CINEMTICA DE SISTEMAS MECNICOS COM ACELERAO DE CORIOLIS

Carlos Sergio Pivetta1 carlos.pivetta@etep.edu.br Osvaldo Prado de Rezende1 osvaldo.rezende@etep.edu.br Roberto Grechi1 roberto.grechi@csa.edu.br Mrio Luis Campos1 mario.campos@etep.edu.br 1CETEC Educacional SA, ETEP Faculdades - Engenharias Av. Baro do Rio branco, 882 Jardim Esplanada 12232-800 So Jos dos Campos SP Jos Geraldo Trani Brando2 brandao@feg.unesp.br 2UNESP - Universidade Estadual Paulista, Av. Ariberto Pereira da Cunha, 333 Bairro Pedregulho, 12516-410, Guaratinguet SP

Resumo: O projeto de mecanismos articulados, nos quais esto presentes componentes

(elementos) mecnicos em movimento simultneo de rotao e de deslizamento, tende a exigir

clculos cinemticos complexos. Os resultados da anlise cinemtica tornam-se difceis de

serem obtidos, interpretados e avaliados. Este trabalho apresenta uma alternativa de analise

cinemtica que possibilita obter resultados altamente precisos, de acordo com as

necessidades, e que demandam pequenos esforos matemticos e computacionais. Os

conceitos fundamentais da cinemtica so aplicados, juntamente com um procedimento

matemtico adequado para a realizao dos clculos das velocidades e das aceleraes dos

pontos de interesse do mecanismo. Pode-se observar que, em funo do contedo

apresentado e dos resultados obtidos ao se utilizar o mtodo, a proposta apresenta-se com

simplicidade para implementao e permite alta preciso e confiabilidade dos dados

cinemticos, o que podem ser comparados com publicaes especializadas no assunto. Esta

metodologia de anlise cinemtica poder contribuir com o ensino de engenharia no Brasil.

Palavras-chave: Acelerao de Coriolis, Anlise cinemtica de mecanismos, Cinemtica de

mecanismos com Coriolis

1 INTRODUO

Os sistemas mecnicos durante o funcionamento, se no forem devidamente projetados e avaliados, podem causar problemas que o corpo humano ou os materiais podem no suportar. Norton (2010) apresenta uma abordagem da tolerncia humana acelerao, a qual deve ser de grande interesse e valor na execuo de projetos. muito comum expressar a acelerao baseada na acelerao da gravidade. Norton (2010) apresenta os nveis aproximados de acelerao em gs que os serem humanos enfrentam todos os dias. O conhecimento das velocidades e das aceleraes de determinados pontos dos sistemas mecnicos torna-se muito importante para se evitar os problemas que comumente se apresentam, tais como, vibraes, forte sensibilidade do ser humano e de materiais aos excessivos valores das aceleraes. Geralmente encontram-se dificuldades na determinao das velocidades e das aceleraes de sistemas mecnicos nos casos em que h elementos em movimentos relativos de rotao e de translao simultaneamente.

As velocidades e as aceleraes so importantes no resultado do funcionamento do mecanismo e a determinao pode ser feita por procedimentos grficos, mas no permitem alta preciso nos resultados e destinam-se a poucos pontos de interesse. Ao se utilizar os procedimentos grficos para a anlise cinemtica empregando sistemas auxiliares de desenho os erros podem ser minimizados e tambm o respectivo tempo de anlise (FLORES & CLARO, 2007). Os procedimentos analticos demandam elevados esforos matemticos para se obter os resultados desejados.

Este trabalho tem o objetivo de propor e demonstrar um mtodo de determinao da velocidade e da acelerao dos pontos de interesse dos sistemas mecnicos compostos de elementos que, ao funcionarem, realizam movimentos de rotao e de deslizamento relativo entre si. Uma metodologia para calcular a velocidade e a acelerao de pontos de interesse de um mecanismo apresentada, a partir da publicao de Mansour e Osman (1970), na qual foi aplicada uma pequena perturbao na barra de entrada do mecanismo para determinar as posies dos pontos desejados. Este trabalho poder contribuir com o ensino da Engenharia no Brasil visto que so abordadas metodologias computacionais de relativa facilidade de utilizao.

