arquimedes
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ARQUIMEDES
INTRODUCCIÓN
Nació y murió en Siracusa. Fue sin duda el mayor matemático y físico de la antigüedad. Arquímedes, aristócrata en cuerpo y alma, era hijo del astrónomo Fidias. Se dice que era pariente de Hierón II. De todos modos se hallaba en excelentes relaciones con Hierón II y su hijo Gelón, quienes tenían por él gran admiración.
Aprendió probablemente de su padre un sin fin de disciplinas matemáticas, para proseguir sus estudios en la escuela de Alejandría, Egipto. En Egipto hizo su primer gran invento, la cóclea, una especie de máquina que servía para elevar Las aguas y regar ciertas regiones del Nilo, donde no Llegaba el agua durante
Las inundaciones. De vuelta a Siracusa, alternó inventos mecánicos con estudios de mecánica teórica y altas matemáticas. Entre sus inventos cabe destacar numerosas máquinas de guerra, un método para la determinación del peso específico de los cuerpos y un planetario mecánico. Su historia está llena de anécdotas y algunas de sus frases han pasado a la historia: Dame un punto de apoyo y moveré la Tierra, que resume el principio de la palanca, formulado por Arquímedes.
Según la tradición, Arquímedes es el tipo perfecto del gran matemático que el pueblo Concibe. Se olvidaba de comer cuando estaba ensimismado en La Matemática. Su falta de atención por el vestido quedó de manifiesto cuando hizo su descubrimiento fundamental de que un cuerpo que flota pierde de peso una cantidad igual a la del líquido que desaloja (principio de Arquímedes) salió del baño, en el cual había hecho el descubrimiento al observar su propio cuerpo flotante, y corrió por las calles de Siracusa, completamente desnudo, gritando: Eureka,… Eureka (lo encontré,… lo encontré). Lo que había encontrado era la primera Ley de la Hidrostática.
Refiere la historia que un orfebre había adulterado el oro de una corona para Hierón II mezclándolo con plata, y el tirano, al sospechar el engaño, había planteado a Arquímede5 el problema. Cualquier estudiante sabe cómo se resuelve, mediante un simple experimento, y algunas fáciles cuentas aritméticas, basadas en el peso específico
Arquímedes fue una especie de águila solitaria. Siendo joven había estudiado breve tiempo en Alejandría Egipto, donde contrajo dos amistades íntimas, Conan, un matemático de talento por quien Arquímedes5 tenía un alto concepto personal e intelectual, y Eratóstenes, también buen matemático. Estos dos, particularmente Conan, parece que fueron los únicos hombres a quienes Arquímedes participó sus pensamientos seguro de ser Comprendido Algunos de sus trabajos más complicados fueron comunicados por cartas a Canon. Más tarde, cuando Canon murió, Arquímede5 mantuvo correspondencia con Dositeo, un discípulo de Conan.
I. BIOGRAFÍA
Hay pocos datos fiables sobre la vida de Arquímedes. Sin embargo, todas las fuentes coinciden en que era natural de Siracusa y que murió durante el desenlace del sitio de Siracusa. Arquímedes nació c. 287 a. C. en el puerto marítimo de Siracusa (Sicilia, Italia), ciudad que en aquel tiempo era una colonia de la Magna Grecia. Conociendo la fecha de su muerte, la aproximada fecha de nacimiento está basada en una afirmación del historiador bizantino Juan Tzetzes, que afirmó que Arquímedes vivió hasta la edad de 75 años.
Entre los pocos datos ciertos sobre su vida, Diodoro Sículo nos aporta uno según la cual es posible que Arquímedes, durante su juventud, estudiase en Alejandría, en Egipto. El hecho de que Arquímedes se refiera en sus obras a científicos cuya actividad se desarrollaba en esa ciudad, abona la hipótesis: de hecho, Arquímedes se refiere a Conon de Samos como su amigo en Sobre la esfera y el cilindro, y dos de sus trabajos (El Método de los Teoremas Mecánicos y el Problema del Ganado) están dedicados a Eratóstenes de Cirene.
