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Apuntes de Electrodinámica Clásica. Campo Electromagnético y Relatividad
Dr. J. Fausto Oria, Profesor Titular de Electromagnetismo
******* ****** ****** ****** ****** ****** ****** ****** ***** ****** ****** ****** ****** **2ª Edición
Editor: Manolo Sobrino
Copyright © 2003 J. Fausto Oria and Manuel Angel Sobrino. Valencia, Spain. All rights reserved.Redistribution without modification allowed at no other cost than ordinary copying fee. FOTOCOPIA AUTORIZADA.
Indice:
I . Formulación Covariante Lorentz del Campo Electromagnético
1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial................................... I 1
2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz.............................................. I 14
3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell .............................................. I 33
4. El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación.................. I 43
5. Transformaciones gauge........................................................................................................... I 53
* Las métricas de la relatividad especial...................................................................................... I 54
II . Formulación Lagrangiana del Campo Electromagnético
1. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético..................................... II 1
2. Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas.............................................. II 2
3. Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana.................................................. II 9
4. Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange.................................................... II 14
5. Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento....................................... II 20
III . Radiación de Cargas en Movimiento
1. Los potenciales de Liénard-Wiechert....................................................................................... III 1
2. Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación...................................................... III 9
3. Funciones de Green covariantes............................................................................................... III 18
4. Expresión covariante de los campos......................................................................................... III 26
BibliografíaApéndices
AI : Representación de la potencia radiada por una carga acelerada en un sincrotrón y en un linac
AII : "Formulación geométrica del campo electromagnético"
AIII : Lecturas aconsejadas
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El Dr. J. Fausto Oria proveyó sus apuntes de clase y gentilmente se prestó a corregir las versionespreliminares, reelaborando varios apartados y proporcionando material adicional para estos apuntes, quese ajustan así a los contenidos de la asignatura Electrodinámica Clásica de la Licenciatura en Física dela Universitat de València. Manolo Sobr ino preparó las distintas ediciones, revisó el texto y completó latranscripción. Luis Aloy transcribió la primera versión de la parte III y Roberto Pérez secciones de laprimera versión preliminar.
Mientras sea posible mantendremos en: http://mural.uv.es/masoro/edclas/errata/index.html unalista de erratas. Las contribuciones son bienvenidas, para cualquier comentario, visitad la página desopor te: http://mural.uv.es/masoro/edclas/index.html, donde se puede obtener la versión más reciente.
Valencia, septiembre de 2003
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"Estamos obligados a admitir que es solamente en cuatro dimensiones donde las relaciones que hemos toma-do en consideración aquí [las ecuaciones fundamentales para los fenómenos electromagnéticos de los cuerpos enmovimiento] revelan su ser interno con completa sencill ez, y que en un espacio tridimensional impuesto sobrenosotros a priori enseñan solamente una proyección muy complicada."
Hermann Minkowski (1909)
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 1
CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Y RELATIVIDAD
Formulación covar iante Lorentz del campo electromagnético
1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial:
Medida de intervalos espaciales y sincronización de relojes en S, (definición de t):
Consideremos observadores inerciales de la clase O: O1, O2, ... On, ... , en un siste-
ma inercial S.
Consideremos inicialmente que los observadores de la clase O están en reposo entre
sí. Lo pueden comprobar, por ejemplo, mandandose pulsos de radar y determinando el
tiempo que tarda el pulso en ir y venir.
Vemos la necesidad de relojes para determinar distancias, aún en un mismo sistema
inercial S.
Definición de tiempo en S a partir de los relojes:
Todos los observadores que están en sus "laboratorios" en los diferentes puntos del
sistema inercial S tienen relojes. Para establecer un tiempo en S siguen los pasos:
Primero: Comparan la marcha de los diferentes relojes en O. Así los relojes Ro, Ro1,
Ro2, ... Ron están sincronizados en O. (Marchan al mismo ritmo).
Se concluye que si marchan al mismo ritmo en O, así lo harán en O1, en O2, ...
en On. Es decir, en cualquier punto de S.
Segundo: Cada observador se va a su lugar de observación con su reloj. Ahora es
necesario un criterio para medir tiempos y definir el "tiempo", en el sistema inercial S.
X
Y
Z
O
O1
O2
OnS
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
I 2
Tercero: Si cada observador O, utili za su propio reloj para medir el tiempo en su en-
torno, tendremos un tiempo válido en O1, en O2..., en On . ¡No un tiempo t para todo el
conjunto de observadores O! No un tiempo t definido en S.
Cuarto: Para tener ese tiempo t definido en S hay que introducir un criterio para sin-
cronizar los relojes de O1, O2, ... On, ... ¿Pero no estaban ya sincronizados?. Si, lo esta-
ban cuando, poniéndolos a cero, los hacíamos funcionar todos en un mismo punto O.
Ahora está cada uno en su sitio O1, O2, ... On, ... y hay que decirles cómo han de empe-
zar a funcionar. Esto es definir el tiempo para el sistema inercial S.
Quinto: Si O es quien tiene que dar la orden de comenzar a marcar el tiempo, (poner
los relojes en funcionamiento) es lógico que envíe una señal a los observadores en O1,
O2, ... On, ... para decirles que pongan en marcha sus relojes. Para ello escogerá una se-
ñal que se transmita lo más rápidamente posible entre O y O1. Esta señal será un pulso
electromagnético que se propagará a velocidad c en S.
Sexto: En el sistema S se procede así. El observador O pone la manecilla de su reloj
en el origen de tiempos t = 0 y el reloj empieza a funcionar en O, cuando es emitido el
pulso electromagnético de velocidad c.
Cuando el pulso alcanza el reloj O1 cuya distancia a O es 1OO , se conviene que O1
ponga en marcha su reloj, colocando inicialmente sus manecil las en la indicación
c
OOt
1
01= .
Lo mismo hará O2 con su reloj cuando le alcance el pulso, poniéndose a funcionar en
c
OOt
2
02= . Así para todos los relojes de los observadores de la clase O que estén en S.
Séptimo: Por definición, diremos que ha quedado establecido el modo de medir el
tiempo t en S. Diremos que un suceso se produce en un punto Oi de S en un tiempo ti
cuando el observador Oi que está en el lugar donde se produce el suceso, al consultar su
reloj ve que la manecil la del mismo marca el tiempo ti.
Tal procedimiento para definir cómo se determina el tiempo en S no hubiera sido ne-
cesario si existiese una señal que se propagara con velocidad infinita, ya que entonces t0
= 0 = t01 = t02 = ... = t0n = ...
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 3
Hemos definido así un tiempo t en S, pero si consideramos otro sistema inercial S'
que se mueve respecto de S ¿Será el tiempo definido en S el tiempo en S'? Esto es, ¿es-
tarán sincronizados en S' los relojes que estaban sincronizados en S? La respuesta, ne-
gativa, la hallamos en el articulo fundamental de Einstein: "Zur Electrodynamik
bewegter Körper", Annalen der Physik, 17: 891, 1905 ("The Principle of Relativity" A.
Einstein & Others, Methuen & Co. Ltd. of London 1923, incluye la traducción de la
referencia anterior bajo el título: "On the Electrodynamics of moving bodies"*).
Sean todos los observadores de la clase O' del sistema inercial S' y procedan del
mismo modo con sus relojes para definir cómo se determina el tiempo en S' . Concluido
el proceso, podemos del mismo modo decir que si un suceso se produce en el punto Oj'
en el tiempo tj', es porque el observador que estaba en ese lugar, al mirar su reloj vio
que marcaba el tiempo tj'.
La cuestión está en relacionar las posiciones y tiempos de un suceso que referenciado
respecto de S tiene las coordenadas (x, y, z, t), y referenciado respecto de S' tiene las
coordenadas (x', y', z', t'). Según la física Newtoniana tal relación era:
( ) ( )tvrtrt −=′′ ,, Transformación de Galileo
Para: td
OOdv
'= . ¿Hasta qué punto es correcta esta ley?
Efecto Doppler para ondas de sonido:
Es interesante repasar el efecto Doppler para el sonido, o para la perturbación acústi-
ca que se propaga en un medio, por ejemplo el aire.
Para el sonido consideramos un medio elástico (más o menos) que es el que trans-
mite la onda longitudinal. La perturbación es de tipo escalar. La propagación consiste en
la transmisión en el medio del conjunto de compresiones y rarefacciones que constitu-
yen la onda sonora. Al llegar estas P∆± a nuestro tímpano, éste vibra y notamos la
sensación sonora.
Así pues, en primer lugar: Existe un medio que transmite la onda sonora. Respecto
de ese medio, en reposo, tenemos el observador, "el oyente" podríamos decir en este
caso. Tal observador, con sus detectores adecuados, en reposo respecto del medio, es el
que hace las medidas sonoras, por ejemplo de la frecuencia de la onda sonora f, y de la
* John Walker tiene disponibles varias versiones digitales de este artículo, ahora de dominio público, enhttp://www.fourmilab.ch
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
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velocidad de la perturbación en el medio v. Evidentemente lo que produce el sonido o
fuente estará en reposo respecto del medio, y por tanto del observador O.
Por lo tanto, existe un medio o marco en donde el observador O fija sus ejes de coor-
denadas y se sitúa en reposo respecto de ese medio o marco, que permanece estable y
con propiedades características. La fuente F en otro punto de ese medio o marco, emite
ondas sonoras de frecuencia f que se propagan de F hasta O a través del medio, con ve-
locidad v y longitud de onda λ (según constatan los aparatos que utili za O). Tenemos:
vf =⋅λ
Este medio o marco es lo que llamamos espacio absoluto (el espacio absoluto de
Newton). Tanto el observador O como la fuente F están en reposo respecto del marco
absoluto y por tanto en reposo entre sí.
Evidentemente, si O se mueve respecto del marco (también respecto de F como re-
sultado), lo notaría. Notaría el viento en la cara o el "viento del éter" (según se decía en
la física de principios del s. XX).
a) Fuente en movimiento. Observador en reposo:
Supongamos que la fuente emisora se mueve con velocidad u respecto del observa-
dor (evidentemente se mueve también en el marco o medio con velocidad u). El obser-
vador mide ahora otra frecuencia f ' para la perturbación emitida por la fuente.
O–uF+u
Tal frecuencia será*:
[I] ( )vu
ff+
=1
1' ( )vu
ff−
=1
1' Donde:
(si la fuente se aleja ) (si la fuente se acerca)
• f = frecuencia de la onda sonora.
• v = velocidad de la onda sonora en el medio. Velocidad respecto del marco o es-
pacio absoluto.
• f ' = frecuencia medida por el observador (Receptor).
* El efecto Doppler clásico se explica en cualquier texto de Física General. Véase, por ejemplo: R. Res-nick - D. Hall iday: Física, Editorial Continental, México 1982 Tomo I, sección 20-7.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
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La velocidad u de la fuente tiene signo + si la fuente se aleja de O y signo – si la
fuente se acerca a O.
b) Fuente en reposo. Observador en movimiento:
Ahora es la fuente la que permanece en reposo respecto del medio y el observador se
mueve respecto de la fuente (o del medio, es lo mismo) alejándose o acercándose a la
misma con velocidad u. La variación de frecuencia que se observa por los sistemas de
medida utilizados por O dan para la medida de f '' en este caso:
O–uF +u
[II]
+=
vuff 1''
Conclusión:
A la vista de las ecuaciones [I] y [II] hallamos que lo importante para explicar el
efecto Doppler en el sonido es la velocidad absoluta de la fuente F o del observador O
respecto del medio y la velocidad v de la perturbación respecto del medio.
• En el caso a) se mueve la fuente (p. ej. acercándose a O) y el resultado es f '.
• En el caso b) se mueve el observador (p. ej. acercándose a F) y el resultado es f ''.
Resulta que f ' ≠ f '', en el mismo caso de movimiento relativo, pero en distinto caso de
movimiento absoluto. En el caso a) el observador no nota el "viento del éter" y en el b) sí.
Veamos qué ocurre cuando desaparece el medio entre el observador y la fuente y
estudiamos el efecto Doppler para la luz.
Efecto Doppler para la luz:
Cuando tenemos una perturbación electromagnética emitida por una fuente F y reci-
bida por un observador O puede existir el vacío entre F y O.
De este modo, así como para el sonido necesariamente ha de existir un medio (en
donde la velocidad de éste es v), para la luz entre F y O podemos tener el espacio vacío,
entonces la velocidad c no es la velocidad de la luz respecto de ningún medio o
marco de referencia asociado a la presencia de dicho medio, sino la velocidad con la
que la perturbación recorre la distancia que separa F y O.
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
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Si esa distancia FOOF ≡ es la misma según va transcurriendo el tiempo que mar-
ca el reloj que va asociado al observador O, entonces el observador y la fuente están
en reposo relativo. No podemos decir que F y O están en reposo respecto del medio
porque simplemente ese medio no existe.
Si la distancia entre O y F varía con el tiempo, podemos eventualmente asociar a la
fuente una velocidad uniforme u que acerca o aleja la fuente del observador O.
Tenemos que hacer dos reflexiones:
1) El movimiento es relativo. La velocidad u se puede interpretar también como la
velocidad con que el observador O se acerca o se aleja de la fuente. Ahora, que se mue-
va F, o se mueva O es lo mismo. Es más, no podemos hablar de velocidad absoluta u
sino de velocidad de F respecto de O.
Si O se acerca o se aleja de F, eso no podemos ponerlo de manifiesto pues O no nota
el "viento del éter", sencil lamente porque no hay medio o éter .
2) La velocidad de la luz c es en el vacío. Es decir, cuando el vacío está "separan-
do" F y O. En un instante F emite un pulso de radar o señal (luz) y esta señal es detecta-
da por los instrumentos que posee el observador O. Una vez emitida la señal por F, se
propaga a través del vacío hasta llegar a O con velocidad c.
Es decir, c es una constante propia de la propagación de la perturbación en el vacío y
totalmente independiente de la velocidad relativa u entre la fuente y el observador :
"El observador siempre atribuye a la perturbación electromagnética en el vacío la
velocidad c, independientemente del estado de movimiento de la fuente"
Éste es el postulado básico de la " Relatividad Especial" .
En las ecuaciones anteriores consideramos como v la velocidad constante c (que no
es la velocidad respecto de ningún medio, sencil lamente porque no hay medio), y ten-
dremos:
( )cu
ff−
=1
1' Foco aproximándose
( )cuff += 1'' Observador aproximándose
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
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Siendo u la velocidad relativa de la fuente F y el observador O. Ahora bien ¿Con qué
fórmula nos quedamos, ya que ahora no tenemos la posibilidad de distinguir (como
para el sonido) el caso a) ó b)? Si fuera posible medir el valor f ' y el valor f '', entonces
podríamos saber quién se mueve, bien la fuente, bien el observador, y por lo tanto
sería posible determinar la velocidad u, respecto del espacio absoluto.
Como u es una velocidad relativa (igual en el caso a que en el caso b), lo más proba-
ble es que ni f ' ni f '' sean las frecuencias previstas del efecto Doppler para la luz.
Efectivamente, la frecuencia observada para la luz emitida por una fuente en movi-
miento relativo, con velocidad u respecto de un observador O, viene dada por la expre-
sión (según se demostrará con posterioridad):
cuc
uff
−
+=
1
1'
No hay dos casos, pues u es la velocidad relativa. Así pues, por esta medida de fre-
cuencia f ' sólo podemos detectar el movimiento relativo de la fuente F respecto del
observador O.
Una aplicación inmediata de esta relación en Astronomía proporciona la medida de
la velocidad radial con la que los cuerpos luminosos celestes se mueven con respecto de
la Tierra. Nótese que las medidas hechas sobre las radiaciones recibidas de las distintas
galaxias y otras radiofuentes, parecen indicar para todas una velocidad de recesión o
alejamiento, que es tanto mayor cuanto mayor es la distancia de la fuente en cuestión a
nuestro planeta (Ley de Hubble). Estas observaciones son la base del concepto de Uni-
verso en expansión*.
En cuanto a las expresiones de la frecuencia dadas en a), b), y para la luz, podemos
aproximar, teniendo en cuenta que prácticamente siempre tenemos u<< c, con:
( ) ( ) ( )( )...
2
2111
211 +
−−−+
−⋅−+=−
−
v
u
v
uv
u
* Se plantea una cuestión interesante: Si todas las galaxias se alejan de la Tierra... ¿Es nuestro planeta elcentro de expansión del Universo? ¡Qué chocante que tuviéramos que volver al geocentrismo, después dehaberlo desechado desde los tiempos de Copérnico y Galil eo! No es así, cualquier punto del Universopodría ser el centro de expansión. Un observador allí situado vería de igual modo alejarse de él a todas lasgalaxias. Podemos establecer una analogía entre un universo bidimensional en expansión, y la superficiede un globo (con galaxias pintadas...) que se está hinchando. Al expansionarse la superficie, todos loslunares se alejan unos de otros con una velocidad relativa proporcional a la distancia medida (sobre lasuperficie).
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
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Para el caso a):
+
+
+= ...1.'
2
c
u
c
uff
Para el caso b):
+=
c
uff 1.'
Para la luz:
+
+
+= ...
2
11.'
2
c
u
c
uff
Para todas las fuentes monocromáticas disponibles, casi siempre u<< c y
c
u, por
tanto, tiene un valor muy pequeño. Nuestro sistema de medida ha de ser capaz de dis-
tinguir y medir con una aproximación de 2
c
upara hallar que el último caso es el co-
rrecto (experimental y conceptualmente es el de mayor contenido lógico y el más ele-
gante). Los términos en 2
c
uson los términos de corrección relativista, que se ponen de
manifiesto cuando u se aproxima a c.
Definición de Simultaneidad:
a) Medidas de longitudes y posiciones:
Supongamos un observador O que quiera posicionar cualquier objeto en reposo res-
pecto de él. Para ello establecerá un sistema coordenado, por ejemplo cartesiano, y con
referencia a los tres ejes, cuyo origen puede tomar en el punto que él mismo ocupa,
asignarle coordenadas al punto en cuestión P (x1, y1, z1).
Por los métodos de la geometría euclídea la distancia OP será:
21
21
21 zyxOP ++=
Y esta distancia será la que, con los patrones de longitud establecidos y colocándolos
directamente sobre la línea OP, dará el resultado de la medida. Cualquier otro punto
Q(x2, y2, z2) distará de P:
( ) ( ) ( )212
212
212 zzyyxxPQQP −+−+−=≡
Distancia que será el resultado directo de la aplicación de la unidad de longitud sobre
la línea recta que une P con Q. La medida de distancias puede hacerse de otro modo:
El punto P, siendo estacionario respecto de O, puede posicionarse en el sistema coor-
denado como sigue: El observador O tiene un reloj a su disposición, y un emisor y un
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
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receptor de pulsos electromagnéticos. Emite un pulso en la dirección (θ', ϕ '). Espera a
recibirlo y ajusta el detector para que reciba la máxima señal reflejada por P en la direc-
ción (θ, ϕ). Si el tiempo en que es emitida la señal (una vez calibrada la dirección (θ,
ϕ)) es t0 = 0 (por ejemplo), y esta es recibida de vuelta por el reloj estacionario del ob-
servador en O en t0', y haciendo la hipótesis de que el pulso tarda lo mismo en viajar
de O hasta P, que de P hasta O, y que lo hace a velocidad c, se tendrá:
ctROP ⋅′== 022
Así pues quedará determinado P(R, θ, ϕ), o bien P(x, y, z).
Podríamos operar del mismo modo para todo punto Q y para muchos otros puntos
donde podrían situarse observadores locales con sus aparatos de medidas, para reseñar
todo suceso que ocurriera en su proximidad. Todos los sucesos observados en los dife-
rentes puntos tendrían una localización precisa. Todos los observadores en los diferentes
puntos serían equivalentes entre sí, ya que están en reposo respecto de O y podrían util i-
zar la misma referencia que O para posicionar su situación o cualquier otra. Diremos
que estos observadores pertenecen a la clase O. Son observadores de la clase O.
b) Medida del tiempo para los observadores de la clase O:
Supongamos que queremos describir la posición de una partícula que se mueve res-
pecto del observador O (por lo tanto respecto de cualquier otro de los de la clase O). Tal
partícula varía su posición en función del tiempo. Así pues hemos de definir de modo
preciso cómo miden el tiempo los observadores de la clase O.
Tomemos un conjunto de relojes que consideramos aptos para medir el tiempo, y
compruebe el observador en O que todos los relojes marchan al mismo ritmo en O. Di-
remos entonces que están sincronizados en O.
Los llevamos al punto P y los observamos por medio de nuestro observador en P.
Vemos que si estaban sincronizados en O, también están sincronizados en P y, del mis-
mo modo, estarán sincronizados en Q, y para cualquier observador situado en cualquier
punto, si es de la clase O.
Ahora cada observador toma un reloj, de los que hemos visto sincronizados y deno-
minaremos como aptos para medir el tiempo, y se lo lleva al punto que ocupará: P,Q,...
y donde realizará las observaciones.
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
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Ahora es cuestión de definir claramente cómo sincronizamos los relojes, uno en O,
otro en P, otro en Q... etc., para medir el tiempo en que un determinado suceso ocurre en
O, en P o en Q y que este sea el criterio de sincronía que rige para el tiempo asociado a
los observadores de la clase O.
La sincronización de relojes situados en reposo, en dos puntos diferentes, se efectua-
rá mediante una señal. Si existiera una señal que se propagara instantáneamente de un
punto a otro, en todas las direcciones, lo que vamos a exponer ahora no tendría sentido.
No es así, ya que la luz en el vacío es la señal con mayor velocidad posible c. Utili za-
mos pues un pulso (de radar p. ej.) para sincronizar.
Como sabemos la distancia que existe entre O y el resto de los observadores de la
clase O situados en los diferentes puntos P,Q, ... etc., mandamos poner las manecil las
del reloj correspondiente en la siguiente posición:
• Para el reloj del observador O, poner la manecilla en: t0 = 0
• Para el reloj del observador P (en P), poner la manecilla en:c
OPtp =
• Para el reloj del observador Q (en Q), poner la manecil la en:c
OQtq =
Y así para cualquier observador situado a la distancia d de O, que tendrá que situar la
manecil la de su reloj en la división:
c
dt =
Cómo calculamos este tiempo:
Según Einstein: Sean observadores en reposo en O y P, con relojes sincronizados, aptos para medir el
tiempo en S. Son ambos de la clase O y utili zan las mismas coordenadas para referenciar los sucesos en S.
P
R
O
Supongamos que el observador O manda un pulso
electromagnético en t = 0, el pulso viaja con velocidad c
hasta P, rebota en P (en tp), y se recibe de nuevo en O en
el tiempo t'. Por definición, la distancia 2 R = c t', y por lo
tanto: cRt 2'= .
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
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Supongamos ahora que el pulso fue recibido por P en el instante tp (marca del reloj en P). Como pare-
ce lógico, el tiempo que tardó la señal en ir de O hasta P ha de ser el mismo que el que tarda en ir de P
hasta O y, por lo tanto, podremos poner:
( ) ( ) ttttt ppp ′=⇒−′=− 20
[tiempo de la señal en ir de O hasta P] = [tiempo para ir de P hasta O]
y teniendo en cuenta la relación anterior:
c
Rtt p
22 =′= ⇒ c
RtP =
Que es la indicación del reloj en el punto P, en el momento de la llegada del rayo.
Convengamos que, en t0 = 0 para O, se emite por tal observador una señal electro-
magnética que pone en marcha el reloj en O y, sucesivamente, los relojes de los dife-
rentes observadores situados en los diferentes puntos del espacio. A partir de que el pul-
so los alcanza, y los relojes de S están funcionando, diremos que tales relojes están sin-
cronizados con O y sincronizados entre sí.
Definición: Diremos que un suceso que ocurre en un punto P, ocurr e en el tiempo t,
si el reloj en P marca el tiempo t al suceder el mismo.
Definición: Sucesos que ocurren en un punto P y en un punto P' diremos que son si-
multáneos, si los relojes en P y en P' señalan el mismo tiempo t.
De esta definición de simultaneidad se deriva una conclusión inmediata: Dos suce-
sos, uno en P y otro en Q, si son simultáneos no pueden estar conectados causalmente.
Un suceso que ocurre en P en el tiempo tp y otro que ocurre en Q en el tiempo tq sólo
pueden estar conectados causalmente si se verifica que:
ctt
PQ
pq
≤−
De este modo queda definido un tiempo universal para todo el sistema de referencia
S (para todos los observadores de la clase O). Ahora queda definido un tiempo común
para P y para Q, no un tiempo válido en O y un tiempo válido en Q como hubiera suce-
dido si midiéramos el tiempo transcurrido en P y en Q sin hacer ninguna afirmación
adicional.
Finalmente, sea un observador O' que se mueve con velocidad v respecto del obser-
vador O, y por tanto respecto de todos los observadores de su clase, y que utili za unos
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
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ejes coordenados x', y', z', ligados a O' y en donde pueden situarse observadores P', Q'...
en diferentes puntos, en reposo respecto de O' y por supuesto entre sí. Tales observado-
res se denominarán de la clase O' y miden sus distancias mutuas y las distancias de O' a
cualquier punto de la forma que lo hacían los observadores de la clase O. En este caso
con patrones de medida en reposo respecto de O'.
También los relojes han sido sincronizados por señales de radar emitidas por O' y re-
cibidas por los observadores de su clase, del mismo modo que se hizo para los relojes de
la clase O.
Esto supone aceptar como principio la hipótesis: El pulso de radar se mueve con velo-
cidad c en el vacío tanto respecto de los observadores O como para los observadores O'.
Principio de constancia de la velocidad de luz independiente de la velocidad del foco.
Diremos que un suceso ocurre en un punto dado P, en el instante t respecto de S
(conjunto de observadores O) y en un punto P', en el instante t' respecto de S' (conjunto
de observadores O'), si los relojes de los observadores en P y en P' marcan el tiempo: t,
y t' respectivamente, al ocurrir el suceso.
Relaciones entre las coordenadas y tiempos para un suceso refer ido a dos clases de
observadores inerciales:
La relación clásica existente entre las coordenadas y tiempos para un mismo suceso
referido a dos clases de observadores O y O' es la Transformación de Galileo.
Supongamos que los observadores O referencian los sucesos respecto del sistema S,
de origen de coordenadas O. Los observadores O' utilizan el sistema S' , de origen O',
con ejes orientados según la figura. Y convenimos que en el instante en que O y O'
coinciden tomamos el origen de tiempos para t = 0 y t' = 0.
Y Y' P ≡ P'
(x, y, z, t) coordenadas del suceso en S
v (x', y', z', t') coordenadas del suceso en S'
Q ≡ Q'
O O' X ≡ X'
(x0, t0) en S
Z Z' (x0', t0') en S'
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
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El Principio de la Relatividad Galileana nos dice que las relaciones entre las coor-
denadas y tiempos del mismo suceso medido respecto de las dos clases de observadores
O y O' son:
[I] vtxx −=′ , yy =′ , zz =′ , tt =′
Cualquier ecuación de la mecánica expresada en coordenadas (x, y, z, t) tiene idéntica
expresión en coordenadas (x', y', z', t'). Es decir, ante una transformación de coordena-
das como la anterior las ecuaciones de la mecánica son covariantes. La expresión mate-
mática de la ley tiene la misma forma, escrita respecto de S o respecto de S' .
Las dudas acerca de la validez de las ecuaciones [I] surgen ante el hecho de que las
ecuaciones del campo electromagnético no son covariantes ante transformaciones
de este tipo. Por tanto, las anteriores relaciones han de ser modificadas de modo que el
principio de covariancia (invariancia de forma bajo transformaciones de coordenadas
entre sistemas inerciales) sea valido para todas las ecuaciones de la física.
Supongamos que en el momento en que coinciden O y O', un rayo de luz abandona el
origen de coordenadas y llega al punto Q≡Q'. Si las coordenadas del suceso medido por
el observador Q en S son (x0, t0) y las del observador Q' estacionario en S' son (x0', t0'),
se cumplirá: ct
x =0
0
Veamos cuánto vale 0
0
t
x
′′
. Según la transformación [I] : vcvt
x
t
vtx
t
x−=−=
−=
′′
0
0
0
00
0
0
Luego la velocidad de la luz medida por los observadores de la clase O' sería (c − v),
en desacuerdo con el postulado de constancia de la velocidad de la luz.
Hay que sustituir la transformación [I] por otra que esté de acuerdo con tal postulado.
Tal transformación es la de Lorentz. En este caso particular, esta transformación es:
[II]
( )
−=′
−=′
2c
vxtt
vtxx
γ
γcon:
21
1
βγ
−= y: c
v=β
Utilizando tal transformación la velocidad de la luz es c, tanto en S como en S' .
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 14
En efecto:( )
c
cvvc
tc
vx
vt
x
c
vxt
vtx
t
xo =−−=
−
−
=
−
−=
′′
11
02
0
0
0
20
0
00
0 γ
γ
Y tal transformación que preserva la velocidad de la luz, c en S' , es la que adoptare-
mos en el estudio de los fenómenos electromagnéticos.
2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz:
Espacio de M inkowski m4:
Cada suceso para el conjunto de observadores de la clase O se describirá con un
conjunto de cuatro números que representan el tiempo y la posición del suceso, medido
por cualquiera de los observadores de la clase O. Así un suceso P será:
P (t, x, y, z)
Podemos representar el suceso en un espacio cuadridimensional m4, el espacio de
Minkowski y tomar ejes adecuados para que P tenga coordenadas respecto de tales ejes:
( )zxyxxxtcxP ===== 3210 ,,,.
Así pues, tenemos en un diagrama tiempo/espacio:
X 0
P(x0, x1, x2, x3)
X1
Es evidente que el mismo suceso se puede referenciar por observadores de la clase
O , que se mueven con velocidad v respecto de O sobre el eje xx = común. Tal
suceso se referenciará por ( )3210 ,,, xxxxP . Si tomamos unos ejes adecuados en el espa-
cio de cuatro dimensiones tendremos:
( )3210 ,,, xxxxP 1X
0X
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 15
Ya conocemos las relaciones que han de existir entre las observaciones realizadas del
suceso P por O y O . Tales relaciones son:
( )
−=
−=
2c
vxtt
vtxx
γ
γ
zz
yy
==
Transformación de Lorentz
Que definen a los sistemas coordenados Lorentz: Xα . Así, para la transformación de
coordenadas entre sistemas coordenados Lorentz: ( )βαα XXX = , tendremos:
[I]
( )( )
33
22
011
100
.
.
xx
xx
xxx
xxx
==
−=−=
βγβγ
En donde: 21
1
βγ
−= , c
v=β
Si tuviéramos la transformación inversa: ( )βαα XXX = :
[II]
( )( )
33
22
011
100
.
.
xx
xx
xxx
xxx
=
=+=+=
βγβγ
Transformación de coordenadas en m4:
De este modo cualquier punto (suceso) P en m4 puede representarse en coordenadas
respecto del sistema de ejes x ó x . En principio la transformación de coordenadas o
cambio de ejes puede ser cualquiera, y vendrá dado por las funciones:
[I '] ( )βαα XXX =
De tal forma que la relación entre αX y βX será de la forma:
νµµν XX Λ= con: ν
µν
µ
X
X
∂∂=Λ
Para transformaciones de la forma [I] , [I'].
En el caso de transformaciones [I] , νµΛ tiene las componentes:
γ=∂∂=Λ
0
0
00
X
X βγ−=∂∂=Λ
1
0
10
X
X βγ−=∂∂=Λ
0
1
01
X
X...etc.