2 METODOLOGIA

A Figura 1 ilustra um sistema mecnico que possui movimentos de rotao e de translao relativos entre si (MABIE & OCVIRK, 1980) e foi tambm publicado por Mabie e Reinholtz (1987) nas unidades inglesas. O desenvolvimento da metodologia deste trabalho baseado na publicao da soluo dos clculos cinemticos do mecanismo de plaina limadora, tambm denominado de mecanismo de retorno rpido para a fase (posio) ilustrada na Figura 1.

Figura 1 Mecanismo de referncia para a anlise cinemtica: (a) Fase do mecanismo, (b) Posio angular da barra de entrada (Modificado de MABIE e OCVIRK, 1980).

2

(b)

(a)

A denominao do elemento 1 da Figura 1 representa o elo fixo (ou terra) do sistema. A barra 2, cujo raio tem dimenso R2 = 100 mm gira em torno do ponto fixo O2 no sentido horrio em uma velocidade constante no valor de 2 = 10 rad/s.

A barra 2 est conectada por uma pea 3, elo 3, montada no ponto A por meio de um pino o qual permite rotao em relao a barra 2, constituindo-se assim uma junta rotacional. O elo 3 desliza guiado, por exemplo, por um rasgo, sobre o elo 4 que oscila em torno do ponto fixo O4 em funo do movimento da barra 2 e das restries geomtricas do sistema. Desta forma, de acordo a ilustrao da Figura 1, existem trs pontos coincidentes na mesma posio A denominados de A2 do elo 2, A3 do elo 3 e A4 do elo 4.

A anlise cinemtica foi realizada pelo mtodo grfico por Mabie e Ocvirk (1980) para a fase (posio) apresentada, em que foram utilizados os recursos vetoriais de velocidade e de acelerao relativas.

No exemplo do esquema da Figura 1, a componente de Coriolis da acelerao est presente e de acordo com Norton (2010) dever ser sempre considerada quando houver uma velocidade de deslizamento associada a qualquer membro que tambm tenha velocidade angular. O mesmo autor tambm alerta de que ao se fazer a anlise grfica para a acelerao, necessria ateno para reconhecer, calcular e introduzi-la no diagrama vetorial. Este aspecto citado torna-se um problema srio para os estudantes de engenharia ou os profissionais iniciantes.

Ao considerar a trajetria de um ponto P genrico do mecanismo, conhecendo-se o ngulo 2 de posio da barra de entrada pode-se determinar a posio do ponto P. Utilizando-se pequenos incrementos aplicados no ngulo 2 da barra de entrada do sistema, que representam uma perturbao de proximidade da posio anterior, pode-se calcular a nova posio do ponto P, denominado de Pi+1, aps este deslocamento. A Figura 2 ilustra uma trajetria genrica de um ponto P saindo da posio inicial Pi-1, passando pela posio atual Pi e chegando na posio final Pi+1 (PIVETTA et al., 2009).

Figura 2 Ilustrao de uma trajetria genrica do ponto P.

Considerando-se que o ponto P genrico poder ser especificamente os pontos A2, A3 ou

A4 do sistema da Figura 1 podem-se utilizar os conceitos descritos para a aplicao do mtodo proposto para estes pontos.

A velocidade e a acelerao de um ponto de interesse de um mecanismo articulado podem ser determinadas utilizando-se as Equaes 1 e 2 (MABIE & OCVIRK, 1980; MABIE & REINHOLTZ; UICKER, PENNOCK & SHIGLEY, 2003).

=

t

Rlimv P

0tP (1)

=

t

vlima P

0tP (2)

Ao se substituir RP pelos deslocamentos relativos S nas direes x e y na Equao 1 podem-se determinar as velocidades mdias no intervalo e a respectiva resultante. Ao se substituir VP pelas diferenas de velocidades dos sucessivos intervalos podem-se determinar as aceleraes mdias do ponto P nas direes x e y e suas respectivas resultantes. Se o elo de entrada da Figura 1 girar com uma velocidade constante, que o caso do exemplo aqui em estudo, o valor de t pode ser calculado pela Equao 3, obtido em segundos ao se utilizar 2 em graus e 2 em rad/s.

t = 2 2 / ( 360 2 ) (3)

Neste caso, ao se utilizar o incremento angular 2 de 0,1 no ngulo de posio 2 da barra de entrada pode-se obter o valor aproximadamente para t = 1,745 . 10-4 segundos. As velocidades e as aceleraes do ponto P genrico nas direes x e y e os respectivos mdulos genrico podem ser determinados pelas Equaes 4 9.

vxPi = ( xPi - xPi-1 ) / t (4)

vyPi = (yPi yPi-1) / t (5)

vPi = (vxPi 2 + vyPi

2)1/2 (6)

axPi = (vxPi vxPi-1) / t (7)

ayPi = (vyPi vyPi-1) / t (8)

aPi = (axPi 2 + ayPi

2)1/2 (9)

Estabelecendo-se um sistema de coordenadas global com a origem no ponto O4 do esquema da Figura 1, o qual o centro de rotao da barra 4, pode-se, por meio da Figura 3, observar as variveis serem utilizadas.

