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Introduccion a la Logica Proposicional

Algebra

Araceli Guzman y Guillermo Garro

Facultad de CienciasUNAM

Semestre 2018-1

doyouwantmektalwar.wordpress.com

Logica Proposicional Algebra

Referencias basicas

1. Miguel Delgado y Marıa J. Munoz. Lenguaje matematico, conjuntos y numeros,

2010.

2. Armando O. Rojo, Algebra I, 1978.

3. Bravo, Rincon, Rincon, Algebra superior, 2006.

4. Carmen Gomez, Algebra superior, 2014.

5. Alvaro Perez Raposo, Logica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010.

6. Max Fernandez de Castro y Luis Miguel Villegas, Logica Matematica I, 2011.

Otras referencias

1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016.

2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981.

3. Enderton, H.B., A Mathematical Introduction to Logic, 2ed, 2001.

4. Mendelson, E., Introduction to Mathematical Logic, 2015.

Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM

Indice Algebra

1. ¿Que es la Logica Proposicional?

2. Tablas de Valores de Verdad y Conectivos Basicos

3. Equivalencias Logicas y Tautologıas

4. Las reglas basicas

5. La Reglas del Reemplazo. Primera Parte

6. Leyes de De Morgan

7. Equivalencias de ⇒

8. Ley del Contrarecıproco

9. Leyes del Reemplazo. Segunda Parte

10. Leyes Distributivas

11. Identidad y Dominacion

12. Los conectivos ⇔ y Y

13. Internet es tu amigo

14. Epılogo


¿Que es la Logica Proposicional?



¿Que es la Logica Proposicional?

La logica proposicional es un sistema formal cuyos elementos mas simples represen-

tan proposiciones, y cuyas constantes logicas, llamadas conectivas logicas, representan

operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor com-

plejidad.Fuente: Wikipedia, Internet Encyclopedia of Philosophy

Proposiciones

Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor de

verdad V o 1) o falso (con valor de verdad F o 0) pero no ambas cosas. Por ello se

dice que la Logica Proposicional es binaria (porque solo admite dos valores de verdad).

Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayusculas P ,

Q, R,...

Los conectivos logicos

Los conectivos logicos son relaciones (funciones de “verdad”) con las cuales podemos

combinar proposiciones para formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:


https://es.wikipedia.org/wiki/Lógica_proposicional

http://www.iep.utm.edu/prop-log/


Conectivos logicos usuales

CONECTIVO NOMBRE OPERACION INTERPRETACION

¬ Negacion ¬p

No p

No sucede p

No es cierto que p

∧ Conjuncion p ∧ q p y q

∨ Disyuncion p ∨ q p o q

Y Disyuncion excluyente p Y q p o q pero no ambas

⇒ p ⇒ q

p implica q

Si p entonces q

Implicacion q si p

(o condicional) p solo si q

p es condicion suficiente para q

q es condicion necesaria para p

⇔ p ⇔ q

p si, y solo si, q

Doble implicacion q es condicion necesaria y suficiente para p

(o bicondicional) p es condicion necesaria y suficiente para q

p es equivalente a q



Ejemplo

Consideremos las siguientes proposiciones

p : El viento sopla muy fuerte.

q : Se caen las hojas de los arboles.

Tenemos entonces

Operacion Significado

¬ p El viento no sopla muy fuerte

p ∧ q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los arboles

p ∨ q El viento sopla o se caen las hojas

p Y qEl viento sopla pero no se caen las hojas de los arboles, o bien

se caen la hojas de los arboles pero el viento no sopla muy fuerte.

p⇒ qSi el viento sopla muy fuerte, entonces

se caen las hojas de los arboles

p⇔ qEl viento sopla muy fuerte si, y solo si,

se caen las hojas de los arboles



El concepto de Verdad

El concepto de verdad no es relevante para la Logica Proposicional. Simplemente

asumimos que hay objetos (las proposiciones) que pueden ser verdaderas o no. Cualquier

cosa que ello signifique.

Otras Logicas: El mito de la verdad universal

El concepto de Verdad tiene mucha importancia en areas filosoficas, linguısticas y para

nuestra vida ordinaria y contingente. Hay otras logicas que admiten valores de verdad

intermedios cuya finalidad es modelar otros razonamientos complejos, mas alla de los

modelos binarios.

