Apuntes de Ecuaciones diferencialesBadajoz, 19 de mayo de 2011Dpto.deMatematicas.Univ.deExtremaduraIndicegeneralI Ecuacionesdiferencialesordinarias XV1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial 11.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El haz de funciones diferenciables. . . . . . . . . . . . . . 61.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . 121.4. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2. Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . . . . 221.4.3. Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . . . . 241.5. Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . . . . 251.5.1. Interpretacion geometrica de la diferencial. . . . . 261.5.2. Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6. Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.1. Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7. Sistemas de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.1. Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 361.8.2. Ecuaciones diferenciales no autonomas. . . . . . . 371.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . . . . 381.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 401.9.1. Problemas Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.2. Problemas Qumicos. Desintegracion. . . . . . . . . 411.9.3. Problemas Biologicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.4. Problemas Fsicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452. TeoremasfundamentalesdeEcuacionesdiferenciales 612.1. Grupo uniparametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2. Existencia de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65iiiINDICEGENERAL2.3. Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4. Unicidad de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.5. Grupo Uniparametrico de un campo . . . . . . . . . . . . 742.6. Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . . . . . 792.7. Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . . . 812.7.1. Clasicacion local de campos no singulares. . . . . 862.8. Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.9. Corchete de Lie de campos tangentes. . . . . . . . . . . . 922.10. Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 942.11. Metodo de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . . . . . . 983. Campostensorialesenunespaciovectorial 1233.1. Tensores en un modulo libre. . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.2. Campos tensoriales en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.3. Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 1283.4. Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 1323.5. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.6. El Lema de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.7. Aplicacion en Ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . 1463.7.1. Factores de integracion. . . . . . . . . . . . . . . . 1503.8. Apendice. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . 1533.8.1. Tensormetricoytensordevolumendel espacioeucldeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.8.2. Divergencia, rotacional y gradiente. . . . . . . . . . 1543.8.3. Interpretacion geometrica del rotacional. . . . . . . 1563.8.4. Tensores de torsion y de curvatura. . . . . . . . . . 1583.8.5. El tensor de una variedad Riemanniana. . . . . . . 1593.8.6. El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.8.7. La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.8.8. El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.8.9. El tensor de deformacion. . . . . . . . . . . . . . . 1724. Campostangenteslineales 1854.1. Ecuaciones diferenciales lineales. . . . . . . . . . . . . . . 1854.2. Existencia y unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . 1894.3. Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.3.1. El sistema homogeneo.. . . . . . . . . . . . . . . . 1944.3.2. El sistema no homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . 1994.4. Reduccion de una EDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014.5. Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203INDICEGENERAL iii4.6. EDL con coecientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 2054.7. Clasicacion de campos lineales. . . . . . . . . . . . . . . 2104.8. EDL con coecientes periodicos . . . . . . . . . . . . . . . 2114.9. EDL de orden n con coecientes constantes . . . . . . . . 2144.9.1. Caso homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.9.2. Caso no homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.10. EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.10.1. Ecuacion de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2204.11. EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.11.1. Ecuacion de Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.12. Otros metodos para resolver EDL . . . . . . . . . . . . . . 2264.12.1. Metodo de las potencias. . . . . . . . . . . . . . . . 2264.12.2. Metodo de Frobenius de las potencias. . . . . . . . 2274.12.3. Metodo de la transformada de Laplace. . . . . . . 2274.13. La Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.14. Algunas EDL de la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.14.1. Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.14.2. Problemas de muelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.14.3. Problemas de circuitos electricos. . . . . . . . . . . 2434.14.4. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465. Estabilidad 2575.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575.2. Linealizacion en un punto singular . . . . . . . . . . . . . 2585.3. Estabilidad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . 2605.4. Funciones de Liapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2685.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715.5.1. Sistemas tipo depredadorpresa. . . . . . . . . . 2715.5.2. Especies en competencia. . . . . . . . . . . . . . . 2745.5.3. Aplicacion en Mecanica clasica. . . . . . . . . . . . 2745.6. Clasicacion topol. de las ED lineales . . . . . . . . . . . 2775.7. Teorema de resonancia de Poincare. . . . . . . . . . . . . 2835.8. Cuenca de un sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2885.9. La aplicacion de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2915.10. Estabilidad de orbitas cclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 2965.11. El Teorema de PoincareBendixson. . . . . . . . . . . . . 3005.12. Estabilidad de orbitas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 304ivINDICEGENERALII Ecuacionesenderivadasparciales 3156. SistemasdePfa 3176.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3176.2. Sistemas de Pfa y Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 3216.2.1. Sistemas de Pfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.2.2. Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3226.3. El sistema caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3256.4. El Teorema de la Proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . 3296.4.1. Campos tangentes verticales . . . . . . . . . . . . . 3296.4.2. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 3306.5. El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3376.5.1. Metodo de Natani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3466.5.2. 1formas homogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 3486.6. Aplicacion: Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 3496.6.1. Funciones especiales del brado tangente. . . . . . 3496.6.2. Variedad con conexion. Distribucion asociada. . . . 3506.7. Aplicacion: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3556.8. Aplicacion: Clasicacion de formas . . . . . . . . . . . . . 3636.8.1. Clasicacion de 1formas . . . . . . . . . . . . . . 3636.8.2. Clasicacion de 2formas. . . . . . . . . . . . . . . 3706.9. Variedades simpleticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.9.1. Campos Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . . . . 3716.9.2. El Fibrado Cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . 3756.9.3. Fibrado de Jets de funciones de orden 1 . . . . . . 3766.9.4. Fibrado tangente de una var.Riemanniana. . . . . 3776.9.5. Mecanica Hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . 3806.10. Apendice: Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . 3936.10.1. Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 3956.10.2. Variedades integrales maximas . . . . . . . . . . . 