Árvore binária - aula

CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA

Uma ÁRVORE BINÁRIA é uma estrutura de dados NÃO LINEAR.

Uma estrutura LINEAR tem seus elementos armazenados de forma SEQÜENCIAL. Exemplos: Pilhas, Filas e Listas.

Uma estrutura NÃO LINEAR tem seus elementos armazenados de forma NÃO SEQÜENCIAL. Exemplos: Árvores e Grafos.

Exemplos de estruturas lineares

PILHA: FILO – o primeiro que entra é o último que sai. Inserções e remoções acontecem apenas no TOPO.


FILA: FIFO – o primeiro que entra é o primeiro que sai. Inserções acontecem no FIM e remoções acontecem no INÍCIO.


LISTA: uma LISTA pode ser ordenada ou não ordenada.

LISTA ORDENADA: as inserções são feitas pelo programa respeitando a ordenação.

LISTA NÃO ORDENADA: as inserções são feitas pela escolha do usuário, no INÍCIO ou no FIM da LISTA.

Uma PILHA e uma FILA são LISTAS ESPECIALIZADAS.

Exemplos de estruturas NÃO lineares

ÁRVORES

Árvore NÃO binária

Árvore binária

Exemplos de estruturas NÃO lineares

GRAFOS

1

5 4

2

3

CONCEITOS DE ÁRVORE

Ilustrações de árvore binária

6(2(1 4(3)) 8)

6

2 8

1 4 3


Cada elemento da árvore é denominado NÓ

NÓ

NÓNÓ

NÓ

NÓ

NÓ


NÓ RAIZ

NÓRAIZ


DEFINIÇÃO: uma árvore binária é um conjunto finito de elementos que está vazio ou é particionado em três subconjuntos disjuntos.1º subconjunto: nó raiz2º subconjunto: sub-árvore esquerda3º subconjunto: sub-árvore direita


1º subconjunto

NÓ RAIZ

2º subconjunto

SUB-ÁRVORE

ESQUERDA

3º subconjunto

SUB-ÁRVORE DIREITA


A sub-árvore esquerda tem

como raiz o nó 2


PROPRIEDADES:

Todos os itens de uma sub-árvore direita são maiores que a raiz;

Todos os itens de uma sub-árvore esquerda são menores que a raiz;

Cada sub-árvore é também uma árvore binária.


Uma árvore binária pode ser vazia?

Sim, quando não possui nenhum

elemento


Uma árvore binária pode ter sub-árvore direita ou esquerda vazia?

Sim, é necessário olhar o nó raiz da árvore em

questão


Considerando a árvore cuja raiz é o nó de número 6, tem-se uma árvore cuja sub-árvore direita é vazia.


Considerando a árvore cuja raiz é o nó de número 2, tem-se uma árvore cuja sub-árvore esquerda é vazia.


Uma árvore binária pode ter sub-árvore direita e esquerda vazias?

Sim, é necessário olhar o nó raiz da árvore em

questão


Considerando a árvore cuja raiz é o nó de número 8, tem-se uma árvore com sub-árvores direita e esquerda vazias.


Construir uma árvore binária com os seguintes números:35 18 15 78 90 45 37 8 16

Construir uma árvore binária com as seguintes letras:M C T F D V O

ÁRVORE 1

78

9045

378 16

35

18

15

16

ÁRVORE 2

M

TC

D

OF V


O GRAU de um nó representa o seu número de sub-árvores.

Em uma árvore binária o GRAU máximo de um nó é 2.


Grau 2

Grau 1

Grau 0

Grau 0

Esta é uma árvore, mas não é binária

Grau 2

Grau 1

Grau 1

Grau 0


Grau 3

Grau 1

Grau 0

Grau 0


Grau 2Grau 2

Grau 0

Grau 0

Grau 3 Grau 0

Grau 0 Grau 0


O GRAU de uma árvore é igual ao máximo dos graus de todos os seus nós.

Uma árvore binária tem GRAU máximo igual a 2.


Árvore binária

com grau 2


Árvore NÃO binária com

grau 2


Árvore NÃO binária com

grau 3


Nó pai: nó acima e com ligação direta a um outro nó.

Nó filho: são os nós raízes das sub-árvores.

