seguir. Qual é o valor da razão k=R/r?

160. Considere duas circunferências de raios r = 4 cm e R = 6 cm, com centros distantes 12 cm. Calcule o raio da menor circunferência tangente externamente às duas circunferências dadas.

161. (Ufla-MG) Uma questão interessante é obter cír-culos que tangenciam um círculo central e que sejam, consecutivamente, tangentes. Considerando o pro-blema de se tentar envolver um círculo central com 7 círculos com os oito círculos de mesmo raio, um esboço da solução seria da forma:

Nesse caso, pode-se afirmar que:a) o desenho está correto e vale para qualquer valor

de raio. b) o desenho está correto, porém tal fato é válido

apenas para um valor específico do raio.

c) tal situação não pode ocorrer e o desenho não representa a solução do problema.

d) o desenho está correto, mas o raio tem que ser suficientemente pequeno.

e) o desenho é falso, pois um círculo não pode tangenciar, simultaneamente, outros três círculos.

162. (IFSC) Considere a seguinte situação: durante a Oktoberfest, em Blumenau-SC, um conjunto de bici-cletas com rodas de diâmetro 26 polegadas percor-reu 855,6 m em linha reta, durante o desfile na Rua XV de Novembro. Sabendo-se que 1 polegada equivale a 2,5 cm e que π = 3,1, é correto afirmar que, durante o desfile, a roda realizou

a) 600 voltas. b) entre 400 e 500 voltas. c) menos de 400 voltas. d) mais de 1200 voltas. e) 800 voltas.

163. (UECE) Uma bicicleta, cuja medida do raio da circunferência de cada pneu é 35 cm, percorreu uma distância de 100 m, em linha reta, sem deslizamento de pneu ao longo do percurso. O número inteiro que indica, de forma mais aproximada, a quantidade de giros completos de cada pneu da bicicleta, ao longo do trajeto realizado, é:

Observação: Use 3,14 para o valor de π a) 42 b) 45 c) 50 d) 53

164. (CFT-MG) Uma partícula descreve um arco de 1.080° sobre uma circunferência de 15 cm de raio. A dis-tância percorrida por essa partícula, em cm, é igual a:

a) 90 πb) 120 πc) 140 πd) 160 π

165. (UFRGS-RS) Um disco de raio 1 gira ao longo de uma reta coordenada na direção positiva, conforme representado na figura a seguir.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

P

P

Considerando-se que o ponto P está inicialmente na origem, a coordenada de P, após 10 voltas comple-tas, estará entre:

a) 60 e 62. b) 62 e 64.

c) 64 e 66. d) 66 e 68.

e) 68 e 70.

37

166. (Feevale-RS) Um grupo de amigos resolveu “abraçar” uma árvore centenária com 4 metros de diâ-metro. Considere que cada um deles consegue abra-çar 0,4π metros da árvore. Nessas condições, quan-tos amigos foram necessários para conseguir fechar o abraço na árvore?

169. (UTFPR) Uma bicicleta tem uma roda de 30 cen-tímetros de raio e outra de 40 centímetros de raio. Sabendo-se que a roda menor dá 136 voltas para certo percurso, determine quantas voltas dará a roda maior para fazer o mesmo percurso.

a) 102 b) 108 c) 126 d) 120 e) 112

170. (UFTM-MG) “O maior relógio de torre de toda a Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de Zurique, Suíça, que foi construído durante uma reforma do local, em 1970.”

(O Estado de S.Paulo. Adaptado.)

O mostrador desse relógio tem formato circular e o seu ponteiro dos minutos mede 4,35 m. Considerando π=3,1, a distância que a extremidade desse ponteiro percorre durante 20 minutos é, aproximadamente: a) 10 m b) 9 m c) 8 m d) 7 m e) 6 m

a) 9 m b) 15 m c) 19 m d) 35 m e) 39 m

a) 16 amigos b) 10 amigos c) 6 amigos

d) 4 amigos e) 3 amigos

167. (UTFPR) A London Eye, também conhecida como Millennium Wheel (Roda do Milênio), é uma roda-gigante de observação com 135 metros de diâ-metro e está situada na cidade de Londres, capital do Reino Unido. Quanto, aproximadamente, percorrerá uma pessoa nesta roda-gigante em 6 voltas, conside-rando π = 3,14?a) 67,5 m b) 135 m c) 423,9 m d) 2543,4 m e) 85839,75 m

