aritmetica para cuarto de secundaria
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Aritmetica para Cuarto de Secundaria
A continuacion presentaremos los temas realizados en el curso de
aritmetica del 4to año de secundaria:
Primer Bimestre:
-Teoria de Conjuntos
-Numeración
Segundo Bimestre:
-Conteo Numérico
-Progresion Aritmetica
-Divisibilidad
Tercer Bimestre:
-Regla de Tres Simples y Compuesta
-Promedios
-Magnitudes Proporcionales
Cuarto Bimestre:
-Reparto Proporcional
-Regla del Tanto por Ciento
Integrantes:
-Hugo Chávez Marín.
-Leslie E. Basurto Cueto.
-María Marchinares García.
TEORÍA DE CONJUNTOS
DEFINICIÓN DE CONJUNTO Un conjunto es un grupo de elementos u objetos
especificados en tal forma que se puede
afirmar con
certeza si cualquier objeto dado pertenece o no
a la agrupación. Para denotar a los conjuntos,
se usan
letras mayúsculas.
Cuando un elemento 1 x pertenece a un
conjunto A se expresa de forma simbólica
como: x Î A 1 . En
caso de que un elemento 1 y no pertenezca a
este mismo conjunto se utiliza la notación: y Ï
A 1
Existen cuatro formas de enunciar a los
conjuntos:
1) Por extensión o enumeración: los elementos
son encerrados entre llaves y separados por
comas. Es decir, el conjunto se describe
listando todos sus elementos entre llaves.
2) Por comprensión: los elementos se
determinan a través de una condición que se
establece
entre llaves. En este caso se emplea el símbolo
| que significa “tal que". En forma simbólica es:
{ ( ) } { } n A = x P x = x ,x ,x ,×××,x 1 2 3
que significa que el conjunto A es el conjunto
de todos los elementos x tales que la condición
P(x) es
verdadera, como 1 2 3 x ,x ,x , etc1.
3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas
que sirven para visualizar el contenido de un
conjunto o las relaciones entre conjuntos2.
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que
describe la característica que es común para los
elementos.
Ejemplo:
Dada la descripción verbal “el conjunto de las
letras vocales”, expresarlo por extensión,
comprensión y
por diagrama de Venn.
Solución.
Por extensión: V = {a,e,i,o,u }
Por comprensión: V = {x x es una vocal }
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de
generación que permiten construir todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como
donde:
Es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del
sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son
{0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
son las reglas que nos indican qué números son válidos en el
sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las
reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana
requiere reglas algo más elaboradas.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración
considerado, pero una regla común a todos es que para construir
números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se
pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una
cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de
símbolos que se pueden representar en dicho sistema.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas
utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20
(vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron
independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1
Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con
algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las
inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de
hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias
líneas el poder representarlas.
Clasificación
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes
grupos: posicionales y no-posicionales:
En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo
utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el
número.
En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de
un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que
ése símbolo ocupa en el número.
Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en
cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen
sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a
veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas
pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen
nombres basados en numerales más pequeños.
Sistemas de numeración no posicionales
Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la
mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de
cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con
nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la
coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del
antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en
Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos .
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas
utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20
(vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron
independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1
Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con
algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2
Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas
de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba
varias líneas el poder representarlas.
Sistemas de numeración posicionales
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración
posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un
sistema de numeración posicional tiene base b significa que
disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y
que b unidades forman una unidad de orden superior.
Ejemplo en el sistema de numeración decimal
Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar
a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos
seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para
representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una
nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos
de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo
orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.
De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los
símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos
(sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la
derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de
la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la
ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como
resultado nos queda que 99+1=100.
El cuentakilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración
posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la
columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha
completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se
añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.
Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal
que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por
hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que
encierra esa expresión.
Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la
población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas
de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como
este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema
binario, de base 8 sistema octal y el de base 16 sistema
hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de
numeración posicional el cual ya no se usa.
Tipos de Soluciones
Presentamos 2 formas de resolver este problema:
a)Primera Forma: Digamos que esta la forma trivial de realizar
este proceso.
Convertimos el número 1238 a un número en base 10 (la que
usamos),a través de la descomposición polinómica de la siguiente
forma:
Luego convertimos el número 83 a un número en base 2 (binario) a
través de divisiones sucesivas:
Procedemos a escribir los números de color azul, empezando con el
número que se encuentra en la parte mas inferior para terminar con
la que se encuentra en la parte superior obteniendo así el número
en base 2, es decir:
ó
Luego diremos que el número 123 en base 8 es equivalen al número
83 en base 10 y estos a su vez son equivalentes al número 1010011
en base 2.
Segunda Forma
Examinemos la siguiente tabla, nos muestra números en el sistema
decimal(de base 10), en el sistema octal(base 8) y en el sistema
binario(base 2).
Vemos las equivalencias entre los valores de los distintos sistemas
de numeración, por ejemplo el número 5 en base 10 es equivalente al
número 5 en base 8(octal) y a su vez estos son equivalentes al
número 101 en base 2(binario).
