MATEMÁTICAS, MITOLOGÍA Y POESÍA

ARITMÉTICA EN LA ANTOLOGÍA PALATINA

Edición y notas: Ángel Requena

MATEMÁTICAS, MITOLOGÍA Y POESÍA

ARITMÉTICA EN LA ANTOLOGÍA PALATINA

Edición y notas: Ángel Requena

INTRODUCCIÓN La poesía cumple múltiples y fundamentales papeles en el desarrollo humano: como forma de conocimiento primigenio -anterior a la filosofía-, como técnica de memorización a través del ritmo y la rima en un mundo sin papel, y ¡cómo no! la posibilidad del gozo estético al sumergirnos en su belleza. La poesía en forma de drama ha sido factor constituyente de lenguas y pueblos. Grecia no sería entendida sin Homero y sin esa dramaturgia clásica que tanto irritaba a Platón. Inglaterra y el inglés necesitaron a Shakespeare. Y en España quizá no haya hoy conciencia del impacto sobre el pueblo de las obras de Lope. La educación poética ha formado parte de la educación general de cualquier persona culta. En el medioevo occidental, pero más en especial en al-Andalus, o en la India del sánscrito, abundaron los tratados científicos, médicos y matemáticos, o sus resúmenes, escritos en verso. Durante el Renacimiento se conservó la tradición, y por ejemplo Tartaglia daba en verso el método de resolución de la ecuación de tercer grado. No debe sorprendernos que el enunciado de los problemas aritméticos se haga en verso. La Antología Palatina de epigramas griegos conserva 45 ejercicios que utilizan la forma poética para plantearse. Algunos son muy conocidos como aquel que nos permite calcular cuántos años vive Diofanto. Pero lamentablemente la mayoría siguen inéditos en castellano. Y si la poesía nos permite adentrarnos en lo desconocido, la mitología nos ofrece soluciones, nos da respuestas. Es posible que el ser humano necesito mitos: cuando rompe algunos tiende a fabricar otros. Francis Bacón -uno de los padres de la modernidad- hacía de la destrucción de ciertos ídolos culturales uno de los ejes de su filosofía. La mitología griega tiene hoy para nosotros un encanto especial. Esos dioses que se pelean, que se casan con mortales, aliados de pueblos y héroes, furiosos y vengativos, con su infinidad de variedades y seres intermedios, hacen que los mitos griegos sigan siendo muy útiles para definir situaciones: complejo de Edipo, condena de Sísifo, caja de Pandora, talón de Aquiles o dilema de Antígona son mera muestra de las posibilidades que encierra la “sabiduría” clásica de los helenos. El atractivo mitológico de la Grecia Clásica se encuentra muy patente en la Antología Palatina. Al encantamiento poético se une la rememoración de las tradiciones culturales. Si leemos “Sémele” como simple nombre de mujer, no sentiremos lo mismo que quien escuchaba el enunciado de los problemas que mencionan a la hija de Cadmo -el fundador de Tebas; pues desconocemos su espléndida belleza heredada de Armonía, que yace con Zeus y que muere abrasada por querer ver el verdadero rostro del supremo dios, Los epigramas aritméticos eran en su momento un ejemplo de lo que hoy llamamos interdisciplinaridad. En nuestra época esa transversalidad es aún mayor dado el doble alejamiento: el de la cultura literaria de la científica, y el de la cultura cristiana de la pagana.

Desde el punto de vista matemático es de interés resaltar que los ejercicios de la Antología son de carácter aritmético-algebraico elemental. Esto nos lleva al periodo post-clásico; Diofanto fue la excepción de la matemática griega. El temprano tropiezo con los irracionales hacen que sea la geometría la hegemónica. La aritmética griega es mas mística de números que operaciones, pues para los meros cálculos el término empleado era “logística”, y como tal impropio de los filósofos. La reproducción comentada de los epigramas aritméticos solo nos permite un mínimo acercamiento a un mundo que aunque olvidado sigue fertilizando nuestro pensamiento. LA ANTOLOGÍA PALATINA La colección de epigramas griegos conocida como Antología Palatina corresponde al periodo bizantino. La compilación se realiza hacia el año 980 (dC) mediante la ampliación de la recopilación realizada por el protopapa Constantino Cefaleas en el año 917. El libro XIV -donde se encuentran los ejercicios aritméticos- es un añadido al texto de Cefaleas. El manuscrito griego del siglo X recibe su nombre por haberse descubierto en la biblioteca de los Electores del Palatinado de Heidelberg en el año 1606. Posteriormente el códice -hoy reconocido como P23- ha sufrido algunos traslados. En 1622 el P23 pasa a Maximiliano de Baviera que se lo regala al Papa Gregorio XV. Napoleón se lo lleva a Francia en 1797, pero tras su caída la mayoría del manuscrito vuelve a Heidelberg y el resto -incluido el libro XIV permanece en París. Los epigramas aritméticos junto con las adivinanzas y los oráculos constituyen el Libro XIV. La colección contiene 45 ejercicios en verso. El mayor bloque lo forman los 39 de la recopilación de Metrodoro, 1 es de la Iliada, y el resto son del epigramista Sócrates. De Metrodoro se conoce poco, y puede haberse limitado a compilar. El Sócrates del P23 puede ser el referenciado por Diógenes Laercio. En castellano se puede encontrar una edición abreviada de la Antología editada por Gredos pero que no contiene ninguno de los epigramas aritméticos. Esporádicamente en algunos libros en lengua española nos tropezamos con algún ejercicio. En ciertos casos citando la procedencia. Donde aparecen un mayor número de problemas -12 de los 45- es en la traducción de las Matemáticas Recreativas del belga Mauricio Kraitchik. La antología completa en ediciones bilingües se encuentra en francés e ingles. En francés, además, se tiene el estudio matemático de uno de los patriarcas de la historia de las matemáticas: Paul Tannery.

EL EPIGRAMA En sus orígenes los epigramas son inscripciones grabadas en piedra sobre monumentos o tumbas como epitafios, dedicatorias, o meras explicaciones. El poeta de origen ibérico Marcial extiende el significado a toda poesía corta que termina en burla o broma. En el Códice Palatino P23 el epigrama ya ha ampliado su carácter a poesía corta, casi didáctica, e incluso sirve de enunciado de ejercicios aritméticos. En cuanto a la forma la mayoría de los poemas están en hexámetros dactílicos, y en algún caso trímetros yámbicos. En nuestra versión el aspecto poético queda subordinado a la comprensibilidad del ejercicio. LA ARITMÉTICA DE LA ANTOLOGÍA PALATINA P23 Los 45 ejercicios matemáticos del Libro XIV se resuelven con técnicas aritméticas simples, sobre todo operando con fracciones. En algunos casos -y por costumbre- es bueno usar el álgebra elemental. No se alcanza nada parecido al nivel de los problemas de la Aritmética de Diofanto. Los ejercicios tratan de cálculos de edades, grifos, distancias, o repartos de nueces o manzanas. Ejemplos similares han seguido usándose durante generaciones. Del manuscrito griego tienen interés los escolios, en ellos se encuentran alguna notación simplificatoria.

