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7/28/2019 ASPECTOS TEORICOS EDPs
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METODOS NUMERICOS EN INGENIERIATEMA: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)EDWIN MARTIN PINO VARGASESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA, UNJBG TACNA
TELEFONOS: 952298638, 241595, #701907 E-MAIL: [email protected]
METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)
Contenido
1. Introduccin ......................... .......................... .......................... ......................... .......................... .. 2
2. Clasificacin Matemtica ....................... .......................... ......................... ........................... .......... 2
2.1. Ecuaciones Elpticas ......................... .......................... ......................... ......................... ....... 3
2.2. Ecuaciones Parablicas ........................ .......................... ......................... .......................... .. 4
2.3. Ecuaciones Hiperblicas ....................... .......................... ......................... .......................... .. 4
3. Resolucin Numrica de las EDP .......................... ......................... .......................... ....................... 5
3.1. Ecuaciones Elpticas ......................... .......................... ......................... ......................... ....... 5
3.2. Ecuaciones Parablicas ........................ .......................... ......................... .......................... .. 7
3.2.1. Mtodo Explcito ......................... .......................... ......................... ........................... .......... 8
3.2.2. Mtodos Implcitos. ......................... .......................... ......................... ......................... ..... 10
3.2.2.1. Mtodo Implcito Simple ...................................................................................... 10
3.2.2.2. Mtodo Implcito de Crank - Nicolson ......................... ......................... ................. 12
4. Ecuaciones Hiperblicas ......................... .......................... ......................... ........................... ........ 13
4.1. Mtodo Explcito ......................... .......................... ......................... ........................... ........ 14
4.2. Mtodo Implcito ........................ .......................... ......................... ........................... ........ 17
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1. IntroduccinA modo de introduccin a la resolucin numrica de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
recordamos algunos conceptos bsicos vistos en cursos previos de Anlisis Matemtico:
Se denominan ecuaciones diferenciales parciales (EDP) a aquellas ecuaciones que involucranderivadas parciales de una funcin desconocida con dos o ms variables independientes.
Se denomina orden de una ecuacin diferencial al orden de la derivada ms alta que exista en dichaecuacin.
Una ecuacin diferencial parcial lineales aquella que es lineal en la funcin desconocida y en todassus derivadas, con coeficientes que dependen solo de las variables independientes de la funcin.
Vemos a continuacin distintos ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:
ordensegundodelinealnoxy
uux
x
u
ordentercerdelinealnox
yx
u6
x
u
ordentercerdelinealy5u8y
ux
yx
u
ordensegundodelineal1uy
uyx2
x
u
2
2
2
33
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
.. (1)
La mayora de los problemas fsicos y de ingeniera de importancia prctica estn descriptos por este
tipo de ecuaciones diferenciales, y fundamentalmente por ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Por ello el tratamiento de las EDP que se desarrollar en lo sucesivo se concentrar sobre ecuaciones
lineales de segundo orden.
2. Clasificacin MatemticaLas ecuaciones diferenciales de segundo orden en derivadas parciales pueden expresarse de formageneral como:
0y
u
x
u2
2
2
2
.. (2)
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0Dy
uC
yx
uB
x
uA
2
22
2
2
.. (3)
Donde A, B y C son funciones de x y de y, y D es una funcin de x, y, u, u/x y u/y. Es decir que
estamos asumiendo que esta ecuacin es lineal.
Dependiendo de los valores de los coeficientes de los trminos de la segunda derivada A, B y C, la
anterior ecuacin puede clasificarse en una de las tres categoras siguientes:
Esta clasificacin es til por dos razones:
Cada grupo est asociado a diferentes problemas especficos de ingeniera. Cada grupo requiere tcnicas de solucin especiales.La terminologa utilizada para clasificar a las ecuaciones surge por analoga con la utilizada en la
clasificacin de ecuaciones generales de segundo orden en la geometra analtica. Es importante notar
que para los casos donde A, B y C dependen de x y de y, la ecuacin puede estar en una categora
diferente, dependiendo del dominio para el cual se quiere calcular dicha ecuacin.
