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UNIVERSIDADE DE BRASLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
TEORIA DO ARCO DE ALVENARIA: UMA PERSPECTIVA
HISTRICA
PATRICIA CRISTINA CUNHA NUNES
ORIENTADOR: LINEU JOS PEDROSO
DISSERTAO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E
CONSTRUO CIVIL
BRASLIA/DF: ABRIL 2009
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FICHA CATALOGRFICA
NUNES, PATRCIA CRISTINA CUNHA
Teoria do Arco de Alvenaria: Uma Perspectiva Histrica [Distrito Federal] 2009.xvi, 160p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e Construo Civil, 2009).Dissertao de Mestrado Universidade de Braslia. Faculdade de Tecnologia.
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.
1.Arco 2.Arco de Alvenaria
3.Engenharia Estrutural 4.Teoria das Estruturas
I. ENC/FT/UnB II. Ttulo (srie)
REFERNCIA BIBLIOGRFICA
NUNES, P. C. C. (2009). Teoria do Arco de Alvenaria: Uma Perspectiva Histrica.Dissertao de Mestrado em Estruturas e Construo Civil, Publicao E.DM-005A/09,Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Braslia, Braslia, DF,160p.
CESSO DE DIREITOSAUTOR: Patrcia Cristina Cunha Nunes.
TTULO: Teoria do Arco de Alvenaria: Uma Perspectiva Histrica.
GRAU: Mestre ANO: 2009
concedida Universidade de Braslia permisso para reproduzir cpias desta dissertao
de mestrado e para emprestar ou vender tais cpias somente para propsitos acadmicos ecientficos. O autor reserva outros direitos de publicao e nenhuma parte dessa dissertaode mestrado pode ser reproduzida sem autorizao por escrito do autor.
_________________________________________
Patrcia Cristina Cunha NunesSHIL QI 15 Conj. 04 Casa 04, Lago Norte.71.535-245 Braslia DF [email protected]
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UNIVERSIDADE DE BRASLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
TEORIA DO ARCO DE ALVENARIA: UMA PERSPECTIVA
HISTRICA
PATRICIA CRISTINA CUNHA NUNES
DISSERTAO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DEENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DETECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASLIA COMO PARTEDOS REQUISTOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAUDE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUO CIVIL.
APROVADA POR:
_________________________________________________
Prof. Lineu Jos Pedroso, Dr. Ing. (ENC-UnB)
(Orientador)
_________________________________________________
Prof. Luciano Mendes Bezerra, PhD (ENC-UnB)
(Examinador Interno)
_________________________________________________
Prof. Jos Manoel Morales Snchez , DSc. (FAU-UnB)
(Examinador Externo)
BRASLIA/DF, 28 DE ABRIL DE 2009
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Dedicado a todos os cientistas dos quais a razo apaixonadaguiou os passos da descoberta.
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AGRADECIMENTOS
Agradeo aos meus pais, in memoriam, pelo incio de toda a minha caminhada, pelos
valores morais e ticos que me foram passados to importantes quando se resolve abraara carreira acadmica como uma escolha de vida. Pelo incentivo que sempre recebi, desdepequenininha, ao lecionar para meus alunos invisveis, com meu quadro negro feito dasplacas de cimento do muro da minha casa em construo e pequenos pedaos de gizrecebidos com carinho da professora amorosa da primeira srie, a Tia Assucena, de umaescola pblica da cidade satlite prxima ao Plano Piloto de Lcio Costa!
Aos meus amados irmos, Helena, Sandra e Carlos, que possibilitaram meu ingresso nauniversidade e a descoberta de um mundo muito maior do que poderia imaginar em meussonhos de infncia para o meu futuro. Stela, in memoriam, minha irm querida queacompanhou meus paizinhos queridos naquele acidente fatal... 23 anos recm completosde pura razo e lucidez das metas a serem cumpridas na vida, embaladas em uma meiguicenica.
tia Gracinha, irm querida da minha mezinha, que representa todo o amor verdadeiroque uma famlia pode sonhar em ter de sua matriarca. Generosa e leal a todos e a tudo oque acredita ser verdadeiro. Sbios conselhos a quem tem ouvidos para ouvir suaspalavras.
Vernica e ao Bira, que carinhosamente me recebem como uma filha, aps um longocaminho, sendo os pais que to cedo perdi...
Dinda Lucila Lacerda Fontoura, escritora da vida e dos sentimentos mais nobres que
algum pode ter. Exemplo de fibra, fora, f, perseverana e amor ao prximo. Honrosa acada palavra que nos deixa em seus poemas e crnicas.
Aos tantos amigos que reconheceram em mim, por vezes, a Sra. Zineide minhamezinha, to sensata e doce, e o Sr. Alberto meu pai querido, apaixonado e verdadeiro;a esses amigos que me fizeram lembrar, nos difceis momentos, de ser ora um, ora ooutro.
Ao professor Federico Foce, da Universidade de Gnova, pela ajuda to atenciosa econstante alm dos esclarecimentos valiosos; ao professor Ekkehard Ramm, daUniversidade de Stuttgart, pelas conversas sobre a histria da teoria das estruturas (emespecial, a prima-dona das estruturas as belas estruturas em casca) e experincia
compartilhada; a Benedikt Schleicher, Ove Arup Londres, pelas informaes e recepo;a Holger Falter, Ove Arup Dublin, pelo empenho em fazer acontecer alguns encontros;ao professor Karl-Eugen Kurrer, pelas palavras de incentivo.
Universidade de Braslia (UnB), pela infra-estrutura e Coordenao deAperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CAPES) pela bolsa de estudos. AoPrograma de Ps-graduao em Estruturas e Construo Civil (PECC), pelo aceite de umaaluna arquiteta e pelo apoio at o instante da defesa.
Ao professor e orientador Lineu Jos Pedroso pelo incentivo constante busca doconhecimento.
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Pela confiana do corpo docente em minha capacidade, especialmente aos professoresLuciano Mendes Bezerra, pela excelncia dos cursos ministrados to importantes paraminha formao; Maria de Ftima Souza e Silva, pelo incentivo pesquisa; Rosa Maria
Sposto, to solcita e amiga como coordenadora do PECC no binio; Jos Luis Vital deBrito, pela pacincia e direcionamento investigativo; Paul William Partridge, pelosconselhos objetivos; Neusa Maria Bezerra Mota, pela ampliao dos horizontes; GracielaDoz de Carvalho, pelas conversas e contedo tcnico adquirido.
Aos amigos engenheiros Carlos Augusto e Soraya, pelo apoio e carinho.
Aos professores da Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da UnB que, como nas palavrasdo professor Frank Svenson, provocaram as inquietaes propulsoras da busca peloconhecimento; Jaime Almeida, pelo exemplo profissional e pela serenidade; Cristina Juc,pelas palavras encorajadoras; e, especialmente ao professor Jos Manoel Morales Snchezque nos idos de 1998 e 1999 tanto me influenciou na busca por compreender melhor o
comportamento das estruturas. Tal interesse foi alm da minha graduao, culminando naescolha do tema da presente dissertao. Esse processo no foi to fcil como dizerbolacha, mas serviu como um belo incentivo.
E, especialmente, ao meu marido, luz que Deus acendeu na minha vida para que eupudesse seguir pelo escuro trajeto da vida e chegar a um porto seguro. Amor maior quepossibilitou alcanar e vencer os mais distantes e pedregosos caminhos. Raul, sem vocno seria possvel!
Patrcia Cristina Cunha Nunes
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Arco non altro che una fortezza causata da due debolezze.
O arco no outra coisa seno uma fortaleza resultante de duas fraquezas.
Leonardo da Vinci
[1] Representao medieval alegrica do tringulo eqiltero e, porextenso, do arco ogival eqiltero (Villard de Honnecourt, Sc. XIII)
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RESUMO
TEORIA DO ARCO DE ALVENARIA: UMA PERSPECTIVA HISTRICA
Autor: Patrcia Cristina Cunha NunesOrientador: Lineu Jos Pedroso, Dr. Ing.Programa de Ps-Graduao em Estruturas e Construo CivilBraslia, Abril de 2009
O arco de alvenaria um dos grandes testemunhos da evoluo da cincia estrutural.
Conjuntamente com a cpula e a abbada, que constituem seu prolongamento natural noespao, o arco de alvenaria, enquanto elemento arquitetnico e estrutural, est na base da
arquitetura ocidental, e, portanto, de parte significativa do patrimnio histrico, muito
particularmente de muitos dos edifcios mais emblemticos legados pela histria
contemporaneidade. Durante sculos, sua utilizao se fundamentou em regras estruturais
baseadas na tradio e no conhecimento emprico, mas com o advento da cincia moderna,
se desenvolveram ferramentas analticas que possibilitavam a compreenso cientfica de
seu comportamento estrutural e a elaborao de regras cientficas para o seu clculo.
Surgem, ento, as teorias cientficas do arco de alvenaria, que recorrem em especial Mecnica e Matemtica para explicarem o comportamento do arco e desenvolverem
mtodos de base cientfica para o dimensionamento dessas estruturas. Este trabalho faz um
exame crtico analtico do desenvolvimento dessas teorias, no perodo histrico que se
estende do sculo XV, com os escritos de Leonardo da Vinci, at meados do sculo XX, s
vsperas do desenvolvimento das ferramentas numricas. So identificadas algumas
mudanas de paradigma durante esse perodo, que convergem para o debate atual entre a
teoria elstica e a teoria plstica. Este trabalho de pesquisa envolveu uma consulta ampla a
fontes primrias (em meio eletrnico) e secundrias. So descritas algumas das teorias e
mtodos mais influentes no perodo, buscando-se inseri-los no quadro geral das grandes
linhas tericas. Entre os temas examinados encontram-se o modelo do arco de alvenaria
como sistema de cunhas polidas, a investigao de seus mecanismos de colapso,
experimentos comprobatrios da existncia da linha de empuxo bem como seu
funcionamento, a teoria elstica aplicada aos arcos de alvenaria e, de forma resumida, a
teoria da carga limite.