REFERENCIAS: BUFFIÉRE, F. Anthologie Grecque*. Société Les belles lettres. Paris, 1970. FERNÁNDEZ GALIANO; M. Antología palatina. Editorial Gredos. Madrid, 1978. HESIODO. Obras y fragmentos. Editorial Gredos. Madrid, 1982. KRAITCHIK, M. Matemáticas recreativas. El Ateneo. Buenos Aires, 1946. VERNANT, J-P. El universo, los dioses, los hombres. Circulo lectores. Barcelona, 2001 *La antología francesa en edición bilingüe griego-francés de Félix Buffiére contiene amplísimas notas. Las de carácter matemático hacen referencia a los estudios de matemática griega y de Diofanto del historiador pionero de la matemática Paul Tannery.

ANTOLOGÍA

I

LA ESCUELA PITAGÓRICA (De Sócrates)

“Pitágoras afortunado, vástago de las Musas del Helicon, dime cuántos en tu morada se dedican gozosamente a la ciencia practicar -Te responderé Polícrates: por la belleza matemática la mitad se interesa; sobre la naturaleza inmortal una cuarta parte se vuelca; en total silencio una séptima se dedica a las voces eternas del alma; hay tres mujeres, Teano la mejor. De las Pieridas son las palabras que yo pronuncio”. Contexto histórico y mitológico: Las Musas son hijas de Zeus. Mencionadas por Homero, será Hesiodo quien les da el carácter de inspiradoras de las artes. Las Musas de cada disciplina son: Clio (historia), Euterpe (música), Talia (comedia), Melpómene (tragedia), Terpsícore (danza), Erato (poesía erótica, gozosa, anacreóntica), Caliope (elocuencia), Polimnia (lírica), Urania (astronomía). El Helicón es el monte griego donde vivían las Musas. Pieridas es un sinónimo de Musas. Policrates fue tirano de Samos, lugar de procedencia de Pitágoras. Pitágoras es un personaje histórico y una figura mítica. En el siglo V (a.C.) fue fundador de una escuela-secta que contó con el apoyo de algunos tiranos de la Magna Grecia. La formación iniciática se atribuye a los egipcios. Para los pitagóricos “todo es número”, creen en la trasmigración de las almas, y atribuyen todos sus logros al maestro. La escuela ejerce una gran influencia en Platón. Pitágoras esta asociado a su famoso teorema sobre el triángulo rectángulo, a la música y a los términos filosofía y matemáticas. Teano estuvo casada con Pitágoras en su vejez. Pese al carácter aristocrático y mistérico de la escuela pitagórica, en ella no había discriminación de sexo tal como pone de manifiesto el epigrama. Teano será la primera mujer en la ciencia con nombre propio. Solución: La escuela está formada por 28 personas. La suma de 1/2, 1/4 y 1/7 es 25/28. La diferencia a 1 da 3/28 que es la fracción de mujeres. Como hay 3, el total de pitagóricos es 28. Tenemos entonces 14 matemáticos, 7 físicos, 4 místicos y 3 sabias.

Palas Atenea de Boticelli

II

LA ESTATUILLA DE ORO (Primer problema de Metrodoro)

“Soy una Palas de oro al martillo moldeada; el noble metal es ofrenda de poetas de profundo talento. Carisos ha proporcionado la mitad del oro, un octavo Terpis, y Solón un décimo; Temisón, un veintavo. Faltan nueve talentos, y el trabajo, ambos donados por Aristodicos”. Contexto histórico y mitológico: Palas era un hijo de gigantes que muere en Atenas en la última batalla entre los dioses y los gigantes. La diosa Atenea se hace una coraza con su piel. En ese momento Palas es también uno de los nombres de la hija de Zeus, por eso se ha puesto en femenino. Atenea es la diosa de la sabiduría, pero también guerrera, pero no por su fuerza, pues para vencer utiliza la inteligencia. Los templos de la diosa se llamaban ateneos, allí poetas y oradores le rendían homenaje. Carisos, Terpis, Solón, Temisón y Aristodicos son poetas pre-clásicos. Los mas citados son Terpis, siglo VI aC, a quien se atribuye la primera tragedia, y Solón, siglo VII aC, ateniense elegante y moralizador. El talento es una moneda de 60 minas que se conservará bajo el imperio romano y la edad media europea. Solución: 40 talentos. La suma de 1/2, 1/8, 1/10 y 1/20 es 31/40. La diferencia a la unidad da 9/40. Como faltan 9, el total es 40. Carisos aporta 20 talentos, Terpis 5, Solón 4, Temisón 2 y Aristodicos los 9 restantes.

III

AMOR ESTÁ TRISTE (Número 5 de la colección de Metrodoro)

“Tan triste se encontraba Amor, que Afrodita le preguntó: <¿Qué pena, niño, te ensombrece> Y el respondió: <De mis brazos, una tras otras, las Musas han cogido las manzanas que yo traía del Helicón. Clio una quinta parte y Euterpe una doceava me arrebataron; Talía me quitó una octava; Melpómene, una veintava, y una cuarta Terpsícore; a las manos de Erato se ha ido una séptima. Por su parte, Polimnia treinta manzanas se ha guardado; Urania posee ciento veinte y Caliope cargo con un canasto de trescientas. Así, he llegado ante ti bien ligero de brazos: con cincuenta manzanas. ¡Esto me han dejado!>“ Contexto histórico y mitológico: Amor tiene diferentes tradiciones en la mitología. De Eros, dios primigenio, al hijo de Afrodita y Zeus. Este último pervive en Cupido como hijo de Venus y Júpiter. Fue Praxíteles el primero en representarle como joven impúber. Afrodita es la diosa del amor, proviene de la divinidad siria Astarte, pero en Grecia se va debilitando la relación con la fecundidad y reforzándose la pasión amorosa. Las caprichosas Musas y el Helicón se describen en el Problema 1. Solución: 3360 manzanas. Si sumamos la fracciones 1/5, 1/12, 1/8, 1/20, 1/4 y 1/7 obtenemos 715/840 que simplificada es 143/168. La diferencia a la unidad, que es la fracción restante da 25/168. Las manzanas contabilizadas son la suma de 30, 120, 300 y 50, en total 500 manzanas que son 25/168 del total. Hay que multiplicar 168 por 500/25 que resulta 3360 frutas.

