as - capitulo 02 - numeros reales

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

Facultad de Ciencias Fısicas y Matem aticas

Introducci on a la Matem atica Universitaria.

520145

Capıtulo 2. Numeros Reales

Prof. Antonio Contreras Quilodran.

Numeros Reales 1 . FCFM.UdeC.

Numeros Reales.

Existe un conjunto R cuyos elementos se llaman numeros reales ,

dotado de una relacion de igualdad y provisto de dos operaciones

binarias internas, la adicion + y la multiplicacion · , que satisfacen

las siguientes propiedades o axiomas.

1. Propiedades de la suma

a) ∀x, y ∈ R : x + y = y + x; conmutatividad

b) ∀x, y, z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z; asociatividad

c) ∃0 ∈ R,∀x ∈ R : x + 0 = x; neutro aditivo

d) ∀x ∈ R,∃ − x ∈ R : x + (−x) = 0. inverso aditivo


Numeros Reales.

2. Propiedades del producto

a) ∀x, y ∈ R : xy = yx; conmutatividad

b) ∀x, y, z ∈ R : x(yz) = (xy)z; asociatividad

c) ∃ 1 ∈ R,∀x ∈ R : x · 1 = x; neutro multipl.

d) ∀x ∈ R, x 6= 0 : ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = 1; inverso multipl.

e) ∀x, y, z ∈ R : x(y + z) = xy + xz.

distributividad del producto en la suma.


Numeros Reales.

Observaciones:

a) Los elementos neutro aditivo 0, neutro multiplicativo 1, inverso

aditivo −x e inverso multiplicativo x−1, x 6= 0, son unicos.

b) x · 0 = 0,∀x ∈ R.

c) R con estas operaciones se dice que es un Cuerpo

conmutativo , la multiplicacion se escribe x · y = xy.

d) La igualdad tiene las siguientes propiedades:

i) es reflexiva, ∀x ∈ R, x = x.

ii) es simetrica, ∀x, y ∈ R, x = y ⇐⇒ y = x.

iii) es transitiva, ∀x, y, z ∈ R, x = y ∧ y = z ⇐⇒ x = z.


Numeros Reales.

Utilizando los axiomas de cuerpo se deducen las reglas

algebraicas que rigen la operatoria con igualdades.

Operatoria algebraica: ∀x, y, z ∈ R

a) x = y =⇒ x + z = y + z;

b) x = y =⇒ xz = yz, z 6= 0;

c) xy = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0;

Definici on . ∀x, y ∈ R existe un unico numero real d tal que

x + d = y, se llama diferencia entre y y x, se escribe

d = y − x. Ademas existe un un unico numero real z tal que

xz = y, se llama cuociente de y y x, se escribe z = y

x= yx−1.


Numeros Reales .

Continuaci on operatoria algebraica: ∀x, y ∈ R

a) −(−x) = x;

b) (−x)y = −xy;

c) (−x)(−y) = xy;

d) x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (xy)−1 = x−1y−1;

e) −(x + y) = (−x) + (−y) = −x − y;

f) (x + y)(x − y) = x2 − y2;

g)x

y

u

v=

xu

yv;

h)x

y+

u

v=

vx + yu

yv.


Numeros Reales.

Orden en R. Para dotar a R de un orden compatible con las

operaciones ya definidas introducimos los llamados axiomas de

orden .

O) Distinguiremos en R un subconjunto no vacıo R+, cuyos

elementos llamaremos numeros reales positivos, tal que:

(O.1) Tricotomıa. ∀x ∈ R se verifica una y solo una de las

proposiciones:

x ∈ R+ ∨ −x ∈ R+ ∨ x = 0.

(O.2) ∀x, y ∈ R+, x + y ∈ R+, R+ es cerrado para la suma

(O.3) ∀x, y ∈ R+, xy ∈ R+, R+ es cerrado para la

multiplicacion.


Numeros Reales.

Definici on. Definimos en R la relacion menor que , simbolizada <

como sigue

∀x, y ∈ R, x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+.

Tambien se escribe y > x. De la definicion es claro que

x ∈ R+ ⇐⇒ x > 0.