2.1. Ecuaciones ElpticasEste tipo de ecuaciones permite resolver los llamados problemas de equilibrio, que son problemas
donde se busca la solucin de una ecuacin diferencial dada, en un dominio cerrado, sujeta a
condiciones de frontera prescriptas. Es decir que los problemas de equilibrio son problemas de
condiciones de frontera. Los ejemplos ms comunes de tales problemas incluyen a distribuciones
estacionarias de temperatura, flujo de fluidos incompresibles no viscosos, distribucin de tensiones en
slidos en equilibrio, el campo elctrico en una regin que contenga una densidad de carga dada, y en
general problemas donde el objetivo sea determinar un potencial.
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2.2. Ecuaciones ParablicasEste tipo de ecuaciones permite resolver los denominados problemas de propagacin que son
problemas de transitorios donde la solucin de la ecuacin diferencial parcial es requerida sobre un
dominio abierto, sujeta a condiciones iniciales y de frontera prescritas. Los ejemplos ms comunes de
estos problemas incluyen a problemas de conduccin de calor, problemas de difusin, y en general
problemas donde la solucin cambia con el tiempo.
2.3. Ecuaciones HiperblicasLas ecuaciones hiperblicas tambin tratan con problemas de propagacin, como por ejemplo la
ecuacin de la onda, pero con la distincin de que aparece una segunda derivada respecto del tiempo.
En consecuencia la solucin consiste en distintos estados caractersticos con los cuales oscila el sistema.
Es el caso de problemas de vibraciones, ondas de un fluido, transmisin de seales acsticas yelctricas.
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3. Resolucin Numrica de las EDPLas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, tanto las elpticas como las parablicas e
hiperblicas, pueden ser resueltas sustituyendo planteando distintos esquemas numricos donde las
derivadas parciales son reemplazadas por su aproximacin en diferencias finitas divididas.
A continuacin trataremos cada uno de los tres grupos antes mencionados de EDP.
3.1. Ecuaciones ElpticasPara abordar la resolucin numrica de las ecuaciones elpticas utilizaremos como caso de estudio a la
ecuacin de Laplace por ser utilizada en diversas reas de ingeniera donde se trata con problemas que
involucran la determinacin de un potencial. Por ser un problema simple de plantear y resolver
utilizaremos el caso de flujo de calor en rgimen estacionario en una placa delgada. La expresin es:
0y
u
x
u2
2
2
2
.. (4)
Para abordar la solucin numrica, trataremos a la placa como una malla de puntos discretos (nodos)
donde plantearemos la representacin en diferencias finitas de la ecuacin diferencial, lo cual
transforma a la EDP en una ecuacin algebraica en diferencias. Utilizando diferencias finitas centradas
de segundo orden, entonces podemos escribir:
)uu2(ux
1
x
uj1,iji,j1,i2
ji,2
2
... (5)
y
)uu2(uy
1
y
u1j1,ji,1ji,2
ji ,2
2
... (6)
Reemplazando estas expresiones en la EDP, queda:
0)uu2(uy
1)uu2(u
x
11j1,ji,1ji,2j1,iji,j1,i2
. (7)
0uy
1u
y
1u
x
1u
y
1
x
12u
x
11j1,21j1,2ji,12ji,22j1,i2
. (8)
Las condiciones de borde o de frontera deben estar especificadas para que exista una solucin nica.
Existen dos posibilidades en cuanto a condiciones en la frontera:
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Especificar el valor de la funcin en el borde. Es la forma ms simple y se la conoce como condicin de
frontera de Dirichleto condicin forzada.
Especificar el valor de la derivada en la frontera. En general la derivada que se especifica es en ladireccin normal al borde (flujo). Esta condicin es conocida como condicin de Neumann o condicin
natural. Esta condicin es de la forma:
an
u
... (9)
Donde n es la direccin normal al borde, y a es el valor.
La expresin de esta condicin utilizando diferencias centrales es, para n = x:
x2uu
xu
nu j1,ij1,i
... (10)
y para n = y
y2
uu
y
u
n
u 1ji,1j1,
... (11)
Al imponer el cumplimiento de esta condicin en los puntos de la frontera del dominio, se obtendrn
las expresiones correspondientes a los puntos que por aplicacin del operador de diferencias han
quedado fuera del dominio, y reemplazarlos en las correspondientes ecuaciones.
