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Astrofisica galattica – Lezione 1

Maurizio [email protected]

Dipartimento di FisicaUniversità degli studi di Milano

23 Marzo 2018

Struttura della Via Lattea

Masse e dimensioni

Componente Massa Forma e dimensioniAlone stellare 109 Md Sfera (r ą 20 kpc)Disco (gas) 1010 Md Disco (r “ 25 kpc,

h “ 0.15 kpc)Rigonfiamento 1010 Md Ellissoide (6ˆ 2ˆ 2 kpcqcentraleDisco (stelle) 1011 Md Disco (r “ 15 kpc,

h “ 1 kpc)Alone materia 1012 Md Sfera (r ą 60 kpc?)oscura

Parte I

Ammassi stellari

NGC 290 (ammasso aperto)

M22 (ammasso globulare)

Tipi di ammassi stellari

A. aperti A. globulari

Numero di stelle 103 – 104 104 – 106

Dimensioni 10 pc 20–100 pc(core „5 pc)

Gas e polvere? Sì NoNebulose planetarie? No Sì# di ammassi noti 103 „ 160Dove? Disco Alone stellare

(1 % del totale)

NGC104 (47 Tuc, ammasso g.)

N „ 3ˆ 105, 2r „ 100 ly, D „ 20 kly,mV “ 4.9 mag.

M3 (ammasso g.)

N „ 5ˆ 105, 2r „ 150 ly, D „ 35 kly,mV “ 6.2 mag.

M13 (ammasso g.)

N „ 6ˆ 105, 2r „ 145 ly, D „ 22 kly,mV “ 5.8 mag.

Parte II

Dinamica degli ammassi

Termodinamica e astrofisica

Essendo sistemi composti da molte particelle,possiamo pensare di usare la termodinamicaclassica per descriverli?

Termodinamica e astrofisica

No! La teoria del gas ideale funziona solo insistemi privi di forze a lungo raggio.

Da questo punto di vista la gravità è un problema!

“Properties of systems with long range interactions are stillpoorly understood despite being of importance in mostareas of physics.” (Dynamics and Thermodynamics ofSystems with Long Range Interactions)

Teorema del viriale

Fortunatamente esiste uno strumento adatto per ladescrizione di sistemi gravitazionalmente legati: ilteorema del viriale.

Consideriamo un sistema fisico di N particelleconfinato in un volume V (da forze interne o vincoliesterni). Ogni particella si trova nella posizione ~ri ,la forza risultante su di essa è ~Fi e Ki è la suaenergia cinetica.

Medie temporali

Ovviamente le quantità ~ri , ~Fi e ~Ki variano neltempo. Siamo però interessati più al loro valoremedio che alla loro evoluzione istante per istante.

Data una quantità f dipendente dal tempo, il valoredi

〈f 〉t “ limτÑ8

1τ

ż τ

0f ptq dt

è la media temporale di f .

Definizione di “viriale”

La quantità

G ”

Nÿ

i“1

~ri ¨ ~pi

è detta “viriale”. Nel caso in cui le particelle sitrovino in un volume limitato V , esso gode di dueproprietà:

1. G è una quantità limitata;2. Dopo un certo tempo, G tende a diventare

costante.

Limitatezza del viriale

Se il sistema è limitato in un volume V , alloraesistono degli estremi superiori P e R per laquantità di moto pi e ri . Di conseguenza,

|G| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Nÿ

i“1

~ri ¨ ~pi

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

Nÿ

i“1

|~ri | ¨ |~pi | ď NRP.

Variazione nel tempo del virialeLa variazione nel tempo del viriale ha media nulla:

ˇ

ˇ

ˇ

⟨9G⟩

t

ˇ

ˇ

ˇ“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

limtÑ8

1τ

ż τ

0

9Gptq dtˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

limτÑ8

Gpτq ´ Gp0qτ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď limτÑ8

2NRPτ

“ 0.

Ciò vuol dire che, passato un certo tempo (“tempodi rilassamento”), il viriale diventaapprossimativamente costante.

Enunciato del teorema del viriale

Il teorema del viriale dice che in un sistemalimitato in un volume V , passato il tempo dirilassamento, vale l’uguaglianza

〈K 〉t “ ´12

⟨Nÿ

i“1

~ri ¨ ~Fi

⟩t

,

dove K “řN

i“1 Ki è l’energia cinetica totale delsistema.