Definici on. R− = {x ∈ R : −x ∈ R+}. Luego,

x ∈ R− ⇐⇒ x < 0.

Definici on. Definimos en R la relacion menor o igual que ,

simbolizada ≤ como sigue

∀x, y ∈ R, x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ R+ ∨ x = y.


Numeros Reales.

Relaci on de Orden. La relacion de orden ≤ satisface las

siguientes propiedades:

a) Es reflexiva,∀x ∈ R, x ≤ x

b) Es antisimetrica,∀x, y ∈ R, x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y.

c) Es transitiva,∀x, y, z ∈ R, x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z.

d) Criterio de comparacion,∀x, y ∈ R, x ≤ y o bien y ≤ x.

R con las operaciones y esta relacion de orden se dice que es un

cuerpo conmutativo completamente ordenado


Numeros Reales.

Reglas algebraicas para las desigualdades.

a) ∀x, y, z ∈ R, x ≤ y ⇐⇒ x + z ≤ y + z.

b) ∀x, y, a, b ∈ R, x < y ∧ a < b =⇒ x + a < y + b.

c) ∀x, y ∈ R. Si a > 0 y x < y entonces xa < ya.

Si a < 0 y x < y, entonces xa > ya

d) ∀x, y, a, b ∈ R, x < y ∧ a ≤ b =⇒ xa < yb.

e) xy > 0 ⇐⇒ (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0).

xy < 0 ⇐⇒ (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0).

Definir intervalos, hablar de inecuaciones y resolverlas.


Numeros Reales.

Valor absoluto . Para x ∈ R se define el valor absoluto como

sigue

Si x ≥ 0, entonces |x| = x y si x < 0, entonces |x| = −x.

De la definicion es claro que | − 4| = 4, |4| = 4, |a2| = a2 y

|0| = 0. Se tienen las siguientes propiedades

a) |x| ≥ 0,∀x ∈ R.

b) | − x| = |x|,∀x ∈ R.

c) |x| ≥ x,∀x ∈ R.

d) |xy| = |x|

|y| ,∀x, y ∈ R, y 6= 0.


Numeros Reales.

Valor absoluto: Continuaci on.

∀x, y, z ∈ R.

e) x < y < z ⇐⇒ x < y ∧ y < z; notacion

f) Para a > 0, |x| < a ⇐⇒ −a < x < a;

g) Para a > 0, |x| = a ⇐⇒ x = −a ∨ x = a;

h) Para a > 0, |x| > a ⇐⇒ x < −a ∨ x > a;

i) |x + y| ≤ |x| + |y|; desigualdad triangular

j) | |x| − |y| | ≤ |x − y|.


Numeros Reales.

Subsistemas de R. Se definen los subconjuntos de R.

i) El conjunto de Los numeros Naturales N = {1, 2, 3, ...}.

ii) El conjunto de los numeros enteros Z = N ∪ {0} ∪ N−

iii) El conjunto de los numeros Racionales

Q = {x ∈ R : x =p

q, p, q ∈ Z, q 6= 0}.

iv) El conjunto de los numeros Irracionales I = Qc = R − Q.


Numeros Reales.

Definici on. Potencias y raıces.

i) Exponente natural. ∀n ∈ N, a ∈ R, an = a · a · a · · · a.

ii) Exponente entero. Si p ∈ Z, p < 0, entonces p = −n,

n ∈ N y ap = a−n = 1

an .

iii) Si a ∈ R+, n ∈ N, entonces existe un unico b ∈ R+ tal que

bn = a. b es la raız n- esima de a, se escribe b = n√

a = a1

n .

iv) Si a ∈ R−, n ∈ N y n es impar, entonces existe un una unica

raız n-esima de a. b = n√

a = a1

n .

Por ejemplo, 3√−8 = −2, pues (−2)3 = −8.


Numeros Reales.

Definici on. Potencias y raıces.

v) Si a ∈ R+, p ∈ Z, q ∈ N, entonces la potencia racional de

a se define por:

ap

q = (a1

q )p.

vi) Si a < 0 y q un entero impar, entonces q√

a = a1

q existe.

Luego, la potencia racional es ap

q = (a1

q )p.

