aspetti non perturbativi della qcd -...
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Aspetti non perturbativi della QCD
Leonardo Cosmai
INFN - Sezione di Bari
Napoli, 13 dicembre 2002
• Introduzione alla QCD
• Il confinamento del colore
• Formulazione su reticolo della QCD
• Risultati numerici
• Conclusioni
0-0
INTRODUZIONE ALLA QCD
La Cromodinamica Quantistica e considerata la teoria per la descrizio-
ne delle interazioni forti di quark e gluoni e fa parte del cosiddetto Modello
Standard SU(3)× SU(2)× U(1) delle interazioni fondamentali.
La QCD e descritta dalla seguente densita lagrangiana (a meno di termini
di gauge-fixing):
LQCD = −14F (a)
µν F(a)µν + i
∑q
ψiqγ
µ(Dµ)ijψjq −
∑q
mqψiqψqi ,
(1)
con il tensore del campo cromo-elettromagnetico
F (a)µν = ∂µA
aν − ∂νA
aµ − gfabcA
bµA
cν , (2)
la derivata covariante
(Dµ)ij = δij∂µ + ig∑
a
λai,j
2Aa
µ , (3)
e:
g: costante di accoppiamento di gauge
fabc: costanti di struttura dell’algebra di SU(3)
ψiq : spinore di Dirac associato ad ogni campo di quark di colore (3
colori) i e flavor q
Aaµ: potenziale vettore dei campi gluonici (8 gluoni)
LQCD e invariante per trasformazioni di gauge locali del gruppo SU(3)
di colore.
gli unici parametri liberi di QCD sono l’accoppiamento di gauge g e
le masse dei quark mq (q = u, d, s, . . . ).
– 1 –
In QCD i quark interagiscono mediante lo scambio dei gluoni (bosoni
vettoriali massless) che si accoppiano ai quark dei vari flavor con la
stessa intensita proporzionale all’accoppiamento di gauge g
La QCD e una teoria quantistica di campo rinormalizzabile.
L’accoppiamento di gauge dipende dalla scala di energia µ attra-
verso la funzione β della teoria
µ∂αs
∂µ= 2β(αs) = −β0
2πα2
s −β1
4π2α3
s + . . .
αs(µ) =g2(µ)4π
=4π
β0 ln(µ2/Λ2)
[1 − 2β1
β20
ln[ln(µ2/Λ2)]ln(µ2/Λ2)
+ . . .
]
β0 = 11 − 23nf , β1 = 51 − 19
3nf
(4)
0
0.1
0.2
0.3
1 10 102
µ GeV
α s(µ)
ASYMPTOTIC FREEDOM : (per β0 > 0, i.e.: nf < 16)
l’accoppiamento di gauge e debole ad alte energie:
αs → 0 (per µ→ ∞) (5)
– 2 –
La QCD diventa fortemente accoppiata per
µ ∼ Λ ∼ 200 MeV (6)
che corrisponde alla scala adronica ∼ 10−13 cm
Nel regime di basse energie le tecniche perturbative non sono appli-
cabli: il problema degli stati legati in QCD e un problema intrinseca-
mente non-perturbativo
Non c’e contraddizione con la mancata osservazione sperimentale di
quark liberi.
Una ipotesi centrale (sebbene non ancora dimostrata) della Cromo-
dinamica Quantistica e che quark (e gluoni) non possono essere os-
servati come particelle libere.
Per esempio:nquarks
nnucleons
< 10−27 (7)
(in assenza di confinamento: nquarks/nnucleons < 10−12)
– 3 –
IL CONFINAMENTO DEL COLORE
La Lagrangiana della Cromodinamica Quantistica contiene gradi di li-
berta (quark e gluoni) che non sono osservati in natura.
Il confinamento del colore implica che i gradi di liberta di colore sono in
linea di principio non osservabili.
Il confinamento del colore in QCD equivale a dire che tutti gli stati fisici
sono singoletti del gruppo di gauge SU(3) di colore.