Arquímedes murió c. 212 a. C. durante la Segunda Guerra Púnica, fue asesinado al final del asedio por un soldado romano, contraviniendo las órdenes del general romano, Marcelo, de respetar la vida del gran matemático griego. Existen diversas versiones de la muerte de Arquímedes: Plutarco, en su relato, nos da hasta tres versiones diferentes. De acuerdo con su relato más popular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando la ciudad fue tomada. Un soldado romano le ordenó ir a encontrarse con el General, pero Arquímedes hizo caso omiso a esto, diciendo que tenía que resolver
antes el problema. El soldado, enfurecido ante la respuesta, mató a Arquímedes con su espada. Sin embargo, Plutarco también brinda otros dos relatos menos conocidos de la muerte de Arquímedes, el primero de los cuales sugiere que podría haber sido asesinado mientras intentaba rendirse ante un soldado romano, y mientras le pedía más tiempo para poder resolver un problema en el que estaba trabajando. De acuerdo con la tercera historia, Arquímedes portaba instrumentos matemáticos, y fue asesinado porque el soldado pensó que eran objetos valiosos. Tito Livio, por su parte, se limita a decir que Arquímedes estaba inclinado sobre unos dibujos que había trazado en el suelo cuando un soldado que desconocía quién era le mató. En cualquier caso, según todos los relatos, el general Marcelo se mostró furioso ante la muerte de Arquímedes, debido a que lo consideraba un valioso científico, y había ordenado que no fuera herido.
Los relatos sobre Arquímedes fueron escritos por los historiadores de la antigua Roma mucho tiempo después de su muerte. El relato de Polibio sobre el asedio a Siracusa en su obra Historias (libro VIII) fue escrito alrededor de setenta años después de la muerte de Arquímedes, y fue usado como fuente de información por Plutarco y Tito Livio. Este relato ofrece poca información sobre Arquímedes como persona, y se enfoca en las máquinas de guerra que se decía que había construido para defender la ciudad.
II. ESCRITOS
Las obras de Arquímedes fueron originalmente escritas en
griego dórico, el dialecto hablado en la antigua Siracusa.
El trabajo escrito de Arquímedes no se ha conservado tan
bien como el de Euclides, y siete de sus tratados sólo se
conocen a través de referencias hechas por otros autores.
Pappus de Alejandría, por ejemplo, menciona Sobre hacer
esferas y otro trabajo sobre
poliedros, mientras que Teón
de Alejandría cita un comentario
sobre la refracción de una
obra perdida titulada Catoptrica.
Durante su vida, Arquímedes
difundió los resultados de su trabajo a través de la
correspondencia que mantenía con los matemáticos de
Alejandría. Los escritos de Arquímedes fueron recolectados
por el arquitecto bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 d. C.),
mientras que los comentarios sobre los trabajos de
Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI ayudaron a
difundir su trabajo a un público más amplio. La obra de
Arquímedes fue traducida al árabe por Thābit ibn Qurra
(836–901 d. C.), y al latín por Gerardo de Cremona (c. 1114–
1187 d. C.). Durante el Renacimiento, en 1544, el Editio
Princeps (Primera edición) fue publicado por Johann
Herwagen en Basilea, con la obra de Arquímedes en griego y
latín. Alrededor del año 1586, Galileo Galilei inventó una
balanza hidrostática para pesar metales en aire y agua que
aparentemente estaba inspirada en la obra de Arquímedes.
III. DESCUBRIMIENTOS E INVENCIONES.
1. LA PALANCA. Entre sus mas conocidos aportes está el
estudio de los 3 géneros de palancas, que se simbolizan con:
el sube y baja, la carretilla y la caña de pescar. Pudo
desarrollar con sencillas proporciones, las longitudes
necesarias y los esfuerzos que se debían realizar para
levantar pesadas cargas. Es conocida su frase “ Dadme una
palanca y un punto de apoyo y moveré el mundo”
Fuerzas actuantes
Sobre la barra rígida que constituye una palanca actúan 3
fuerzas y 2 brazos de potencia:
La potencia; P: es la fuerza que aplicamos
voluntariamente con el fin de obtener un resultado;
ya sea manualmente o por medio de motores u
otros mecanismos.
La resistencia; R: es la fuerza que vencemos,
ejercida sobre la palanca por el cuerpo a mover. Su
valor será equivalente, por el principio de acción y
reacción, a la fuerza transmitida por la palanca a
dicho cuerpo.