IV

LOS ESTABLOS DE AUGIAS (De Sócrates)

“Al ser preguntado por Alcides, el del brazo fuerte, sobre el número de sus bueyes, Augias respondió: <Cerca del río Alfeo tengo la mitad; una octava parte rumía en las laderas del Cronios; alejados del Taraxippos, una doceava se mantiene próxima al sagrado recinto; en la Elide divina pastan una veintava; en la Arcadia, ¡por fin!, he dejado la treintava parte. Y aquí puedes ver el resto de mi rebaño: cincuenta cabezas>“ Contexto histórico y mitológico: Augias es un rey legendario de Elide. Sus establos contenían 3000 bueyes (en el problema no hay tantos). Como no limpiaba, Heracles -el héroe que personifica la fuerza- se comprometió por un diezmo a desviar el río Alfeo para hacerlo pasar por los establos y llevarse la suciedad. Mugías no cumple, y Heracles lo mata y saquea su ciudad. El Alfeo es un río del Peloponeso, formado por un antiguo dios que enamorado de la ninfa Aretusa es convertido en río por Artemisa, y la ninfa pasa a ser su fuente. Del Taraxippos tenían que alejarse los caballos, los jinetes podían ser heridos. La proximidad producía terror. La Arcadia es una región montañosa del centro del Peloponeso. Para los poetas es el lugar de la felicidad pastoril. Solución: 240 bueyes. La suma de las fracciones 1/2, 1/8, 1/12, 1/20 y 1/30 es 95/120, y su diferencia a la unidad da 25/120. Como quedan 50 por contabilizar, el número total es 120 por 50/25, o sea 240.

V

UN RELOJ SIN IGUAL (De la colección de Metrodoro es el 28, y de la Palatina el 6)

“Dinos reloj sin igual, qué parte del día ha huido ya, si lo que queda es dos veces dos tercios de lo que pasó” Contexto histórico y mitológico: Los relojes de la época eran solares, de agua (clepsidras), de arena, de vela... En el periodo alejandrino tardío, en especial con el ingeniero Heron, la cultura griega estuvo muy cerca de la maquina de vapor y de la utilización sistemática de engranajes. El primer reloj mecánico documentado data de la China clásica. La división del día en doce horas ya era usada en el imperio romano, pero con horas de diferente duración según la estación del año. Solución: Ha huido 3/7 del día. El doble de 2/3 es 4/3 que sumado a 1 da 7/3. El día completo es 7/3 de lo que ha transcurrido. Por tanto lo que ha huido es la fracción inversa: 3/7.

VI

EL LEÓN DE BRONCE (De la colección de Metrodoro es el 19, y de la Palatina el 7)

“Soy el León de bronce. Mis dos ojos, mi hocico, ... y hasta mi pie derecho son fuentes. Para llenar el estanque mi ojo derecho dos días necesita, el izquierdo requiere tres, y mi pie tarda cuatro. Seis horas le bastan a mi hocico para completar el aljibe. ¿Cuánto tiempo se necesita para colmar el estanque si pongo mis cuatro fuentes a manar” Contexto histórico y mitológico: La escultura griega en bronce fue la admiración de la Europa medieval, hasta el punto que un reto renacentista fue conseguir la misma perfección. El problema sigue siendo hoy un gran clásico. Generaciones tras generaciones han ido chocando con este ejercicio. Considerado como “problema para nota ” conserva el encanto de su espléndido pasado. Solución: Se llenará el estanque en 12/61 de día ( aprox. 4h. 43m.) Para resolver el ejercicio se calcula que fracción de estanque que llena cada fuente en un día. El ojo derecho llena medio (1/2) aljibe al día, el izquierdo 1/3, el pie 1/4, y el hocico llena 4 estanques en un día. Si manan los cuatro se suman 1/2+1/3+1/4+4 dando 61/12. Las cuatro fuentes arrojan 61/12 del estanque en un día. El tiempo buscado es la fracción inversa: 12/61..

VII

LA HERENCIA (En la Antología Palatina es el 11)

“Las mil estateras que tengo, a mis dos hijos dejo en herencia. La quinta parte de lo dado a mi legítimo hijo sobrepasa en diez la cuarta parte de la suma que debe recaer en mi otro hijo.” Contexto histórico y mitológico: La estatera, el dracma y la mina son monedas y unidades de peso alejandrinas. La estatera era de oro o de plata. El dracma era de plata, y pesaba entre 2 y 4 gramos. La mina era de mayor valor, y equivalía a 100 dracmas. El ejercicio es algo más complejo que los anteriores: nos está pidiendo el uso del álgebra. Si bien se puede resolver -como veremos- con pura aritmética elemental. Solución: El hijo legítimo recibe 5200/9 estateras, y el bastardo hereda 3800/9 estateras. Si la quinta parte del legítimo sobrepasa en 10 la cuarta parte de la herencia del otro, la parte completa sobrepasará en 50 los 5/4 de la del otro. Si sumamos 5/4 a la unidad son 9/4. La parte del bastardo son (1000-50)*4/9 y el resto hasta mil corresponde a su hermano legítimo. Solución algebraica: x : herencia del legítimo. y : herencia del bastardo. Sistema de ecuaciones.- x + y = 1000 1/5 x =10 + 1/4y Resolviendo por sustitución: x = 1000-y => 1/5(1000-y)= 10+1/4 y => => 1000-y =50+ 4/5 y Las operaciones siguientes son la solución aritmética.

VIII

EL RICO REY CRESO (En la Antología Palatina es el 12)

“El rey Creso ha consagrado seis copas, seis minas en total. Cada vasija pesa un dracma mas que su vecina.” Contexto histórico y mitológico: Creso fue el último rey de Lidia en Asia Menor desde 561 a 547 a.C. La historia recuerda a Creso como el prototipo de rey rico que explotó el comercio y las minas de oro. Su reino fue conquistado por el persa Ciro. El dracma y la mina son monedas y unidades de peso alejandrinas como se expuso en el problema anterior. Una mina equivalía a 100 dracmas. Solución: La más ligera pesa 97,5 dracmas y la más pesada 102,5 dracmas.. En el ejercicio aparte de las fracciones: estamos ante una progresión aritmética. Si la primera copa pesa una cantidad, la siguiente será lo mismo más uno, y así sucesivamente. De forma que el total es seis veces la más ligera mas la suma de 1+2+3+4+5 que es 15. Por tanto seis veces la menos pesada es 6*100 -15=585 dracmas. De lo que se calcula que la primera copa pesa 585/6 (=195/2=97 1/2=97,5) dracmas. La forma mas elegante de resolver es tomar la copa media que es 100 dracmas; como hay número par, las dos copas intermedias pesan 99,5 y 100,5 dracmas.