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ABSTRACT
THEORY OF THE MASONRY ARCH: AN HISTORICAL PERSPECTIVE
Author: Patrcia Cristina Cunha Nunes
Supervisor: Lineu Jos Pedroso, Dr. Ing.
Postgraduate Program in Structure and Civil Construction Engineering
Braslia, April 2009
The masonry arch is a great witness of the evolution of Structural Science. Together withvault and the dome, which naturally result from its evolving in space, the masonry arch as
both architectural and structural element is in the basis of western architecture, so that it
also makes up an important part of our heritage, particularly including some of our most
emblematic, icons buildings. For centuries the building of masonry arch relied on structural
rules based upon tradition and empirical knowledge, but with the rise of modern science,
analytical tools have been brought to light which made it possible to build up a scientific
understanding of its structural behavior and to draw up science based rules for the
dimensioning of new vaulted structures. That is the born of masonry arch scientific
theories, which call upon Mechanics and Mathematics to explain the way arches behave
and to develop new methods for finding safe dimensions of new structures and assessing
the safety of existing ones. This work makes an analytical exam of such theories, in
respect to the period that runs from the 15th century, with the writings by Leonardo up to
the mid 20thcentury, at the dawn of computer technology and numerical tools. Paradigm
shifts are identified within this time frame which converges to present days disputes
between plastic and elastic theory over the field of masonry vaults. This research work
relied substantially on primary resources from electronic media, as well as on secondary
resources. It describes some of the most influential methods, while considering them in the
broad framework of the great theoretical lines. It explores the masonry arch modeled as a
system of frictionless wedges, the study of its collapse modes, some historic experiments
showing the thrust line existence and behavior, the elastic theory and the limit analysis
applied to the masonry arch, among other issues.
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SUMRIO
1 - INTRODUO .......................................................................................................... 01
1.1 - JUSTIFICATIVA ............................................................................................. 04
1.2 - OBJETIVOS ..................................................................................................... 06
1.3 - METODOLOGIA ............................................................................................. 06
1.4 - ORGANIZAO DOS CAPTULOS .............................................................. 08
2 - GENERALIDADES SOBRE O ARCO ...................................................................... 09
2.1 - CONCEITO ...................................................................................................... 09
2.2 - FUNES E USOS .......................................................................................... 09
2.3 - TERMINOLOGIA ............................................................................................ 13
2.4 - CLASSIFICAO ........................................................................................... 15
2.4.1 - Quanto forma .......................................................................................... 15
2.4.2 - Quanto funo na estrutura ...................................................................... 28
2.4.3 - Quanto ao mtodo de resistncia ao empuxo horizontal ............................. 29
2.4.4 - Quanto ao grau de estaticidade:.................................................................. 302.5 - CONSIDERAS SOBRE A GEOMETRIA dos arcos .................................... 32
3 - O USO DO ARCO COMO ELEMENTO ESTRUTURAL NA ARQUITETURA
OCIDENTAL .................................................................................................................. 35
3.1 - CONSIDERAES INICIAIS ......................................................................... 35
3.2 - O ARCO E SUAS APLICAES NA ARQUITETURA ................................. 35
3.2.1 - Coberturas curvas na arquitetura ocidental: breve discusso de alguns casos
............................................................................................................................. 383.2.2 - Pontes em arco de alvenaria no perodo renascentista: quatro casos ........... 51
4 - GENERALIDADES SOBRE OS ARCOS DE ALVENARIA ..................................... 57
4.1 - A ALVENARIA ............................................................................................... 57
4.2 - CONSTRUO ............................................................................................... 60
4.3 - LINHA DE EMPUXO ...................................................................................... 61
4.4 - MECANISMOS DE COLAPSO ....................................................................... 69
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5 - TEORIAS CIENTFICAS DO ARCO DE ALVENARIA ........................................... 78
5.1 - CONSIDERAES INICIAIS ......................................................................... 78
5.2 - REGRAS TRADICIONAIS .............................................................................. 81
5.3 - TEORIA DAS CUNHAS .................................................................................. 84
5.3.1 - Generalidades ............................................................................................ 84
5.3.2 - Leonardo da Vinci ..................................................................................... 84
5.3.3 - La Hire e Blidor ....................................................................................... 86
5.3.4 - Depois de Blidor ...................................................................................... 93
5.4 - TEORIA DA ROTAO DE ADUELAS ................................ ........................ 93
5.4.1 - Generalidades ............................................................................................ 93
5.4.2 - Trabalhos precursores ................................................................................ 94
5.4.3 - Estudos experimentais no sculo XVIII ..................................................... 96
5.4.4 - Coulomb .................................................................................................. 100
5.4.5 - Depois de Coulomb ................................................................................. 105
5.5 - TEORIA DA LINHA DE EMPUXO ............................................................... 106
5.5.1 - Consideraes iniciais.............................................................................. 106
5.5.2 - Hooke e Gregory ..................................................................................... 1075.5.3 - Aplicaes prticas .................................................................................. 109
5.5.4 - Emerson .................................................................................................. 114
5.5.5 - Moseley .................................................................................................. 115
5.5.6 - Mry ........................................................................................................ 118
5.5.7 - Barlow ..................................................................................................... 123
5.6 - TEORIA ELSTICA ...................................................................................... 125
5.6.1 - Comentrios iniciais ................................................................................ 125
5.6.2 - Antecedentes ........................................................................................... 126
5.6.3 - Saavedra .................................................................................................. 128
5.6.4 - Winkler ................................................................................................... 130
5.6.5 - OIAV (Associao Austraca de Engenheiros e Arquitetos) ..................... 132
5.6.6 - Pontes ...................................................................................................... 135
5.7 - TEORIA DA CARGA LIMITE ...................................................................... 136
6 - CONCLUSES E RECOMENDAES ................................................................. 146
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6.1 - CONCLUSES .............................................................................................. 146
6.2 - RECOMENDAES ..................................................................................... 148
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................... ............. 150
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LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 Exemplos de uso do arco. ............................................................................. 10
Figura 2.2 O papel simblico da geometria do arco. .......................................... ............ 12
Figura 2.3 Terminologia do arco de alvenaria. .............................. ................................. 13
Figura 2.4 Classificao dos arcos. ................................................................................ 15
Figura 2.5 Classificao dos arcos com geometria baseada no crculo ........................... 16
Figura 2.6 Tipos de arco. ............................................................................................... 18
Figura 2.7 Arco pleno. .................................................................................................. 19
Figura 2.8 Arco segmentar. ........................................................................................... 20
Figura 2.9 Arco catenrio. ............................................................................................. 21
Figura 2.10 Parbola y = x2comparada catenria e ao semicrculo. ............................. 23
Figura 2.11 Arco Ogival ................................................................................................ 24
Figura 2.12 Arco Elptico. ............................................................................................. 25
Figura 2.13 Ponte de lAlma.......................................................................................... 26
Figura 2.14 Arco abatido. .............................................................................................. 27
Figura 2.15 Classificao dos arcos quanto funo na estrutura e/ou como elemento de
articulao espacial no edifcio. ................................................................................ 29
Figura 2.16 Classificao dos arcos quanto ao mtodo de resistncia ao empuxo lateral....
................................................................................................................................. 30
Figura 2.17 Classificao dos arcos quanto ao grau de estaticidade. .............................. 31
Figura 2.18 Exemplos histricos de estruturas proporcionais.. ............................... ........ 32
Figura 2.19 Geometrias no proporcionais. ................................................................... 33
Figura 2.20 Relao entre a flecha e o empuxo de um arco..............................................34
Figura 3.1 Hipteses para o desenvolvimento inicial do arco ......................................... 36
Figura 3.2 Exemplos de arcos naturais............................................................................38Figura 3.3 Cpula falsa do Tesouro de Atreu. ................................................................ 39
Figura 3.4 Tesouro de Atreu. ......................................................................................... 39
Figura 3.5 Abbada de aresta ........................................................................................ 41
Figura 3.6 Abbada de aresta e sistema basilical ........................................................... 42
Figura 3.7 Panteo de Roma .......................................................................................... 43
Figura 3.8 Panteo de Roma. ......................................................................................... 43
Figura 3.9 Arcos na estrutura do Panteo de Roma . ...................................................... 44
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Figura 3.10 Transio entre cpula circular e base quadrada. ..................................... ... 45
Figura 3.11 Santa Sofia, Istambul. ................................................................................. 46
Figura 3.12 Cpulas circulares sobre bases quadradas ........... ........................................ 46Figura 3.13 Anlise esttica da estrutura de Santa Sofia. ............................................... 47
Figura 3.14 Contrafortes da Catedral de Chartres. ......................................................... 48
Figura 3.15 Abbada de bero apoiada na chave de outra .............................................. 49
Figura 3.16 Arcobotante. ............................................................................................... 49
Figura 3.17 Catedral de Chartres ................................................................................... 50
Figura 3.18 Modelo computacional de seo tpica da Catedral de Maiorca ................... 51
Figura 3.19 Pontes na Itlia. .......................................................................................... 52
Figura 3.20 Ponte de Santa Trinit, Florena ................................................................. 53Figura 3.21 Arco catenrio rotacionado em 90o. ........................................................... 53
Figura 3.22 Ponte de Rialto, Veneza.............................................................................. 55
Figura 3.23 Ponte Fleisch, Nuremberg. ......................................................................... 56
Figura 4.1 Alvenaria histrica. ...................................................................................... 57
Figura 4.2 Desenho explicativo de Moseley para a linha de empuxo.............................. 62
Figura 4.3 Arco de aduelas. ........................................................................................... 63
Figura 4.4 Arco em alvenaria sujeito apenas ao peso prprio, variando-se o centro de
empuxo da pedra de fecho. ....................................................................................... 64
Figura 4.5 Configuraes do diagrama de peso conforme alteraes diversas ................ 64
Figura 4.6 Linha de empuxo mxima e mnima. ......................................... ................... 65
Figura 4.7 Ensaios de Barlow e Jenkin ........................................................................ 66
Figura 4.8 Modelos invertidos de Gaud. ....................................................................... 67
Figura 4.9 Parque Gell, Barcelona. .............................................................................. 68
Figura 4.10 Influncia da direo das juntas na linha de empuxo. .................................. 68
Figura 4.11 Linha de empuxo em apoios e a influncia do carregamento vertical .......... 69
Figura 4.12 Mecanismos de colapso em arcos semicirculares ............ ............................ 70
Figura 4.13 Aduelas consecutivas em um arco de alvenaria ............................... ............ 71
Figura 4.14 Modos de colapso do arco de alvenaria por rotao de aduelas, formas gerais.