La fuerza de apoyo: es la ejercida por el fulcro
sobre la palanca. Si no se considera el peso de la
barra, será siempre igual y opuesta a la suma de
las anteriores, de tal forma de mantener la palanca
sin desplazarse del punto de apoyo, sobre el que
rota libremente.
Brazo de potencia; Bp: la distancia entre el
punto de aplicación de la fuerza de potencia y el punto de
apoyo.
Brazo de resistencia; Br: distancia entre la fuerza de
resistencia y el punto de apoyo.
Ley de la palanca
En física, la ley que relaciona las fuerzas de una palanca en
equilibrio se expresa mediante la ecuación:
Ley de la palanca: Potencia por su brazo es igual a
resistencia por el suyo. Siendo P la potencia, R la
resistencia, y Bp y Br las distancias medidas desde el
fulcro hasta los puntos de aplicación
de P y Rrespectivamente, llamadas brazo de
potencia y brazo de resistencia.
2. TORNILLO DE ARQUÍMEDES
El famoso tornillo era una superficie helicoidal arrollada
sobre un eje y por medio del sobre un eje y por medio del
giro de una manivela, permitía elevar agua y así regar varias
zonas de cultivo, además de otros usos domésticos.
Es la base de los tornillos actuales, de los elevadores de
actuales, de los elevadores de granos y de las bombas a
tornillo que se usan para mover líquidos espesos como por
ejemplo el dentífrico, pasta de celulosa para la industria del
papel u otras industrias del papel u otras pastas industriales.
3. LA CORONA DORADA.
En el siglo III a.C., en la ciudad de Siracusa
gobernaba el rey Hierón II. Este rey encargó la
elaboración de una nueva corona de oro a un
orfebre, a quien dio un lingote de oro puro para
realizarla.
Cuando el orfebre terminó el trabajo y entregó la
corona, al rey comenzó a asaltarle una duda. El
orfebre pudo haber sustituido parte del oro por una
cantidad de cobre de forma que el peso de la corona
fuese el mismo que el del lingote. El rey encargó a
Arquímedes, famoso sabio y matemático de la
época, que estudiase el caso.
El problema era complejo y Arquímedes estuvo un tiempo
pensándolo. Un día, estando en los baños, se dio cuenta de que,
al introducirse en una bañera rebosante de agua, ésta se vertía
al suelo. Ese hecho le dio la clave para resolver el problema y
se cuenta que, lleno de alegría, salió a la calle desnudo
gritando: «¡Eureka!», que en griego significa: «¡Lo encontré!» o
«¡Lo resolví!».
Arquímedes pesó la corona y al poder determinar exactamente
el volumen, pudo con esto calcular su volumen, pudo con esto
calcular peso específico, debido a la fuerza de empuje que
provocan los líquidos.
Pe = P / V( kgf/ dm3 )
Pudo determinar que la corona era falsa y el deshonesto
orfebre no la pasó muy bien. Estos estudios luego fueron
empleados en varios usos, siendo los mas reconocidos : los
barcos que mediante su línea de flotación, se puede calcular la
carga máxima y también los submarinos que cuentan con
tanques que se llenan de agua cuando quieren sumergirse y se
vacían para poder subir a la
4. LA GARRA DE ARQUÍMEDES
La garra de Arquímedes era un brazo similar al de las grúas
que Arquímedes usó como arma de asedio contra los barcos
romanos.
La garra de Arquímedes es un
arma que fue diseñada para
defender la ciudad de Siracusa
del asedio al que la habían
sometido los romanos.
También conocida como "el
agitador de barcos", la garra consistía en un brazo
semejante a una grúa de donde estaba suspendido un
enorme gancho de metal. Cuando se dejaba caer la garra
sobre un barco enemigo el brazo se balancearía en
sentido ascendente, levantando el barco fuera del agua y
posiblemente hundiéndolo. Ha habido experimentos
modernos con la finalidad de probar la viabilidad de la garra, se
construyo una versión real del arma y se concluyó que era un
dispositivo tan factible como cualquier otro actual.