IX

LOS GEMELOS ZETO Y ANFIÓN (En la Antología Palatina es el 13)

"Entre mi hermano y yo, Zeto, pesamos veinte minas. Si tomas la tercera parte de mi peso, y la cuarta de Anfión, juntándolos el peso de nuestra madre tendrás, seis minas en total ". Contexto histórico y mitológico: Zeto y Anfión fueron hermanos gemelos hijos de Zeus y Antiope. Al ser repudiada la madre por su marido Lico –rey de Tebas- los hermanos conquistaron la ciudad. La reconstrucción de Tebas la realiza Zeto al ritmo marcado por la flauta de Anfión. Tebas es la ciudad clave de la mitología griega. Solución: Zeto pesa 12 minas y Anfión 8. Hoy es un clásico ejercicio de solución algebraica. X es el peso de Zeto, por ello el de Anfión es 20-X Y como 1/3 x + 1/4 (20-x) = 6, se obtiene que (1/3 - 1/4) x = 1, y restando fracciones 1/3 – 1/4 = 1/12 => x = 12

X

LAS GRACIAS (En la Antología Palatina es el 48)

"Las Gracias cargaban cestas con manzanas. Las tres llevaban igual número de fruta. Una tras otra se encontraron con las nueve musas y se repartieron el peso. Al final, todas -Musas y Gracias- terminan con la misma cantidad. Di cómo pudo ser". Contexto histórico y mitológico: Las Gracias eran hijas de Zeus y de Eurínome. Aglae, Eufrosina y Talía representan la belleza y la armonía física y espiritual. Las Gracias vivían en el Olimpo, donde también habitaban las Musas. Solución: Estamos ante lo que hoy conocemos como ecuación diofántica. Por ello hay infinitas soluciones. La más sencilla es que cada Gracia empieza con doce manzanas y termina con tres. Pero de igual forma pueden empezar con 24 y terminar con 6 manzanas, o empezar con 36 y terminar con 9, y así hasta una cantidad imposible de ser cargada. Se tiene que cumplir que la cantidad que tiene cada Gracia antes de repartir con las Musas -x- como mínimo 9 –para poder dar una a cada Musa más la cantidad final –y- de todas. En forma algebraica: 3 x = 12 y x = 9 k + y => y = 3 k x = 12 k Siendo k un factor entero mayor que 1, y que nos da todas las soluciones.

Fresco de Pompeya con las Gracias

XI

LA CORONA (En la Antología Palatina es el 49)

"Una corona me harás, de oro y de bronce, de estaño y de resistente hierro. Sesenta minas el peso ha de ser. El oro y el bronce los dos tercios deben hacer; el estaño con el oro, las tres cuartas partes deben ser; Y el oro con el hierro tres quintas harán. Dime entonces cuánto oro y cuánto bronce aleados pondrás. Di también con cuánto estaño, y con cuanto hierro mi corona acabaras." Contexto histórico y mitológico: Las aleaciones para cambiar las propiedades de los metales son usadas desde la edad del bronce. En la época clásica griega ya es general el uso del hierro, que precisamente hace su primera aparición en Anatolia en el segundo milenio antes de nuestra era. Las aleaciones para joyas también eran corrientes, en especial el oro necesita endurecerse. ¿Pero donde acaba la necesidad y empieza el fraude? El problema de conocer la composición una vez aleados los metales era complejo. Su resolución nos lleva a una de las más celebres anécdotas de la historia de la ciencia: Arquímedes corriendo desnudo gritando eureka (¡lo encontré ¡). El principal sabio de la antigüedad encontró la respuesta bañándose al ver como se derramaba el agua. Solución: El peso de oro será 61/2 minas, 19/2 minas de bronce, 29/2 de estaño y 11/2 minas de hierro.

XII

LA FUNDICIÓN (En la Antología Palatina es el 50)

"Orfebre, después del tercio, pon también un cuarto de esta copa, júntalos y añádeles la doceava, Arrójalo todo a la retorta y somételo al fuego. Una mina tiene el lingote" Contexto histórico y mitológico: Como el anterior. Los productos de metal requerían dominio de técnicas que hacían de los herreros unas figuras significativas en el mundo antiguo. Prometeo roba el fuego de Zeus para los mortales. El herrero le sacará todo el partido. Solución: La copa pesaba 3/2 minas.

XIII

TRES ESTATUAS (En la Antología Palatina es el 51)

"-Yo contengo al siguiente mas un tercio del tercero. -Yo valgo el siguiente más un tercio del primero. -Diez minas mas un tercio del segundo valgo Yo". Contexto histórico y mitológico: Planteado como adivinanza eran populares para los retos y concursos. Solución: El primero pesa 45 minas, el segundo 75/2, y el tercero 45/2 minas.

XIV

LAS NUECES (En la Antología Palatina es el 116 y en la colección de Metrodoro el 2)

"¿Por qué pelearme madre por culpa de unas nueces? Unas chicas muy bonitas se las han repartido todas. Dos séptimos Melisa me ha cogido. Un doceavo se llevo Titania... Astioque y Filina -a las que tanto gusta jugar- un tercio y un sexto. Tetis me ha robado veinte nueces, y Tisbe doce. Glauca se reía de su gran fuerza por tener once en las manos. ¡Solo una me han dejado!" Contexto histórico y mitológico: Los nombres se corresponden con diosas menores como las nereidas (hijas de Nereo, dios del mar, y de Doris, hija de Océano). En particular, Tetis fue la madre de Aquiles. Tisbe es una heroína de Babilonia que protagoniza con su enamorado Piramo una bella historia. Piramo que encuentra un velo manchado de sangre, piensa que Tisbe ha sido devorada y pone fin a su vida, y Tisbe al descubrirlo también se mata. La trágica historia de los amantes servirá a Shakespeare casi de telón bufo a su mágica comedia "Sueño de una noche de verano" Solución: Tenía 336 nueces.