................................................................................................................................. 72
Figura 4.15 Modos de colapso do arco de alvenaria por rotao de aduelas, com
formao de rtula plstica no coroamento. .............................................................. 73
Figura 4.16 Estudo do equilbrio ................................................................................... 74
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Figura 4.17 Forma geral das linhas de empuxo mxima e mnima para um arco simtrico
. ................................................................................................................................ 76
Figura 5.1 Duomo de Florena ..................................................................................... 78Figura 5.2 Quadro cronolgico da teoria cientfica do arco de alvenaria. ............... ........ 80
Figura 5.3 Regra de Derand/Blondel ............................................................................. 83
Figura 5.4 Leonardo da Vinci. Estudos sobre o arco de alvenaria .................................. 85
Figura 5.5 La Hire, 1695. .............................................................................................. 86
Figura 5.6 La Hire, 1712. .............................................................................................. 88
Figura 5.7 Blidor. Mtodo de clculo do apoio ou contraforte de um arco.................... 92
Figura 5.8 Baldi. ........................................................................................................... 96
Figura 5.9 Danyzy. Ensaios experimentais com modelos reduzidos .............................. 97Figura 5.10 Ponte de Nemours ....................................................................................... 99
Figura 5.11 Boistard. Resultado de ensaio experimental com modelo reduzido. ............ 99
Figura 5.12 Mtodo de Coulomb. ................................................................................ 101
Figura 5.13 Coulomb. Estados limitesH, H, H1,H1. Hminna coroa ......................... 104
Figura 5.14 Catedral de St. Paul, Londres .................................................................... 110
Figura 5.15 Cpula da Baslica de So Pedro, Roma ................................................... 112
Figura 5.16 Poleni. Anlise da estabilidade da cpula de So Pedro, Roma. ................ 113
Figura 5.17 Emerson. Arco catenrio. ......................................................................... 114
Figura 5.18 Moseley. Linha de empuxo e linha de presso .......................................... 116
Figura 5.19 Moseley . ................................................................................................. 117
Figura 5.20 Mry. Mtodo grfico de determinao da linha de empuxo .................... 120
Figura 5.21 Exemplos de aplicao do mtodo de Mry ..................... ........................ 121
Figura 5.22 Mry. Diviso da espessura do arco em funo da resistncia do material....
............................................................................................................................... 122
Figura 5.23 Barlow. Experimentos realizados para comprovar a existncia da linha de
empuxo . ................................................................................................................ 125
Figura 5.24 Saavedra. Teoria elstica aplicada ao arco de alvenaria............................. 128
Figura 5.25 OAIV. Comparao da carga limite em arcos de ensaio ........................... 133
Figura 5.26 OAIV. Testes em arcos de ensaio de alvenaria e concreto ........................ 134
Figura 5.27 Exemplos de pontes em arco de alvenaria a partir do final do sculo XIX......
............................................................................................................................... 136
Figura 5.28 Nova conformao de um arco de alvenaria com deslocamento dos apoios
............................................................................................................................... 138
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Figura 5.29 Posio mxima e mnima da linha de empuxo em um arco de alvenaria. . 139
Figura 5.30 Formao de rtula entre duas aduelas consecutivas ................................. 140
Figura 5.31 Proposio de Moseley para a linha de empuxo. ....................................... 142Figura 5.32 Colapso de arco circular sob carregamento concentrado ........................... 144
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1 - INTRODUO
Na linguagem da Esttica, a idia de dar sustentao a uma construo, que define a
funo da estrutura, se traduz como a capacidade de transmisso ao solo das cargas
solicitantes, de modo a constituir um conjunto estvel. Nesse sentido, uma estrutura pode
ser compreendida como um sistema que recebe solicitaes externas, as absorve
internamente e as transmite at onde possam encontrar seu sistema esttico equilibrante
(Sussekind, 1981), no caso das estruturas arquitetnicas, o solo.
Para Engel (1981), a estrutura tem por objetivo manter sob controle as cargas
gravitacionais, as foras externas e as tenses internas, canalizando-as ao longo de
trajetos previstos, com a inteno de mant-las num sistema de ao e reao
interdependentes, que d o equilbrio a cada componente individual, assim como ao
sistema estrutural como um todo. A idia das cargas sendo conduzidas ao longo dos
elementos que compem a estrutura ilustrada metaforicamente por meio da imagem da
gua sendo conduzida ao longo de uma tubulao.
Assim, o funcionamento estrutural pode ser compreendido como o modo como a estrutura
cumpre o seu papel, isto , o modo como conduz at o solo as cargas gravitacionais, as
foras externas e as tenses internas. De acordo com Salvadori (2006), evocando ainda a
imagem da gua, o fluxo das cargas buscar sempre o caminho mais direto, ou seja, o
caminho mais natural. So diversos os arranjos propostos pelos construtores ao longo da
histria para esse encaminhamento, seja o caminho emprico do empilhamento de
pedras, das amarraes de madeira e folhagem nos abrigos primitivos at solues
construtivas cada vez mais elaboradas, o fato que as leis da natureza tm sido
manipuladas ao longo do tempo seguindo um mesmo princpio: conter e distribuir os
esforos gerados por elas.
Ao longo da histria da arquitetura, possvel notar uma tendncia de produo de vos
cada vez maiores e de espaos cobertos cada vez mais amplos, com um menor grau de
obstruo por elementos estruturais. Isso est em grande parte associado a requisitos
funcionais. No que diz respeito produo do abrigo, se pode pensar, por exemplo, nos
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motivos que levaram os antigos romanos a construir suas grandes termas abobadadas, ou
nas razes que lanaram cidades europias no desafio de erguer catedrais gticas no lugar
de suas antigas igrejas, ou ainda nas razes que levam a sociedade contempornea adesafiar a resistncia dos materiais na cobertura de seus estdios de futebol, aeroportos e
fbricas. Cabe lembrar a afirmativa de Engel (1981): a estrutura faz as foras mudarem sua
direo, de modo que o espao para o movimento humano permanea sem obstculos. No
que diz respeito construo das pontes, onde o movimento humano tem lugar
principalmente acima, e no abaixo da estrutura, a necessidade de reduzir os obstculos,
mas tambm os custos e os prazos, tm tambm participao fundamental na motivao
dessa busca por vos cada vez maiores.
Em um espao de grande extenso, a ser coberto horizontalmente com o mnimo de apoios
intermedirios, o problema da absoro e da conduo dos esforos at o solo se torna
especialmente desafiador. Na busca de resposta para esse desafio, possvel identificar, na
histria da arquitetura ocidental,1um princpio de fundamental importncia: a curvatura.
Nas coberturas curvas, alm de economia de material, a curvatura introduz ganhos de
resistncia, o que pode ser verificado no exemplo simples de uma folha de papel apenas
apoiada em suas extremidades, comparada a outra que esteja submetida a algum tipo de
curvatura. Tais vantagens da curvatura para a proviso de espao coberto se manifestaram
de forma especialmente marcante na cpula e na abbada, resultantes, respectivamente, da
rotao do arco e de sua translao no espao sobre uma reta.
O arco estrutural se originou no Egito Antigo e os exemplos conhecidos mais antigos so
abbadas de bero datadas de 3.500 a.C (Turner, 1996). Os antigos romanos converteram o
arco em um elemento central de projeto arquitetnico e estrutural - tradio que se
perpetuou no tempo e se renovou ao longo da histria, viabilizando materialmente e
revestindo-se do carter arquitetnico prprio de diversas culturas e momentos histricos.
Nesse contexto, Jordan (1985) afirma que o tema arco quaisquer que sejam suas variaes
estilsticas, foi a base da arquitetura europia. possvel comprovar tal observao no
desenvolvimento da arquitetura - bizantina, romnica, gtica, renascentista, barroca,
1 A arquitetura ocidental pode ser compreendida, em termos gerais, como a produo arquitetnica dachamada Civilizao Ocidental. Apesar de no haver uma definio universalmente aceita das fronteirasgeogrficas e temporais da Civilizao Ocidental, a expresso arquitetura ocidentaldiz respeito arquiteturaeuropia - da civilizao grega antiga atualidade, bem como quela das regies geogrficas que se tornaramherdeiras da cultura europia, como o continente americano.
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neoclssica a partir do uso da potencialidade estrutural do arco, construdo em pedra ou
tijolos.
Apenas com a revoluo industrial, no sculo XIX, o arco de alvenaria comeou a ser
preterido como soluo estrutural para a cobertura de grandes vos, em favor
especialmente do ferro, cuja lgica e esttica estrutural caracterizam os grandes espaos
cobertos dos novos programas de arquitetura: estaes ferrovirias, fbricas, estufas
botnicas, pavilhes de exposio. O uso do arco de alvenaria se preservou especialmente
na construo de pontes, cumpriu um papel fundamental na expanso da malha ferroviria
europia, e experimentou ainda um ressurgimento fugaz, ainda que glorioso, nos ltimos
anos do sculo XIX e primeiros anos do sculo XX. A partir da dcada de 1920, o uso dasestruturas em arco de alvenaria rapidamente se tornou marginal, substitudo pelos novos
materiais estruturais, em especial o ao e o concreto, considerados mais apropriados s
necessidades da sociedade industrial.
O interesse pelas estruturas em arco de alvenaria se renovou aps a II Guerra Mundial, mas
agora em novas bases. No se tratava e no se trata mais de construir estruturas em
alvenaria, mas de preservar as estruturas existentes, herdadas do passado. Os arcos,
abbadas e cpulas de tijolo ou pedra esto presentes em uma parte significativa do
patrimnio arquitetnico, em nvel mundial, e muitos dos edifcios mais emblemticos da
histria da arquitetura foram construdos em alvenaria. A Baslica de So Pedro, em Roma,
a Mesquita de Hagia Sophia, em Istambul, o Mosteiro dos Jernimos, em Lisboa e a Igreja
da Candelria, no Rio de Janeiro, so alguns exemplos.