O ponto O2 o centro de rotao da barra de entrada 2 que gira em velocidade angular constante no sentido horrio (SH). A posio A do mecanismo contm os pontos A2, A3 e A4 pertencentes s barras 2, 3 e 4 respectivamente no mesmo instante. A posio do ponto O2 em relao ao ponto O4 refere-se s coordenadas xO2 e yO2. As coordenadas do ponto A e do ponto B sero denominadas respectivamente de xA, yA e xB, yB. As coordenadas dos pontos A2, da pea 2, A3 da pea 3 e A4 da pea 4 sero denominadas de xA2, yA2, xA3, yA3 e xA4, yA4, respectivamente.

Figura 3 Ilustrao do sistema de coordenadas e das variveis.

De acordo com o esquema da Figura 3 e aplicando-se a geometria analtica podem-se determinar as coordenadas de posio xA2 e yA2 do ponto A2 conhecendo-se a posio angular 2 e as distancias xO2 e yO2 (no caso em estudo os valores so xO2 = 0 e yO2 = 400 mm) utilizando-se as Equaes 10 e 11, respectivamente.

xA2 = xO2 + R2 cos 2 (10) yA2 = yO2 + R2 sen 2 (11)

Conhecendo-se as coordenadas do ponto A2 para a posio angular 2 da barra de entrada podem-se determinar as velocidades e as aceleraes mdias deste ponto utilizando-se os conceitos anlogos das Equaes 4 a 9. O ngulo de posio 4 da barra 4 para cada posio do ngulo 2 da barra de entrada pode ser determinado pela Equao 12.

4 = tg-1 ( xA2 / yA2 ) (12)

Ao se aplicarem as Equaes 1 e 2 utilizando-se o valor de 4 em lugar dos valores de RP podem-se obter as velocidades angulares 4 e as aceleraes angulares 4 mdias da barra 4 no intervalo de tempo t, usando-se as Equaes 13 e 14.

4i = ( 4i 4i-1 ) / t (13)

4i = ( 4i 4i-1 ) / t (14)

As designaes 4i e 4i-1 representam as posies angulares atuais e anteriores da barra 4, e 4i as suas respectivas velocidades angulares. Ao se observar os valores obtidos de 4i,

XB

quando forem positivos, significam sentidos anti-horrios (SAH) e negativos, sentidos horrios (SH). A mesma interpretao deve ser feita para 4i.

Conhecendo-se as coordenadas do ponto A2 para a posio angular 2 da barra de entrada podem-se determinar as velocidades e as aceleraes mdias deste ponto utilizando-se analogamente as Equaes 4 a 9.

A distncia O4A, a qual representa O4A4, o valor do raio R4. Ao se aplicar analogamente as Equaes 1 e 2 podem-se determinar os mdulos das velocidades vA4 e das aceleraes normais e tangenciais do ponto A4, a

NA4 e aTA4. Portanto, os mdulos das

velocidades e das aceleraes normais e tangenciais dos pontos A4, utilizando-se as Equaes 15 a 17.

vA4 = 4 . R4 (15) aNA4 = (vA4 )

2 / R4 (16) aTA4 = 4 . R4 (17)

Os mdulos das velocidades e das aceleraes do ponto B (vB, aNB e aTB), podem ser determinados de forma anloga utilizada para o ponto A4 usando a distancia O4B como o valor do raio em lugar de O4, nas Equaes 15 a 17.