Dimostrazione del teoremaUsando la proprietà

⟨9G⟩

t“ 0 si ottiene subito la

tesi: ⟨ddt

Nÿ

i“1

~ri ¨ ~pi

⟩t

“ 0⟨2

Nÿ

i“1

Ki `

Nÿ

i“1

~ri ¨ ~Fi

⟩t

“ 0⟨Nÿ

i“1

Ki

⟩t

“ ´12

⟨Nÿ

i“1

~ri ¨ ~Fi

⟩t

.

Caso di forze centraliSi può dimostrare che per forze con potenzialeUi “ krαi (“forze centrali”) il teorema del viriale siriduce a:

〈K 〉t “α

2〈U〉t ,

dove U “řN

i“1 Ui è l’energia potenziale totale delsistema.

Noi dimostreremo la relazione nel caso della forzagravitazionale (U91{r , quindi α “ ´1):

〈K 〉t “ ´12〈U〉t .

Teorema del viriale e gravità (1/4)Nel caso di un sistema di N particelle interagenticon una forza tra i e j pari a

~Fij “ k~ri ´~rj

|~ri ´~rj |3 ,

abbiamo che

~Fi “

Nÿ

j“1j “i

~Fij “ kNÿ

j“1j “i

~ri ´~rj

|~ri ´~rj |3 .

Nell’espressioneřN

i“1~ri ¨ ~Fi compare quindi unadoppia sommatoria.

Teorema del viriale e gravità (2/4)Usiamo la sostituzione ~ri “ p~ri ´~rjq{2` p~ri `~rjq{2nell’espressione di ri ¨ Fi :

~ri ¨ ~Fi “ kNÿ

j“1j “i

~ri ¨ p~ri ´~rjq

|~ri ´~rj |3 “

k2

Nÿ

j“1j “i

|~ri ´~rj |2

|~ri ´~rj |3

`k2

Nÿ

j“1j “i

p~ri `~rjq ¨ p~ri ´~rjq

|~ri ´~rj |3 .

Dimostreremo ora che nell’espressioneřN

i“1~ri ¨ ~Fi

il termine dovuto alla seconda somma è nullo.

Teorema del viriale e gravità (3/4)È possibile scambiare i e j senza cambiare ilvalore della somma:

Nÿÿ

i,j“1j “i

~ri ¨p~ri `~rjq ¨ p~ri ´~rjq

|~ri ´~rj |3 “ (scambio i e j)

“

Nÿÿ

j,i“1i “j

~rj ¨p~rj `~riq ¨ p~rj ´~riq

|~rj ´~ri |3 “ (porto fuori il ´)

“ ´

Nÿÿ

j,i“1i “j

~rj ¨p~ri `~rjq ¨ p~ri ´~rjq

|~ri ´~rj |3 .

Teorema del viriale e gravità (3/4)

Nel calcolo precedente (tenuto contodell’equivalenza tra i e j nella doppia sommatoria)abbiamo ottenuto che la quantità

Nÿÿ

i,j“1j “i

~ri ¨p~ri `~rjq ¨ p~ri ´~rjq

|~ri ´~rj |3

è uguale al suo opposto. Ciò significa che laquantità è nulla.

Livello di energia potenziale

Ricordate che l’energia potenziale è definita ameno di una costante additiva (deriva da unintegrale indefinito).

Il teorema del viriale assume però una costanteben precisa per Uij : siccome abbiamo suppostoche

Uij “ ´k

|~ri ´~rj |,

significa che assumiamo che l’energia potenzialedi i e j tenda a zero se le due particelle vengonoallontanate indefinitamente.

Applicazioni del teorema (1/2)

Come esempio, stimiamo la temperatura mediadel Sole usando il teorema del viriale.

(Il Sole è un sistema di volume limitato,sicuramente rilassato, quindi il teorema èapplicabile).


L’energia potenziale gravitazionale del Sole (sferadi raggio R) è

U “35

GM2

R,

mentre l’energia cinetica totale è

K “

Nÿ

i“1

32

kT

(assumiamo per semplicità che tutte le N “ 1057

particelle siano alla stessa temperatura T ).