3966.10.3. Otra demostracion del Teorema de Frobenius . . . 4007. Ecuacionesenderivadasparcialesdeprimerorden 4137.1. Denicion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4137.2. El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4157.3. EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4197.3.1. Ejemplo: Traco en una autopista. . . . . . . . . . 4207.3.2. Ejemplo: Central telefonica. . . . . . . . . . . . . . 4217.3.3. Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . 4237.3.4. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . . . . 424INDICEGENERAL v7.4. Sistema de Pfa asociado a una EDP . . . . . . . . . . . . 4267.4.1. Campo caracterstico. . . . . . . . . . . . . . . . . 4267.5. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . 4307.5.1. Dimension de una subvariedad solucion. . . . . . . 4307.5.2. Existencia de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 4337.5.3. El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 4357.6. Metodos para resolver una EDP . . . . . . . . . . . . . . 4387.6.1. Metodo de las caractersticas de Cauchy. . . . . . 4387.6.2. Metodo de la Proyeccion. Integral completa . . . . 4397.6.3. Metodo de LagrangeCharpit. . . . . . . . . . . . . 4427.7. Metodo de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4437.7.1. Envolvente de una familia de supercies. . . . . . . 4437.7.2. Envolvente de una familia de hipersupercies. . . . 4477.7.3. Metodo de la envolvente. . . . . . . . . . . . . . . 4507.7.4. Solucion singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.8. Denicion intrnseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4547.9. Teora de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 4567.9.1. Metodo de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4577.9.2. Ecuacion de HamiltonJacobi. . . . . . . . . . . . 4607.9.3. Geodesicas de una variedad Riemanniana. . . . . . 4637.10. Introduccion al calculo de variaciones . . . . . . . . . . . . 4727.10.1. Ecuaciones de EulerLagrange. . . . . . . . . . . . 4737.10.2. Ecuaciones de EulerLagrange y Hamilton. . . . . 4857.10.3. Apendice. La ecuacion de Schrodinger . . . . . . . 4887.11. Lagrangianas. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . 4897.11.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 4897.11.2. Ejemplo. Lagrangiana de la longitud . . . . . . . . 4957.11.3. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . 4987.11.4. Curvas de mnima accion y geodesicas . . . . . . . 5007.11.5. El Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . 5027.12. Calculo de variaciones en Jets. . . . . . . . . . . . . . . . 5097.12.1. Jets de aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . 5097.12.2. Distribucion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 5107.13. Apendice. El Campo geodesico . . . . . . . . . . . . . . . 5187.13.1. Subidas canonicas de un campo tangente. . . . . . 5187.13.2. Variedad con conexion. Campo geodesico. . . . . . 5217.13.3. Campo geodesico en una variedad Riemanniana. . 5237.13.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5257.14. Apendice. Teora de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . 5287.15. Apendice.Optica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 530viINDICEGENERAL7.15.1. Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5307.15.2. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 5307.15.3.Ovalo de Descartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317.15.4. Conicas confocales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5337.15.5. Propiedades de reexion. . . . . . . . . . . . . . . 5357.15.6. Trayectoria en un medio de ndice variable . . . . . 5367.16. Apendice. Envolventes y causticas . . . . . . . . . . . . . 5378. EDPdeordensuperior.Clasicacion 5718.1. Denicion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5718.2. Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . 5758.2.1. Corchete de Lie de operadores lineales. . . . . . . . 5758.2.2. Restriccion de un ODL. . . . . . . . . . . . . . . . 5778.2.3. Expresion en coordenadas de un ODL. . . . . . . . 5788.2.4. Caracterizacion del Operador de LaPlace . . . . . 5838.2.5. Derivada de Lie de un ODL. . . . . . . . . . . . . 5858.3. El smbolo de un ODL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5868.4. ODL de orden 2 en R2. Clasicacion . . . . . . . . . . . . 5898.4.1. Operadores diferenciales lineales hiperbolicos. . . . 5908.4.2. Operadores diferenciales lineales parabolicos. . . . 5918.4.3. Campos y 1formas complejas. . . . . . . . . . . . 5938.4.4. Operadores diferenciales lineales elpticos. . . . . . 5968.5. ODL de orden 2 en Rn. Clasicacion. . . . . . . . . . . . 6018.6. EDP de orden 2 en R2. Clasicacion . . . . . . . . . . . . 6048.6.1. ODL asociado a una solucion de una EDP. . . . . 6048.6.2. Reduccion a forma canonica. Caso hiperbolico deuna EDP cuasilineal. . . . . . . . . . . . . . . . . 6078.6.3. Reduccion a forma canonica. Caso hiperbolico deuna EDP de tipo general. . . . . . . . . . . . . . . 6118.6.4. Reduccion a forma canonica. Caso elptico. . . . . 6188.7. Clasicacion de sistemas de EDP. . . . . . . . . . . . . . 6228.7.1. Reduccionaformadiagonal desistemaslinealeshiperbolicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6258.7.2. Reducciona forma diagonal de sistemas cuasilineales hiperbolicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6258.8. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6278.8.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 627INDICEGENERAL vii9. ElproblemadeCauchy 6419.1. Sistemas de EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . . 6419.2. Curvas caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6469.2.1. Propagacion de singularidades. . . . . . . . . . . . 6479.3. Funciones analticas reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6509.3.1. Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6509.3.2. Series m ultiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6519.3.3. Series m ultiples de funciones. . . . . . . . . . . . . 6529.4. Funciones analticas complejas . . . . . . . . . . . . . . . 6609.4.1. Las ecuaciones de CauchyRiemann. . . . . . . . . 6609.4.2. Formula integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . 6639.4.3. Funciones analticas ndimensionales. . . . . . . . 6669.5. El Teorema de CauchyKowalewski . . . . . . . . . . . . . 6669.6. EDP de tipo hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6719.7. Metodo de las aprox. sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . 6759.7.1. Existencia de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 6769.7.2. Unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 6809.7.3. Dependencia de las condiciones iniciales.. . . . . . 6829.7.4. El problema de Goursat. . . . . . . . . . . . . . . . 6859.7.5. El problema de valor inicial caracterstico. . . . . . 6869.8. Sistemas hiperbolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6879.9. La funcion de RiemannGreen . . . . . . . . . . . . . . . 6949.9.1. Operador diferencial lineal adjunto. . . . . . . . . 6949.9.2. ODL adjuntos en el plano. . . . . . . . . . . . . . . 6979.9.3. El metodo de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . 69810.LaEcuaciondeLaplace 71510.1. Funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71510.2. Funciones armonicas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 71710.2.1. Funciones armonicas en variables separadas. . . . . 71710.2.2. Funciones armonicas y funciones analticas. . . . . 71910.2.3. Transformaciones conformes. . . . . . . . . . . . . 72110.3. Transformaciones en Rn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72510.3.1. Traslaciones, giros y homotecias. . . . . . . . . . . 72510.3.2. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 72610.3.3. Inversiones respecto de esferas. . . . . . . . . . . . 72710.3.4. Transformaciones en general. . . . . . . . . . . . . 73110.4. Teoria del Potencial gravitatorio y electrico. . . . . . . . . 73410.4.1. Potencial Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . 73510.4.2. Potencial electrostatico. . . . . . . . . . . . . . . . 736viiiINDICEGENERAL10.4.3. Ecuacion de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74510.5. Los 3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75010.5.1. Principio del maximo. Unicidad. . . . . . . . . . . 75110.6. Problema de Dirichlet en el plano . . . . . . . . . . . . . . 75410.6.1. Problema Dirichlet en un rectangulo . . . . . . . . 