El objeto de la logica... mas o menos

La logica proposicional es formal en el sentido de que carece de contenido. No es asunto

de esta averiguar que afirmaciones son verdaderas, ni es un teorıa de la verdad. Para

nosotros, la logica es el estudio metodico de las reglas (formas, estructuras, etc.) que

rigen las relaciones existentes entre ciertos objetos llamados proposiciones, los cuales

admiten solo dos valores (llamados valores de verdad), formadas mediante funciones

proposicionales llamadas conectivos.


Tablas de Valores de Verdad y Conectivos Basicos



Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:

Para la negacion (que es un conectivo unario):

p ¬pV F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:

p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

Ejercicio 1: Un juego divertido

Asigna un valor de verdad a las proposiciones siguientes y responde la pregunta.

1. Sean p y q las proposiciones

p : p y q son falsos.

q : Este enunciado es verdadero.

¿Cuales son los valores de verdad de p y q?

2. Sean p, q y r las proposiciones

p : q es falsa.

q : p si y solo si r.

r : La humanidad llego a la Luna.

¿La humanidad llego a la luna?

3. Sean p y q las proposiciones

p : p es falsa o q es verdadera.

q : Habra una invasion extraterrestre manana.

¿Habra una invasion extraterrestre manana?


Equivalencias Logicas y Tautologıas



Una equivalencia esperada

La equivalencia siguiente es siempre V:

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) (1)

p q p⇒ q q ⇒ q p⇔ q (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p) (p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V V F F F V

F F V V V V V

Confirmamos ası que la proposicion (1) es siembre V, independientemente de los valoresde verdad de sus proposiciones componentes. Diremos que p ⇔ q es (logicamente)equivalente a la conjuncion (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

Probar que un bicondicional p ⇔ q es V es equivalente a probar quep ⇒ q y q ⇒ p son V, conjuntamente.



Leyes Logicas

Una proposicion compuesta p (esto es, formada a partir de otras proposiciones, lla-

madas componentes, mediante conectivos) cuya tabla de valores de verdad es siempre

V independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes, es

llamada Tautologıa o Ley Logica. Las leyes logicas integran los que llamamos Logica

Formal.

Equivalencias Logicas

En particular, si p y q son proposiciones compuestas tales que

p⇔ q

es tautologıa, entonces decimos que p y q son logicamente equivalentes o para abreviar

solo equivalentes. Una equivalencia es un caso particular de ley logica.

Las proposiciones p y q son equivalentes si tienen la misma tabla de

valores de verdad



Negacion del bicondicional

Es tautologıa:

(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)

p q (p Y q) ⇔ ¬(p⇔ q) (p⇔ q)

V V F V F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F V F V

La diferencia simetrica pY q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.

Para probar que una doble implicacion p ⇔ q es falsa, debemos probarque p y q son excluyentes (i.e. si p ocurre entonces q no ocurre; o bien, si

q ocurre, no ocurre p.)



Modus Ponens

Es tautologıa:

(p ∧ (p⇒ q))⇒ q

p q p⇒ q p ∧ (p⇒ q) (p ∧ (p⇒ q))⇒ q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Deducibilidad

Decimos que una proposicion q se deduce o infiere de otra proposicion p, si el condicionalp⇒ q es tautologico. Un condicional tautologico se llama tambien regla de inferencia

El Modus Ponens o Modus Ponendo Ponens, literalmente del latın: “el modo queafirmado afirma”, es una de las reglas de inferencia mas usadas en la argumentacionmatematica (la demostracion matematica).



Una implicacion esperada: Eliminacion del bicondicional

Es tautologıa:

(p⇔ q)⇒ (p⇒ q)

p q (p⇔ q) ⇒ (p⇒ q)

V V V V V

V F F V F

F V F V V

F F V V V

No obstante, del tercer renglon de la tabla anterior, podemos concluir que

(p⇒ q)⇒ (p⇔ q)

no es tautologıa.

Si un bicondicional p ⇔ q es V entonces el condicional p ⇒ q es V.



Transitividad de ⇒

Es tautologıa:

((p⇒ q) ∧ (q ⇒ r))⇒ (p⇒ r)

p q r ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p⇒ r)

V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Tradicionalmente, esta regla de inferencia es conocida como silogismo hipotetico.