Dando lugar a la matriz de cambio de coordenadas:
−
−=
3
2
1
0
3
2
1
0
100001000000
xxxx
xxxx
γγβγβγ
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 16
Para la transformación inversa:
[II '] ( )βαα XXX =
La relación será de la forma: νν
µµ XX Λ=
Donde las cantidades definidas por la transformación son:
ν
µν
µ
X
X
∂∂=Λ
Y con la relación que se establece en las ecuaciones [II] éstas son:
γ=∂∂=Λ
0
0
00
X
X βγ=∂∂=Λ
1
0
10
X
X βγ=∂∂=Λ
0
1
01
X
X...etc.
dando lugar a:
=
3
2
1
0
3
2
1
0
100001000000
xxxx
xxxx
γγβγβγ
Una transformación es inversa de la otra. Luego para cualesquiera que sean las trans-
formaciones [I '] y [II '] se tendrá:
αµ
αν
νµ δ=ΛΛ
y las matrices representativas serán una la inversa de la otra.
En particular, si Λ y Λ describen la transformación de ejes establecida en m4 por las
ecuaciones [I] y [II] , serán las transformaciones que fijen las relaciones que existen en-
tre sucesos descritos por observadores de la clase O y O .
Métrica en m4:
En particular dos sucesos pueden ser sucesos próximos descritos por O de modo
que correspondan a P y P + dP según xd que puede ser expresado en componentes res-
pecto al sistema coordenado x ó x .
xd P+dP
P
( )( )î
3210
3210
,,,
,,,
xdxdxdxdxd
dxdxdxdxdxxd
µ
µ
µxd y µdx se relacionan a través de las matrices Λ. Así:
νν
µµ dxxd Λ=
Definimos un tensor g métrica en m4, que tendrá componentes en S, y que nos servi-
rá para calcular la distancia entre dos puntos o el modulo del vector xd de la forma:
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 17
( )
( ) ( ) ( ) ( )232221202
2 ,
dxdxdxdxds
dxdxdxdxgxdxdgds
−−−=
=== νν
νµµν
Por definición
Donde hemos utili zado µµνν dxgdx = .
Mirando la expresión y teniendo en cuenta que las componentes del vector xd
son
( )3210 ,,, dxdxdxdxxd ≡
, tendremos que:
( )1,1,1,1 −−−= diaggµν
y por tanto: ( )3210 ,,, dxdxdxdxdx −−−≡µ
Por otra parte, la distancia entre los puntos o módulo del vector xd
se puede expresar:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )232221202 , dxdxdxdxdxdxdxdxgxdxdgds −−−==== νν
νµµν
Por lo que identificamos las componentes µνg como:
( )1,1,1,1 −−−≡ diaggµν
Es evidente que: ( )1,1,1,1diagggg ==== αγγ
αγ
αβγ
αβ δδ , la identidad.
Y que: µνµν dxgdx =
La expresión así definida para 2ds es propiamente una distancia, vale lo mismo en S
y en S (Invariancia del intervalo en forma y número). En efecto:
( ) ( )
( ) ( ) 232221222022
232201220222121022122202
232220122102232221202
11
22
xdxdxdxd
xdxdxdxdxdxdxdxdxdxd
xdxdxdxxdxddxdxdxdxds
−−−−−=
−−−−−++=
−−+−+=−−−=
βγβγ
βγβγγβγβγγ
βγβγ
Donde:
( )( )
î
=
=
+=
+=
33
22
011
100
xddx
xddx
xdxddx
xdxddx
βγ
βγ
En definitiva, ya que: ( ) 11 22 =− βγ , se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) 2232221202 sdxdxdxdxdds =−−−=
Utilizando la métrica en componentes en el sistema S:
νµµν xdxdgsd =2
Lo que quiere decir que: ( )1,1,1,1 −−−= diaggµν .
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 18
Transformaciones de Lorentz:
Como g es un tensor, sus componentes g ó g están relacionadas entre sí por matri-
ces Λ. Así pues: gg ΛΛ= , ó bien: βγµνγ
νβ
µ gg ΛΛ= , donde Λ es la matriz de la
transformación: ( )αµµ xxx = β
µβ
µ
x
x
∂∂=Λ
Se define como transformación de Lorentz cualquier transformación Λ de las coor-
denadas que deje invariante la métrica:
( ) ( )1,1,1,11,1,1,1 −−− → ΛΛ−−− gg
Tales transformaciones se denominan ortogonales en el sentido de la métrica y
determinan sistemas coordenados Lorentz en m4.
Cono de luz:
Una vez visto que el intervalo entre dos sucesos tiene el mismo valor en cualquier
sistema de coordenadas (es decir, puede servir como distancia entre dos puntos) pode-
mos clasificar los intervalos del siguiente modo:
1) Intervalo de tipo temporal:
Si: 02 >ds ⇒ 022232221202 >=−−−= τdcdxdxdxdxds
El intervalo entre sucesos es mayor que cero. Si un suceso es posterior a otro en un
sistema coordenado Lorentz es siempre posterior en cualquier otro sistema Lorentz.
O dicho de otra forma. Si un suceso es posterior a otro para un observador inercial,
siempre es posterior para cualquier observador, está en el Futuro Absoluto. Si es ante-
rior a otro en un sistema coordenado Lorentz, es anterior en cualquier otro sistema Lo-
rentz, está en el Pasado Absoluto.
En particular hay un observador para el cual los dos sucesos ocurren en el mismo pun-
to espacial. En este caso, el tiempo transcurrido se denomina Intervalo de Tiempo Propio.
2) Intervalo de tipo espacial:
Si: 02 <ds ⇒ 0232221232221202 <
++−=−−−= xdxdxddxdxdxdxds
Un suceso del intervalo puede suceder antes o después que el otro según el sistema
de referencia desde el que se observe. En particular pueden suceder en el mismo tiempo,
aunque en dos puntos espaciales diferentes. Tales sucesos se dice que están en la región
del espacio de Presente Condicional.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 19
3) Intervalo isótropo:
Si: 02 =ds ⇒ 023222120232221202 =−−−=−−−= xdxdxdxddxdxdxdxds
En cualquier sistema coordenado Lorentz, o para cualquier observador inercial O , los
dos sucesos están separados espacialmente, y ocurren en el intervalo de tiempo dt tal que:
22
222
cdt
dzdydx =++
Se dice que los sucesos están separados, o conectados, por un rayo de luz. Así pues,
para todo suceso P podemos dividir el espacio de Minkowski en las siguientes regiones:
x2, x3
x1
x0
PPuntos de Presente
Condicional
Puntos de Presente
Condicional
Sucesos en el Pasado
Absoluto de P
Sucesos en el Futuro
Absoluto de P
m4
Cono de luz de vértice PPuntos sobre el cono de luz
Línea de Universo que
pasa por P
Que definen la estructura causal del espacio-tiempo. La historia de una partícula puntual
es un conjunto conexo de sucesos, una curva continua en m4: una línea de Universo.
Cuadrivectores sobre m4:
De la misma forma que al espacio ordinario R3 se le asocia un espacio vectorial eu-
clídeo V3, caracterizado por el producto escalar ordinario, para formar un espacio afín
euclídeo E3, al espacio métrico m4, caracterizado por g, se le puede asociar un espacio
vectorial V4 de cuadrivectores, cuyas componentes en los sistemas coordenados Lo-
rentz se transformarán como las coordenadas de los puntos de m4.
Para un cuadrivector A
se pueden considerar sus componentes contravariantes:
Aµ (A0, A1, A2, A3), y sus componentes covariantes Aµ , relacionadas por: Aµ = gµνAν ,
de manera que: Aµ (A0
= A0, A1 = –A1, A2 = –A2, A3 = –A3).
Bajo una transformación de coordenadas, las componentes contravariantes se trans-
formarán con las Λ: νν
µνν
µµ AA
X
XA Λ=
∂∂=
Y las componentes covariantes, con las Λ : νµνµ
ν
µνAA
X
XA Λ=
∂∂=
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 20
El producto escalar de dos cuadrivectores se define con la métrica:
BA
⋅ = ( )BAg
, = Aµ gµν Bν = Aµ Bµ = A0B0 + A1B1 + A2 B2 + A3B3 = Bµ
Aµ
= B0A0 + B1A1 + B2 A2 + B3A3
= A0 B0 – A1 B1 – A2 B2 – A3 B3
El producto escalar de dos cuadrivectores es un escalar Lorentz, esto es, es invariante
bajo cambios de coordenadas Lorentz.
Llamaremos norma o módulo de un cuadrivector al cuadrado del cuadrivector:
AA
⋅ = Aµ gµν Aν = Aµ Aµ = A0A0 + A1A1 + A2 A2 + A3A3
= (A0)2 – (A1)2 – (A2)2 – (A3)2
Los cuadrivectores pueden clasificarse según su módulo, así para:
• Si 0>⋅ AA
, A
es de tipo temporal.
• Si 0<⋅ AA
, A
es de tipo espacial.
• Si 0=⋅ AA
, A
es de tipo luz o nulo.
La componente A0 de un cuadrivector A
se llama temporal, y las componentes (A1,
A2, A3) espaciales. Para las transformaciones puramente espaciales, A0 es un escalar y A
= (A1, A2, A3) un vector. Podemos escribir así las componentes contravariantes de un
cuadrivector como: Aµ (A0, A), y las covariantes como: Aµ (A0, – A), con lo que el pro-
ducto de cuadrivectores BA
⋅ se indicará: Aµ Bµ = A0B0 – A·B. Y el módulo de un cua-
drivector AA
⋅ : Aµ Aµ = (A0)2 – |A|2.
Relación entre ds, dττ y dt:
P+dPP
( )sx
ds2
Supongamos una línea de Universo, curva de
m4 con parámetro s, τ, ó t, de modo que el inter-
valo entre dos puntos cualquiera próximos sea de
tipo temporal: ds2 = c2 dτ2
El parámetro que identifica la posición del
afijo del vector puede estar definido de modo
que: ( )sxx
= , ó: ( )τxx
= , ó: ( )txx
=
Tomemos un sistema coordenado Lorentz particular S. Las componentes del vector
( )tx
, o las coordenadas del punto P serán:
( ) ( ) ( )3210 ,,,,,, xxxxzyxcttx ≡≡µ
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 21
Por tanto, el vector que une P y P+dP será en tal sistema coordenado:
( ) ( )dzdydxcdtdxdxdxdxdx ,,,,,, 3210 ≡≡µ
Y el intervalo: ( ) 222222 , dzdydxdtcdxdxgxdxdgds ++−=== νµµν
O bien:
î
+
+
−=
222
2222 1
1dt
dz
dt
dy
dt
dx
cdtcds
Si tal intervalo es de tipo temporal: 02 >ds , y kdzjdyidxrd
++= podría ser el
desplazamiento de una partícula observada por O en un tiempo dt, de modo que:
( )zyx vvvkdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rdv ,,=++==
Por lo que: 2
21222
cvdtcds −=
Y esta es la relación entre ds y dt:
dtcds=γ con:
2
21
1
cv−
=γ
También podríamos haber referido el vector xd
a componentes en el sistema de refe-
rencia Lorentz en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial, ya que el
intervalo es de tipo temporal. Esto es, en S:
( ) ( )0,0,0,0,0,0,0 τµ cdxdxdxd ==≡
El intervalo de tiempo transcurrido es, por definición, el tiempo propio (intervalo de
tiempo propio). Calculando ds2:
2
2122222
cvdtcdcds −== τ
Por lo que la relación entre dt y dτ será:
τγγ dcdtcds == ⇒ γτ
=d
td
Vector tangente a la línea de Universo:
El vector tangente unitario a la línea de Universo lo obtendremos al derivar respecto
del arco tomado como parámetro. Así pues:
( )gtds
sxd =
Si derivamos respecto de otro parámetro obtendremos un vector que es proporcional
al gt . En particular podemos derivar:
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 22
( )ττ
dxd , o bien: ( )
dttxd
El vector ( )ττ
dxd se denomina cuadrivector velocidad: u . Las componentes de tal
vector en un sistema coordenado Lorentz en particular serán:
( ) ( ) ( ) ( )
===≡ tr
dt
dct
dt
d
dt
dx
dt
dx
d
dt
d
dx
d
xd ,γγ
τττ
ττ µµµ
Y por lo tanto:( ) ( )vc
d
dxu ,γ
ττα
α =≡
La componente espacial de tal cuadrivector en un sistema coordenado Lorentz particular
nos indica la velocidad con que se describe la trayectoria rd .
Podemos, como anteriormente, tomar el sistema coordenado Lorentz propio S para
referir las componentes del cuadrivector u . Respecto de S las componentes son:
( )0,cu =α
El cuadrivector es el mismo. En particular, su módulo será calculado:
• en S: ( ) 2, cuuguug == βααβ
• en S: ( ) 22
2222222 1, c
c
vcvcuuguug =
−=−== γγγβα
αβ Cuadrivector aceleración y cuadrivector momento:
m0 u
m0 u
a)
b)
Consideremos el campo escalar cons-
tante de parámetro m0, asociado a cual-
quier punto de la línea de Universo y defi-
namos el cuadrivector momento:
ump 0=
cuyas componentes en el sistema coorde-
nado S son:
( ) ( )vmmcvmcmump ,, 000 === γγαα
En donde hemos definido:
2
2
0
1c
v
mm
−=
Tal cantidad la denominamos masa de la partícula m0, observada desde O, al despla-
zarse sobre la trayectoria ( )trr = con velocidad v .
En particular, en el sistema coordenado Lorentz S podemos tomar componentes de p :
( )0,0,0,00 cmump == αα
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 23
Tal observador inercial O se movería con velocidad v respecto de O, y por tanto la
partícula estaría en ese instante en reposo respecto deO .
Evidentemente el cuadrivector p es el mismo, y en particular su módulo:
( ) ( ) 220,, cmppgppgppg === βα
αβαα es de tipo temporal.
Partícula libre:
Sobre la línea de Universo a) tanto el cuadrivector p , como el u son constantes y
podemos hacer: 0=ds
pd, 0=
τd
pd, o bien: 0=
dt
pd
Ya que los parámetros s, τ, y t están relacionados linealmente entre si. En particular:
0===dt
pd
dt
pd
d
dt
d
pd γττ
⇒ 0=dt
pd ⇒ 0=dt
dpα
Lo que significa que: ( ) 00 =cmdt
d γ ⇒ ( ) 0=γdt
d ⇒ γ = cte ⇒ ctev =
( ) 0000 =
+
= γγγ
dt
vdmv
dt
dmvm
dt
d ⇒ 0=dt
vd ⇒ ctev =
Lo que nos indica que en cualquier sistema inercial, en particular para O, tanto el módulo
como la velocidad de la partícula, y por tanto su momento, son constantes con el tiempo.
No habrá por tanto fuerza alguna aplicada sobre la partícula: partícula libre.
Las partículas libres describen líneas rectas en el espacio de Minkowski (geodésicas).
Partícula ligada (aceleración):
La partícula sobre la línea de Universo b) cambia la dirección de la velocidad y, por
lo tanto, del cuadrimomento. Así podemos hacer:
0≠ds
ud , 0≠
τd
ud , ( ) 00 ≠= kum
d
d τ
.
Lo que manifiesta una propiedad geométrica: la línea de Universo tiene curvatura.
El cuadrivector τd
pdk
= es perpendicular al cuadrivector u , ya que es proporcional a
τd
ud , y se verifica que: 2. cuu = ⇒ 02 =u
d
ud τ
Luego: udud ⊥τ
Tal vector define la dirección normal de la curva (curvatura normal). La línea de
Universo de una partícula ligada es una línea curva.
0
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 24
El cuadrivector: ud
ud =
τ se denomina cuadrivector aceleración.
Cuadrivector fuerza k
:
Veamos qué significado le podemos atribuir a k
. Tomando componentes en el sis-
tema coordenado Lorentz S tendremos:
( ) ( ) ( )vmcmdt
dum
dt
d
d
dtum
d
dk
γγγ
ττααα
0000 ,===
• para las componentes α = 1, 2, 3:
( ) ( ) ( )αααα
γγ
pdt
dmv
dt
dvm
dt
dk === 0
Luego, si la derivada temporal del momento representa la fuerza que O ve aplicada
sobre la partícula y que hace que ésta se desplace con la trayectoria ( )trr
= , se tendrá:
( ) ααα
γFp
dt
dk == ⇒ ( )Fkk
γ,0=
La componente espacial del cuadrivector fuerza k
tiene información de la fuerza que
se aplica sobre la partícula que en el instante de tiempo t está en la posición ( )trr
= ,
con velocidad ( )tvv
= según un observador inercial O.
• para la componente α = 0:
El valor de k 0, teniendo en cuenta que 0. =uk
: 020 =⋅− vFck
γγ ⇒c
vFk
⋅= γ0
Por tanto, en componentes respecto de S, el cuadrivector fuerza:
⋅≡ Fc
vFk
,γ
De modo que la ecuación kd
pd =
τ representa en S:
• para α = 1, 2, 3: FFdt
dp ≡= α
α Ley de movimiento de m0 para O.
• para 0=α : 00
kd
dp =τ
⇒c
vF
dt
dp
d
dt
⋅=γτ
0
⇒ ( )c
vFcm
dt
d
⋅=γ0
Y, por lo tanto, si c = cte: ( ) vFmcdt
d ⋅=2
O bien: ( ) Φ−=Φ−∇=⋅=⋅= drdrdFdtvFmcd2
si la fuerza F
proviene de un potencial Φ (fuerza de un campo conservativo).
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 25
Veamos qué ocurre entre dos puntos de la línea de Universo correspondiente a
parámetros τ 1 y τ 2, o bien para valores de t1 = t1(τ 1) y t2 = t2(τ 2). Integrando la última
ecuación:
( ) [ ]122
1
2
1
2
1
22
2 Φ−Φ−=−⇒Φ−=∫ ∫ cmcmdmcd
Donde m2 es la masa que la particula de masa m0 tiene en el punto ( )222 trr = , donde
su velocidad es 2v en el sistema de referencia de los observadores O . Lo mismo para
el punto ( )111 trr = , luego:
Emccmcm =Φ+=Φ+=Φ+ 21
212
22
Por lo que denominamos energia total de una partícula en cualquier punto de su
trayectoria a:
...8
3
2
1
12
4
02
02
02
2
2
02 ++++Φ≈−
+Φ=+Φ=c
vmvmcmc
cv
mmcE
Energía no relativista:
La definimos como la energía cinética más la potencial, en el sentido clásico; luego:
( )20
0cmElimE
cvNR −=
→
donde 20cm es la energía propia de la partícula en reposo.
Energía cinética relativista:
Comportará todos los términos que dependen del estado de velocidad:
( ) ( )120
20 −=Φ−−= γcmcmET
Momento en función de la energía:
Ya hemos visto que p puede ponerse en componentes respecto de S.
( )vmmcpp ,α≡
En el sistemaS: ( )0,0cmpα .
En el primer sistema podemos escribir p en función del momento y la energía atri-
buida a la partícula por el observador inercial O . Así:
τ1
τ2
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 26
Φ−
pc
Ep ,α ; ( )0,0cmpα
Luego, conociendo la energía y el momento en un sistema S, podemos conocer la
masa m0 de la partícula. En el caso de la partícula libre: 0=Φ , el módulo de p será:
220
22
22
cmpc
Eppp =−=≡α
α ( 420
222 cmcpE += )
Cualquier partícula de masa 00 >m tendrá un cuadrivector momento de tipo temporal.
Partículas de masa nula:
Para una partícula de cuadrivector momento de tipo luz o nulo:
20
22
2
,,0 cmpc
Ep
c
Ep
c
Epp =−=
−
== µ
µ ⇔ 00 =m y: pcE =
Además se asume que el cuadrivector velocidad es de tipo nulo, lo que significa que tal
partícula viaja a velocidad c. Tales partículas de masa nula y velocidad c son los fotones.
La transformación de masa en radiación (energía: fotones) es posible por la ley de
conservación del momento relativista.
Sea, por ejemplo, la reacción: ( ) ( )
21
2
0
1
ffm +→ en la que una partícula de masa m0 se
desintegra a dos fotones*. Consideramos la partícula en el sistema propio:
Como ( ) ( )21 pp = : momento total del estado 1 = momento total del estado 2, se tiene que:
( )
+= 22
11 ,,0,0 k
ck
ccm
ωωcon:
ch ω
λ
=
Entonces, de: 21 kk −= ⇒ 22
11 u
cu
c ωω = , por tanto, tendremos para los dos fotones
frecuencias angulares: ω 1 = ω 2 , y serán emitidos en direcciones opuestas.
Si ω 1 = ω 2 = ω, la componente cero de p : c
cmpω
200 ==
Y la frecuencia de los fotones será: 2
20cm=ω
Ondas de de Broglie:
Se puede asociar una onda de frecuencia y energía dada a una partícula material de
masa 0m . Tal onda es la onda material de de Broglie. (Comportamiento dual, partícu-
la/onda de materia).
* e.g. la desintegración a 2 fotones de los piones neutros: π0→2γ; mπ
0 ≈ 135 MeV/c2.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 27
A cada partícula material de masa 00 >m le asociamos una frecuencia y un vector
de onda tales que: E=ω pk =
El cuadrivector momento en el sistema S, (medidas del observador O ):
( )pcEp
,=α de módulo: α
α ppcm =220
Por lo tanto: 22
222
2
222
0 pc
pcEcm −=−=
ω
Despejando, la frecuencia que le corresponde a la partícula es:
2
420
2
222 cmcp +=ω
Que se comprueba experimentalmente*.
Así cada partícula tiene asociados los observables:
Energía (E): ω=E Momento (p): kp
=
Frecuencia: E=ω Nº de onda: pk =
Efecto Doppler y Aberración de la Luz:
Sea un sistema de referencia en donde se observa una onda electromagnética plana
de frecuencia ω y de dirección de propagación k
. En la región del espacio que contiene
campo electromagnético tenemos en m4 definido el cuadrivector de propagación α
.
Referido a coordenadas Lorentz, sus componentes son:
( )kc
,ωα ν =
La frecuencia y dirección en S. El cuadrivector momento para un fotón es:
≡= k
cpp fotonfotonfoton
,
ωα µ
Otro observador S' que detectara el campo electromagnético le asignaría diferente
frecuencia y dirección de propagación.
Si S' se mueve con velocidad v a lo largo de un eje x = x' común, utilizará coordena-
das Lorentz xµ' en m4, de tal forma que para S' y S tendríamos las relaciones entre αν y
αν' por medio de:
αν' = Λν'µ αµ
* Davisson, C. J. Germer, L.H.: Physical Review, 30, 705 (1927)
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 28
Así pues:
−
−=
z
y
x
z
y
x
kkk
c
kkk
cω
γγβγβγω
100001000000
'''
'
De donde: [I] ( )xkcc βωγω −='
[II] ( )ckk xxωβγ −=' , yy kk =' , zz kk ='
La situación será la siguiente en S y S' :
S
y
x
δ
ω, k
S'
y'
x'
δ'
ω', 'k
β
Teniendo en cuenta que α
es un cuadrivector nulo: 0=⋅αα
⇒î
=
=
ck
ck
'' ω
ω
Y las relaciones:
î
=
=
'cos'
'
cos
δω
δω
ck
ck
x
x
⇒ [ ]δβωγδωγωcos1cos
1'2
−=
−=
cc
v
cc
[ ]βδωγωδωγδω −=
−== coscos'cos
''
ccc
v
cck x
Podemos ver las ecuaciones que relacionan la frecuencia y la dirección de propagación
de la onda en S y en S' :δββδδ
cos1
cos'cos
−−= Aberración de la luz
[ ]δβωγω cos1' −= Efecto Doppler para la luz
Que sólo depende de la velocidad relativa de S y S' , β .
Casos particulares:
a) Cuando δ = 0:
En S' el ángulo que forma el vector de propagación con el eje x' es δ ':
0'11
1'cos =⇒=
−−= δ
ββδ No hay aberr ación
El signo de (1 −− β) difiere del considerado para la luz en el caso del efecto Doppler [Ver
p. I 6], porque aquí están los sistemas alejándose con v
y no acercándose con u.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 29
S
y
x
δ = 0
ω, ( )0,0,xkk
S'
y'
x'
δ' = 0
β
ω', ( )0,0,'' xkk
La frecuencia observada en S' : ( )ββω
β
βωβγωω+−=
−
−=−=1
1
1
11'
2
Se tiene que para todo β > 0 : ω ' < ω Efecto Doppler longitudinal
Si hacemos una observación astronómica del espectro de emisión de una estrella de
S, estamos en S' , cuando la estrella se aleja vemos un corrimiento al rojo.
b) Cuando δ = π /2:
S
y
x
δ = π /2
ω, ( )0,/,0 ckk y ω=
S'
y'
x'
θ'
ω', ( )0,','' yx kkk
β
La frecuencia observada en S' :
( ) ωγδβωγωδ
=−==0cos
cos1' ⇒ ω ' < ω Efecto Doppler transversal
Y corrimiento al violeta de la frecuencia.
En cuanto al vector de onda de la señal electromagnética, se tiene en S' :
cckk
xkconxx
ωβγωβγ −
−= =
=0
'
yy kk ='
0' == zz kk
Luego: ( ) ( )0,,'0,,'0,','' yyyx kkkcc
kkkk βγωωβγ −=⇒
−=⇒=
: Aberración de la
luz, esto es, desviación respecto de su dirección de emisión.
Podemos hallar el ángulo θ ' desde: ( ) βγβγθ −=−==y
y
y
x
k
k
k
k
'
''tan
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 30
Objetos geométricos en m4:
Cuando hablamos de objetos geométricos nos referimos a escalares, vectores, tenso-
res, formas diferenciales..., etc. Es decir, entes que estarán definidos en m4 y que ten-
drán propiedades intrínsecas, independientes de su expresión en los diferentes sistemas
coordenados.
Normalmente estos objetos se pondrán en correspondencia unos con otros por medio
de relaciones. Si esas relaciones se establecen como igualdad de las componentes de los
objetos en los sistemas coordenados Lorentz, tendremos la relación expresada como una
relación covariante Lorentz. Si no hacemos referencia a ningún sistema coordenado al
establecer la correspondencia, diremos que la relación o ecuación propuesta es "geomé-
trica".
Los objetos son de diferente rango, dependiendo de su complejidad al expresarse en
los diferentes sistemas coordenados. Los más sencillos son los escalares: objetos de
rango cero. Luego los objetos de rango 1 ó vectores, los de rango 2, tensores. En ge-
neral podremos tener objetos de rango n=0 o n≠0.
Sobre estos objetos se pueden efectuar operaciones: las más importantes son las dife-
renciales.
Cuando propongamos una igualdad entre objetos definidos en m4, los objetos a am-
bos lados de la igualdad han de tener igual rango.
Así pues el modo de proceder será el siguiente:
• Introducir objetos en m4.• Relacionarlos por operaciones diferenciales.• Proponer tales relaciones en componentes en los sistemas coordenados Lorentz.
Y por tanto estas relaciones covariantes Lorentz, serán las relaciones que se escriban
en los sistemas de referencia inerciales, ya sea S ó S .
Reproducirán por tanto la teoría física descrita como la relación entre las magnitudes
observadas en S, o bien en S , según expresemos las componentes de los objetos en un
sistema coordenado Lorentz u otro.
Operaciones diferenciales sobre objetos de m4, operador ∂∂:
Procedamos a definir objetos sencil los en m4:
Campo escalar: Es una función que asigna un número a todo punto x de la región R4 de
m4 donde tal función esté definida:
Ψ: ∀ x ∈ R4 → )
x ∈ R
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 31
Tomamos coordenadas Lorentz para el punto x ≡ xα y por tanto:
) αx = )
αx
Evidentemente, en el sistema de referencia S óS asociado a los sistemas coordenados
Lorentz: xα, αx , tendremos el valor asociado a la propiedad:
) αx ≡ )
αx = ),
tr = ),
trDefinida en el punto espacial y en el instante dado en los correspondientes sistemas
inerciales.
Veamos la variación de Ψ en un punto x y en un punto próximo x + xd :
33
22
11
00
dxx
dxx
dxx
dxx
d∂
Ψ∂+∂
Ψ∂+∂
Ψ∂+∂
Ψ∂=Ψ
En uno de los sistemas coordenados Lorentz que po-
damos tomar en m4, tenemos la expresión del vector xd :
( )3210 , , , dxdxdxdxdxxd ≡≡ α
Luego el escalar dΨ se puede poner como:
( ) ( )( )xddxd !Ψ∂=Ψ∂=Ψ µµ
En donde se explicita, de modo geométrico en la última igualdad, la contracción de
un objeto (1-forma) que sobre un vector xd da un número: dΨ. El objeto 1-forma, tiene
por expresión, con índices abajo (índices covariantes):
( ) ( )
∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂=Ψ∂=Ψ∂≡Ψ∂
3210,,,
xxxxµµ
En todos los sistemas coordenados Lorentz.
Es por tanto posible decir que tenemos un operador ∂ que en coordenadas Lorentz
tiene por componentes:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂≡∂
3210,,,
xxxxµ ⇒
∇
∂∂≡∂ !,
0xµ
Y que actúa sobre los escalares (objetos de orden cero) para obtener objetos de orden
uno (1-formas).
Es evidente que las componentes de ∂ pueden expresarse con índices "arriba" por
medio de la métrica. En todo caso, se podría escribir:
( ) ( ) 33
22
11
00
dxx
dxx
dxx
dxx
dxdxd∂
Ψ∂+∂
Ψ∂+∂
Ψ∂+∂
Ψ∂=Ψ∂=Ψ∂=Ψ µµ
µµ
R4
x"
xd #
O
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
I 32
Y teniendo en cuenta que ( )3210 ,,, dxdxdxdxdx −−−≡µ se tendrá para la expresión ∂ µ :
∇−
∂∂≡∂ $,
0xµ
La aparición de objetos de orden ó rango uno con índices arriba, o con índices abajo
se lleva a cabo por la métrica. La métrica establece una correspondencia biunívoca entre
los vectores (índices arriba) y 1-formas (índices abajo).
Campo vectorial y campo asociado a 1-forma: A todo punto x% de la región R4 se le asig-
na un objeto, que viene definido por cuatro funciones cuando se representa en compo-
nentes respecto a cualquier sistema coordenado establecido en m4:
Campo vectorial J% : ∀ x% ∈ R4 → )(xJ %µ ∈ m4
Campo 1-forma J% : ∀ x% ∈ R4 → )(xJ %µ ∈ m4
Relacionados por la métrica g: Jµ =gµνJν Jµ =gµνJν
Ascenso de rango, derivada exterior:
El operador ∂ puede actuar sobre objetos de rango cero dando objetos de rango uno.
Cuando tal operador sube el rango del objeto, diremos que ∂ actúa como derivada exte-
rior : d. Se tiene ∂ ≡ d, si sube rango:
Así pondremos: ∂: Ψ dΨ(rango cero) (sube rango) (rango uno)
A esta operación se le denomina normalmente obtener el gradiente.
Descenso de rango, divergencia:
En geometría diferencial el operador ∂ puede bajar el rango del objeto. En particular,
un objeto de rango uno (vector), puede ponerse en correspondencia por medio de ∂ con
un escalar. Por ejemplo, para un campo vectorial J% :
Así pondremos: ∂: J% ( ) ( ) Ψ=≡∂ JJ %% δ
(rango uno) (baja rango) (rango cero)
El cuadrivector J% se pone en correspondencia con el escalar ( )J%δ , por medio del
operador δ denominado codiferencial.
Su forma de actuar en los sistemas coordenados Lorentz es:
3
3
2
2
1
1
0
0
x
J
x
J
x
J
x
JJJ
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∂=Ψ=∂⇒ µ
µµµδ
d
δ
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 33
Donde:
∇
∂∂≡∂ &,
0xµ
∇−
∂∂≡∂ &,
0xµ
En síntesis: ∂, actuando como codiferencial: ∂ ≡ δ sirve para bajar el rango.
Las operaciones derivada exterior y codiferencial, actuando sobre campos escalares y
vectoriales, son operaciones diferenciales respecto de coordenadas y tiempos de funcio-
nes que se utilizan para representar magnitudes físicas para los diferentes observadores
inerciales S asociados a los sistemas coordenados Lorentz utili zados en m4.
