LOS POSTULADOS NEWTONIANOS DE LA MECÁNICA

Definiciones

1. La cantidad de materia en un cuerpo se mide por el producto entre densidad y volumen. Esta cantidad de materia se llama cuerpo o masa; también se conoce con el nombre de peso del cuerpo en consideración. Que la masa es proporcional al peso es algo que se ha descubierto mediante cuidadosos experimentos con péndulos.

2. La cantidad de movimiento se mide por el producto de la velocidad y la cantidad de materia (masa).

3. La fuerza innata de la materia es un poder de resistencia, gracias al cual todo cuerpo, en cuanto de él depende, trata de perseverar en su estado presente, ya se trate de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme.

4. Fuerza impresa es una acción ejercida sobre un cuerpo con el objeto de cambiar su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme.

Leyes de Newton

I. Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, salvo que una fuerza lo obligue a cambiar ese estado.

II. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza que lo produce y se opera en la misma dirección de la fuerza.

III. A toda acción corresponde siempre una reacción igual y contraria; en otras palabras: las acciones mutuas de dos cuerpos son siempre iguales y de dirección contraria a lo largo de una misma recta.

Tratemos de entender lo que significan las leyes valiéndonos de las definiciones de Newton y de nuestros conocimientos experimentales.

La primera ley contiene varias palabras descriptivas de conceptos que deben ser aclarados antes de que se la pueda comprender. Éstas son:

“cuerpo” entenderemos: partícula o cuerpo rígido

“estado de reposo” expresión cinemática

“movimiento uniforme” expresión cinemática

“línea recta” concepto geométrico

“fuerza” aquí empiezan las grandes dificultades

Se ve que el significado de la primera ley depende de la comprensión del concepto de fuerza.

Imaginemos que nos acercamos a la ley sin la menor idea de lo que es este concepto.

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Podríamos decir lo siguiente: Existe un tipo de movimiento, notable por su simplicidad, privilegiado, que sería el movimiento universal si no fuera por la intervención de fuerzas exteriores que impiden que ocurra siempre.

Desde este punto de vista, sólo queda de la ley lo subrayado jocosamente por Eddington:

“toda partícula continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, salvo que ocurra otra cosa”.

Si no sabemos nada de la fuerza, la ley se convierte en una formulación fraudulenta que llama la atención a un posible estado de movimiento que algunas veces puede ocurrir en la naturaleza y otras no.Pero ésta no es la única interpretación posible de la ley.Es evidente que Newton quiso expresar algo bien definido. Lo que quiso expresar, sin lugar a dudas, fue la sensación de que la idea de fuerza es conocida intuitivamente y no necesita de más explicaciones.

No obstante, existe la posibilidad de tomar otra actitud ante la primera ley y eludir las dificultades que acabamos de indicar.

Ésta consiste en la idea bastante frecuente de que la ley es realmente una definición de fuerza.

En otras palabras ella no constituye un enunciado acerca de lo que le ocurre a una partícula cuando una fuerza (que suponemos conocida y comprendida) actúa sobre ella; quiere decir más bien, que fuerza es todo lo que puede cambiar el estado de reposo o de movimiento rectilíneo de una partícula.

Esto significaría que siempre que nos encontremos con una partícula que no presente este estado ideal, debemos decir que está sometida a una fuerza.

Esta actitud que es esencialmente la de la cuarta definición de Newton no es susceptible de ser criticada lógicamente. Su utilidad se presta a dudas, sin embargo, ya que no da ninguna idea de como debe medirse la fuerza y tiene, entonces, poco significado cuantitativo.

Tal vez esto tenga que buscarse en la segunda ley, respecto de la cual la primera pasaría a ser una especie de introducción cualitativa o el significado cuantitativo de fuerza cero.

Otra merma de la utilidad de la ley como definición de fuerza cero surge del hecho experimental de que el movimiento uniforme rectilíneo es la excepción y no la regla.

Para seguir adelante con nuestra crítica, examinemos el significado de la segunda ley del movimiento.