Gli unici singoletti di colore sono stati legati di quark e gluoni (carica
elettrica intera):
mesoni: ψiq1ψi
q2
barioni: ψiq1ψj
q2ψk
q3εijk
antibarioni: ψiq1ψj
q2ψk
q3εijk
glueball: stati legati di gluoni .....
Il confinamento sembra essere correlato alla natura non Abeliana della
simmetria di colore. Infatti:
In QED: simmetria di gauge U(1), interazioni mediate da fotoni, for-
za coulombiana elettrone-positrone attrattiva. Il fotone non ha auto-
accoppiamento. Il campo elettrico ha una distribuzione spaziale iso-
tropa.
In QCD: simmetria di gauge SU(3), interazioni mediate da gluoni (che
hanno auto-interazione). Ipotesi: l’auto-interazione dei gluoni potreb-
be essere tale da rendere energeticamente favorevoli configurazioni
di campo cromo-elettrico in tubi di flusso fra quark e antiquark. L’ener-
gia potenziale di siffatte configurazioni di campo dipenderebbe linear-
– 4 –
mente dalla distanza quark-antiquark e questo implicherebbe il confi-
namento (ovvero energia infinita per separare uno stato di singoletto
di colore in stati colorati).
Se consideriamo uno stato legato con un quark e un antiquark a distanza
R. Se E(R) e l’energia dello stato corrispondente alla configurazione di
energia piu bassa, allora:
in assenza di confinamento
E(R) → 2m (R→ ∞) (8)
(m massa rinormalizzata del quark)
in caso di confinamento
E(R) → σR (R→ ∞) (9)
(σ tensione di stringa universale, σ 0.2 GeV2)
• Scala del confinamento ∼ scala adronica ∼ 1 fermi (a questa scala
lo sviluppo perturbativo fallisce):
– lo studio del meccanismo del confinamento in QCD richiede l’u-
tilizzo di metodi non perturbativi:
FORMULAZIONE SU RETICOLO DELLA QCD
– 5 –
QCD SU RETICOLO
La formulazione della QCD su reticolo e basata sull’approccio alle Teo-
rie Quantistiche di Campo mediante il path integral di Feynman (vedi
Montvay and Munster, 1994; Rothe, 1992, per una introduzione).
Punto di partenza: funzioni di Green nello spazio Euclideo:
• rotazione di Wick (connessione fra spazio di Minkowski (3+1 dimen-
sioni) e spazio Euclideo (4 dimensioni) mediante prolungamento ana-
litico, evoluzione dinamica del sistema nel tempo immaginario x0 →−ix4):
xE = (x, x4) , x4 = ix0 (reale) , d4x = −id4xE
x2E = x2
1 + x22 + x2
3 + x24 = −x2
kE = (k, k4) , k4 = −ik0 (reale) , d4k = id4kE
k2E = k2
1 + k22 + k2
3 + k24 = −k2
(10)
si puo mostrare allora che: SE = −iS• (consideriamo solo la parte di gauge)
< O1 . . . On >=1Z
∫DAµ O1 . . .On e
−SE
Z =∫
DAµ e−SE
(11)
integrazione sulle configurazioni di campo classiche “pesate” dall’a-
zione SE
• analogia con le funzioni di correlazione di un sistema statistico clas-
sico definito dalla funzione partizione Z , con una distribuzione di
Boltzmann data da exp(−SE)
– 6 –
• possibilita di calcolare le funzioni di Green in una teoria di campo
euclideo utilizzando i metodi della meccanica statistica.