5. LOS RAYOS DE CALOR
Arquímedes ideó una manera de utilizar la luz del Sol para
incendiar barcos, mediante la utilización de una gran
cantidad de espejos enfocados en un mismo punto. De esta
manera, se generaba una temperatura tan elevada que las
embarcaciones comenzaban a arder. Cuenta la leyenda que
al hallarse sitiado en Siracusa, por los romanos, Arquímedes
utilizó el rayo de calor para repeler uno de sus ataques.
6. EL PALIMPSESTO DE ARQUÍMEDES
Es una de las principales fuentes a partir de las cuales se
conoce la obra de Arquímedes. En 1906, el profesor Johan
Ludvig Heiberg visitó Constantinopla y examinó un
pergamino de piel de cabra de 174 páginas con oraciones
escritas en el siglo XIII d. C. Descubrió que se trataba de un
palimpsesto, un documento
con texto que ha sido
sobrescrito encima de una
obra anterior borrada. Los
palimpsestos se creaban
mediante el rascado de la tinta
de obras existentes para luego
reusar el material sobre el que
estaban impresas, lo cual era una práctica común en la Edad
Media debido a que el papel vitela era caro. Las obras más
viejas que se podían encontrar en el palimpsesto fueron
identificadas por los académicos como copias del siglo X de
tratados de Arquímedes que anteriormente eran
desconocidos. El pergamino pasó cientos de años en la
biblioteca de un monasterio de Constantinopla, antes de ser
vendido a un coleccionista privado en la década de 1920. El
29 de octubre de 1998 fue vendido en una subasta a un
comprador anónimo por dos millones de dólares en
Christie's, Nueva York. El palimpsesto contiene siete
tratados, incluyendo la única copia hasta entonces conocida
de la obra Sobre los cuerpos flotantes en el original en
griego. Es también la única fuente de El método de los
teoremas mecánicos, al que se refirió Suidas y que se creyó
perdido para siempre. Stomachion también fue descubierto
en el palimpsesto, con un análisis más completo del puzzle
que el que se podía encontrar en textos anteriores.
7. TRABAJOS CONSERVADOS
a) SOBRE EL EQUILIBRIO DE LOS PLANOS (DOS
VOLÚMENES)
El primer libro consta de quince proposiciones con siete
axiomas, mientras que el segundo consta de diez
proposiciones. En esta obra, Arquímedes explica la ley de
la palanca, afirmando lo siguiente:
Las magnitudes están en equilibrio a distancias
recíprocamente proporcionales a sus pesos.
Arquímedes usa los principios derivados para calcular las
áreas y los centros de gravedad de varias figuras
geométricas, incluyendo triángulos, paralelogramos y
parábolas.
b) SOBRE LA MEDIDA DE UN CÍRCULO
Se trata de una obra corta, consistente en tres
proposiciones. Está escrito en forma de una carta a
Dositeo de Pelusio, un alumno de Conón de Samos. En
la proposición II, Arquímedes muestra que el valor del
número π (Pi) es mayor que 223/71 y menor que 22/7.
Esta cifra fue utilizada como aproximación de π a lo
largo de la Edad Media e incluso aún hoy se utiliza
cuando se requiere de una cifra aproximada.
c) SOBRE LAS ESPIRALES
Esta obra, compuesta de 28 proposiciones, también
está dirigida a Dositeo. El tratado define lo que hoy se
conoce como la espiral de Arquímedes. Esta espiral
representa el lugar geométrico en el que se ubican los
puntos correspondientes a las posiciones de un punto
que es desplazado hacia afuera desde un punto fijo con
una velocidad constante y a lo largo de una línea que
rota con una velocidad angular constante. En
coordenadas polares, (r, θ) la elipse puede definirse a
través de la ecuación
siendo a y b números reales. Este es uno de los
primeros ejemplos en los que un matemático griego
define una curva mecánica (una curva trazada por un
punto en movimiento).
d) SOBRE LA ESFERA Y EL CILINDRO (DOS
VOLÚMENES)
En este tratado, dirigido también a Dositeo, Arquímedes
llega a la conclusión matemática de la que estaría más
orgulloso, esto es, la relación entre una esfera y un
cilindro cirscunscrito con la misma altura y diámetro. El
volumen es para la esfera, y 2πr3 para el cilindro.
