asymptotic analysis of the solution of schnakenberg equation
DESCRIPTION
Xianghu Lu, Yandan Zhang, Xinhua JiangTRANSCRIPT
- 68 -
www.ivypub.org/mc
Mathematical Computation June 2014, Volume 3, Issue 2, PP.68-75
Asymptotic Analysis of the Solution of
Schnakenberg Equation Xianghu Lu, Yandan Zhang, Xinhua Jiang #
College of Science, Beijing University of chemical technology, Beijing100029
#Email: [email protected]
Abstract
This paper studied the initial value problem of the Schnakenberg equations. The first-order approximate solution was obtained by
using two-timing scales method, and then error estimate was obtained with the use of a nonlinear Gronwall inequality to show that
the obtained approximate solution is uniformly valid for 00 、 0 t T .
Keywords: Schnakenberg Equations; Initial Value Problem; The Multiple Scales Method; Error Estimate
Schnakenberg 方程解的渐近分析
卢祥虎，张艳丹 ，江新华
北京化工大学理学院，北京 100029
摘 要：本文主要讨论了 Schnakenberg 方程组的初值问题,首先用多重尺度方法求得 Schnakenberg 方程组的一阶近似解，
然后利用非线性的 Gronwall 不等式对所求结果进行误差估计。
关键词：Schnakenberg 方程；初值问题；多重尺度方法；误差估计
引言
1979 年 Schnakenberg[1] 研究了化学反应中一类带极限环行为的反应扩散模型并提出了多种形式的
Schnakenberg 型方程组。Youfang Cao[2]等人研究了包含两种不同浓度的分子所组成的三个可逆反应的简单
的 Schnakenberg 模型，其研究表明分子之间的非线性耦合效应的影响不能忽略。
我国力学界对奇异摄动理论的发展，有着突出的重要贡献。钱伟长[3]在 1948 年解圆板大挠度问题时，
开创了现在称为合成展开法的重要方法。
多重尺度法[3, 4]是一种求解方程近似解的非常有效的方法，它是上个世纪五十年代后期逐渐发展起来的。
也正是由于它的有效性，该方法在微分方程、飞行力学、轨道力学、流体力学、固体力学、大气力学、等
离子物理学和统计力学等诸多方面取得了非常成功的应用。多重尺度法一般分为多变量形式（或导数展开
法）、双变量展开法、一般法（或非线性尺度法）三种不同的类型。应用多重尺度法的关键是对研究的问
题中出现的变量采用不同的适当的尺度。
近年来，用摄动方法[3,4]处理带微小扰动的微分方程问题越来越受到国际学术界的重视,这是因为用摄动
方法求出的结果简单而有效。
文献[5]中研究了一个简单的 Schnakenberg 型方程组，并讨论了平衡解的稳定性及相
关的 Hope 分歧。文献[6]中研究了 Neumann 边界条件下双分子耦合的 Schnakenberg 模型，并给出了该模
型相应的稳态系统解的先验估计。
在化学和其他领域许多模型通过适当的变换都可以转化为 Schnakenberg 型方程，因此研究这类方程就
基金资助：本文部分得到国家自然科学基金资助（项目编号 236551）。
- 69 -
www.ivypub.org/mc
显得十分必要。Schnakenberg 型方程有很多种不同的的形式，本文研究的 Schnakenberg 型方程组形式如下：
'
'
(2 2 ), 0
4 (2 2 ), 0
(0) 0, (0) 0
u u v u u v uv t
v u v u u v uv t
u a v b
（1）
其中u 和 v 分别代表 A 和 B 两种反应物的浓度， 'u ， 'v 代表 A 和 B 两种反应物的化学反应速率，t 为反