75410.6.2. Problema de Dirichlet en un disco . . . . . . . . . 75710.6.3. Formula integral de Poisson. . . . . . . . . . . . . 75910.6.4. Polinomios de Tchebyche. . . . . . . . . . . . . . 76210.6.5. Problema de Dirichlet en la esfera . . . . . . . . . 76510.6.6. La Ecuacion de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . 76610.7. Teoremas fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77010.7.1. Identidades de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . 77110.7.2. Unicidad de solucion en PVF . . . . . . . . . . . . 77210.7.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77310.7.4. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 77510.7.5. Recproco del Teorema del valor medio . . . . . . . 77710.7.6. Regularidad de las funciones armonicas . . . . . . 78010.7.7. Teorema de Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78210.8. Armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78410.9. Principio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78610.10.Introduccion a las distribuciones . . . . . . . . . . . . . . 78810.10.1.Metodo de la funcion de Green . . . . . . . . . . . 79010.11.El metodo de Perron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80310.11.1.Funciones subarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . 80310.11.2.Sucesiones de funciones armonicas . . . . . . . . . 80810.11.3.Problema Dirichlet. Existencia de solucion . . . . . 81010.11.4.Funciones barrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81110.12.Teorema de la aplicacion de Riemann . . . . . . . . . . . 81511.LaEcuaciondeondas 83111.1. La Ecuacion de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . 83111.1.1. Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83311.1.2. Solucion de DAlembert.. . . . . . . . . . . . . . . 83611.1.3. Energa de la cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84011.1.4. Unicidad de solucion de la ecuacion de ondas. . . . 84211.1.5. Aplicaciones a la m usica. . . . . . . . . . . . . . . 84211.2. La Ecuacion de ondas bidimensional. . . . . . . . . . . . . 84411.2.1. Solucion de la ecuacion de ondas. . . . . . . . . . . 84711.3. La Ecuacion de ondas ndimensional. . . . . . . . . . . . 85011.3.1. La desigualdad del dominio de dependencia. . . . . 850INDICEGENERAL ix11.3.2. Unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 85411.3.3. Ecuacion de ondas en regiones con frontera. . . . . 85611.3.4. El metodo de separacion de variables. . . . . . . . 85711.4. El metodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86011.4.1. La Formula de Kirchho. . . . . . . . . . . . . . . 86011.4.2. El metodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . 86411.4.3. El principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . 86611.5. La Ecuacion de Schrodinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86812.Ecuaciondeondas.Electromagnetismo 87312.1. Espacios Euclideos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87312.2. Espacio de Minkowski (de la relatividad especial) . . . . . 87512.3. DAlembertiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87712.3.1. Gradiente y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . 87712.3.2. DAlembertiano y codiferencial . . . . . . . . . . . 87812.4. Campo electromagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88112.4.1. Vector impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88312.4.2. Forma de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88512.4.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 88612.5. Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89012.5.1. Energa de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . 89013.LaEcuaciondelcalor 89713.1. La Ecuacion del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . 89713.1.1. El principio del maximo. . . . . . . . . . . . . . . . 90013.1.2. Solucion general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90213.1.3. Soluciones con condiciones inicial y frontera dadas. 90313.1.4. El problema de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . 91613.2. La Ecuacion del calor ndimensional. . . . . . . . . . . . . 92213.2.1. Caso bidimensional. Planteamiento. . . . . . . . . 92213.2.2. El metodo de separacion de variables. . . . . . . . 92313.2.3. Caso bidimensional. Algunas soluciones. . . . . . . 92413.2.4. Caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92614.Integracionenvariedades 93114.1. Orientacion sobre una variedad . . . . . . . . . . . . . . . 93114.2. Integracion en una variedad orientada . . . . . . . . . . . 93414.3. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93814.4. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94214.5. Integracion en var. Riemannianas. . . . . . . . . . . . . . 946xINDICEGENERAL14.6. Aplicaciones a la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94914.7. La denicion de Gauss de la curvatura . . . . . . . . . . . 95214.8. El operador de LaplaceBeltrami . . . . . . . . . . . . . . 95314.8.1. El operador de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . 95314.8.2. El operador de LaplaceBeltrami . . . . . . . . . . 95715.Variedadescomplejas 96715.1. Estructuras casicomplejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 96715.1.1. Campos y 1formas complejas . . . . . . . . . . . 97115.1.2. Integrabilidad de una estructura casicompleja . . 974Indicedeguras1.1. Graca dee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Campo de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Flleva el campoD al campoE. . . . . . . . . . . . . . . 211.5. Gracas defydxfen R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6. Gracas defydxfen R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7. Plano tangente a una supercie . . . . . . . . . . . . . . . 271.8. Gradiente dex2+y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.9. Curva integral deD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11. Desintegracion delC14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.12. Pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.13. curvas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1. Teorema del ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.2.Orbitas deD y defD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3. Cisterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4. Cason = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.5. Casocte = = 1, por tanto = /4. . . . . . . . . . . . . 1162.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.1. Catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.2. Fuerzas horizontal y vertical en la catenaria. . . . . . . . . 1483.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.4. Recta de velocidad mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.6. Arco de catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170xixiiINDICEDEFIGURAS3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.9. Curvas para las queOA = OB . . . . . . . . . . . . . . . 1753.10. Parabola y elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.11. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.1. Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.2. Pulsaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.3. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.4. Circuito electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.5. Partcula en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.6. Segunda Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2474.7. 1aLey de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.1. Casosa > 0 yb < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2645.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2755.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2805.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.5. Seccion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.6. La orbita dep se aproxima aenx . . . . . . . . . . . . 2965.7. Aplicacion de Poincare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3015.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3036.1. Sistema de Pfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3186.2. Interpretacion geometrica deDL . . . . . . . . . . 3286.3. Interpretacion geometrica deD yDL . . . . . 3286.4. Sistema de Pfa proyectable . . . . . . . . . . . . . . . . . 3316.5. < D >= T [{] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3316.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3326.7. Distribuciones asociadas a {, {