Cuando queramos convertir un número de base 2 a base 8 o viceversa es conveniente expresar los números de base 2(sistema binario) como números de 3 cifras como en la tabla.
Según la tabla vemos que 1 en base 8 es equivalente a 001 en base
2; 2 en base 8 es equivalente a 010 en base 2 y 3 en base 8 es
equivalente a 011 en base 2.
Ahora solo reemplazamos las equivalencias anteriores en el número
1238, obtenemos:
Despreciando los ceros de la izquierda del número anterior que esta
en base 2, tenemos:
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que
cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un
número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la
progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos
números, es construir una progresión aritmética que tenga por
extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7 , -12.
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se
cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma
de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión :
8, 3, -2, -7, -12, ...
DIVISIBILIDAD
Un número b es divisible por otro a cuando la división es
exacta.
Criterios de divisibilidad
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
24, 238, 1024.
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.
564
5 + 6 + 4 = 15, es mútiplo de 3
2040
2 + 0 + 4 + 0 = 6, es mútiplo de 3
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.
45, 515, 7525.
Criterio de divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.
343
34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7
105
10 - 5 · 2 = 0
2261
226 - 1 · 2 = 224
Volvemos a repetir el proceso con 224.
22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.
Criterio de divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.
121
(1 + 1) - 2 = 0
4224
(4 + 2) - (2 + 4) = 0
Otros criterios de divisblilidad :
Criterio de divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
36, 400, 1028.
Criterio de divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.
72, 324, 2 400
Criterio de divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
4000, 1048, 1512.
Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.
81
8 + 1 = 9
3663
3 + 6 + 6 + 3 = 18, es mútiplo de 9
Criterio de divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.
130, 1440, 10 230
Criterio de divisibilidad por 25
Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o
múltiplo de 25.
500, 1025, 1875.
Criterio de divisibilidad por 125
Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son
ceros o múltiplo de 125.
1000, 1 125, 4 250.
Regla de Tres
La regla de tres es un instrumento muy sencillo y
útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla
operación que nos va a permitir encontrar el
cuarto término de una proporción, de la que sólo
conocemos tres términos. Así, por ejemplo, nos
permite saber cuánto cuestan dos kilos de patatas
si el cartel del mercado marca el precio
de un kilo, o calcular el precio de 150 bolígrafos si la caja de cinco unidades vale 60 céntimos de euro. Además, la regla de tres nos va a permitir operar
al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido.
Tipos:
Regla de tres simple y directa
Se aplica cuando dadas dos cantidades
correspondientes a magnitudes directamente
proporcionales, hay que calcular la cantidad de
una de estas magnitudes correspondiente a una
cantidad dada de la otra magnitud.
La regla de tres directa la aplicaremos cuando
entre las magnitudes se establecen las
relaciones:
A más más.
A menos menos.
Ejemplos
Un automóvil recorre 240 km en 3 horas.
¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2
horas?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya
que a menos horas recorrerá menos kilómetros.
240 km 3 h
x km 2 h
Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan
0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya
que a más kilos, más euros.
2 kg 0.80 €
5 kg x €
Regla de tres simple inversa
Consiste en que dadas dos cantidades
correspondientes a magnitudes inversamente
proporcionales, calcular la cantidad de una de
estas magnitudes correspondiente a una
cantidad dada de la otra magnitud.
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando
entre las magnitudes se establecen las
relaciones:
A más menos.
A menos más.
Ejemplo
Un grifo que mana 18 l de agua por minuto
tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto
tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya
que a menos litros por minuto tardará más en
llenar el depósito.
18 l/min 14 h
7 l/min x h
3 obreros construyen un muro en 12 horas,
¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya
que a más obreros tardarán menos horas.
3 obreros 12 h
6 obreros x h
Regla de tres compuesta :
La regla de tres compuesta se emplea cuando
se relacionan tres o más magnitudes, de modo
que a partir de las relaciones establecidas
entre las magnitudes conocidas obtenemos la
desconocida.
Una regla de tres compuesta se compone de
varias reglas de tres simples aplicadas
sucesivamente.
Como entre las magnitudes se pueden
establecer relaciones de proporcionalidad
directa o inversa, podemos distinguir tres casos
de regla de tres compuesta:
Regla de tres compuesta directa
Ejemplo
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias
han consumido una cantidad de agua por valor
de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15
grifos abiertos 12 horas durante los mismos
días.
A más grifos, más euros Directa.
A más horas, más euros Directa.
9 grifos 10 horas 20 €
15 grifos 12 horas x €
Regla de tres compuesta inversa
Ejemplo
5 obreros trabajando, trabajando 6 horas
diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto
tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
A menos obreros, más días Inversa.
A más horas, menos días Inversa.
5 obreros 6 horas 2 días
4 obreros 7 horas x días
Regla de tres compuesta mixta
Ejemplo
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a
razón de 6 horas por día un muro de 30 m.