Ejercicio 2: Transitividad de ⇔

Demuestra con una tabla que la proposicion

((p⇔ q) ∧ (q ⇔ r))⇒ (p⇔ r)

es tambien tautologica.

Ejercicio 3: Otras Leyes Transitivas

Demuestra con tablas que las proposiciones

((p⇔ q) ∧ (q ⇒ r))⇒ (p⇒ r)

((p⇒ q) ∧ (q ⇔ r))⇒ (p⇒ r)

son tautologicas.



Convencion notacional para eliminar parentesis

Para evitar el uso excesivo de los parentesis adoptaremos las convenciones notacionales

siguientes:

1. La negacion es mas fuerte que cualquier otro conectivo. Es decir, el conectivo

¬ actua de inmediato sobre la proposicion mas proxima a la derecha antes que

cualquier otro conectivo.

Ejemplo. Las proposiciones

(¬p)⇒ q, (¬p) ∧ q, (¬p) ∨ (q ∧ r), (p⇒ (¬q))⇔ (¬r)

se abrevian simplemente

¬p⇒ q, ¬p ∧ q, ¬p ∨ (q ∧ r), (p⇒ ¬q)⇔ ¬r.




Para evitar el uso excesivo de los parentesis adoptaremos las convenciones notacionales

siguientes:

2. La conjuncion, la disyuncion y la disyuncion excluyentes son mas fuertes que la

implicacion y la doble implicacion. Es decir, ∧, ∨ y Y actuan primero que ⇒ y ⇔.

Ejemplo. Las proposiciones

(p ∧ (¬q))⇒ (¬r), (¬(p⇒ (¬q)))⇔ (r Y (¬s))

se abrevian simplemente

p ∧ ¬q ⇒ ¬r, ¬(p⇒ ¬q)⇔ r Y ¬s




Ejemplos. ¿Como abreviar las proposiciones que hemos estudiado hasta ahora?

Las proposiciones

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)

(p ∧ (p⇒ q))⇒ q

(p⇔ q)⇒ (p⇒ q)

((p⇒ q) ∧ (q ⇒ r))⇒ (p⇒ r)

((p⇔ q) ∧ (q ⇔ r))⇒ (p⇔ r)

((p⇔ q) ∧ (q ⇒ r))⇒ (p⇒ r)

((p⇒ q) ∧ (q ⇔ r))⇒ (p⇒ r)

Se abrevian

(p⇔ q)⇔ (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

p Y q ⇔ ¬(p⇔ q)

p ∧ (p⇒ q)⇒ q

(p⇔ q)⇒ (p⇒ q)

(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)⇒ (p⇒ r)

(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)⇒ (p⇔ r)

(p⇔ q) ∧ (q ⇒ r)⇒ (p⇒ r)

(p⇒ q) ∧ (q ⇔ r)⇒ (p⇒ r)



Determinacion de tautologıas: Deducibilidad Transitiva

Supongamos que p, q y r son proposiciones tales que r se deduce de q, y q se deduce

de p. Entonces r se deduce de p.

En otras palabras, si los condicionales

p⇒ q y q ⇒ r

son tautologıas, entonces el condicional

p⇒ r

es tautologıa.

Demostracion.

Ya hemos probado que el condicional

(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)⇒ (p⇒ q) (2)

es siempre verdadero.

Entonces, dado que p ⇒ q y q ⇒ r son verdaderas, se sigue que p ⇒ q es verdadera,

de otra forma, esto es si p⇒ q fuera falso, el condicional (2) serıa tambien falso.

Ejercicio 4: Da un argumento analogo

1. Si p ⇔ q y q ⇔ r son tautologıas, demuestra que p ⇔ r es

tautologıa.

2. Si p ⇔ q y q ⇒ r son tautologıas, demuestra que p ⇒ r es

tautologıa.



Determinacion de tautologıas: Eliminacion del bicondicional

Si p y q son proposiciones logicamente equivalentes, entonces en particular q se deduce

de p y p se deduce de q.

En otras palabras, si un bicondicional

p⇔ q

es tautologico, entonces los condicionales

p⇒ q y q ⇒ p

son tautologicos.

Demostracion.

Ya sabemos que la proposicion compuesta

(p⇔ q)⇒ (p⇒ q) (1)

es siempre V, independientemente de los valores de verdad de las componentes p y q.