y {

. . . . . . . . . . . 3346.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3466.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3476.10. Transformacion simpletica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3786.11. Plano del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3846.12. Haz de conicas con foco el origen, ejex, y pasan por (0, p)3866.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3876.14. Vector de RungeLenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3896.15. Velocidades en trayectorias elptica, parabolica e hiperboli-ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.16. Hodografas elipse, parabola e hiperbola. . . . . . . . . . . 391INDICEDEFIGURAS xiii6.17. Propiedad de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3926.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3936.19. Helicoide,z = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4057.1. Cono de Monge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4167.2. Conos de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4177.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4187.4. Construccion de ok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4337.5. Curva de datos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4367.6. Envolvente de las esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4447.7. trayectorias bala ca non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4457.8. ruido de un avion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4457.9. Envolvente de las esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4477.10. Envolvente pasando por ok. . . . . . . . . . . . . . . . . 4497.11. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4667.12. Curva de mnimo tiempo deA aB. . . . . . . . . . . . . . 4787.13. La braquistocrona (dcha.) es la cicloide invertida. . . . . . 4817.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817.15. La evolvente de la cicloide es la cicloide . . . . . . . . . . 4837.16. Pendulo de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4847.17. Refracci on y reexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5307.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317.20.Ovalo de Descartes. Refraccion . . . . . . . . . . . . . . . 5327.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5337.22. Haz de conicas con foco el origen, ejex, y pasan por (0, p)5347.23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5357.24. Refracci on Elipsoide de revolucion . . . . . . . . . . . . . 5357.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5367.26. Caustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5377.27. La caustica es la epicicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5387.28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5397.29. Cicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5397.30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5407.31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5437.32. Catenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5617.33. Catenarias que pasan por (1, 0) . . . . . . . . . . . . . . . 5627.34. La catenoide de la derecha es la de mnima area . . . . . . 5637.35. La catenoide tiene curvatura media nula en todo punto . . 563xivINDICEDEFIGURAS8.1. Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6279.1. Dominio de dependencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6729.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6779.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6899.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6909.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70210.1. log , 2, 2, cos(log ).. . . . . . . . . . . . . . 71810.2. , sen , e, e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71810.3. Fuerza gravitacional producida por una masaM . . . . . 73510.4. Fuerza electrostatica producida por una cargaq. . . . . . 73710.5. Flujo a traves de una esfera de una cargaq en su centro . 73910.6. Flujo a traves de una supercie de una carga q en su interior73910.7. Angulos ab = cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82110.8. La proyeccion estereograca conserva angulos . . . . . . . 82210.9. La proyeccion estereograca lleva circunferencias pasandoporPen rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82210.10.Laproyeccionestereogracallevacircunferenciasencir-cunferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82210.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82310.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82311.1. cuerda vibrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83211.2. Posicion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83711.3. Ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83811.4. Fuerzas sobre una membrana . . . . . . . . . . . . . . . . 84411.5. Membrana vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84511.6. cono caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85113.1. Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89813.2. Calor que entra enI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89913.3. Dominio del problema (hacia el pasado) . . . . . . . . . . 90813.4. Difusion del calor en una placa . . . . . . . . . . . . . . . 92214.1. ujo deD a traves deS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94914.2. Planmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962ParteIEcuacionesdiferencialesordinariasxvTema1Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial1.1. ConceptosbasicosPor c entenderemos un Respacio vectorial de dimension nita n, do-tado de la estructura topologica usual. A veces tambien consideraremosen cuna norma, siendo indiferente en la mayora de los resultados cuales la que elegimos, pues todas las normas son equivalentes en c. Por Rnentenderemos el espacio vectorial real R n R.Dados dos espacios vectoriales c1y c2denotaremos conL(c1, c2) elespacio vectorial de las aplicaciones lineales de c1en c2. Con cdeno-taremos el espacio vectorial dual de c, es decirL(c, R).Con ((c) denotaremos la Ralgebra de las funciones continuas en cy con ((U) las continuas en el abiertoUde c. Con {(c) denotaremosla Ralgebra de los polinomios en c, es decir la subRalgebra de ((c)generada por c.12 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialElegir una baseeien cequivale a elegir una basexi c. En cuyocaso tenemos la identicacionc Rn,ni=1aiei (a1, . . . , an),y lasxiforman un sistema de coordenadas lineales asociado a laseidela formaxi: c R, xi