XV

LAS MANZANAS (En la Antología Palatina es el 117 y en la de Metrodoro es el 3)

"<Di, mi niño, ¿donde están tus manzanas? -Ino el doble del sexto cogió. Y Sémele, un octavo. Autonoé me ha quitado un cuarto. De mi seno, Ágavé tomó un quinto, y huyó. Pude guardar diez manzanas para ti. ¡Por la querida Afrodita, que solo para mi ha quedado una única!" Contexto histórico y mitológico: Las protagonistas son las hijas de Cadmo, el mitológico rey de Tebas. Semele tiene hechizado con su belleza al siempre fácil Zeus, y hasta logra verle el verdadero rostro, por lo que muere calcinada. Para que Dionisios, el hijo de Sémele y Zeus, sobreviva, el rey del Olimpo se tiene que hacerse un útero en el muslo. Solución: 120 manzanas.

XVI

MÁS REPARTO DE MANZANAS (En la Antología Palatina es el 118 y en la de Metrodoro es el 4)

"Un día Mirto fue a recoger manzanas, y con sus amigas las repartió. Ofreció primero una quinta parte a Crisis, y un cuarto a Hero. Mas tarde, Famata recibió un diecinueveavo, Cleopatra una parte sobre diez, y Partenopé hereda un veintavo. Doce manzanas recibe Evadné, y no más. Ciento veinte del total para ella quedaron". Contexto histórico y mitológico: Una vez mas las protagonistas son diosas menores, las ninfas, abundantisimas, estaban asociadas a la fertilidad, las aguas, los bosques, el crecimiento, etc. Solución: 380 manzanas.

XVII

MÁS CHICAS CON MANZANAS (En la Antología Palatina es el 119 y en la de Metrodoro es el 6)

"Ino y Sémele repartieron sus manzanas un día con doce doncellas amigas que se lo pedían. Semelé dio a unas un número par, mientras a otras su hermana solo repartió impares. Ino tenía más manzanas y entregó tres séptimos de su lote a tres de sus compañeras, en tanto otras dos recibieron un quinto entre ambas. Astinomé le cogió once manzanas, ¡y después de eso se quedo solo con dos para llevar a las hermanas pequeñas!. Semelé dio dos cuartos a cuatro doncellas; una quinta un sexto consiguió; Euricoré recibió cuatro manzanas, y Semelé encantada quedo con otras cuatro". Contexto histórico y mitológico: El mismo de lo anteriores epigramas. Solución: Ino tenía 35 manzanas y Sémele solo 24. El enunciado farragoso puede inducir complejidad, pero son dos ejercicios distintos. El dato de par o impar es de mera verificación.

XVIII

LA NOGUERA DESPOSEIDA (En la Antología Palatina es el 120 y en la de Metrodoro es el 7)

"Este nogal tiene pesada carga de nueces, ¡y que pronto la ha perdido! Escucha lo que el árbol cuenta: <<Partenopé me ha despojado de un quinto, Filina cargó con un octavo de las nueces, Aganipé un cuarto y Oritia está feliz con un séptimo. Eurinomé ha recolectado el sexto de las nueces. Las tres Gracias se han repartido cientoseis, y las Musas nueve veces nueve lograron. Siete en lejanas ramas me dejaron>>" Contexto histórico y mitológico: Las Gracias, las Musas y las Ninfas nos vuelven a aparecer. Solución: 1680 nueces tenía el nogal.

XIX

DE CADIZ A ROMA (En la Antología Palatina es el 121 y en la de Metrodoro es el 8)

"Salimos de Gades hacia la ciudad con siete colinas. Un sexto del trayecto nos llevó al borde del Betis que mueve sus ondas. Otro quinto conduce al país Foceo de Pilade en Taurica, la tierra de los bueyes, de ahí el nombre. Desde allí a los abruptos Pirineos un octavo mas el doceavo de un décimo. Entre los Pirineos y los Alpes de frente altiva un cuarto hicimos. Un doceavo, y llegamos a Ausonia, en el Eridan moteado de ámbar. ¡Alegría! He cubierto aun dos millares y cinco centenas ¡Tarpeya real, para verte!". Contexto histórico y mitológico: Las distancias no se corresponden porque se esta escribiendo desde el otro lado del Mediterráneo. La primera etapa es el Guadalquivir (Betis), la segunda puede ser Ampurias (hija de Foceo), la tercera los Pirineos, la cuarta los Alpes, la quinta el río Po (Eridan es el Po, y Ausonia es Italia), y por fin la anhelada Roma. El estadio mide entre 170 y 190 metros, y se corresponde con las medidas de los estadios. Solución: La distancia Cádiz-Roma es 15000 estadios (unos 2700 Km.) La distancia total no es muy desajustada, no son tan exactas las distintas etapas.

XX

MALA FORTUNA (En la Antología Palatina es el 122 y en la de Metrodoro es el 9)

"Justicia de ojo claro, para solo mirarte, tus santos velos he mancillado. Todopoderoso es el oro, ¡y no me queda nada! A mis amigos fueron cuatro decenas de talentos que habían sido míos.¡Perdidos! ¡La suerte me fue contraria! La mitad, el sexto y el octavo de ese oro ya los veo -¡ironía del destino!- en manos de mi enemigo" Contexto histórico y mitológico: No sabemos si la fortuna adversa es la rueda de la vida o el juego. Si es este último no deja de ser fuente inagotable para las matemáticas. El talento equivale a 60 minas, y se conserva como moneda durante la Edad Media. Solución: El capital del desafortunado antes de su desgracia fue de 960 talentos. Su enemigo se ha quedado con 920.

XXI

ULTIMOS DESEOS (En la Antología Palatina es el 123 y en la de Metrodoro es el 10)

"Tu ,hijo mío, cogerás el quinto de mis bienes; tu, mi querida esposa, el doceavo. Y vosotros, los cuatro niños de mi desaparecido hijo, vosotros mis dos hermanos, tu mi tan afligida madre, todos y cada uno tendréis un onceavo de herencia. Primos, vosotros tomad doce talentos. Y para mi amigo Euboleo, es mi deseo que el posea cinco talentos. A mis devotos esclavos doy recompensa y libertad; los siguientes dones serán el precio de su fiel servicio: Onesimos recibirá veinticinco minas, veinte Daos, y cincuenta Siros, diez Sineté, y ocho Tibios. Doy a Sinetos, hijo de Siros, siete minas. Para mi tumba y funeral tomad treinta talentos, y el divino Zeus recibirá un sacrificio. Pondréis dos dobles talentos para la hoguera, harinas y vendas: los honores vanos a rendir a mi cuerpo". Contexto histórico y mitológico: Repartir herencias ha sido una actividad de cierta importancia para el sostenimiento de algunos matemáticos, como hacer horóscopos para otros. En especial los aritméticos musulmanes tienen tratados para el reparto de herencias según el Coran. Este ejercicio tiene curiosidad sociológica: relaciones familiares y sociedad esclavista. Es curioso que el amigo que hereda se llame Eubuleo, "el que da buenos consejos" Solución: Se reparten 660 talentos, recuérdese que un talento son 60 minas.