A preservao deste patrimnio histrico, frente a patologias estruturais ou potenciais
abalos ssmicos, por exemplo, exige o aprofundamento da compreenso do funcionamento
das estruturas em arco de alvenaria. O tema tem sido objeto de interesse crescente por parte
do meio acadmico e profissional internacional, bem como de investimentos crescentes em
pesquisa. Diversas instituies renomadas dispem de ncleos especficos de pesquisa
dedicados ao estudo de estruturas em alvenaria, seno de profissionais especializados no
tema, ligados seja aos cursos de arquitetura ou de engenharia. Pode-se citar como
exemplos o Massachusetts Institute of Technology MIT (Estados Unidos), Universidade
do Minho (Portugal) e Universit degli Studi di Roma "La Sapienza" (Itlia), entre outras.
Os mtodos numricos so um recurso indispensvel nesse campo de investigao, e a
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literatura registra contendas acirradas a respeito das ferramentas computacionais e
abordagens de modelagem mais adequadas, bem como a respeito dos limites da
modelagem computacional frente complexidade intrnseca s construes histricas reais.
1.1 - JUSTIFICATIVA
Paralelamente a essas pesquisas voltadas para a compreenso e predio do
comportamento de estruturas especficas, com o objetivo de assegurar sua preservao,
tm-se consolidado um campo correlato de investigao, a histria da teoria das
estruturas. Seu objeto tem sido descrito como a histria da relao entre a Mecnica e a
Arquitetura, isto , da relao entre o saber fazer, que se conforma norma, respeitando
uma determinao e uma congruncia perfeitas com seu objetivo, e a teoria, que confirma a
norma e testemunha a necessidade de determin-la em congruncia com as leis da
natureza (Radelet-de-Grave; Benvenuto, 1994, p. 7). Argumenta-se que a pesquisa
histrica sobre a relao entre a Mecnica e a Arquitetura iniciou sua fase de maturidade
na dcada de 1970, sendo que a primeira conferncia internacional sobre histria da teoria
das estruturas ocorreu em 1995 (Historical perspectives on structural analysis, Madrid).
Trata-se, portanto, de uma disciplina recente.
De acordo com Kurrer (2008), a importncia da disciplina de histria da teoria das
estruturas para a engenharia civil reside em seu potencial como instrumental em quatro
frentes distintas: uma cientfica, interna teoria das estruturas, na verificao da
consistncia interna de novas teorias, por meio da reflexo sobre sua gnese e objeto; uma
prtica, no campo da engenharia, como fonte de um conhecimento necessrio preservao do patrimnio histrico, e tambm capaz de contribuir com a evoluo dos
processos de construo modernos; uma cultural, na democratizao do conhecimento da
engenharia, uma vez que pode ajudar a tornar a teoria das estruturas mais acessvel ao
pblico leigo; e, finalmente, uma frente didtica, na tarefa de superar o formulismo no
aprendizado da teoria das estruturas.
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No que diz respeito a esse ltimo ponto, introduzir o contexto histrico contribui para que
os mtodos da teoria das estruturas sejam compreendidos, experienciados e ilustrados
como o resultado de processos sociais e histricos de produo do conhecimento, e nocomo verdades a priori. Ao mesmo tempo em que isso torna o conhecimento mais
palatvel aos estudantes, estimula o interesse pela pesquisa em teoria das estruturas, pois
mostra que seus mtodos so o resultado de uma construo coletiva no tempo, isto , de
conquistas progressivas a partir dos insights e do trabalho de um grande nmero de
cientistas e engenheiros. Em outras palavras, ao desmistificar a origem do conhecimento na
engenharia estrutural, a histria da teoria das estruturas ajuda a cultivar nos estudantes a
percepo de que eles tambm podem vir a contribuir nesse processo. Do ponto de vista
epistemolgico, a disciplina da histria da teoria das estruturas representa uma unio entreanlise estrutural e mecnica aplicada, com contribuies das cincias humanas: filosofia,
histria geral, sociologia, histrias da cincia, tecnologia, indstria e engenharia (Kurrer,
2008).
O presente trabalho se insere nesse campo de investigao e tem por objeto a histria das
teorias cientficas do arco de alvenaria. O desenvolvimento de regras estruturais baseadas
no conhecimento cientfico do comportamento das estruturas no um desafio recente no
que diz respeito s estruturas em alvenaria. Na verdade, desde que a Esttica comeou a ser
aplicada Arquitetura, o arco de alvenaria se converteu em objeto de investigao desse
campo do conhecimento. No coincidncia, portanto, que o primeiro estudo das
condies de segurana de um edifcio existente por meio da anlise estrutural, tal como se
a conhece hoje, foi a avaliao, em 1743, da estabilidade de uma grande cpula de
alvenaria (Mainstone, 1997), a da Baslica de So Pedro (Roma), que poca, sofria um
processo pronunciado de fissuramento.
Os primeiros modelos tericos do arco de alvenaria derivavam da aplicao da teoria das
cinco mquinas (roldana, alavanca, cunha, roda e eixo, parafuso) e da mecnica
renascentista, e pressupunham a inexistncia de atrito entre as aduelas. Desde ento, a
trajetria evolutiva da teoria do arco de alvenaria passou por uma melhor compreenso dos
mecanismos de colapso do arco, pela consolidao e explorao do conceito da linha de
empuxo, e, posteriormente, pela aplicao da teoria elstica e da teoria plstica ao arco de
alvenaria. No obstante sua importncia, o trajeto histrico das teorias cientficas do arco
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de alvenaria, se ainda relativamente raro na literatura estrangeira, muito escasso na
literatura em lngua portuguesa, em especial entre autores brasileiros.
1.2 - OBJETIVOS
O presente trabalho tem por objetivos gerais, por um lado, contribuir para preencher a
lacuna na literatura brasileira relativa histria do arco de alvenaria, e, por outro,
contribuir para o desenvolvimento no pas da histria da teoria das estruturas enquanto
disciplina da cincia da engenharia.
Os objetivos especficos deste trabalho so:
Apresentar os aspectos gerais da temtica do arco de alvenaria;
Apresentar brevemente o estgio atual do conhecimento terico sobre o
funcionamento estrutural dos arcos de alvenaria, em especial no que diz
respeito linha de empuxo e aos mecanismos de colapso;
Elaborar uma resenha da evoluo histrica das teorias cientficas do arco de
alvenaria, de sua origem at o advento dos mtodos numricos, no incluindo
estes.
1.3 - METODOLOGIA
A metodologia adotada consistiu em consulta e anlise crtica comparada de fontes
secundrias e consulta s fontes primrias, sempre que possvel e pertinente, de forma a
subsidiar uma sntese do conhecimento para cada um dos tpicos abordados. Em suma, as
etapas de trabalhos podem ser descritas da seguinte forma:
Leitura comparada dos principais autores contemporneos de referncia no
tema;
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Consulta s fontes primrias, sempre que acessveis, em meio eletrnico;
Leitura de apoio, em textos diversos;
Sntese do conhecimento;
Entre os autores contemporneos, cabe mencionar, entre outros, J. Heyman (Gr-
Bretanha), S. P. Timoshenko (Estados Unidos), F. Foce e A. Becchi (Itlia), K. E. Kurrer
(Alemanha) e S. Huerta (Espanha), entre outros. Autores como R. J. Mainstone (Gr-
Bretanha), P. B. Loureno (Portugal), J. A. Ochsendorf (Estados Unidos), G. Croci (Itlia)
e P. Roca (Espanha) so autoridades de reconhecimento internacional no campo da anlise
estrutural de construes histricas, particularmente de alvenaria, mas como o enfoque do
presente trabalho a histria da teoria do arco de alvenaria, os textos de sua autoria so
considerados como leitura de apoio, com importantes contribuies em questes
complementares. O mesmo valido para J. Sakarovitz (Frana), em relao histria da
estereotomia, ou S. Kostof (Turquia/Estados Unidos), R. F. Jordan e B. Fletcher (Gr-
Bretanha) em relao histria da arquitetura.
A consulta a fontes primrias, por sua vez, foi possvel devido ao trabalho de digitalizao
e disponibilizao gratuita de obras de domnio pblico, que vem sendo empreendido por
diversas instituies e iniciativas. Cabe citar a biblioteca digital Fuentes para la Historia
de la Construccin, no mbito do projeto Bibliotheca Mechanico-Architectonica, de
iniciativa de de A. Becchi e F. Foce (Universidade de Gnova) e S. Huerta (Universidades
de Madri); Gallica, coleo digitalizada da Biblioteca Nacional da Frana; os projetos
GutembergeInternet Archive, bibliotecas digitais sediadas nos Estados Unidos, mantidas e
ampliadas por redes de voluntrios; Google Books, servio de visualizao e baixa de
livros e artigos na internet; entre outros.
Este trabalho est calcado, portanto, em fontes documentais e de referncia que, de certa
forma, influenciam a organizao e desenvolvimento do texto. Outras fontes e
contribuies no acessadas poderiam certamente ter contribudo para outra orientao.
Portanto, a temtica aqui desenvolvida representa uma contribuio pessoal, fornecendo
uma dada sistematizao do conhecimento em questo, sendo que outras variantes de
abordagens diferentes poderiam ser possveis dentro deste mesmo tema, uma vez que o
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vasto contedo envolvendo os arcos permitiria o envolvimento das mais diversificadas
fontes documentais provenientes de vrias origens.