Usando il teorema del viriale

〈K 〉t “ ´12〈U〉t

otteniamo che la temperatura viriale è

T “15

GM2d

NkRd„ 106

˜ 107 K.

Essa corrisponde circa alla temperatura delnucleo.


Calcoliamo ora l’energia media di legame pernucleone in un nucleo atomico.

Anche in questo caso abbiamo un sistema diparticelle ovviamente rilassato e confinato in unvolume limitato, ma non è classico: proviamocomunque ad applicare il teorema del viriale.

Applicazioni del teorema (2/2)Un nucleo atomico ha raggio R „ 10´15 m.L’energia cinetica media classica p2{p2mq èstimabile dal principio di indeterminazione:

∆px∆x „~2.

Siccome p2 “ p2x ` p2

y ` p2z « 3p2

x , allora

K « Ap2

2mp« A

3~2

8R2mp„ A

~2

R2mp.

Applicazioni del teorema (2/2)Nell’ipotesi che U9rα, e che |α| non sia troppodistante dall’unità, dal teorema del viriale vale cheK „ U (stesso ordine di grandezza), ossia

A~2

R2mp„ U

Noi siamo interessati all’energia di legame pernucleone, ossia U{A:

U{A „~2

R2mp„ 10 MeV/nucleone.

Parte III

Teorema del viriale eammassi globulari

Dinamica degli a.g.

Usando il teorema del viriale, calcoliamo leseguenti quantità per un ammasso tipico(R “ 5 pc, N “ 106):

1. Energia potenziale;2. Energia cinetica;3. Velocità quadratica media;4. Velocità di fuga;5. Tempo di rilassamento;6. Massa.

Energia potenziale di un a.g.

Sappiamo che per una distribuzione di massa consimmetria sferica vale che

U “ ´35

GM2

R,

anche nel caso in cui ρ dipenda dal raggio r .

Energia potenziale di un a.g.

Per un ammasso globulare si ha tipicamente che

N „ 106, M˚ „ 0.5Md, Rcore „ 5 pc.

La sua energia potenziale è quindi

U “ ´35

GpNM˚q2

Rcore“ ´2.5ˆ 1051 erg.

(Per confronto, il Sole ha un’energia potenzialegravitazionale di „ 1048 erg).

Energia cinetica di un a.g.

Se l’ammasso è dinamicamente rilassato, allora

K “ ´U2„ 1.2ˆ 1051 erg,

e quindi l’energia totale è

E “ K ` U “ ´1.2ˆ 1051 erg.

Dinamica degli a.g.


1. Energia potenziale: ´2.5ˆ 1051 erg;2. Energia cinetica: 1.2ˆ 1051 erg;3. Velocità quadratica media;4. Velocità di fuga;5. Tempo di rilassamento;6. Massa.

Velocità quadratica media

Vogliamo calcolare la velocità (quadratica) mediadelle stelle in un ammasso globulare. Questaquantità è legata all’energia cinetica K :

K “

Nÿ

i“1

12

M˚v2i “

12

M˚N1N

Nÿ

i“1

v2i

“12

MGCv2rms

Velocità quadratica media

Di conseguenza, dal teorema del viriale

2 〈K 〉t “ ´ 〈U〉t “ ´

⟨35

GM2GC

R

⟩t

abbiamo che

vrms “

c

3GMGC

5R« 16 km/s.

Dinamica degli a.g.


1. Energia potenziale: ´2.5ˆ 1051 erg;2. Energia cinetica: 1.2ˆ 1051 erg;3. Velocità quadratica media: 16 km/s;4. Velocità di fuga;5. Tempo di rilassamento;6. Massa.

Velocità di fuga

È sensato supporre che un ammasso globulare sialegato? Per rispondere a questo, dobbiamostimare la velocità di fuga.

Se infatti la velocità media delle stelle fossemaggiore della velocità di fuga, allora l’ammassonon potrebbe essere legato: “evaporerebbe”lasciando sfuggire le sue stelle nello spazio.

Velocità di fuga

Per stimare la velocità di fuga vf si impone laconservazione dell’energia tra i due istanti mostratiin figura.