El área de la superficie es 4πr2 para la esfera, y 6πr2
para el cilindro (incluyendo sus dos bases), donde r es el
radio de la esfera y del cilindro. La esfera tiene un área
y un volumen equivalentes a dos tercios de los del
cilindro. A pedido del propio Arquímedes, se colocaron
sobre su tumba las esculturas de estos dos cuerpos
geométricos.
e) SOBRE LOS CONOIDES Y ESFEROIDES
Este es un trabajo en 32 proposiciones y también
dirigido a Dositeo en el que Arquímedes calcula las
áreas y los volúmenes de las secciones de conos, esferas
y paraboloides.
f) SOBRE LOS CUERPOS FLOTANTES (DOS
VOLÚMENES)
En la primera parte de este tratado, Arquímedes explica
la ley del equilibrio de los fluidos, y prueba que el agua
adopta una forma esférica alrededor de un centro de
gravedad. Esto puede haber sido un intento de explicar
las teorías de astrónomos griegos contemporáneos,
como Eratóstenes, que afirmaban que la tierra es
esférica. Los fluidos descritos por Arquímedes no son
auto-gravitatorios, debido a que él asume la existencia
de un punto hacia el cual caen todas las cosas, del cual
deriva la forma esférica. En la segunda parte,
Arquímedes calcula las posiciones de equilibrio de las
secciones de los paraboloides. Esto fue, probablemente,
una idealización de las formas de los cascos de los
barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base bajo
el agua y la parte superior sobre el agua, de una manera
similar a como flotan los icebergs. Arquímedes define en
su obra el principio de flotabilidad de la siguiente
manera:
Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un
empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido
desalojado.
g) LA CUADRATURA DE LA PARÁBOLA
En este trabajo de 24 proposiciones, dirigido a Dositeo,
Arquímedes prueba a través de dos métodos distintos
que el área cercada por una parábola y una línea recta
es 4/3 multiplicado por el área de un triángulo de igual
base y altura. Obtiene este resultado calculando el
valor de una serie geométrica que suma al infinito con
el radio 1/4.
h) OSTOMACHION
En esta obra, cuyo tratado más completo que lo
describe se encontró dentro del Palimpsesto de
Arquímedes, Arquímedes presenta un rompecabezas de
disección similar a un Tangram. Arquímedes calcula las
áreas de 14 piezas que pueden ser ensambladas para
formar un cuadrado. Una investigación publicada en
2003 por el Doctor Dr. Reviel Netz de la Universidad de
Stanford argumentaba que Arquímedes estaba
intentando determinar en cuántas formas se podía
ensamblar las piezas para formar un cuadrado. Según
Netz, las piezas pueden formar un cuadrado de 17.152
maneras distintas. El número de disposiciones se
reduce a 536 cuando se excluyen las soluciones que son
equivalentes por rotación y reflexión. Este puzle
representa un ejemplo temprano de un problema de
combinatoria.
i) EL PROBLEMA DEL GANADO DE ARQUÍMEDES
Esta obra fue descubierta por Gotthold Ephraim
Lessing en un manuscrito griego consistente en un
poema de 44 líneas, en la Herzog August Library en
Wolfenbüttel, Alemania, en 1773. Está dirigida a
Eratóstenes y a los matemáticos de Alejandría y, en
ella, Arquímedes los reta a contar el número de reses
en la Manada del Sol, resolviendo un número de
ecuaciones diofánticas simultáneas. Hay una versión
más difícil del problema en la cual se requiere que
algunas de las respuestas sean números cuadrados.
Esta versión del problema fue resuelta por primera vez
por A. Amthor en 1880, y la respuesta es un número
muy grande, aproximadamente 7,760271×10206544.
j) EL CONTADOR DE ARENA
En este tratado, Arquímedes cuenta el número de
granos de arena que entrarían en el universo. Este libro
menciona la teoría heliocéntrica del Sistema solar
propuesta por Aristarco de Samos, e ideas
contemporáneas acerca del tamaño de la Tierra y las
distancias de varios cuerpos celestes. Usando un
sistema de números basado en la capacidad de la
miríada, Arquímedes concluye que el número de granos
de arena que se requerirían para llenar el universo
sería de 8×1063, en notación moderna.
k) EL MÉTODO DE TEOREMAS MECÁNICOS
Este tratado, que se considerado perdido, fue
reencontrado gracias al descubrimiento del
Palimpsesto de Arquímedes en 1906. En esta obra,
Arquímedes emplea el cálculo infinitesimal, y muestra
cómo el método de fraccionar una figura en un número
infinito de partes infinitamente pequeñas puede ser
usado para calcular su área o volumen. Arquímedes
pudo haber considerado que este método carecía del
suficiente rigor formal, por lo que utilizó también el
método de exhausción para llegar a los resultados. Al
igual que El problema del ganado, El método de
teoremas mecánicos fue escrito en forma de una carta
dirigida a Eratóstenes de Alejandría.