1.4 - ORGANIZAO DOS CAPTULOS
Este trabalho encontra-se dividido em quatro captulos e um anexo. O primeiro captulo
apresenta noes gerais sobre o arco: conceito, terminologia, tipologia, funo. Trata-se de
abordagem introdutria ao tema. O Captulo 2 apresenta um panorama histrico do uso do
arco de alvenaria como elemento estrutural ao longo da histrica da arquitetura. Estende-se
a definio de arco aos elementos estruturais tridimensionais que geometricamente so
obtidos pela translao do arco no espao, ou seja, as abbadas e, como espcie particular
de abbada, a cpula. So comentadas as principais caractersticas tipolgicas e os
principais desenvolvimentos relacionados construo em arco de alvenaria, a partir de
exemplos emblemticos de cada um dos perodos da histria da arquitetura ocidental:
romano antigo, bizantino, romnico, gtico, renascentista, barroco e neoclssico. O fio
condutor dessa anlise a evoluo das grandes coberturas abobadadas, se fazendoreferncia tambm a episdios selecionados da histria da construo de pontes. No
captulo 3, so tratados aspectos gerais do arco de alvenaria, identificados alguns aspectos
construtivos e apresentados os conceitos de linha de empuxo e mecanismos de colapso.
O captulo 4, enfim, aborda a histria das teorias do arco de alvenaria desde o sculo XVI,
dividida conforme suas linhas tericas principais: teoria da cunha, da rotao de aduelas,
da linha de empuxo e teorias elstica e plstica aplicadas ao arco de alvenaria. Entre as
numerosas contribuies, procurou-se destacar algumas das mais importantes, a exemplode Baldi e Hooke (sculo XVII), La Hire, Blidor e Coulomb (sculo XVIII), Moseley,
Mry, Rankine e Winkler (sculo XIX), e Heyman (sculo XX), entre outros. O anexo A
traz o clculo de um arco elstico isosttico.
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2 - GENERALIDADES SOBRE O ARCO
2. 1 - CONCEITO
O arco pode ser definido como um elemento estrutural curvo que transmite seu peso
prprio e as sobrecargas a dois apoios, por meio apenas ou principalmente de esforos
normais simples de compresso (Torroja, 1960; Engel, 1981; Salvadori apudSilva e Souto,
2000). O arco , portanto, um sistema estrutural de forma-ativa (Engel, 1981), assim como
o cabo, que transmite cargas somente atravs de esforos de trao. De acordo com Engel
(1981), o mecanismo de suporte dos sistemas estruturais de forma-ativa, que permite a
conduo das cargas solicitantes por meio de esforos normais simples, reside
essencialmente na forma material, de modo que o desvio da forma adequada pode colocar
em risco o funcionamento do sistema ou demandar mecanismos adicionais de
compensao.
2.2 - FUNES E USOS
De acordo com Silva e Souto (2000), as obras estruturais se destinam a quatro funes
fundamentais: abrigo, trfego, conduo e conteno. A funo de abrigo diz respeito a
delimitar, cobrir ou proteger um espao. As estruturas destinadas ao trfego so aquelas
que visam facilitar a circulao de pessoas, animais, veculos e materiais, como as estradas
e ferrovias, incluindo pontes, viadutos e tneis. A funo de conduo diz respeito
conduo de lquidos (canais e tubos) ou gases (dutos e chamins), enquanto a funo de
conteno diz respeito conteno e armazenagem das mais diversas substncias, por meio
de reservatrios, silos, barragens, arrimos, escoras, etc. Ao longo da histria, o arco tem
sido utilizado em estruturas destinadas a todas essas funes, em diferentes formas e
combinaes (Figura 2.1).
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(a)
(c)
Figura 2.1 Exemplos de uJacques-Germain Soufflot,1(Eslovnia), Rudolf Jaussne
Lapa, antigo Aqueduto dconcludo em 1750 (Flickr,Sidney (Austrlia) P.Simps
O arco um sistema estrutur
acordo com Torroja (1960), o
(1981: p. 26), por sua vez, afi
suas qualidades para cobrir
civilizao, com suas deman
2 Eduardo Torroja (1899-1961) utitensional", "princpios tensionais")solicitaes, tenses e deformaes,
10
(b)
(d)
o do arco: a) na funo de abrigo: Panthon, Pa57-1790; b) na funo de trfego: ponte ferrovi
r,1905 (Flickr, c2008) ; c) na funo de condua Carioca, Rio de Janeiro, Jos Fernandes Pinto2008); d) na funo de conteno: Barragem don, E.O. Moriarty e W. Randle, 1855-1856 (Fli
l de fundamental importncia na histria da a
arco foi o maior invento tensional 2 da arte c
ma que os sistemas estruturais de forma ativa
grandes vos, encerram um significado es
as por amplos espaos livres. Para esse autor,
liza o termo em destaque, tensional ("fenmeno tensi, de forma abrangente, em referncia natureza daprpria dos diferentes tipos estruturais.
ris (Frana),ria, Solkano: Arcos daAlpoim,Parramatta,kr, c2008).
rquitetura. De
lssica. Engel
em virtude de
ecial para a
os elementos
nal", "invenorelao entre as
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estruturais de forma ativa podem ser condensados para formar estruturas de superfcie e,
nesse sentido, Jordan (1985, p.50) argumenta que os diferentes tipos de arco, as arcadas,
as abbadas e as cpulas so variaes sobre o tema arco e que este tema, quaisquer quesejam as alteraes estilsticas, foi a base da arquitetura europia.
Alm de sua funo estrutural, o arco desempenha funes de natureza esttica e como
elemento de articulao espacial.3O arco ogival, por exemplo, um dos elementos mais
caractersticos da arquitetura gtica, enquanto o arco semicircular um dos elementos mais
caractersticos da arquitetura renascentista. A arquitetura gtica e a renascentista tm
natureza muito distinta. Segundo Brando (1999: p.43), na catedral gtica, o resultado
um movimento vertical vertiginoso e uma impulso mstica que no favorece umacontemplao sossegada, mas sim um sentimento de xtase, transcendncia e admirao,
enquanto o sentido da igreja renascentista concretizar a imagem de um universo
matematicamente organizado, uniforme e belamente proporcionado. A forma do arco
ogival ou semicircular constitui um dos recursos mais importantes na busca de um e
outro objetivo.
Alm de elemento importante de articulao espacial e linguagem arquitetnica, o arco
tambm se reveste freqentemente de importantes significados simblicos, em especial em
edifcios religiosos. A geometria do arco ogival, por exemplo, est associada ao vesica
piscis(ou ichtus), figura geomtrica resultante da interseo de dois crculos idnticos, de
forma que o centro de cada um se encontra na circunferncia do outro (Figura 2.2a). O
vesica piscissimboliza a mediao de opostos,4 e est associado ao simbolismo cristo da
Santssima Trindade (Fletcher, 2004).
De acordo com Critchlow (1983), o portal mourisco com abertura em arco de ferradura
(Figura 2.2b) esconde uma estrutura geomtrica complexa. Na tradio erudita islmica, o
crculo um arqutipo do mundo das idias, ou Cu, enquanto o quadrado um
arqutipo do mundo da matria. A moldura externa do arco circunscreve um polgono de
sete lados, em referncia direta aos Sete Cus do Coro. Assim, o arco de ferradura
3 Articulao espacial diz respeito s relaes, visuais e de acessibilidade, que se estabelecem entre oslugares, independentemente da forma. Envolvem, por exemplo, seqncias espaciais e gradaes entre lugarpblico privado, aberto e fechado, entre outras. A articulao espacial influencia o modo como determinadoespao utilizado.4Segundo alguns autores, a mediao, a reconciliao entre o homem e Deus, por intermdio de Cristo, quetem no peixe um de seus smbolos.
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visualmente toma a parte superior do retngulo e a transforma na linguagem simblica do
mundo das idias, cumprindo o papel de relembrar ao fiel sobre a conciliao do homem
com Deus (Critchlow, 1983 p. 102).
(a) (b)
Figura 2.2 O papel simblico da geometria do arco: a) arco ogival e geometria da vesicapiscis sobreposio de desenho esquemtico da vsica piscis (modificado Fletcher,2004) sobre desenho de janela em arco ogival eqiltero da Catedral de Reims, Frana
(modificado Viollet Le-Duc, 1854); b) geometria subjacente a portal de acesso amesquita no sul da Espanha, em arco de ferradura (Critchlow, 1983).
Em resumo, ao longo da histria, v-se o arco como elemento estrutural, isto , como
componente dos sistemas de suporte e transmisso de cargas que conferem estabilidade s
estruturas; e nessa condio, o uso do arco vai ao encontro das quatro funes
fundamentais das estruturas mencionadas anteriormente: abrigo, trfego, conduo e
conteno. Mas alm de sua funo estrutural, o arco desempenha um papel fundamental
na histria da arquitetura associado a funes estticas, simblicas e de articulao
espacial.
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2.3 - TERMINOLOGIA
Figura 2.3 Terminologia do arco de alvenaria. Fonte: desenho esquemtico sobre detalhede perspectiva interna da Baslica de Vzelay, Frana, 1150 (modificado Viollet Le-
Duc, 1854).
Os principais elementos constituintes e medidas do arco de alvenaria so indicados na
Figura 3.5Aduela o termo que designa o bloco em cunha que compe a zona curva do
arco, colocado em sentido radial, com a face cncava para o interior e a convexa para o
exterior. O plano de contato entre duas aduelas denominado junta. A aduela superior,
que fecha ou trava a estrutura denominada chave ou fecho. Nos arcos
descontnuos (ver Figura 2.4), a chave formada por duas aduelas. As aduelas inferiores,
posicionadas na base do arco, so denominadas aduelas de arranque. O arco se apia
no p-direito, ou apoio, que pode ser uma coluna (como no exemplo da Figura 2.3),
5 Na literatura, no h uniformidade na apresentao dos termos e definies. Esta seo foi baseadaespecialmente em Corona e Lemos (1972), Pevsner, Fleming e Honour (c1977), Tacla (1984), Turner (1996),Ching (1999) e na consulta a obras gerais de referncia.
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pilastra, consolo ou massa de alvenaria. O termo imposta designa o ltimo bloco do p-
direito, no qual se apia a aduela de arranque, ou, alternativamente, a seo
correspondente ao plano que separa o p-direito e o arco.