Salta a la vista que, como la primera, ésta introduce tanto el concepto cinemático de movimiento como la idea dinámica de fuerza. Para entender el significado debemos recordar la segunda definición de Newton, donde el término “movimiento” aparece usado en sentido técnico, es decir como lo que hoy se conoce por momentum: masa por velocidad. “Variación de movimiento” puede traducirse por “variación del momentum”. En los textos modernos esta ley aparece generalmente bajo la forma de la ecuación vectorial del movimiento,

d m

dt

vF (1)

donde F es la fuerza (un vector) y m es la masa.

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Ahora nos encontramos con un nuevo problema, ¿qué es la masa?

Claro que si tomamos directamente movimiento por momentum, eludimos el escollo, pero se nos crea el problema igualmente difícil de definir momentum. En líneas generales parece más simple trabajar con la masa.Es probable que Newton haya considerado esta noción, igual que la de fuerza, como más o menos conocida intuitivamente.Sin embargo, él introdujo el nombre en su primera definición, donde dice esencialmente que la masa de un cuerpo es el producto de su volumen por su densidad. Para nosotros que estamos acostumbrados a definir densidad como masa por unidad de volumen, ésta es una definición en círculo.

Las diferentes épocas han visto la dificultad inherente al concepto de masa, pero habían preferido evitarla hasta hace relativamente poco, digamos hasta la fecha de aparición de la famosa obra de Ernst Mach (1838-1916), The Science of Mechanics, publicada por primera vez en 1883.

En la mayoría de los textos novecentistas de mecánica y física general se repite, casi sin ninguna variación significativa, que la masa es “la cantidad de materia contenida en un cuerpo” o que “masa es, en buenas cuentas, el cuerpo mismo o la materia de que está compuesto”. El mero hecho de enunciar tales proposiciones podría considerarse hoy por hoy como un exceso, si no fuera por la circunstancia de que aún suelen aparecer en textos de uso corriente.

A veces nos encontramos con la definición de masa como inercia; cuando se la acompaña con la discusión de un experimento concreto, esta definición tiene por lo menos el mérito de proporcionar una noción cualitativa. Pero ya hemos subrayado el hecho de que una definición de una cantidad física no tiene ningún valor si no describe un proceso que permita medir esa cantidad.

Volviendo a la ecuación (1) o a su equivalente F=ma (en caso de que la masa no varíe), se ve la posibilidad de definir la masa, representada por el símbolo m, en términos de fuerza y aceleración. Esto implica, sin embargo, que la fuerza ya ha sido definida independientemente, lo que no es así de ninguna manera.

De todos modos, consideremos por un momento la posibilidad de definir satisfactoriamente la idea de fuerza al margen de la segunda ley de Newton.

Casi inevitablemente nuestro primer pensamiento se refiere a barras y cuerdas, pesos, tirones y empujones. Nos proponemos, sin embargo, mantenernos lo más lejos posible de todo antropomorfismo. ¿Cuál es la situación efectiva?

Tenemos un número de partículas y observamos que se mueven con aceleraciones diferentes. Queremos describir sus movimientos diciendo que sobre las partículas actúan ciertas fuerzas. ¿Cómo podemos saber qué fuerza actúa sobre una partícula dada?

Se impone la siguiente idea: apliquemos un tiro o un empuje a la partícula en consideración hasta que su aceleración se reduzca a cero. El tiro o el empuje que cumple esta función es entonces igual en magnitud y de dirección opuesta a la fuerza original que actúa sobre la partícula.

Esto, sin embargo, no hace otra cosa más que desplazar el problema al de medir un tiro o un empuje. Un tiro o un empuje se aplican siempre a través de un medio material y todo intento de medición deberá hacerse en términos de las propiedades observadas de tales medios. Ya que los medios difieren considerablemente unos de otros, éste no es, en modo alguno, un estado

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satisfactorio de cosas.