Debe tenerse presente que si solamente se especifican condiciones de Neumann, existirn infinitas
soluciones. Por lo tanto para obtener una nica solucin deber especificarse al menos una condicin
de tipo Dirichlet en algn punto de la frontera.
Adems de los valores de la funcin potencial suele interesar el valor de variables secundarias. En
general estas variables estn asociadas al valor del flujo en cada punto del dominio y en las fronteras
donde se ha especificado una condicin forzada. En un caso podr representar el flujo de energa, en
otro ser la velocidad, etc. Estas variables secundarias o derivadas estn vinculadas con la derivada del
potencial a travs de una constante (o funcin) que multiplica al valor de la derivada en el punto. Por
ejemplo, para un problema de transmisin de calor ser el flujo de calor, para el escurrimiento de unfluido en un medio poroso ser el campo de velocidades.
j1,ij1,ix uux
uq
... (12)
Flujo en la direccin x
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1ji,1ji,y uuy
uq
... (13)
Flujo en la direccin y
3.2. Ecuaciones ParablicasAbordaremos el estudio del tratamiento de este tipo de ecuaciones mediante la resolucin de la
ecuacin de conduccin del calor en una dimensin. No debe perderse de vista que los mtodos que se
desarrollaran a continuacin son de aplicacin a todas las ecuaciones que correspondan a esta
clasificacin. La ecuacin de conduccin de calor unidimensional es:
t
T
x
Tk
2
2
... (14)
En esta ecuacin la funcin Tes la temperatura que depende dexy de t, xes la variable independiente
espacial, tes la variable independiente temporal, y kes el coeficiente de difusividad trmica [cm2
/ s].
Un esquema tpico que representa este tipo de problemas es el siguiente:
En este caso hay que considerar que la solucin presenta cambios en el espacio y en el tiempo. La malla
usada para la resolucin por diferencias finitas de las EDP con dos variables independientes puede ser
representada por:
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3.2.1. Mtodo ExplcitoLa ecuacin de conduccin del calor que estamos tratando requiere de dos aproximaciones. Para la
derivada segunda respecto de la variable espacial x, podemos hacerla con una diferencia dividida
centrada con una aproximacin de segundo orden:
2
l1i
li
l1i
2
2
x
TT2T
x
T
... (15)
y una diferencia dividida finita hacia delante para aproximar a la derivada en el tiempo:
t
TT
t
Tli
1li
... (16)
De la aproximacin adoptada para la variable x, utilizando operadores que corresponden a una
interpolacin limitada de segundo orden, surge que el error de truncamiento para x es del orden de
O(x3 ). De la misma forma, para la variable t, donde utilizamos un operador que corresponde a una
interpolacin limitada de 1er orden, surge que el error de truncamiento para t es del orden de O(t2
).
Sustituyendo en la ecuacin:
t
T
x
Tk
2
2
... (17)
Se obtiene:
tTT
x
TT2Tk
li
1li
2
l1i
li
l1i
... (18)
Que puede ser expresada tambin como:
l
1ili
l1i
li
1li
TT2Tx
tkTT
2
... (19)
Y si hacemos 2x
tk , nos queda:
l1ilil1ili1li TT2TTT ... (20)
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Esta ecuacin, que puede ser escrita para todos los nodos interiores de la barra, proporciona un modo
explicito para calcular los valores en cada nodo para un tiempo posterior, con base en los valoresactuales del nodo y sus vecinos. Esto puede ser esquematizado mediante la siguiente representacin:
Si las condiciones de contorno son del tipo forzada o de Dirichlet, donde el valor de la funcin incgnita
es conocido, la ecuacin anterior no debe ser aplicada en los puntos de la frontera, puesto que all no
hay incgnitas.
Las condiciones de contorno o de frontera del tipo de Neumann (o condicin natural) pueden ser
incorporadas sin inconvenientes a las ecuaciones parablicas, de la misma manera que con las elpticas.