L’implementazione numerica dell’approccio mediante path integral richie-
de:
regolarizzazione dell’integrale funzionale:
discretizzazione dello spazio euclideo mediante l’introduzione di un
reticolo 4-dim con passo reticolare finito a (cutoff nello spazio degli
impulsi: −π/a ≤ kµ ≤ π/a)
sito del reticolo: xµ = anµ, nµ ∈ Z, 1 < xµ < Lµ
Volume del reticolo = L1 × L3 × L3 × L4
discretizzazione della azione:
• una trascrizione mediante differenze finite non conserva l’invarianza
di gauge
• per conservare l’invarianza di gauge:
i campi di gauge vanno definiti utilizzando la nozione di tra-
sporto parallelo nel continuo:
U(x, y; C) ≡ P exp ig∫ x
y
Aaµ(z)Tadz
µ
Ta(a = 1, . . . , N2 − 1) : generatori di SU(N)
(12)
– 7 –
x
C
y
U(x, y; C) si trasforma come:
U(x, y) −→ Λ(x)U(x, y)Λ−1(y) (13)
con Λ(x) ∈ SU(N)
su reticolo trasporto parallelo elementare associato al link fra
il sito x e il sito x+ aµ
Uµ(x) ≡ U(x, x+ aµ) = U†(x+ aµ, x)
Uµ(x) ≡ exp igaAbµ(x)Tb
(14)
plaquette percorso chiuso elementare
Uµν(x) ≡ Uµ(x)Uν(x+ µ)U†µ(x+ ν)U†
µ(x) (15)
x x a+ µ
+x aν
azione di Wilson su reticolo per la teoria di gauge SU(N):
SW = β∑
x,µ>ν
(1 − 1
NRe TrUµν(x)
)(16)
– 8 –
invariante per trasformazioni di gauge (Eq. (13))
(nel limite a→ 0 si riottiene l’azione di gauge nel continuo)
(sono possibili altre discretizzazioni gauge invarianti dell’azione
di gauge)
la misura di integrazione:
le variabili di gauge definite su reticolo sono elementi del gruppo di
gauge SU(N) e (al contrario dei campi di gauge Aµ nel continuo)
sono definiti in termini di parametri appartenenti ad un dominio com-
patto (per questo non e necessario fissare il gauge quando si valuta
un integrale funzionale su un reticolo finito). La misura di integrazione
e data dalla misura di Haar. Per ogni gruppo compattoG la misura di
Haar e l’unica misura che soddisfa le proprieta seguenti:
• invarianza:∫
Gf(U)dU =
∫Gf(V U)dU =
∫Gf(UV )dU
• normalizzazione:∫
GdU = 1
Per esempio in SU(2) con la parametrizzazione U = x01 + ix · τla misura di Haar e data da: dU = 1/π2δ(x2 − 1)d4x.
il valore di aspettazione di una osservabile fisica su reticolo:
< O >=1Z
∫ ∏x,µ
dUµ(x)O(Uµ(x))e−SW
Z =∫ ∏
x,µ
dUµ(x)e−SW
(17)
il calcolo numerico dell’integrale funzionale:
• l’integrale definito nella Eq. (17) e ora un integrale ordinario con
un numero finito di dimensioni. Tuttavia non e possibile effettuare
le integrazioni con un semplice metodo numerico di quadratura.
– 9 –
• Esempio: reticolo 404 per SU(3), il numero di variabili di inte-
grazione e: 4 × 404 × 8 = 81, 920, 000. Se considerassi-
mo un campionamento di 10 punti per ogni variabile di integra-
zione dovremmo eseguire 1081,920,000 valutazioni della funzione
integranda !!!
• importance sampling:
data una azione S i punti xi dove viene valutata la funzione da
integrare vengono scelti con una probabilita:
p(xi) ∼ exp(−S(xi)) (18)
-S(x)e
x
• calcolo del valore di aspettazione della osservabile O:
integrazione Monte Carlo
(1) generare una configurazione iniziale C0 di variabili di gauge
associate ai link del reticolo (C0 = Uµ(x), x ∈ lattice)
(2) dato Uµ(x), generare una nuova variabile di gauge U newµ (x)
in modo che dopo un numero sufficiente Ntherm di iterazioni le
configurazioni di gauge CNtherm+1, CNtherm+2, . . . siano di-
stribuite secondo: p(Ci) ∼ exp(−S(ci))(per realizzare questo step varii possibili algoritmi: Metropolis,
Heat-Bath, ...).