IV. EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES.
1. INTRODUCCIÓN.
Este tal vez sea el más utilizado de sus inventos. Cuenta la
historia que el tirano Hierón quería regalarle una corona
de oro a su esposa, entonces le encargó a su orfebre que
se la construyera usando una barra de oro que él le
proporcionaría. Al cabo de un cierto tiempo la corona
estaba terminada, había que dado muy bien pero Hierón
tenía la duda que el orfebre la había hecho de bronce y la
había recubierto con oro guardándose el resto de ese
precioso metal. Le encomendó a Arquímedes la tarea de
averiguar si la corona era o no maciza (sin romperla), pero
con un plazo determinado, al cabo del cual mataría al
sabio.
Preocupado, porque veía que pasaban los días y su plazo
se iba agotando, al término de una jornada de intenso
trabajo, decidió ir a la casa de baños públicos a
sumergirse en la tina(recordemos que en esa época solo
tenían esas comodidades las personas muy importantes y
adineradas).
Al introducirse en la tina, pudo observar como se
derramaba el agua por los bordes y así comprendió que el
volumen de su cuerpo, era igual al volumen del líquido
desalojado. De esta forma podría medir el volumen de la
irregular corona.
Era tan grande la alegría por haber salvado su vida que
salió gritando por todo el pueblo EUREKA !EUREKA ! (que
significa lo descubrí). Pero no se dio cuenta que estaba
desnudo.
2. El principio de Arquímedes o primer principio de
hidrostática
Viene siendo utilizado por el hombre desde hace unos
2200 años el volumen de un solido irregular puede
determinarse midiendo la perdida aparente de peso
cuando se introduce completamente en un liquido de
densidad relativa conocida. La densidad relativa de los
líquidos puede determinarse por la profundidad de
inmersión de un hidrómetro. Otras aplicaciones
comprenden la teoría general de la flotación y problemas
de ingeniería naval.
Todo cuerpo, sumergido total o parcialmente en un líquido
sufre un empuje vertical hacia arriba igual al peso del
líquido desplazado. El punto en el que actúa la fuerza se
llama centro de empuje coincide con el centro de
gravedad del liquido desplazado.
“Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un
líquido experimenta un empuje vertical (fuerza vertical)
ascendente igual al peso del volumen del líquido
desalojado”.
3. Demostración:
Sea el caso de un cuerpo sólido cualquiera flotando en un
líquido, existe un estado de equilibrio debido a que el líquido
ejerce sobre el cuerpo una presión ascendente de igual
magnitud que el peso propio
del cuerpo, que se puede calcular a partir de los resultados
anteriores.
Parcialmente Sumergido
∑ Fv=φ en el volumen de
control.
dFV 2−dFV 1=dE
dE=( pa+γh )dA H−padA H
dE=pa dAH +γ hdA H−pa dAH
dE=γ hdAH
E=γ∬AhdAH
La integral es igual al
volumen (∀s ) de la parte del
cuerpo en flotación que se
encuentra debajo de la
superficie libre del líquido;
esto es:
E=γ ∀s
Totalmente Sumergido
∑ Fv=φ en el volumen de
control
dE=dFV 2−dFV 1
dE=γh2dA H−γh1dAH
dE=γ dAH (h2−h1 )
dE=γ hdAH
E=γ∬AhdAH
E=γ ∀s
∀s = Volumen del líquido desalojado (volumen del cuerpo
sumergido)
γ = Peso específico del líquido.