ajej

= ai.A menudo consideraremos sistemas de coordenadas linealesxiy so-brentenderemos su base dualeicorrespondiente.Diremosqueel espaciovectorial ceseuclideosi tienedenidounproducto interior, en cuyo caso consideraremos la norma| x |2 =< x, x >,yeligiendounabaseeiortonormal, esdecirtal que=ij,y su sistemaxide coordenadas lineales asociado, tendremos que dadosa, b ctales quexi(a) = aiyxi(b) = bi< a, b >= a1b1 + +anbn.Denicion. Sean c1 y c2 espacios vectoriales reales, Uun abierto de c1yV unode c2.DiremosqueF :U V esdiferenciableenx Usiexiste una aplicacion linealF

x L(c1, c2), tal quelmh0| F(x +h) F(x) F

x(h) || h |= 0.Diremos queFes diferenciablesi lo esen todo punto; queFes declase 1 si es diferenciable y la aplicacionF

:U L(c1, c2), x F

x,es continua ; y por induccion que es de claseksi F

es de clasek 1.Diremos que es de clase innitasi es de clasek para todak.Apartirdeahorasiemprequehablemosdeclasek, entenderemosquekesindistintamente, amenosqueseespeciquelocontrario, unn umero natural 0, 1, . . . o bien , donde parak = 0 entenderemos quelas aplicaciones son continuas.1.1. Conceptosbasicos 3Denicion.Dadaf:U R R diferenciable enx, llamamos deri-vada de f enx al n umero realf

(x) = lmt0f(x +t) f(x)t.Observemos que este n umero esta relacionado con la aplicacion linealf

x L(R, R) por la igualdadf

x(h) = f

(x)h.Regladelacadena1.1a) SeanF :U c1 V c2, G:V W c3,diferenciablesenx UyF(x)=y, respectivamente. Entonces H=G Fes diferenciable enx y se tiene queH

x = G

y F

x.b) La composicion de aplicaciones de clasekes de clasek.Denicion.Para cada abiertoUdel espacio vectorial c, denotaremos(k(U) = f: U R, de clasek,los cuales tienen una estructura natural de Ralgebra y como veremosen (1.11), tambien de espacio topologico.Proposicion1.2SeaF :U c1 V c2unaaplicacion.Entoncesson equivalentes:a)Fes de clasek.b)Paraunsistemadecoordenadaslinealesyien c2, fi=yi F (k(U).c) Para cada f (k(V ), f F (k(U), es decir tenemos el morsmode R-algebras.F: (k(V ) (k(U), F(f) = f F.4 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialDenicion. Dada una funcion f (1(U), un v c y p U, llamaremosderivada direccional defrelativa av enp al valorvp(f) = lmt0f(p +tv) f(p)t.Enparticularsi en chemoselegidounsistemadecoordenadasli-nealesxicon base dualei, llamaremos derivada parcial iesima def, ala derivada direccional defrelativa aeiy escribiremosfxi(p) = lmt0f(p +tei) f(p)t.Si ces de dimension1, yx es la coordenada lineal correspondiente alvector no nuloe cescribiremosdfdx=fx.Proposicion1.3f (k(U) si y solo si para alg un sistema de coordena-das linealesxiy por tanto para cualquiera, existen y son continuasen todoUlas funcionesDaf, paraa = (a1, . . . , an) Nn, yDa=|a|a1x1 anxn, [a[ = a1 + +an k.Nota1.4Si c1 es de dimension n y c2 de m y U y Vson sendos abiertosde c1y c2, entonces siF :U Ves diferenciable, biyectiva yF1esdiferenciable, tendremos quen = m.Esto se sigue facilmente de la regla de la cadena, pues si Aes la matrizjacobiana deF, en un puntox, yB la deF1, en el puntoy=F(x),entonces AB es la identidad en Rmy BA la identidad en Rn, de dondese sigue que A y B son cuadradas e inversas, por tanton = m.Denicion. Diremos que F :U c1 V c2 es un difeomorsmo declase k, siFes biyectiva, de clasek y su inversa es de clasek. Diremosquen funcionesui:U R son un sistemadecoordenadasdeclasekenUsi paraF= (ui):U Rn,se tiene queF(U) =Ves un abierto de RnyF :U Ves un difeo-morsmodeclasek. Pordifeomorsmoasecasentenderemosdeclase. Diremos queF :U c1 c2es un difeomorsmo local de clasek1.1. Conceptosbasicos 5enx Usi existe un entorno abiertoUxdex enUtal queF(Ux) = Ves abierto yF :Ux V es un difeomorsmo de clasek. Diremos quen funcionesui:U R son un sistema de coordenadas locales de clasekenx UsiF= (ui):U Rnes un difeomorsmo local de clasekenx.Nota1.5Observemos que si u1, . . . , un (k(U) son un sistema de coor-denadas, entonces paraF= (ui):U RnyF(U) = Vabierto de Rntenemos que, para cadag (k(V ),g F= g(u1, . . . , un) = f (k(U),y recprocamente toda funcionf (k(U) es de esta forma.Si cesdedimension1, xeslacoordenadalineal correspondienteal vectore cyescribimosfenterminosdelacoordenadalineal x,f= g(x), entoncesdfdx(p) = lmt0f(p +te) f(p)t= lmt0g[x(p) +t] g[x(p)]t= g