应时间， 0 为一个正的小参数。对于此模型，我们需要研究的是：对于小参数 0 方程组（1）的解具
有怎样的渐近表达式或性质？渐近解是否一致有效？
1 构造近似解
在本节中，我们用多重尺度法求上述方程组解的渐近表达式。令 , 0,1i
iT t i ,于是
0 1
d
dt T T
（2）
设
0 1
0
0 1
0
( , )
( , )
n
n
n
n
n
n
u u T T
v v T T
（3）
将（3）代入（1）中，并在每个方程中令 的同次幂系数在方程两边相等得
0
0 0
0
0
0 0
0
0 0
4
(0) , (0)
uu v
T
vu v
T
u a v b
（4）
011 1 0 0 0
0 1
011 1 0 0 0
0 1
1 1
(2 2 )
4 (2 2 )
(0) 0, (0) 0
uuu v u u v
T T
vvu v u u v
T T
u v
（5）
022 2 0 1 1 0 0 1 0 0
0 1
022 2 0 1 1 0 0 1 0 0
0 1
2 2
(2 2 ) (2 2 )
4 (2 2 ) (2 2 )
(0) 0, (0) 0
uuu v u u v u v u u v
T T
vvu v u u v u v u u v
T T
u v
（6）
先求解（4）。令
0
0
0
uU
v
，1 1
4 1A
，
1
1
1
uU
v
易求其解为
0
0 0 1( )AT
U e C T ，
- 70 -
www.ivypub.org/mc
其中0 1
0 1
0 1
( )( )
( )
c TC T
c T
为满足初值的函数向量。
下面求解
0
0
0
UAU
T
的一个基解矩阵0( )T 。很容易求出 A的属于特征值 1 23 , 3i i 的特征向量分别为
1
1 3
4
i
，2
1 3
4
i
于是基解矩阵0( )T 为：
0 0
0 0
3 3
03 3
(1 3 ) (1 3 )( )
4 4
iT iT
iT iT
i e i eT
e e
，
1
3
2 3 8 3(0)
3
2 3 8 3
i i
i i
故
0
0 0
0
1
0
0 0
0
sin( 3 ) sin( 3 )cos( 3 )
3 3( ) (0)
4sin( 3 ) sin( 3 )cos( 3 )
3 3
AT
T TT
e TT T
T
于是
0
0 0
00 10
0 0 1
0 0 10 0
0
sin( 3 ) sin( 3 )cos( 3 )
( )3 3( )
( )4sin( 3 ) sin( 3 )cos( 3 )
3 3
AT
T TT
c TuU e C T
v c TT TT
7）
将（7）代入（5）中得
2011 1 0 0 1 0
0
20 0
0 1 0 1 0 1 1 0 1 0
2011 1 0 0 1 0
0
0
0 1 0 1
sin(2 3 )2(cos(2 3 ) ) ( ) 2(cos(2 3 )
3
sin(2 3 ) sin(2 3 )) ( ) ( ) ( ) cos( 3 ) sin( 3 )
3 3
sin(2 3 )4 2(cos(2 3 ) ) ( ) 2(cos(2 3 )
3
sin(2 3 )) ( ) ( )
3
Tuu v T c T T
T
T Tc T c T c T A T B T
Tvu v T c T T
T
Tc T c T
2
0
0 1 2 0 2 0
sin(2 3 )( ) cos( 3 ) sin( 3 )
3
Tc T A T B T
（8）
其中
0 1
1
1
( )c TA
T
， 0 1 0 1
1
1 1
( ) ( )1( )
3
c T c TB
T T
，
0 1
2
1
( )c TA
T
， 0 1 0 1
2
1 1
( ) ( )1(4 )
3
c T c TB
T T
- 71 -
www.ivypub.org/mc
为避免1 1,u v 产生长期项，通过对（8）中的非齐次项进行积分，发现
1A ，1B ，
2A ，2B 需满足如下关系：
1 2 1
1 2 2
3
4 3
B B A
B B A
（9）
分别将1A ，
1B ,2A ，
2B 代入（9）即得
0 1
1
0 1
1
( )0
( )0
c T
T
c T
T
于是可知0 1( )c T 和 0 1( )c T 均为常数，又由初始条件知
0 1
0 1
( )
( )
c T a
c T b
即
0
0 0
0
0
0 0 1
0 0 0
0
sin( 3 ) sin( 3 )cos( 3 )
3 3( )
4sin( 3 ) sin( 3 )cos( 3 )
3 3
A T
T TT
u aU e C T
v bT TT
（10）
则（8）的解为
0 0
01 11 1 0
1
2 01 1 10 0