168. (IFSP) Uma mangueira de jardim enrolada forma uma pilha circular medindo cerca de 100 cm de um lado a outro. Se há seis voltas completas, o com-primento da mangueira é de, aproximadamente:

171. (UEL-PR) Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicirculares, conforme a figura a seguir:

84,76 m

36,70 m

raia 1 raia 2 raia 3 raia 4 raia 5 raia 6 raia 7 raia 8

8 m

Pista de atletismo

Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor distância nas curvas, e que a distância medida a partir da parte interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m.

Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna?

Dado: π = 3, 14

a) 10,00 m b) 25,12 m c) 32,46 m d) 50,24 m e) 100,48 m

172. (IFAL) A estrada que liga duas cidades tem 4.396 m de extensão. Quantas voltas completas dará uma das rodas da bicicleta que vai percorrer essa estrada se o raio da roda é 0,35 m?

Considere π=3,14 a) 50.000 voltas b) 2.000 voltas c) 100.000 voltas d) 150.000 voltas e) 20.000 voltas

38

173. (UESC) No processo inicial de criação de um logotipo para uma empresa, um designer esboçou várias composições de formas geométricas, na ten-tativa de encontrar algo simples e representativo. Em uma dessas composições, um círculo de raio r = 6 cm foi sobreposto a um triângulo equilátero de lado L = 18 cm , de acordo com a figura.

Sabendo-se que as duas figuras têm centros no mesmo ponto, pode-se afirmar que o perímetro do logotipo é, em cm, igual a:

a) 6 (6–π)b) 6 (9–π)c) 6 (6+π)d) 9 (3+2π)e) 9 (2 – 3π)

174. (Unesp) O papelão utilizado na fabricação de caixas reforçadas é composto de três folhas de papel, coladas uma nas outras, sendo que as duas folhas das faces são “lisas” e a folha que se intercala entre elas é “sanfonada”, conforme mostrado na figura a seguir.

RExt

O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de comprimento variável. Supondo que a folha “sanfonada” descreva uma curva composta por uma sequência de semicircunferências, com concavi-dades alternadas e de raio externo (RExt) de 1,5 mm, determine qual deve ser a quantidade de papel da bobina que gerará a folha “sanfonada”, com preci-são de centímetros, para que, no processo de fabri-cação do papelão, esta se esgote no mesmo instante das outras duas bobinas de 102 m de comprimento de papel, que produzirão as faces “lisas”.

Dado: π ≈ 3,14. a) 160 m e 07 cm b) 160 m e 14 cm c) 160 m e 21 cm d) 160 m e 28 cm e) 160 m e 35 cm

175. (PUC-RJ) A figura a seguir é uma janela com for-mato de um semicírculo sobre um retângulo. Sabe-mos que a altura da parte retangular da janela é 1 m e a altura total da janela é 1,5 m.

A largura da parte retangular, expressa em metros, deve ser: a) 0,5 b) 1 c) 2 d) πe) 2 π

176. (Unifesp) A figura exibe cinco configurações que pretendem representar uma circunferência de cen-tro O1 e perímetro 2π cm e um quadrado de centro O2 e perímetro 4 cm. Aponte a alternativa que corres-ponde à configuração descrita.

a) O1 O2

b) O1

O2

c)

O1 O2

d)

O1

O2

e)

O1

O2

177. (Unesp) O planeta Terra descreve seu movi-mento de translação em uma órbita aproximada-mente circular em torno do Sol. Considerando o dia terrestre com 24 horas, o ano com 365 dias e a distân-cia da Terra ao Sol aproximadamente 150.380 × 103

km, determine a velocidade média, em quilômetros por hora, com que a Terra gira em torno do Sol. Use a aproximação π = 3.