(3) dopo aver generato un numero N di configurazioni di gauge il
– 10 –
valore di O e stimato da:
< O >=1N
N∑i=1
O(Ci) (19)
(analogia con il calcolo di una media termica il Meccanica Sta-
tistica)
(4) calcolare l’indeterminazione statistica sull’estimatoreO median-
te procedure di analisi dell’errore statistico che tengono conto
della correlazione fra misure effettuate su configurazioni conse-
cutive (jackknife, bootstrap, ...)
il calcolo numerico dell’integrale funzionale: permette di avere una
determinazione di < O > per un fissato valore di β = 2N/g2 e su
un reticolo di volume dato V = L1 × L2 × L3 × L4.
Perche i risultati ottenuti siano interpretabili in termini fisici e neces-
sario effettuare
(1) limite termodinamico: V → ∞(2) limite continuo: a→ 0
Il limite continuo
Consideriamo per semplicita una teoria di gauge pura su reticolo: e
presente un solo parametro dimensionale dato dal passo reticolare
a. Una generica osservabile fisica dovra essere espressa in unita di
a.
Se q e il valore di aspettazione di una osservabile fisica con le di-
mensioni di una massa, ottenuto a fissato valore dell’accoppiamento
– 11 –
di gauge g:
q =1af(g) (20)
f(g): funzione adimensionale di g che esprime il valore numerico di
q (in unita di 1/a) a fissato g.
Affinche q resti finito nel limite a→ 0 g deve dipendere da a in modo
che:
lima→0
q = lima→0
1af(g(a)) = cq (21)
cq costante finita.
Perche la condizione Eq. (21) sia realizzata deve esistere un valore
critico g per cui:
lima→0
g(a) = g
lima→0
f(g(a)) = f(g) = 0(22)
Teorie di gauge non Abeliane: asymptotic freedom ⇒ g = 0
Imponendo che q(a, g(a)) sia indipendente da a:
d
daq(a, g(a)) =
d
da
[1af(g(a))
]= f(g) + β(g)
df(g)dg
= 0
β(g) = −adg(a)da
(23)
con β(g) β-function (esprime la dipendenza di g da a).
Integrando la Eq. (23):
f(g) = costante exp[−
∫ g
g0
dg′1
β(g′)
](24)
– 12 –
e definendo
Λlatt =1a
exp[−
∫ g
g0
dg′1
β(g′)
](25)
si ottiene
q =1af(g) = costante × Λlatt (26)
Λlatt e indipendente dal cutoff a (Λlatt e una scala fisica ottenuta
da una combinazione dei parametri bare g e a).
La β-function di QCD puo essere calcolata perturbativamente e i pri-
mi 2 termini dello sviluppo sono universali (i.e. indipendenti dalla
regolarizzazione):
f(g) = aΛlatt = (β0g2)−β1/(2β2
0)e−1/(2β0g2)
β0 =11N16π2
β1 =34N2
3(16π2)2(27)
La dipendenza di a da g secondo la (27) implica che per g → 0 il
volume del reticolo deve aumentare in modo opportuno perche una
data scala fisica sia contenuta in esso:
(vedi anche: effetti di volume finito)
– 13 –
Evidenze numeriche del CONFINAMENTO
Lavoro di K.Wilson (Wilson, 1974)
Risultati numerici: il potenziale statico quark-antiquark:
(Necco and Sommer, 2002)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 r [fm]
−0.5
0
0.5
V(r) [GeV]
perturbation theory
V (R) = −α
R+ σR (28)
– 14 –
Risultati numerici: il tubo di flusso cromoelettrico:
(Cea and Cosmai, 1995; Di Giacomo, 1994)
ρW =
⟨tr
(WLUPL
†)⟩〈tr(W )〉 − 1
2〈tr(UP )tr(W )〉
〈tr(W )〉 , (29)
UP = Uµν(x) plaquette nel piano (µ, ν).