Lo que queremos, sin duda, es una definición que sea en último término independiente de las propiedades de tales medios. Podría pensarse en subsanar esta falla mediante el uso de la gravedad. Es decir, podríamos equilibrar todo tiro o empuje mediante el peso de algún objeto y expresar así, finalmente toda fuerza en términos de peso. Pero de nuevo surgen problemas, ya que los pesos varían de un punto a otro de la Tierra de una manera nada sencilla. El intento de definir fuerza independientemente de la segunda ley se presenta tan lleno de dificultades que parecería que no vale la pena insistir.

EL CONCEPTO DE MASA

Definición de masa

Procedamos entonces con el mayor cuidado posible. Nos ocuparemos sólo de partículas. Supongamos dos cuerpos, 1 y 2, que se hallan bastante alejados de todos los otros cuerpos del universo; podemos considerar, realmente, que están aislados. Es necesario suponer que los cuerpos se influyen mutuamente. Supongamos que esta acción mutua toma la forma de movimiento acelerado. Como ilustración concreta imaginemos dos pequeñas esferas sólidas unidas entre sí mediante un elástico o un resorte. Designemos por a1 la aceleración de 1 respecto del sistema inercial primario y por a2 la aceleración de 2.

La experiencia indica que en todos los casos en que dos cuerpos actúan uno sobre otro:

a) En todo instante, las aceleraciones del cuerpo 1 y del cuerpo 2 tienen la dirección de la recta que une los dos cuerpos y sentidos mutuamente opuestos, no importando que mecanismo los acelera.

b) En todo instante, el cociente de los módulos a1/a2 tiene siempre el mismo valor, cualquiera que fuese el mecanismo de interacción. Este valor depende exclusivamente de los dos cuerpos que interactúan.

El valor del cociente de los módulos de las aceleraciones, que es totalmente independiente del mecanismo de interacción y que representa una cualidad inherente de los cuerpos 1 y 2, lo llamaremos masa inercial del cuerpo 2 en unidades del cuerpo 1 y lo representamos por el símbolo m21,

121

2

a constante ma

(1)

Estas aceleraciones varían de caso en caso y en función del tiempo. Lo esencial y notable es que el cociente de sus módulos se mantiene constante para los dos cuerpos. Esta constante que caracteriza al par de cuerpos, es el resultado experimental más importante de toda la mecánica.

Si ahora tomamos un tercer, cuarto,..., n-ésimo cuerpo y los ponemos en interacción mutua con el cuerpo 1, tendremos; cualquiera que sea el mecanismo de interacción,

1 1 131 41 n1

3 4 n

a a a m , m , , ma a a

���

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Obteniéndose así las masas inerciales de esos cuerpos en unidades del cuerpo 1.

En el intento de dar una interpretación a la constante m21 tomamos otra partícula 3 y la dejamos interactuar primero con 1 y luego con 2. Obtenemos relaciones análogas con (1), a saber:

1 231 32

3 3

a a m , ma a

Es perfectamente concebible que las constantes m21, m31, m32 sean independientes. Sin embargo, los experimentos indican que éste sería un mal supuesto, como vemos enseguida.

c) Si ahora ponemos al cuerpo 3 en interacción con el 2, observamos experimentalmente que:

31232

3 21

ma ma m

(2)

La última igualdad es un resultado nuevo que no se puede deducir de los anteriores.

Si por “decreto” adoptamos de una vez por todas al cuerpo 1 como “unidad de masa inercial” podemos suprimir el índice 1 y llamar al cociente,

1n

n

a ma

(3)

“masa inercial del cuerpo n” (entendiéndose que es en unidades del cuerpo 1). Obsérvese que así definida, el valor de la masa de un cuerpo es el número que mide cuantas veces más aceleración tiene el cuerpo unidad cuando es puesto en interacción con el cuerpo dado. Ese número dependerá por lo tanto del cuerpo unidad.

En resumen, las experiencias anteriores permiten introducir una magnitud física llamada “masa inercial”, que representa el hecho físico de que el cociente de las aceleraciones de dos cuerpos en interacción mutua cualquiera es siempre el mismo, dependiendo sólo de los dos cuerpos. El valor numérico de esa magnitud está dado por el valor numérico de ese cociente cuando uno de los dos cuerpos es el convenido como unidad.