4. relación entre el empuje y el peso del cuerpo
sumergido
Sea :
W= El peso total del cuerpo
E = Empuje del fluido sobre el cuerpo
1.- Si E < W, el cuerpo tiende a ir hacia el fondo
2.- Si E = W, el equilibrio del cuerpo es estable (el
cuerpo se mantiene sumergido en la posición
en que se le deje) “Flotación en Equilibrio”.
3.- Si E > W, el cuerpo tiende a ir hacia la superficie.
5.- EJERCICIOS SOLUCIONADOS
5.1 Una piedra pesa 54 Kg en el aire y 24 Kg cuando está sumergida en el agua. Calcular el volumen y la densidad relativa de la piedra.
Solución:
Todos los problemas en trabajos de ingeniería se analizan mucho mejor mediante el empleo del diagrama de cuerpo libre. Con referencia a la figura adjunta, se indica en ella el peso total de 54 Kg que actúa hacia abajo, la tracción en la cuerda de unión a la balanza de 24 Kg dirigida hacia arriba y el empuje Pv que actúa hacia arriba. De
∑Y =0
Se tiene 54 – 24 – Pv = 0 y Pv = 30 Kg
Como el empuje = al peso del líquido desplazado
24 Kg = 1000Kg/m3 x υ y υ = 0.024 m3
Densidad relativa = Pesode la piedra
Peso deun volumen igual alagua=5424
=2.25
5.2 ¿Qué fracción del volumen de una pieza sólida de metal de densidad relativa 7.25 flotará sobre la superficie del mercurio, de densidad relativa 13.57, contenido en un recipiente?
Solución:
El diagrama del cuerpo libre indica que de ∑Y =0 ,W−Pv=0
O peso del cuerpo = empuje (peso del mercurio desplazado)
7.25 x 1000 υ = 13.57 x 1000 υ’
Y, por tanto, la relación de los volúmenes:
υ’/ υ = 7.25/13.57 = 0.535
De aquí la fracción del volumen sobre el mercurio es igual a:
1 – 0.535 = 0.465
5.3 ¿A qué profundidad se hundirá un tronco de 2.40 m. de diámetro y 4.50 m. de longitud, en agua dulce, si la densidad relativa de la madera es de 0.425?
Solución:
En la Figura que se muestra, se dibuja con el centro O del tronco sobre la superficie libre del agua, ya que su densidad relativa es mejor de 0.5000. Si la densidad relativa fuera 0.500 estaría sumergida la mitad del tronco.
Peso total del tronco = peso del líquido desplazado
Sector – 2 triángulos
0.425 x1000 x π 1.22 x 4.5=1000 x 4.5¿)
Simplificando y sustituyendo 12
sen 2ϴ por senϴ .cosϴ
0.425 π= ϴπ180
−12
sen 2ϴ
Resolviendo por aproximaciones sucesivas:
Para ϴ = 85°; 1.335
85π/180 – 12 (0.1737)
1.335 1.397
Para ϴ = 83°; 1.335 1.449 – 12 (0.242)
1.335 1.328
El valor buscado está entre los dos ensayados.
Para ϴ = 83°10’ ; 1.335 1.451 – 12 (0.236)
= 1.333 (suficiente aproximado)
La profundidad con que flota DC = r – OD = 1.2 – 1.2 cos83°10’
= 1.2(1-0.119) = 1.057 m.
5.4 ejercicio propuesto.
Una esfera de radio `R´ elaborada con un material de densidad relativa (D.R). Se sumerge en un tanque de agua. La esfera se coloca sobre un agujero de radio ¨a¨ en el fondo del tanque, desarrolle una expresión general para el rango de D.R. para las cuales la esfera flotaría hacia la superficie, de acuerdo con las dimensiones dadas. Determinar la densidad relativa mínima requerida para que la esfera se mantenga en la posición mostrada.