ρWa→0−−−→ a2g
[〈Fµν〉qq − 〈Fµν〉0
]. (30)
Fµν(x) =√β
2ρW (x) . (31)
Al variare della distanza e della orientazione della plaquette UP ri-
spetto al loop di Wilson W , distribuzione dei campi nel tubo di flusso
quark-antiquark.
– 15 –
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
SU(2) 244 β=2.7
xt
ExEy
EzBxBy
Bz
Fµν
(xl=
0)
String tension: energia nel tubo di flusso per unita di lunghezza
σ 12
∫d2xtE
2l (xl, xt) . (32)
0
1
2
3
4
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1a Λ
MS__
√σ ,
√σA
√σ
ΛMS
= 1.76(6) ,√σWL
ΛMS
= 1.79(12) . (33)
– 16 –
Studio del vuoto di QCD
Per studiare la struttura del vuoto delle teorie di gauge su reticolo a tem-
peratura zero e stata introdotta (Cea and Cosmai, 1999; Cea, Cosmai,
and Polosa, 1997) una azione effettiva invariante di gauge definita me-
diante il funzionale di Schrodinger su reticolo (Luscher, Narayanan,
Weisz, and Wolff, 1992; Luscher and Weisz, 1995)
Z[U extk ] =
∫DU e−SW . (34)
SW e l’azione di Wilson e l’integrazione funzionale e estesa ai link di un
reticolo L3s ×Lt con geometria ipertoroidale e con i seguenti vincoli (xt:
coordinata temporale)
Uk(x)|xt=0 = U extk (x) , (k = 1, 2, 3) , (35)
U extk (x) e la versione su reticolo del potenziale di gauge nel continuoAext(x) = Aext
a (x)λa/2.
Si impone anche che:
i link alla frontiera spaziale del reticolo sono fissati secondo i vincoli
dati nella Eq. (35) ,
(questo corrisponde ad imporre nel continuo che le fluttuazioni sul campo
di background si annullino all’infinito).
L’azione effettiva su reticolo per il campo di background statico Aext(x)e data da:
Γ[ Aext] = − 1Lt
ln
Z[ Aext]Z[0]
. (36)
– 17 –
Nel limite continuo:
Γ[ Aext] e l’energia del vuoto in presenza del campo di backgroundAext.
Inoltre:
L’azione effettiva per il campo di background e invariante per trasfor-
mazioni di gauge dei link esterni U extk .
A temperatura finita consideriamo la funzione partizione termica (Gross,
Pisarski, and Yaffe, 1981) in presenza di un campo di background stati-
co.
Su reticolo e stata introdotta (Cea and Cosmai, 2001a,b) la seguente
funzione partizione in presenza del campo di background
ZT
[Aext
]=
∫Uk(Lt,x)=Uk(0,x)=U ext
k (x)
DU e−SW , (37)
con la temperatura fisica data da T = 1/aLt. Su un reticolo con
estensione spaziale finita imponiamo anche che:
• i link uscenti da siti apartenenti alla frontiera spaziale sono fissati
secondo i vincoli dati nella Eq. (35).
Si puo verificare che
• quando la temperatura fisica va a zero, il funzionale termicoZT
[Aext
]si riduce al funzionale di Schrodinger a temperatura zero.
La quantita rilevante a temperatura finita e il funzionale energia libera
definito come
F [ Aext] = − 1Lt
lnZT [ Aext]ZT [0]
. (38)
– 18 –
Quando la temperatura fisica va a zero
il funzionale energia liberaF [ Aext] si riduce all’azione effettiva Γ[ Aext].
L’azione effettiva gauge-invariante viene utilizzata per investigare
la dinamica del vuoto e il confinamento del colore nelle teorie di
gauge su reticolo.
