APUNTES DE MECÁNICA DE MATERIALES

DEFORMACIÓN

Cuando en una prueba de carga uniaxial, una probeta como la de la figura 1 se somete a una fuerza creciente P, ocurre un cambio de longitud, como la que se puede medir en el cambio de la distancia entre los puntos A y B en la misma, (conocida como longitud de calibración). El alargamiento que se observa, por unidad de longitud es la intensidad de la deformación , que también se denomina deformación lineal unitaria y que se puede escribir como

0

0 0

l l ll l

,

donde 0l es la longitud de calibración es decir, la medición inicial y l es la longitud observada después de aplicar la carga. suele ser muy pequeña y es adimensional.

P

Probeta

ExtensómetroA

B

Figura 1. Prueba de tensión uniaxial.

Puesto que las deformaciones pueden variar de un punto a otro, las definiciones de deformación deben relacionarse a un elemento infinitesimal.

Considérese primero que se puede idealizar el fenómeno en una sola dirección. Sean los puntos A y B de la figura 2 a una distancia inicial x . Supóngase que el punto A de desplaza al punto A’ y el punto B al punto B’, Si la distancia entre A’ y B’ sigue siendo x , se trató tan solo de una traslación, pero si no es así, aparece

además una deformación. Si u u x es el desplazamiento en la dirección de x y además una función de x , es decir, de la posición (nótese que no se considera la variable tiempo), entonces, la deformación lineal unitaria en la dirección de x

cuando 0x se puede definir como

0limxx

u dux dx

u u

x

u

A A' B B' x,u0

x posición u desplazamiento

Figura 2. Deformación lineal unidimensional.

Si un cuerpo se deforma en dos direcciones perpendiculares, como se muestra para un caso bidimensional en la figura 3, los desplazamientos en las direcciones x y y

son , y ,u x y v x y respectivamente, y en este caso, las deformaciones lineales

unitarias en dichas direcciones se pueden definir como

yx y

u vx y

(2).

dx

dy

x,u

y,v

v

u

x,y posiciónu,v desplazamientos

v+(v/ y)dy

u+(u/ x)dx

Figura 3. Deformación lineal en el plano.

Generalizando, para un caso tridimensional, si los desplazamientos en las direcciones x,y,z son

, , , , , y , ,u x y z v x y z w x y z,

respectivamente, entonces, las deformaciones lineales se pueden definir de la forma

, ,x y z

u v wx y z

(3)Además de las deformaciones lineales, un elemento también puede experimentar deformación angular. En la figura 4 se muestra el caso para una deformación angular en el plano xy. Puesto que v es el desplazamiento en la dirección de y, a medida que se avanza en la dirección de x,

vx

es la pendiente del lado inicialmente horizontal del elemento infinitesimal. Análogamente, el lado vertical se inclina un ángulo

uy

. El ángulo CDE (ver figura 4) inicialmente recto se reduce en la cantidad

v ux y

. Para cambios de ángulo pequeños, la definición de deformación angular, relacionada con las coordenadas xy es

xy yx

v ux y

.

dx

dy

x,u

y,v

u

x,y posiciónu,v desplazamientos

v

u+(u/ y)dy

v+(v/ x)dx

u/ y

v/ x

Figura 4. Deformaciones angulares en el plano.

Para un elemento tridimensional, se pueden definir, en forma análoga, las deformaciones angulares

, ,xy yx xz zx yz zy

v u w u v wx y x z z y

(4)Las ecuaciones (3) y (4) también se conocen como ecuaciones de compatibilidad cinemática y relacionan deformaciones con los desplazamientos relativos. Existen otras importantes ecuaciones diferenciales de compatibilidad, -semejantes a las ecuaciones diferenciales de equilibrio para los esfuerzos- que deben cumplirse, pero están fuera del alcance de este curso.

TENSOR DEFORMACIÓN1[1]

Para poder escribir a las deformaciones como un tensor es necesario hacer ciertas consideraciones.

x

y

/2xy

(c)(b)

xy

y

x

(a)

xy

y

x

xy

xyxy /2

Figura 5. Deformaciones tangenciales lineales

En la figura 5, los elementos deformados de los esquemas (a) y (b), se obtienen

girando un ángulo 2xy

el elemento del esquema (c), como un cuerpo rígido. El elemento así mostrado es el indicado para medir o definir la componente de deformación por cortante como elemento de un tensor, es decir, en forma lineal, no angular.

1[1] Popov, Egor E. Introducción a la mecánica de sólidos, Limusa, 1983, capítulo 4

Como en esta definición el elemento no es girado como un cuerpo rígido se dice que la deformación es pura o irrotacional. Siguiendo este enfoque, otra definición de las deformaciones por cortante será

,2 2

2 2

2 2

xy yxxy yx

xz zxxz zx

yz zyyz zy

(4)

A partir de estas ecuaciones, el tensor deformación puede expresarse matricialmente de la siguiente forma

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

ε

(5)

De acuerdo con la ecuación (4), el tensor deformación es simétrico, es decir, ij j i

.Para un estado plano de deformaciones, el tensor puede escribirse de la forma

xx xy

yx yy

ε

(6)Nótese que al estudiar el concepto de deformación no se incluyeron las propiedades mecánicas del material, por lo que las ecuaciones son aplicables a cualquier comportamiento mecánico del material. Estas ecuaciones sólo se definen para deformaciones pequeñas.