0
sin( 3 ) sin( 3 )cos( 3 )
( ) ( )3 3
( )( )4sin( 3 ) sin( 3 )cos( 3 )
3 3
T TT
c Tu f TU
f Tv c TT TT
（11）
其中
2 2 2
1 0 0 0
2 22
0 0
4 2 4 2 3 2 3( ) ( )cos( 3 ) ( )sin( 3 )
9 9 9 9 9
4 2 4 4 3( )cos(2 3 ) ( )sin(2 3 )
9 9 9 9
f T a b ab T a ab T
a b abT a ab T
2 22 2
2 0 0 0
22 2 2
0 0
2 2 10 2 3 2 3 2 3( ) ( )cos( 3 ) ( )sin( 3 )
9 9 9 3 9 9
2 2 10 2 3 3 2 3( )cos(2 3 ) ( )sin(2 3 )9 9 9 3 9 9
a b abf T a b ab T T
aa b ab T b ab T
将（11）代入（6）中得到
22 2 1 0 1 0 1
0
22 2 2 0 2 0 2
0
cos( 3 ) sin( 3 )
4 cos( 3 ) sin( 3 )
uu v A T B T NST
T
vu v A T B T NST
T
（12）
其中
3 3 2 21 11
1
( ) 10 1 2 1
9 36 3 3
c TA a b a b ab
T
3 3 2 21 1 1 11
1 1
( ) ( )1 1 2 3 3 4 3 2 3
9 12 9 93 3
c T c TB a b a b ab
T T
3 3 2 21 12
1
( ) 10 1 2 1
9 36 3 3
c TA a b a b ab
T
- 72 -
www.ivypub.org/mc
3 3 2 21 1 1 11
1 1
( ) ( )4 1 2 3 3 4 3 2 3
9 12 9 93 3
c T c TB a b a b ab
T T
1NST 和2NST 是不会产生长期项的项。由类似于对（8）的讨论知，为避免产生长期项，则 1A , 1B , 2A ,
2B 满足如下关系：
1 2 1
1 2 2
3
4 3
B B A
B B A
（13）
分别将 1A , 1B , 2A , 2B 的表达式代入（13）得
3 3 2 21 1 1 1
1 1
3 3 2 21 1
1
3 3 2 21 1
1
( ) ( ) 10 1 2 13 3( )
9 36 3 3
( ) 2 3 3 4 3 2 33
3 4 3 3
( ) 10 1 2 13( )
9 36 3 3
c T c Ta b a b ab
T T
c Ta b a b ab
T
c Ta b a b ab
T
即
3 3 2 21 1
1
3 3 2 21 1
1
( ) 5 1 1 1
9 72 3 6
( ) 2 1 1 1
9 9 3 6
c Ta b a b ab
T
c Ta b a b ab
T
又由（5）的初值条件知 1 1(0) (0) 0c c ，于是有
3 3 2 2
1 1 1
3 3 2 2
1 1 1
5 1 1 1( ) ( )
9 72 3 6
2 1 1 1( ) ( )
9 9 3 6
c T a b a b ab T
c T a b a b ab T
从而1U 完全确定。原方程组的一阶近似解为：
0 1
0 1
u uuU
v v v
（14）
2 近似解的误差估计
由（10）知
2
2
0
2
3 3
a ba bu a
2
2
0
2 24
3 3
a ba bv b
同样地，设 T 为有限数，则当10 T T 时，存在 0c ， 0d ，使得 1u c ， 1v d ，取
2 2max , ,
3
a bA c d
，则
iu A ， iv A ， 0,1i （15）
令
- 73 -
www.ivypub.org/mc
0 1 1
0 1 2
u u u R
v v v R
代入（1）中得到
'
1 1 2 1 2
'
2 1 2 1 2
( , , , )
4 ( , , , )
R R R F t R R
R R R F t R R
（16）
其中
1 2 0 1 1 1 2 0 1 1 0 1 2
1 1 0 0 1 1 1 2
0 1 1 0 1 2
( , , , ) [2 ( ) 2( ) ( )( )]
( )[2( ) 2 ( ) 2( )
( )( )]
F t R R u u v R R u u R v v R
u R u v u v R R
u u R v v R
令
1
2
( )( )
( )
R tR t
R t
则
( )
1 20
( ) (0) ( , , , )t