Vamos a definir objetos en m4 y ponerlos en correspondencia por medio de los ope-
radores δ y d. Tales correspondencias serán las que denominamos relaciones geométri-
cas. Las relaciones geométricas tendrán expresión en los sistemas coordenados Lorentz,
como relación entre las componentes de los objetos. Tales relaciones serán las mismas:
Se dirá que son covariantes Lorentz o invariantes (en forma) Lorentz. Al pasar a la de-
pendencia de las funciones en coordenadas y tiempo tenderemos las relaciones en cual-
quier sistema inercial S.
Las anteriores relaciones podrán describir leyes de la física según los observadores
asociados a un sistema inercial S. En lo que sigue tratamos de establecer las leyes del
campo electromagnético en el espacio-tiempo de Minkowski m4.
3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell:
Leyes del campo electromagnético:
En primer lugar vamos a describir las fuentes ),( tr'ρ , ),( trJ && ⊥ : (densidades, respecti-
vamente, de carga y de corriente) para un observador inercial S*.
* El subíndice ⊥ indica aquí vector en R3.
),( tr'ρ
),(),(v),( trtrtrJ &&&&& ρ=⊥
r&
z
y
x
En cada punto r& , y en cada instante t se-
gún S, se definen las dos funciones que des-
criben las densidades de carga y corriente. En
ese punto r& , hay un campo de velocidades
que describe el movimiento de las partículas
que dan lugar a la corriente ⊥J& .
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
I 34
Y de este modo señalaremos el vector densidad de corriente en el espacio tridimen-
sional observado por S. Veamos qué se puede definir en la región asociada de m4:
Cuadrivector densidad de corriente:
)(0 x(ρ
x)
línea deUniverso
R4
( )xu **
m4
Trabajamos en cualquier punto x+ ∈ R4,
con coordenadas xα en un sistema Lo-
rentz ( )rctx ),=α , es decir, en cualquier r) , y
para cualquier tiempo t, según los obser-
vadores de la clase S. Asociamos un cam-
po escalar ( )x)0ρ y formamos el cuadri-
vector: ( ) ( ) ( )xuxxJ ))))) 0ρ= , en donde ( )xu )) en
componentes: ( ) ( )( )trctru ,,, ))) vγγα ≡ .
El cuadrivector velocidad ( )xu )) lleva la información de la velocidad asociada al mo-
vimiento de las partículas cargadas que en ( )tr ,) dan lugar a la corriente ),( trJ )) ⊥ observada
en S.
Veamos las componentes de ),( trJ )) :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )trxcxxuxtrJxJ ,,, 000 ))) vγργρρ βββαβααα ==≡
Luego: ( ) ( ) ctrxJ γρα ,00 )≡ y: ( ) ( )trtrtrJ ,v,),( 0 ))))) γρ=⊥
Si tomamos: ( ) ( )trtr ,,0 )) ργρ = , se tendrá:
( ) ( )ctrxJ ,0 )ρα ≡ y: ( ) ( )trtrtrJ ,v,),( ))))) ρ=⊥
La función J 0 representará la densidad de carga multiplicada por c, del sistema de
partículas según se observa en S. Las funciones J 1, J 2, J 3 se asociarán a la densidad de
corriente dada por el movimiento de las partículas en S: ( ) ( )trtrtrJ ,v,),( ))))) ρ=⊥ .
Al cuadrivector J α(xα ) se le denominará cuadrivector densidad de corriente, y pa-
ra que describa adecuadamenteρ y ⊥J) deberá cumplir la condición geométrica:
0)( =xJ ))δ
O bien, en los sistemas coordenados Lorentz:
0)( =∂ xJ )µµ
O como relaciones en el sistema inercial S:
( ) 013
32
21
10
0 =∂
∂+∂
∂+
∂∂
+∂∂=∂+∂+∂+∂
z
J
y
J
x
Jc
tcJJJJ zyxρ
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 35
Lo que escribimos en S como:
[I] ( ) ( )0
,, =
∂∂+∇ ⊥ t
trtrJ ,,, ρ
Y que establece la ley de conservación de la carga. Así pues todo campo vectorial de
divergencia nula en m4 podrá servir para representar densidades de carga y corriente
físicamente aceptables en los sistemas de referencia inerciales. Y viceversa, cualquier
distribución de carga y corriente en S físicamente aceptable (es decir, que cumpla la ley
de conservación de la carga), podrá representarse en m4 por un campo vectorial de di-
vergencia nula. Así pues [I] se escribirá:
[Ia] 0=J,δ
Y es uno de los ejemplos de cómo el operador ∂ actuando como δ asocia al objeto de
rango uno (vector), un escalar (rango cero), en este caso el escalar es una constante
igual a cero.
Laplaciana:
La operación de bajar y subir índices se puede combinar en un operador que pone en
correspondencia objetos del mismo rango. Tal operador se conoce con el nombre de
operador de Laplace-Beltrami o laplaciana, y se define como:- = dδ + δd
d sube el rango, δ lo baja una unidad y por lo tanto podremos poner la correspondencia
(p.ej.: entre campos vectoriales en m4) del modo:- : A. Jk ,
Este operador pondrá en correspondencia objetos del mismo rango, lo que significa
para la relación entre cuadrivectores:-
A. = dδA. + δd A. = Jk ,Donde k será una constante de dimensiones adecuadas para que la igualdad sea dimen-
sionalmente correcta.
Es evidente que - A. tendrá las derivadas segundas de las componentes de A. en los
sistemas coordenados Lorentz, que estarán relacionadas con las componentes deJ. que
representan cargas y corrientes en los sistemas de referencia inerciales.
Es de esperar que A. contenga información sobre los potenciales electromagnéticos
( )zyx AAAA ,,⊥, y Φ (potencial vector y potencial escalar).
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
I 36
Tomemos un campo vectorial A/ tal que: 0=A0δ , que en los sistemas coordenados Lo-
rentz se escribe: 0=∂ αα A , y en S se representa:
01 3210
=∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂z
A
y
A
x
A
t
A
c
Si tomamos A1, A2, A3 como componentes Ax, Ay, Az que representen el potencial
vector ⊥A0 en S y A0 = Φ/c como potencial escalar en S; los potenciales Φ, ⊥A0 cumplirán:
000 =∂Φ∂+∇ ⊥t
A µε00
Y podrán ser una pareja de funciones potenciales en S que cumplan el gauge de Lorenz.
Así, con 0=A0δ la correspondencia entre A/ y Jk 0 definida por la relación:
[II] 1 A/ = Jk 0Se escribirá en los sistemas coordenados Lorentz (expresión de δd A/ en coordenadas
Lorentz):
JkA 00 =∂∂ µµ
Y: 22
2
2
1 ∇−∂∂=∂∂= 0tc
• µµ , en un sistema de referencia inercial, por tanto la ecuación [II ]
se escribirá: ααµµ kJA =∂∂ ⇒ ( ) ( )⊥⊥ =Φ
∇−
∂∂
JckActc000 ,,
1 22
2
2ρ
E igualando componentes 0, 1, 2, 3, se obtienen con 0µ=k y 00
2 1
µε=c , las ecuaciones
de ondas para potenciales válidos en S:
02
2
22 1
ερ−=
∂Φ∂−Φ∇
tc0
⊥⊥
⊥ −=∂
∂−∇ Jt
A
cA 0000 02
2
22 1 µ
Con la condición 0=A0δ , que en S expresa que Φ, ⊥A0 es un par de potenciales del
gauge de Lorenz.
2-forma Campo Electromagnético:
El cuadrivector potencial ( )xA0 definido en m4 lleva información de los potenciales
que utili zan los observadores inerciales para definir los campos E0 y B0 en su sistema de
referencia. Tales campos se obtendrán del modo usual:
t
AE
∂∂−Φ∇−= ⊥000 ⊥×∇= AB 000
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 37
Por medio de derivadas espacio-temporales de primer orden.
Tales derivadas se ejecutan con el operador ∂ que en m4 actuará sobre A2 . Ya vimos
la posibil idad de que ∂ actuara como δ bajando el orden del objeto (condición de Lo-
renz).
Hagamos ahora actuar ∂ como d sobre A2 para subir el orden del objeto de 1 a 2. Así:
∂: A3 F4 / AF 34 d=(rango uno) (sube rango) (rango dos)
El objeto que se obtiene a partir de la 1-forma diferencial A2 es la 2-forma F campo
electromagnético. En los sistemas coordenados Lorentz la correspondencia anterior se
expresa como relaciones entre las componentes de los objetos del modo:
µννµµν AAF ∂−∂=
Como un tensor de 2º orden. Y si reproducimos la anterior relación entre magnitudes,
según se observan en S, se tendrá:
( )
∂
∂+
∂Φ∂=
∂
Φ∂−−
∂∂
=∂−∂=t
A
xcxc
t
A
cAAF xx 11011001
Y por tanto:c
EF x−=01 , de este modo se obtiene la componente x del cam-
po eléctrico en S a partir de las funciones potenciales.
De la misma forma:c
EF
y−=02
c
EF z−=03
Si procedemos a obtener las componentes en índices espacial-espacial (i, j) (1, 2, 3),
se tendrá: zxy
By
A
x
AAAF −=
∂∂
+∂
∂−=∂−∂= 122112
Y del mismo modo: yBF =13xBF −=23
No necesitamos obtener más componentes, pues el objeto F = d A2 es antisimétrico,
como claramente se deduce de la expresión de sus componentes en los sistemas coorde-
nados Lorentz (nótese que: ( ) µνµννµνµµννµ FAAAAF −=∂−∂−=∂−∂= ).
Podemos ordenar las componentes de F en forma de filas y columnas, tendremos:
−
−
−
−−−
=
0
0
0
0
),(
xyz
xzy
yzx
zyx
BBc
E
BBc
E
BBc
Ec
E
c
E
c
E
trF 5µν
d
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
I 38
Evidentemente el ente geométrico es F = d A6 , que tiene estas componentes contrava-
riantes en un sistema Lorentz particular. Es decir, tiene la información de los campos
electromagnéticos observados en el sistema inercial S.
Podemos ver F con componentes covariantes: νβµν
αµαβ gtrFgtrF ),(),( 77 =
o mixtas: νβαν
βα gtrFtrF ),(),( 77 = ; ),(),( trFgtrF 77 µβ
αµβ
α =
Tales componentes se pueden ordenar en forma de matriz con gµν = (1, –1, –1, –1):
−−
−−
−−=
0
0
0
0
),(
xyz
xzy
yzx
zyx
BBc
E
BBc
E
BBc
Ec
E
c
E
c
E
trF 7αβ ;
−
−
−=
0
0
0
0
),(
xyz
xzy
yzx
zyx
BBc
E
BBc
E
BBc
Ec
E
c
E
c
E
trF 7βα ;
−−
−−
−−
−−−
=
0
0
0
0
),(
xyz
xzy
yzx
zyx
BBc
E
BBc
E
BBc
Ec
E
c
E
c
E
trF 7βα
Tensor dual de F:
Al tensor F le está asociado de forma unívoca su dual *F , *F = ε F, otro tensor anti-
simétrico de propiedades geométricas definidas.
En un sistema coordenado Lorentz tiene componentes *Fαβ que se calculan del modo:
γδαβγδαβ ε FF
2
1* =
Donde ε es el tensor totalmente antisimétrico:
î
−+
=repetido índice algún0
índices deimpar npermutació1
índices depar npermutació1
αβγδε ; ε αβγδ = – ε αβγδ
Así pues, algunos componentes de *F, serán:
*F01= 2
1 ε 01βγ Fβγ =
2
1 ε 0123 F 23 +
2
1 ε 0132 F 32 =
2
1 (–Bx) – 2
1Bx = – Bx
Operando del mismo modo podemos representar *F en forma de matriz:
−
−
−
−−−
=
0
0
0
0
),(*
c
E
c
EB
c
E
c
EB
c
E
c
EB
BBB
trF
xyz
xzy
yzx
zyx
7αβ ;
−−
−−
−−=
0
0
0
0
),(*
c
E
c
EB
c
E
c
EB
c
E
c
EB
BBB
trF
xyz
xzy
yzx
zyx
7αβ
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 39
Nótese que *Fαβ ),( tr8 se obtiene de Fαβ ),( tr8 al hacer los cambios: î
→−→cEB
BcE
/
/ 98
88
Tal transformación se conoce en S como transformación de dualidad.
Primer par de ecuaciones de Maxwell:
Ligan los campos con las fuentes. En función del tensor campo electromagnético:
[I] ∂µ Fµν = µ0 J
ν o bien: ∂ µ Fµν = µ0 Jν
Esta relación en componentes en los sistemas coordenados Lorentz es la expresión de la
correspondencia geométrica obtenida por [I]:
JF 80µδ =
La correspondencia geométrica entre objetos [I] y la relación en componentes se
puede referir a relaciones entre magnitudes observables en S.
• Así, para ν = 0, se tendrá:
00
0 JF µµµ =∂
Y con: J 0 = ρ ),( tr8 c , tal relación expresa:
∂
∂+∂
∂+
∂∂=∂+∂+∂=
z
E
y
E
x
E
cFFFctr zyx1
),( 303
202
1010 8ρµ
Por tanto:0
),(
ερ tr
E888 =⋅∇
La primera ecuación de Maxwell, que relaciona al campo eléctrico con las cargas.
• para ν = 1, 2, 3, se obtienen las ecuaciones que ligan los campos magnéticos con
las corrientes en S.
Así, por ejemplo, para ν = 1:
( )xxyzx
x Ht
D
z
B
y
B
t
E
cFFFtrJF 888 ×∇+
∂∂
−=∂
∂−
∂∂
+∂
∂−=∂+∂+∂==∂ 002
313
212
0100
1 1),( µµµµ
µ
Y por tanto obtenemos: ( )t
DJH x
xx ∂∂
+=×∇ 88Que es una de las ecuaciones de la relación vectorial entre campo magnético y corrien-
tes libres y de desplazamiento en S:
t
DJH
∂∂+=×∇8888
Segundo par de ecuaciones de Maxwell:
Son las ecuaciones homogéneas:
[II] ∂α *Fαβ = 0 o bien: ∂ α *Fαβ = 0
Que se corresponden con la expresión en los sistemas coordenados de la relación geo-
métrica: δ *F = 0
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
I 40
El tensor *F se denomina tensor dual ó 2-forma dual de F. También se llama trans-
formado de Hodge de la 2-forma F que, como hemos visto, se obtiene de la 1-forma
potencial A: según la correspondencia establecida por la derivada exterior d, del modo
indicado anteriormente: F = d A:Con esta propiedad se dice que la 2-forma F admite potencial vector A: . También se
dice que la 2-forma F es exacta. Según una propiedad de las formas diferenciales cono-
cida como Lema de Poincaré, si una forma es exacta entonces tiene derivada exterior
nula. Es decir: Si: F = d A: ⇒ dF = 0
O lo que es lo mismo, sobre cualquier forma, al aplicar dos veces la derivada exterior se
tiene dd = 0.
Toda forma F que cumpla dF = 0, se dice que es cerrada. Así podemos decir:
i) Toda forma exacta es cerrada. O bien: F = d A: ⇒ dF = 0
Y también se verifica el recíproco del Lema de Poincaré:
ii) Toda forma cerrada es exacta. O bien: dF = 0 ⇒ F = d A:Y dadas las condiciones necesaria y suficiente, entonces:
F = d A: ⇔ dF = 0
Las propiedades de forma cerrada y forma exacta son equivalentes*.
Estas propiedades se pueden enunciar para la forma dual *F. Diremos entonces:
Si: F = d A: ⇒ δ*F = 0
La propiedad dF = 0, para F, también se puede expresar en términos de su forma dual,
diciendo que ésta tiene divergencia nula:
δ*F = 0 O bien: ∂α *Fαβ = 0,
En los sistemas coordenados Lorentz.
Si tenemos en cuenta la información contenida en *F, tendremos:
• para β = 0: 0**** 303
202
101
0 =
∂
∂+∂
∂+
∂∂−=∂+∂+∂=∂
z
B
y
B
x
BFFFF zyxα
α
Esto es: 0=⋅∇ B;;• para β = 1, 2, 3 se obtendrá la ecuación vectorial en S:
t
BE
∂∂−=×∇;;;
* No hemos afirmado nada sobre los dominios de integración de las formas. El recíproco del lema dePoincaré se verifica en principio para dominios estrellados. En los casos topológicamente más sencilloslas condiciones de forma cerrada y forma exacta son equivalentes (Véase: H. Flanders: Differential Formswith Applications to the Physical Sciences p.27, y: M. Spivak: Cálculo en Variedades Sec. 4-10, 4-11).
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 41
La propiedad δ*F = 0, ∂α *Fαβ = 0, reproduce las ecuaciones de Maxwell internas.
Esta propiedad se expresa para F como dF = 0, lo que se escribe en componentes en los
sistemas coordenados Lorentz como:
Fαβ,γ + Fβγ,α + Fγα,β = 0
Donde la "coma" en los índices significa derivada respecto de la componente con índice
que le sucede, es decir: γαβγαβ
,Fx
F=
∂
∂. La expresión anterior reproduce, obviamente, to-
mando la información contenida en Fαβ, las ecuaciones de Maxwell internas.
En definitiva, las relaciones δ*F = 0, y dF = 0, expresan la misma propiedad y, por
tanto, conducen a las mismas ecuaciones para los observadores inerciales.
Fuerza de Lorentz:
q
línea deUniverso
( )αxu<
Otro de los objetos a considerar es el
cuadrivector uFqK << = . Para una carga q
que describe una línea de Universo en la
región en que existe un campo electro-
magnético F, en coordenadas Lorentz:
Kα = q Fαβ uβ ; Kα será un cuadrivector.
Veamos qué significado podemos atribuirle a esta relación expresada en componentes:
Calculemos la expresión en el sistema propio de la partícula, donde los campos son
0E< , 0B< y el cuadrivector velocidad uβ (c, 0). Tendremos:
Kα = q Fα0 u0 = q c Fα0 , y como î
==
ii qEK
K 00
⇒ Kα(0) ≡ (0, q 0E< )
El observador que instantáneamente viera la carga en reposo mediría precisamente la
fuerza: q 0E< . Así pues, es de esperar que Kα nos dé la fuerza de Lorentz en el sistema
en que la carga se mueve con velocidad v< .
En un sistema cualquiera S en que se observe la carga, los campos que se medirán se-
rán E= , B= , y uβ será: uβ (γc, – γv< ).
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
I 42
Las componentes de Kα son:
Kα = q Fαβ uβ = [ ][ ][ ]
î
×+=
×+=
×+=
⋅=
z
y
x
BvEqK
BvEqK
BvEqK
Evc
qK
>>>>>>>>>>>
γ
γ
γ
γ
3
2
1
0 )(
⇒
⋅≡ Fc
vFK
>>>,γα
Donde [ ]BvEqF>>>>
×+= es la fuerza de Lorentz sobre la partícula.
Para la partícula que se mueve en un campo eléctrico externo, se tiene la relación:
Kα = q Fαβ uβ = τd
d (pα) = τd
d (m0 uα)
Válida en todo sistema de referencia.
Cuadrivector densidad de fuerza volúmica:
En la región en que se tiene un campo de corrientes J>, que interacciona con un cam-
po electromagnético F se puede definir de igual modo el objeto:
JFD ?@⋅=
En coordenadas Lorentz se tendrá:
Dα = Fαβ Jβ , Dα es un cuadrivector
Expresemos Dα en un sistema de referencia S, donde los campos son E@
, B@
y el cua-
drivector corriente contiene la información del sistema de cargas y corrientes ρ y ⊥J>
.
J α = ρ 0 uα = (ρ 0 γ c, ρ 0 γv
>) = (ρ c, ⊥J
>)
Donde ρ, ⊥J>
serán las densidades de carga y corriente para el observador estacionario en
S. Dando valores al índice libre α = 0, 1, 2, 3, se obtienen las cuatro ecuaciones:
Dα = Fαβ Jβ = [ ][ ][ ]
î
×+==
×+==
×+==
⋅==
z
y
x
BJEJFD
BJEJFD
BJEJFD
EJc
JFD
>>>>>>>>>>>
ρ
ρ
ρ
ββ
ββ
ββ
ββ
33
22
11
00 )(1
⇒
×+⋅≡ BJE
c
EJD
>>>>>ρα ,
Las componentes espaciales nos dan la densidad de fuerza volúmica y la componente
temporal, la potencia disipada por unidad de volumen por el campo al mover las cargas.
Todo ello para el observador estacionario en S. Así pues, al cuadrivector Dα se le cono-
ce con el nombre de densidad de fuerza volúmica.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 43
Intentaremos deducir este cuadrivector densidad de fuerza volúmica Dµ como la di-
vergencia de un tensor Tσµ que, por razones que veremos luego, denominaremos tensor
energía-momento.
4. El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación:
Tensor energía-momento del campo electromagnético:
Vamos a establecer una correspondencia entre DA y un objeto de 2-orden: T, por
medio de la relación: TD δ=A
Partimos de: Dµ = Fµν J ν
Por la relación de Maxwell : J ν =0
1µ
∂σ Fσν
Sustituyendo en Dµ:
[I] µ0Dµ = Fµν ∂σ Fσν = ∂σ (Fµν Fσν) – Fσν ∂σ Fµν
Teniendo en cuenta la antisimetría del tensor campo electromagnético:
[II] Fσν ∂σ Fµν = Fνσ ∂σ Fνµ ≡ Fσν ∂ν Fσµ
con sólo cambiar en la última expresión î
→→
νσσν . Por otro lado:
[II I] Fσν ∂σ Fµν = – Fσν (Fνσ,µ + Fσµ,ν ) = – Fσν (∂µ Fνσ + ∂ν Fσµ)
al hacer uso de la segunda de las ecuaciones de Maxwell.
Sumando [II] y [III] , se obtiene:
2 Fσν ∂σ Fµν = – Fσν ∂µ Fνσ = Fνσ ∂µ Fνσ = 2
1 ∂µ (Fνσ Fνσ)
Por tanto: Fσν ∂σ Fµν =41 ∂µ (F
νσ Fνσ)
Sustituyendo en [I] queda:
( ) ( ) ( ) ( )νσνσ
µσ
σσν
µνσνσνσ
µσν
µνσµ δµ FFFFFFFFD ∂−∂=∂−∂=4
1
4
10
( ) ( )
−−∂=
−∂= νσ
νσµ
σνµ
σνσνσ
νσµ
σσνµνσ δδ FFFFFFFF
41
41
Así, la densidad de fuerza volúmica del sistema de corrientes JB es:
( ) µσ
σνσνσ
µσ
νµσν
σµ δµ
TFFFFD −∂=
+∂−=
411
0
Donde: ( )
+= νσ
νσµ
σνµ
σνµ
σ δµ
FFFFT411
0
Tensor energía-momento del CEM F
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
I 44
El tensor energía-momento contravariante, desde Tσα = Tσµ g
µα, es:
( )
+= νσ
νσσαµανµ
σνσα
µFFggFFT
411
0
Simbólicamente se representa: ( )
+⋅= FF
gFFT :
41
0µ
Y lo obtenido se corresponde con la relación geométrica que buscábamos: En la re-
gión del espacio considerada M ⊆ m4, en términos del tensor energía-momento T del
campo electromagnético F (x) / x ∈ M, la densidad de fuerza volúmica del sistema de
corrientes )(xJC / x ∈ M, es: TD δ−=D
.
Así: ∂σ Tσµ = – Fµν Jν
El tensor Tσα así construido es simétrico: Tσα = Tασ, y su divergencia tensorial da la den-
sidad de fuerza volúmica del campo electromagnético:
∂α Tασ = Dσ
Además T es un tensor de traza nula, esto es: T σσ = 0.
Evidentemente este tensor del que se deriva D no es único, se le puede sumar cual-
quier tensor de divergencia tensorial nula. Veremos en la Parte II de estos apuntes que T
es el tensor energía-momento simétrico del CEM : Θ, y que difiere del tensor canó-
nico energía-momento justo en un tensor de divergencia nula.
Contenido de T ασ en sistemas coordenados Lorentz:
En ausencia de fuentes, el tensor energía-momento es de divergencia nula:
∂α Tασ = 0
Veamos cuáles son las componentes de Tασ: En primer lugar consideremos el inva-
riante Lorentz FνσFνσ: ( ) [ ]2222
2BcE
cFF −−=νσ
νσ
Por lo tanto, para la componente temporal pura:
( )
+= νσ
νσµνµ
νµ FFggFFT 0000000 4
1
Y desarrollando el primer término del paréntesis:
2
200
c
EgFF =µ
νµν
Con lo que, agrupando términos:
( )HBEDTDDDD
⋅+⋅=2100
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 45
Que representa la densidad de energía electromagnética: U, observada para los
campos en S.
Del mismo modo las componentes temporal-espacial:
( ) ( )c
P
c
HEBEcT ii
ii =
×=×=
EEEE0
0 ε
Las componentes temporales son las componentes del vector de Poynting.
Así mismo las componentes espacial-espacial:
( ) ( )Mij
ijjiji
ij THBEDBHEDT −≡
⋅+⋅−+−=EEEE
2
δ
Donde Tij(M) es el tensor de tensiones de Maxwell.
El tensor Tασ puede escribirse en forma matricial abreviada:
( )MijTc
P
cPU
T−
= EE
ασ
Donde, como hemos visto: U = T 00. Las componentes T 0i están relacionadas con el
vector densidad de momento del campo electromagnético: 2cpgEE
= por: T 0i = c gi.
Las formas covariante y mixta son: ( )M
ijTcP
cPU
T−−
−= E
Eασ , y:
( )MijTc
P
cPU
T EE
−=σ
α
Leyes de conservación para el campo libre:
En ausencia de fuentes se anula la cuadridivergencia: ∂α Tαβ = 0, esta condición im-
plica que existen magnitudes conservadas asociadas a los campos, del mismo modo que:
∂α J α = 0, implica la ley de conservación de la carga.
• para β = 0, se tiene:
∇+
∂∂=∂= P
ct
U
cT
EE110 0α
α [Ley de conservación de la energía]
De donde: 0=∇+∂∂
Pt
U EE que es la forma diferencial para el Teorema de Poynting
cuando no existen cargas ni corrientes.
Integrando a un volumen V en S, se tiene:
∫∫∫∫ =
−⇒=∇+
SVVV
sdPrdUtd
drdPrdU
td
d EEEEEEE 333 0
Que es el Teorema de Poynting en forma integral: "La disminución de la energía
en el volumen V se debe al flujo de PF a través de la superficie S que lo encierra".
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
I 46
Las cuatro cantidades: ( )gcU
cP
cU GG
,, 2 ≡
, con: 2cPgGG = , densidad de momento elec-
tromagnético por unidad de volumen, son las componentes de un cuadrivector:
( )gcUP G,≡α
ya que la expresión: ∂α P α = 0, es covariante Lorentz.
Si se realiza la integración a un volumen V en S que no contenga cargas se tendrá:
c
WrdU
cV
=∫ G31 , donde W es la energía total electromagnética en V.
Se define: ∫=V
rdgG GGG 3 , momento total asociado al campo en V.
Así pues, las cantidades ( )GcW G, , tienen la misma expresión que el cuadrivector ener-
gía-momento de una partícula con masa m, y el campo en V puede considerarse como
una partícula cuya energía es W, y su momento total GG .
Si el campo en V fuera solamente de radiación (campo libre), la cantidad:
02
2
=⋅− GGc
W GGsería nula, lo que corresponde a una partícula de masa nula. El concepto de campo de
radiación clásico, y el asociar energía y momento a un volumen V que contenga estos
campos, es consistente con el concepto de fotón.
Si 02
2
≠⋅− GGc
W GG , no es invariante Lorentz: ( )GcW G, no es un cuadrivector.
Consideremos dos hipersuperficies espaciales σ 1 y σ 2 que delimitan el volumen
cuadridimensional R4.
La cantidad ∂αTαβ puede integrarse al volumen cuadridimensional dx4:
∫=∫ →←
∂Frontera
GaussTma
mgión
dTdxT ααβαβ
α σ4Re
4 =( ) ( )
0
22
30
11
30 =− ∫∫t
rdTt
rdTσσ
ββ GG
En el sistema coordenado Lorentz en el que el vector normal a la hipersuperficie tie-
ne únicamente componente temporal: dσ α = (dx dy dz, 0, 0, 0). La componente no nula
dσ 0 representa el volumen tridimensional observado en un tiempo t.
Lo que implica si se integra a V ≡ todo el espacio:
t tiempocon constante
)(
30 ≡∫t
rdT
σ
β G ⇒0
0
03
3
30
=
=
⇒=
∫∫
∫V
V
V rdgtd
d
rdUtd
d
rdTtd
d
GGG
Gβ
La energía y el momento total del campo se conservan
σ 2
σ 1
R4
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 47
• para β = i = (1, 2, 3), y en ausencia de fuentes:
( )Mij
j j
ii Txt
gT ∑
= ∂∂−
∂∂=∂=
3
1
0 αα [Ley de conservación del momento]
Integrado a un volumen V se obtiene:
( ) ( )∫∑∫∑∫ =∂∂=
= S
Mi
V
Mij
j jV
i dSTrdTx
rdgtd
d
βββ
HH 33
1
3
Donde hemos aplicado el Teorema de la Divergencia, siendo S la superficie que de-
limita el volumen V.
La integral: i
V
i Prdg =∫H3 , es la componente i del momento total del campo en el volumen V.
La variación del momento total del campo en el volumen V es igual al momento in-
yectado al interior de V por el mismo campo a través de la superficie S, que es lo que
representa la integral del segundo miembro.
Leyes de conservación para el campo electromagnético en presencia de fuentes:
En este caso la cuadridivergencia del tensor energía-momento es distinta de cero:
∂α Tαβ = Fλβ Jλ
Las componentes espaciales y temporales de esta ecuación en S son:
• β = 0: EJPt
U HHHH⋅=∇+
∂∂ [Ley de conservación de la energía]
[Balance de energía en todo punto del campo]
• β = i: ( ) ( )[ ]iiM
ij
j j
i BJETxt
g HH×+−=
∂∂−
∂∂ ∑
=
ρ3
1
[Ley de conservación del momento]
[Balance de momento en todo punto del campo]
Que son precisamente las ecuaciones de conservación de la energía y el momento pa-
ra campos electromagnéticos en interacción con fuentes descritas por J α ≡ ( cρ, JH).
La cuadridivergencia puede integrarse al volumen cuadridimensional dx4 del modo
siguiente:
[I] )()( 12
4Re
4
4Re
4 σσ ββα
αβαβα
β PPdSTdxTdxDFronteramgiónmgión
∫∫∫ −==∂=
Donde ∫=σ
ααββ σ dSTP )( , es el cuadrimomento
del campo electromagnético, la integral está exten-
dida a una hipersuperficie tridimensional de tipo
espacial.
σ 2
σ 1
x0
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
I 48
Escribiendo [I] en un sistema de referencia S, dx4 es el cuadrivolumen formado por
todo el espacio entre los tiempos t y t + dt. Así pues, [I] en S será:
),(),( 33
,
3 tdxPdttdxPdtcdxDdtV
βββ −+=∫Donde V es todo el volumen tridimensional en donde exista campo electromagnético.
Por lo que: ∫∫ ==VV
dxTdt
dP
dt
ddxDc 303 βββ
• para β = 0, implica: ∫∫ ⋅=−VV
rdEJrdUdt
d IIII 33
La pérdida de energía del campo se produce por el efecto de conducción de corr iente
• para β = i: ∫∫ =V
i
V
i dxDcdxTdt
d 330
Como: .33
part
V
i
V
Pdt
ddxDrdg
dt
d III−== ∫∫
Se tiene: [ ] 0=+ prtículascampo PPdt
d II
El momento total (campo+partículas) del sistema se conserva
Tensor momento angular del campo electromagnético:
Momento angular del campo electromagnético:
Hemos visto que el tensor energía-momento del campo electromagnético Tαβ es si-
métrico. Llamaremos a este tensor simétrico Θαβ para distinguirlo del tensor energía-
momento canónico ordinario. La expresión de su divergencia:
∂α Θαβ = Dβ
Resume las leyes de conservación de la energía y el momento para el campo electro-
magnético en presencia de fuentes.