Por ejemplo, a = −8 < 0 y q = 3 entero impar, entonces

(−8)2

3 = ((−8)1

3 )2 = ( 3√−8)2 = (−2)2 = 4.


Numeros Reales.

Leyes de potencias para exponente racional.

∀a, b ∈ R+, r, s ∈ Q.

a) ar · as = ar+s

b) ar

as = ar−s.

c) (ar)s = ars.

d) ar · br = (ab)r .

e) ar

br = (ab)r.

f) a−r = 1

ar .


Numeros Reales.

Axioma de Completitud.

Definiciones previas. Para S ⊆ R, S 6= φ, se definen:

a) k es una cota inferior de S si k ≤ x,∀x ∈ S.

b) m es una cota superior de S si x ≤ m,∀x ∈ S.

c) S es acotado inferiormente si tiene cotas inferiores.

d) S es acotado superiormente si tiene cotas superiores.

e) S es acotado si es acotado superiormente e inferiormente.


Numeros Reales.

Axioma de Completitud. Continuaci on.

f) El supremo s de S, si existe, es la menor de las cotas

superiores. Se denota por s = sup(S) y se verifica que

∀x ∈ S, 1) x ≤ s, 2) x ≤ s′ =⇒ s ≤ s′.

g) El ınfimo i de S, si existe, es la mayor de las cotas inferiores.

Se denota por i = inf(S) y se verifica que

∀x ∈ S, 1) i ≤ x, 2) i′ ≤ x =⇒ i′ ≤ i.


Numeros Reales.

Axiomma de Completitud (o axioma del supremo) .

Todo subconjunto S de R, S 6= φ y acotado superiormente posee

supremo.

Ejemplo. Sea S = [−1, 0[. Se tiene que: Los numeros reales

positivos son cotas superiores de S, pues x ∈ R+ =⇒ x ≥ 0,

tambien el cero es una cota superior de S. Luego, como S 6= φ y

es acotado superiormente, el axioma de completitud asegura que

S posee supremo. A saber, sup(S) = 0.


Numeros Reales.

Teorema. Axioma del ınfimo .

Todo subconjunto S de R, S 6= φ y acotado inferiormente posee

ınfimo.

El conjunto S es no vacıo y acotado inferiormente, ya que −4 es

una cota inferior. Luego, por el teorema del ınfimo, S tiene ınfimo.

En este caso inf(S) = −1.


Numeros Reales.

Observaci on . Si S es acotado superiormente (inferiormente),

entonces el supremo (ınfimo) puede pertenecer o no a S. Si

pertenece, entonces el supremo (ınfimo) es el maximo (mınimo)

del conjunto.

En el ejemplo dado, con S = [−1, 0[. inf(S) = −1 ∈ S, el

conjunto tiene mınimo. En cambio, el supremo de S es 0 /∈ S. En

consecuencia, S no tiene maximo.


Numeros Reales.

Definici on. Potencias de exponente real. Para a ∈ R+, x ∈ R,

definimos: 1x = 1 y para a 6= 1 se define:

i). ax = inf{ar : r ∈ Q, r ≤ x}, para 0 < a < 1.

ii). ax = sup{ar : r ∈ Q, r ≤ x}, para 1 < a.

El conjunto Aa = {ar : r ∈ Q, r ≤ x} es no vacıo, acotado

inferiormente en caso i) y superiormente en caso ii). En

consecuencia, el axioma de completitud asegura que existe el

ınfimo y supremo respectivamente. Luego, existe la potencia de

exponente real ax.


Numeros Reales.

Ejemplo. Para a = 3 > 1, se tiene:

3√

2 = sup{3r : r ∈ Q, r ≤√

2}= sup{30, 3

1

2 , 31, 36

5 , ...}

Para a = 4 se tiene:

43 = sup{4r : r ∈ Q, r ≤ 3}= sup{..., 4 1

2 , 41, 42, 45

2 , 64} = 64

Notar que, en este caso dado que el exponente en un numero

natural, se tiene que 43 = 4 · 4 · 4 = 64.


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y x y x

x y y x r

x y si x

y d x y r

e x y z x y y z

suma x

conmutatividad x

x y o bien y