At t s AR t e R e F s R R ds （17）
因为
1
2
(0) 0(0)
(0) 0
RR
R
，
所以
( )
0
1( ) ( , )
1
tt s AR t e F s ds
从而可知
( )
1 20
1( ) = ( , , , )
1
tt s AR t e F s R R ds
（18）
其中
( )
sin( 3( )) sin( 3( ))cos( 3( ))
1 13 3
1 14sin( 3( )) sin( 3( ))cos( 3( ))
3 3
cos( 3( ))
cos( 3( )) 3 sin( 3( ))
t s A
t s t st s
et s t s
t s
t s
t s t s
令
1
2
( )( ) ( )
( )
R tR t R t
R t
,
1 2 0 1 1 2( , , , ) ( , ) ( , , , )F t R R F t F t R R
其中
0 0 1 1 0 1 0 1
2
1 0 0 1 1 0 1 0 1
( , ) [2 ( ) ( )( )]
[2( ) 2 ( ) ( )( )]
F t u u v u u v v
u u v u v u u v v
- 74 -
www.ivypub.org/mc
1 1 2 0 1 1 2 2 0 1 1 0 1 1 2
1 0 0 1 1 1 2 0 1 1 0 1 2
( , , , ) ( )[2( ) ( ) ( ) ]
[2( ) 2 ( ) 2( ) ( )( )]
F t R R u u R R R u u R v v R R
R u v u v R R u u R v v R
将 1
2
( )( ) ( )
( )
R tR t R t
R t
代入上式得
2 2
1 1 2 0 1 1 2 2 0 1 1 0 1 1 2
2
1 0 0 1 1 1 2 0 1 1 0 1 2
( , , , ) ( )[2( ) ( ) ( ) ]
[2( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )( )]
F t R R u u R R R u u R v v R R
R u v u v R R u u R v v R
再由(18)知
00
1 1 20
cos( 3( ))( ) ( , )
cos( 3( )) 3 sin( 3( ))
cos( 3( ))( , , , )
cos( 3( )) 3 sin( 3( ))
t
t
t sR t F s ds
t s t s
t sF t R R ds
t s t s
（19）
通过用 Maple 软件计算可知，存在常数0 和T ，当
00 ， 0 t T 时
2
0 0 00cos( 3( )) ( , ) ( , )
t
t s F t ds M T ,
2
0 1 00[ cos( 3( )) 3sin( 3( ))] ( , ) ( , )
t
t s t s F t ds M T ，
其中0 0( , )M T 和
1 0( , )M T 是与0 和T 有关的常数。所以
2
0 2 00
cos( 3( ))( , ) ( , )
cos( 3( )) 3sin( 3( ))
t t sF t ds M T
t s t s
（20）
其中
2 2
2 0 0 0 1 0( , ) ( , ) ( , )M T M T M T 。
下面我们估计（19）式右端第二项。因为
( ) 2 2
22
1cos ( 3( )) [ cos( 3( )) 3 sin( 3( ))]
1
5 13sin(2 3( )) cos(2 3( ))
2 2
5 1 5 133 ( )
2 2 2
t s Ae t s t s t s
t s t s
（21）
2
1 1 2 0 1 1 2 2 0 1
2 2
1 0 1 1 2 1 0 0 1 1
1 2 0 1 1 0 1 2
( , , , ) ( )[2( ) ( )
( ) ] [2( ) 2 ( )
2 ( ) ( )( )]
F t R R u u R R R u u
R v v R R R u v u v
R R u u R v v R
再由（15）知
2 32 2 5
1 1 2 3 4( , , , ) ( ) ( )F t R R M R M R R （22）
其中2 2
3( ) 8 (1 ) 3 (1 )M A A ,2
4 ( ) 4 3 (1 )M A 。所以当00 ，0 t T 时
10
2 32
5 00
cos( 3( ))( , )
cos( 3( )) 3 sin( 3( ))
( ) [ ]
t
t
t sF s ds
t s t s
M R R R ds
（23）