39

178. (UFG-GO) O conjunto roda/pneu da figura a seguir tem medida 300/75-R22. O número 300 indica a largura L, em mm, da banda de rodagem, 75 refere-se à porcentagem que a altura H do pneu representa da banda de rodagem e 22 refere-se ao diâmetro D, em polegadas, da roda.

Use:1 polegada = 0,025 mπ = 3,14

H

D

L

Nessas condições, determine o número de voltas necessárias para que o conjunto roda/pneu descrito acima percorra, sem derrapagem, 3,14 km.

179. (UFPB) Um ciclista, para vencer uma competi-ção, percorreu 1.885 m em uma bicicleta com rodas de raio 30 cm (incluindo o pneu). O número de voltas completas que cada roda da bicicleta deu, para per-correr essa distância, foi:

a) 900 b) 1.000 Use π = 3,14. c) 1.040 d) 1.250 e) 1.500

180. (PUC-MG) Os moradores de certa cidade costu-mam fazer caminhada em torno de duas de suas pra-ças. A pista que contorna uma dessas praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de extensão; a pista que contorna a outra praça é um círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas condições, o valor da razão R/L é aproximadamente igual a:

Use π = 3,14. a) 1/2 b) 5/8 c) 5/4 d) 3/2

181. (UFSCar-SP) Os satélites de comunicação são posicionados em sincronismo com a Terra, o que significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura a seguir, P e Q representam duas cidades na Terra, separa-das pela maior distância possível em que um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta, por esse satélite.

QP

Admita a Terra comouma esfera

Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de:

a) 6( 3 )R b) 7( 3 )R c) 8( 3 )R d) 10( 2 )R e) 11( 2 )R

182. (CFTPR) Os diâmetros das rodas das bicicletas de Paulo e Leandro medem, respectivamente, 50 cm e 40 cm.

Num passeio em que a roda de cada uma dessas bicicletas deu 12 voltas, a diferença, em metros, entre as dis-tâncias percorridas por Paulo e Leandro foi de, aproximadamente: (Dado: π = 3,14)

a) 12,56 b) 15,70 c) 3,768 d) 3,14 e) 0,314

40

183. (UFRGS-RS) Considere que a espiral represen-tada na figura a seguir é formada por oito semicírcu-los cujos centros são colineares. O primeiro semicír-culo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais semi-círculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semi-círculo anterior.

84

21

O comprimento dessa espiral é: a) π

b) 83π

c) 247

π

d) 25532

π

e) 25516

π

184. (UFC-CE) Na figura a seguir, a razão entre o perí-metro da região hachurada e o perímetro da circun-ferência é:

a) 13

b) π

π+( )4

4

c) π4

d) ππ+( )42

e) 2

185. (Unifesp) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura a seguir.

B

A

O menor trajeto possível que o inseto pode percor-rer tem comprimento igual a:a) π/2 mb) π mc) 3π/2 md) 2π me) 3π m

186. (UFRJ) Percorrendo uma distância de 450 metros, as rodas de um Gol dão 250 voltas. Calcule o raio das rodas.

187. (UFRJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

10 m

Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.

188. (UFRN) No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura a seguir, a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é:

a) 5b) 7c) 9d) 11

41

189. (UFAL) Considere que:

– os raios de Sol incidem paralelamente sobre a Terra;

– o planeta Terra é uma esfera cuja linha do Equa-dor tem 40.000 km de perímetro. Na figura a seguir, são representados os raios solares incidindo nos pon-tos P e Q da linha do Equador do planeta Terra e são indicadas as medidas dos ângulos que esses raios formam com as normais à superfície terrestre nes-ses pontos.

76°

23° P

Q

Raios de Sol paralelos

O comprimento do arco PQ, que corresponde à menor distância de P a Q, em quilômetros, é igual a:

Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio da roda mede 3 cm e que ela gira sobre a rampa sem deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento RQ+QP da rampa, em cm, é igual a:a) 5π+2 3b) 4π+3 5c) 6π+ 3d) 7π- 3e) 8π-3 5

Texto para as questões 192 e 193(FAAP-SP) Uma chapa de metal circular, com 1 m

de raio, ficou exposta ao Sol. Em consequência, sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do raio. (Conside-rar π=3,14.)