En particular, si p y q son de hecho proposiciones tales que (p⇔ q) es V, se sigue que

p⇒ q debe ser V, de lo contrario (1) serıa F.


Las reglas basicas



Ley del Tercero Excluido y Ley de No Contradiccion

En particular tenemos las tablas,

Ley del tercero excluido

p ∨ ¬p

V V F

V V F

F V V

F V V

Ley de no contradiccion

p ∧ ¬p

V F F

V F F

F F V

F F V

Esto es, p ∨ ¬p es una tautologıa (es siempre V independientemente de los valores de

sus proposiciones componentes).

Mientras que p∧¬p es un absurdo (es siempre F independientemente de los valores de

sus proposiciones componentes).



Involucion

La ley de involucion afirma que p y la doble negacion ¬¬ p son equivalentes, es decir,

p⇔ ¬¬ p

es una proposicion tautologica:

p ¬p ¬¬p p⇔ ¬¬pV F V V

F V F V

Otras leyes logicas evidentes

Son tautologıas:

p⇒ p

p ⇒ p

V V V

F V F

p⇔ p

p ⇔ p

V V V

F V F



Otras utilısimas leyes logicas con nombre propio

Adicion

Es tautologıa:

p⇒ p ∨ q

p q p ∨ q p⇒ p ∨ q

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

Simplificacion

Es tautologıa:

p ∧ q ⇒ p

p q p ∧ q p ∧ q ⇒ p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V



Otras utilısimas leyes logicas con nombre propio

Idempotencia de ∨:

Es tautologıa:

p⇔ p ∨ p

p ⇔ p ∨ p

V V V

F V F

Idempotencia de ∧:

Es tautologıa:

p⇔ p ∧ p

p ⇔ p ∧ p

V V V

F V F



Una pequena Ley de Simplificacion-Adicion

Es tautologıa:

p ∧ q ⇒ p ∨ r

Demostracion.

Los siguientes condicionales son tautologicos

p ∧ q ⇒ p – simplificacion

⇒ p ∨ r – adicion

Por transitividad se sigue quep ∧ q ⇒ p ∨ r

es tautologıa.



Leyes conmutativas

Conmutatividad de ∨:

Es tautologıa:

p ∨ q ⇔ q ∨ p

p q p ∨ q ⇔ q ∨ p

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F V F

Conmutatividad de ∧:

Es tautologıa:

p ∧ q ⇔ q ∧ p

p q p ∧ q ⇔ q ∧ p

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F V F



Leyes Conmutativas

Conmutatividad de ⇔:

Es tautologıa:

(p⇔ q)⇔ (q ⇔ p)

p q (p⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F V V V

Determinancion de tautologıas

1. Si p ∨ q es tautologıa entonces q ∨ p es tautologıa.

2. Si p ∧ q es tautologıa entonces q ∧ p es tautologıa.

3. Si p⇔ q es tautologıa entonces q ⇔ p es tautologıa.

Ejercicio 5: Responde y justifica

1. ¿Es ⇒ conmutativo?

2. ¿Es Y conmutativo?



Leyes asociativas

Asociatividad de ∨:

Es tautologıa

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

p q r p ∨ q q ∨ r (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

V V V V V V V V

V V F V V V V V

V F V V V V V V

V F F V F V V V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V F V V V V

F F F F F F V F

Ejercicio 6: Haz una tabla

Asociatividad de ∧:

Es tautologıa

(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)



Convenios: Eliminacion de parentesis

Acabamos de probar que las proposiciones

(p ∨ q) ∨ r y p ∨ (q ∨ r)

son logicamente equivalentes.

Por tanto podemos definir una formula para referirnos a ambas, a saber,

p ∨ q ∨ r

Analogamente, escribimos

p ∧ q ∧ r

en lugar de las proposiciones

(p ∧ q) ∧ r y p ∧ (q ∧ r),

las cuales son logicamente equivalentes.

En otras palabras...

Vamos a admitir dos nuevos terminos, a saber,

p ∨ q ∨ r p ∧ q ∧ r

para los cuales admitimos que los bicondicionales siguientes son siempre V:

p ∨ q ∨ r ⇔ (p ∨ q) ∨ r p ∧ q ∧ r ⇔ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ q ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) p ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r).