Nós irmãos: são os nós que possuem o mesmo nó pai.


Nó folha ou terminal: nó que não possui filhos.

Nó ancestral: são os nós que estão acima de um nó, mas possuem ligação.

Nó descendente: são os nós que estão abaixo de um nó, mas possuem ligação.


Nós descendentes direito: são os nós que estão abaixo de um nó, possuem ligação e fazem parte da sub-árvore direita.

Nós descendentes esquerdo: são os nós que estão abaixo de um nó, possuem ligação e fazem parte da sub-árvore esquerda.


Nível de um nó: é a sua distância do nó raiz. Logo, o nível do nó raiz é sempre ZERO.

Altura ou profundidade de uma árvore: é o nível do nó mais distante da raiz.

NÓ PAI

Quais os nós pais desta árvore?

Nó 6, pai dos nós 2 e 8

Nó 2, pai dos nós 1 e 4

Nó 4, pai do nó 3

NÓ FILHO

Quais os nós filhos desta árvore?

Nó 8, filho do nó 6

Nó 2, filho do nó 6

Nó 4, filho do nó 2Nó 1, filho do

nó 2Nó 3, filho do

nó 4

NÓS IRMAÕS

Quais os nós irmãos desta árvore?

Nós 2 e 8, irmãos pois são filhos do mesmo nó,

ou seja, filhos do nó 6

Nós 1 e 4, irmãos pois são filhos do mesmo nó,

ou seja, filhos do nó 2

NÓ FOLHA

Quais os nós folha desta árvore?

Nó 8 pois não possui filhos



NÓ ANCESTRAL

Quais os nós ancestrais desta árvore?

O nó 8 possui apenas o nó 6 como ancestral

O nó 2 possui apenas o nó 6 como ancestral

O nó 4 possui o nó 2 e o nó 6 como ancestrais

O nó 3 possui o nó 4, o nó 2 e o nó 6 como ancestrais

O nó 1 possui o nó 2 e o nó 6 como ancestrais

NÓ DESCENDENTE

Quais os nós descendentes desta árvore?

O nó 6 possui como descendentes os nós 2, 8, 1, 4 e

3

O nó 2 possui como descendentes os nós 1, 4 e 3

O nó 4 possui apenas o nó 3 como descendentes

NÓS DESCENDENTES DIREITO

Quais os nós descendentes direito desta árvore?

O nó 6 possui como descendentes direito apenas o nó 8

O nó 2 possui como descendentes direito os nós 4 e 3

O nó 4 não possui nós descendentes direito

NÓS DESCENDENTES ESQUERDO

Quais os nós descendentes esquerdo desta árvore?

O nó 6 possui como descendentes esquerdo os nós 2, 1, 4 e 3

O nó 2 possui como descendentes esquerdo apenas o nós 1

O nó 4 possui como descendentes esquerdo apenas o nó 3

NÍVEL DE UM NÓ

O nó 6 tem nível zero

Os nós 2 e 8 têm nível um

Os nós 1 e 4 têm nível dois

O nó 3 tem nível três

NÍVEL 0

NÍVEL 1

NÍVEL 2

NÍVEL 3

ALTURA OU PROFUNDIDADE DE UMA ÁRVORE

NÍVEL 0

NÍVEL 1

NÍVEL 2

NÍVEL 3

ÁRVORE COM ALTURA OU

PROFUNDIDADE 3

Número máximo de filhosde um nível

Expressão que representa o número máximo de filhos em um nível da árvore binária.

Nº máximo de filhos = 2n

Onde n é nível em questão

Número máximo de filhos de um nível

NÍVEL 0

NÍVEL 1

NÍVEL 2

NÍVEL 3

20 = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

Árvore estritamente binária

Árvore em que todos os nós tem 0 ou 2 filhos.

Árvore binária completa

Árvore em que todos os nós com menos de dois filhos ficam no último e no penúltimo nível.

Árvore binária cheia

Árvore estritamente binária e completa.

Número máximo de nós de uma árvore ESTRITAMENTE binária

Expressão que representa o número máximo de nós de uma árvore estritamente binária.

Nº máximo de nós de uma árvore estritamente binária2n - 1

Onde n é o número de nós FOLHA

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