EL CONCEPTO DE FUERZA

Dados dos cuerpos que interactúan i y j, el hecho de que las aceleraciones sean de sentido opuesto y de que para sus módulos valga ai/aj=mj/mi, puede expresarse vectorialmente en la igualdad,

i i j jm m 0a a (1)

Esta expresión nos permite introducir un ente que sea representativo de lo que intuitivamente entendemos por “intensidad de una interacción”. En otras palabras, nos proponemos encontrar un ente que sea representativo, desde el punto de vista físico del proceso de interacción en sí.A primera vista podría tomarse directamente la aceleración como “intensidad de interacción”,

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puesto que parece natural calificar una interacción como tanto más fuerte, cuanto mayor aceleración produzca en las masas que interactúan. Pero esto no sirve desde el punto de vista cuantitativo, puesto que en general, las aceleraciones de los cuerpos que interactúan son diferentes entre sí y no sabríamos cuál de las dos elegir como ente representativo.

Pero precisamente gracias a la relación (1) encontramos un ente expresado por miai ó mjaj, que conteniendo a la aceleración, es el mismo (excepto el sentido) para las dos masas. Este ente nos permite por lo tanto representar en forma cuantitativa unívoca lo que entendemos por “intensidad” de la interacción en cuestión. Llamaremos a ese ente miai=Fi, fuerza sobre el cuerpo i; mjaj=Fj será la fuerza sobre el cuerpo j en su interacción con el cuerpo i. Es importante recordar que el concepto de fuerza nos representa físicamente la “intensidad” de la interacción estando determinado por el proceso de interacción en sí.

Según (1) tenemos:

i j 0F F (2)

Vemos que cuando dos cuerpos ejercen acciones mutuas entre sí, la fuerza que actúa sobre uno de ellos es igual y de sentido contrario a la fuerza que actúa sobre el otro. O más concisamente: las fuerzas nacen mellizas. La fuerza es por lo tanto una cantidad vectorial, tal como lo es la aceleración. De inmediato se ve que ésta es la formulación matemática de la tercera ley de Newton, que surge pues como una consecuencia lógica de nuestros supuestos previos y de las definiciones de masa y fuerza. Un poco más adelante discutiremos en mayor detalle el significado de la tercera ley.

Por el momento, no obstante, vale la pena subrayar la importancia de la definición de fuerza propuesta aquí. Se habrá visto que no sólo contiene la noción antropomórfica de tiro y empuje. La definición satisface el criterio aceptado en cuanto proporciona un método para asociar un número a la magnitud del símbolo F tan pronto se elija la unidad. Presenta además el interés de introducir una ecuación práctica que se puede usar en el estudio de todos los problemas mecánicos. Para cualquier partícula de masa m, podemos escribir miai=Fi en la forma de una ecuación vectorial diferencial de segundo orden

mr F&& (3)

donde F debe ser considerada ahora como la fuerza resultante que actúa sobre la partícula, es decir, la suma vectorial de todas las fuerzas individuales.Este último paso constituye, sin duda, un supuesto adicional que se justificará por su éxito en la práctica. Expresa nuestra sensación de que cada fuerza actúa independientemente de las otras. Esto no es necesariamente verdadero, pero funciona satisfactoriamente en muchos casos que se presentan en la mecánica. Es un ejemplo de un principio general llamado principio de superposición. Este principio está fundamentalmente sustentado en las observaciones experimentales, explícitamente, para el caso de las masas inerciales y las fuerzas lo expresamos así:

Un cuerpo compuesto por varios cuerpos puntuales unidos rígidamente entre sí, se comporta como un solo cuerpo de masa,

1 2 nm m m m ��� (4)

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Si un cuerpo puntual está sujeto simultáneamente a varias interacciones con distintos cuerpos, cada una de intensidades F1,F2,...,Fn, la aceleración del cuerpo será igual a la que le imprimiría una sola interacción, de intensidad,

1 2 nF F F F= + + ⋅⋅⋅+ (5)

La suma vectorial F es la resultante de las fuerzas actuantes.La acción simultánea de varios procesos de interacción puede dar un efecto total nulo. La condición para ello es:

1 2 n 0F F F F= + + ⋅⋅⋅+ = (6)

Esta es la condición de equilibrio para un cuerpo puntual. En ese caso, el cuerpo se mantendrá con movimiento uniforme rectilíneo, o permanecerá en reposo, según las condiciones iniciales.