XXII

EL HILO DE LA VIDA. (En la Antología Palatina es el 124 y en la de Metrodoro es el 11)

"La Luna, el Sol , los caprichosos Astros del Zodiaco, los que giran en tu nacimiento, te han hilado este destino: un sexto de tu tiempo, huérfano vivirás cerca de una madre querida; un octavo, servirás oprimido en casa del enemigo; los dioses te concederán la libertad, una mujer, y pronto un hijo bien amado, que llenarán un tercio de tus días. Después las flechas escitas abatirán a tus seres queridos. Tras haber vertido sobre ellos amargas lágrimas, veras al cabo de veintisiete años la terminación de tu vida". Contexto histórico y mitológico: La astrología occidental proviene de Mesopotamia, pasando por el filtro griego. Fue el propio Ptolomeo quien redacta el manual más usado, el Tetrabiblos. Durante buena parte de tiempo el término matemático y astrólogo han sido equivalentes. La celebre condena de San Agustín es en realidad un anatema contra la astrología. Solución: Vivirá 72 años.

XXIII

EL PANTEÓN (En la Antología Palatina es el 125 y en la de Metrodoro es el 12)

"Soy el panteón que alberga a los hijos tan echados de menos de Filina. Aquí están los frutos que en vano salieron de sus entrañas: un quinto son varones, un tercio chicas, más tres jóvenes esposas que Filina me ha confiado. Y los otros cuatro cayeron en el Aqueronte sin gozar del Sol y de la voz". Contexto histórico y mitológico: Aqueronte fue hijo del Sol y de la Tierra. Como proporciono agua a los titanes, Zeus le convierte en el río del Infierno (hades). Pasar el Aqueronte era perder la vida. Solución: La tumba alberga 15 hijos.

XXIV

LA EDAD DE DIOFANTO

(En la Antología Palatina es el 126 y en la de Metrodoro es el 13)

"Esta es la tumba que guarda las cenizas de Diofanto. Es verdaderamente maravillosa porque, gracias a un artificio aritmético, descubre toda su existencia. Dios le permitió ser niño durante un sexto de su vida; luego de un doceavo la barba pobló sus mejillas; después de un séptimo prendió en él la llama del matrimonio, del que tuvo un hijo a los cinco años; pero ese desgraciado niño, apasionadamente amado, murió apenas llegaba a la mitad de la existencia de su padre. Cuatro años más vivió Diofanto engañando su pena con investigaciones sobre la ciencia de los números" Contexto histórico y mitológico: El ejercicio más conocido de toda la antología. Quizás porque ofrece datos de un matemático enigmático. No podemos situarle, es un caso raro. Su obra recoge la tradición babilónica con metodología griega. La matemática árabe seguirá esa estela, y Descartes cambiara definitivamente la jerarquía: la geometría pasara a segundo plano. En los márgenes de la Aritmética de Diofanto escribió Fermat su conjetura, hoy teorema. Solución: Diofanto según esta fantasía vivió 84 años.

XXV

LA VIDA DE DEMOCARES (En la Antología Palatina es el 127 y en la de Metrodoro es el 14)

"Democares pasó niño el primer cuarto de los años de su vida; un quinto fue joven y el tercio hecho hombre. Y el pelo blanco pobló sus sienes cuando le quedaban trece años de senectud". Contexto histórico y mitológico: En el Asno de Oro de Apuleyo aparece un Democares, pero no hay nada relevante. Solución: Democares vivió 60 años.

XXVI

HERMANO ESTAFADO (En la Antología Palatina es el 128 y en la de Metrodoro es el 15)

"¡Cómo violó mis derechos este hermano desleal al repartir los cinco talentos de nuestro padre! Un quinto de los siete onceavos de su parte, ese es mi lote. Por ello sufro. ¡Oh Zeus, qué bien duermes!". Contexto histórico y mitológico: Problema de fracciones para el reparto de una herencia. Solución: Tiene motivos para lamentarse. Su hermano se lleva 55/62 y el solo 7/62 de los cinco talentos.

XXVII

LA TRAVESIA (En la Antología Palatina es el 129 y en la de Metrodoro es el 16)

"Sobre el navío que rompe la llanura Adriática, pregunta el piloto: ¿Cuánto nos queda de navegar? Marinero -contesta el hombre- entre el cabo Krio, en Creta, y Pelarón, en Sicilia, hay seis mil estadios. Debemos hacer dos veces los dos quintos del camino ya recorrido para desembarcar en Sicilia". Contexto histórico y mitológico: La cultura griega de la polis mas desarrollada como Atenas tenia base comercial; la unificación macedonica y después romana mantuvieron una economía global de todo el Mediterráneo. La Odisea es la muestra más espectacular de la vocación marinera pero también de los peligros. Los cabos son reales. El cabo Pelaron hoy se llama Faro. Solución: Faltan 24000 estadios. Como el estadio son unos 180 m, el recorrido pendiente son 4320 Km.

XXVIII

LAS CUATRO FUENTES (En la Antología Palatina es el 130 y en la de Metrodoro es el 17)

"Cuatro fuentes alimentan el estanque. Una en un día lo llena, otra en dos, otra en tres, y la cuarta en cuatro días. ¿Cuánto les llevara a todas juntas?". Contexto histórico y mitológico: Clásico de grifos. Se inicia toda una serie de ejercicios similares. Solución: Las cuatro fuentes llenan el estanque en 12/25 de día.

XXIX

LA FUENTE CAUDALOSA (En la Antología Palatina es el 131 y en la de Metrodoro es el 18)

"Ábreme, lleno el estanque que aquí hay, yo la caudalosa fuente, en cuatro horas. Mi hermana derecha se retrasa esas mismas horas sobre mí para colmarlo. El tercer manantial se retrasa el doble. Haz correr todas las corrientes y veras que delgada fracción del día nos bastará". Contexto histórico y mitológico: Otro problema de grifos, y como en toda la serie hay que hacer uso de la proporcionalidad inversa. Solución: Las tres fuentes completan en 2/11 de día.