E I J F
H =0.80 P h
G R= 20 m.m
C GG G D
A Z B
a = 2m.m
SOLUCION:
Datos: m = √ R2−r2 H = 0.80 m m = 0.0198 mR = 0.020 m h = H - mb = 0.004 m h = 0.7802 mr = a = 0.002m R2 = 12 + m2
m = 0. 0199 h = 0.8 – 0.0199 h = 0.7801
a) FUERZA SOBRE EL HEMISFRIO :
= F1
= δ ¿
= δ [π . R2 . h−12 ( 34 π R3)]
F1 = 0.96 KG.
b) FUERZA VECTORIAL HACIA ARRIBA SOBRE AC Y BD :
= F2
= δ ¿
= δ [ 16 π .m (3 R2+3 r2+m2)−( π r2m )+( π R2h−π r2h )]= δ [9.78 x10−4+1.67 x 10−5 –6.25 x10−8 ]
F2 = 9.773 x 10−4 (δ ) 0.99 KG. = E
E = F2−¿ F 1¿ E - P = 0.96KG – 0.95KG.
c) PESO DE LA ESFERA ( W ) :
W ESFERA = δ esf * ∀esf
W ESFERA RESF * δESF * ∀ESF
W ESFERA = 0.034 D.R. KG.
d) FLOTARÁ LA ESFERA CUANDO:
0.02 KG > 0.034 DR. KG. Esfera
0.59 > D.R.
V. Reconocimientos a Arquímedes
En 1935 se decide en su honor llamarle «Arquímedes» a un cráter lunar (29.7° N, 4.0° W) ubicado en la zona oriental del Mare Imbrium. También lleva su nombre la cordillera lunar «Montes de Arquímedes» (25.3° N, 4.6° W). El asteroide 3600 Arquímedes fue también nombrado debido a él. También el asteroide 3600 Archimedes recibió ese nombre en su honor.
La Medalla Fields, galardón otorgado a los logros matemáticos más destacados, lleva un retrato de Arquímedes, junto con su prueba acerca de la relación matemática entre las áreas y volúmenes de la esfera y el cilindro. La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida a él, que dice en latín: "Transire suum pectus mundoque potiri" (Superarse uno mismo y dominar el mundo).
Arquímedes ha aparecido en emisiones de sellos de Alemania del Este (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982), y España (1963).
La exclamación ¡Eureka!, atribuida a Arquímedes, es el lema del estado de California. En este caso, sin embargo, la
palabra hace referencia al momento del descubrimiento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848, que desató la Fiebre del oro en California.
VI. Conclusiones:
ARQUIMEDES, es un precursor de la matemática, que
atreves de ellas realizo muchos descubrimientos e
invenciones que hasta la actualidad son utilizados.
Arquímedes probó que la esfera sobre ella. Arquímedes
probó que la esfera tiene dos tercios de volumen y
superficie del cilindro (incluyendo las bases de estos), lo
cual consideró el más grande de sus descubrimientos
matemáticos.
Se logró demostrar el principio de Arquímedes mediante
una práctica asignada para el curso de Ingeniería
Hidráulica.
Cuando un cuerpo flota, la densidad de este es menor a la
densidad del agua y cuando este se sumerge, la densidad
de es mayor que la densidad del agua que según las
condiciones de equilibrio los cuerpos son estables,
inestables e indiferentes.
Se pudo desarrollar un concepto mas claro, avanzado y
específico del que se tenía con base en los fundamentos
teóricos referente al principio de Arquímedes
Se estimuló un interés apropiado hacia el campo de la
física, a partir de la práctica hecha, teniendo en cuenta,
que dicha actividad nos servirá para un futuro cercano,
aplicándola a nuestra vida o con un determinado fin.
EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES es indispensable para
el estudio de la mecánica de fluidos (hidrostática) ya que
nos ayuda a conocer la densidad de los cuerpos.
VII. BIBLIOGRAFÍA
libros
CÁCERES NEYRA, Alejandro - “Problemas de
Hidráulica I”.
LOAYZA RIVAS, Carlos - “Mecánica de Fluidos I”.
RANALD V. Giles - “Mecánica de Fluidos e Hidráulica”.
MATAIX, Claudio - Mecánica de fluidos y Maquinas
hidráulicas -
BARRERO RIPOLL, Antonio - “Mecánica de Fluidos”.
“Libro de Problemas”
M. C. POTTER, D. C. WIGGERT, “Mecánica De Fluidos”.
Paginas web.
http://club.telepolis.com/hatilax/enlaces%20fisica.htm
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http://html.rincondelvago.com/principio-de-
arquimedes.html
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Escritorio/Arqu%C3%ADmedes%20Power%20Point.htm
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http://www.portalplanetasedna.com.ar/arquimedes.htm
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