¿Cuántos días necesitarán 10 obreros
trabajando 8 horas diarias para realizar los 50
m de muro que faltan?
A másobreros, menos días Inversa.
A más horas, menosdías Inversa.
A más metros, más días Directa.
8 obreros 9 días 6 horas 30
m
10 obreros x días 8 horas 50 m
11 obreros labran un campo rectangular de 220
m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos
obreros serán necesarios para labrar otro
campo análogo de 300 m de largo por 56 m de
ancho en cinco días?
220 · 48 m² 6 días 11 obreros
300 · 56 m² 5 días x obreros
Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un
depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas
horas tardarán cuatro grifos en llenar 2
depósitos de 500 m³ cada uno?
6 grifos 10 horas 1 depósito
400 m³
4 grifos x horas 2 depósitos
500 m³
PROMEDIO
Promedio Aritmético:
En matemáticas y estadisticas , la media aritmética (también llamada
promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor
característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que
parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene
a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de
sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de
media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.
Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética)
es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada
observación.
Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que
tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres
y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una
forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo)
suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la
variable.
También la media aritmética puede ser denominada como centro de
gravedad de una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.
Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida
muy sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a
aumentarla mientras que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que
implica que puede dejar de ser representativa de la población.
Dados los n números , la media aritmética se define como:
Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:
Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para
representar la media de una muestra ( ), mientras que la letra µ (mu) se
usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de
una variable.
En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por
n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística.
Promedio Geométrico:
En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad
arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto
de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica,
para promediar razones, interés compuesto y números índices.
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería
Promedio Ponderado:
Es una Medida de Tendencia Central, que es apropiada en el caso cuando en
un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa o peso
respecto de los demás datos, y se obtiene del cociente entre la suma de los
productos de cada dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos.
== Concepto == Para una serie de datos :
a la que corresponden los pesos
la media ponderada se calcula como:
Un ejemplo es la obtención de la media ponderada de las notas de en la que
se asigna distinta importancia (peso) a cada una de las pruebas de que
consta el examen, entonces se multiplicaría cada nota por su
correspondiente peso y el resultado obtenido se divide entre la suma de los
pesos asignados.
Promedio Armonico:
La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de
números que se definen en relación con alguna unidad, por
ejemplo la velocidad(distancia por unidad de tiempo).
Por ejemplo, la media armónica de los números:
34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:
Magnitudes Proporcionales:
Magnitudes Directamente Proporcionales:
Dos magnitudes son directamente proporcionales
cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por
un número cualquiera, la otra queda multiplicada
o dividida por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos
magnitudes cuando:
A más corresponde más.
A menos corresponde menos.
Son magnitudes directamente proporcionales, el
peso de un producto y su precio.
Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50
céntimos.
Es decir:
A más kilógramos de tomate más euros.
A menos kilógramos de tomate menos euros.
También son directamente proporcionales:
El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado.
El volumen de un cuerpo y su peso.
La longitud de los lados de un polígono y su área.
Magnitudes Inversamente proporcionales:
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al
multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la
otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos
magnitudes cuando:
A más corresponde menos.
A menos corresponde más.
Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el
tiempo:
A más velocidad corresponde menos tiempo.
A menos velocidad corresponde más tiempo.
Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es
de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la
mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del
trayecto será de 3 horas.
Repartos proporcionales
Repartos directamente proporcionales:
Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una
magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de
las magnitudes dadas.
Ejemplo
Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de
8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus
edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Llamamos x, y, z a las cantidades que le
corresponde a cada uno.
1º El reparto proporcional es:
2º Por la propiedad de las razones iguales:
3º Cada nieto recibirá:
Repartos inversamente proporcionales:
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una
magnitud total, debemos hacer un reparto
directamente proporcional a las inversas de las
magnitudes.
Ejemplo
Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar
entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son
de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son
inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto
aporta cada uno?
1º Tomamos los inversos:
2º Ponemos a común denominador:
3º Realizamos un reparto directamente
proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.
Regla
del Tanto Por Ciento
El Tanto Por Ciento de un Número (N):
Se denomina así al número de partes iguales que se toman de
una cantidad N, dividida en 100 partes iguales.
Para determinar el tanto por ciento de un número N, podemos
recurrir a la regla de tres simple.
Cantidad Porcentaje
N 100% Regla de 3 directa
X p%
Entonces: N = 100 x = p . N
X p 100
Luego: p% de N = p . N
100
Ejemplos:
1. Hallar el 36% de 250.
Resolvemos:
36% de 250 = 36 x 250
100
= 900 = 90
10
2. ¿Qué tanto por ciento de 480 es 72?
Resolvemos:
P% de 480 = 72
p . 480 = 72
100
p = 72 x 100 = 15
480
Tanto por ciento del tanto por ciento:
Se refiere al tanto por ciento que se considera de otro tanto
por ciento de un número.
• Regla Practica: Calcular el a% del b% del c% de un número N.
Entonces:
x = a% x b% x c% x N
Luego: x = a x b x c x N
100 100 100