En el caso particular de la ecuacin de conduccin de calor unidimensional, debern agregarse dosecuaciones para caracterizar el balance de calor en los nodos extremos. Por ejemplo en el nodo inicial
escribiramos:
l1l0l1-l01l0 TT2TTT ... (21)
Donde el punto (-1) es exterior al dominio de anlisis. Este punto puede escribirse en funcin de los
interiores utilizando las condiciones de contorno que correspondan. En este caso:
x
TCkqx
... (22)
Utilizando una diferencia dividida finita centrada de segundo orden para aproximar a la derivada
respecto de la variable espacial x:
x2
TT
x
T l1il1i-
... (23)
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Entonces nos queda:
Ck
qx2TT
x2
TTCk
x
TCkq
xl1
l1-
l1
l1-
x
... (24)
Luego, obtenemos la ecuacin para el primer punto:
Ck
qxTT2TTT2
Ck
qx2TTT xl0
l1
l0
l1
l0
xl1
l0
1l0
... (25)
De la misma manera se puede obtener una ecuacin para ser aplicada en el ltimo punto.
3.2.2. Mtodos Implcitos.3.2.2.1. Mtodo Implcito SimpleLos mtodos implcitos superan las dificultades de convergencia y estabilidad presentes en los mtodos
explcitos, esto es proporcionan esquemas numricos incondicionalmente estables, a expensas de usar
algoritmos algo ms complicados. El hecho de que sean incondicionalmente estables significa que la
solucin ser estable para cualquier relacin que exista entre x y t, a diferencia de los mtodos
explcitos que son condicionalmente estables. La diferencia fundamental entre ambas aproximaciones
reside en que en la forma explcita aproximamos la derivada espacial en el nivel de tiempo l, de modo
que nos quedaba una ecuacin con una sola incgnita1l
iT
, que podamos despejar en forma explcita.
En la forma implcita la derivada espacial es aproximada en un nivel de tiempo posterior l +1 de modo
que quedan ms de una incgnita en una misma ecuacin impidiendo la resolucin en forma sencilla
como ocurra en el mtodo explicito.
Esta diferencia fundamental puede apreciarse claramente en la siguiente figura:
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Entonces, por quedar una ecuacin con varias incgnitas, que no puede ser resuelta explcitamente el
sistema completo de ecuaciones que se originar debe resolverse simultneamente. Esto es posible
porque junto con las condiciones de frontera, las formas implcitas dan como resultado un conjunto de
ecuaciones lineales algebraicas con el mismo nmero de incgnitas. Entonces el mtodo se reduce a laresolucin de un conjunto de ecuaciones simultneas para cada instante de tiempo.
La ecuacin de conduccin del calor que estamos tratando requiere de dos aproximaciones. Para la
derivada segunda respecto de la variable espacial x, podemos hacerla con una diferencia dividida
centrada con una aproximacin de segundo orden, con el error de truncamiento que hemos discutido
con anterioridad:
2
1l1i
1li
1l1i
2
2
x
TT2T
x
T
... (26)
Y una diferencia dividida finita hacia delante para aproximar a la derivada en el tiempo:
t
TT
t
T li1l
i
... (27)
Sustituyendo en la ecuacin:
t
T
x
Tk
2
2
... (28)
Se obtiene:
tTT
x
TT2Tk
li
1li
2
l11i
1li
1l1i
... (29)
Que puede ser expresada tambin como:
li1l1i
1li
1l1i- TTT21T-
... (30)
Donde:
2x
tk
... (31)
Esta ecuacin se aplica en todos los nodos excepto en el primero y el ltimo. Para estos puntos valen
las apreciaciones hechas en el caso anterior respecto de las condiciones de contorno. Vale destacar que
el sistema de ecuaciones que se forma al aplicar este mtodo es tridiagonal, y que existen algoritmos
muy eficientes para la resolucin de este tipo de sistemas, como por ejemplo el mtodo de Thomas.
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3.2.2.2. Mtodo Implcito de Crank - NicolsonEl mtodo de Crank Nicolson proporciona un esquema implcito de mayor exactitud que el mtodo
implcito simple visto anteriormente. Esto se logra desarrollando las aproximaciones por diferencias en
el punto medio del incremento en el tiempo.