Ejemplos2[2]

Ejemplo 1Dado el campo de desplazamiento

2 2 2ˆˆ ˆ3 3 3 10 mx y z x z

u i j k,

obtener las componentes de deformación, esto es, el campo de deformación en el

punto 0,2,3.

Solución:En este caso se tiene que los desplazamientos en las direcciones xyz son, respectivamente,

2 2 2 2 2, , 3 10 , , , 3 10 , , , 3 10 mu x y z x v x y z y z w x y z x z .

De las ecuaciones de compatibilidad (3) y (4),

2

2 2

2

2 2

2 2

310 2 10 ,

310 6 10 ,

310 3 10

xx

yy

zz

xux

x x

y zvzy

y y

x zwz z

2

2 2

10,

2

1 110 ,

2 2

1 110

2 2

xy yx

xz zx

yz zy

v ux y

w ux z

v wy

z y

Evaluando estas ecuaciones en el punto de interés 0,2,3 se obtiene

0,

0.36,

0.03

xx

yy

zz

0,

0.005,

0.06

xy yx

xz zx

yz zy

2[2] Shames, Irving H., Pitarresi, James M. Introduction to solid mechanics, Prentice Hall, 2000, sección 3.3

por lo que el tensor deformación en dicho punto queda

0 0 0.005

0 0.36 0.06

0.005 0.06 0.03

ε

Ejemplo 2Una barra de 3 m de longitud y sección transversal cuadrada se alarga como consecuencia de las fuerzas P aplicadas uniformemente en sus extremos. Si la elongación total es de 5 cm y el volumen de la barra no cambia, ¿qué valor tienen

las deformaciones normales , ,xx yy zz

? La sección transversal de la barra tiene inicialmente 2 cm de lado.

y

z

x

P

L=3m

Solución Considerando la uniformidad en las deformaciones, la deformación lineal unitaria en

la dirección de x (ver la figura) es

50.0166

300x

xxxL

donde x es la elongación dada y xL es la longitud inicial de la barra.

Para obtener yyy zz

, es necesario conocer el cambio de las dimensiones del cuerpo en la direcciones y y z , Como el volumen es constante, pueden igualarse los volúmenes de la barra antes y

después de la deformación, esto es, 2 20 300 2 300 5 2fV V

en donde es el cambio de longitud en los lados de la sección transversal (nótese que se está considerando el mismo para ambos lados).

Resolviendo, 0.0164cm , por lo tanto,

0.01640.0082

2yy zz .

Si las aristas permanecen ortogonales, las deformaciones angulares serán nulas.

Ejemplo 3Un bloque de caucho está pegado a las superficies AB y CD de la siguiente figura, así como a los elementos rígidos EF y GH que a su vez están articulados a AB y CD.

Si CD se desplaza una distancia igual a 0.25 cm, ¿qué ángulo de deformación xy se

induce en el bloque de caucho? ¿Qué deformaciones cortantes yxy yx

se inducen?

2 cm

E F

G H

A D

B C

HG

FE

2 cm

x

y

0.062cm

Estado deformado del bloque

Solución

Se considera un estado de deformación uniforme tal que la deformación angular se puede calcular como

0.25arctan 0.124rad

2xy .

De la ecuación (4) se tiene que las deformaciones cortantes pedidas son

1 0.1240.062

2 2xy xy yx

Ejemplo 4Un cuerpo dado está sometido a la distribución de deformación siguiente

2 3

2 2 2 2

3 2 2 2 2

2 3 10 10

3 10 5 2 10

10 2

x xy zx z xy

zx y z x x yz

z xy x yz x y

ε

¿Qué longitud adquiere el segmento AB que inicialmente está ubicado sobre el eje x

a partir de 2cmx hasta 4cmx ?

x

yA'

B'L x

L'

z

A(2,0,0)

B(4,0,0)

SoluciónEn la dirección de x se tiene, de la ecuación (3),

4

2xx x xx

uu L dx

x

,

ya que para el eje x, 0y z .

Además,

2 2 2 2

,0,0 ,0,02 10 10xx x x

x xy x .

Sustituyendo este resultado en la ecuación anterior se obtiene que el cambio en la longitud del segmento es

44 32 2 2

2 2

10 10 0.182cm3x

xL x dx

,

por lo tanto, la longitud final será ' 2 0.182 2.0182cmx xL L L , en donde 4 2 2cmxL

Nótese que la geometría deformada A’B’ ya no es una línea recta necesariamente.

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