Velocità di fuga

Nel caso di una stella posta inizialmente a unadistanza R dal centro di massa dell’ammasso,l’equazione di conservazione dell’energia diventa:

12

M˚v2f ´ G

M˚ MGC

R“ 0,

da cui

vf “

c

2GMGC

R« 29 km/s.

Velocità di fuga

Dal momento che˜

vrms “

c

3GMGC

5R

¸

ă

˜

vf “

c

2GMGC

R

¸

,

ciò conferma l’ipotesi che l’ammasso globulare (ein generale qualsiasi sistema gravitazionalevirializzato) sia un sistema legato.

Dinamica degli a.g.


1. Energia potenziale: ´2.5ˆ 1051 erg;2. Energia cinetica: 1.2ˆ 1051 erg;3. Velocità quadratica media: 16 km/s;4. Velocità di fuga: 29 km/s;5. Tempo di rilassamento;6. Massa.

Tempo di rilassamento

Veniamo ora al tempo necessario perché unammasso diventi dinamicamente rilassato.

Inizialmente le stelle di un ammasso possono nonessere rilassate: in tal caso le più veloci (v ą vf )escono dall’ammasso, e questa “evaporazione”cambia la distribuzione delle v .

In più, le interazioni gravitazionali provocano unaridistribuzione dell’energia, che porta l’ammassoverso lo stato rilassato.


Per quantificare il tempo di rilassamento, possiamosupporre che esso sia il tempo necessario affinchéciascuna delle stelle dell’ammasso interagiscanoun certo numero N di volte con le sue compagne.

(Questo è analogo al modo in cui si studia un gasideale che sta raggiungendo l’equilibriotermodinamico).


Possiamo definire un’interazione tra due stellecome la condizione in cui l’energia cinetica diventauguale all’energia potenziale tra le due (perché?):

12

M˚v2„ G

M2˚

r.

Ciò avviene quando la distanza tra le due stelle è

rc „ 2GM˚

v2 .

Definiamo questo come il raggio collisionale.


Quanto è probabile che una stella interagisca conaltre? Dipende da quanto velocemente la stella simuove e dalla densità delle sue compagne:

2rv

Nel volume V “ πr2 ∆x ci sono pπr2 ∆xq n stelle(con n densità numerica).


2rv

Se la distanza percorsa dalla stella è

∆x “ v∆t ,

allora il tempo di rilassamento ∆tr è quel tempotale per cui la stella interagisce con un numero Nint

di stelle (ossia: Nint stelle nel cilindro):

pπr2 v ∆trq n “ Nint ñ ∆tr “Nint

πr2 v n.

Tempo di rilassamentoSe ora nell’espressione

∆tr “Nint

πr2 v n

usiamo la stima del raggio collisionale

rc „ 2GM˚

v2 .

e poniamo Nint « 1, otteniamo:

∆tr “v3

4πG2M2˚ n.


L’espressione di ∆tr può essere moltosemplificata. Innanzitutto, n “ N{

`

43πR3

˘

; inoltre

K “ ´12

U

12

NM˚v2“

35

GpNM˚q

2

R

GM˚N « Rv2 (supponendo35«

12

).


Sostituendo le espressioni di n e GM˚N, otteniamo

∆tr «NR3v

,

quindi il tempo di rilassamento è dello stessoordine di grandezza del tempo richiesto acompiere N attraversamenti dell’ammasso (R{v èil tempo per un attraversamento), con N numero distelle.


La nostra stima porta a un valore di ∆tr pari a

∆tr «13ˆ

106 ˆ 5 pc16 km/s

« 100 Gyr,

che è implausibile! (L’universo ha meno di 14miliardi di anni).

Questo contrasta col fatto che la maggior partedegli ammassi globulari sembri essere giàrilassata.

Tempo di rilassamentoIl problema è che noi abbiamo considerato solo leinterazioni a corto raggio, mentre sono rilevantianche gli scambi energetici a distanza.

Nello specifico, abbiamo supposto che si abbiainterazione quando la distanza tra due stelle siainferiore al raggio collisionale rc dato da

12

M˚v2„ G

M2˚

rc.

Ma anche a distanze maggiori di rc ci sono scambienergetici, e noi li stiamo trascurando.

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