[x(p)],es decir que sif= g(x) entoncesdf/dx = g

(x).El siguiente resultado fundamental caracteriza los difeomorsmos lo-cales en terminos del Jacobiano.Teoremadelafuncioninversa1.6SeaF : U c1 c2declasekenU.EntoncesFesundifeomorsmolocal declasekenx Usiysolo si existen sistemas de coordenadas linealesxi en c1 eyi en c2, talesque paraFi = yi FdetFixj(x)

= 0.Y este otro, tambien fundamental, nos da una condicion para la queen un sistema de ecuacionesf1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = a1

fn(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = anpodamos despejar lasxien funcion de lasyj, la cual viene a decir en elcaso mas sencillo en el que las fi son lineales, fi(x, y) =aijxj+bikyky por tantoF= (fi) = A x +By, que si det A = 0, podemos despejarx como funcion dey, siendox = A1[a By], paraa = (ai).6 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialTeoremadelafuncionimplcita1.7SeanF : U c1c2 c1declasek, (x0, y0) Utal queF(x0, y0) = 0 y para un sistema de coorde-nadas linealesxien c1, el determinante de ordenndetFixj(x0, y0)

= 0,entonces existe un entorno Vde y0 en c2 y una unica aplicacion x:V c1de clasek, tal quex(y0) = x0y para todoy VF[x(y), y] = 0.1.2. ElhazdefuncionesdiferenciablesHemos dicho que los (k(U) tiene una estructura natural de R-alge-bra, esdecirtienensuma, producto, ycontienenaRenlaformadelas funciones constantes. Pero ademas, si consideramos la familia de to-dos los (k(U) cuandoUrecorre todos los abiertos de c, se tiene que laaplicacionU (abierto) (k(U) (R algebra),es un haz de Ralgebras, es decir satisface las propiedades:a)SiU V sonabiertosde c,entoncesf (k(V ) f(= f|U) (k(U).b)DadounabiertoUde cyunrecubrimientosuyoporabiertosUi,setienequesi f :U Restal quef (k(Ui)paracadai, entoncesf (k(U).Otra importante propiedad, que veremos en esta leccion, nos dice quecada funcion de (k(U) coincide, en un entorno de cada uno de los puntosdeU, con una funcion de claseken todo c, que ademas se anula fueradeUsi queremos. Deestosesiguequeparaconocerlasfuncionesdeclasek en un abierto de c, nos basta con conocer las funciones de claseken c. Esto podra parecer obvio en una ingenua primera observacion,1.2. El hazdefuncionesdiferenciables 7puescabrapensarquelasfuncionesdeclase kenunabiertoUsonsimplemente las restricciones a ese abierto de las de claseken c. Peroesto no es cierto considerese la funcion 1/x en el abierto (0, ) R.Por tanto hay mas funciones de clase k en ese abierto U que las obtenidaspor restriccion, y hay un medio muy simple de obtenerlas todas. Veremosque son los cocientes de funciones de clasek de c, cuyos denominadoresno se anulen en U. Observemos que el ejemplo anterior es de esta forma.Veamos antes la existencia de funciones baden en Rn.Proposicion1.8SeanCuncerradoyKuncompactode cdisjuntos.Entonces existe h ((c) tal que Im(h) = [0, 1],h(K) = 1 yh(C) = 0.Demostracion. Eligiendo un sistema de coordenadas xi en c, bastahacer la demostracion en Rn, donde consideraremos la norma inducidapor el producto escalar< a, b >=aibi, paraa = (ai) yb = (bi).Figura1.1.GracadeeConsideremos la funcion de ((R)e(t) =

e1/tsit 0,0 sit < 0.Veremos en primer lugar que da-dor >0ya Rnsepuedecons-truir una g((Rn), positivaenB(a, r) = x: |x a | 0 existeN N tal quepm(fN+nfN) < ,para todon N.1.2. El hazdefuncionesdiferenciables 9Decimos que una sucesion fn (k(U) tiene lmite si existe f (k(U)tal que para todam Nlmnpm(fnf) = 0.Obviamente si el lmite existe es unico, pues param = 0 vemos quetiene que ser el lmite puntual de lasfn.Observemos que laspmestan ordenadas,pm pm+1,y que podemos denir el sistema fundamental de entornos convexos del0 (k(U)Bm = f (k(U) : pm(f) 1/myqueestosdenenunatopologaen (k(U) independientedelos Knelegidos!.Teorema1.10Si lasucesionfn (k(U)esdeCauchyparatodapm,entonces tiene lmite,f= lmfn (k(U), que para cualquier base eide cy cadaa Nn, con [ a [ k, vericaDa(lmfn) = lm(Dafn).Ademasdadaf (k(U)existeunasucesiondepolinomiosgnde ctales que restringidos a U, lmgn = f.Demostracion.Veremos el casok = para c= Rn, los demas sesiguen haciendo las oportunas modicaciones.En primer lugar veamos que para todo a Nn, existe el lmite puntualga(x) = lm(Dafk(x)),y quegaes una funcion continua en Rn.Seam [a[, entonces en el compactoKmse tiene(1.1) [ DafN+k DafN [ pm[fN+k fN]de donde se sigue queDafkconverge uniformemente en cada compactoKm,param [a[,aunafuncioncontinuaga.Enparticularparaa =(0, . . . , 0), tendremos quef(x) = lmfk(x),es una funcion continua.10 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialVeamos por induccion en [a[, queDaf= ga.Para [a[ = 0 es obvio. Supongamos entonces que [a[ 1 y que a1 1,dondea = (a1, . . . , an). Entonces, por la hipotesis de induccion, tendre-mos queDbf= gbparab = (a11, a2, . . . , an). Y comoDa=x1 Db,bastara demostrar quegbx1= ga.Sean (t1, . . . , tn) U,t R ym N, tal que para [0, 1] se tenga(t1 + (1 )t, t2, . . . , tn) Km,entonces