Convenios: Eliminacion de parentesis

En general, si tenemos una coleccion finita de n > 1 proposiciones

p1, p2, ..., pn−1, pn,

entonces definimos recursivamente la disyuncion y conjuncion de tales proposiciones,

respectivamente, mediante las formulas siguientes, las cuales admitiremos como ver-

daderos en todo caso:

p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn ⇔ (p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn−1) ∨ pn

p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇔ (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn−1) ∧ pn

Por ejemplo

p1 ∨ p2 ∨ p3 ⇔ (p1 ∨ p2) ∨ p3

p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 ⇔ (p1 ∨ p2 ∨ p3) ∨ p4

p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 ∨ p5 ⇔ (p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4) ∨ p5


La Reglas del Reemplazo. Primera Parte



Reglas del Reemplazo

Supongamos que p y p son dos proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional

p⇔ p

es tautologico.

Entonces las siguientes son tautologıas

¬ p ⇔ ¬ p

p ∨ q ⇔ p ∨ q

p ∧ q ⇔ p ∧ q

Demostracion.

Si p y p son equivalentes tienen la misma tabla. Y por tanto, ¬ p y ¬ p tienen la misma

tabla. Analogamente, los pares de proposiciones p ∨ q y p ∨ q, y p ∧ q y p ∧ q tienen la

misma tabla.



Ejemplo: Idempotencia

Recordemos las leyes de idempotencia: Son tautologıas:

p⇔ p ∨ p y p⇔ p ∧ p

Entonces

p ∨ q ⇔ p ∨ p ∨ q y p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

son tautologıas.

Demostracion.

Son tautologıas:

p ∨ q ⇔ (p ∨ p) ∨ q – reemplazamos p por p ∨ p

⇔ p ∨ p ∨ q – por definicion de p ∨ p ∨ q

Por transitividad del bicondicional,

p ∨ q ⇔ p ∨ p ∨ q

es tautologıa.

Ejercicio 7: Ahora repite la prueba para ∧

Prueba que es tautologıa:

p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Ejercicio 8: Prueba las siguientes Leyes del Reemplazo

Supongamos que p y p son equivalentes y que q y q son equivalentes.

Demuestra sin tablas que los siguientes bicondicionales son tautologıas:

p ∨ q ⇔ p ∨ q

p ∧ q ⇔ p ∧ q



Ejemplo: Leyes asociativas

Sean p, q, r y s proposiciones. Las proposiciones siguientes son equivalentes

p ∨ q ∨ r ∨ s

(p ∨ q ∨ r) ∨ s

((p ∨ q) ∨ r) ∨ s

(p ∨ (q ∨ r)) ∨ s

p ∨ ((q ∨ r) ∨ s)

p ∨ (q ∨ (r ∨ s))

(p ∨ q) ∨ (r ∨ s)

p ∨ (q ∨ r ∨ s)

p ∨ (q ∨ r) ∨ s

Demostracion.

Las equivalencias siguientes son tautologıas:

p ∨ q ∨ r ∨ s⇔ (p ∨ q ∨ r) ∨ s – definicion

⇔ ((p ∨ q) ∨ r) ∨ s – definicion, reemplazo

⇔ (p ∨ (q ∨ r)) ∨ s – ley asociativa de ∨, reemplazo

⇔ p ∨ ((q ∨ r) ∨ s) – ley asociativa de ∨

⇔ p ∨ (q ∨ (r ∨ s)) – ley asociativa de ∨, reemplazo

⇔ (p ∨ q) ∨ (r ∨ s) – ley asociativa de ∨

Y por otro lado,

p ∨ (q ∨ r ∨ s)⇔ p ∨ ((q ∨ r) ∨ s) – definicion, reemplazo

⇔ p ∨ (q ∨ r) ∨ s – definicion

Ejercicio 9: Ahora repite la prueba para ∧

Prueba que las proposiciones siguientes son equivalentes

p ∧ q ∧ r ∧ s

(p ∧ q ∧ r) ∧ s

((p ∧ q) ∧ r) ∧ s

(p ∧ (q ∧ r)) ∧ s

p ∧ ((q ∧ r) ∧ s)

p ∧ (q ∧ (r ∧ s))

(p ∧ q) ∧ (r ∧ s)

p ∧ (q ∧ r ∧ s)

p ∧ (q ∧ r) ∧ s


Leyes de De Morgan



Las Leyes de De Morgan

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

(1)

(2)

son equivalencias logicas.