A face interior e cncava do arco denominada intradorso, a face exterior e convexa
denoninada extradorso, e a face frontal (plano abdc, na Figura 2.3) denominada
testa ou paramento. As nascentes ou nascenas correspondem s arestas
inferiores das aduelas de arranque (pontos a, b, c, d, na Figura 2.3) e se situam na linha
das nascentes, ou linha de arranque. No extremo oposto, coroamento o ponto
mais elevado do arco (ponto e, na Figura 2.3), posicionado no extradorso, sobre o eixo
vertical da chave. O termo junta de coroamento designa a seo tranversalcorrespondente a este eixo. Nos arcos descontnuos, a junta de coroamento corresponde a
uma junta propriamente dita, entre as duas aduelas que constituem a chave. O termo rim
designa a seo transversal situada a meia altura do arco.
O vo, luz, ou abertura do arco corresponde medida da distncia entre suas
nascentes, tomada pelo intradorso (entre os pontos a e c, na Figura 2.3); a abertura
externa corresponde medida da distncia entre as nascentes tomada pelo extradorso
(entre os pontros b e d, na Figura 2.3); o vo terico corresponde medida da distncia
entre as nascentes tomada pelo eixo do arco. Flecha, ou altura a medida da
distncia entre a linha das nascentes e a face inferior da chave. A relao entre a flecha e o
vo costuma ser expressa por uma frao de numerador unitrio (Ex: 1/3, 1/6,5) e constitui
um dos elementos mais importantes da geometria do arco, pois est diretamente associada
a seu comportamento mecnico. A espessura do arco corresponde medida da
distncia entre o intradorso e o extradorso. O arco pode ter espessura constante (como no
exemplo da Figura 2.3) ou varivel. Neste ltimo caso, costuma-se indicar a espessura na
chave, nas impostas e nos rins. Essas so reas especialmente relevantes para o equilbrio
do arco de alvenaria, como visto adiante.
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2.4 - CLASSIFICAO
2.4.1 - Quanto forma
A curva do intradorso pode ser considerada o elemento isolado mais importante da
caracterizao de um arco, uma vez que a forma material do arco est diretamente
relacionada tanto a sua expresso arquitetnica quanto ao seu desempenho estrutural. H
inmeros sistemas de classificao dos arcos em relao curva do intradorso, sendo que
muitas das listagens de tipos de arcos presentes na literatura no correspondem a
sistemas rigorosos de classificao propriamente ditos.
Com base na forma geomtrica, Sjourn (1914) prope um sistema de classificao dos
arcos baseado em trs variveis: a relao 2f b a= entre a flecha (b) e o vo (2a) do arco;
a curva do intradorso, se completa ou segmental; e a curva do intradorso, se contnua ou
descontnua (Figura 2.4).
12
f
Figura 2.4 Classificao dos arcos (modificado Sjourn, 1914).
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De acordo com Sjourn (19
acordo com a magnitude da
mdio (1 1
72 3f> > ) ou mui
Ainda em relao geometri
outras variveis: a diretriz d
construda a partir do crculo,
caso de curva policntrica,
exemplo, afirma que, de acor
em: arcos planos (adintelados
constitudos por segmentos d
constitudos por segmentos
conforme o nmero de segme
Nmero de Centros
1
2
3
4
Figura 2.5 Classifica
16
14), os arcos de curva rebaixada podem ser cl
relao ( f ) entre flecha e vo, em arcos po
to (1
2 3f ) rebaixados.
a do intradorso, os arcos podem ser classifica
a curva (crculo, elipse, hiprbole, etc.); no
se simples (monocntrica) ou composta (po
nmero de centros. Dessa forma, Middlento
do com a curva do intradorso, os arcos podem
; arcos constitudos por segmentos de circunfer
e outros tipos de curva (elptico, parablico,
de circunferncia, por sua vez, podem ser
tos que os compem (Figura 2.5).
Nome do arco ou forma do intradorso
o dos arcos com geometria baseada no crculo,Middlenton (1905).
ssificados, de
uco ( 17
f ),
os a partir de
aso de curva
licntrica); no
n (1905), por
ser divididos
ncia; e arcos
tc). Os arcos
classificados
segundo
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Fletcher (1987) apresenta um inventrio com 35 tipos de arcos (Figura 2.6), a saber:
triangular (Figura 2.6.1); falso (Figura 2.6.2); pleno, circular, semi-circular, de meio ponto,
de volta inteira, de volta redonda, de volta perfeita, redondo, de pleno centro, romano(Figura 2.6.3); peraltado, ultra-semicircular (Figura 2.6.4); segmentar; abaulado (Figura
2.6.5); de ferradura, bizantino, mourisco, rabe, revindo, capaz (Figuras 2.6.6 e 2.6.9)6;
acairelado (Figura 2.6.7); de ferradura apontado (Figura 2.6.8) ; ogival peraltado (Figura
2.6.10); ogival sobrelevado, ogival lanceolado, lanceolado (Figura 2.6.11); ogival
equiltero (Figura 2.6.12); ogival rebaixado (Figura 2.6.13); segmentar apontado (Figura
2.6.14); abatido, asa de cesto, asa de balaio, anse de panier, sarapanel, rebaixado, de trs
ou mais centros (Figura 2.6.15); abatido rebaixado (Figura 2.6.16); tudor, de quatro
centros, gtico ingls (Figura 2.6.17); aviajado, montante, em rampa, rampante, dearranques desiguais, de ps desiguais, descendente, escono (Figura 2.6.18); otomano,
falso tudor (Figura 2.6.19); elptico, semielptico (Figura 2.6.20); parablico (Figura
2.6.21); trilobulado, trilobado, trifoliado (Figura 2.6.22 e 2.6.24)7; trilobulado apontado,
trilobado apontado, trifoliado apontado (Figura 2.6.23 e 2.6.25); pentalobulado,
pentalobado (Figura 2.6.26); polilobulado, polilobado (Figura 2.6.27); contracurvado,
conopial, de carena, de querena, de colchete, de moldura, flamejante (Figura 2.6.28 e
2.6.29); pseudo abatido (Figura 2.6.30); adintelado (Figura 2.6.31); ogival italiano (Figura
2.6.32); veneziano (Figura 2.6.33); florentino (Figura 2.6.34); de ombros (Figura 2.6.35).
Ragette (2003) prope classificar os vrios tipos de arco em trs grupos: arcos genunos,
cuja forma corresponde ao fluxo natural das foras (catenrio, parablico, semicircular,
segmental, ogival, abatido, entre outros); arcos adversos, que no correspondem
completamente ao fluxo natural das foras (contracurvado, de ferradura, de ombros); e
arcos decorativos, que contradizem a linha natural do abobadar ou no trabalham como
arcos, mas sim como aplicaes decorativas (por exemplo, o polilobulado). Os tipos que
Ragette classifica como genunos so os mais recorrentes na literatura sobre a teoria do
arco de alvenaria, objeto deste trabalho: semicircular, segmentar, ogival, abatido, catenrio,
parablico e elptico.
6 Na literatura encontram-se informaes divergentes quanto s diversas denominaes para o arco deferradura (mourisco, bizantino, rabe, etc) e suas variaes (figuras 6, 8 e 9, entre outras). Neste trabalho, noso feitas distines especficas.7 Fletcher (1987) faz distino entre arco trilobulado e trifoliado, seno que no primeiro, tanto intradorsoquanto extradorso so formados por lbulos, enquanto no segundo apenas o intradorso. GICEA (S/d), por suavez, considera os dois termos como sinnimos.
-
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18
Figura 2.6 Tipos de arco (modificado Fletcher, 1987).
-
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2.4.1.1 Generalidades sob
Arco Pleno
O intradorso corresponde a u
um s centro, posicionado
180 (Figura 2.7a). Correspon
em funo desse valor, o
sobrelevados. Exemplo de a
(Figura 2.7b).
Figura 2.7 Arco pleno: a) gSo Miguel, So Miguel
Arco Segmentar
O intradorso corresponde a u
uma dimenso consideravelm
dos nascedouros e o arco des
apud Pillet, 1895) apresen
segmentares com a relao
( )112f =,
Figura 2.8a a 2.8e.
entre ( )1 6f = e ( )1 9f =
rebaixados, sendo freqente o
(a)
19
re os arcos ditos genunos
ma semicircunferncia, sendo formado, portan
obre a linha dos nascedouros e descrevendo
de ao nico arco com relao entre a flecha e
s demais arcos so classificados como r
plicao: Igreja de So Miguel, So Miguel
ometria (Fletcher, 1987); b) exemplo de aplicaas Misses (RS), 1735-1745 (em runas) (Flick
m arco de circunferncia. O raio de curvatura,
nte maior que a do vo, o centro encontra-se a
creve um ngulo inferior a 180. Croizette-De
ta dados empricos para o dimensioname
( f ) entre a flecha e o vo variando entre
Segundo Corradi (1998), a tradio recomenda
, para evitar o empuxo elevado de arcos e
uso de cos segmentares com abertura de 60 e r
(b)
to, a partir de
m ngulo de
vo f = e,
baixados ou
das Misses
o: Igreja der, c2008).
portanto, tem
aixo da linha
noyers (1885
to de arcos
( )1 4f = e
va o intervalo
cessivamente
elao entre a
-
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20
flecha e o vo ( )17,5f = ( Figura 2.8f). Exemplo de aplicao: Ponte de Rialto, Veneza,
Itlia (Antonio da Ponte, 1588-1591), Figuras 3.22c e 3.22d.