Para hacer esto la primera derivada temporal puede ser aproximada en tl+1/2 por:
t
TT
t
TT
t
TT
t
T li1l
i/1l
i/1l
i
222
1l221l
... (32)
La segunda derivada en el espacio puede se determinada en el punto medio al promediar las
aproximaciones por diferencias al inicio (tl ) y al final (tl+1 ) del intervalo del incremento del tiempo:
21l1i1li1l1i
2l1ilil1i
22
x
TT2T
x
TT2T21
xT .... (33)
Sustituyendo en la ecuacin de conduccin de calor queda:
tTT
x
TT2T
x
TT2T
2
k li1l
i2
1l1i
1li
1l1i
2
l1i
li
l1i
..... (34)
Reordenando:
li
1li
1l1i
1li
1l1i
l1i
li
l1i2
TTTT2TTT2Tx2
kt
..... (35)
Si hacemos 2x
kt
y reemplazamos:
l1ili
l1i
1l1i
1li
1l1i
l1i
li
l1i
li
1li
1l1i
1li
1l1i
l1i
li
l1i
li
1li
1l1i
1li
1l1i
li
1li
1l1i
1li
1l1i
l1i
li
l1i
TT22TTT22T
TT2TT2T2TT2T
TT2T
2
TTTT2T
2
TTTT2TTT2T2
..... (36)
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Esta ecuacin se aplica en todos los nodos excepto en el primero y el ltimo. Para estos puntos valen
las apreciaciones hechas en el caso anterior respecto de las condiciones de contorno. En las figurassiguientes puede apreciarse la diferencia entre las molculas computacionales del mtodo implcito
simple (a) y el mtodo implcito de Crank Nicolson (b).
(a) Molculas computacionales del mtodo implcito simple
(b) Molculas computacionales mtodo implcito de Crank Nicolson
4. Ecuaciones HiperblicasComo hicimos en los casos anteriores abordaremos el estudio del tratamiento de este tipo de
ecuaciones mediante la resolucin de una ecuacin particular, pero no debe perderse de vista que los
mtodos que se desarrollaran a continuacin son de aplicacin a todas las ecuaciones que
correspondan a esta clasificacin. La ecuacin a tratar en esta oportunidad es la ecuacin de la onda
unidimensional, cuya expresin es:
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2
2
2
2
t
u
x
u
... (37)
Donde:
u = u(x,t) es la funcin posicin.
2c
1 Siendo c la velocidad de propagacin en el medio.
En este caso, al igual que para las ecuaciones parablicas, debemos conocer las condiciones iniciales
del problema para poder hallar la solucin. Entonces tendremos que:
f(x)x,u 0 ... (38)
Es la configuracin del sistema para t= 0 y
g(x)t
u
0
... (34)
Es la velocidad inicial del sistema para t= 0
Como en el caso de las ecuaciones parablicas pueden plantearse esquemas numricos explcitos e
implcitos.
4.1. Mtodo ExplcitoEl esquema numrico que se obtiene en este caso surge de reemplazar las derivadas por su
aproximacin utilizando diferencias centrales en una interpolacin limitada de segundo orden.
Haciendo esto nos queda la expresin:
1lili1li2
l1i
li
l1i2
uu2ut
uu2u
x
1
... (39)
En esta ecuacin puede apreciarse que la nica incgnita es1l
iu
la cual puede despejarse
explcitamente de la expresin anterior:
1lilil 1ilil 1i2
21l
i uu2uu2ux
tu
.... (40)
Para simplificar la notacin llamaremos
2
22
x
tr , quedando:
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1lil 1i2li2l 1i21li
1li
li
l1i
li
l1i
21li
uurur22uru
uu2uu2uru
.... (41)
Esta ecuacin, que puede ser escrita para todos los nodos interiores del dominio, proporciona un modo
explicito para calcular los valores en cada nodo para un tiempo posterior (nodo i en el tiempo l+1), con
base en los valores actuales del nodo y sus vecinos (nodos i-1, 1 e i+1 en el tiempo l) y a un valor
anterior del nodo considerado (nodo i en el tiempo l-1).