Sono stati ottenuti alcuni risultati nello studio del vuoto delle teorie di
gauge su reticolo U(1), SU(2) e SU(3).
Il metodo e applicabile anche in presenza di fermioni dinamici (risulta-
ti preliminari sulla transizione di deconfinamento con 2 flavors) (Cea,
Cosmai, and D’Elia, 2002).
Verranno mostrati risultati riguardanti:
SU(3) in un campo cromomagnetico costante:
T = 0 T = 0
– 19 –
Campo Cromomagnetico Abeliano di Background: T = 0
(Cea and Cosmai, 1999)
Consideriamo un campo esterno cromomagnetico Abeliano costante e
statico
Aexta (x) = Aext(x)δa,3 , Aext
k (x) = δk,2x1H . (39)
Su reticolo
U ext1 (x) = U ext
3 (x) = 1
U ext2 (x) =
ei
gHx12 0 0
0 e−igHx1
2 0
0 0 1
. (40)
Per essere consistente con la geometria iperoroidale imponiamo che il
campo magnetico H sia quantizzato
gH
2=
2πL1next , (41)
con next intero.
Per l’invarianza di gauge dell’azione effettiva per trasformazioni di gauge
statiche del campo di background, Γ[ Aext] e proporzionale al volume
spaziale V .
Pertanto la quantita rilevante e la densita di azione effettiva
ε[ Aext] = − 1Ω
ln[Z[Aext]
Z[0]
], (42)
con Ω = V · T .
– 20 –
Per evitare il problema di effettuare un calcolo diretto di una funzione
partizione (e l’esponenziale di una quantita estensiva) consideriamo la
derivata di ε[ Aext] rispetto a β con next (i.e. gH) fissato
ε′[Aext
]=∂ε
[Aext
]∂β
= − 1Ω
[1
Z[U ext]∂Z[U ext]∂β
− 1Z[0]
∂Z[U ext]∂β
]
=
⟨1Ω
∑x,µ>ν
13
ReTrUµν(x)
⟩0
−⟨
1Ω
∑x,µ>ν
13
ReTrUµν(x)
⟩Aext
(43)
Uµν(x)’s sono le plaquette nel piano (µ, ν).
Se consideriamo il contributo dei link dinamici (i.e. i link che non sono
soggetti a vincoli nella integrazione funzionale)
ε′int[ Aext] =
⟨1
Ωint
∑x∈Λ,µ>λ
13
ReTrUµν(x)
⟩0
−⟨
1Ωint
∑x∈Λ,µ>λ
12
ReTrUµν(x)
⟩Aext
,
(44)
dove Λ e l’insieme dei siti del reticolo che non appartengono alla frontiera.
Per valutare εint(β, next) possiamo integrare numericamente i dati per
ε′int(β, next)/ε′ext
εint(β, next) = ε′ext
∫ β
0
ε′int(β, next)ε′ext
dβ′ , (45)
con ε′ext la derivata della densita di energia dovuta al campo esterno di
background:
ε′ext =23
[1 − cos(gH
2)] =
23
[1 − cos(2πL1next)] . (46)
– 21 –
L4 = L1 = 32 L2 = L3 = L⊥ (47)
0 5 10 15
β
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ε′
L⊥ = 8 L⊥ = 12L⊥ = 16L⊥ = 24L⊥ = 32
Nella regione di weak coupling si trova che
εint(β, next) a(next)12H2 , β 1 (48)
dove a(next) decresce al crescere di L⊥ o del campo esterno di back-
ground. Questo comportamento e peculiare delle teorie di gauge non
Abeliane (abbiamo infatti verificato che nel caso della teoria Abeliana U(1)
a(next) 1 indipendentemente da L⊥ e next).
