Matematicas I

Clase PD1

“Argumentos - Conjuntos”

16 de agosto de 2019

1

Argumentos - Conjuntos

Definicion. Una proposicion es un enunciado que tiene la cualidad de ser verdadera o de ser

falsa.

p

V

F

Argumentos - Conjuntos

La negacion.

p ¬p

V F

F V

� ¬p : no p, no es cierto que p, es falso que p

Argumentos - Conjuntos

La conjuncion.

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

� p ∧ q :

p y q

pero, sin embargo, por otro lado

� ¬p ∧ ¬q : ni p ni q

� p ∧ q ≡ V si y solo si todas son V

� p ∧ q ≡ F si y solo si alguna es F

Argumentos - Conjuntos

La disyuncion inclusiva.

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

� p ∨ q : p o q

� p ∨ q ≡ F si y solo si todas son F

� p ∨ q ≡ V si y solo si alguna es V

� p ∨ q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)

Argumentos - Conjuntos

La disyuncion exclusiva.

p q p Y q

V V F

V F V

F V V

F F F

� p Y q : “o bien p o bien q”, “p o q, pero no ambas”

� p Y q ≡ F si y solo si p ≡ q

� p Y q ≡ V si y solo si p ≡ ¬q

� p Y q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

� p Y q → p ∨ q ≡ V

� p Y F ≡ p

Argumentos - Conjuntos

La condicional: p→ q

p q p→ q

V V V

V F F

F V V

F F V

� p→ q : si p entonces q

� p : antecedente, q : consecuente

� p→ q ≡ F solo hay una posibilidad p ≡ V y q ≡ F

� F → q ≡ V

� V → p ≡ p

� p→ V ≡ V

� p→ F ≡ ¬p

Argumentos - Conjuntos

La condicional: p→ q (lenguaje coloquial)

� p→ q :

si p, q

q, si p

p, solo si q

q a menos que ¬p

q, dado que p

q, siempre que p

� p⇒ q

tautologıa

:

p implica q

p es condicion suficiente para q

q es condicion necesaria para p

Argumentos - Conjuntos

La bicondicional: p↔ q

p q p↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

� p↔ q :

p si y solo si q

p si y solamente si q

p es lo mismo que q, p significa que q

� p↔ q ≡ V si y solo si p ≡ q

� p↔ q ≡ F si y solo si p ≡ ¬q

� p⇔ q

tautologıa

:

p es equivalente a q

p es condicion necesaria y suficiente para q

Argumentos - Conjuntos

Conectivos logicos:

p q p ∧ q p ∨ q p→ q p Y q p↔ q

V V V V V F V

V F F V F V F

F V F V V V F

F F F F V F V

Argumentos - Conjuntos

Principios Logicos I.

p ∧ p ≡ p

p ∧ q ≡ q ∧ p

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (directa e inversa)

p ∧ F ≡ F

p ∧ V ≡ p

p ∧ ¬p ≡ F

¬¬p ≡ p

Argumentos - Conjuntos

Principios Logicos II.

p ∨ p ≡ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (directa e inversa)

p ∨ F ≡ p

p ∨ V ≡ V

p ∨ ¬p ≡ V

¬¬p ≡ p

Argumentos - Conjuntos

Leyes de Morgan.

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (directa e inversa)

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Argumentos - Conjuntos

Definicion. Un argumento es una lista de proposiciones P1, P2, . . . , Pn, llamadas premisas y una

proposicion Q llamada conclusion. Un argumento se denota por

P1, P2, . . . , Pn ` Q

Argumentos - Conjuntos

Definicion. Un argumento es valido se cumple lo siguiente: si asumiendo que todas las premisas

son verdaderas, entonces la conclusion tambien lo es.

El siguiente argumento es valido?

p , ¬p , q ` p ∧ q

Argumentos - Conjuntos

Teorema. El argumento P1, P2, . . . , Pn ` Q es valido si y solamente si

P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn → Q

es una tautologıa (tabla de verdad).

Argumentos - Conjuntos

Negacion de cuantificadores.

� ¬(∀x ∈ A, [P (x)]

)≡ ∃x ∈ A, [¬P (x)]

� ¬(∃x ∈ A, [P (x)]

)≡ ∀x ∈ A, [¬P (x)]

Argumentos - Conjuntos

Segmentacion de cuantificadores.

� ∀x ∈ U, [p(x) ∧ q(x)] ≡(∀x ∈ U, [p(x)]

)∧(∀x ∈ U, [q(x)]

)� ∃x ∈ U, [p(x) ∨ q(x)] ≡

(∃x ∈ U, [p(x)]

)∨(∃x ∈ U, [q(x)]

)

Argumentos - Conjuntos

Justifique porque las siguientes segmentaciones son falsas.