XXX

POLIFEMO (En la Antología Palatina es el 132 y en la de Metrodoro es el 20)

"Es un cíclope, sí, es Polifemo en bronce. ¡Qué bien se han ajustado su boca, su único ojo, y su mano a tres conductos!. Realmente se diría que de allí manan. Y se ve brotar la onda de su boca. Todas esas fuentes tienen el caudal regulado: si la mano mana sola, tres días necesita para el estanque colmar; el ojo, un solo día, y la boca tarda los dos quintos de un día. Decid que tiempo tomaran los tres chorros unidos". Contexto histórico y mitológico: Los cíclopes son gigantes de un solo ojo. El mas celebre fue Polifemo, hijo de Neptuno y una ninfa. Polifemo devoro a seis marineros de Ulises, antes de que Odiseo lo embriague y le ciegue. El ingenio de héroe de Itaca que se hace llamar Nadie le permite escapar ("Ha sido Nadie") Solución: Se necesitaran 6/23 de día para llenar.

XXXI

TRES DIOSES RÍO En la Antología Palatina es el 133 y en la de Metrodoro es el 21)

"¡oh mezcla exquisita la que tres dioses vierten en este cráter: el bienhechor Bromio y sus dos ríos. Pero el caudal de sus aguas no es igual. Manando solo, el Nilo llena la sima en un día, tan abundante emergen de sus senos los fluidos. El Tirso de Baco en tres días lo llena del vino que allí se produce. Y Aqueloo, tu cuerno tarda dos idas. Pero si unís vuestros esfuerzos en muy pocas horas lo colmareis". Contexto histórico y mitológico: Bromio es un sobrenombre de Baco, el Dionisios griego. No solo Baco es dios del vino, es la fuente vivificadora y fertilizadora. Para Euripedes, Bromio es el dios del placer y el optimismo. Aqueloo es el dios pluvial más importante del panteón griego. Hijo de Océano; luchó contra Hércules que le arranca un cuerno, y de allí manara el agua que fertiliza las tierras. Aqueloo es el padre de las sirenas. Tirso es la rama con hiedra que hace de cetro a Baco. Las bacantes usaban el tirso. Solución: El cráter lo llenan en 6/11 de día, es decir en 13 1/11 horas.

XXXII

EL HILADO (En la Antología Palatina es el 134 y en la de Metrodoro es el 22)

"¡Mujer que olvidas tu miseria! ¡Está aquí, siempre amenazante, armada del aguijón del trabajo! Hilabas en un día ordinario una mina de lana; y la mayor de tus hijas sacaba de su rueca un tercio mas que tú. La más joven aportaba la mitad de una mina. Y esta noche, aquí estas, preparando la cena después de haber pesado una sola mina entre las tres". Contexto histórico y mitológico: A los ejercicios de fuentes le sigue su equivalente: trabajos en solitario o en común. En este caso el hilado domestico sugiere una producción para el mercado. Solución: Solo han trabajado 2/5 de día.

XXXIII

TRES AMORES FUENTE (En la Antología Palatina es el 135 y en la de Metrodoro es el 23)

"Somos tres amores, y aquí nos han colocado para verter el agua requerida sobre la bonita bañera. Yo a la derecha, con el extremo de mis alas necesitaría el sexto de un día para rellenarla. El de la izquierda, con su ánfora, en cuatro horas. Y este del medio, con su arco, en una jornada la medio completa. Decid qué corto tiempo nos llevará juntos arco, alas y ánfora". Contexto histórico y mitológico: Los amores ya aparecieron en el tercer epigrama. Solución: Llenaran en 2/19 de día.

XXXIV

LEVANTAR UNA CASA (En la Antología Palatina es el 136 y en la de Metrodoro es el 24)

"Tengo prisa por ver esta casa en pie. Hoy amaneció sin nubes y no me faltan muchos ladrillos: con trescientos más, todo lo necesario tendría. Ladrillero, esa cifra la haces tu en un solo día; tu hijo ha fabricado doscientos cuando la jornada termina, y tu yerno hace el mismo número más cincuenta. Si hago mi pedido a los tres. ¿Cuánto necesitareis?" Contexto histórico y mitológico: Continua la proporcionalidad inversa, en la que se usa el trabajo o el caudal por unidad de tiempo. Solución: Tardaron 2/5 de día.

XXXV

BANQUETE DE TRÁGICO FINAL (En la Antología Palatina es el 137 y en la de Metrodoro es el 25)

"Algunas lagrimas de piedad, paseante, por los desgraciados convidados de Antioco: la casa nos mató al hundirse. La sala de banquetes fue convertida por el cielo en nuestras tumbas. Allí dormíamos cuatro de Tegea, doce de Mesenia y once venían de Argos. Media mesa era de la misma Esparta, más el anfitrión Antioco. Uno sobre veinticinco era de Atenas, y Corintio llora un único muerto, a ti Hilas". Contexto histórico y mitológico: Los Antiocos más celebres son la dinastía seléucida fundada por uno de los generales de Alejandro y que gobernaron Siria hasta la conquista romana. Aunque tuvieron muertes trágicas no parece tratarse de alguno de ellos. Solución: Los desgraciados que mueren en el derrumbamiento eran 50.

XXXVI

LAS CINCO AMIGAS DE NICORETA (En la Antología Palatina es el 138 y en la de Metrodoro es el 26)

"Nicoreta juega con cinco amigas: de las nueces que posee da el tercio a Cleisa, a Safo el cuarto, y el quinto a Aristodica. También da el veintavo a Teano, más el doceavo. A Filina le ofrece el veinticuatroavo. Y para sí han quedado cincuenta nueces". Contexto histórico y mitológico: De las jóvenes descritas, destaca el nombre de Safo, pues su homónima de Lesbos -siglo V aC- está en el origen -con Alfeo- de la poesía lírica griega. Solución: Nicoreta poseía 1200 nueces.

XXXVII

AVANCE SOLAR (En la Antología Palatina es el 139 y en la de Metrodoro es el 27)

"Dime Diodoro, tu, sabio de la gnómica, la hora sobre el celeste orbe a la que la rueda de oro del Sol ha llegado, viniendo de oriente. -Del trayecto hecho multiplica tres quintos por cuatro: obtendrás lo que todavía le queda por recorrer hasta el mar occidental". Contexto histórico y mitológico: Gnómica o nomónica es el arte de construir relojes solares. El gnomón es el palo o lamina triangular cuya sombra marcará la hora. Si Diodoro fuera un personaje real podría ser el citado por Pappus en su colección. Solución: Ha transcurrido 5/17 de día.

