Mtodo de la Rigidez. Enfoque matricial.

Introduccin

La importancia de la infraestructura dentro del pas cada vez va tomando nuevos caminos, debido a que se necesita ir mejorando y desarrollando nuevas tecnologas para este desarrollo ya que su participacin es fundamental en muchos campos, como en el de la seguridad y correcta ejecucin de las estructuras.

Las armaduras son de las estructuras ms utilizadas en ingeniera civil. Se emplean para resolver techumbres ligeras de grandes claros en naves industriales, centros comerciales, tiendas de autoservicio, para sustituir vigas ms pesadas (generalmente se conocen como vigas de alma abierta, pero son esencialmente armaduras), en torres de transmisin de energa elctrica, en plataformas marinas, en puentes, como estructuras de arriostramiento y distribucin de cargas laterales en naves industriales, entre muchas otras aplicaciones. Las armaduras pueden trabajar exclusivamente en el plano (armaduras en 2D) o en el espacio (armaduras en 3D) . Los elementos que componen a una armadura trabajan exclusivamente a fuerza axial, ya sea a tensin o compresin.

En este trabajo se presenta la teora de armaduras para materiales cuyo comportamiento se supone que es lineal elstico, homogneo e isotrpico y, adems, cuando se supone que los desplazamientos son pequeos, es decir, que existe linealidad geomtrica.

El mtodo de las rigideces es un mtodo de clculo aplicable a estructuras tanto isostticas como hiperestticas compuestas por barras que se comportan elstica y linealmente, permite la resolucin de todo tipo de estructuras y se basa en la construccin y operacin de las matrices de rigidez de cada elemento y global de la estructura, los vectores de fuerzas externas y vectores de desplazamiento.

Tambin conocido como mtodo de los desplazamientos, es el mtodo ms utilizado para el anlisis de estructuras, debido a su fcil sistematizacin e implementacin en computadoras, as como de su fcil uso para condiciones generales.

En este punto, cabe recordar lo aprendido en cursos anteriores respecto a los materiales que cumplen con la ley de Hooke. En ellos la deformacin debido a una fuerza externa es proporcional a dicha carga, esto es:

1) Matriz de rigidez elementos tipo Barra. Enrejados.

1.1 Anlisis Bidimensional

Considere un elemento tipo barra, el cual puede ser sometido slo a esfuerzos de traccin y compresin. Ubicado sobre el plano de la forma en que se indica en la figura.

Se han definido:

U1 y u2 : Grados de libertad locales.d1 , d2 , d3 y d4 : Grados de libertad globales.S1 y s2 : Fuerzas axiales.x : ngulo de la barra respecto al eje x.y : ngulo de la barra respecto al eje y.Consideremos entonces la barra respecto a sus grados de libertad locales.

1. Sometida a una carga que genere una deformacin positiva en el punto 1.

Entonces:

2. Sometida a una carga que genere una deformacin positiva en el punto 2.

Entonces:

3. La accin conjunta entonces ser.

Entonces:

Expresado matricialmente:

La matriz [k ] es conocida como Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales.

Pero para poder operar esta matriz con el resto de los elementos de la estructura es necesario convertirla a los grados de libertad globales (compatibilidad geomtrica). Esto se realiza mediante la matriz de transformacin [T ].

Donde:

1.2 Anlisis Tridimensional

El anlisis anterior es posible hacerlo extensivo al espacio tridimensional.

Se han definido:u1 y u2 : Grados de libertad locales.D1 , d2 , d3 , d4 , d5 y d6 : Grados de libertad globales.S1 y s2 : Fuerzas axiales.x : ngulo de la barra respecto al eje x.y : ngulo de la barra respecto al eje y.z : ngulo de la barra respecto al eje z.Se aplica el mismo razonamiento, por lo que se obtiene que la Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales tambin es:

Pero la matriz de transformacin ser:

Donde:

2) Matriz de rigidez global.

Del anlisis anterior hemos determinado que la relacin existente entre las deformaciones en coordenadas locales y las fuerzas actuantes en dichas direcciones es:

Si deseamos convertir la anterior ecuacin a un sistema de coordenadas globales, podemos utilizar las ecuaciones de compatibilidad geomtrica, que relacionan los grados de libertad locales con los grados de libertad globales mediante la matriz de transformacin correspondiente:

Por lo tanto reemplazando en (1):

Adems, podemos establecer las ecuaciones de equilibrio. En ellas se debe comprobar que las componentes en los grados de libertad globales resultante de las cargas externas debe ser igual a las fuerzas internas expresadas en el mismo sistema de coordenadas (globales), esto es:

O bien :

Que dadas las propiedades de la matriz [T] se puede demostrar que [T]^-1 =[T], por lo tanto:

Volviendo a la ecuacin (3), obtenemos:

Premultiplicando por [T] ]^T , se tiene:

Donde la matriz [k] se conoce como matriz de rigidez del elemento referido a los grados de libertad globales:

Mediante la metodologa antes expuesta es posible obtener las matrices de rigidez de cada uno de los elementos referidos a grados de libertad globales. Esto se realiza operando matrices de manera muy simple. Solo resta, entonces, ensamblar utilizando las matrices [k] de cada elemento de manera adecuada a fin de obtener la matriz de rigidez de la estructura completa [K], en que se considera como aporta la rigidez de cada elemento en las resistencia a la deformacin en los diferentes grados de libertad, previamente definidos.

3) Modelacin.

3.1 Ensamble de la matriz de Rigidez de la estructura.

Una vez que todas las matrices de rigidez de los elementos se han expresado en coordenadas globales, resulta necesario ensamblarlas en el orden apropiado para poder encontrar la matriz de rigidez de la estructura completa [K]. Este proceso de combinar las matrices de cada elemento depende de una cuidadosa identificacin de las componentes de cada matriz.Para lograr lo anterior es necesario enumerar cada uno de los nodos de la estructura, luego enumerar cada elemento y direccionarlos a fin de determinar sus grados de libertar locales. En seguida, para cada nodo, indicar los grados de libertad globales.Cada componente de las matrices de rigidez de los elementos corresponder al efecto que dicho elemento ejerce sobre el grado de libertad global correspondiente de la estructura, y por lo tanto, se le asignara una posicin determinada (fila-columna) en la matriz de rigidez global de la estructura [K]. Las dimensiones de la matriz [K], entonces, quedarn definidas por el nmero de grados de libertad de la estructura.

4) Ejemplo prctico

5) Conclusiones y recomendaciones

A medida que avanza la tecnologa, las herramientas que tenemos a nuestra disposicin son cada vez ms. Por esa misma razn el ingeniero debe actualizarse y buscar maneras de realizar su trabajo de una forma ms eficiente, adquiriendo el conocimiento para poder interpretar y aplicar las herramientas que se van desarrollando.

Por lo anterior, es importante que el ingeniero tenga una preparacin adecuada, adems de tener a la mano y saber utilizar herramientas tales como la computadora y su programacin, para poder utilizarlas en la solucin de problemas relacionados con su profesin e interpretar los resultados que arrojan.