– 22 –
Per effettuare il limite termodinamico si introduce la variabile di scaling
x =aH
Leff, (49)
dove aH =√
2πgH e la lunghezza magnetica, e Leff = Ω1/4
int la dimen-
sione effettiva lineare del reticolo. Con la seguente legge di scaling:
x−α ε′int(β, next, Leff)
ε′ext
= κ(β) . (50)
0 5 10 15
β
0
5
10
15
κ(β)
next=1 (L⊥=12)
next=1 (L⊥=16)
next=1 (L⊥=24)
next=1 (L⊥=32)
I dati numerici per i reticoli di size diversa si dispongono su una stessa
curva di scaling κ(β) (con l’esponenteα = 1.5 in Eq. (50), stesso valore
trovato nel caso di SU(2)).
– 23 –
Dalla Eq. (50) e possibile determinare il limite di volume infinito per la
densita di energia del vuoto εint. Si ottiene:
limLeff→∞
εint(β, next, Leff) = ε′ext
∫ β
0
dβ′ κ(β′) limLeff→∞
(aH
Leff
)α
= 0
(51)
su tutto il range di β.
Consegue che nel limite continuo (Leff → ∞, β → ∞) il vuoto di
SU(3) scherma completamente il campo esterno cromomagnetico
Abeliano (per campi esterni non troppo intensi).
– 24 –
Campo Cromomagnetico Abeliano di Background: T = 0
(Cea and Cosmai, 2001a, 2002)
Lo studio di SU(3) in un campo cromomagnetico esterno Abeliano puo
essere esteso al caso di temperatura finita.
Su reticolo la temperatura fisica Tphys e introdotta (in unita di κB = 1)
1/Tphys = Lt · a , (52)
dove Lt e l’estensione lineare nella direzione temporale Lt = L4, l’e-
stensione nelle direzioni spaziali dovrebbe essere infinita. Ovviamente
nelle simulazioni numeriche l’estensione spaziale e finita. Per approssi-
mare il limite termodinamico si impone che Ls Lt.
Le nostre simulazioni nu,eriche sono state effettuate su reticoli 643×Lt,
128 × 642 × Lt con Lt/Ls ≤ 4.
Nel caso di campo cromomagnetico esterno costante, si considera la
densita di energia libera
f [ Aext] = − 1V Lt
lnZT [ Aext]ZT [0]
, V = L3s . (53)
Troviamo che
partendo da un sistema di gauge SU(3) a temperatura zero immer-
so in un campo cromomagnetico Abeliano costante di data intensita
(next = 1) e aumentando la temperatura
la coda perturbativa della derivata rispetto a β della densita di
energia libera f ′int(β, next)/ε′ext cresce con 1/Lt e tende verso
il valore classico f ′int(β, next)/ε′ext 1.
Si puo allora concludere che
– 25 –
al crescere della temperatura non c’e effetto di schermo nella
densita di energia libera e pertanto l’effetto di schermo che si
osserva a T = 0 e correlato al confinamento.
La conoscenza di f ′int(β, next)/ε′ext a temperatura finita ci consente di
determinare la temperatura di deconfinamento Tc.
5 5.25 5.5 5.75 6
β
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
f′ int(β
)/ε′ ex
t
Lt=8
Lt=7
Lt=6
Lt=5
Lt=4
Si vede dalla figura che l’accoppiamento pseudocritico β∗(Lt) dipende
da Lt. Per determinare β∗(Lt) si parametrizza f ′int(β, Lt) vicino al
picco come
f ′int(β, Lt)ε′ext
=a1(Lt)
a2(Lt)[β − β∗(Lt)]2 + 1. (54)
Dopo aver determinato β∗(Lt) la temperatura di deconfinamento puo
– 26 –
essere stimata come
Tc
Λlatt=
1Lt
1fSU(3)(β∗(Lt))
, (55)
dove
fSU(N)(β) =(
β
2Nb0
)51/121
exp(−β 1
4Nb0
), (56)
con b0 = (11N)/(48π2) e N il numero dei colori.