Figura 2.8 Arco segmentar: a)f= ; b)f= 1/6; c)f= 1/7,5; d)f= 1/9; e)f= 1/12;
Arco Catenrio
A catenria definida como a forma que um fio ideal assume quando suspenso apenas por
suas duas extremidades. Ideal implica que o fio perfeitamente flexvel e inextensvel,
no tem espessura e tem densidade uniforme. A catenria, portanto, corresponde a uma
abstrao matemtica da forma de um fio ou cabo suspenso (Math Virtual Museum, s/d). A
catenria definida pela funo
-
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sen
onde 2,71828...e = , base dos
O estudo da catenria foi fun
arco de alvenaria, como demo
(2004) o estudo da catenria
entendida equivocadamente c
seu anagrama matemtico a r
ao longo dos sculos seguin
descobriu que o princpio estr
aquele trabalhando compre
Bernoulli, dedicaram tratado
assumiria a forma de uma ca
segue exatamente a linha de e
Figura 2.9 Arco caten(Heyman, 1998); c) e
(atualme
21
coshx
y aa
=
do, ( ) ( )cosh 2
x x
e ex
+
=
logaritmos naturais.
amental para o desenvolvimento de uma teori
nstrado mais adiante (ver Captulo 5). De acord
remonta a Galileo em seus estudos sobre me
omo um parbola. Robert Hooke em 1970 j
esposta para a estabilidade do arco de alvenar
es. No final do sculo XVII, David Gregor
tural do arco de alvenaria o mesmo do cabo
sso, este trao. Outros matemticos, como
s prticos de construo. Um arco perfei
tenria (Figura 2.9a), na medida em que sua f
mpuxo (Heyman, 1998).
io: a) e b) Anlise de membrana de arco bidimemplo de aplicao: Taq-i-Kisra, Ctesiphon, 53nte Salman Pak, Iraque) (Flickr, c2008).
(2.1)
(2.2)
cientfica do
o com Huerta
nica, porm
anunciava em
ia investigada
(1659-1708)
m suspenso,
Leibniz e os
to, portanto,
orma material
nnsional1-579
-
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22
Para o arco com origem das coordenadas no fecho ( 0dy dx y= = para 0x= ) e
carregamento de intensidade ( w) distribudo uniformemente ao longo da curva (Figura
2.8a), tem-se, a partir da Figura 2.9b:
( )d d sen
d( cos ) 0
w s P
P
=
= (2.3)
como
tandy
dx = (2.4)
e
2 2
1ds dy
dx dx
= +
(2.5)
ento
( )1
cos 1y kxk
= (2.6)
Onde (k) uma constante envolvendo a intensidade ( w) de carregamento e o valor 0P do
componente horizontal do empuxo nos apoios:
0
wk
P= (2.7)
No sculo XVIII, o uso do arco catenrio foi recomendado, com base no princpio de que,
nos arcos de alvenaria, o peso prprio predominante em relao s cargas acidentais,
devido s grandes dimenses das aduelas (Corradi, 1998). A pouca difuso da prtica, noentanto, est associada a questes construtivas, especialmente a maior dificuldade na
execuo do cimbramento e complexidade do corte das pedras, bem como a questes de
natureza esttica (Kurrer, 2008). Alguns exemplos notveis de uso do arco catenrio
couberam a Antonio Gald (1852-1926), a exemplo do projeto da igreja para a Colnia
Gell (Barcelona, 1898) (Figura 4.8).
-
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Arco Parablico
A parbola uma curva plana que pode ser definida como o conjunto dos pontoseqidistantes de um dado ponto (foco) e de uma dada reta (diretriz), ou como uma seo
cnica gerada pela interseo de uma superfcie cnica de segundo grau com um plano
paralelo geratriz do cone.
Se a catenria corresponde forma material de um cabo ideal suspenso pelas extremidades
e submetido exclusivamente ao peso prprio, a parbola corresponde forma material de
um cabo ideal sujeito a um conjunto de cargas pontuais distribudas uniformemente ao
longo de sua projeo. Como o peso prprio distribui-se uniformemente no ao longo daprojeo, mas da extenso do arco, logo a carga total ser mais elevada junto aos apoios,
que na parbola. Por esse motivo, quando a relao entre a flecha e o vo no muito
grande, e, conseqentemente, a inclinao junto aos apoios no muito acentuada, a
diferena entre a parbola e a catenria mnima. Na Figura 2.10, so comparadas a
circunferncia, a catenria e a parbola definida por 2y x= .
Figura 2.10 Parbola y = x2comparada catenria e ao semicrculo (Heyman, 1998).
semicrculo
catenria
parbola 2y x=
-
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Arco Ogival
O arco ogival, tambm denominado de arco gtico, quebrado, agudo, apontado, em pontaou cruzado, formado por dois segmentos de curva (em geral arcos de circunferncia),
traados a partir de centros eqidistantes do centro do vo, e que se interceptam formando
um ngulo agudo no fecho. De origem islmica, o arco ogival est na base da revoluo
que deu origem arquitetura gtica, iniciada na Frana a partir do sculo XI. De acordo
com Viollet-le-Duc (1854), a primeira forma de arco ogival adotada na arquitetura
ocidental foi o lanceolado, cujos centros encontram-se externos s impostas, o que,
conseqentemente, conduz a um ngulo mais agudo (Figura 2.6.11). Posteriormente, so
adotados, preferencialmente, trs tipos de arco ogival: o eqiltero, o de pontos teros(tiers-point) e o de pontos quintos (quinte-point) (Figura 2.11).
(a) (b) (c)
Figura 2.11 Arco Ogival: a) eqiltero; b) de terceiro ponto; c) de quinto ponto(modificado Viollet-Le-Duc, 1854).
No arco ogival equiltero, o vo corresponde base de um tringulo equiltero cujos
vrtices coincidem com os centros de curvatura e o fecho do arco (Figura 2.11a). 8O arco
de pontos teros (tiers-point) obtido pela interseo das duas curvas cg e eg cujos
centros, situados em 3 e 2, respectivamente, so obtidos tomando-se a primeira das
8Prolongado-se a curva dhdo arco at a perpendicular base ad, se obtem um quarto de circunferncia.Como em 2 o segmento dh dividido em duas partes iguais, de mesma medida que o segmento hb, entoh corresponde ao terceiro ponto do quarto de crculo bd, dividido em trs partes iguais. Por esse motivo, otermo arco de terceiro-ponto tambm aplicado ao arco eqiltero, de forma equivocada, segundo Viollet-le-Duc (1854).
-
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trs partes nas quais dividi
2.11b). O traado do arco de
procedimento, com a diferen1854).
Arco Elptico
A elipse definida como o lu
suas distncias a dois pontos
maior que a distncia entre os
(a)
Figura 2.12 Arco ElpticParis, Frana (Pa
demoli
A elipse denominada obla
maior eixo o vertical. A equ
9Denomina-se lugar geomtrico apropriedade. A equao de um lugcujas solues so os pares de cooconsideramos um ponto P (x, y) ggeomtrico.
25
da cada metade da linha ce de nascedouro d
pontos quintos (quinte-point) (Figura 2.11c) se
a de que a base dividida em cinco partes (Vi
gar geomtrico dos pontos de um plano,9 tal
fixos, denominados focos, F1 e F2, constant
focos (2a > 2c) (Figura 2.12a).
(b)
o: a) geometria; b) exemplo de aplicao: Pontul-Martin Gallocher de Lagalisserie, 1855-185a em 1970) (Structurae, c1998-2009).
a quando o maior eixo o horizontal e prol
ao da elipse oblata com centro na origem (0,0
2 2
2 21
x y
a b+ =
m conjunto de pontos tais que todos eles (e s eles) poar geomtrico do plano cartesiano uma equao nasrdenadas (x, y) dos pontos do lugar geomtrico. Para onrico e aplicamos a P a propriedade caracterstica dos
arco (Figura
gue o mesmo
ollet-Le-Duc,
ue a soma de
, igual a 2a e
e lAlma,,
ta quando o
) :
(2.8)
ssuem uma dadaincgnitas x e yter tal equao,pontos do lugar
-
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26
O arco elptico tem o intradorso definido por uma semi-elipse, ou por um segmento de
semi-elipse. O arco elptico prolato raro na arquitetura ocidental, ao contrrio dos arcos,
abbadas e cpulas elpticos oblatos (Stevens, s/d). Apesar das crticas em decorrncia doempuxo elevado gerado, o uso do arco elptico na construo de pontes se difundiu no
sculo XIX, sendo comum a relao entre a flecha e o vof= (Corradi, 1998), fenmeno
atribudo ao desenvolvimento de mtodos mais prticos para o traado da elipse. Exemplo
de aplicao: Pont de lAlma, Paris, Frana (Paul-Martin Gallocher de Lagalisserie, 1855-
1856, demolida em 1970).
Figura 2.13 Ponte de lAlma, em 1889. Ao fundo a Passerelle de l'Alma nocais d'Orsay (Paris in Photos, c2008).
Arco Abatido
O arco abatido uma aproximao ao arco elptico, cujo uso apresenta dificuldades de
projeto e de construo, associadas mudana contnua dos centros de curvatura. No
sentido mais usual, o arco abatido aquele cujo intradorso corresponde a uma curva
composta, formada por trs segmentos de circunferncia, de onde o termo arco de trs
centros pode ser utilizado como sinnimo de arco abatido. De acordo com Corradi (1998),
um dos arcos abatidos mais difundidos aquele cujos trs arcos de circunferncia tm
igual abertura de 60 (Figura 2.14a).
-
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A definio de arco abatido,
qualquer de arcos de circunfe
2.14c e 2.14d). Quanto mais a
(a)
(c)
Figura 2.14 Arco abatidoaplicao: Ponte d
concluda em 1774c) arco de cin
O uso de trs centros de cur
problemas estticos decorren
nascentes. O aumento do n
utilizados para reduzir este ef
de curvatura: Ponte de Neully
demolida em 1954) (Figura 2.
27
no entanto, pode ser generalizada para um
rncia, sendo mais comuns os de 3, 5, 7 e 9 c
batido o arco, maior o nmero de curvas e centr
(b)
(d)
: a) arco de trs centros (Maquaire, c2008); b) ee Neuilly, Paris, Frana, Jean-Rodolphe Perron, demolida em 1954 (Un bonjour de Puteaux, s/o centros; d) arco de sete centros (Koch, s/d).
atura, com relao entre a flecha e o vo f=
es da diferena elevada entre o raio no fech
mero de centros de curvatura tambm um
ito visual indesejvel. Exemplo de aplicao, c
, Paris, Frana (Jean-Rodolphe Perronet, concl
14b).
nmero finito
ntros (Figura
os.
xemplo det,
d);
1/3, apresenta
e o raio nas
dos mtodos
om 11 centros
da em 1774,
-
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28
2.4.2 - Quanto funo na estrutura
Os arcos tambm podem ser classificados de acordo com a funo que exercem na
estrutura e/ou articulao espacial do edifcio:
Arcobotante (botaru): encontra-se no exterior de uma construo e descarrega o empuxo
de uma abbada situada no interior para o contraforte no exterior, ao qual se encontra
conjugado (Figura 2.15a, 4).