tt1Dafk(x, t2, . . . , tn)dx

tt1ga(x, t2, . . . , tn)dx.Ahora bien

tt1Dafk(x, t2, . . . , tn)dx = Dbfk(t, t2, . . . , tn) Dbfk(t1, . . . , tn),por tanto haciendok , tendremos que

tt1ga(x, t2, . . . , tn)dx = gb(t, t2, . . . , tn) gb(t1, . . . , tn),lo cual implica quegb/x1 = ga.Tenemos entonces que para cadaa Nn,Dafk Daf,uniformemente en cada compactoKm, param [a [. De aqu se siguequepm(fk f) 0,yf= lmfk. Pero ademaspm(Dafk Daf) 0 por tantoDaf= lm(Dafk).Veamos ahora que los polinomios son densos.1.2. El hazdefuncionesdiferenciables 11Dada f ((U) y N N tendremos, por el Teorema de Weierstrass,queparaa=(N, . . . , N) NnexisteunasucesiondepolinomiosqueconvergenuniformementeaDafenKN. Integrandoyaplicandodenuevo Weierstrass para elegir convenientemente la primitiva tendremosque existe una sucesion de polinomios rN,n tales que para toda b = (bi) Nn, conbi N, las sucesionesDbrN,n convergen uniformemente enKNaDbf. Ahora elegimosgNcomo cualquier polinomiorN,n, tal que paratodab, conbi N[ DbrN,nDbf [1N ,enKN. Esta sucesion de polinomiosgNsatisface lmgN= f, pues paraj N,Kj KNy comobi bi =[ b [, se tienepj(gN f) sup[ DbgN Dbf [: x Kj, [ b [ j (1.2) sup[ DbgN Dbf [: x KN, bi N 1N .Ejercicio1.2.1 Demostrar queconestatopologalasumayel productodeCk(U)sonoperacionescontinuas.El teorema anterior se expresa diciendo:Teorema1.11Laspmdenenen (k(U)unatopologalocalmentecon-vexa,respectodelaquedichoespacioescompletoylospolinomiossondensos.Teorema1.12Para cada abierto Ude cy para k = 0, 1, . . . , , se tieneque(k(U) =

gh

|U: g, h (k(c), h = 0enU.Demostracion.Sea Bn : n N un recubrimiento deUformadoporbolasabiertascuyasadherenciasestenenU.Yconsideremosparacadan Nunafunciongn ((c)comoladenidaen(1.8),positiva enBny nula en su complementario.Seaf (k(U) y denamos las funciones de cen Rg =2nfgn1 +rn +sn, h =2ngn1 +rn +sn,donde rn = pn(fgn) y sn = pn(gn). Basta demostrar entonces que g, h (k(c), lo cual es evidente por el teorema anterior, dado que ambas series12 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialson de Cauchy para todapm. Por ultimo es obvio queh = 0 enUy quepara cadax U,g(x) = h(x)f(x), es decir queg = hf.Nota1.13Observemos que en el resultado anterior hemos probado quetodo cerrado de ces de la formax c : h(x) = 0,para unah ((c).Denicion. Podemos decir en base a estos resultados que la estructura(kdiferenciable de c, que esta denida por todas las Ralgebras (k(U),cuandoUrecorre los abiertos de c, queda determinada exclusivamentepor (k(c) ylos abiertos de c. Ypodemos entender lavariedad (kdiferenciable c, como el par formado por el espacio topologico cy por(k(c).1.3. EspacioTangente.FibradoTangenteAlolargodelaleccion co c1seranespaciosvectorialesrealesdedimensionn y c2de dimensionm.Enlaleccion1hemosvistoquecadavectorv cdeneencadapuntop cuna derivada direccionalvpde la forma siguientevp: ((c) R, vp(f) = lmt0f(p +tv) f(p)t,Es facil demostrar que vp es lineal, se anula en las constantes y satis-face la regla de Leibnitz del producto. Esto nos induce a dar la siguientedenicion.Denicion. Llamaremosvectortangente enunpuntop c, atodaderivacionDp: ((c) R,es decir a toda funcion que verique las siguientes propiedades:1.3. EspacioTangente. FibradoTangente 13a)Linealidad.-Dp(tf +sg) = tDpf +sDpg.b)Anulacionconstantes.-Dpt = 0.c)RegladeLeibnitzenp.-Dp(fg) = f(p)Dpg +g(p)Dpf,para cualesquierat, s R yf, g ((c).Este concepto nos permite denir, en cada puntop c, un espaciovectorial real, utilizando para ello exclusivamente la estructura diferen-ciable de c.Denicion. Llamaremos espacio tangentea cenp, al espacio vectorialrealTp(c) de las derivaciones enp, con las operaciones(Dp +Ep)f = Dpf +Epf(tDp)f = t(Dpf),paraDp, Ep Tp(c),f ((c) yt R.Denicion. Dado un sistema de coordenadas lineales xi, correspondientea una base ei en c, consideramos para cadap cei = 1, . . . , n, loselementos deTp(c)

xi

p: ((c) R,

xi

pf= lmt0f(p +tei) f(p)t.Si no hay confusion usaremos la notacionip = (/xi)p.FormuladeTaylor1.14SeaU cunabiertoconvexo, a Uyxi ((U) un sistema de coordenadas lineales. Entonces:a) ma = f ((U) : f(a) = 0 es un ideal maximal real generadoporx1a1, . . . , xnan, dondeai = xi(a).b) Dadaf ((U), existenh1, . . . , hn ((U) tales quef= f(a) +ni=1hi(xiai).Demostracion.(a) Consideremos el morsmo de RalgebrasH: ((U) R, H(f) = f(a),para el que ker H = mae ImH = R, por tanto ((U)/ma R.14 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialDadas f1, . . . , fn ((U) es obvio quefi(xiai) ma y tenemosunainclusion, veamoslaotra, quema (x1 a1, . . . , xn an). Paraello seaf(x1, . . . , xn) ma,x Uy denamos la funcion diferenciableg : [0, 1] R, g(t) = f[tx + (1 t)a].Ahora por la regla de la cadenaf(x) = g(1) g(0) =