Respecto de las condiciones de contorno, si estas son del tipo forzada o de Dirichlet, donde el valor de
la funcin incgnita es conocido, la ecuacin anterior no debe ser aplicada en los puntos de la frontera,
puesto que all no hay incgnitas. Si las condiciones de contorno son del tipo de Neumann (o condicin
natural) pueden ser incorporadas sin inconvenientes a las ecuaciones hiperblicas mediante la
utilizacin de una condicin del tipo:
l 1il 1i
l1i
l1i
uux2
1t)n(l,
x
tl,u
uux2
1t)m(0,
x
t0,u
... (42)
Donde hemos utilizado una diferencia dividida finita centrada de segundo orden para aproximar a la
derivada respecto de la variable espacial x. 0 y l son los extremos del dominio espacial y m y n
funciones de t o constantes. De esta forma ser posible expresar a los puntos exteriores al dominio en
funcin de los interiores. Luego, aquellos son reemplazados en la ecuacin general y se obtiene una
ecuacin para ser aplicada al primero o al ltimo punto del dominio, en el caso de que en alguno de
ellos la condicin de contorno sea del tipo natural. Por otro lado si planteamos la resolucin para el
primer instante de tiempo posterior al tiempo inicial la expresin general queda:
1-i0 1i20i201i21i uurur22uru ... (43)
Se observa que ha quedado en la ecuacin un punto correspondiente a un tiempo anterior al inicial.
Trataremos de eliminar esa incgnita haciendo uso de la condicin inicial en la cual tenemos prescrita
el valor de la derivada primera de la funcin u respecto de t en el tiempo inicial t0. Utilizando la
diferencia central como aproximacin a la condicin de derivada primera respecto de t queda:
i1i1i guu2
1
... (44)
Despejando el punto exterior, expresndolo en funcin del interior, y reemplazando, se obtiene:
-
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METODOS NUMERICOS EN INGENIERIATEMA: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)EDWIN MARTIN PINO VARGASESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA, UNJBG TACNA
TELEFONOS: 952298638, 241595, #701907 E-MAIL: [email protected]
i0 1i20i201i2211i gt2urur12uru
... (45)
El mtodo explcito, al igual que en las ecuaciones parablicas, es de muy sencilla aplicacin pero
presenta el inconvenientes de que el valor de la funcin, calculado en un punto P genrico solo
depende de los valores de la funcin en los puntos del dominio marcados con una X en la siguiente
figura :
Este conjunto de puntos es llamado dominio de dependencia numrica del punto P. Esto significa que
para encontrar la solucin en P es necesario conocer previamente la solucin en cada uno de estos
puntos.
Como vemos, en esta situacin el valor obtenido en P no depende ni de las condiciones inicialesdefinida para los segmentos DA y BE ni de las condiciones de contorno definidas en los extremos del
intervalo. Si hacemos la suposicin de que tales condiciones cambian, es obvio que el valor real de la
funcin en P se ver afectado. Sin embargo esta situacin no se refleja en nuestro clculo numrico
mediante la aplicacin del mtodo explcito.
Courant, Friedrichs y Lewy demostraron que este esquema numrico converge si se cumple con la
condicin:
1r0
Donde r est definido por la expresin:
2
22
x
tr
... (46)
Tambin se demostr que la estabilidad de la solucin obtenida queda asegurada cuando se verifica
que:
-
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METODOS NUMERICOS EN INGENIERIATEMA: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)EDWIN MARTIN PINO VARGASESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA, UNJBG TACNA
1r
Entonces, la convergencia y estabilidad del esquema numrico explcito quedan aseguradas cuando se
cumple con ambas condiciones en forma simultnea, es decir cuando:
1r0
4.2. Mtodo ImplcitoPara salvar los inconvenientes detallados con anterioridad en el esquema explcito aplicado a este tipo
de ecuaciones, es posible plantear un esquema implcito al costo de perder simplicidad en la
resolucin, puesto que en este caso deberemos resolver un sistema de ecuaciones para hallar la
solucin.
Siguiendo con el ejemplo de la ecuacin de la onda, pero sin perder de vista que el procedimiento
puede generalizarse para todas las ecuaciones de este tipo, tenemos que uno de los esquemasnumricos ms utilizados es:
1l1ii
1lii
1l1ii4
1
l1ii
lii
l1ii2
11l1ii
1lii
1l1ii4
1
21l
ili
1li2
uu2u
uu2uuu2u
x
1uu2u
t
1
(47)
Este se obtiene al reemplazar las derivadas por diferencias centrales en una interpolacin limitada de
segundo orden. Como vemos, en este esquema la derivada segunda respecto de x se plantea como un
promedio ponderado de la misma aplicada en los instantes de tiempo actual (l), anterior (l-1) y
posterior (l+1).
Este operador lleva a obtener un sistema de ecuaciones tridiagonal, y es incondicionalmente estable
para todo valor dex
tr .