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬qV V F F V F V F

V F F V F V V V

F V V F F V V V

F F V V F V V V

La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esequivalente a la disyuncion de las negaciones.



Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla. O bienprocedemos como sigue:

Son tautologıas,

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q) – De Morgan (1)

⇔ (p ∨ q) – involucion y reemplazo

Ası que por transitividad y conmutatividad del bicondicional, el siguiente bicondicionales tautologico:

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

Por lo tanto, los bicondicionales siguientes son tautologicas:

¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q) – reemplazo

⇔ (¬p ∧ ¬q) – involucion.

Nuevamente por transitividad del bicondicional, el siguiente bicondicional estautologico:

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q).

La segunda Ley de De Morgan dice que la negacion de una disyuncion esequivalente a la conjuncion de las negaciones.


Equivalencias de ⇒



Equivalencias de ⇒

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)(p⇒ q)⇔ ¬p ∨ q

(1)

(2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q) p ∧ ¬qV V F V V V F

V F V F V F V

F V F V V V F

F F V V V V F

Probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar la negacion¬(p ∧ ¬q).



Para la equivalencia (2):

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)

podemos tambien usar una tabla.

O tambien podemos proceder como sigue:

Por la primera de las equivalencias de ⇒ probada en la tabla anterior, la primera ley

de De Morgan e involucion, las dobles implicaciones que siguen son tautologicas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) – equiv. (1) de⇒

⇔ ¬p ∨ ¬¬q – De Morgan (1)

⇔ ¬p ∨ q – involucion.

Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).

Probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar la disyuncion

¬p ∨ q.



¿Como negar ⇒?

Una consecuencia importante de la primera de estas equivalencias es que proporciona

una formula para negar ⇒:

Es tautologıa

¬(p⇒ q)⇔ p ∧ ¬q.

Demostracion.

Son tautologıas,

¬(p⇒ q)⇔ ¬¬(p ∧ ¬q) – primera equivalencia de⇒

⇔ p ∧ ¬q – involucion.

Por transitividad,

¬(p⇒ q)⇔ p ∧ ¬q

es tautologıa.

Si queremos probar que una implicacion p ⇒ q es falsa, debemos probar

que p ∧ ¬q es verdadera


Ley del Contrarecıproco



Consecuencias importantes: Ley del contrarecıproco

Es tautologıa:

(p⇒ q)⇔ (¬q ⇒ ¬p)

Demostracion.

Los bicondicionales siguientes son tautologicos:(p⇒ q

)⇔ ¬(p ∧ ¬q) – equiv. (1) de⇒

⇔ ¬(¬q ∧ p) – conmutatividad de ∧

⇔ ¬(¬q ∧ ¬¬p) – involucion

⇔(¬q ⇒ ¬p

)– equiv. (1) de⇒

Por tanstividad,(p⇒ q)⇔ (¬q ⇒ ¬p)

es tautologıa.

Probar que un condicional p ⇒ q es V es equivalente a probar que elcondicional recıproco ¬q ⇒ p es V



Corolario

Es tautologıa:

(p⇔ q)⇔ (¬p⇔ ¬q)

Demostracion.

Los bicondicionales siguientes son tautologicos

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) – primera equivalencia de⇔

⇔ ((¬q ⇒ ¬p) ∧ (¬p⇒ ¬q)) – ley del contra-recıproco

⇔ (¬q ⇔ ¬p) – primera equivalencia de⇔

⇔ (¬p⇔ ¬q) – conmutatividad de⇔.

Por transitividad,(p⇔ q)⇔ (¬p⇔ ¬q)

es tautologıa.

El valor de ⇔ no se altera con la negacion de sus componentes


Leyes del Reemplazo. Segunda Parte



Otras Leyes del Reemplazo

Supongamos que p y p son proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional

p⇔ p

es tuatologico.

Entonces son tautologıas

(p⇔ q)⇔ (p⇔ q)

(p⇒ q)⇔ (p⇒ q)

(q ⇒ p)⇔ (q ⇒ p )

Ejercicio 10: Otras Leyes del Reemplazo

Supongamos que p y p son proposiciones tales que p se deduce de p, es

decir, el condicional

p⇒ p

es tuatologico. Demuestra que

¬ p⇒ ¬ p

es tautologico. Interpreta.