- 75 -
www.ivypub.org/mc
其中
5
5 0 3 0 4 0 0
5 13 5 13 5 13( ) max{ ( ), ( ), }
2 2 2M M M
。
联合（19）（20）（23）可知，当 0 t T 时，（18）式变为
2 3
2 0 5 00
( ) ( , ) ( ) [ ]{ }t
R t M T M R R R ds （24）
这是一个非线性 Gronwall 不等式. 由此可知[7][8]：当00 、0 t T 时，存在
0( )M T ， ，
使得
0( ) ( )R t M T ， （24）
从而
2
0 1 0( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( )U t U t U t R t M T ，
这说明求得的一阶近似解是一致有效的。
3 结论
本文通过用多重尺度法对 Schnakenberg 方程组进行求解，构造出了该方程组的一阶近似解，并利用非
线性Gronwall不等式对解的误差进行估计，证明了所求得的一阶近似解在 0 t T 时解的一致有效性。在
一般情况下，一阶近似解就能够很好地满足应用需要。
如果想得到更好的近似解，我们还可以进一步求二阶、三阶近似解，并进行相应的误差估计。不过随
着对解的精度要求变高时，所要用到的尺度重数也要相应增加，每增加一个尺度，计算量就增大很多。
REFERENCES
[1] Schnakenberg, J. Simple chemical reaction systems with limit cycle behavior [J]. J. Theor. Biol. 1979, 81:389—400
[2] Cao Youfang, Liang Jie. .Nonlinear Coupling for Improved Stochastic Network Model: A Study of Schnakenberg Model[C].//The
3rd International Symposium on Optimization and System Biology(The 3rd international conference on optimization and system
biology OSB'09), vol.2009:379-386
[3] Qian wei-chang. The singular perturbation theory and its application in mechanics [M]. Beijing: Science press, 1981
[4] R.E.O'malley. An introduction to singular perturbation [M].Beijing: Science press,1983
[5] Feng Xiugong, Liu ping, Shi Junping, Wang Yuwen. Qualitative analysis of Schnakenberg type chemical reaction equations
[J]. Harbin normal university journal of natural science, 2009, 25(5)
[6] Yang Yansi, Liu Ping. Two coupled Schnakenberg prior estimate of the solution of the steady-state system model [J]. Harbin
normal university journal of natural science, 2012,28(4)
[7] SMITH, D. Singular-Perturbation Theory [M]. Cambridge University Press, Cambridge, 1985
[8] Jiang X.H., Wong R., Justification of a Perturbation Approximation of the Klein-Gordon Equation [J]. Stud. Appl. Math. 1999,
Vol. 102: 375–41
【作者简介】
1 卢祥虎，男，汉族，硕士，学生，微分方程解的渐近分析，
2008-2012 年就读于北京化工大学。
Email: [email protected]
2 张艳丹，女，汉族，硕士，学生，微分方程解的渐近分析。
Email: [email protected]
3江新华，男，汉族，副教授，偏微分方程摄动理论。
Email: [email protected]