192. O aumento percentual da área é de:

a) 4%b) 1,91% c) 19,1%d) 0,4%e) 1%

193. O perímetro dessa chapa após a dilatação (em metros) é:

a) 6,28b) 6,34c) 6,48d) 6,42e) 6,25

194. (Mackenzie-SP) O perímetro da figura não ponti-lhada a seguir é 8π, onde os arcos foram obtidos com centros nos vértices do quadrado cujo lado mede:

a) 11.000b) 10.880c) 10.666

d) 10.444e) 9.000

190. O quadrado representado na figura a seguir tem 256 cm² de área. Com centro em cada um dos vérti-ces desse quadrado, foram desenhadas circunferên-cias de modo que M, N, P e Q sejam pontos médios dos lados do quadrado. Qual é o perímetro do trevo de 4 folhas que se vê nesta figura?

M

N

P

Q

191. (UFSCar-SP) A sequência de figuras a seguir mos-tra um único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, quando ela rola, no plano, sobre a rampa for-mada pelos segmentos RQ e QP.

Figura 1

120°

Q

P

RA

Figura 2Q

P

R

A

Figura 3Q

P

R

A

a) 2b) 3c) 4

d) 6e) 8

195. (Fuvest-SP) Um arco de circunferência mede 300°, e seu comprimento é de 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros?

a) 157b) 284c) 382

d) 628e) 764

42

196. Calcule o comprimento dos arcos AB, BC, CD e DA da figura a seguir, sabendo que o raio é de 5 cm.

C

D

A

B

80°

70°

z

t

x

y

α

197. (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de cor-rida constataram que, a partir de 185,600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segu-rança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:

a) 93 kmb) 196 kmc) 366 kmd) 592 kme) 291 km

198. Converta de graus para radianos:

a) 30°b) 210°c) 315°

199. Converta de radianos para graus:

a) π/4 radb) 3π/10 radc) 11π/6 rad

200. (Unifesp-SP) Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo N de fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia N+1.

fatia 2

fatia 1

fatia N+1

fatia N

Considerando π = 3,14, o arco da fatia N+1, em radiano, é: a) 0,74 b) 0,72 c) 0,68 d) 0,56 e) 0,34

201. Numa circunferência de 15 cm de raio, marca-se um arco AB de comprimento 20π cm. Qual é a medida desse arco em radianos?

202. Numa circunferência, um arco de medida π/6 radianos tem comprimento de 6 cm. Calcule a medida do raio dessa circunferência.

203. Um arco de circunferência com comprimento de 15 cm é tomado numa circunferência de diâmetro igual a 20 cm. Calcule a medida do arco em radianos.

204. Descubra o comprimento do arco determinado pelo ângulo central de 2π/3 radianos, numa circunfe-rência de raio igual a 60 cm. (Adote π= 3,14 cm.)

205. Qual é o raio da circunferência, sabendo-se que o comprimento do arco AB indicado é igual a 36 cm?

α = 1,8 radOr A

B

206. (UFRGS-RS) Dentre os desenhos a seguir, aquele que representa o ângulo que tem medida mais pró-xima de 1 radiano é:

a)

O

b)

O

c)

O

d)

O

e)

O

43

207. (Unesp) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mos-tra a figura a seguir. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é:

1 cm1 rad

a) π – 1b) π + 1c) 2 π – 1d) 2 πe) 2 π + 1

208. Quantos radianos percorre o ponteiro dos minu-tos de um relógio em 50 minutos?

209. Complete a tabela a seguir:

Graus Radianos Graus Radianos 0º 0 π

30º π/6 7π/645º π/4 5π/460º π/3 4π/390º π/2 3π/2120º 2π/3 5π/3135º 3π/4 7π/4150º 5π/6 2π

210. Determine, em radianos, a medida do ângulo for-mado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.

Exercícios propostosMatemática capítulo 4

44

211. Nas circunferências a seguir, todas de centro O, determine a medida do ângulo ou do arco x.

OA

B

C

O comprimento do segmento AB é: a) 2 m b) 3 m

c) 3 2 m

d) 2 5 m

e) 2 3 m

213. (CFT-MG) Na figura a seguir, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n, em graus, é:

A

B C

D45o

65om

n

a) 70 b) 90 c) 110 d) 130

214. (UFMG) Observe a figura a seguir.