¿Es cierto que ¬ p⇒ ¬ p es tautologico? Justifica.


Supongamos que p y p son proposiciones tales que p se deduce de p, es

decir, el condicional

p⇒ p

es tuatologico. Demuestra las tautologıas

p ∨ q ⇒ p ∨ q

p ∧ q ⇒ p ∨ q


Supongamos que p y p son proposiciones tales que p se deduce de p, es decir, el

condicional siguiente es tuatologico:

p⇒ p.

Demuestra que los siguientes condicionales son tautologıas:

(p⇒ q)⇒ (p⇒ q)

(q ⇒ p)⇒ (q ⇒ p)

Interpreta.

¿Es cierto que los condicionales

(p⇒ q)⇒ (p⇒ q)

(q ⇒ p)⇒ (q ⇒ p)

son tautologicos? Justifica


Leyes Distributivas



Leyes distributivas

Son tautologıas:

p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(1)

(2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q r p ∧ q p ∧ r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

V V V V V V V V V

V V F V F V V V V

V F V F V V V V V

V F F F F F F V F

F V V F F V F V F

F V F F F V F V F

F F V F F V F V F

F F F F F F F V F



Leyes distributivas

Son tautologıas:

p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(1)

(2)

Para (2) procedemos como sigue:

p ∨ (q ∧ r)⇔ ¬¬p ∨ (¬¬q ∧ ¬¬r) – involucion

⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)

⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)

⇔ ¬((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r)) – ley distributiva (1)

⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)

⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)

⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) – involucion

Por transitividad,

p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

es tautologıa, como querıamos ver.

Leyes distributivas por la derecha

Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por la

izquierda. Pero es muy facil deducir que tambien se valen por la derecha,

usando conmutatividad:

(p ∨ q) ∧ r ⇔ r ∧ (p ∨ q)

⇔ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)

⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).

Por transitividad,

(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).

es tautologıa.

Ejercicio 13: Prueba el otro caso

Demuestra que es tautologıa

(p ∧ q) ∨ r ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r)).


Identidad y Dominacion



Leyes de identidad

Conjuncion con una tautologıa:

Es tautologıa

(p ∨ ¬p) ∧ q ⇔ q

(p ∨ ¬p) ∧ q ⇔ q

V V F V V V V

V V F F F V F

F V V V V V V

F V V F F V F

Disyuncion con un absurdo:

Es tautologıa:

(p ∧ ¬p) ∨ q ⇔ q

(p ∧ ¬p) ∨ q ⇔ q

V F F V V V V

V F F F F V F

F F V V V V V

F F V F F V F

Ejercicio 14: Prueba las leyes de dominacion

Conjuncion con una absurdo:

Es tautologıa

(p ∧ ¬p) ∧ q ⇔ p ∧ ¬p

Disyuncion con una tautologıa:

Es tautologıa:

(p ∨ ¬p) ∨ q ⇔ p ∨ ¬p



Ejemplo: Primera Ley del Silogismo

Es tuatologıa:

(p⇒ q)⇒ ((r ⇒ p)⇒ (r ⇒ q))

Demostracion.

Las siguientes condicionales son tautologicos:

(p⇒ q)⇒ ¬p ∨ q – equivalencia (2) de⇒

⇒ (¬p ∨ ¬r) ∨ q – adicion

⇒ ((r ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ ¬r)) ∨ q – identidad

⇒ ((r ∧ ¬p) ∨ ¬r) ∨ q – ley distributiva

⇒ (r ∧ ¬p) ∨ (¬r ∨ q) – ley asociativa

⇒ ¬(r ⇒ p) ∨ (r ⇒ q) – negacion de⇒, equivalencia (2) de⇒

⇒ ((r ⇒ p)⇒ (r ⇒ q)) – equivalencia (2) de⇒

Por transitividad,

(p⇒ q)⇒ ((r ⇒ p)⇒ (r ⇒ q))

es tautologıa, como querıamos ver.Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


Y una consecuencia sin esfuerzo: Segunda Ley del Silogismo

Es tautologıa

(p⇒ q)⇒ ((q ⇒ r)⇒ (p⇒ r))

Demostracion.