Os valores das velocidades e das aceleraes de deslizamento do bloco 3, o qual guiado sobre o elo 4 (ponto A3), aqui denominadas de vA4A2 e aA4A2, respectivamente, podem ser determinados, de forma aproximada, desprezando-se o diferencial angular na velocidade relativa causado por 4 visto muito pequeno, usando-se as Equaes 18 e 19, analogamente s Equaes utilizadas para o ponto A4.

vA4A2 = ( R4i - R4i-1 ) / t (18) aA4A2 = (vA4A2 i - vA4A2 i-1 ) / t (19)

Os sinais positivos dos valores das velocidades vA4A2 significam que o bloco deslizante

3 (ponto A3) est se movimentando para a periferia e os negativos, para o centro de rotao O4 da barra 4. Os sinais positivos dos valores das aceleraes aA4A2 significam que o bloco deslizante 3 est se movimentando acelerando para a periferia e os negativos, acelerando para o centro de rotao O4 da barra 4.

Os valores das componentes das aceleraes de aC (acelerao de Coriolis) podem ser determinados pela Equao 20.

aC = 2 . vA4A2 . 4 (20)

importante apresentar, de acordo com Soni (1974), o esquema ilustrado na Figura 4 para a interpretao do sentido da acelerao de Coriolis que pode ser obtida com sinal positivo ou negativo por meio da Equao 20.

Pode-se observar que se a acelerao de Coriolis aC obtida tiver sinal positivo, seu sentido ser de forma que contribua com a acelerao angular da barra 4 no sentido anti-horrio, ou seja, no mesmo sentido da orientao da acelerao angular positiva 4, caso contrrio, ser no sentido horrio. O que foi descrito poder ser visto na Figura 4, em que h 4 possibilidades de combinaes diferentes para o par 4, vA4 resultante dos clculos anteriores.

Figura 4 - Sentido da acelerao de Coriolis aC ( Modificado de SONI, 1974).

Na anlise cinemtica geralmente os componentes so considerados como corpos rgidos,

ou seja, sem deflexes ou sem deformaes. As juntas so consideradas sem folgas ou sem interferncias e as dimenses so consideradas nominais, sem variaes dimensionais. Estas consideraes sero utilizadas neste trabalho.

3 RESULTADOS

Os resultados publicados por Mabie e Ocvirc (1980) para o sistema mecnico ilustrado na Figura 1 esto apresentados na Tabela 1. Os autores realizaram a anlise cinemtica pelo mtodo grfico, conforme mencionado na referencia.

Ao se considerar a posio da barra 2 de entrada, em funo das dimenses estabelecidas na Figura 1, o valor da posio angular resulta em aproximadamente de 2 = 218,7. Os valores obtidos pelo mtodo proposto observando-se a Tabela 1 podem ser comparados com os valores publicados. Foi utilizado um incremento angular na posio da barra de entrada de 2 = 0,1.

Tabela 1 Resultados da anlise cinemtica para 2 = 218,7.

Parmetro Unidade Resultados de Mabie e Ocvirc (1980)

Resultados do mtodo proposto

vA4 m/s 0,325 0,35 vA4A2 m/s 0,950 0,94 aA4 m/s

2 11,88 12,01 aAT4 m/s

2 11,85 12,00 4 rad/s 1,3 (SAH) 1,40 (SAH)

4 rad/s2 47,4 (SH) 48,03 (SH)

AC m/s2 2,47 2,63

x

y

O4

4 vA4

aC

x

y

O4 4

vA4

aC

x

y

O4

4

vA4 aC

x

y

O4 4

vA4

aC

Pode-se observar pela Tabela 1 que h pequena variao nos resultados e que ao se realizar a anlise cinemtica pelo processo grfico, geralmente os valores obtidos tendem a apresentarem pequenas diferenas em relao aos valores reais.

A Figura 5 ilustra os mdulos das velocidades e das aceleraes dos pontos A4 e B. As Figuras 5a) e 5b) ilustram os grficos dos mdulos das velocidades dos pontos A4 (vA4) e B (vB) em funo da posio angular da barra de entrada, a barra 2.

Figura 5 Mdulos das velocidades e das aceleraes: a) Velocidades do ponto A4 e B; b) Aceleraes dos pontos A4 e B.

A Figura 6 ilustra os grficos das aceleraes dos pontos B, A4 e de Coriolis (aC). A

Figura 6a) apresenta o grfico dos mdulos da acelerao de Coriolis (aC) em funo da posio angular da barra 2 de entrada e na Figura 6b) so apresentados os grficos dos mdulos das aceleraes do ponto A4 e de Coriolis com velocidades angulares 2 = 10 rad/s e 2 = 5 rad/s, o que permite avaliar a magnitude da aC e aA4.

a) b) Figura 6 a) Aceleraes dos pontos B, A4 e de Coriolis para 2 = 10 rad/s; b) Comparao

das aceleraes do ponto A4 e de Coriolis para 2 = 5 rad/s e 2 = 10 rad/s.