A

B

C

D E

Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferên-cia circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos ABD� e AÊD medem, respectivamente, 20° e 85°.

Assim sendo, o ânguloCBD� mede: a) 25° b) 35° c) 30° d) 40°

a)

Ox 136o

b)

Ox 118o

c)

O

39o

x

d)

O

41o

x

e)

O

46o

x

f)

O

29o

x

g)

O

246o

x

h)

O

x

2x

i)

O

x

98o

j)

O x42o

212. (UFRJ) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são iguais.

45

215. Um ângulo inscrito é formado por uma corda e um diâmetro. O arco subentendido pela corda é o dobro do arco compreendido entre os lados. Deter-mine o ângulo inscrito.

216. Considere o pentágono PQRST da figura ins-crito na circunferência de centro 0. Sabe-se que POQ mede 70°. Chamando de x e y os ângulos PTS e QRS, respectivamente, determine x+ y.

P

T

R

Q

S

0

70o x

y

217. Calcule a b c� � �+ + a partir da figura a seguir:

28oâ

^

b

^c

218. (UFAL) Seja a circunferência de centro O, con-forme representada na figura a seguir. A medida α do ângulo assinalado é:

20o

100o 0

α

220. Na figura a seguir, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O, e AB é um diâmetro. Indique o valor do ângulo α, em graus.

53oO

A

B

C

α

221. (Cesgranrio-RJ) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo α. Se o arco AMB� mede 130º, o ângulo α mede:

O

A B

M

α

a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

219. (Mackenzie-SP) O quadrilátero ABCD da figura é inscritível. O valor de x é:

128o

O

A

B D

C

x

a) 36° b) 48° c) 50° d) 52° e) 54°

a) 25° b) 30° c) 40° d) 45° e) 50°

222. (UFV-MG) Qual é o valor do ângulo α na figura?

O

α

35o

a) 55° b) 65° c) 35° d) 110° e) 130°

223. (Mackenzie-SP)

α

50o

O ângulo α da figura mede:

a) 60° b) 55° c) 50° d) 45° e) 40°

46

224. (UEM-PR) Considere ABC um triângulo inscrito em uma semicircunferência de diâmetro BC, cuja medida do ângulo C é 20°. Determine a medida, em graus, do ângulo formado pela altura e pela mediana relativas à hipotenusa.

225. (UFRN) Para medir o raio de um pequeno lago circular, uma pessoa usa o seguinte procedimento: traça um ângulo AÔB de 30°, sendo que os pontos A, O e B estão sobre a margem do lago, e, em seguida, mede a distância de A a B, conforme a figura a seguir.

30o

A

BO

Justifique por que a medida do segmento AB cor-responde ao raio do lago.

226. Calcule a medida de x nas figuras a seguir:

a)

50o

x

120o

b)

100o

x

60o

227. Calcule a medida de x nas figuras a seguir:

a)

100o 60o x

b)

40o 20ox

228. (Mackenzie-SP) Na figura a seguir, se a circunfe-rência tem centro O e BC = OA, então a razão entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é:

AB

C

D

O

a) 52

b) 32

c) 2

d) 43

e) 3

229. (IFSP) Na figura a seguir, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco AB� é 100º e a do arco BCP� é 194º. O valor de x, em graus, é:

A

B

C

P

O

xt

a) 53 b) 57 c) 61 d) 64 e) 66

230. (CFT-MG) Na figura a seguir, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é:

C

AB

D

P

a) 30° b) 40° c) 50° d) 60°

47

231. (UFPE) Na figura a seguir, tem-se um círculo de raio 1 e sobre este círculo consideram-se arcos

AB e CD medindo π6 e

π9 , respectivamente (ambos

orientados no sentido anti-horário). Se α é a medida

em radianos do ângulo AOB, calcule 144π

α.