La adición vectorial de las intensidades de interacción permite determinar la fuerza de una interacción desconocida, oponiéndole una fuerza de una interacción conocida hasta lograr el equilibrio. Cada vez que observamos que un cuerpo está acelerado, éste necesariamente debe estar en interacción con otro u otros cuerpos. Cuando en cambio, un cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo uniforme estará libre de interacciones o sujeto a varias interacciones cuya acción resultante se anula.

La ecuación (3) se llama entonces la “ecuación del movimiento” de la partícula, y dice que el producto de masa y aceleración, es igual a la fuerza. La sustitución de F en (3) por una función particular da una ecuación diferencial, o más bien un conjunto de tres ecuaciones escalares en términos de las tres componentes de r a lo largo de los ejes rectangulares. Si estas ecuaciones son solubles, se pueden encontrar la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante, respecto del sistema de referencia dado (sujetas, por cierto, a la existencia de ciertas condiciones iniciales o de frontera).

La relación entre masa y peso fluye fácilmente de (3) o de su equivalente. En cualquier lugar de la superficie terrestre la aceleración de caída libre en el vacío es aproximadamente la misma para todos los cuerpos (lo que demostraron experimentalmente tanto Galileo como Newton). Por lo tanto, para dos partículas de masa m1 y m2, respectivamente, tenemos:

1 1

2 2

m w

m w (7)

donde w1 y w2 son las magnitudes de los respectivos pesos. Esto justifica el uso de la balanza para la medición de la masa. Una variante interesante de este método para demostrar la igualdad de las masas de dos partículas es la que proporciona la máquina de Atwood.

Tercera ley del movimiento. Ya nos hemos referido a la importancia que tiene nuestra definición de fuerza para la tercera ley de Newton. Mach considera que su formulación constituye la contribución más importante de Newton a la mecánica. Según el examen hecho aquí, no es un postulado sino un teorema que fluye de las definiciones y principios previos. Este hecho no resta, sin embargo, un

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ápice de importancia. Dice que las aceleraciones no se presentan nunca de a una, sino en pares. No se puede atribuir ningún sentido a la aceleración de una sola partícula en un sistema de referencia; cada vez que se acelera un cuerpo debe haber por lo menos uno más que también se acelera. Este es su significado cinemático. En términos de fuerza podemos decir que si una fuerza actúa sobre algún cuerpo dado, ese mismo cuerpo ejerce una fuerza igual y contraria sobre algún otro cuerpo.Newton llamó acción y reacción a estos dos aspectos de la fuerza; de ahí proviene la formulación corriente de la ley, no deja de ser curioso, aunque tal vez incomprensible, que aunque los estudiantes neófitos no tienen dificultad en captar la significación de este tipo de ilustración estática, la mayoría de ellos no creen en su aplicación a casos dinámicos. Frecuentemente se preguntan: “Si la acción y la reacción son siempre iguales y contrarias, ¿cómo se explica que el cuerpo se llegue a mover alguna vez?”. Si el coche tira al caballo hacia atrás con la misma fuerza con que el caballo tira de él hacia adelante, ¿cómo va a moverse el coche? ¿No se requiere que la última fuerza en algún momento sea levemente superior a la primera, etc.? La confusión se aclara fácilmente recordando que la aceleración de cualquier cuerpo, como la del coche, depende de la fuerza (usando una manera convencional de hablar) que actúa sobre él y no de las fuerzas que actúan sobre otros cuerpos. En otras palabras, la fuerza F que aparece en el segundo miembro de la ecuación (3) es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m y no tiene nada que ver con las fuerzas con que la partícula pueda actuar sobre otras partículas.

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