A Figura 7 ilustra a velocidade 4 e acelerao 4 angulares da barra 4 para o funcionamento do mecanismo no ciclo completo de Coriolis; b) Comparao da acelerao de Coriolis com as dos pontos A4 e B.

2

vB

vA4

a) b)

aB

aA4

2

aC 2=10rad/s

aA4 2=10rad/s

aA4 2=5rad/s

aC 2=5rad/s

2 2

aB

aC aA4

a) b)

Figura 7 a) Velocidade angular da barra 4; b) Acelerao angular da barra 4.

4 CONCLUSES

Os resultados deste trabalho demonstraram que os procedimentos propostos, ao se utilizar recursos computacionais relativamente simples, permitiram analisar a cinemtica do mecanismo estudado em todo o ciclo de funcionamento. possvel aplicar os procedimentos propostos para sistemas mais complexos de forma a minimizar os esforos na analise cinemtica. Foi possvel verificar, no exemplo estudado, a participao da acelerao de Coriolis na acelerao total dos pontos da barra movida. Comparando-se a literatura de referencia e os valores obtidos neste trabalho pode-se concluir que permite confiabilidade e contribui para o ensino da Engenharia no Brasil.

4.1 Autorizaes/Reconhecimento

Os autores declaram que so responsveis por garantir o direito de publicar todo o contedo de seu trabalho.

5 CONSIDERAES FINAIS

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CETEC Educacional SA - ETEP Faculdades de Tecnologia de So Jos dos Campos, UNESP - Universidade Estadual Paulista e ao CREA SP Conselho Regional de Engenharia Arquitetura e Agronomia do Estado de So Paulo que proporcionaram condies para a realizao deste trabalho, o que objetivou o aperfeioamento do ensino de Engenharia no Brasil.

6 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

FLORES, P., CLARO, J. C. P. Cinemtica de mecanismos. 1. ed. Coimbra: Edies Almedina S.A., 2007.

2

2

MABIE, H. H., OCVIRK, F. W. Mecanismos e dinmica das mquinas. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos Editora, 1980.

MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of machinery. 1. ed. New York: Editora John Wiley & Sons, 1987.

MANSOUR, W.M., OSMAN, M. O. M. A Proximity Perturbation Method for Linkage Kinematics. United Engineering Center-ASME Publication, 70-Mech-4, New York, 1970.

NORTON, R. L. Design of machinery An introduction to the synthesis and analysis of mechanisms and machines. 1. ed. New York: Editora McGraw-Hill, 1999.

NORTON, R. L. Cinemtica e dinmica dos mecanismos. 1. ed. Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2010.

PIVETTA, C. S., REZENDE, O. P., GRECHI, R., CAMPOS, M. L., BRANDO, J. G. T., Abordagem Geomtrica e Computacional na Anlise de Velocidade e Acelerao de Mecanismos de 4 Barras. In: XXXVII CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAO EM ENGENHARIA., 614., 2009. Recife. Anais... Recife: COBENGE/ABENGE, 2009. 1 CD-ROM.

SHIGLEY, J. E.; UICKER Jr, J. J. Theory of machines and mechanisms. 1. ed. New York: Editora McGraw-Hill, 1997.

SONI, A. H. Mechanism synthesis and analysis. 1. ed. New York: Editora McGraw-Hill, 1974.

KNEMATIC OF MECHANICAL SYSTEMS WITH CORIOLIS ACCELERATION

Abstract: The articulated mechanisms design, which Coriolis acceleration component is

presented due to components in simultaneous rotation motion and sliding motion, the

kinematics calculus are complex and the results of the kinematic analysis become difficult to

obtain, to understand and to verify. This paper presented an alternative for kinematic analysis

to get high precision results, according to necessary and demand low mathematics efforts and

low computational resources. The fundamental concepts of kinematic were used together the

appropriated mathematic for speeds and accelerations calculus of the mechanism interested

points. It can be observed according to the presented and obtained results, which the

proposed method of this implementation is simple and permit high precision and reliability on

the kinematic analysis values. It could be compared with specialized publications in this

subject. This analysis methodology may contribute to the of Engineering in Brazil.

Key-words: Coriolis acceleration, Mechanisms kinematic analysis, Mechanism kinematic with Coriolis.