Per ottenere Tc nel limite continuo viene effettuata una estrapolazione
lineare al continuo dei dati per Tc
Λlatt.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
a Tc
0
10
20
30
40
50
60
Tc /
ΛLA
T
Per una teoria di gauge SU(3) su reticolo senza il campo esterno (Fing-
berg, Heller, and Karsch, 1993)
Tc
Λlatt= 29.67 ± 5.47 . (57)
– 27 –
Tc vs.gH
(Cea and Cosmai, 2002)
I risultati ottenuti mostrano che la temperatura di deconfinamento Tc
Λlatt
dipende dalla intensita del campo cromomagnetico Abeliano applicato.
Pertanto si e pensato di fare uno studio sistematico della dipendenza di
Tc dalla intensita gH del campo cromomagnetico di background.
Sono state effettuate simulazioni numeriche su reticoli 643 × Lt con
next = 1, 2, 3, 5, 10 (per verificare possibili effetti di volume finito simu-
lazioni anche su un reticolo 128 × 642 × Lt con next = 3, gli effetti di
volume finito non sono apprezzabili entro l’errore statistico).
Si giunge cosı alla determinazione della temperatura critica Tc
Λlattin fun-
zione della intensita del campo cromomagnetico esterno gH .
0 0.5 1 1.5 2
gH
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Tc /
Λla
tt
La temperatura critica decresce al crescere dell’intensita del campo cro-
momagnetico Abeliano.
– 28 –
Se la lunghezza magnetica aH ∼ 1/√gH e la sola scala rilevante del
problema allora per ragioni dimensionali
T 2c ∼ gH . (58)
Si ottiene un buon fit dei dati con la seguente forma funzionale
Tc(gH)Λlatt
=Tc(0)Λlatt
+ α√gH . (59)
0 0.5 1 1.5 2
gH
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Tc /
Λla
tt
In particolare α = −42.4 ± 7.4 e Tc(0)/Λlatt (in accordo, entro l’errore
statistico, con Eq. (57)).
– 29 –
Esiste allora un valore critico della intensita del campo applicato
gHc 0.68 (60)
tale che Tc = 0 per gH > gHc. In unita fisiche il valore critico della
intensita di campo e:√gHc
Tc= 8.5 ± 1.4 . (61)
Dati preliminari confermano un risultato analogo nel caso di SU(2)
0 0.05 0.1 0.15 0.2
a Tc
0
10
20
30
40
Tc /
ΛLA
T
SU(2) 64
3 × Lt next=5
per SU(2) la temperatura critica senza il campo di background e (Fing-
berg, Heller, and Karsch, 1993)
Tc
Λlatt= 24.38 ± 2.18 . (62)
– 30 –
CONCLUSIONI
LA FORMULAZIONE SU RETICOLO DELLA QCD PERMETTE DI
INVESTIGARE GLI ASPETTI NON PERTURBATIVI DELLA TEORIA
PARTENDO DALLA LAGRANGIANA
IL CONFINAMENTO DEL COLORE RESTA TUTTORA UN PROBLE-
MA APERTO. SONO STATI TUTTAVIA CONSEGUITI ALCUNI RI-
SULTATI COMPUTAZIONALI CHE POTREBBERO SUGGERIRE POS-
SIBILI PERCORSI VERSO UNA DIMOSTRAZIONE DEL CONFINA-
MENTO DEL COLORE
ALCUNI DI QUESTI RISULTATI SONO STATI MOSTRATI IN QUE-
STO SEMINARIO:
♦ Evidenze numeriche per un comportamento superconduttivo del
vuoto di SU(3):
schermo di un campo cromomagnetico abeliano costante a
temperatura zero
esistenza di un valore critico del campo cromomagnetico abe-
liano costante oltre il quale la temperatura di deconfinamento va
a zero
capire il meccanismo microscopico: condensazione di un cam-
po scalare colorato ...
possibili applicazioni astrofisiche: deconfinamento a bassa tem-
peratura e a bassa densita renderebbe possibile spiegare l’esi-
stenza di stelle di quark compatte recentemente osservate
– 31 –
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