DA

B

O

C

232. O ângulo x na figura a seguir mede:

45o

35o

x

a) 60° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120°

233. (UFES) Na figura a seguir, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo APD é:

P

A

D

C

B

235. (Mackenzie-SP) Na figura a seguir, as circunfe-rências têm o mesmo centro O e os menores arcos AB e EF são tais que AB = EF = 40°.

O

E

A

DC

F

B

Qual é a medida do menor arco de CD?

236. Calcule a medida de x nas figuras a seguir:

a)

O

x23o

87o

b)

O

x

68o

102o

237. Calcule a medida de x:

O

x

106o

38o

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

234. (Unicamp-SP) Na figura a seguir, temos uma cir-cunferência de centro O e raio r. Sabendo que o seg-mento BC mede r, prove que a medida do ângulo ABP� é 1/3 da medida do ângulo AÔP.

BP

AC

O

48

238. Calcule o valor de x nas figuras a seguir:

a)

x

140o

56o

O

b)

x

94o

O26o

c) x

O

36o

40o

239. Na figura a seguir, calcule a medida x.

xO55o

120o

240. Determine o valor de x.

x

70o200o

49

Gabarito

151. 1. Secantes2. Internas3. Tangentes externas4. Externas152. a) Exteriorb) Tangente internac) Secanted) Tangente externae) Concêntricas 153. D154. D155. R = 10 cm156. a) 0,6 mb) Aproximadamente, 0,759 m.157. 15 cm e 11 cm158. 20 cm e 10 cm159. R/r= 3160. 1 cm161. C162. B163. B164. A165. B166. B167. D168. C169. A170. B171. E172. B173. C174. B175. B176. D177. Aproximadamente, 103.000 km.178. 1.000 voltas179. B180. B181. C182. C183. D184. D185. B186. 0,28 m187. 32188. B189. A190. 16(3π+4) cm191. A192. B193. B194. D

195. C196. AB=20π/9 cmBC=35π/18 cmCD=5π/2 cmDA=10π/3 cm197. E198. a) π/6 radb) 7π/6 radc) 7π/4 rad199. a) 45°b) 54°c) 330°200. C201. 4π/3 rad202. R=36/π cm203. 1,5 radiano204. L=125,6 cm205. R=20 cm206. B207. C208. 5π/6 rad209.

Graus Radianos Graus Radianos 0º 0 180º π

30º π/6 210º 7π/645º π/4 225º 5π/460º π/3 240º 4π/390º π/2 270º 3π/2120º 2π/3 300º 5π/3135º 3π/4 315º 7π/4150º 5π/6 360º 2π

210. 2π/3 rad211. a) 136°b) 59°c) 39°d) 82°e) 92°f) 29°g) 123°h) 60°i) 98°j) 96°212. E213. A214. A215. O ângulo inscrito vale 30°.216. x + y = 215°217. 214°218. E219. D220. 37°221. A

50

222. A223. C 224. 50°225.

x30o

xyz

D

A

B

C

O

O ângulo C é igual a 60° por ser um ângulo central cujo ângulo inscrito correspondente mede 30°. Como AC = BC = R, segue que o triângulo ABC é isósceles e, por conseguinte, os ângulos CAB e CBA são congruentes. Dessa forma, C mede 60° e CAB = CBA = 60°, ou seja, o triângulo ABC é equilátero.226. a) 85°b) 140°227. a) 20°b) 80°228. E229. D230. A 231. 20 232. B233. B

234. Sejam: ABP� = x e AÔP = y. Queremos provar que y = 3x.Então:

A

P B

y

O

C

D

y x xr

x

1. ∆OBC é isósceles. Temos CÔB= CBO� = X

2. AÔP = t é o ângulo central. Temos AP� = y

3. CÔB = x é o ângulo central. Temos CD� = x

4. CBD� = é o ângulo externo. Temos x= y x−2

Logo, 2x = y – x e y = 3x.235. X=80°236. a) 128°b) 95°237. 34°238. a) 24°b) 42°c) 112°239. 65°240. x = 80°