Desarrollando las componentes tiempo-espacio se obtuvo:
[I] ( ) ( )[ ] iiiM
ij
j j
i fBJETxt
g −=×+−=∂∂−
∂∂ ∑
=
IIρ
3
1
Donde: 2c
HEg
III ×= , es la densidad de momento del CEM y fI
es la densidad de fuerza
volúmica (densidad de fuerza de Lorentz) del CEM .
El momento angular del campo, en el volumen V respecto de un punto fijo de vec-
tor de posición rI
, se define como:
( ) ( )∫ ×=V
dvtrgrtJ ,IIII
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 49
Veamos en qué condiciones se conserva esta cantidad. Su variación con el tiempo es:
[II] ( ) ( )( )∫∫∫ ⋅∇×+×−=
∂∂×=
V
M
VV
Trdvfrdvt
grdv
td
Jd JJJJJJJ
Donde hemos considerado que 0=∂∂
t
rJ , (momento angular respecto de un punto fijo), y
por ( )MT⋅∇J se quiere representar el vector:
[II I]( )
( )M
j
Mij
Tx
T⋅∇≡
∂∂ J
La ecuación [II ] se ha escrito teniendo en cuenta la igualdad [I] en forma vectorial:
( ) fTt
g M JJJ−=⋅∇−
∂∂
Consideremos algunas componentes del último integrando de [I I], e.g.:
por [II I]: ( )[ ] ( )( ) ( )( ) iyiiziyM
zM
xM TzTyTzTyTr ∂−∂=⋅∇−⋅∇=⋅∇× JJJJ
Que se puede escribir: ( ) ( ) ( )yTzTyTzTyTzT zzzyzyzyyyxzxyx −∂−−∂−−−∂=
Nótese que Tij es simétrico.
En la ecuación anterior, los paréntesis son términos de la forma:
( ) ( )( ) ixiM
izM
iyi MyTzT ∂=−∂
Donde: ( ) ( )( ) ( )( )xMi
Miz
Miyix rTyTzTM J×=−=
Del mismo modo, las componentes y, z:
( ) ( )( ) ( )( )yM
iM
ixM
iziy rTzTxTM J×=−=
( ) ( )( ) ( )( )zMi
Miy
Mixiz rTxTyTM J×=−=
Se puede construir el pseudotensor de 9 componentes densidad de momento:
( ) rTM M KL×=
Y la expresión del trivector ( )( )[ ]MTr ⋅∇× JJ , se puede escribir:
( )( ) MTr M ⋅∇−=⋅∇×JJJ
La integral ( )∫ ×V
frdvJJ es el par resultante impartido por el campo a las cargas y co-
rrientes en el volumen V, y por tanto será igual a la variación con el tiempo del mo-
mento angular total mecánico de las masas asociadas a las cargas y corrientes, esto es:
( )td
dLfrdv
V
=×∫ JJ
Así la ecuación [II] queda:
[IVa] ( ) ( ) ∫∫ ⋅−=⋅∇−=+SV
MsdMdvLJtd
d JJJJ
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
I 50
Que escrito en componentes es:
[IVb] ( ) ∫∫ ⋅−=∂−=+S
iji
V
iji
j MdsMdvLJtd
d MM
"La variación del momento angular total del sistema en el volumen V está provocada
por el flujo de momento angular del campo a través de la superficie S que delimita a V"
La cantidad ( ) rTM M NO×= , transmite el momento angular del mismo modo que T(M) (el
tensor de tensiones de Maxwell), es el transmisor de momento lineal a través de S.
Las ecuaciones [IV] pueden escribirse como una ecuación de continuidad:
[V] ( ) frMgrt
MMMMM ×−=⋅∇+×∂∂
Que en los puntos de V en los que no existan partículas sobre las que el campo pueda
producir momento se reduce a:
( ) 0=⋅∇+×∂∂
Mgrt
MMM
Generalización covariante:
Obtener la ecuación [V] requiere formar el vector densidad de momento angular
frMM × , que en 3 dimensiones tiene 3 componentes independientes y se transforma como
un pseudovector.
Si desde la expresión ∂α Θαβ = Dβ, en la que aparece el cuadrivector densidad de
fuerza queremos formar una cantidad análoga que sea invariante Lorentz, tendremos
que expresar dicha cantidad con las componentes de un tensor antisimétrico de 2º orden:
µννµµν DxDxM −=
Tensor momento de la densidad de fuerza volúmica. En un sistema S dado, Mµν ten-
drá por componentes espaciales:
ijjiij DxDxM −=
( )zfrMMM ×=12 , ( )yfrMM
MM ×−=−= 3113 , ( )xfrMMM ×=23
Donde: [ ]BuEBJEfMMMMMMM ×+=×+= ρρ
Y las componentes espacio-temporales:
⋅−=⋅−=⋅−=−=c
ufxtfc
c
Euxtfc
c
EJxtfcMM iiiiiiii
MMMMMM ρ00
El procedimiento seguido sugiere utilizar la expresión del cuadrivector fuerza:
∂α Θαβ = Dβ
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 51
De modo que: ( ) αµνα
νµµναµνανµα
αµα
νανα
µµν P∂=Θ−Θ+Θ−Θ∂=Θ∂−Θ∂= xxxxM
Donde escribimos un tensor energía-momento simétrico Θ.
Consideremos el tensor de tercer orden densidad de momento angular Q αµν:∗
ανµαµνανµαµν PP −=Θ−Θ= xx
Como se ve, antisimétrico respecto de los dos últimos índices, y respecto del que se
deriva otra variable dinámica: el tensor momento angular Lµν, que viene dado por:
∫≡σ
αµνα
µν σ PdL
La simetría del tensor energía-momento está relacionada con la conservación del ten-
sor momento angular. En efecto, si Lµν se conserva, esto es, si se considera un sistema
en el que no hay cargas ni corrientes (caso del CEM libre), Q αµν cumple una ecuación
de continuidad: 0=∂ αµνα P
Esto es: ( ) ( ) 0=Θ−Θ∂−Θ+Θ∂ νµναµα
µνµανα xx
Vemos que el hecho de escribir la densidad de momento angular en términos de un
tensor energía-momento simétrico: νµµν Θ=Θ , en caso de que éste se conserve:
0=Θ∂ αµα , garantiza la conservación del momento angular.**
Consecuencias de la conservación del momento angular:
Acabamos de ver que la ecuación: 0=∂ αµνα P , implica la conservación del momento
angular del campo libre en forma covariante.
Las ecuaciones que tienen interpretación física son: 00 =∂ kαα P
Considerando α = l (1, 2, 3), k = 1, 2, 3, se obtiene:
( )Mlklklk Ttgx +=0P
• para l = 0: kkk gtcWx 200 +=P
Donde se ha considerado la expresión en componentes de Θαβ , siendo gl la compo-
nente l del trivector densidad de momento en S, W la densidad de energía y xk la com-
ponente k del trivector posición del elemento de volumen en S. ( )MlkT son las componen-
tes lk del tensor de Maxwell .
* Diferente del tensor (canónico) definido a partir del tensor energía-momento canónico.** Véase: A.O. Barut op. cit. Cap. III Sec.4, y: M. Brédov, V. Rumiántsev: Electrodinámica Clásica, EdMir 1986. Secc.16.1, 16.2 y Comp. VI.
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
I 52
La ecuación de conservación: 00 =∂ kαα R reproduce las componentes de la ecuación
vectorial: ( ) ( )( ) 022 =+⊗⋅∇+−∂∂ MTtrgcgtcWrt
SSSSS
Donde ⊗ es el producto diádico de vectores, en este caso un tensor de componentes:
[ ] [ ]ijjiij rgrg ⋅=⊗
SS
Esta ecuación se puede integrar en S, a todo el espacio para un tiempo dado t, de modo
que: ( ) ( )( ) 022 =+⊗+− ∫∫S
M
V
sdTtrgcdvgtcWrtd
d SSSSS
Para una superficie S que englobe todo el volumen donde existe campo, la integral de
superficie es nula.
La integral: dvWrV∫S
, se puede utili zar para definir el centro de masas del campo:
dvWrWdvW
dvWr
rVT
V
VCM ∫∫
∫==
SS
T 1
Del mismo modo que el centro de masas en mecánica, ya que 2cW es la densidad de
masa equivalente a la energía W.
Así, el resultado de la integración al volumen V podrá expresarse:
( ) 02 =− PtcrWtd
dCMT
SS
Siempre que el momento y la energía se conserven, la ecuación anterior es la ley de
movimiento del centro de masas del campo:
Pctd
rdW CM
T
SS2=
Con lo que la velocidad del centro de masas del campo es:
TCM W
Pcv
SS 2
=
Propiedades del tensor U U ααµµνν :
a) Es antisimétrico en los dos últimos índices: R αµν = – R ανµ.
b) Es un tensor de 3er rango, por tanto tiene 43 = 64 componentes.
c) Por antisimetría, las 16 componentes R αµµ son nulas.
d) De las 48 componentes no nulas, por la antisimetría R αµν = – R ανµ, quedan sólo 24 componentes
independientes.
e) De estas 24 componentes, sólo las 12: R αkl = – R αlk, con kl = 12, 23, 31, relacionan el flujo de
momento angular y el momento angular del campo.
0
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
I 53
f) De estas 12 componentes, 9 se identifican con las componentes del pseudotensor rTM VWW×= , que
representa la densidad de flujo de momento angular, para α = 1, 2, 3.
g) Las otras tres: X 0kl = – X 0lk, se refieren a las componentes del vector gr YY × y representan la densi-
dad de momento angular.
h) Las tres componentes independientes del tensor antisimétrico Mkl = ∂ α X αkl, con kl = 12, 23, 31,
dan la descomposición vectorial de: ( ) frMgrt
YYZYYY ×−=⋅∇+×∂∂
, que describe cómo se conserva el
momento angular.
i) Las tres ecuaciones Mµν = ∂ α X αµν = 0, con µν = 10, 20, 30, implican tres magnitudes conservadas,
y describen el movimiento del centro de masas de un campo electromagnético como uniforme. Esto
es, que se comporta como un sistema libre con velocidad: T
CM W
Pcv
YY 2
= .
5. Transformaciones gauge:
El tensor campo electromagnético no queda determinado por un único cuadrivector
Aµ. Cualquier transformación a partir de Aµ de la forma:
[I] µµµµµ ,Λ+=∂
Λ∂+=′ Ax
AA con: Λ escalar Lorentz
Define un nuevo cuadrivector potencial A'µ que da lugar al mismo campo electromag-
nético. En efecto:
F'µν = Aν,µ + Λ,νµ – Aµ,ν – Λ,µν = Fµν luego: F'µν = Fµν
Y los campos son invariantes ante dicha transformación de potenciales. Tal transforma-
ción se conoce como una transformación gauge.
Únicamente las cantidades invariantes gauge serán observables físicos.
Las ecuaciones del campo: νµνµ
µνµ µ JFF 0, ==∂ , toman la forma en función del cua-
dripotencial: νµµ
ννµ
µνµµ
µνµ
µνµ µ JAAAAF 0
,,
,,, =∂∂−∂∂=−=
Se puede hacer uso de la transformación [I] , de modo que se tenga un Aµ tal que:
∂ µAµ = 0, esto es: 0=∂∂
µ
µ
x
A condición de gauge de Lorenz*
En este gauge, las ecuaciones de campo se escriben simplemente:
[Aµ = µ 0 J
µ con: 0=∂∂
µ
µ
x
A
* Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en lasque aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido Hendrik A.Lorentz. (Véase: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294).
Transformaciones gauge
I 54
Elegir potenciales del gauge de Lorenz es siempre posible. En efecto, si Aµ no cum-
ple dicho gauge, se transforma a \ µ con una función Λ de modo que:
\ µ = Aµ – Λ , µ
En donde ∂ µAµ ≠ 0, según la hipótesis.
Al exigir que \ µ cumpla la condición de Lorenz:
\ µ , µ = Aµ
, µ – Λ ,µ , µ = ∂ µAµ – ∂ µ ∂µ Λ = 0
Hay que escoger una función Λ que cumpla que:
∂ µ ∂µ Λ = ∂ µAµ
Aún dentro del gauge de Lorenz, los potenciales siguen estando indeterminados. Si
Aµ es de Lorenz, \ µ también lo será si transformamos con Λ tal que ] Λ = 0.
*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** **
Las métricas de la relatividad especialMétr icas pseudoeuclídeas para m4:
Reproducen la invariancia del intervalo: 22 sdxdxdgdxdxgds ′=′′== νµµν
νµµν
−−
−=
11
11
µνg
−
=
11
11
~µνg
2−=µνgTr 2~ +=µνgTr
( )rtcx ^,=µ ( )rtcx ^−= ,µ ( )rtcx ^,~ =µ ( )rtcx ^,~ −=µ
∇−∂=∂ ^,
1tc
µ
∇∂=∂ ^,1
tcµ
∇∂−=∂ ^,1~
tcµ
∇∂=∂ ^,1~
tcµ
Las leyes del electromagnetismo en m4:
A partir del tetrapotencial:
= AcA ^,φµ , y del tetravector corriente: ( )JcJ ^,ρµ = :
µννµµν AAF ∂−∂= µννµµν AAF ∂−∂=~~~
0=∂ ∗ µνµ F νµν
µ µ JF 0=∂ 0~~
=∂ ∗ µνµ F νµν
µ µ JF 0~~
−=∂Para cambiar de tensor métrico hay que permutar los índices del tensor F.
El espacio de coordenada imaginaria:Una alternativa al espacio-tiempo real de 4 dimensiones con métrica indefinida (R4; ηµν) es el
espacio (I × R3; δµν), en el que: 22 sdxdxddxdxds ′=′′== νµµν
νµµν δδ
( )rtcix ^,=µ ( )rtcix ^,=µ
∇∂−=∂ ^,t
c
iµ
∇∂−=∂ ^,t
c
iµ
Como la métrica es euclídea, las componen-tes contravariantes coinciden con las cova-riantes.
Las leyes del electromagnetismo en el espacio de coordenada imaginar ia:
En este espacio de coordenada-0 imaginaria,
= AciA ^,φµ , ( )JciJ ^,ρµ = , se verifica que:
µννµµν AAF ∂−∂=0=∂ ∗ µν
µ F νµνµ µ JF 0=∂
La forma explícita del tensor campo electro-magnético es:
−−
−−−−
=
00
00
xyzci
xzyci
yzxci
zci
yci
xci
BBEBBE
BBEEEE
F µν
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 1
Formulación Lagrangiana del campo electromagnético
1. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético:
La Lagrangiana Relativista:
Ha de generar las ecuaciones del movimiento a través de:
[I ] 0=∂∂−
∂∂
ii qqdt
d
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Donde: ( )tqq ii ,,
=
, Lagrangiana del sistema con n grados de libertad, que será función
de las coordenadas generalizadas: ( ) nii tq 1= , las velocidades generalizadas: ( ) n
iii tqq 1' =≡
,
y eventualmente del tiempo t. Con la definición del momento canónico conjugado de la
coordenada iq : i
i qp
∂∂=
, las Ecuaciones de Euler-Lagrange toman la forma:
i
i
qdt
dp
∂∂=
a) Para la partícula libre:
Con la Lagrangiana: 2
220 1
cvcm −−=
Se tiene, por [I] : ( ) 0=imvdt
d
Que son las ecuaciones del movimiento de una partícula libre de masa:2
20
1
1
cv
mm−
=
b) Para la partícula en un campo conservativo:
Con: ( )iqΨ , energía potencial o potencial conservativo, tal que: Ψ∇−= F ,
la Lagrangiana será: Ψ−−−= 2
220 1
cvcm
Pues genera, por [I]: ( ) ii
i Fx
mvdt
d =∂Ψ∂−=
Ecuaciones de movimiento de una partícula de masa m sometida a una fuerza: Ψ∇−= F .
c) Para la partícula en un campo conservativo generalizado, (carga en un CEM):
Si se considera la función potencial ( )ii qqU
, / vAqqU ⋅−= φ , potencial generalizado*.
La Lagrangiana será: vAqqc
vcm ⋅+−−−= φ2
220 1
Los momentos canónicos son: iii qAmvp += , y las ecuaciones del movimiento:
dt
dp
qi
i
=∂∂
, desarrollando:
∂∂+
∂∂
+∂∂+
∂∂−=
∂∂
zz
yy
xx v
x
Av
x
Av
x
A
xq
x
L φ
* Véase: H. Goldstein, Mecánica Clásica. Secc. 1-5, 7-8.
Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas
II 2
( ) ( )
∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=+t
A
dt
dz
z
A
dt
dy
y
A
dt
dx
x
Aqvm
dt
dqAvm
dt
d xxxxxxx
( )
∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂+=
t
Av
z
Av
y
Av
x
Aqvm
dt
d xz
xy
xx
xx
Igualando: ( )
∂∂−
∂∂+
∂∂−
∂∂
+∂
∂−∂∂−= z
xzy
xyxx v
z
A
x
Av
y
A
x
A
t
A
xqvm
dt
d φ
( )( ) ( )[ ]xxxx BvEqAvt
A
xq ×+=
×∇×+
∂∂
−∂∂−= φ
Ya que:t
AE
∂∂−∇−=
φ , y: AB ×∇=
Resultan las ecuaciones del movimiento de una partícula de carga q y masa
2
20
1
1
cv
mm−
= sometida a la fuerza de Lorentz:
( ) ( )BvEqvmdt
d ×+=
Hemos derivado la fuerza de Lorentz desde un potencial generalizado:
∂∂+
∂∂−=
xx v
U
dt
d
x
UF
( ) ( ) ( )
⋅−
∂∂−⋅−
∂∂−=−
∂∂= vA
vdt
dvA
xq
dt
dAq
xvm
dt
d
x
xx φφ
2. Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas:
El procedimiento anteriormente expuesto es relativista, pues es válido, no importa
cual sea la velocidad de la partícula y se reduce a las expresiones usuales en Mecánica
Galileana cuando v << c. Sin embargo, la formulación no es covariante, es decir, válida
en cualquier sistema de coordenadas, pues ( ) φ,,,,,, Avzyxt son: tiempo, posiciones, velo-
cidad y funciones particulares de un sistema inercial S determinado.
Vamos a escribir la ecuación de movimiento:
[I] ( ) ii Fmvdt
d =
En cualquier sistema coordenado Lorentz. La generalización al espacio de Minkowski
es evidente: [II] ( ) µµ
τkum
d
d =0
Donde µk es el cuadrivector fuerza, µu el cuadrivector velocidad y τd el invariante o
escalar tiempo propio. Esta relación es independiente del sistema coordenado.
Veamos si se puede expresar la forma [I] de la forma [II] : Si la fuerza aplicada sobre
la carga q es la fuerza de Lorentz: ( )
+⋅−
∂∂−=
dt
dAAv
xqF
i
ii φ , teniendo en cuenta que
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 3
Ac
,φ son las componentes del cuadrivector:
≡ AcA
,φµ en S, y la velocidad v
de la
partícula corresponde a la cuadrivelocidad ( )vcu
,γµ ≡ en S, el producto escalar: µµuA
(invariante Lorentz), será: ( )vAuA
⋅−= φγµµ .
Por otra parte: τγ
ττ d
dA
dt
d
d
dA
dt
dA iii
== 1 , donde 2211
cv−=γ
; por lo que iF podrá ob-
tenerse como:
[II I] ( )
−⋅
∂∂⋅⋅
=
τγ µµ
d
dAuA
xqF i
ii
1
El corchete que aparece en [II I] contiene las componentes espaciales de un cuadrivector
µk definido como: ( )
−⋅
∂∂⋅=
τµ
νν
µµ d
dAuA
xqk
• Las componentes espaciales µ = i = 1, 2, 3 de dicho cuadrivector están relacionadas
con la fuerza tridimensional en S del modo: ii kF
=
γ1
• La componente cero de µk se obtendrá de:
( ) 022
200
0 =
=
== cm
d
duu
m
d
duum
d
duk
τττ µµ
µµ
µµ
Así, de: 0=⋅uk
, ó bien: 0=µµuk , se tiene:
000 =− i
i ukuk ⇒ vFck
γγγ ⋅=0 ⇒c
vFk
⋅= γ0
Luego en S se tiene:
⋅≡ iFc
vFk
,γµ
• para: µ = 1, 2, 3: ( ) ii kumd
d =0τ, evidentemente reproduce en S la ecuación:
( ) Fvmdt
d = con: 0mm γ=
• para: µ = 0: ( ) 000 kum
d
d =τ
, resulta: ( ) ( ) ( )cmdt
dcm
dt
d
d
dt
c
vFcm
d
d γγγτ
γγτ 000 ==⋅=
,
Y, por tanto: ( ) vFmcdt
d ⋅=2
La potencia suministrada por el campo de fuerzas se emplea en variar la energía ci-
nética de la partícula.
La Lagrangiana Covariante:
Las Lagrangianas consideradas hasta ahora son relativistas, pero no covariantes. No
todo problema relativista podrá plantearse en forma covariante, pues las fuerzas que
Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas
II 4
consideremos han de tener propiedades de transformación adecuadas. Hemos usado las
fuerzas electromagnéticas porque se pueden escribir de forma covariante, sin embargo,
la formulación de de la forma:
vAqc
vcm ⋅+−−−= φ2
220 1
Que conduce a las ecuaciones del movimiento mediante:
[I] 0=∂∂−
∂∂
ii xvdt
d
O bien la ecuación variacional para el principio de Hamilton:
0=Iδ donde: ∫=2
1
t
t
dtI
No es apta para trabajar en el espacio-tiempo pues se refiere a los valores observados en
S. También se observa que en [I] se singulariza el papel de t, siendo en realidad 0x en
m4 una coordenada más, no distinta de las otras tres ix .
Una teoría covariante no ha de hacer referencia a ningún sistema coordenado espe-
cial y ha de tratar a todas las coordenadas por igual.
Lagrangiana de la partícula en m4:
La trayectoria de una partícula en m4 es su línea de Universo, que vendrá descrita
por: ( )τµµ xx = , donde τ es un parámetro arbitrario que describe el progreso de la partí-
cula en esta línea de Universo.
Así, hemos de considerar una Lagrangiana ( ) ( )( )τττ µµ ,, xx = , que será función de
las coordenadas, las "velocidades", y de τ en general.
µ2x
µ1x
( )τµx
( ) ( )τδτ µµ xx + Para un valor de 1ττ = , se tendrá el
punto ( )11 τµx y para otro 2τ , el punto
( )22 τµx . Entre estos dos puntos la tra-
yectoria será la línea de Universo:
( )τµµ xx =
Y esa será la función que tendrá que determinarse por las ecuaciones del movimien-
to, una vez resueltas con las condiciones de contorno adecuadas (valores en τ =τ1, y en
τ =τ2).
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 5
Entre todas las posibles trayectorias, la descrita físicamente será aquella que haga
estacionaria la integral: ( ) ( )( )∫=2
1
,,τ
τ
µµ ττττ dxxI
Esto es, se precisa que: 0=Iδ ; sobre toda trayectoria variada, para τ fijo.
Así, en lugar de ( )τµµ xx = , se consideran las trayectorias variadas:
( ) ( )τδτ µµµ xxx +=
( ) ( )τδτ µµµ xxx +=
Efectuando la variación del integrando:
µµ
µµ δδδ x
xx
x∂
∂+∂∂=
Hagamos uso de la relación: ( )µµ
δττ
δ xd
d
d
dx =
[variación de la derivada = derivada de la variación]
Y la anterior variación de quedará:
( )
∂∂+
∂∂−
∂∂=
∂∂+
∂∂= µ
µµ
µµµ
µµ
µ δτ
δτ
δτ
δδ xxd
dx
xd
d
xx
d
d
xx
x
De los dos términos que aparecen en τd
d , uno se ha restado para mantener la igualdad.
Por tanto, la variación que se produce en I : δ I, será:
τδτ
τδτδδ µτ
τµµ
τ
τ
τ
τ
dxxd
d
xddI ∫∫ ∫
∂∂−
∂∂===
2
1
2
1
2
1
La segunda integral se anula, por ser 0=µδ x en 21, ττττ == , en efecto:
2
1
2
1
τ
τ
µµ
τ
τ
µµ δτδ
τ
∂∂=
∂∂∫ x
xdx
xd
d
La variación µδ x es arbitraria en el intervalo, pero ( ) ( ) 021 == τδτδ µµ xx , para fijar las
condiciones de contorno.
Si 0=Iδ , siendo la variación µδ x arbitraria en el intervalo, se tendrá:
[II] 0=
∂∂−
∂∂
µµ τ xd
d
x
para todo µx
Que son las ecuaciones del movimiento, totalmente análogas a las de Euler-Lagrange:
[I ], pero ahora sin hacer referencia a ningún sistema coordenado especial. En particular
será la Lagrangiana covariante:
( ) ( )( )τττ µµ ,, xx =
Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas
II 6
Tal que por [II ] reproduzca las ecuaciones del movimiento:
( ) µµ
τkum
d
d =0
Que traducidas al sistema coordenado S dan:
( )
( )î
⋅=
=
vFcmdt
d
Fvmdt
d
2con:
2
20
1
1
cv
mm
−=
Que representan la transferencia de energía y momento del campo de fuerzas a la partí-
cula de masa propia m 0.
Ejemplos de Lagrangianas covariantes:
a) Lagrangiana de una partícula libre (no sometida a fuerzas externas):
Por medio de [II ] tendrá que reproducir:
( ) 00 =µ
τum
d
d .
La analogía de la anterior ecuación con: ( ) 0=ivmdt
d , cuya Lagrangiana es: ii vmv2
1=
,
sugiere para covariante:
νν uu
m
20=
Que es un escalar Lorentz. Como:
0=∂∂
µx
; µµ
µpum
u==
∂∂
0
Aplicando [I I] se obtiene: ( ) 00 =µ
τum
d
d
El resultado esperado, un línea recta en m4. El cuadrimomento: µµ ump 0= , no varía con
τ sobre la línea de Universo, una línea con vector tangente u constante para τ:
0=ud
d τ
b) Lagrangiana de una partícula en un campo electromagnético externo:
Vamos a considerar la Lagrangiana:
λλ
µµ Auquu
m+=
20
Con: λλ
λ
τx
d
dxu == , luego los momentos canónicos son: νννν Aqum
xp +=
∂∂= 0
.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange conducen a:
( ) ( )λλ
ννντAuq
xqAum
d
d
∂∂=+0
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 7
Que se puede escribir como:
( ) ( ) νν
λλ
νν ττk
d
dAAu
xqum
d
d =
−
∂∂=0
( )
( )î
=
=⇒
vFcmdt
d
Fvmdt
dii
.2
Con: ( )
−
∂∂=
τν
λλ
νν d
dAAu
xqk , que es la fuerza de Minkowski correspondiente al campo
electromagnético que actúa sobre la partícula.
En efecto, con el término: ααν
α
ανν
ττx
x
A
d
dx
x
A
d
dA ∂∂=
∂∂=
Resulta: νλλ
λν
νλλα
αν
νλλ
ν Fuqx
A
x
Auqu
x
A
x
Auqk =
∂∂
−∂∂
=
∂∂
−∂∂
=
Pues λλ ux = , y se renombra el índice mudo: α = λ. Tenemos que: λν
νλ
νλx
A
x
AF
∂∂
−∂∂
= es el
tensor campo electromagnético. Así:
uFqk
= Cuadrivector fuerza de Lorentz
Momento canónico de la partícula en un campo electromagnético externo:
Como se ve, los momentos canónicos difieren del momento canónico de la partícula
libre en el término que toma en cuenta el potencial electromagnético.
• para p0:c
E
c
qT
c
qcm
cqcmp =+=+=+= φφφγ
2
00
Donde φqTE += es la energía total de la partícula. La componente temporal del mo-
mento canónico proporciona la energía total.
• para pi: iii Aqump += 0
Con las componentes contravariantes: iii Aqpum −=0 y las covariantes: iii Aqpum −=0 ,
realizando el producto escalar miembro a miembro, resulta:
El primer miembro de la igualdad:
220
20 cmuum i
i =
El segundo miembro será:
( )( ) ( )
( ) ( )22
222
0
00 ,,
Aqpc
TAqp
cqp
Aqpc
qpAqpc
qpAqpAqp iiii
−−=−−
−
−−−⋅
−−=−−
φ
φφ
Por lo que: ( ) 420
222 cmcAqpT +−=
Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas
II 8
Donde: p es el trimomento, y: ( )zyx AAAA ,,=
, la función potencial vector. Las compo-
nentes espaciales del momento canónico proporcionan la energía cinética T.
El Hamiltoniano Relativista:
Utilizando la expresión de la Lagrangiana relativista:
vAqqc
vcmvAqqcm
⋅+−−−=⋅+−−= φφγ 2
220
20 1
Con los momentos canónicos: iii
i Aqmvv
p +=∂∂=
, donde:
2
2
0
1c
v
mm
−=
Obtenemos el Hamiltoniano del modo usual:
∑ −=
iiR vpH
( ) vAqqc
vcmvAqmvvAqmv iii
⋅−+−+⋅+=−+= ∑ φ
2
22
02 1
φφφ qTqmcqc
vmcmv +=+=+
−+= 2
2
222 1
Resulta que: φqTHR += Energía total de la partícula. Aparecerá en la componente
temporal del cuadrimomento: c
H
c
qTp R=+= φ0 .
Si expresamos T, como veíamos anteriormente, en función de los momentos canóni-
cos: ( ) 420
22cmcAqpT +−=
, entonces HR también se puede escribir como:
( ) φqcmcAqpH R ++−= 420
22
El Hamiltoniano Covariante:
Generalizando la expresión correspondiente al Hamiltoniano relativista se obtendrá:
−= λλ upHC
Donde es la Lagrangiana covariante: λλ
λλ Auquu
m +=2
0.
Las ecuaciones del movimiento serán ocho en total, dadas por las ecuaciones de Ha-
milton: [I]τλ
λ d
dx
p
HC =∂∂ ;
τλ
λ d
dp
x
HC −=∂∂
Donde el tiempo t ha sido generalizado al invariante τ. Las anteriores ecuaciones son
obviamente invariantes Lorentz.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 9
Con los momentos canónicos definidos como: λλλ Aqump += 0 , el Hamiltoniano co-
variante toma la expresión:
λλ
λλ
λλ
λλ
λλ uu
mAuquumuAquumHC 22
1 000 =−−+=
λλ uu
mHC 2
0=
O en función de los momentos canónicos:
[II] ( )202
1 ∑ −=λ
λλ Aqpm
HC
Que se empleará en [I] para obtener las ecuaciones del movimiento.
Con este Hamiltoniano, la parte espacial de las ecuaciones [I] debe conducir a las
ecuaciones del movimiento. Además, hay dos ecuaciones adicionales que se obtienen
con el índice λ = 0. Una de ellas simplemente indica que p0 es proporcional a la energía
total, resultado ya obtenido anteriormente.
En efecto, derivando en [II] :
τd
dxu
m
Aqp
p
HC 00
0
000
==−
=∂∂
Por tanto cmumAqp γ00000 ==−
De donde:c
qT
c
qmccqmcp
φφφ +=+=+=2
0 ⇒ c
Ep Total=0
3. Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana
Formulación Lagrangiana para sistemas continuos:
Toda la formulación Lagrangiana discutida hasta el momento ha sido diseñada para
tratar sistemas con un número finito de grados de libertad.
En algunos sistemas mecánicos, los sistemas continuos, el movimiento se ha de des-
cribir especificando para todos los puntos las coordenadas en función del tiempo.
P. ej. al estudiar las vibraciones de un sólido elástico ha de expresarse cómo contri-
buye a la oscilación cada uno de los puntos del sólido.
El método más sencil lo para considerar las vibraciones del sólido es considerarlo
como un sistema discreto y pasar entonces al límite continuo, obteniendo en este las
ecuaciones de movimiento.
Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana
II 10
Transición del sistema discreto al sistema continuo:
Consideremos un sólido elástico unidimensional infinitamente largo (varilla elástica)
que puede vibrar longitudinalmente, esto es sus partículas constitutivas oscilan en la
dirección de vibración en torno a sus posiciones de equilibrio.