XXXVIII

ZEUS NOS ROBA LA LUZ DE SELENE (En la Antología Palatina es el 140 y en la de Metrodoro es el 29)

"Así, Zeus feliz, disfrutas con juegos que son pasatiempo en Tesalia de las mujeres: robar a los mortales la luz de Selene. Lo he visto con ojos propios: de la carrera de la noche, antes del despunte del alba, quedaban dos veces los dos sextos y dos veces el séptimo de lo que de noche fue pasada". Contexto histórico y mitológico: Selene es la divinidad astral identificada con la Luna; el equivalente egipcio -Isis- compitió con fuerza con el cristianismo en sus primeros siglos. La animadversión de Zeus por los mortales se remonta a la primera de las acciones de Prometeo, cuándo lo que ofrecieron a los dioses fueron los huesos de las reses en lugar de la carne. Solución: Zeus ha robado 20/41 de Selene.

XXXIX

ASTROLOGÍA (En la Antología Palatina es el 141 y en la de Metrodoro es el 30)

"De las estrellas dime el curso, y el de los planetas de ayer, cuando mi esposa trajo nuestro hijo al mundo. El día, hasta su ocaso, tenía seis veces todavía los dos séptimos del camino recorrido desde el alba" Contexto histórico y mitológico: Otro ejercicio astrológico. Solución: Ha transcurrido 7/19 del día.

XL

LAS HILANDERAS (En la Antología Palatina es el 142 y en la de Metrodoro es el 32)

"¡Levantaos hilanderas que pasa el día! Un quinto de los tres octavos del resto ya ha huido" Contexto histórico y mitológico: Un trabalenguas, muy habitual en la enseñanza tradicional, donde lingüística, lógica y matemáticas ponían dificultades en problemas sencillos. Solución: Ha huido 3/43 de día.

XLI

HERMANO JUSTO (En la Antología Palatina es el 143 y en la de Metrodoro es el 33)

"La Sirte y su profunda sima han visto a mi padre morir. Del viaje por mar mi hermano con cinco talentos volvió. ¡Hermano incomparable! Me ha dado el doble de los dos tercios que para él guardó. A mi madre ha donado dos octavos de nuestra parte: ¡la sagrada justicia no ha sido violada!". Contexto histórico y mitológico: Sirte es el golfo de Gabes en Túnez. La peligrosidad del mar y sus furias están presentes en los epigramas. Solución: La madre se queda con un talento, el hermano justo con 1 5/7, y el narrador obtiene 2 2/7 talentos.

XLII

ATLANTES (En la Antología Palatina es el 144 y en la de Metrodoro es el 36)

"-Con el pedestal sobre el que reposo juntos alcanzamos un peso respetable. -Pues bien, mi base y yo alcanzamos el mismo número de talentos. -Yo peso, solo, dos veces mas que tu pedestal. -Y yo, solo también, tres veces tu pedestal". Contexto histórico y mitológico: Otro diálogo en clave para averiguar el peso de dos estatuas y sus pedestales. Solución: Sistema diofántico (homogéneo indeterminado). Cuatro incógnitas y solo tres condiciones. Las estatuas pesan 4 y 3 talentos, y sus respectivos pedestales 1 y 2. Los múltiplos de estos números son las infinitas soluciones.

XLIII

INTERCAMBIO (En la Antología Palatina es el 145 y en la de Metrodoro es el 38)

"-Pásame entonces diez minas y seré tres veces mas pesado que tu. -Pásame otro tanto y yo seré hasta cinco como tu" Contexto histórico y mitológico: Estos ejercicios con dos incógnitas son curiosos, como el de los pajarillos del cuento de "Las mil y una noches" que sirve a la esclava Simpatía para vencer a los sabios de Bagdad. Solución: Uno 110/7 minas, y el otro 130/7.

XLIV

OTRO PÁSAME (En la Antología Palatina es el 146 y en la de Metrodoro es el 39)

"-Pásame entonces dos minas y seré dos veces mas pesado que tu. -Pásame otro tanto y yo seré hasta cuatro como tu" Contexto histórico y mitológico: Repetición de ejercicios anteriores. Solución: Uno 26/7 minas, y el otro 34/7.

XLV

EN TROYA (En la Antología Palatina es el 147 , único tomado de la Iliada)

"Había siete hogueras ardiendo, delante de cada una cincuenta parrillas asando cincuenta piezas, y nueve cientos aqueos en cada asado". Contexto histórico y mitológico: Bonita imagen de Homero (u de otro bardo coautor de la Iliada) para expresar la importancia de la guerra que describe a través de la importancia del ejercito que va a castigar a Troya. Solución: 31500 aqueos participan en la conquista de Troya.

Índice de epigramas: I LA ESCUELA PITAGÓRICA. II LA ESTATUILLA DE ORO III AMOR ESTÁ TRISTE IV LOS ESTABLOS DE AUGIAS V UN RELOJ SIN IGUAL VI EL LEÓN DE BRONCE VII LA HERENCIA VIII EL RICO REY CRESO IX LOS GEMELOS ZETO Y ANFIÓN. X LAS GRACIAS. XI LA CORONA XII LA FUNDICIÓN XIII TRES ESTATUAS XIV LAS NUECES XV LAS MANZANAS XVI MÁS REPARTO DE MANZANAS XVII MÁS CHICAS CON MANZANAS XVIII LA NOGUERA DESPOSEIDA XIX DE CADIZ A ROMA XX MALA FORTUNA XXI ULTIMOS DESEOS XXII EL HILO DE LA VIDA. XXIII EL PANTEÓN XXIV LA EDAD DE DIOFANTO XXV LA VIDA DE DEMOCARES XXVI HERMANO ESTAFADO XXVII LA TRAVESIA XXVIII LAS CUATRO FUENTES XXIX LA FUENTE CAUDALOSA XXX POLIFEMO XXXI TRES DIOSES RÍO XXXII EL HILADO XXXIII TRES AMORES FUENTE XXXIV LEVANTAR UNA CASA XXXV BANQUETE DE TRÁGICO FINAL XXXVI LAS CINCO AMIGAS DE NICORETA XXXVII AVANCE SOLAR XXXVIII ZEUS NOS ROBA LA LUZ DE SELENE XXXIX ASTROLOGÍA XL LAS HILANDERAS XLI HERMANO JUSTO XLII ATLANTES XLIII INTERCAMBIO XLIV OTRO PÁSAME XLV EN TROYA