Los condicionales siguientes son tautologicos

(p⇒ q)⇒ (¬q ⇒ ¬p) – contrarecıproco

⇒ ((¬r ⇒ ¬q)⇒ (¬r ⇒ ¬p)) – 1ra Ley del Silogismo

⇒ ((q ⇒ r)⇒ (p⇒ r)) – contrarecıproco

Por transitividad,

(p⇒ q)⇒ ((q ⇒ r)⇒ (p⇒ r))

es tautologıa, como querıamos ver.


Los conectivos ⇔ y Y



Otra caracterizacion del bicondicional ⇔

Es tautologıa:

(p⇔ q)⇔ ((p ∨ q)⇒ (p ∧ q))

Demostracion.

Los bicondicionales siguientes son tautologicos:

(p⇔ q)⇔ (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p) – primera equiv. de⇔

⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) – equiv. (2) de⇒

⇔ ((¬p ∨ q) ∧ ¬q) ∨ ((¬p ∨ q) ∧ p)) – ∧ se distribuye sobre ∨

⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p) – ∨ se distribuye sobre ∧, ley asociativa de ∨

⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) – (q ∧ ¬q) y (¬p ∧ p) son absurdos (identidad)

⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) – conmutatividad de ∧

⇔ ¬(p ∨ q) ∨ (p ∧ q) – De Morgan (1)

⇔ ((p ∨ q)⇒ (p ∧ q)) – equiv. (2) de⇒



Una equivalencia inesperada (o quiza no tanto)

Es tautologıa:

(p⇔ ¬q)⇔ ¬(p⇔ q)

Demostracion.

Los bicondicionales siguientes son tautologicos:

(p⇔ ¬q)⇔ (p⇒ ¬q) ∧ (¬q ⇒ p) – primera equiv. de⇔

⇔ (¬p ∨ ¬q) ∧ (¬¬q ∨ p) – equiv. (2) de⇒

⇔ ¬(p ∧ q) ∧ (q ∨ p) – De Morgan (1), involucion

⇔ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) – conm. de ∨ y ∧

⇔ ¬(p ∨ q ⇒ p ∧ q) – neg. de⇒

⇔ ¬(p⇔ q) – segunda equiv. de⇔



¡Sorprendente!

Las iteraciones del bicondicional ⇔ y la diferencia simetrica Y son equivalentes.

En otras palabras, la proposicion siguiente es tautologıa:

((p⇔ q)⇔ r)⇔ ((p Y q) Y r)

Demostracion.

Los bicondicionales siguientes son tautologicos

((p⇔ q)⇔ r)⇔ (¬(p⇔ q)⇔ ¬r) – ⇔ no se altera con las negacion de sus componentes

⇔ ((p Y q)⇔ ¬r) – Y es equivalente a la negacion de⇔

⇔ ¬((p Y q)⇔ r) – anterior

⇔ ((p Y q) Y r) – Y es equivalente a la negacion de⇔


Internet es tu amigo



Truth Table Tool

Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las mas destacadas sonlas siguientes:

Truth table tool de la clase CS 103 Mathematical of Computing, de la Stanford Uni-versity.


http://web.stanford.edu/class/cs103/tools/truth-table-tool/

http://web.stanford.edu/class/cs103/

https://www.stanford.edu

https://www.stanford.edu


Truth Table Generator

Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las mas detacadas son lassiguientes:

Truth table generator, desarrollada por Michael Rieppel, profesor adjunto en el Philos-ophy Department at Syracuse University.


http://mrieppel.net/prog/truthtable.html

http://mrieppel.net/index.html

http://philosophy.syr.edu

http://philosophy.syr.edu

Epılogo



¿Que deberıamos preguntar?

1. ¿Cuantos conectivos binarios hay?

2. ¿Hay conectivos “ternarios”? ¿Cuantos?

3. Todavıa mas, si entendemos por conectivo n-ario (con n un entero posito arbitrario)

como una funcion tal que asigna unicamente dos valores de verdad a n proposi-

ciones, ¿cuantos conectivos n-arios hay?

Y tales conectivos, ¿sirven de algo?

No podemos contestar en este curso estas y otras preguntas que nos obligarıan a exten-

dernos mucho mas de lo debido. Baste decir que, puede demostrarse que es suficiente

(mas que suficiente de hecho), estudiar la lista de los pocos conectivos que hemos

revisado aquı para tener una teorıa de la logica (proposicional) digamos completa.


araceli guzm an y guillermo garro · introducci on a la l ogica proposicional algebra araceli guzm...

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