El sistema se aproxima a una sucesión (discreta) de partículas, dispuestas en cadena,
de masa m, con puntos de equilibrio separados una distancia a, sobre las que actúan
fuerzas elásticas recuperadoras de constante k.
El esquema sobre el que se desarrollará el estudio es el siguiente:
η i – 1 η i η i + 1
Llamando ηi al desplazamiento de la partícula i-ésima desde su posición de equil i-
brio, la energía cinética de la misma será:
2
21
imT η= , y para todo el sistema: ∑∞
=
=1
2
2
1
i
imT η
La energía potencial será de la forma: ( )∑∞
=+ −=
1
212
1
i
iikV ηη
k es la constante elástica del material, que aparece en la ley de Hooke.
Ya que, en efecto, la fuerza sobre la partícula i se obtendrá derivando dicha expre-
sión respecto de ηi :
( ) ( )11 −+ −−−=∂∂−= iiii
ii kk
VF ηηηη
η
El término ( )iik ηη −+1 da la fuerza recuperadora debida a la interacción elástica con la
partícula de la derecha y ( )1−−− iik ηη , con la partícula de la izquierda.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 11
La Lagrangiana del sistema será:
( )[ ]∑∞
=+ −−=−=
1
21
2
2
1
i
iii kmVT ηηη
Que se puede también escribir de la forma:
iii
iii a
aak
a
ma
∑∑∞
=
∞
=
+ =
−−=
11
212
21 ηηη
Como suma de Lagrangianas de todas las partículas. Las correspondientes ecuacio-
nes de movimiento ηi(t), se obtienen sin más que aplicar las condiciones de Euler-
Lagrange a las coordenadas generalizadas iη , iη :
0=∂∂−
∂∂
iitd
dηη
⇒ 0
21
21 =
−+
−− −+
aak
aak
a
m iiiii
ηηηηη Ecuaciones de movimiento
Consideraciones en el paso al continuo:
1º) El límite continuo para el sólido elástico unidimensional se obtendrá para a→0. Cla-
ramente la cantidad µ→a
m , (masa por unidad de longitud del sistema continuo), pero el
valor límite de ka no es tan evidente.
2º) Para un sólido elástico que cumpla la ley de Hooke, el alargamiento por unidad de
longitud es directamente proporcional a la fuerza o tensión aplicada, relación que se
puede escribir:
∆=YF , esto es: ξYF =
Donde ξ es el alargamiento por unidad de longitud e Y es el módulo de Young. Es evi-
dente que el alargamiento de una longitud a de un sistema discreto, por unidad de lon-
gitud, es: ( )a
ii ηηξ −= +1
La fuerza necesaria para estirar el resorte esta cantidad es:
( ) ξηηηη aka
akkF iiii =
−=−= +
+1
1
Por lo que ka debe corresponder al módulo de Young de la varilla continua.
3º) Al pasar del caso discreto al límite continuo, el índice entero i que caracteriza a la
masa puntual particular se convierte en la coordenada de posición continua x. Así, para
a→0, ηi →η (x). La coordenada generalizada ηi pasa a ser la función campo η (x).
Además, como ηi (t), entonces: η (x, t).
Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana
II 12
Por tanto, la cantidad ξ en el límite:
dx
d
a
xax
a a
ii
alimlim ηηηηη =−+=−
→+
→
)()(0
1
0
Ya que a pasa a desempeñar el papel de dx.
4º) De igual modo, la suma extendida a todas las partículas se convierte en una integral
sobre x, la longitud de la varilla, y la Lagrangiana del sistema aparece como:
[I] ∫
−= dx
dx
dY
22
2
1 ηηµ
5º) En las ecuaciones de movimiento, en los dos últimos términos se tiene en el paso allímite:
î
−
−
−→ axxa dx
d
dx
d
a
Ylim ηη0
Que define claramente una segunda derivada de η en x.
Por tanto, la ecuación de movimiento para el sólido elástico unidimensional será:
[II] 02
2
2
2
=−xd
dY
td
d ηηµ
Ecuación de ondas unidimensional, con velocidad de fase: µY
v = , que tendrá que
satisfacer la función η (x, t).
Consideraciones:
1ª) Por un proceso variacional enunciado para [I], ha de ser posible obtener la ecuación
de ondas [I I].
2ª) Lo más importante a considerar es el papel que desempeña la coordenada de posi-
ción x. ¡No es una coordenada generalizada!. Sólo sirve como índice continuo que sus-
tituye al índice discreto i. Así como a cada valor de i le corresponde una coordenada
generalizada distinta ηi , a cada valor de x le corresponde η η (x): coordenada generali-
zada. Como ηi depende del parámetro t, puede considerarse la coordenada generalizada
η (x) dependiente también de t:
η (x, t)
3ª) Si el sistema continuo es tr idimensional, la coordenada generalizada depende de
tres índices continuos además de t, por lo que tendremos que considerar:
η (x, y, z, t)
En este caso, la Lagrangiana tendrá la forma:
[II I] dzdydx∫ ∫ ∫=
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 13
Donde ! se conoce como Densidad Lagrangiana* del sistema.
Para las vibraciones longitudinales estudiadas anteriormente en el sólido lineal, la
densidad Lagrangiana será:
[I]
î
∂∂−
∂∂=
22
2
1
xY
t
ηηµ"
* También recibe los nombres de Lagrangiano (en Teoría de Campos), o sencillamente Lagrangiana.
Que corresponde al límite continuo de la Lagrangiana # i . Es la densidad Lagrangia-
na, la magnitud que determina la descripción del movimiento del sistema.
En síntesis, para las ecuaciones de movimiento vistas en el caso discreto:
02
12
1 =
−+
−− −+
aak
aak
a
m iiiii
ηηηηη$$
Tendremos: ( )2
2 ,
t
txi ∂
∂⇒ ηη$$ Y el término:
−
+
−
− −+2
12
1
aka
aka iiii ηηηη
Que podrá ponerse: ( )xen
ii
x
tx
a ∂∂⇒−+ ,1 ηηη Y: ( )
xxen
ii
x
tx
a ∆−
−
∂∂⇒− ,1 ηηη
Así pues tendremos, si: ka =Y ⇒ ( ) ( )
î
∂
∂−
∂
∂−∆− xxx
x
tx
x
tx
a
Y ,, ηη ⇒ ( )2
2 ,
x
txY
∂∂− η
Y, por tanto, en el límite continuo, las ecuaciones de movimiento son:
[II] 02
2
2
2
=∂∂−
∂∂
tY
t
ηηµ
Sobre un principio de acción correctamente formulado con la densidad Lagrangiana
! y aplicando las ecuaciones resultantes (ecuaciones de Euler-Lagrange), se podrán ob-
tener las ecuaciones que cumple el campo (ecuaciones [II] ). Este será el objetivo a con-
seguir.
Lagrangiana de un sistema continuo:
En [I ], la Lagrangiana depende de:
∂∂=
t
ηη$ , y de:
∂∂
x
η , siendo x, t, considerados
como parámetros. En general, en un sistema continuo tridimensional, la densidad La-
grangiana puede depender de funciones, y de sus derivadas espaciales y temporales; de
η (x, y, z, t), así como explícitamente de x, y, z, t. Entonces la densidad Lagrangiana
tendrá una expresión general:
Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange
II 14
[IV]
∂∂
∂∂= tzyx
txk
,,,,,,ηηη%%
; xk = x, y, z
4. Principio variacional en m4 Ecuaciones de Euler-Lagrange:
Principio variacional en m4:
Las ecuaciones de movimiento provendrán de un principio variacional del mismo
modo que en el caso discreto, a partir de una acción definida de la forma:
∫ ∫∫∫=2
1
dtdzdydxI%
Donde x, y, z, t son considerados como parámetros. En el volumen de integración:
(x, y, z) ∈ V; t ∈ [t1, t2], lo que varía en cada punto (x, y, z, t = cte), es el valor de la co-
ordenada generalizada η (x, y, z, t), y por tanto también se producirá una variación de
∂∂=
t
ηη& y de
∂∂
kx
η .
La función η (x, y, z, t) será la función correcta que describa el sistema físico en es-
tudio, si cualquier variación δη hace que la acción I sea estacionaria (máxima o míni-
ma), esto significa que su variación δI sea nula:
02
1
2
1
=== ∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫ dtdzdydxdtdzdydxI%% δδδ
La variación de la densidad Lagrangiana se puede escribir:
∂∂
∂∂∂
∂+∂∂+
∂∂= ∑
= kk
k
x
x
ηδη
ηδη
δηη
δ3
1
%%%% &&
Donde por conveniencia: x, y, z, se han renombrado xk , k =1, 2, 3.
El principio de Hamilton, se puede expresar entonces:
02
1
3
1
=
∂∂
∂∂∂
∂+∂∂+
∂∂=∫ ∫∫∫ ∑
=
dtdzdydxx
x
Ikk
k
ηδη
ηδη
δηη
δ%%%
&&
Que podemos escribir:
02
1
3
1
3
1
=
î
∂∂∂
∂∂
∂−
∂∂∂
∂∂
∂+
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂+
∂∂∫ ∫∫∫ ∑∑
==
dtdzdydx
x
x
x
xttk
k
kk
k
k
δηη
δηη
δηη
δηη
δηη
%%%%%&&
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 15
Haciendo uso de las relaciones:
( ) ηδηδηδ '=
∂∂=
∂∂
tt y: ( )
∂∂=
∂∂
kk xx
ηδηδ
Evidentemente, la variación que efectuamos δη puede ser cualquiera en todos los
puntos fijos (x, y, z) dentro del volumen de integración, pero tal que se anule en la fron-
tera de dicho volumen. Así pues, las integrales en que aparece la derivada en t y en xk ,
de las expresiones entre corchetes [ ], al integrar en el volumen darán:
0tfrontera la enValor
tfrontera la enValor
2
1
=∂∂ δηη'
(, pues δη (x, y, z, t1 ó t2) = 0
0
)2(xfrontera la enValor
)1(xfrontera la enValor
k
k
=
∂∂∂
∂ δηη
kx
(, pues δη (xk , t) = 0
De este modo, el principio variacional δI = 0 dará:
02
1
3
1
=
∂∂∂
∂∂
∂−∂∂
∂∂−
∂∂∫ ∫∫∫ ∑
=
dtdzdydx
x
xtk
k
k
δηηηη
)))*
Para cualquiera que sea la variación producida δη (x1, x2, x3, t) = 0, de la función η (x1,
x2 , x3 , t) en el volumen V, lo que es posible sólo si se satisface:
03
1
=∂∂−
∂∂∂
∂∂
∂+∂∂
∂∂ ∑
=k
k
k
x
xt ηηη
)))*
Que es la ecuación de movimiento del sistema. Una ecuación en derivadas parciales
de 2º orden (¡las ecuaciones de la física!), que una vez resuelta con los valores de con-
torno adecuados, nos dará la función:
η = η (x, y, z, t)
Que describe adecuadamente la propiedad η asignada a todo punto P ∈ V en el intervalo
de tiempos t1< t < t2. Es decir, nos proporciona la función campo.
Posibles elecciones de valores de contorno son:
a) 1ttt =∂
∂η , η (x, y, z, t1), para (x, y, z, t) en la frontera del volumen V.
b) 1ttt =∂
∂η , 1ttxk =∂
∂η , para (x, y, z, t) en la frontera del volumen V.
Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange
II 16
Las condiciones: (a) Son las condiciones de Dirichlet en el contorno.
(b) Son las condiciones de Neumann en el contorno.
Como se puede ver, el problema de determinar el movimiento del sistema es total-
mente análogo a determinar la trayectoria de la partícula pues hay que conocer la posi-
ción (valor de la función η) y la velocidad, valor de las derivadas en el contorno.
Caso de varios grados de libertad:
Las forma anterior de la densidad Lagrangiana y la consiguiente ecuación del movi-
miento ha sido discutida, suponiendo que el sistema puede describirse únicamente por
una función η = η (x, y, z, t).
En un problema más complicado, por ejemplo la vibración de un sólido elástico tri-
dimensional, pueden producirse desplazamientos independientes a lo largo de tres ejes
coordenados y, por lo tanto, se necesitarán tres funciones η1, η2, η3, que nos den dichos
desplazamientos.
En general el sistema físico necesita para su descripción de un número determinado
de funciones, η j (xk , t), es decir, de j coordenadas generalizadas, y por tanto su densidad
Lagrangiana dependerá de estas η j coordenadas y de sus derivadas, tanto en t como en
las xk. De este modo se obtendrán j-ecuaciones de movimiento; cada una involucra un
grado de libertad, (una función η j (xk , t)).
Así pues las ecuaciones de movimiento serán:
3 2, 1,j03
1
==∂∂−
∂∂
∂
∂∂
∂+∂∂
∂∂ ∑
=k j
k
jkj
x
xt ηηη
+++,
A veces se introduce el concepto de derivada funcional o derivada variacional. La
derivada funcional de la Lagrangiana respecto de η j se define como:
∑=
∂∂
∂
∂∂
∂−∂∂=
3
1k
k
jkjj
x
x ηηηδδ --.
Una definición similar se hace para la derivada funcional de / con respecto a jη0 , pe-
ro ya que / no depende de los gradientes de jη0 , se tiene simplemente:
jj ηηδδ
00 ∂∂= -.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 17
Así, la variación de la acción δI, con estas definiciones, se convierte simplemente en:
∫∑ ∑
∂∂+
∂∂
∂
∂−∂∂=
=V j k
jj
j
k
jj
j
dV
x
I3
1
ηδη
δηη
δηη
δ 11222
Esto es: ∫∑
+=
V jj
jj
j
dVI ηδηδ
δδηηδ
δδ 1133
Que es exactamente la expresión que se hubiera obtenido aplicando δ a la ecuación
[II I], ignorando la dependencia en los gradientes de η. Las ecuaciones de movimiento
tomarían la forma simple en derivadas funcionales:
0=−∂∂
jjt ηδδ
ηδδ
331
Conclusiones:
Mientras que la expresión en derivadas funcionales simpli fica grandemente algunas
operaciones al aplicar el principio variacional, tiende a ocultar el hecho de que las ecua-
ciones de movimiento son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, respecto de
tiempo y espacio. Del mismo modo, singulariza la coordenada tiempo respecto de las
otras tres, aunque hemos indicado que tanto una (t) como otras (xk) juegan el mero papel
de simples parámetros que aparecen en la densidad Lagrangiana 4 . Esta identificación
en el trato a las cuatro coordenadas es lo que se produce en Relatividad y, por tanto, el
proceso descrito previamente a éste es el que podrá incorporarse fácilmente a la formu-
lación covariante. El producto dx1 dx2 dx3 dt es esencialmente el elemento de volumen
cuadridimensional en m4, invariante bajo transformaciones Lorentz.
El principio de Hamilton se convierte automáticamente en covariante Lorentz si 4 es
un escalar en el espacio-tiempo.
Las ecuaciones de movimiento en notación covariante se escribirán pues de la forma:
03
0
=∂∂−
∂∂
∂
∂∂
∂∑=µ
µ
µ ηη jj
x
x
55
Invariantes Lorentz, si 4 es un escalar Lorentz y las ηj tienen las propiedades de trans-
formación adecuadas.
Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange
II 18
Principio variacional, campo escalar unidimensional:
Veamos el principio variacional sobre un Lagrangiano:
∂∂
∂∂= tx
tx,,,,
ηηη66
, para un
(x, t) dado tomamos las funciones variadas: ηδη + , ηδη 77 + , xx ∂
∂+∂∂ ηδη .
Si hemos construido la acción:
∫ ∫∫ ==2
1
2
1
2
1
x
x
dt
t
t
dx
t
t
dtI68
Veamos cuánto vale su variación δI:
∫ ∫=2
1
2
1
x
x
dt
t
t
dxI6
δδ
=
∂∂
∂∂∂
∂+
∂∂
∂∂∂
∂+∂∂=
x
x
t
t
ηδη
ηδη
δηη
δ6666 ( ) ( )ηδ
ηηδ
ηδη
η x
x
t
t
∂∂
∂∂∂
∂+∂∂
∂∂∂
∂+∂∂
666
ηδη
ηδη
ηδη
ηδη
δηη
∂∂∂
∂∂∂−
∂∂∂
∂∂∂+
∂∂∂
∂∂∂−
∂∂∂
∂∂∂+
∂∂=
x
x
x
x
t
t
t
t
66666
La integral queda:
∫∫∫ ∫
∂∂∂
∂+
∂∂∂
∂+
∂∂∂
∂∂∂−
∂∂∂
∂∂∂−
∂∂=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
dx
t
tx
t
t
dt
x
xt
x
x
dt
t
t
dx
x
x
t
tI ηδ
ηηδ
ηηδ
ηηδ
ηηδ
66666
Ahora bien: ( ) ( ) 0,, 122
1==⇒ txtx
xx
ηδηδηδ
Pues ambos términos se anulan. En un principio variacional de extremos fijos: η (x1),
η (x2) son constantes con el tiempo. De la misma forma:
( ) ( ) 0,, 122
1==⇒ txtx
tt
ηδηδηδ
por ser η (t1), η (t2) constantes con la posición. Así pues, para que δI = 0, para toda va-
riación δη, se ha de satisfacer:
0=
∂∂∂
∂∂∂−
∂∂∂
∂∂∂−
∂∂
x
x
t
t ηηη
999Ecuación de Euler-Lagrange
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 19
Es una ecuación en derivadas parciales respecto de la posición y el tiempo que se ha
de resolver para determinar la función campo η = η (x, t).
Ejemplo: Dada la densidad Lagrangiana anteriormente propuesta para el sólido elástico
unidimensional, encontrar por aplicación de las condiciones de Euler-Lagrange, las
ecuaciones de movimiento. Así:
î
∂∂−
∂∂=
22
2
1
xY
t
ηηµ: , se tiene 0=∂∂η
;; ηµ
η<
=
∂∂∂
∂
t
:;
∂∂−=
∂∂∂
∂x
Y
x
ηη
:, por tanto:
02
2
2
2
=∂∂−
∂∂
tY
t
ηηµ Ecuación del movimiento
Campo escalar tr idimensional:
Definido por una densidad Lagrangiana:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂= tzyx
tzyx,,,,,,,,
ηηηηη::
El principio de mínimo sobre la acción: ∫ ∫=V
t
t
dtdzdydxI2
1
: , genera la ecuación de Euler-
Lagrange: 03
1
=
∂∂∂
∂∂
∂−
∂∂∂
∂∂∂−
∂∂ ∑
=k
k
k
x
x
t
t ηηη
;;;; que determina el campo η=η(x, y, z, t).
Campo vectorial tr idimensional:
Definido por tres funciones campo: ),,,( tzyxΨ=Ψ == , esto es xyx ,,Ψ=Ψα . Su densidad
Lagrangiana será:
∂∂= tx
xk
k,,,
αα ψψ
::, con k = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3.
Del principio de mínimo ∫ ∫
∂∂=
V
kk
t
t
dtdzdydxtxx
I2
1
,,,α
α ψψ: , se tienen α-ecuaciones de
Euler-Lagrange: 03
1
=
∂∂∂
∂∂
∂−
∂
∂∂
∂∂∂−
∂∂ ∑
=k
k
k
x
x
t
t ααα ψψψ
;;;.
Tres ecuaciones, una para cada valor del índice α.
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
II 20
5. Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor Energía-Momento:
Lagrangiano de un campo:
Así como la partícula queda descrita en mecánica clásica por su masa m, y su función
posición ( )tr> en términos del parámetro tiempo; un campo queda definido por un con-
junto de funciones que toman valores en todos los puntos del espacio.
El campo electromagnético está descrito por un conjunto de funciones definidas, no
en un único punto de m4, sino en cualquier punto xµ. Dar el campo significa dar las fun-
ciones Aµ (xµ) o las funciones Fµν (xµ) que comprenden tanto las variaciones espaciales
como las temporales en cualquier punto xµ de m4.
Las componentes del campo son las coordenadas generalizadas en cuyos términos se
construye el Lagrangiano del sistema.
Así aplicaremos un principio variacional, con una densidad Lagrangiana definida en
m4 de modo que:
[I] δI = 0, con: ( ) ( )∫
∂∂=
4
4,,
V
dxxx
xAxAI ν
µµ?
En general las funciones Aµ (x) pueden ser cualesquiera, es decir escalares Lorentz,
componentes de un cuadrivector (como en el caso electromagnético) o componentes de
un tensor (como en el caso gravitatorio), etc. La condición para que la teoría mantenga
la invariancia relativista es que @ sea un escalar Lorentz, en el caso general, que sea una
densidad escalar.
Procederemos en el caso continuo del mismo modo que procedimos en el caso discreto:
Las funciones Aµ (x) serán las que describen físicamente el sistema continuo y hacen
mínima la acción definida en [I] . Es decir, en cada punto xµ ∈ V4, en lugar de Aµ (x),
consideramos la función variada:
Aµ (x) + δAµ (x)
De tal forma que δAµ (x) = 0, para x ∈ S (el contorno de V4)
Con tales variaciones en las funciones Aµ (x) se tendrá:
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )νµ
ν
µµ
νµµ
ννµµ
ν δδδδδ , ;, Ax
xAxA
xxAxA
xAxA
x=
∂∂=
∂∂−+
∂∂=
∂∂
Esto es, la variación de la derivada es igual a la derivada de la variación:
( ) ( ) νµ
νµ δδ ,, AA =
V 4
S
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 21
Con lo que podemos ver cuánto varía A si variamos las Aµ (x) y Aµ,ν (x).
Tendremos entonces: ( )∫∫ ==4
4
4
4
VV
dxdxI BB δδδ
Como consecuencia de la variación de las funciones campo:
[ ] ( ) ( )=∂∂∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂∂
∂+∂∂= ν
µνµ
νν
νµ
µ
νν
ν δδδδδ AA
AA
Ax
x
AA
A
BBBBB
( ) ( )ν
νµ
µν
νµ
µν
ν δδδ AA
AA
AA
∂∂∂∂−
∂∂∂∂+
∂∂= BBB
Restando el término que falta para que quede: ( )( )
∂∂∂∂ ν
νµ
µ δ AA
B
Si las funciones hacen mínima la acción, la variación ha de anularse. La acción es un
extremo, por lo que:
δI = 0 ⇒ ( ) ( ) ( )( )∫∫
∂∂∂∂+
∂∂∂∂−
∂∂=
4
4
4
40
VV
dxAA
dxxAAA
νν
µµ
νν
µµν δδ BBB
La integral en volumen puede pasar a integral en el contorno de modo que:
( )( ) ( ) 04
4 =∂∂∂=
∂∂∂∂ ∫∫
SV
dSAA
dxAA
µν
νµ
νν
µµ δδ BB
Pues ∫∫∂
=∂44
4
RR
dSPdxP µµµ
µ , y la variación de las funciones campo es tal que δAν (x) = 0
para x ∈ S, por lo que la expresión anterior se anula.
Como para x ∈ V4 las δAν (x) son arbitrarias, la acción sólo puede anularse si:
( ) 0,1,2,3 , =∂∂=
∂∂∂∂ νννµ
µAA
BB
Los índices repetidos indican suma, esto es, se tiene:
( ) νµ
νµ
µAA ∂
∂=
∂∂∂∂∑ BB
ν es el índice que hace aparecer tantas ecuaciones como variables campo se tenga.
• Para un campo escalar sólo tenemos una función A1(x), y una ecuación.
• Para un campo vectorial, cuatro funciones Aµ (x), µ=0,1,2,3, y cuatro ecuaciones.
• Para un campo tensorial, 4×4=16 funciones Aµ (x), µ=0,1,2,3....15, y 16 ecuaciones.
En general, como hemos visto, las funciones campo αΨ , pueden ser un conjunto de
funciones ( )µα xΨ , α = 1, 2, ... N; µ=0,1,2,3, tanto reales como complejas y pueden ser
escalares, vectoriales, tensoriales etc.
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
II 22
Con ellas construimos la densidad Lagrangiana (invariante Lorentz si deseamos una
teoría relativista) C a partir de las funciones αΨ y sus derivadas:
( ) ( )( )µαµ
α ψψ xx,x ,,DD
=
Formalmente construida con las funciones y sus derivadas de primer orden. Las
ecuaciones del campo se obtendrán (ecuaciones de 2º orden, las comunes de la física),
como: 0,
=
∂∂∂−
∂∂=Λ α
µµαα ψψ
DD
Donde llamaremos: αα ψ∂∂≡
DD ; αµ
µα ψ ,∂
∂≡DD ; µ
αµααDD
∂−≡Λ
Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de campo.
Fijémonos que la variación se ha impuesto en las funciones campo, y se ha fijado el
volumen, y su contorno. Esto es, se ha operado una variación que no afecta al volumen
de integración ni a las coordenadas.
La dinámica del sistema (ecuaciones del campo) queda pues especificada una vez
conocida la Lagrangiana. El problema físico que se nos plantea es escoger la Lagrangia-
na adecuada. Esta será conveniente si conduce a las ecuaciones correctas. Es decir,
ecuaciones que una vez resueltas, determinan funciones que describen adecuadamente
los fenómenos físicos observados.
Es importante constatar que no hay una única Lagrangiana para un sistema físico
concreto. Toda función Lagrangiana puede modificarse añadiéndole un término de
divergencia, resultando las mismas ecuaciones.
Así: ( ) ( )( )µαµ
α ψψ xx,x ,,DD
= , y: ( ) ( )( ) ( )( )µαµµ
µαµ
α ψψψ xxxx,x ,,, Γ∂+=DD
Dan las mismas ecuaciones, ya que:
( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∂
=Γ+=Γ∂+=Γ∂+4
,
VRRRRR
dxdxdxdxdxdxDDDD δσψδδδδδ µ
µαµµµ
µµ
Como consecuencia de: ( ) ( ) 0,, =Γ=Γ ∫∫∂∂ RR
dxdx µµαµ
µµαµ σψδσψδ
Ya que: ( ) ( ) αα
µαµµαµ ψδ
ψψψδ
∂Γ∂=Γ x
x,
, , y 0=αψδ en el contorno de R: ∂R.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 23
Campos complejos: Si las cantidades ( )xαΨ son complejas, podemos tomar las par-
tes real e imaginaria como funciones independientes. O de manera alternativa los dos
campos αΨ y *αΨ como independientes.
Campo electromagnético: Se pueden dar varias formas de Lagrangiana para el
campo electromagnético. Unas y otras diferirán en un término de divergencia.
Se pueden expresar en función de Aµ (x) o de Fνµ (x), o de ambos, por ejemplo:
( )22202
0
44BcEFF
cI −=−= εε µν
µνE
Para el campo electromagnético libre, las funciones Aµ (x) son las funciones campo,
aunque escribamos F I en función de Fνµ (x) para mostrar su invariancia ante una trans-
formación gauge para los potenciales.
Es fácil ver que: 0=∂∂
µAI
E; µννµ F
AI =
∂∂
,
E
por lo que las ecuaciones de campo dan: 0, =µννF Ecuaciones del campo libre
O bien en términos de los potenciales: 0=µAG
Si se toma la condición subsidiaria en los potenciales: 0, =µµA Condición de Lorenz
Veámoslo detalladamente:
La Lagrangiana del CEM libre: µνµν FFK=
E , con:4
20c
Kε−= , con la que se calculan
las ecuaciones de Euler-Lagrange: ( ) 0=∂∂−
∂∂∂∂ ααβ
β
AA
EE
En primer lugar: 0=∂∂
αA
E⇒ F no depende explícitamente de los Aα.
En segundo lugar: ( ) ( ) ( )αβαβαβ A
FKF
A
F
FA ∂∂∂=
∂∂∂
∂∂=
∂∂∂
2EE
, donde µννµµν AAF ∂−∂= .
Con: ( )( )
( )µα
νβ
να
µβαβ
µννµ
αβ
µνδδδδ −=
∂∂∂−∂∂=
∂∂∂
A
AA
A
F ,
( ) ( ) αβαββαµα
νβ
να
µβµναβ δδδδ KFKFKFKF
A4222 −=−=−=
∂∂∂
E
Finalmente: ( ) 04 =−∂ αββ KF ⇒ 0=∂ αβ
β F
O bien: ( ) 02 =∂−∂∂=∂−∂∂ αββ
ααββαβ AAAA ⇒ 002 =⇒=∂ αα AA G
Simbolizamos: G ó 2∂≡∂∂ ββ
Con la condición para fijar el potencial: 0=∂=∂ βββ
β AA : condición de Lorenz.
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
II 24
Ejemplo: Lagrangiano de Fermi.
En el sistema de unidades naturales: ( )2,2
1
4
1 µµ
µνµν AFFII −−=
H
No es invariante gauge, pero conduce al resultado: 02 =µAI , sin condiciones adicionales
sobre los potenciales.
Nota: Tomamos Aµ como funciones de campo, aunque explícitamente aparezca Fνµ.
Lagrangiano de interacción con partículas cargadas:
El término de interacción ha de ser también un escalar Lorentz, para que lo siga sien-
do la densidad Lagrangiana. De las ecuaciones que dan la densidad de energía electros-
tática y magnetostática:
Φρ , AJ JJ ⋅
podemos expresar la generalización covariante Lorentz:
αα AJ
Con este escalar Lorentz que contiene las fuentes de campo, escribiremos la densidad
Lagrangiana:
[I] αα
αβαβ
εAJFF
c −−=4
20H
Hemos de tener en cuenta que las funciones campo son Aα. Expresando [I] en fun-
ción de estos potenciales:
[II] ( )( ) αα
λννλµσσµνσλµ
αα
λµλµ
εεAJAAAAgg
cAJFF
c −∂−∂∂−∂−=−−=44
20
20H
Donde hemos utili zado: λνσµ
λµµσ
νσλµ FFgFgg ==
Hallemos las ecuaciones del campo: ( ) 0=∂∂−
∂∂∂∂ ααβ
β
AA
HH
Con: ( )
î
−
+
−
×−=∂∂∂
µσλα
νβ
µσνα
λβ
λνµα
σβ
λνσα
µβ
νσλµαβ
δδδδ
δδδδ
ε
FF
FF
ggc
A 4
20
H
Los cuatro términos son iguales, dada la antisimetría de Fνµ y la simetría de gαβ.
En efecto:
βααλ
λβλν
ναλβλνσ
αµβνσλµ δδ FFgFggFgg ===
βααββλ
λαλν
νβλαλνµ
ασβνσλµ δδ FFFgFggFgg =−=−=−=−
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 25
βααµ
βµµσ
ασβµµσν
αλβνσλµ δδ FFgFggFgg ===
βααββµ
αµµσ
βσαµµσλ
ανβνσλµ δδ FFFgFggFgg =−=−=−=−
Así: ( ) αββααβ εε FcFcA
20
20 =−=
∂∂∂ K
Como: αα JA
−=∂∂ K Las ecuaciones del movimiento son:
[II I] ααββε JFc −=∂2
0 ⇒ ααββ µ JF 0−=∂
Que son las ecuaciones no homogéneas de Maxwell en forma covariante.
Las ecuaciones homogéneas se cumplen automáticamente, por la forma en que se ha
definido el tensor campo electromagnético en función del cuadrivector potencial:
∂α*Fγµ = ∂α 2
1 εαβγµ Fγµ = 2
1 ∂α εαβλµ (∂λ Aµ − ∂µ Aλ )
= 2
1 ∂α εαβλµ ∂λ Aµ − 2
1 ∂α εαβλµ ∂µ Aλ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ
Ya que por la antisimetría, y al ser los índices mudos:
− ∂α εαβλµ ∂µ Aλ = − ∂α εαβµλ ∂λ Aµ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ
Por tanto: ∂α*Fαβ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ ≡ 0
Nulo por ser el operador ∂α∂λ simétrico y εαβλµ antisimétrico en todos sus índices, para
todas las permutaciones impares. Así las ecuaciones de Maxwell homogéneas:
∂α *Fαβ = 0
se obtienen de modo trivial.