Arco diafragma (toral, perpianho): disposto perpendicularmente ao cumprimento do espaoabobadado (a nave de uma igreja, por exemplo), separando-o em reas de de modo a
aliviar a carga das paredes laterais (Figura 2.15a, 2).
Arco formalete (formeiro, formalote): disposto longitudinalmente ao espao abobadado
(Figura 2.15a, 1).
Arco de ogiva: estrutura o esqueleto da abbada de arestas, cruzando-se com outro no
centro (chave) e distribuindo o peso at os pilares de apoio (Figura 2.15a, 3).
Arco de cruzeiro: na igreja, separa a nave da capela-mor ou do coro, situando-se no
cruzeiro.
Arco de penetrao (de encontro): aquele comum s abbadas que se cruzam penetrando
uma na outra.
Arco cego: no ladeia uma passagem ou abertura, a sua rea tapada e geralmente surge
como elemento de relevo numa parede.
-
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(a)Figura 2.15 Classificao darticulao espacial no edifc
b) perspectiva axonomtricReino Unido, projeto de S
Arco de descarga : situa-se ac
Arco em talude: praticado nu
Arco invertido (infletido): arc
pontos de apoio sobregarrega
2.4.3 - Quanto ao mtodo de
Arco de fundao: o empuxo
Arcos mltiplos: o empuxo
arcos adjacentes (Figura 2.16
29
(b)os arcos quanto funo na estrutura e/ou comio: a) catedral gtica (modificado Viollet Lea, projeto de biblioteca para o Trinity College,ir Christopher Wren, 1732 (modificado Heym
ima de uma verga para aliviar o peso da parede.
muro de suporte em talude com finalidade de
o que se constri nas fundaes, com o objetivo
os (Figura 2.15b, 1).
resistncia ao empuxo horizontal
orizontal absorvido diretamente pelo solo (Fi
horizontal contrabalanceado pelo empuxo
).
elemento de-Duc, 1854);ambridge,
an, 1998).
o reforar.
e descarregar
gura 2.16a).
orizontal dos
-
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Arco reforado: o empuxo horizontal absorvido pelos apoios ou contrafortes (Figura
2.16c).
Arco atirantado: o empuxo horizontal absorvido por tirante fixado s impostas (Figura
2.16d).
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.16 Classificao dos arcos quanto ao mtodo de resistncia ao empuxo lateral:a) arco de fundao; b) arcos mltiplos; c) arco reforado; d) arco atirantado
(modificado Engel, 1981).
2.4.4 - Quanto ao grau de estaticidade
Arcos com trs rtulas (triarticulado) tambm denominado isosttico, ou seja, as reaes
de apoio podem ser determinadas atravs das equaes do equilbrio esttico (Figura
2.17a).
-
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Arcos com duas rtulas estruturas externamente hiperesttica (uma vez) cujas reaes de
vnculo s podero ser calculadas a partir de equaes de compatibilidade de deformaes
(Figura 2.17b).
Arcos com uma rtula - estruturas externamente hiperesttica (duas vezes) cujas reaes de
vnculo s podero ser calculadas a partir de equaes de compatibilidade de deformaes
(Figura 2.17c).
Arcos rgidos ou biengastados so estruturas externamente hiperesttica cujas reaes de
vnculo s podero ser calculadas a partir de equaes de compatibilidade de deformaes
(Figura 2.17d).
Figura 2.17 Classificao dos arcos quanto ao grau de estaticidade: a) arco triarticulado;b) arco com duas rtulas; c) arco com uma nica rtula; e d) arco biengastado.
-
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2.5 - CONSIDERAS SOBRE A GEOMETRIA DOS ARCOS
At a consolidao de uma teoria cientfica do arco de alvenaria, no final do sculo XIX, odimensionamento das estruturas de alvenaria era feito com base em regras empricas, como
visto (Corradi, 1998; Huerta, 2004; Kurrer, 2008). Do sculo XV ao XIX, as regras
empricas, tratadas na bibliografia como modo de clculo tradicional, pautavam-se em
proporcionalidades geomtricas. Nas palavras de Huerta (2004, p.387), para os antigos
construtores uma forma estrutural vlida, isto , j construda e demonstrando
estabilidade, correta independentemente de seu tamanho, e precisamente uma
geometria adequada a que assegura a estabilidade das obras de alvenaria. Verifica-se,
portanto, ao longo da histria, edificaes com propores semelhantes em escalasdiferentes (Figura 2.18). As cpulas mostrada nas Figuras 2.18a, 2.18c e 2.18e tm
aproximadamente as mesmas propores embora as duas primeiras sejam de revoluo e a
terceira seja poligonal. As estruturas das Figuras 2.18g e 2.18i, possuem propores bem
semelhantes, embora a segunda tenha medidas aproximadamente 3,5 vezes maiores que a
primeira.
Figura 2.18 Exemplos histricos de estruturas proporcionais. Cpula da Catedral de SanBiagio, Genova (1518-1537), vo de 14m: a) seo transversal (Huerta, 2004) e b) vistaexterna (Flickr, c.2009). Cpula da Baslia de So Pedro, Roma (1590), vo de 42m: c)
seo transversal (Huerta, 2004) e d) vista externa (Flickr, c.2009). Cpula da Catedral deSanta Maria del Fiore, Florena (1296-1436), vo de 42m: e) seo transversal (Huerta,
2004) e f) vista externa. Santa Sofa, Tessalnica (sc. VIII): g) perspectiva esquemtica.(Choisy, 1951) e h) vista externa (Flickr, c.2009). Santa Sofia, Istambul (532-537): i)
perspectiva esquemtica (Choisy, 1951) e j) vista externa (Flickr, c.2009).
(a) (c) (e) (g) (i)
(b) (d) (f) (h) (j)
-
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Galileo, em Dialogues, publicado em 1638, contradiz essa afirmao, defendendo que se
deve considerar os materiais envolvidos, e que nem sempre peas maiores indicam maior
resistncia (Huerta, 2004). Diante desses dois posicionamentos discordantes, a histriarevela a necessidade de se revisar outras consideraes. Considere-se, por exemplo, a
Ponte de Rialto (Veneza, 1588-1591), construda em alvenaria de blocos de pedra (Figura
19a), e o Viaduct du Bernand, projeto em concreto armado (1910), no edificado. A
relao flecha/vo das duas pontes praticamente a mesma, mas a segunda tem a espessura
na chave ( ce ) muito menor que a primeira, de forma que a relao entre ( ce ) e o vo
quase trs vezes menor no Viaduct du Bernand que em Rialto, demonstrando que existem
outras variveis a serem consideradas no estudo de geometrias proporcionais.
Figura 2.19 Geometrias no proporcionais: (a) Ponte de Rialto, Veneza (1588-1591),
na qual1
25ce
l= ; (b) Projeto para o Viaduc du Bernand, (1910), no qual
1
72ce
l= . (Huerta,
2004).
Um parmetro de extrema importncia na geometria dos arcos a relao entre flecha e
vo. Esta relao est diretamente associada ao empuxo gerado pela estrutura e,
conseqentemente, ao dimensionamento de seus apoios. Engel (1989) demonstrou essa
relao de forma grfica (Figura 2.20).
-
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Figura 2.20 Relao entre a flecha e o empuxo de um arco (modificado Engel, 1989).
-
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3 - O USO DO ARCO COMO ELEMENTO ESTRUTURAL NA
ARQUITETURA OCIDENTAL
3.1 - CONSIDERAES INICIAIS
Neste captulo ser apresentado um panorama histrico do uso do arco como elemento
estrutural. A definio de arco encontra-se entre os elementos estruturais tridimensionais
que geometricamente ora so obtidos pela translao do arco no espao, resultando em
abbadas, ora pela rotao em torno de um eixo fixo, resultando em um tipo particular de
abbada denominada cpula. Sero comentadas as principais caractersticas tipolgicas e
os principais desenvolvimentos relacionados construo em arco de alvenaria a partir de
exemplos emblemticos de cada um dos perodos da histria da arquitetura ocidental at o
advento da Revoluo Industrial: romano antigo, bizantino, romnico, gtico, renascentista
e neo-classicisista.
3.2 - O ARCO E SUAS APLICAES NA ARQUITETURA
Neste trabalho, estruturas em arco sero tratadas com o termo arqueadas, entendidas no
sentido da traduo literal do termo em ingls archedpara identificar estruturas geradas a
partir do arco. Ainda hoje essas estruturas provocam admirao e levam o observador a se
perguntar como elas permanecem de p e o que inspirou o modo como foram concebidas e
construdas. Lembrando que o arco um elemento estrutural que funciona basicamente compresso, optou-se por materiais duradouros, incombustveis e disponveis: a pedra e o
tijolo. Em um sentido mais amplo, pode-se pensar na combinao entre dois dos princpios
vitruvianos firmitase utilitas, na composio arquitetnica desse tipo estrutural.
Aparentemente, os arcos de alvenaria surgiram na Mesopotmia ou Egito, h 6000 anos
(Huerta, 2001), e, como base de solues estruturais as mais variadas e desafiadoras,
ocuparam um papel fundamental no desenvolvimento da Arquitetura Ocidental. Arcos
-
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denominados falsos eram construdos por meio da sobreposio de pedras em fiadas
horizontais deslocadas umas em relao s outras, como no Tesouro de Atreu (Figura 3.2).
Nesse tipo de construo, a solidarizao dos esforos se d por seu peso prprio e nopelo desenho de sua estrutura, ou seja, a estrutura no funciona por meio de sua geometria.
Alguns autores sugerem que o arco verdadeiro pode ter aparecido de forma acidental,
por exemplo, quando as pedras de u