� ∀x ∈ U, [p(x) ∨ q(x)] ≡(∀x ∈ U, [p(x)]

)∨(∀x ∈ U, [q(x)]

)� ∃x ∈ U, [p(x) ∧ q(x)] ≡

(∃x ∈ U, [p(x)]

)∧(∃x ∈ U, [q(x)]

)U = Z, p(x) : x es par, q(x) : x es impar

Argumentos - Conjuntos

Contraejemplo.

Demostrar que la siguiente proposicion es falsa

∀x ∈ A, [P (x)]

es equivalente a demostrar que su negacion es verdadera

∃a ∈ A, [¬P (a)]

En logica formal a es llamado un contraejemplo, el cual prueba la falsedad del enunciado original.

Argumentos - Conjuntos

Equivalencias notables.

p→ q ≡ ¬p ∨ q

¬(p→ q) ≡ p ∧ ¬q

p→ q ≡ ¬q → ¬p

p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p)

p↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ ¬ (p ∨ q)

¬(p↔ q) ≡ (¬p)↔ q

p Y q ≡ ¬(p↔ q)

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Argumentos - Conjuntos

Variantes condicionales. La proposicion condicional esta asociada a otras tres proposiciones

importantes, estas son: la recıproca, la inversa y la contrapositiva.

condicional p→ q

contrapositiva ¬ q → ¬ p

recıproca q → p

inversa ¬ p→ ¬ q

condicional ≡ contrapositiva, recıproca ≡ inversa

Inferencia. Es el acto de mostrar la veracidad de una proposicion asumiendo la veracidad de

otras.

Argumentos - Conjuntos

Argumentos validos notables. Demuestre que los siguientes argumentos son validos.

p→ q , p ` q modus ponens

p→ q , ¬q ` ¬p modus tollens

p→ q , q → r ` p→ r silogismo hipotetico

p ∨ q , ¬p ` q silogismo disyuntivo

p→ q , r → s , p ∨ r ` q ∨ s dilema constructivo

p ∧ q ` p simplificacion

p ` p ∨ q adicion

p→ q , p→ ¬q ` ¬p reduccion al absurdo

p→ q , ¬p→ q ` q dilema constructivo

Argumentos - Conjuntos

Metodo por contradiccion (o por reduccion al absurdo o indirecto).

Justificacion logica.

p ≡(¬p)→

F

(r ∧ ¬r)

absurdo

p→ q ≡(p ∧ ¬q

)→

F

(r ∧ ¬r)

absurdo

Argumentos - Conjuntos

Problema. Demuestre las siguientes propiedades aplicando el metodo por contradiccion:

(1) Sean a y b numeros naturales. Si a + b ≥ 20 entonces a ≥ 10 o b ≥ 10.

(2) Sea n un numero natural. Si n2 es par entonces n es par.

(3)√

3−√

2 no es un numero racional.

Argumentos - Conjuntos

Solucion. (1) En lenguaje logico formal:

∀a ∈ N,∀b ∈ N,[a + b ≥ 20→ (a ≥ 20 ∨ b ≥ 20)

]Asumamos que es falsa

∀a ∈ N,∀b ∈ N,[a + b ≥ 20→ (a ≥ 20 ∨ b ≥ 20)

]≡ F

entonces su negacion es verdadera

∃a ∈ N,∃b ∈ N,[a + b ≥ 20 ∧ a > 20 ∧ b > 20

]≡ V

entonces como a > 20 y b > 20 entonces a + b > 20 lo cual es absurdo o una contradiccion con

a + b ≤ 20. Por lo tanto queda demostrada la propiedad (1).

Argumentos - Conjuntos

Jerarquıa de los cuantificadores.

Las siguientes proposiciones en general no son equivalentes:

� ∀x ∈ A,∃y ∈ B, [P (x, y)]

y puede depender de x

� ∃y ∈ B, ∀x ∈ A, [P (x, y)]

y esta fijo y x es independiente de y

Argumentos - Conjuntos

Problema. Justifique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

(a) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x + y = 0.

(b) ∃x ∈ Z, ∃y ∈ Z, x + y = 0.

(c) ∃x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x + y = 0.

(d) ∀y ∈ Z, ∃x ∈ Z, x + y = 0.

Argumentos - Conjuntos

Solucion.

(a) Falsa. Contraejemplo x = 1, y = 2

(b) Verdadera. x = 1, y = −1

(c) Falsa. Para y = 1: x + 1 = 0. Para y = 2: x + 2 = 0. Entonces 1 = 2 (F).

(d) Verdadera. Para cada x existe y = −x tal que x + y = 0.