Del mismo modo vemos que Jα es de divergencia nula pues:
βαβα
βααβ
αββα
βαβα
αα εεεε FcFcFcFcJ ∂∂−=∂∂−=∂∂−=∂∂=∂ 2
02
02
02
0
El orden de derivación no cambia el resultado.
Entonces: 0=∂ αα J
Lagrangiano de Proca:
En el Lagrangiano anterior hemos considerado el término de interacción del cuadri-
vector corriente con el cuadrivector potencial. Introduzcamos un término µ de interac-
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
II 26
ción escalar con el cuadrivector potencial. Para que la densidad Lagrangiana continúe
siendo un escalar, el término más sencillo será de la forma:
ααµε
AAc 2
20
2
Donde el coeficiente 2
20cε se ha puesto por conveniencia. Veremos más adelante qué
significado puede darse al escalar µ.
La Lagrangiana resultante se conoce como Lagrangiano de Proca:
αα
αα
αβαβ µεε
AJAAc
FFc
PROCA −+−= 22
02
0
24
L
Las ecuaciones de movimiento son:
ααβαβ µµ JAF 0
2 =+∂
En contraste con las ecuaciones de Maxwell, en las que aparecen únicamente los
campos, que son los que tienen significado físico real (observables), aquí aparecen tam-
bién los potenciales, que se harían observables a través del término µ.
La ecuación anterior se puede escribir:
( ) ααααββ
αααβααββ µµµµ JAAAAAAAA 0
2222 =+=+∂∂−∂=+∂−∂∂ M
donde hemos utilizado el gauge de Lorenz: 0=∂ ββ A .
Esto es: [I] ααα µµ JAA 02 =+M
Que en el límite estático (si los potenciales no son funciones del tiempo) queda:
ααα µµ JAA 022 −=+∇
Si la fuente es una carga puntual en reposo se tendrá: ( ) ( )( )0,0,0,rqcrJ NN δα = , y por tanto
la única componente no nula en S será:
( )rqcAA Nδµµ 002
02 −=+∇
Teniendo en cuenta que ( )c
rA
NΦ=0 , la solución para la última ecuación es:
( )r
eqr
rµ
πε
−=Φ
04
1N Potencial de Yukawa
Este será el potencial de una carga puntual q, con parámetro asociado µ ≠ 0, que no
tiene el comportamiento predicho por la ley de Coulomb.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 27
Significado de µµ:
Sabemos que en ausencia de fuentes, una onda electromagnética que en S se propaga
en una dirección dada kO viene determinada por funciones potenciales del campo elec-
tromagnético de la forma:
−−= ruktj
AA ePOω
αα 0
Si, en ausencia de fuentes, las funciones Aα han de cumplir la ecuación [I ], en S se
tendrá: 222
222
2
2
0 µωµω +=⇒=++− kc
kc
Multiplicando esta ecuación por 2Q, se tendrá:
( ) ( )222
µω RRR +=
k
c
Fijémonos que la partícula con energía y momento ( )kQQ
,ω /
= k
cP SRR
,ωµ
Y cumple: ( ) 022
=−
k
c
RR ω , es el fotón, que tiene masa nula.
Así que la ecuación: ( ) ( ) 220
222
cmkc
==−
µω RRR
Corresponde a asignar al fotón una masa en reposo: c
mRµ=0 .
Si µ = 0, mγ = 0. Luego un parámetro µ ≠ 0 significaría una masa del fotón no nula
ya que su energía-momento no sería de tipo luz.
Para la evidencia experimental de que µ = 0, véase: J.D. Jackson "Electrodinámica
Clásica", sección 12.9.
Tensor energía-momento:
Se corresponde con el Hamiltoniano que contiene los aspectos energéticos asociados
al movimiento de partículas.
Si la Lagrangiana es: ( )τµµ ,x,x TUU=
Se definen los momentos canónicos del modo:
ταα
α
d
dp V
UV
U∂=
∂∂= T ; α
α
τVV
T=d
d = velocidad generalizada
Y se forma W del modo:UVX
−= αα Tp
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
II 28
Para un campo φ k, tenemos una Lagrangiana que depende de las funciones campo
y sus derivadas:
∂∂=∂= k
kkk x
x, ,
ααφφφ
YY
Tomemos el equivalente a las velocidades. Para la función φ k, las velocidades serán:
kk
xφφ
αα ∂=∂∂
De donde el momento canónico: ( )kφα∂∂∂
Y
Multipliquemos el momento por cualquiera de las velocidades:
( ) ( ) βα
β
α
φφ
φφ x
k
kk
k ∂∂
∂∂∂=∂
∂∂∂
YY
Que es una cantidad que depende de dos índices α y β. Le restamos Z haciendo aparecer
dos índices con la métrica g, tendremos:
( )( ) YYαββ
α
αβ φφ
gT kk
−∂∂∂∂=
Que es un objeto denominado tensor energía-momento, que se espera contenga in-
formación de las propiedades del campo.
Tensor energía-momento del campo electromagnético:
Se obtendrá de la correspondiente Lagrangiana del campo. Para el CEM libre:
µνµν
εεFF
cFF
cem 44
20
20 −=⋅−=≡
YYY, por tanto el tensor energía-momento correspondiente:
( )( ) emem gAA
TYY
αβλβλ
α
αβ −∂∂∂∂
=
El tipo de derivada que hemos hecho anteriormente es: ( ) λα
λα
ε FcA
20−=
∂∂∂
Y
Y por lo tanto: ( ) emgAFcTYαβλβ
λααβ ε −∂−= 2
0
Para: ( )2220
2BcEem −=
εY
Podemos referir las componentes de Tαβ en un sistema S dado*:
( ) ( )EBcET [[ Φ∇+−= 0222000
2ε
ε
( ) ( )EAcBEcT iii [[[[ ∇+×= 00
0 εε
( ) ( ) ( )
Φ
∂∂−Φ×∇+×= iii
i Exc
BcBEcT00
20
0 1[[[[ εε
* Véase: J. D. Jackson "Electrodinámica Clásica", Sec. 12.10
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
II 29
Donde hemos hecho uso de: 0=⋅∇ E\], y: 0
10
=∂∂−×∇x
E
cB
]]]
Extendamos a todo el volumen tridimensional las siguientes integrales:
( ) ( )∫∫∫∞→
Φ+−=SVV
SdEdvBcEdvT]]
0222000
2ε
ε = energía total del campo
los campos tienden a cero en el infinitoDel mismo modo:
( ) ( )∫∫∫∞→
+×=S
i
V
i
V
i SdEAcdvBEcdvT]]]]
000 εε = c × componente i del momento total del campo
Hemos tenido en cuenta que ( ) ( ) ( )g
c
HEHEBE
]]]]]]]=×=×=×
2000 µεε (densidad de momento).
Cálculo de la divergencia del tensor energía-momento:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ememem
emem gA
AA
AgA
AT ^^^^^ αβ
αλβ
αλα
λβλ
αα
αβα
λβλ
αα
αβα ∂−∂∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
∂=∂−
∂
∂∂∂
∂=∂
Utilizando las ecuaciones de movimiento: ( ) 0=∂∂−
∂∂∂∂ λλα
αAA
^^ , resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,, =∂∂−∂∂=∂−∂∂∂∂∂
+∂∂∂
=∂ λα
λβλα
λββλα
βλ
α
λβλ
αβα AAAAA
AA
AT ememem
emem _____
Luego, como ( )λα
λ AAemem ∂= ,^^ , y no es función explícita de x , el tensor energía-
momento canónico cumple:
0=∂ αβα T
0=Tδ como relación geométrica
Existen ciertos inconvenientes, para esta definición de T:
a) T no es simétrico.
b) T 00, T 0i, difieren de las expresiones del momento y la energía del
CEM que se usan habitualmente.
c) T contiene explícitamente a los campos y a los potenciales, y sólo
debe contener a los campos, que son los entes con sentido físico.
La solución a estas objeciones está en simetrizar T, y obtener un tensor equivalente
que contenga su misma ley diferencial δT. Tal tensor se denomina tensor energía-
momento simétrico.
0
0
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
II 30
Simetrización:
En este caso, tomemos: λββλλβ AAF ∂−∂= ⇒ βλλβλβ AFA ∂+−=∂
Sustituyendo en la definición de T, y con la expresión de la Lagrangiana:
( ) ( )
−−∂+−−=−∂−= µν
µναββλλβ
λααβλβ
λααβ εεε FF
cgAFFcgAFcT em 4
202
02
0 aβλ
λαµν
µναβλβ
λα εεε AFcFFg
cFFc ∂−+= 2
0
202
0 4
( ) βλλ
ααβ
λβλ
α εε AFcFFg
FFc ∂−
+= 2
02
0 :4
Donde significamos con (F:F) el escalar obtenido por la doble contracción de índices.
Con lo que: αβαβαβDTT +Θ= , siendo αβ
DT un tensor de divergencia nula, y el tensor
αβΘ , el tensor energía-momento ya conocido, ahora simétrico, que correctamente tiene
asociadas a sus componentes las magnitudes que representan energía y momento del
CEM.
Veamos que αβDT es un tensor de divergencia nula:
• Primero transformamos:
[ ] ( )βαµµ
αµµ
ββµ
αµβµ
αµβλλ
ααβ εεεε AFcFAAFcAFcAFcTD ∂−=∂+∂−=∂−=∂−= 20
20
20
20
Ya que: 0=∂ αµµ F , si el campo es libre (J = 0).
• Y calculamos su divergencia:
( )βαµµα
αβα ε AFcTD ∂∂−=∂ 2
0
( ) ( ) ( )βαµµα
βαµαµ
βµααµ εεε AFcAFcAFc ∂∂=∂∂=∂∂−= 2
02
02
0
igual, y de distinto signo, luego: 0=∂ αβα DT
Así: αβα
αβα Θ∂=∂ T
Luego αβT y αβΘ darán lugar a las mismas leyes, tras operar sobre ellos la tetradive-
gencia. Es preferible considerar siempre el tensor energía-momento simétrico αβΘ .
Existe un método general de simetrización*.
* Véase: L. D. Landau, E. M. Lifshitz "Teoría Clásica de los Campos", Sec. 33
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 1
Radiación de cargas en movimiento
1. Los potenciales de Liénard-Wiechert:
Los potenciales de Liénard-Wiechert generan los campos de una carga q en movi-
miento arbitrario sobre una trayectoria definida: ( )tf
.
Posiciónretardada
t' < t
q,t'
q,t
O
( )'' tr
( )tr '
( )'tR
( )trP ,
r
( )tf
Al estar q acelerada radia energía y mo-
mento. Si tiene una velocidad: ( ) ( )tftu '
= ,
entonces tiene una energía y un momento
definidos.
Vamos a estudiar los campos generados
por la carga en movimiento cuando viaja so-
bre su trayectoria. Consideraremos los campos
en el punto r
y en el instante t. Estos campos
han sido emitidos desde la posición retarda-
da de la carga, esto es, desde ( )'' tr
.
En un instante t' anterior a t, la posición de la carga sobre la trayectoria es: ( )'' tr
,
tendremos el vector r elativo: ( )'' trrR
−= que une un punto fuente: ( )'' tr
con un
punto campo: r
. El módulo del vector relativo es: ( )'' trrR
−= , y ha de satisfacer:
222
)'( ttcR −=
*, puesto que la información no ha viajado desde q hasta P con una ve-
locidad infinita, sino que ha tardado un tiempo finito para hacerse efectiva en r
, ya que
los campos se propagan a la velocidad de la luz c. La condición de retardo que han de
satisfacer los tiempos (t, t') es: )'( ttcR −=+
.
La densidad de fuente para una carga q en un punto del espacio es:
))((),( tfrqtr
−= δρCon la delta de Dirac se describe a una carga puntual que sigue la trayectoria ( )tf
.
Los potenciales electromagnéticos escalar y vector que crea esta carga en el espacio
son: ( )tr ,
Φ ; ( )trA ,
* El intervalo entre la carga y el punto campo es de tipo isótropo, así pues:
( )( ) ( )( ) ( ) 0',','2222
, =−−=−−−= RttcRttcRttcs Pq
⇒ ( ) 222 ' Rttc
=−
Los potenciales de Liénard-Wiechert
III 2
Para hallar el potencial escalar cabe resolver la ecuación:
( ) ( )00
2
2
22 )(,1
εδ
ερφφ tfrqtr
tc
−−=−=
∂∂−∇
Que tendrá dos soluciones: el potencial retardado (correspondiente a: )'( ttcR −=+
),
y el potencial avanzado (correspondiente a: )'( ttcR −=−
).
La solución físicamente aceptable para esta ecuación diferencial es el potencial retar-
dado. El potencial avanzado no tiene realidad física, ya que considerarlo significa poder
determinar los campos creados por una carga en un instante t', posterior a t.
Así, propondremos como solución:
( ) ( )( )∫ −
=''
3
0
''
],'[
4
1,
rV
rdrr
trtr
ρπε
φ
Con la notación: ( )],'[ trρ , significamos considerar el valor de ( )( )ttr ,''
ρ en el punto 'r
y en el instante t' tal que: ( )'')'( trrRRttc
−===−
Entonces: ( ) ( )
−=
−−=
c
Rtf
c
trrtftf
'''
Con lo que: ( )( )∫ −
−−−
=''
3
0
''
''
4,
rV
rdrr
c
rrtfr
qtr
δ
πεφ
Y hay que extender la integración a todo el volumen V ' donde se pueden encontrar las
cargas.
Haremos un cambio de variable para imponer la condición de retardo. Si suponemos
que: [I] ( ) ( )
−−=
c
Rtftrttr
''',1
La expresión anterior para el potencial escalar se puede escribir como:
( ) ( )( )( )∫ −
=11
13
1
0 '
',
4,
rVJ
rd
rr
ttrqtr
δπε
φ
Ahora se integra sobre las coordenadas: (x1, y1, z1), en el volumen V1. Al realizar el
cambio de variable definido por [I], la relación entre los elementos de volumen es:
'')',','(
),,( 331111
3 rdJrdzyx
zyxrd
=
∂∂=
Donde: J, es el Jacobiano de la transformación 'r
(x', y', z') → 1r
(x1, y1, z1).
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 3
Entonces, se tiene que:
[II] ( ) ( )( )( )
00
13
1
01
11
1
4'
',
4,
=
=−
= ∫r
rV RJ
q
J
rd
rr
ttrqtr
πεδ
πεφ
Pues la contribución de la δ aparece cuando: 01 =r
. Hemos visto que:
( ) ( )
−−=
c
Rtftrttr
''',1
Imponiendo esta última condición, tenemos que:
( )
−=
c
Rtftr
'' , y por tanto:
c
Rtt
−=' .
Así, la condición 01 =r
, nos indica que hay que calcular [II ] referido a la posición
retardada de la carga, esto es, en el instante retardado t'. Esta es la condición de retardo.
Cálculo del Jacobiano:
Para pasar de un punto con coordenadas (x1, y1, z1) a otro con coordenadas (x', y', z'),
hemos de operar la transformación:
[I ']
( )( )( )
î
−−=
−−=
−−=
cRtfzz
cRtfyy
cRtfxx
z
y
x
'
'
'
1
1
1
Según la relación que se estableció en [I] . El Jacobiano de: (x', y', z') → (x1, y1, z1), es:
'''
'''
'''
111
111
111
z
z
y
z
x
zz
y
y
y
x
yz
x
y
x
x
x
J
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
Hay que calcular las derivadas, por ejemplo:
'
1'1
'1
x
R
cf
x
xx ∂
∂
−−=
∂∂
Como: ( ) ( ) ( )222 ''' zzyyxxR −+−+−= , entonces: ( )
R
xx
x
R '
'−−=
∂∂
, y por tanto:
( )Rc
xxf
x
xx
−+=∂∂ '
'1'1
Donde xf ' es la derivada de la componente x de la función vectorial f
respecto del
argumento.
Haciendo lo mismo con cada una de las derivadas, el Jacobiano queda:
Los potenciales de Liénard-Wiechert
III 4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )=
−+−−
−−+−
−−−+
=
zzz
yyy
xxx
fRc
zzf
Rc
yyf
Rc
xx
fRc
zzf
Rc
yyf
Rc
xx
fRc
zzf
Rc
yyf
Rc
xx
J
''
1''
''
''
''
1''
''
''
''
1
( )
−−+
c
Rtfrr
cR''
11
−−=
c
Rtf
cR
R'1
Sustituyendo el valor del Jacobiano en [II ] teniendo en cuenta que: 'rrR
−= , y que
'fu
= (nótese que la derivada es respecto del argumento) es la velocidad de la carga en
un punto sobre la trayectoria; el potencial escalar va a quedar como:
( )
0
0 ·
1
4,
−
=
c
uRR
qtr
πε
φ
El subíndice |0 indica que se satisface: 01 =r
. Es decir, el corchete se calcula en el
instante retardado t'. Esta es la expresión del potencial escalar de Liénard-Wiechert
para una carga puntual q en movimiento.
Procediendo análogamente con el potencial vector, nos encontramos con que se ha de
resolver la ecuación diferencial:
( ) ( ) ( ) ( )utrtrJt
trA
ctrA
,,,1
, 002
2
22 ρµµ −=−=
∂∂−∇
Donde: ( )trJ ,
, es la densidad de corriente y, como hemos visto, u
representa la veloci-
dad de la carga en cualquier punto de la trayectoria. La solución de esta ecuación dife-
rencial es el potencial vector de Liénard-Wiechert:
( )
0
0
·4,
−
=
c
uRR
uqtrA
π
µ
Para sistemas inerciales, tanto ( )trA ,
como ( )tr ,
φ serán parte de las componentes de
un cuadrivector que representaremos por Aµ (x) en el espacio de Minkowski.
Obtención de los campos:
Los campos eléctrico y magnético que genera la carga en ( )trP ,
se calcularán con
estos potenciales: ( ) ( ) ( )t
trAtrtrE
∂∂−−∇= ,
,,
φ
( ) ( )trAtrB ,,
×∇=
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 5
Al calcular tanto el rotacional como el gradiente en coordenadas cartesianas, hemos
de tener en cuenta derivadas parciales del tipo:
x
tzyxtzyxxlim
x x ∆−∆+=
∂∂
→∆
),,,(),,,(
0
φφφ
Con la expresión del potencial: ( )
0
0 ·
1
4,
−
=
c
uRR
qtr
πε
φ , se tendrá que:
( )0
20 ·
1
4
,
∂∂⋅−
∂∂⋅−
∂∂
−
−=∂
∂x
u
c
R
x
R
c
u
x
R
c
uRR
q
x
tr
πεφ
Calculada en el tiempo t', es decir, con: ( ) Rttc
=− ' .
Es preciso notar que si (en el punto campo) pasamos del punto de coordenada x al
xx ∆+ , para calcular el valor de φ tenemos que considerar que el punto fuente: (x', y',
z') se mueve sobre la trayectoria hasta el punto próximo: ( '' xx ∆+ , '' yy ∆+ , '' zz ∆+ ), pues
se tiene que seguir cumpliendo la condición: ( ) Rttc
=− ' . Así pues, al calcular las deri-
vadas tendremos que considerar la dependencia de las coordenadas del punto fuente.
O
'r
R
r
( )tf
(x', y', z')
(x'+∆x', y'+∆y', z'+∆z')
(x+∆x, y, z)
(x, y, z)
( )'' rru
∆+
( )'ru
Al pasar de x a xx ∆+ , sobre la tra-
yectoria, se tendrá en general otro valor
de u
en el punto variado '' rr
∆+ , luego
hay que considerar también la derivada
x
u
∂∂
sobre la trayectoria.
Evidentemente, tanto R
como RR
=
varían con x, y además con: x', y', z', que
hemos visto que varían para mantener la
condición de retardo.
Calculemos algunas derivadas parciales para obtener los campos:
• x
R
∂∂
: Con: ( ) ( ) ( )222 ''' zzyyxxR −+−+−+= , se tiene:
Los potenciales de Liénard-Wiechert
III 6
( ) ( ) ( )
∂∂−−+
∂∂−−+
∂∂−−=
∂∂
x
z
R
zz
x
y
R
yy
x
x
R
xx
x
R '''''1
'
Por la condición de retardo
−=
c
Rtfr
' :
x
R
cf
x
xx ∂
∂
−=
∂∂ 1
''
;x
R
cf
x
yy ∂
∂
−=
∂∂ 1
''
;x
R
cf
x
zz ∂
∂
−=
∂∂ 1
''
Con: ( )zyx fffu '','=
, y: ( ) ( ) ( )kzzjyyixxR
''' −+−+−= , sustituyendo y agrupan-
do términos:
( )x
R
cR
uR
R
xx
x
R
∂∂+−=
∂∂
·'
, despejando:( )
0
·
'
−
−=∂∂
c
uRR
xx
x
R
El subíndice |0 indica que el corchete se calcula en el instante retardado t'.
Operando del mismo modo para y
R
∂∂
y z
R
∂∂
obtenemos que:
0
0
·R
c
uRR
RR
ϑ=
−
=∇ Donde:
−
=
c
uRR
·
1ϑ
Este factor: ϑ, es de aparición típica en las expresiones y, como hemos visto, proviene
del retardo en la propagación desde el punto fuente al punto campo.
• t
R
∂∂
: Que aparecerá al calcular la derivada t
A
∂∂
.
Con: 'rrR
−= ⇒t
r
t
r
t
R
∂∂−
∂∂=
∂∂ '
⇒
t
r
t
R
∂∂−=
∂∂ '
, pues estamos consideran-
do el mismo punto campo: kzjyixr
++= , para todo instante t.
De: cRtt −=' ⇒t
R
ct
t
∂∂−=
∂∂ 1
1'
, luego:( )
∂∂−=
∂∂
∂∂=
∂∂
t
R
cu
t
t
t
r
t
tr 11
'
'
'''
Teniendo esto en cuenta, a partir de la derivada del producto:
( ) ( )t
RR
t
R
t
RR
∂∂=
∂∂=
∂⋅∂
22
, y como: RuRR
= , con: 1=Ru
, se tiene que:
( )
∂∂−⋅−=
∂∂⋅−=
∂∂⋅=
∂⋅∂=
∂∂
t
R
cuu
t
ru
t
Ru
t
RR
Rt
RRRR
11
'
2
1
Luego:
∂∂−⋅−=
∂∂
t
R
cc
uu
t
R
c R1
11
, despejando: uR
c
uRR
uR
t
R
·
·
· ϑ−=
−
−=∂∂
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 7
• t
R
∂∂
: Rut
R
cu
t
r
t
R ϑ
−=
∂∂−−=
∂∂−=
∂∂ 1
1'
, uRt
R
ϑ−=∂∂
• t
u
∂∂
: Como: ( )cRtfu −= '
, derivada respecto del tiempo retardado: c
Rttr −= :
( ) ( )
∂∂−=
∂
−∂=
∂
−∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
t
R
cu
tc
Rtu
tc
Rt
td
ud
t
t
t
u
t
u
r
r
r
11
Ruϑ
= , uR
t
u ϑ=
∂∂
• x
u
∂∂
:( )
c
Ru
x
R
cu
xc
Rt
td
ud
x
t
t
u
x
u x
r
r
r
ϑ −=
∂∂−=
∂
−∂=
∂∂
∂∂=
∂∂ 1
, uc
R
x
u x
ϑ−=∂∂
Tras calcular todas las derivadas y agrupar términos, se obtiene para los campos de-
rivados de los potenciales de Liénard-Wiechert:
( )
( ) ( ) ( )[ ]0
0
0
0
22
2
0
3
,,
,
14
,
trERR
ctrBtrH
uc
uRR
c
R
c
uRR
c
uqtrE
×==
î
×
−×+
−
−=
εµ
πεϑ
Si observamos las expresiones de los campos, vemos que son sumas de términos de-
pendientes de u
y de u , se pueden desdoblar entonces en:
av EEE
+= av HHH
+=
Que son los campos de velocidad y de aceleración.
Campos de velocidad:
Acompañan a la carga en su movimiento por el espacio y la arropan en sus proximi-
dades. Son campos estáticos que varían a grandes distancias con R–2. Se denominan
campos ligados.
Con la notación: cu
=β , y: Run
=
La forma explícita de los campos de velocidad, haciendo 0=u
en la expresión general:
( ) ( )vv
v
EncH
nnR
qE
×=
−−−=
0
3
2
20 ·1
11
4ε
βββ
πε
Los potenciales de Liénard-Wiechert
III 8
Al calcular el vector de Poynting de estos campos: HEP
×= , vemos que su flujo a
través de una superficie esférica de radio R muy grande tiende a cero, por tanto están
ligados a la carga.
Y es que: 41
RP ∝
; como: 2RSd ∝
, entonces: 012
∞→→∝⋅
R
RSdP
, y: 0=⋅∫∞→R
SdP
Para el límite de bajas velocidades: 0→β
, obtenemos los campos determinados por
las leyes de Coulomb y de Biot-Savart:
nR
qEv
20
0
1
4πεβ=
→Campo de Coulomb
( )nuR
qHv
×=→ 20
1
4πβCampo de Biot-Savart
Podemos observar que no se nota el efecto de retardo, es decir: ( ) ( )trtr '''
≅ , son cam-
pos estáticos.
Campos de aceleración:
Liberan energía y momento en forma de campo electromagnético radiado a velocidad
c. Una vez emitidos evolucionan libremente en el espacio, cumpliendo las ecuaciones de
Maxwell en el vacío. Son campos que varían a grandes distancias con R–1. Se denomi-
nan campos libres o campos de radiación.
Su forma explícita, haciendo 0≠u
en la expresión general:
( ) ( )
aa
a
EncHn
unn
Rc
qE
×=−
×−×=
0
320 ·1
1
4ε
ββ
πε
Si calculamos con estos campos de aceleración el vector de Poynting, y determina-
mos su flujo a través de una superficie esférica de radio R muy grande, vemos que ahora
no es cero, como ocurría con los campos de velocidad, sino una cantidad finita:
Y es que: 21
RP ∝
; como: 2RSd ∝
, entonces: 0≠⋅∫∞→R
SdP
.
Este flujo finito representa la energía-momento que abandona el sistema de la carga,
y lo hace asociado a los campos de aceleración que se comportan así como radiación
electromagnética.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 9
2. Radiación de una carga puntual acelerada. Invariante de radiación:
Potencia radiada por una carga acelerada:
Si calculamos explícitamente el vector de Poynting de los campos de aceleración:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ntrEcntrEtrEctrEntrEctrHtrEtrP aaaaaaa
2
000 ,,,,,,,, εεε =⋅=××=×=
Vemos que su dirección en el instante t es la del vector radial desde la posición retarda-
da de la carga.
Con el módulo de aE
resulta que el vector de Poynting de la carga acelerada:
( )( )
( ) nn
unn
Rc
qtrP
6
2
22
20
1
1
16,
⋅−
×−×=
β
β
πµ
Cuyo flujo a través de una superficie es la potencia radiada por la carga, potencia que se
recibe en el punto campo r
en el instante t.
Obtenemos el flujo a través de Sd
, situado en el punto campo r
:
( )( )
( ) 26
2
1,
R
Sdn
n
unnSdtrP
⋅
⋅−
×−×=⋅
β
βα , donde:
c
q2
20
16πµα =
Por definición de ángulo sólido: 2R
Sdnd
⋅=Ω . Que es el ángulo sólido con el que se ve el
elemento de superficie del punto campo: Sd
, desde el punto fuente (la propia carga).
O
( )'' tr
( )nttcR
'−=
r
( )tf
( )trP ,
u
n Sd
Esta ley es no local, pues calcula la
cantidad de energía en el punto r
y en el
instante t con magnitudes definidas en la
posición 'r
y en el instante t' (posición
retardada de la carga).
Para hallar una ley local, considera-
remos la cantidad de energía dW|0 que
emite la carga en dt', en la dirección del
ángulo sólido:
dW|0 =
(t') dt'
Donde
(t') es la potencia emitida por la carga acelerada en el punto campo. Se tiene
que la energía medida en t es:
dW =
(t) dt
Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación
III 10
Como dW|0 = dW, entonces: (t') dt' = (t) dt
Y ya que en t: ( ) ( ) SdtrPtd
⋅= ,
Se tiene que: ( ) ( )'
,'dt
dtSdtrPtd
⋅=
Tenemos que calcular'dt
dt:
Como ( )',rcterR
= : unuR
R
dt
dx
x
R
dt
dR i
i icter
⋅−=⋅−=∂∂=
∑
== '
'
''
3
1
De ( )'ttcR −= :dt
dtun
dt
dt
dt
dR
dt
dtc
dt
dR ''
'
'1
⋅−==
−= ⇒
dt
dtn
dt
dt ''1 β
⋅−=− ,
despejando:ndt
dt ⋅−
=β1
1' ⇒ ndt
dt ⋅−= β1
'
Sustituyendo en la expresión de la potencia:
( ) ( )( )
( ) ( ) Ω⋅−⋅−
×−×=⋅= du
n
unn
dt
dtSdtrPtd
ββ
βα 1
1','
6
2
Así, la potencia radiada por la carga q por unidad de ángulo sólido será:
[I]( ) ( )
( )5
2
2
20
116
'
n
unn
c
q
d
td
⋅−
×−×=
Ω β
β
πµ
Y es potencia emitida, en el instante t' y en el punto 'r
, por unidad de ángulo sólido en
la dirección n
. Esta expresión es local, pues queda determinada por las propiedades de
la carga en 'r
y t'.
Con esta expresión podemos calcular la distribución angular de la radiación en el ins-
tante t' para cualquier dirección n
.
Integrando [I] a todo el ángulo sólido, obtenemos la potencia total radiada: energía
total radiada por unidad de tiempo en el instante t' por la carga q desde la posición 'r
:
( )( )
( ) Ω⋅−
×−×= ∫
Ω
dn
unn
c
qt
5
2
2
20
116'
β
β
πµ , evaluando la integral:
[II] ( ) ( )( )32
2220
16'
ββ
πµ
−×−= uu
c
qt
Que es la potencia total radiada por la carga en el instante t' desde la posición 'r
.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 11
Adviértase que la expresión anterior es siempre positiva. Para 0=u ⇒ ( ) 0' =t
: Sólo
hay potencia radiada cuando la carga se acelera.
Radiación a bajas velocidades:
Cuando 0→β
, la expresión de la potencia radiada por unidad de ángulo sólido en la
dirección nuR
= :
( ) ( ) ( )5
2
2
20
116
'
R
RR
u
uuu
c
q
d
td
⋅−
×−×=
Ω β
β
πµ
,
se convierte en:( ) 2
2
20
16
'uu
c
q
d
tdR
×=
Ω πµ
Que, como: θ222
sinuuuR =× , donde: ( )∧
= Ru
,βθ
queda:( ) θ
πµθ 22
2
20 sin
16
,'u
c
q
d
td =Ω
β
P(θ)
θ
En la figura podemos ver el diagra-
ma polar de potencia de la radiación.
La potencia por unidad de ángulo só-
lido se distribuye de forma proporcional
a θ2sin . En este caso tendremos radia-
ción dipolar . En θmax = 2π se encuentra
el máximo de radiación.
La potencia total radiada, considerando 0→β
en la expresión [II] es:
( ) 22
0
6' u
c
qt
πµ
=
Esta es la Fórmula de Larmor para partículas cargadas.
Esta expresión es todavía válida para casos que no sean extremadamente relativistas,
es decir, cuando 0≠β
sin ser β muy próximo a 1. Está calculada en el sistema de refe-
rencia en el que la carga está instantáneamente en reposo.
Como u es la aceleración de la carga, y ésta es independiente del sistema de referen-
cia inercial que se considere, se puede formular una cantidad invariante: el invariante
de radiación para la potencia total radiada.
Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación
III 12
Radiación a altas velocidades:
Recordemos que la potencia total radiada viene dada por:
( ) ( )( )32
2220
16'
ββ
πµ
−×−= uu
c
qt
Si llamamos χ al ángulo que forman β
y u, con:
21
1
βγ
−= , podemos escribir la
expresión anterior como:
( ) [ ]χβγπ
µ 22622
0 sin16
' −= uc
qt
Cuando: u → c , entonces: γ → ∞. Como:
( ) [ ]χβχχγπ
µ 2222622
0 sincossin6
' −+= uc
qt
( ) [ ]χχγγπ
µ 222422
0 sincos6
' += uc
qt
• Para u
||β , χ = 0, sin χ = 0. Cuando: u → c, entonces ( )!#" → ∞ como γ 6.
• Para u
⊥β , χ = 2π , cos χ = 0. Cuando: u → c, entonces ( )!#"
→ ∞ como γ 4.
Si en el caso u
||β queremos aumentar, p.ej. en 1 km/s, la velocidad de la carga, la
cantidad de energía a suministrar cuando la velocidad de ésta es de 10 km/s es mucho
menor que cuando la velocidad es de 1000 km/s. El escalón de energía necesario para
aumentar la velocidad una cantidad determinada, en un cierto tiempo, es la energía que
va a ser radiada por la carga durante el proceso de aceleración*.
Cada vez va a ser más difícil acercar la carga hasta la velocidad de la luz (haría falta
una energía infinita para darle a una velocidad exactamente igual a c).
Del mismo modo, para u
⊥β , a altas velocidades es cada vez más difícil (requiere
más gasto de energía) "doblar" la trayectoria de la partícula.
Conocida la velocidad y la aceleración de una partícula cargada, utili zaremos [I] :
( ) ( ) ( )5
2
2
20
116
'
R
RR
u
uuu
c
q
d
td
⋅−
×−×=
Ω β
β
πµ
para calcular la distribución angular de la radiación en la dirección de observación Ru
.
* De la misma forma, cuando una partícula cargada libre cambie su velocidad, por ejemplo al interaccio-nar con materia en reposo sufrirá una brusca desaceleración, perderá una cantidad de energía que seráemitida en forma de radiación. Este es el origen de la radiación de frenado o Bremsstrahlung, de la quelas ecuaciones anteriores dan un explicación clásica.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 13
Aceleradores lineales:
Cuando se aceleran partículas cargadas de manera que: u$%%
||β , estamos empleando un
acelerador lineal o linac.
En este caso, en términos del ángulo:
=
∧
Ruu%$%%
,||βθ , se tendrá:
( )( )5
22
2
20
cos1
sin
16
;'
θβθ
πµθ
−=
Ωu
c
q
d
td $&
Tenemos nodos de radiación, direcciones en las que las cargas no radian. Así, para:
• θ = 0, π , se tiene que:( )
0,' =
Ωd
td θ&
Hay que señalar que el máximo de radiación se ha desplazado respecto del caso de
radiación dipolar visto para bajas velocidades, que estaba en:
• θ = 2π , ahora se tiene que:
( )0
;'
2
≠Ω =πθ
θθ d
td
d
d&
Y el lóbulo de emisión se centra en un ángulo: θmax < 2π . Hallemos la dirección del
máximo:
Igualando a cero la derivada de: ( )Ωd
td θ;'&
, respecto de cos θ, se tiene:
−+= 11513
1cos 2β
βθmax ⇒ para 0≠β : 2
πθ <max
que escribimos en función de 21
1
βγ
−= , se tiene para la dirección del máximo:
21
2
21
2
113
116
1514
cos
−
−
−
=
γ
γθmax
Si β → 1, entonces 21γ
<< 1, y al desarrollar en potencias de: 21γ
⇒ 28
11cos
γθ −≅max .
Si, por otra parte, desarrollamos la función coseno para ángulos pequeños:
22
8
11
2
11cos
γθθ −≅−≈ maxmax , con lo que:
γθ
2
1≅max
Cuando: β → 1, 0→maxθ , la dirección en la que se emite la radiación máxima se acer-
ca cada vez más a la dirección de la velocidad de la partícula acelerada.
Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación
III 14
Al aumentar la velocidad, el patrón de potencia se inclina en el diagrama de radiación,
y se aproxima cada vez más al tipo rayo, no al tipo dipolar*. Veámoslo en la figura:
* Véase el Apéndice AI
β'
θmax
u('
θ=π/2Para β = 0.90, se tiene: γ ≅ 2.29, con lo
que: θmax = 0.224 rad, y: 218.02
1 ≅γ
.
La radiación calculada con estos valo-
res en la dirección de θmax con la fórmula:
( ) θπ
µθ 222
20 sin
16
;'u
c
q
d
td )=Ω
*
resulta ser 1700 veces mayor que la cal-
culada en la dirección 2πθ = .
Acelerador sincrotrón:
En el caso en que: u)++
⊥β , tenemos radiación de tipo sincrotrón. Para la aceleración
de partículas cargadas en órbitas circulares estables (en las que permanentemente u)++
⊥β )
se utiliza un acelerador sincrotrón. El plano que determinan β+
y u)+ es el plano orbital.
φ q
plano orbitalθ
Pu)+
β+
La posición del máximo, desde la fór-
mula general:
( ) ( ) ( )5
2
2
20
116
'
R
RR
u
uuu
c
q
d
td ++)++++
⋅−
×−×=
Ω β
β
πµ
*
Como: u)++
⊥β , el producto: 0=⋅u)++
β . En
el numerador tenemos:
( )( ) ( ) 21 RRR uuuuu
++)++)+++⋅−−⋅− ββ
Al elevar al cuadrado, tal expresión se convierte en:
( ) ( )( )2222 11 RR uuuu+)+++) ⋅−−⋅− ββ
Como: ( ) φθ cossinuuu R)+)+
=⋅ , y: θββ cos=⋅ Ru++
, el numerador queda:
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 15
( ) ( ) φθβθβ 222222 cossin1cos1 uu ,, −−−
Con lo que la potencia emitida por unidad de ángulo sólido en la dirección determi-
nada por los ángulos (θ, φ ) será:
( )
( ) ( )
−−−
−=
Ωφθ
θββ
θβπµφθ 22
2
2
3
2
2
20 cossin
cos1
11
cos116
,;' u
c
q
d
td ,-
Esto permite estudiar la radiación emitida por la carga en las diferentes direcciones:
nodo
nodo anil lo sincrotrón
u./
lóbulo principal
0/
lóbulo secundario
u./ 0 /
Sección φ = 0 que contiene a la carga Sección θ = π / 2 que contiene a la carga. Parasecciones adelantadas, el patrón tiende a unaelipse* de eje menor en el plano orbital.
La mayor parte de la potencia radiada se emite en la dirección tangencial a la tra-
yectoria, para θ = 0, en el lóbulo principal. Hay un lóbulo secundario de emisión hacia
atrás, que se curva hacia adelante según aumenta la velocidad.
Para velocidades suficientemente altas, la relación del máximo del lóbulo principal al
máximo del lóbulo secundario es aproximadamente de 103.
Nótese que la distribución de la potencia emitida depende del cuadrado de la acelera-
ción, por tanto no de su signo. El lóbulo principal apunta en la dirección de la velocidad,
es lo que se conoce como efecto faro.
Si queremos conocer la radiación en cualquier estado de movimiento de la carga, hay
que usar la fórmula general, que contempla todos los valores posibles de los ángulos
que pueden formar β1
, u,1 y Ru1
.
* Véase el Apéndice AI
Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación
III 16
Invariante de Radiación:
Recordemos que la potencia radiada por una carga, medida en un sistema de referencia
inercial S es:( )
( )32
2220
16 ββ
πµ
−×−= uu
c
q23324
Cuando: β → 0, hallamos la fórmula de Larmor:
22
0
6a
c
q 3π
µ=
4
Donde a3
es el vector aceleración de la carga, que también podemos escribir como:
ca
cu
32323==β . Es la aceleración de la carga medida cuando se desplaza con una veloci-
dad u3
en S.
En un sistema coordenado Lorentz particular, tenemos que:
• La velocidad de la carga: v3
, en el sistema inercial S, está contenida en las compo-
nentes de la cuadrivelocidad:τ
αα
d
dxu =
• La aceleración de la carga: a3
, en S, está contenida en las componentes del cuadri-
vector aceleración: τ
αα
d
duu =2
τd
xdu
55=
q
( )τx5
línea deUniverso
de la carga
τd
udu
565=
Se puede formar un invariante Lorentz,
que nos dé la potencia emitida por la carga
en un punto cualquiera de la trayectoria.
Sea este invariante de radiación:
220
6
−=
τπµ
d
ud
c
q34
Reproduzcámoslo como relaciones en-
tre las componentes del cuadrivector u3
en
un sistema coordenado Lorentz:
Tomando el cuadrivector velocidad en el sistema coordenado Lorentz en el que las
componentes del vector velocidad son: ( )vcu3
γγα ,=
El cuadrivector aceleración es: ( )νγγγττ
αα 3,c
dt
d
dt
du
d
dt
d
du ==
Para hallar esta derivada, necesitamos derivar el factor γ respecto de t:
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 17
con
dt
d
dt
d ββββ
γ77
·1
1 2
2==
−= ( ) ( )
dt
dββββ7777
⋅−⋅−−=−
212
1 23
Como: ββ 877
=dt
d, se tiene que: ββγγ 877
⋅= 3
dt
d
La parte espacial del cuadrivector velocidad queda:
( ) βγβββγγγγ 877877777cc
dt
vdv
dt
dv
dt
d +
=+= 3
Con lo que las componentes del cuadrivector aceleración en un sistema coordenado
Lorentz quedan:
+
= βγβββγββγγα 877877877
8 cccu ·,· 33
Reordenando:
+
= ββββγββγγα 878777877
8 ·,· 222cu
En la expresión del invariante de radiación aparece el módulo del cuadrivector acele-
ración, calculémoslo:
+
−
=
22
2424 ·· ββββγββγγα
α 87877787788 cuu
++
−
= ββββγββββγββγγ 8778778877877··2·· 22
224
2424c
( )
−−
−=
222
22424 ·2·1 ββγββββγγ 8778877
c
−−
=
222
2224 ·2· ββγβββγγ 8778877
c
+−=
22224 ·ββγβγ 8778c
+−=
2
2
226 ·ββ
γβγ 8778
c ( )
+−−=
22226 ·1 ββββγ 8778c
+−−=
222226 ·βββββγ 87788c
−−−= βββββββγ 877878778 ·2226c
La cantidad encerrada entre llaves es el triple producto vectorial:
×× βββ 87787
. Así:
Funciones de Green covariantes
III 18
××⋅−−= βββββγα
α 9::9::999 226cuu
Por rotación del producto mixto:
×⋅
×=
××⋅ ββββββββ 9::9::9::9::
Se tiene:
×−−=
2226 βββγα
α 9::999 cuu
Sustituyendo el módulo del cuadrivector aceleración en la expresión del invariante de
radiación, recuperamos la expresión de la potencia radiada por el sistema:
( )( )
( )32
2220
32
22
22
0
1616 ββ
πµ
β
βββ
πµ
−×−=
−
×−
= uu
c
qc
c
q 9::
99::
9;
Vemos que el invariante de radiación calculado en S nos da la potencia que se mide en S.
Así, para un sistema coordenado S en el que la carga esté instantáneamente en repo-
so, se tiene para el cuadrivector velocidad: ( )0,:
cu =α , y para el cuadrivector acelera-
ción: ( )au:
9 ,0=α , (en este caso: γ = 1). Si operamos con las componentes del cuadri-
vector aceleración, su módulo resulta ser:
( )( ) 2,0,0 aaauu
:::99 −=−=α
α
Con lo que la potencia radiada por la carga, en el sistema coordenado en el que la carga
está instantáneamente en reposo, es:
22
0
6a
c
q :π
µ=;
Vemos que al traducir la expresión del invariante de radiación a un sistema coorde-
nado en el que la carga está instantáneamente en reposo, se reproduce la forma de la
potencia emitida por la carga que vimos al suponer que ésta se mueve a velocidades
pequeñas: la fórmula de Larmor*.
3. Funciones de Green covariantes:
Vamos a ver cómo se obtienen en m4, para los campos, las expresiones vistas en los
sistemas inerciales, con el método de las funciones de Green covariantes.
* No hay más alternativas a la generalización covariante que hemos visto de la Fórmula de Larmor. Véa-se: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd ed. (footnote on p.666).
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 19
Carga puntual en m4:
línea deUniverso
de la carga
1:τr
2:τa
P(xα)
q(x'αr)
q(x'αa)
∆xα
Supongamos una región del espacio de
Minkowski: M ⊂ m4; en cualquier punto
de esa región se pueden definir objetos
como: F(x), A(x) ó J (x).
Las posibles trayectorias de una partí-
cula en los distintos sistemas inerciales, se
representan en M por una única línea de
Universo.
Consideremos el caso de una partícula cargada. En un sistema coordenado Lorentz su
línea de Universo contiene la información de las coordenadas y tiempo asociados al
punto campo en S. Denotaremos por P( x< ) = P(xα) el punto campo de S. El punto fuente
q( x< ) tendrá, en S, coordenadas q(x' α).
En cualquier punto P vamos a estudiar los objetos ( )αxA< y ( )αxF=
, y proponer expre-
siones en m4 que, en sistemas coordenados, nos van a dar potenciales y campos conoci-
dos que ya hemos expresado en los sistemas inerciales S.
Toda señal electromagnética de q sólo se notará en P si la línea de Universo de q pa-
sa por el cono de luz de P, y es que como tal señal tiene la velocidad c, sólo se propaga
en los conos de M. La línea de Universo de q podrá cruzar el cono de luz de P en dos
puntos: 1, 2. Estos serán los puntos fuente a considerar para obtener los campos en P.
Como el cuadrivector relativo ∆xα entre el punto fuente q y el punto campo P es isó-
tropo, su módulo es cero. Así pues:
( ) ( )( )','' rrttcxxx << −−=−=∆ ααα
( ) ( ) ( ) 0'''222222 =−−=−−−=∆∆ Rttcrrttcxx <<<α
α
Donde 'rrR <<< −= es el vector relativo entre punto fuente y punto campo en S. Por tanto:
Rttc <±=− )'(
Hay dos posibil idades:
• c
Rtt r
<−=' es el instante retardado, y se corresponde con la posición de la carga
en un instante t' anterior a t (posición retardada).
Funciones de Green covariantes
III 20
• c
Rtt a
>+=' es el instante avanzado, y se corresponde con la posición de la carga en
un instante t' posterior a t (posición avanzada).
Como las señales que vienen de la posición avanzada no tienen interés físico, pues
considerarlas significaría que los campos aparecen en el punto P antes de ser emitidos
por la carga en el punto fuente, se descartan (no son compatibles con el concepto usual
de causalidad).
Así tendremos en cuenta que, en el caso de utili zar un cuadrivector de módulo cero,
hemos de considerar la contribución a los campos desde la posición retardada de la car-
ga, que es la única solución físicamente aceptable.
Vamos a proponer una ecuación en m4 que nos permita encontrar potenciales asocia-
dos a cada punto. Estos serán los potenciales de Liénard-Wiechert, que vimos para una
carga puntual en movimiento.
Hemos de resolver la ecuación diferencial para el potencial cuadrivector:
JA>>
0µ=?
O bien: [I] ( ) ( )xJxA>>
0µαα =∂∂
En los sistemas coordenados Lorentz.
Dado ( )xJ>
, podremos resolver el problema fácilmente por el método de las funciones
de Green si, para una fuente arbitraria, se conoce la solución de la ecuación:
( ) ( )''; )4( xxxxD −=∂∂ δαα , con: ( ) ( ) ( ) ( )
∈≠
→− ∫ =− 44)4()4( si,
si0,'
4
'' Vx'
x'xxx
V
xfxdxxxf δδ
Conocida la función ( )';xxD , se obtiene una solución de [I] con el cuadripotencial:
( ) ∫='
40 ')'()';(
x
xdxJxxDxA>>
µ
Donde '4xd representa el elemento de volumen del espacio de Minkowski, y la integral
se extiende a todo el espacio representado por las coordenadas: x'.
La función )(xA>>
así construida es solución de la ecuación [I] al considerar:
( ) ( )''; )4( xxxxD −=∂∂ δαα . En efecto:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ =−=∂∂=∂∂' '
04)4(
04
0 '''')'()';(x x
xJxdxJxxxdxJxxDxA>>>>
µδµµ ααα
α
Y, por la presencia de la función delta, sólo contribuye a la integral el punto: x = x'.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 21
La función ( )';xxD se conoce como función de Green del operador αα ∂∂=∂2 . La
cuestión será hallar la función de Green que permita hallar la solución de [I ] para todo
cuadrivector ( )xJ@
.
La fuente de campo electromagnético más sencilla es la carga puntual. Propondre-
mos la expresión de ( )xJ@
para una línea de Universo de tipo temporal a la que asocia-
mos el parámetro q.
Cuadrivector densidad de corriente para la carga en m4:
Recordemos que el cuadrivector densidad de corriente referido a un sistema de coor-
denadas tiene como componentes:
( ) ( ) ( )( )trJtrctrJ ,,,,@@@@
⊥= ρα
Donde: ( ) ( )( )trrqtr ',@@@
−= δρ , y: ( ) ( ) ( )( )trrtvqtrJ ',@@@@@
−=⊥ δ
Con: r@
, coordenadas del punto campo en el sistema S.
)(' tr@
, función que describe la trayectoria de la partícula en el sistema S.Dará la posición de la carga en todo instante: coordenadas delpunto fuente.
Veamos en m4 cómo describir el campo vectorial J@
, densidad de corriente. Si x es un
punto de m4 , el cuadrivector densidad de corriente de una carga puntual q con línea de
Universo z(τ ) se puede definir como:
( ) ( ) ( )( )∫ −=τ
ττδτ dzxuqcxJ )4(@
( )τuA
( )τz@
x@
( )xJ@@
m4 Donde ( )τu es el cuadrivector velocidad de
la partícula. Llamamos x al punto P de m4:
( )xxx@
,0≡α , donde x@
son las coordenadas es-
paciales en S.
Esta integral sólo va a tener valores dife-
rentes de cero cuando: )(τzx = , es decir, sobre
la línea de Universo de q.
Vamos a obtener las expresiones de la densidad de carga y de la densidad de co-
rriente para observadores inerciales. Esperamos que la forma propuesta para ( )xJ@
re-
produzca correctamente las densidades de carga y corriente de la carga puntual en S.
Funciones de Green covariantes
III 22
Si referimos la expresión de la densidad de corriente ( )xJB
a un sistema coordenado
Lorentz, se tiene que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ττδτδτττδττ τ
ααα dzxzxuqcdzxuqcxJ ∫ ∫ −−=−=BB00)4(
Pues: ( )( ) ( )( ) ( )( )τδτδτδ zxzxzxBB
−−=− 00)4(
Extendiendo la integral a todo τ , y aplicando la propiedad de la función δ :
( )( ) ( )∫ ∑ ∑==i i i
i
ii
g
f
d
dgfdgf
ττ
ττ
τττδτ C )(
)(
1)()(
Donde iτ son los ceros de la función ( )τg , esto es: ( ) 0=ig τ .
Si consideramos: ( )( )ττ 00)( zxg −= , como la función g sólo contribuye a la integral
en los puntos en que se anula el argumento de la función δ, resulta que:
( )( )( ) ( )
( ) =
≡
−=
τττ
τδ
α
α
d
dtc
d
dzd
dt
dt
tdztzx
qcxJ0
BB
( )( ) ( )dt
tdztzxq
αδ
BB−
Tomando componentes, se tendrá:
• para α = 0 ( )( ) ( ) ( )( ) cctrrqdt
ctdtrxqJ ρδδ =−=−= ''0 BBDB
• para α = 1, 2, 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )tvtrxqdt
trdtrxqJ
BBBBDB'' −=−= δδα
Donde ( )tr 'B
es la trayectoria de la partícula, con la que se calcula la posición de la carga
puntual en S. Podemos escribir entonces en un sistema coordenado Lorentz:
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
−=−=
=⊥ trrtvqtrJ
trrqtrtrJ
',',
, BBBBBBBBδ
δρα
Potenciales de Liénard-Wiechert:
Consideremos, para la carga q sobre la línea de Universo: z(τ ), el potencial cuadri-
vector: ( )xAB
, en cualquier punto x de m4:
( ) ( )( ) ( )( )
rzxz
zqcxA
ττττ
πµ
−⋅= C
CB40
Calculado en τr, que se corresponde con la posición retardada de la carga: t' < t, pues
entonces: ( )( ) ( )( ) 0=−⋅− rr zxzx ττ , esto es:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0'''222 =−−−=−− trrttczxzx rr
BBσ
σ ττ ⇒ en S estará calculado en t'.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 23
Veamos que este cuadrivector contiene los potenciales de Liénard-Wiechert tomando
componentes. Como: ( )rctz E,'=σ , y: ( )vcz EFγγσ ,= , entonces:
( )( ) ( ) ( )RucRRvttczxz EEEEF⋅−=−−=− βγγγτ σ
σ 1·'2
• Para la parte temporal:
( ) ( ) cucR
cqcxA
rR
φβγ
γπ
µ
τ
α =⋅−
=EE14
00 ⇒ ( ) ( )'0 1
1
4,
tRuR
qtr
EEE⋅−
=βπε
φ
• Para la parte espacial:
( ) ( )i
R
ii A
ucR
vqcxA
r
⊥=⋅−
=τ
α
βγγ
πµ
EE140 ⇒ ( ) ( )
'
0
14,
tRuR
vqtrA
EEEEE
⋅−=⊥ βπ
µ
Que son los potenciales de Liénard-Wiechert de una carga q, que se mueve con veloci-
dad vE en el sistema de referencia S.
Cálculo del potencial de Liénard-Wiechert con las funciones de Green covar iantes:
z(τr)
z(τa)( )τzG
x z(τ)
La ecuación geométrica que liga el
potencial ( )xAE con ( )xJE se puede resol-
ver, para obtener la expresión de ( )xAE , si
conocemos la función de Green ( )';xxD
del operador ∂ 2 tal que:
( ) ( )''; )4( xxxxD −=∂∂ δαα
Proponemos dos funciones de Green, covariantes Lorentz, que llamamos rD y aD :
( ) ( )[ ]2)4(001 ''
2
1)'( xxxxxxDr −−=− δϑ
πretardada
( ) ( )[ ]2)4(002 ''
2
1)'( xxxxxxDa −−=− δϑ
π avanzada
El cuadrivector ( )( )τ'xx − está sobre el cono de luz, luego su módulo es nulo:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0'''''''222 =−−−=−−=−⋅− trrttcxxxxxxxx EEα
α ττττ
Así: ( ) Rttc ±=− ' , por tanto: rτ se corresponde con t' < t
aτ se corresponde con t' > t
Funciones de Green covariantes
III 24
Si se elige como solución la función de Green adecuada, se asegura la condición de
retardo para todo sistema coordenado Lorentz. Así, la función rD asegura que la señal
aparece en el punto campo desde la posición retardada de la partícula: rτ , que se co-
rresponde con 00' xx < , si definimos:
( )
<>=− 00
0000
1 ,0,1'
x' xx'xxx
ϑ
Del mismo modo, aD contribuirá con la señal desde la posición avanzada si se define
2ϑ como: ( )
<>=− 00
0000
2 0,1'
xx'xx'xx
, ϑ
La solución para ( )xAH
será:
( ) ( ) ( ) '''; 4
'0 xdxJxxDxA
x
r
HHH∫= µ
con la densidad de fuente: ( ) ( ) ( )( )∫ −=τ
ττδτ dzxzqcxJ )4(IH
Tendremos, tomando componentes:
( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫ −=τ
µµ ττδτµ dxdzxzxxDqcxAx
r
'
4)4(0 ''';
I
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )∫ ∫ −−−=τ
µ τδτδϑτπ
µ''''
24)4(
'
2)4(001
0 xdzxzxxxxdqc
x
I
( ) ( )[ ] ( )∫ −−=τ
µ τττδϑπ
µdzzxzx
qc I2)4(001
0 )(2
Ya que, al integrar a todo x', habrá contribución cuando se anule el argumento de δ (4) ; es
decir para: )(' τzx = .
Para la integración en τ, se tendrá en cuenta que la contribución de los puntos en que
se anula el argumento de la función δ se ha de dividir por ( )τgI
, donde:
( ) ( )( )2ττ zxg −= . Así: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )ττττττ
τσ
σ
σ
σ zzxd
dzzxzx
d
d I−=−−=− 222 ¶
De los dos puntos donde se anula el argumento de la función δ , se selecciona el co-
rrespondiente a: rττ = , ya que 1ϑ sólo no se anula para: 00 'xx > .
Por lo tanto: ( ) ( )( )( ) ( )
rzzx
zqcxA
ττσ
σ
µµ
τττ
πµ
=−
= II
40
Que es la expresión propuesta anteriormente para el potencial de Liénard-Wiechert co-
variante.
¶ Nótese que esta cantidad es siempre positi va, pues la línea de Universo es de tipo temporal.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 25
Obtención del tensor campo electromagnético:
Para hallar el tensor campo, se puede derivar la expresión obtenida para ( )xAµ , y de
este modo calcular: ( ) ( ) ( )xAxAxF µννµµν ∂−∂=
O alternativamente, derivar las expresiones integrales de Aµ en términos de las funciones
de Green, que es más sencil lo y es lo que vamos a hacer.
Considerando la expresión de ( )xJJ
para la carga puntual q, tenemos que:
( ) ( ) ( ) ( )( ) =−= ∫ ∫τ
µµ ττδτµ'
4)4(0 ''';
x
r dxdzxzxxDqcxA K ( )( ) ( ) τττµτ
µ dzzxDqc r∫ K;0
Derivamos respecto a νx : ( ) ( )( ) ( )∫ ∂∂=
τ
µ
ν
νµ τττµ dzx
zxDqcxA r K;
0,
Notemos que la función de Green es una función cuadrática de: ( )τzx − , por lo que*:
( )( )
∫ ∂−∂
−=
τ
µ
ν
νµ τµ dzx
zx
zxd
dDqcA r K][
][
2
20, ( ) ( )∫ −
−=τ
µν τµ dzxd
dDzzxqc r
][2
20 K
( ) ( )∫ −−=
τ
µν ττ
τµ dd
Dd
zxd
dzzxqc r
][2
20 K ( )( )∫ −
−−=τ
σσ
µν
ττ
µ dd
Dd
zzx
zzxqc r
KK
0
Donde hemos sustituido: ( ) ][ 2zxd
d
−τ
, por el inverso de: ( ) ( ) σ
στzzx
d
zxd K−−=−2
][ 2
.
Integrando por partes:
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )∫
−−+
−−−=
+∞
∞− τσ
σ
µν
σσ
µννµ τ
ττττ
ττµτ
ττττµ d
zzx
zzx
d
dzxDqczxD
zzx
zzxqcA rr K
KKK
;; 00,
El primer término vale cero, pues en ±∞=τ : ( )τzx ≠ , y la función ( )( )τzxDr ; se anula.
Nos quedamos con: ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )∫
−−=
τσ
σ
µννµ τ
ττττ
ττµ d
zzx
zzx
d
dzxDqcA r K
K;0
,
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) τ
ττδτϑ
πµ
σσ
µν
dzzx
zzx
d
dzxzx
qc
−−−−= ∫ K
K2)4(001
0
2
* Haremos uso de: ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( )τ
ττ
ττττττ µµµ
d
fdD
fd
df
fd
fdDffD rr
r ∂=∂=∂
Donde hemos sustituido la expresión de la función de Green retardada. Integramos te-
niendo en cuenta la propiedad conocida: ( )( ) ( )∫ ∑=i i
i
g
fdgf
ττττδτ
K)(
)(
Donde ahora: ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
−−=
ττττ
ττ σ
σ
µν
zzx
zzx
d
df
KK
, y: ( ) ( )( )2ττ zxg −=
Expresión covariante de los campos
III 26
Por lo que:( ) ( ) ( )( ) ( )τττττ σ
σ zzxgd
gd LL −== 2
Así: ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )
r
zzx
zzx
d
d
zzx
qcA
τσ
σ
µν
σσ
νµ
ττττ
ττπµ
−−
−= L
LL
1
40,
Operando ahora para obtener el tensor campo:
( )( ) ( )
( )r
zzx
zxzzxz
d
d
zzx
qcAAF
τσσ
µννµ
σσ
µννµµν
τπµ
−−−−
−=−= L
LLL
1
40,,
Derivando respecto de τ, resulta la expresión completamente general:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]r
zzxBzzxAzzxzzxBzzxAzzxA
qcF
τ
µνµνµννµνµνµµν
πµ LLLLLLLL −−−+−−−+−−−=
3
30
4
Donde: ( )( ) ( )ττ σσ zzxAL−= , y: ( )( ) ( )ττ σ
σ zzxBLL−=
4. Expresión covariante de los campos:
Con el tensor campo expresado de forma covariante en términos de la trayectoria en
m4 de la partícula cargada, asegurada la condición de retardo para todo sistema coordena-
do Lorentz, podemos calcular los campos que genera una partícula en cualquier sistema.
Campos de la carga puntual en reposo:
Una carga puntual que se mueve con velocidad constante, en un sistema de referen-
cia inercial, puede describirse en otro SRI como una carga en reposo. En el sistema de
referencia en el que la carga está en reposo S:
( )rctx M,=µ ( )cterctz == ',' Mµ ( )0,cz =µL ( )0,0=µzLL
Luego B = 0. Calculemos el término A:
( ) ( ) ( ) cRttczzxzzxzzxA =−=−−−=−= )'(2000LMMMLL σ
σ
Ya que: ')'( rrRttc MMM −==−
• La componente 01F del tensor campo electromagnético en el sistema S:
( ) ( )[ ]011033
3001
4zzxzzx
Rc
qcF
LL −−−=π
µ ( )[ ]c
ER
R
qccxx
Rc
qc xx −=−=−−=
30
33
30
4'
4 πµ
πµ
Simplificando con: 00
2 1
µε=c , obtenemos la componente x del campo eléctrico:
( )3
04 R
RqE x
x
Mπε
=
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
III 27
• Trabajando con las componentes iF 0 del tensor campo electromagnético vemos que:
304 R
RqE
NNπε
= Campo de Coulomb
• Del mismo modo podemos ver otras componentes ijF , por ejemplo: 21F , que tendrá
el término: ( ) ( ) 02112 =−−− zzxzzx OO , luego Bz = 0. Operando con el resto de com-
ponentes se encuentra que: 0=BN
Campos de la carga en movimiento uniforme:
Para el sistema en el que la carga se mueve con velocidad constante:
( )rctxN
,=µ ( )( )'',' trctzN
=µ ( )ctevcz ==NO ,γµ ( )0,0=µzOO
Luego B = 0. Calculemos A:
( ) ( ) ( )RuRcvRcttczzxANNNN
O ⋅−=−−=−= βγγγσσ 1'
• Veamos la componente 01F :
( ) ( ) ( ) cRvRcRvttczzxzzx xxxx γγγγ −=−−=−−− '0110 OO ( )xRxx ucR
R
R
c
vcR
NN−=
−= βγγ
Por tanto:( )( )3333
3001
·14R
xRx
ucR
uRcqc
c
EF NN
NN
βγβγ
πµ
−−
=−=
Despejando xE , se obtiene:( )( )
( )3
2
20 ·1
1
4 R
xRx
u
u
R
qE NN
NN
βββ
πε −−−
= (cf. III 7)
Para el campo magnético:( )( )
( )3
2
20
·1
1
4 R
R
u
u
R
qB NN
NNNβ
ββπµ
−×−= (cf. III 7)
Campos de la carga acelerada:
Considerando la carga puntual acelerada:
( )rctxN
,=µ ( )( )'',' trctzN
=µ ( )( )'', tvczNO γµ = ( )( )'',
'tvc
dt
dz
NOO γµ =
Se recuperan los campos de aceleración:
( )( )3
0 ·14R
RR
au
uu
Rc
qE NN
ONNNNN
β
ββ
πε −
×−×
= (cf. III 8)
( )( )3
0
·14R
RRR
au
uuu
cR
qB NN
ONNNNONNNN
β
ββββ
πµ
−
×⋅+×−
= (cf. III 8)
Bibliografía:
Básica:
Barut A. O. "Electrodynamics and Classical Theory of Fields & Particles", Dover reprint 1980
Jackson J. D. "Electrodinámica Clásica", 2ª ed. Alhambra 1980"Classical Electrodynamics", 3rd ed. Wiley 1998
Konopinski E.J. "Electromagnetic Fields and Relativistic Particles", McGraw-Hill 1981
Landau L.D. "Teoría Clásica de los Campos", 2ª ed. Reverté 1973
Complementaria:
Brédov M. & Rumiántsev V. "Electrodinámica Clásica", Mir 1986
Goldstein H. "Mecánica Clásica", 2ª ed. Reverté 1980"Classical Mechanics", 3rd ed. Pearson 2002
Ingarden R.S. &
Classical Electrodynamics", Elsevier 1985
Thidé B. "Electromagnetic Field Theory", Communa Upsilon Books 2001http://www.plasma.uu.se/CED/Book
Adicional sobre Relatividad:
Introductor ia: Skinner R. "Special Relativity", Blaisdell 1969
Referencia: Das A. "The Special Theory of Relativity. A Mathematical Exposition", 2nd
ed. University of Bangalore Press 1997
Matemáticas:
Tensores: Kay D.C. "Teoría y Problemas de Cálculo Tensorial", McGraw-Hill ,Schaum 1991
Synge J.L. & "Tensor Calculus", University of Toronto Press 1966Schild A.