Argumentos - Conjuntos

Metodo abreviado para determinar si un argumento es valido o invalido

P1, P2, . . . , Pn ` Q

� Asumimos la premisas P1, P2, . . . , Pn verdaderas y la conclusion Q falsa.

� Si llegamos a un absurdo (esto es, una contradicion t ∧ ¬t ≡ F ) entonces el argumento es

valido.

� Si encontramos una combinacion de valores que cumplan las condiciones establecidas, en-

tonces el argumento es invalido (evaluar).

Aplicacion. Determine si el siguiente argumento es valido o invalido:

q → p , ¬r ` q

Argumentos - Conjuntos

Contencion e igualdad de conjuntos.

� A ⊂ B es equivalente a mostrar que

∀x ∈ U, [x ∈ A→ x ∈ B]

� A = B es equivalente a mostrar que

∀x ∈ U, [x ∈ A↔ x ∈ B]

Argumentos - Conjuntos

Teorema. Sea U un conjunto universal.

� Para todo conjunto A se cumple que ∅ ⊂ A.

� El conjunto vacıo es unico.

� (A = ∅) ≡ ∀x ∈ U, [x /∈ A].

Argumentos - Conjuntos

Principios de conjuntos I. Si A,B,C son subconjuntos de un universo U , entonces

A ∩ A = A

A ∩B = B ∩ A

(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (directa e inversa)

A ∩∅ = ∅

A ∩ U = A

A ∩ Ac = ∅

(Ac)c = A

Argumentos - Conjuntos

Principios de conjuntos II. Si A,B,C son subconjuntos de un universo U , entonces

A ∪ A = A

A ∪B = B ∪ A

(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (directa e inversa)

A ∪∅ = A

A ∪ U = U

A ∪ Ac = U

(Ac)c = A

Argumentos - Conjuntos

Leyes de Morgan. Si A,B son subconjuntos de un universo U , entonces

(A ∩B)c = Ac ∪Bc (directa e inversa)

(A ∪B)c = Ac ∩Bc

Argumentos - Conjuntos

Diferencia simetrica. Mostramos tres definiciones equivalentes

(a) A∆B = (A−B) ∪ (B − A).

(b) A∆B = (A ∪B)− (A ∩B).

(c) A∆B ={x ∈ U, x ∈ A Y x ∈ B

}.

donde A,B son subconjuntos de un universo U .

Argumentos - Conjuntos

Dominio. Si R ⊂ A×B es una relacion entonces el dominio de R se define como

dom R = {x ∈ A : ∃y ∈ B, [(x, y) ∈ R]}

Rango. Si R ⊂ A×B es una relacion entonces el rango de R se define como

ran R = {y ∈ B : ∃x ∈ A, [(x, y) ∈ R]}

Argumentos - Conjuntos

Funcion. Una relacion R ⊂ A×B es una funcion, cuando cada elemento del dominio se relaciona

con un unico elemento del rango. Es decir

∀x ∈ domR, ∃! y ∈ ranR, [(x, y) ∈ R]

esto es equivalente a decir que

∀x ∈ A, ∀y, z ∈ B,[(x, y) ∈ R ∧ (x, z) ∈ R→ y = z

]Determine si las siguientes relaciones en R son funciones:

S = {(x, y) ∈ R× R : x2 + y2 = 1}

T = {(x, y) ∈ R× R : x2 + y2 = 1 ∧ y ≥ 0}

Argumentos y Cuantificadores

Problema. Determine la validez del siguiente argumento.

(¬p)→ q q → (¬r) r ∨ s ¬s ` p

Argumentos y Cuantificadores

Problema. Determine la validez del siguiente argumento.

p ∨ q ↔ ¬ r ¬ p→ s ¬ t→ q s ∧ t→ u ` r → u

Argumentos y Cuantificadores

Problema. Decimos que un ano es bisiesto si es divisible por 4, excepto el ultimo de cada siglo,

salvo que este ultimo sea divisible por 400. Establezca una formula logica para determinar si un

ano dado es bisiesto.

Argumentos y Cuantificadores

Solucion. Establecemos nuestro diccionario:

p : es divisible entre 4

q : es divisible entre 100

r : es divisible entre 400

Entonces un ano es bisiesto si cumple la siguiente formula logica: p ∧ (¬ q ∨ r).

Argumentos y Cuantificadores

Problema. Determine la validez de los siguientes argumentos.

¬ q ↔ p ¬ q ↔ r ¬ r ↔ s ∨ p ` s

p Y q q → p ` ¬q ∧ p

r ∨ s p→ q ¬p→ ¬r p→ ¬q ` s ∨ t