Formas: Boothby W. M. "An Introduction to Differentiable Manifolds and RiemannianGeometry", 2nd ed. Academic Press 1986
Flanders H. "Differential Forms with Applications to the Physical Sciences",Dover 1989
Frankel T. "The Geometry of Physics. An Introduction", Cambridge Univer-sity Press 1999
Schutz, B.F. "Geometrical Methods in Mathematical Physics", CambridgeUniversity Press 1980
Otras referencias:
Itzykson C. & "Quantum Field Theory", McGraw-Hill 1980 Zuber J. B.
Mandl F. & "Quantum Field Theory", Wiley 1984 Shaw G.
Rohrlich F. "Classical Charged Particles", Addison-Wesley 1990
AI
Dis
trib
uci
ón e
sfér
ica
de
la p
oten
cia
rad
iad
a p
or u
na
carg
a p
un
tual
q a
cele
rad
a 1
m/s
2 :
C
ada
unid
ad (
u) d
e lo
s ej
es r
epre
sent
a: 1
u =
(q2 µ 0
/16π
2 c)×
(1m
/s2 )2
Ace
lera
dor
sin
crot
rón
:
ββ &rr⊥
ββ = 0.10
θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]
ββ = 0.20
θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, π]
ββ = 0.50
θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, π]
β&r
βr
β&r
βr
β&r
βr
D
istr
ibu
ción
esf
éric
a d
e la
pot
enci
a ra
dia
da
por
un
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pu
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al q
ace
lera
da
1 m
/s2 :
C
ada
unid
ad (
u) d
e lo
s ej
es r
epre
sent
a: 1
u =
(q2 µ 0
/16π
2 c)×
(1m
/s2 )2
Ace
lera
dor
lin
eal:
ββ &rr||
ββ = 0.10
θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]
ββ = 0.50
θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]
ββ = 0.90
θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]
β&r
β&rβ
r
β&rβ
r
βr
i
FORMULACIÓN GEOMÉTRICA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
GEOMETRIC FORMULATION OF ELECTROMAGNETIC FIELD
Resumen
Se exponen de forma geométrica las leyes del electromagnetismo clásico como una consecuenciainevitable del principio de relatividad. Este tipo de formulación, independiente de sistemas coorde-nados particulares y del conjunto de observadores, sería la forma ideal y el modelo para la formula-ción de las teorías físicas. Naturalmente, dicha formulación geométrica reproduce las expresionesusuales que toman las leyes de Maxwell para los observadores locales.
Abstract
We present geometricall y the laws of classic electromagnetism as an unavoidable consequence ofthe principle of relativity. This kind of geometric formulation, index-free and simple, would be theideal form and model for the formulation of physics. Naturall y, this geometric formulation providesthe usual expressions of Maxwell ´s equations for local observers.
M.A. ABIÁNJ.F. ORIADepartamento de Física AplicadaUniversidad de ValenciaC/ Dr Moliner, 50 (Ed. Jerónimo Muñoz 0005)Burjassot (Valencia) - 46100
I. FORMULACIÓN DE LAS LEYES FÍSICAS
La teoría que se ocupa de establecer las bases con-ceptuales para la correcta expresión de las leyes de lafísica es la teoría de la relatividad. Concretamente, suprimer postulado o principio de relatividad es el fun-damento filosófico y la guía que ha de seguirse cuandose propone una ley física, expresada de la forma usual,como relaciones matemáticas entre objetos. De estemodo, el segundo de los postulados (La velocidad de laluz ha de ser la misma para todos los observadores)puede considerarse como una consecuencia directa deeste primero. Consistiría pues únicamente en enunciaruna de las leyes de la física. Aunque de modo todavíaimpreciso, podemos formular el primer postulado derelatividad diciendo: Las leyes físicas han de tener lamisma forma, no importa qué observadores las formu-len. Nuestra labor en estas páginas será precisar elsignificado de tal principio.
I.1. Sistemas coordenados
El observador que propone una ley física empleaun conjunto de funciones con las que pretende describirlas experiencias reali zadas. La relación que estableceentre tales funciones será lo que proponga como leyfísica.
Para ello, previamente, ha de definir en su labo-ratorio un sistema coordenado. Esto es: precisar elmodo en que asigna a un suceso los cuatro númerosprecisos para definir la posición y el tiempo. Así, fun-ciones de la posición y el tiempo, establecidas en susistema coordenado y relacionadas entre sí por mediode derivadas parciales, entrarán en la expresión mate-mática de la ley física.
Es evidente que el contenido de la ley tendrá queser independiente de la formulación concreta que tal leyadopte en un particular sistema coordenado. Cuandouna ley se escribe como relaciones a ambos lados deuna igualdad, de tal modo que, ante un cambio de sis-temas coordenados, la nueva expresión de la ley man-tiene la forma, se dice que tal ley está escrita de modo
AII
ii
covariante. El objetivo del observador ha de ser formu-lar la ley de modo que su expresión no haga referenciaa ningún sistema coordenado concreto. Indicará laoperación que se tendrá que reali zar sobre un objetodefinido y nos dirá a qué otro objeto tendrá que igualar-se, de modo tal que ambos objetos y la operación que-den unívocamente definidos sin hacer mención a nin-gún sistema coordenado particular. Cuando esta condi-ción se cumpla, diremos que se ha expresado la ley demanera geométrica.
La aparición de índices en la expresión de una ley,es decir, la expresión usual de las leyes físicas por losmétodos del cálculo tensorial, hace referencia a la cova-rianza de la misma en una clase de sistemas coordena-dos y, por tanto, necesariamente ha de nombrarse elconjunto de sistemas coordenados en los que la ley esinvariante en forma. Lo usual en relatividad especial esproponer la ley invariante en forma para los sistemascoordenados Lorentz y, en consecuencia, se dice que suexpresión es covariante Lorentz. En caso de utili zar elobservador un sistema coordenado no Lorentz, puedeproponerse la ley por los métodos del cálculo tensorialde modo covariante general. La ley propuesta será co-variante general o invariante en forma ante una trans-formación general de coordenadas. Éste es el modo deproponer las leyes en relatividad general.
I.2. Observadores
No solamente el contenido de la ley ha de hacerseindependiente de su expresión en los distintos sistemascoordenados posibles que pueda utili zar un determina-do observador. También ha de ocurrir esto con la mis-ma ley, no importa qué observador la formule. Paradó-jicamente este es el contenido del principio de relativi-dad: todos los observadores establecerán la misma ley.La ley es única. En un universo ausente de observado-res los acontecimientos siguen produciéndose del mis-mo modo.
La formulación geométrica de la ley será indepen-diente del observador y del sistema coordenado y úni-camente describirá la relación entre los objetos queintervienen en la ley física o teoría que se quiere cons-truir.
II. LA VARIEDAD CUADRIDIMENSIONAL
¿Cuál es el marco adecuado para formular las le-yes físicas? Según la teoría de la relatividad especial esla variedad cuadridimensional V 4 , dotada de la es-tructura diferenciable y métrica adecuada. La estructuradiferenciable establecida se denomina un atlas Ω . Unatlas en una n-variedad V n consiste en una familia decartas locales φ i definidas en conjuntos abiertos ui
pertenecientes a V n , siendo ui un recubrimiento de V n .En particular, puede ocurrir que la carta local φ k pueda
extenderse a toda la variedad con lo que u Vkn= y el
homeomorfismo φ k :
φ φk k k knu u R: ( ) → ⊆
define una coordinatización, o un sistema coordenadoglobal válido para identificar cualquier punto de lavariedad. En esa coordinatización de la variedad escri-biremos para todo X uk∈ φk
nX x x x( ) ( , ,..., )= 1 2 ,que serán las coordenadas del punto X .
II.1. Espacio tangente
Definiremos como F uk0( ) el conjunto de las fun-
ciones continuas f definidas en ku con valores en R.
f u R f F uk k: ( ) → ∈ 0
Para la carta ( , )uk kφ tendremos el modo de pro-ceder:
f X f X f x x x Rkn( ) ( ( )) ( , ,..., )= = ∈φ 1 2
En el sistema coordenado φ k , cada uno de los
operadores vxi i
X
=
∂∂
son parte del conjunto de vec-
tores tangentes en X y constituyen la base natural devectores tangentes en X para φ k . De este modo, todoa se podrá expresar como
a a
xi
iX
=
∂∂
. Tales vecto-
res residen en el espacio tangente a ku en X , que se
simboliza por T uX k( ) . Cualquier a T uX k∈ ( ) actúa
sobre los elementos de F uk0( ) dando lugar a números,
es decir: a F u R a T uo
k p k: ( ) ( ) → ∈
Al conjunto de valores ai se les denomina com-ponentes de
a en la carta φ k . Para otra carta ( , )vk kψ
las coordenadas del punto X seránψk
nX x x x( ) ( , ,..., )= 1 2 y las componentes de a en esa
carta ψk serán ( , ,..., )a a an1 2 donde la base natural en
T uX k( ) serán los vectores vx
i iX
=
∂∂
. Ya que debe
existir una relación x x xj j i= ( ) por ser φk , ψk ho-
meomorfismos de u vk k∩ en Rn , las componentes delvector
a quedan relacionadas por la expresión:
ax
xai
i
jj=
∂∂
que es la conocida ley de transformación de las llama-das componentes contravariantes de un vector.
iii
II.2. Espacio cotangente
A los elementos del conjunto de funciones conti-nuas F uk
0( ) se les denomina también 0-formas. Exis-ten otro tipo de objetos que residen en el espacio cotan-gente (dual del tangente) que simbolizamos porT uX k
* ( ) . Los objetos de este espacio son las 1-formas yel conjunto de las mismas en X se simboliza comoT uX k
* ( ) . En la coordinatización φk , la base de 1-formas
es la basada en las diferenciales ( , ,... )dx dx dxn1 2 ,
que es la dual de ∂
∂∂
∂∂
∂
x x xn1 2, , ...,
. Cualquier 1-
forma es combinación lineal de las 1-formas base, demodo que:
α = a dxii
donde ( , )a a a1 , ..., 2 n son las componentes de α parala carta ( , )uk kφ . Si cambiamos de carta en un entornodel punto X , de modo que ahora usamos la carta( , )vk kψ , las componentes de la 1-forma serán
( , , )a a a1 2 ..., n y tendremos la relación:
ij
i
j ax
xa
=
∂∂
que se conoce como la ley de transformación de lascomponentes covariantes. En cálculo tensorial clásico,se llama vector covariante en X al conjunto de n canti-dades que se transforman según la anterior ley.
Una 1-forma es una aplicación lineal de T uX k( )
en R. Así, para todo α ∈ T uX k* ( ) y para todo
v T uX k∈ ( ) tendremos:
Rvava
xdxva
xvdxav
ii
ii
ii
ii
∈==
===
ββ
ββ
ββ
δ∂
∂∂
∂α )
(
)(
Los objetos en T uX k( ) (vectores) y en T uX k* ( ) (1-
formas) deben únicamente su existencia a la estructuradiferenciable establecida en V n .
Si queremos conocer el módulo de un vector o sa-ber si dos vectores son ortogonales, hemos de introduciren T uX k( ) una estructura adicional: la estructura mé-trica. Introducimos (en terminología de Wheeler) encada punto X uk∈ , una máquina g simétrica, bil i-neal y no degenerada, capaz de aceptar vectores y darnúmeros. Es decir:
g u v u v R( , ) ,=< > ∈ En particular, para los vectores base de φ k tendremoslas componentes de g :
gx x
g e e g e ei j i j ij i j
∂∂
∂∂
, ( , ) ,
= = =< >
La métrica induce un isomorfismo entre T uX k( ) y
T uX k* ( ) . Para cada v T uX k∈ ( ) se establece una corres-
pondencia con la 1-forma v T uX k* * ( )∈ definida por
v v v u v u u T uX k → =< > ∀ ∈* */ ( ) , ( )Con esta definición pondremos:
< >=< >= < >=
= = = =
v u v e u e v u e e
v u g v u v u v u u v
, , ,
( ) ( )* *
αα
ββ
α βα β
α βαβ β
β αα
Las operaciones v g vβ αβα= y u g uα αβ
β= se cono-
cen como bajar índices. De forma similar podemossubir índices, utili zando la matriz inversa gαβ .
II.3. El espacio de Minkowski
Es la variedad cuadridimensional dotada de es-tructura diferenciable y estructura métrica. En particu-lar, existe un conjunto de cartas equivalentes ( , )uk kφextensible a toda la variedad en que la métrica paratodo X uk∈ tiene por componentes g e ei j ij( , ) = ±δ , lo
que nos dice que la base es ortonormal. En tal base hayun +1 y tres -1, por tanto el índice de la métrica es 3.Diremos que hemos establecido una coordinatizaciónLorentz para el espacio-tiempo y pondremosu V Mk = =4 . Todas las cartas equivalentes preservanlas componentes de la métrica y definen un sistemacoordenado Lorentz que se denominará ( , )M kφ . Losobjetos que se definan en M cuando se representan encomponentes en la carta φk particular elegida describi-rán las magnitudes físicas asociadas a las medidasrealizadas por uno de los particulares observadorespertenecientes a la misma clase inercial que llamare-mos Sk . Dicho de otro modo: cada observador Sk secorresponde con la descripción de los objetos en elsistema coordenado Lorentz o carta φk .
III. FORMAS DIFERENCIALES
El conjunto de 1-formas definidas en un puntoX u Vk
n∈ ∈ , y que hemos denominado T uX k* ( ) tiene
estructura de espacio vectorial. Tal espacio vectorialbase lo simbolizamos como Λ1( )V n y para p=2,3,... nse construye un nuevo espacio vectorial que denomina-remos Λp nV( ) . En una coordinatización dada φk la
base de Λ1( )V n serán las diferenciales
( , ,... )dx dx dxn1 2 y por lo tanto cualquier α β, se
expresará como ii
ii dxbdxa == βα . Los elementos
del conjunto )(2 nVΛ serán todos los posibles produc-
tos:α β∧ = ∧ = ∧a dx b dx a b dx dxi
ij
ji j
i j
iv
donde la operación ∧ se denomina producto exterior.Las propiedades del producto exterior nos permitenobtener en tal coordinatización la base del espacio de 2-formas Λ2 ( )V n . Las 2-formas base serán todos los
posibles productos dx dx i j ni j∧ ≤ < ≤ ( )1 y por tanto
la dimensión de Λ2 ( )V n será n
2
. Del mismo modo, la
base de Λp nV( ) será la siguiente: para cada conjuntode p índices: ,..., 21 phhhH = con la ordenación
1 1≤ < < ≤h h np... la totalidad de los elementos
dx dx dx dxH h h hp= ∧ ∧1 2 ... constituye una base de
Λp nV( ) cuya dimensión es n
p
. En particular, la di-
mensión de Λn nV( ) es n
n
= 1 y Λp n( ) = 0 para p>n.
Si ω es un elemento de Λp nV( ) , se tendrá:
ω = ∑a dxHH
H
sumado sobre todos los conjuntos ordenados H. Engeneral, una forma diferencial de orden p se representa-rá como
ω = ∑a x x x dxHn H( , ,..., )1 2
donde los factores a XH ( ) son funciones continuasdefinidas en todos los puntos de uk y diferenciablestantas veces como se precisen.
Si ω es una p-forma y η una q-forma ω η∧ esun elemento del espacio de (p+q)-formas que se expre-sará como ω η∧ = ∧a b dx dxH K
H K . Ahora ω η, yω η∧ pertenecen al conjunto de p, q y (p+q)-formasque se simbolizan, respectivamente, porF u F up
kq
k( ), ( ) . y F up qk
+ ( ) . Además del producto
exterior ∧ en cada espacio vectorial Λp nV( ) se defineun producto interno × como una aplicación:
RVV npn →Λ×Λ× )( )( : p
que se calcula fácilmente si se toma la coordinatizaciónen que ( , ,... )dx dx dxn1 2 es una base ortonormal de
Λ1( )V n . De este modo, siendo dxH con
H h h hp= < <1 2 ... < una base de Λp nV( ) , tenemos
para dos cualesquiera elementos de la base el productointerior que se simboliza del siguiente modo
( , ) |( , )|dx dx dx dxH K H K=y es cero cuando H≠K, pues el determinante tiene unafila y una columna todo ceros. Si H=K todos los ele-mentos del determinante son nulos salvo los de la dia-gonal principal que son ±1 y por tanto
( , ) ,dx dxH K H K= ±δ
por lo que dxH constituye una base ortonormal deΛp nV( ) . En particular, ω = ∧ ∧dx dx dxn1 2 ... es unabase ortonormal de Λn nV( ) y
2/)(2211 )1(),( )...,)(,(),( tnnn dxdxdxdxdxdx −−==ωω
donde t es la signatura de Λ1( )V n .
III.1. El operador de Hodg e
Es la transformación lineal que hace correspondera cada p-forma ω ∈ F up
k( ) la (n-p)-forma
∗ ∈ −ω F un pk
( ) ( ) . La (n-p)-forma ω∗ se conoce con elnombre de transformado Hodge o dual de la p-formaω .
El modo de proceder para cualquier ω es sencill osi sabemos como transformar cualquier p-forma de labase del espacio F up
k( ) . Para la coordinatización φk ,una cualquiera de las p-formas base será
dx dx dx dxH p= ∧ ∧1 2 ... con H p= 1,... , donde
( , ,... )dx dx dxn1 2 es una base ortonormal de F uk1( ) .
Sea K el conjunto q de n-p índices k= p+1,... n , eltransformado Hodge de dxH será:
∗ =dx dx dx dxH K K K( , )para cualquier conjunto H de p índices y K de (n-p)índices.
III.2. Relaciones entre formas diferenciales
La correspondencia que establece el operador ∗entre el espacio de p-formas F up
k( ) y el de (n-p)-
formas F un pk
− ( ) no describirá una ley física, pues enla coordinatización φk esto no representará relacióndiferencial alguna, que es en última instancia, lo quepropondrán como ley los diferentes observadores. Asípues, es preciso definir correspondencias entre objetos(formas) que se traduzcan en relaciones diferenciales.Tales correspondencias se conocen con el nombre dederivada exterior, codiferencial y operador de Laplace-Beltrami o Laplaciana.
Derivada exterior: La derivación exterior quedarepresentada por el operador d y es una aplicación quehace corresponder a cada p-forma ω p p
kF u∈ ( ) , la
(p+1)-forma ω pk
pku F u+ +∈1 1( ) ( ) . Es decir,
d F u F upk
pk: ( ) ( ) → +1
Tal correspondencia entre objetos existe y es úni-ca; conduce a relaciones diferenciales de primer ordenentre los objetos cuando se expresa en una coordinati-zación dada. Tal correspondencia es independiente dela coordinatización y, por tanto, geométrica. Aplicando
v
de modo sucesivo d sobre el objeto ω da resultadonulo. La propiedad d d( )ω = 0 se conoce con el nombrede Lema de Poincarè. Así la correspondencia simboli-zada por d diremos que “aumenta el rango del objeto” .
Codiferencial: Queda representada por el operadorδ y es la apli cación que hace corresponder a cada p-forma ω p p
kF u∈ ( ) una (p-1)-forma
ω p pkF u− −∈1 1( ) . Es decir,
δ : ( ) ( ) F u F upk
pk→ −1
Tal correspondencia entre objetos existe, es única,y conduce a relaciones diferenciales de primer ordenentre los objetos cuando se expresa en una coordinati-zación dada. Esta relación, al ser independiente de lacoordinatización, es geométrica. A este operador tam-bién se le denomina operador divergencia y la corres-pondencia con el operador de Hodge y la derivada exte-rior es:
δω ω= − ∗ ∗+ + +( ) ( )1 1 1n p t ddonde n es la dimensión de la variedad, t el índice de lamétrica y ∗ el transformado de Hodge. La correspon-dencia simbolizada por δ diremos que “disminuye elrango del objeto” .
El operador de Laplace-Beltrami: Es la última delas correspondientes geométricas y conduce en el cál-culo con los objetos en la coordinatización elegida a lasecuaciones diferenciales de segundo orden de la física.Se simboliza por ∆ y hace corresponder a cada p-formaω p p
kF u∈ ( ) la p-forma ω p pkF u∈ ( ) . Es decir,
∆: ( ) ( ) F u F upk
pk→
De tal correspondencia se dirá que “mantiene el rangodel objeto” .
Así pues tales operaciones suben, bajan o mantie-nen el rango del objeto y son geométricas aunque suexpresión en las diferentes cartas ( , ...)φ ϕk k puede serdiferente. En las coordinatizaciones φk en que la leymantenga la forma se dirá que la ley es covariante.Ahora sólo queda elegir los objetos con los que propo-ner la teoria física cuyas ecuaciones conocen los obser-vadores y que normalmente escriben en sus particularessistemas coordenados como relaciones en derivadasparciales.
IV. FORMULACIÓN GEOMÉTRICA DE LASLEYES DEL ELECTROMAGNETISMO
En electrodinámica clásica, las leyes del campoelectromagnético se obtienen de un campo vectorial A x( ) definido en la variedad cuadridimensional M dela relatividad especial. Tales funciones son las variablesdinámicas con las que se construye la densidad Lagran-giana asociada al campo. En principio no tendremospor qué ceñirnos al espacio plano de Minkowski, pues
localmente la variedad riemaniana permite tomar do-minios abiertos ( )uk entorno a un punto dado, en don-de la coordinatización φk tomada puede ser localmenteLorentz. Según la relatividad general, en la carta( , )φk ku las leyes serían las propuestas por un observa-dor local en movimiento geodésico (Principio de Equi-valencia fuerte). Veamos el modo de formular la teoríapor medio de las correspondencias geométricas co-mentadas en los apartados anteriores. Si partimos deuna 0-forma o campo escalar f x( )
, únicamente po-
dremos ponerlo en correspondencia con 0-formas(manteniendo el rango) por medio de ∆ o con 1-formas(aumentando el rango) por medio de d . No podemosoperar por medio de δ sobre un campo escalar (bajan-do el rango) pues obtendríamos idénticamente cero.Para cualquiera de las ecuaciones no triviales que pue-den obtenerse apli cando sobre f x( )
los operadores ∆ y
d no hay relaciones que, propuestas por los observado-res locales, puedan atribuirse a ninguna teoría físicaconocida. Así pues, un campo escalar o una 0-formaresulta demasiado pobre en contenido.
Partiendo de un campo vectorial o 1-forma A x( )
(conocida con el nombre de 1-forma potencial) puedenobtenerse las leyes físicas que descritas por los observa-dores locales se conocen como leyes del campo elec-tromagnético.
En efecto:a) Bajemos el rango de la 1-forma potencial por la
aplicación de δ y, en particular, anulemos la 0-formaresultante:
δ A = 0 (1)La apli cación así establecida en una coordinatizaciónLorentz reproducirá lo que se conoce como condiciónde Lorentz para las funciones Aµ que representarán lospotenciales electromagnéticos para el observador iner-cial S. La expresión covariante Lorentz de la relacióngeométrica (1) es:
∂ µµA = 0
b) Subamos de rango A por medio de d y obten-gamos la 2-forma denominada campo electromagnéti-co:
dA F= (2)El espacio de las 2-formas es de dimensión 6, es decir,tenemos seis 2-formas base y podemos representar Fen componentes respecto de una base. Si la coordinati-zación es Lorentz, dichas componentes se asociarán a
los campos E y
B en ( , )E t3 , según los obtiene un
observador inercial S de sus funciones potenciales. Enexpresión covariante Lorentz (2) se pondrá:
F A Aµν µ ν ν ν∂ ∂= −
vi
c) Mantengamos el rango de A por la operación∆ ; la 1-forma así obtenida se denominará 1-formadensidad de corriente J . De este modo, kJA =∆ (3)siendo k una constantes de dimensiones adecuadas.Teniendo en cuenta que ∆ = +d dδ δ , con lo exigidoque δ A = 0 podemos escribir ∆ A d kJ= =δ o bien,usando (2):
δ F kJ= (4)La ecuación (3) en coordinatización Lorentz toma laexpresión covariante:
∂ ∂µµ
α αA kJ=que en un sistema particular es la ecuación de ondaspara los potenciales según el observador inercial S. Laecuación (4) queda:
ννµ
µ∂ kJF =
que es la expresión Lorentz de las ecuaciones de Ma-xwell externas. Las ecuaciones anteriores son las que Spropondrá como
∇⋅ = ∇× +
D H JD
tρ
∂
∂ =
en su sistema coordenado.
d) La propiedad ddA dF= = 0 es automática porel lema de Poincarè. La 2-forma F (también conocidacomo MAXWELL) es exacta pues dA F= . Necesaria-mente toda forma exacta es cerrada, con lo cual dF = 0.Lo anterior equivale a decir que la 2-forma transforma-da Hodge o dual ∗ F (conocida como FARADAY ) tienedivergencia nula. Así de la la propiedad de F
δ ∗ =F 0Cuya expresión en sistemas Lorentz es:
∂ µµν∗ =F 0
y para el observador S reproduce las ecuaciones deMaxwell i nternas:
∇ ⋅ = ∇ × = −
B EB
t0
∂
∂e) Por último, para que la teoría sea consistente y
las componentes de J puedan representar para losobservadores cargas y corrientes físicamente aceptables,la 1-forma J no puede ser cualquiera, sino que tieneque cumpli r
δ J = 0lo que en expresión covariante Lorentz se escribe como
∂ µµJ = 0
y el observador S escribirá la ley de conservación de lacarga eléctrica
∇ ⋅ + =J∂ ρ
∂
t0
en su sistema coordenado.
V. CONCLUSIÓN
En resumen: la teoría electromagnética descritapara cualquier tipo de observadores y cualesquiera quesean los sistemas coordenados que usen los mismosconsiste en expresar en ellos y para ellos las siguientesrelaciones geométricas:
a) Condición de Lorentz (δ A = 0)b) Definición de campos electromagnéticos
(dA F= )c) Ecuaciones de ondas (∆ A d kJ= =δ )d) Ecuaciones de Maxwell (δ F kJ= y δ ∗ =F 0)e) Ley de conservación de la carga (δ J = 0)El objeto A es el más simple. No existe otro ob-
jeto más sencill o en la variedad cuadridimensional alque, por apli cación sucesiva de las correspondenciasestablecidas por δ , , d ∆ se le pueda atribuir contenidoasociado a las observaciones reali zadas por cualesquie-ra de los diferentes observadores S en sus laboratorios.
BIBLIOGRAFÍA1 C.W. MISNER AND J.A. WHEELER: Annals ofPhysics 2, 525 (1957).2 H. FLANDERS: Differential forms with applicationto the Physical Sciences, (Academic Press, NY, 1963).3 Edited by H.Y. CHIU AND W.F. HOFFMANN:Gravitation and relativity, (W.A.Benjamin Inc,NY,1964).4 C.W. MISNER AND K.S. THORNE AND J.A.WHEELER: Gravitation, (Freeman, San Francisco,1973).5 W. THIRRING: A course in Mathematical Physics,(Springer-Verlag, NY, 1979).6 C. VON WESTENHOLTZ: Differential Forms inMathematical Physics, (North-Holland PublishingCompany, Amsterdam, 1981).7 G.G. EMCH: Mathematical and Conceptual Foun-dations of 20TH-Century Physics, (North-Holland,Amsterdam, 1984).8 Edited by W.S. BERGER: J.C. Maxwell , the sesqui-centennial symposium, (Nort-Holland, Amsterdam,1984).9 W.D. CURTIS AND F.R. MILLER: DifferentialManifolds and Theoretical Physics, (Springer-Verlag,NY, 1985). !"$#%'&(#)*+&(-,
Classical Electrodynamics, (Elsevier, Amsterdam,1985).11 S.R. PARROT: Relativistic Electrodynamics andDifferential Geometry, (Springer-Verlag, NY, 1986).
AIII
Lecturas aconsejadas:
El lector interesado en el desarrollo ulterior de la Teoría de Campos, hará bien en consultar los trata-
dos de A. O. Barut, y el ya clásico volumen II del Curso de Física Teórica de L. D. Landau. Los libros
de Teoría Cuántica de Campos ofrecen breves exposiciones del formalismo clásico: véase p.ej: F. Mandl,
G. Shaw: Quantum Field Theory, y la obra de mismo título de C. Itzykson y J-B Zuber.
Es posible que el lector se sienta con ganas de revisar la mecánica de los medios continuos, para ello
le remitimos a H. Goldstein: Mecánica Clásica; referencia que no aconsejamos para una revisión de la
Teoría de la Relatividad, por seguir el anciano formalismo de métrica euclídea con coordenada temporal
imaginaria, en vez de nuestra métrica pseudoeuclídea con Tr gµν = −2, que es el modo "moderno" de
hacer las cosas, cuando no el correcto*. Para un estudio de la relatividad sugerimos J.D. Jackson: Elec-
trodinámica Clásica, que es además la mejor referencia general para estos apuntes.
La Electrodinámica Clásica, como teoría clásica de campos locales no es una teoría acabada, intere-
santes problemas de consistencia se exponen en Classical Charged Particles, de F. Rohrlich. La interac-
ción electromagnética es un fenómeno cuántico, que se explica por el intercambio de fotones virtuales, y
la emisión/absorción de fotones reales según la Electrodinámica Cuántica (QED), la teoría más afinada
que conocemos. La introducción más accesible a todo ese mundo de teorías gauge renormalizables proba-
blemente sea: Introduction to Elementary Particles, de D. Griffiths.
Una discusión de los métodos geométricos que hemos visto nos llevaría muy lejos. El Cálculo Exte-
rior se expone someramente en Classical Electrodynamics de R. S. Ingarden y A. Jamiokowski, y de
modo más extenso en los libros de física y geometría de, p.ej: Frankel, Boothby ó Schultz.
No hemos tratado el teorema de Noether y sus aplicaciones. El teorema establece que para cada sime-
tría continua de la densidad Lagrangiana existe una 4-corriente conservada asociada, cuya componente-0
integrada en el 3-espacio es una carga conservada, y se puede util izar para derivar todas las leyes de con-
servación que hemos visto como consecuencia de simetrías del Lagrangiano de interacción; véase
Goldstein §12.7 ó Itzykson §1.2.
M.A.S., abril de 2001
Para una introducción a los métodos de la geometría diferencial y a las formas diferenciales se incluye
el artículo adjunto y para posterior estudio, las referencias bibliográficas que all í se citan.
J.F.Oria, abril de 2001
* La recensión se refiere a la 2ª edición, editada en español por Reverté. La 3ª edición presenta un tratamiento moder-no y accesible.
© 2003 J. Fausto Oria and Manuel Angel Sobrino