10g

(t)dt=

10ni=1

fxi[tx + (1 t)a]

(xiai)dt=ni=1hi(x)(xiai),dondehi(x) =

10

fxi[tx + (1 t)a]

dt ((U).Proposicion1.15Las derivaciones (/xi)a denidas anteriormente sonbase deTa(c).Demostracion. Que son independientes es una simple consecuenciade quexi/xj=ij. Veamos que son generadores, para ello seaDa Ta(c) yf ((c), entoncesf f(a) may por (1.14)f= f(a) +ni=1hi(xiai),dondea = (ai). Se sigue que

xj

af =ni=1hi(a)Xixj(a) = hj(a),Daf =ni=1hi(a)Daxi =ni=1[Daxi]iaf,es decirDa =[Daxi]ia.1.3. EspacioTangente. FibradoTangente 15Nota1.16Observemosqueal ser cunespaciovectorial tenemosunaidenticacion canonica entre todos los espacios tangentes, pues todos sonisomorfos a cde la siguiente forma, para cadaa cc Ta(c), v va,siendovafla derivada direccional defrelativa av ena.Ademas si elegimos un sistema de coordenadas linealesxien c, co-rrespondientesalabaseei,tendremosqueenterminosdelasbaseseiyialaaplicaci onanteriorserepresentaporlamatrizidentidad,puespara cadai,c Ta(c), eiia.Nota1.17Elespaciovectorial Ta(c)podamoshaberlodenidocomoel espacio vectorial de las derivaciones(1.3) Da: ((U) R,conlaregladeLeibnitzena, siendoUunabiertoentornodea. Puesdadaunaderivaciondeltipo(1.3),tendremosporrestriccionaUunaderivaciondeTa(c). YrecprocamentedadaunaderivaciondeTa(c),como es de la formatiia jado un sistema de coordenadas linealesxi, dene una unica derivacion del tipo (1.3).Esfacilprobarqueambastransformacionessonlinealeseinversas,es decir que es un isomorsmo. Para verlo basta usar (1.9) y queDafno cambia si cambiamosFfuera de un entorno dea.Por otra parte, parar 1, toda derivacion con la regla de Leibnitzena(1.4) Da: (r(U) R,dene una derivacion de Ta(c), pues ((U) (r(U). Y recprocamente,toda derivacion (1.3) puede extenderse a una (1.4), y esto puede hacersepues seg un vimos antes, toda derivacion (1.3) es de la formatiia queesta denido en las funciones de clase 1.Sinembargoestasdostransformacionesnosoninversas,puesenelsegundo caso no extendemos de modo unico. Es decir que las derivacionesde (r(U) en el puntoa forman un espacio vectorial con demasiados ele-mentos. Pero si solo consideramos las continuas respecto de la topologadenida en (1.10), tendremos un espacio isomorfo aTa(c).Parar= tenemos la suerte de que toda derivacion es automati-camente continua respecto de la topologa de (1.10), pues es de la forma16 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialtiiayestasseextiendenaunaderivacionDaen (r(c)deformacontinuadeun unicomodo, asaber tiia, pueslospolinomiossondensos y sobre ellosDa =tiia.Finalicemosanalizandosiexistiranderivacionesena csobrelasfunciones continuasDa: ((c) R.Lacontestacionesqueno, puessi f ((c)yf(a)=0enca-socontrariopondramos f f(a), tendremosqueexistenfuncionescontinuasg =

max(f, 0), h =

max(f, 0) ((c),tales quef= g2h2yg(a) = h(a) = 0. Por tantoDaf= 2[g(a)Dag h(a)Dah] = 0.DxxF(C )F(C )F(x)F (D )*xFigura1.2.Denicion. SeanU c1, V c2abiertos yF : UV declase1.Llamaremos aplicacion lineal tangen-tedeFenx Ua la aplicacionF:Tx(c1) TF(x)(c2),tal que para cada Dx Tx(c1),F(Dx) = Dx F, es decir que paracadaf ((V ) se satisface[FDx]f= Dx(f F).Ejercicio1.3.1 Demostrar las siguientes propiedades de laaplicaci onlinealtangente:a)SiV= UyF= id,entoncesparacadax E,F= id.b) Regla de la cadena.- Si F :U Vy G : V Wson diferenciables,siendoU E1,V E2yW E3abiertos,entonces(G F)= G F.c)Elegirsistemasdecoordenadaslinealesencadaespaciovectorial Eiyescribirlaigualdadanteriorenlaformamatricialasociada.Teoremadelafuncioninversa1.18Una aplicacion F :U c1 c2,de clasekes un difeomorsmo local de claseken un puntox Usi ysolo siF : Tx(c1) TF(x)(c2) es un isomorsmo en x.1.4. Campostangentes 17Demostracion. Es consecuencia de (1.6) y de la expresion matricialdeF.Denicion. Llamaremos brado tangente del abierto Ude c, a la unionT(U) de todos los espacios Ta(c), para a U, con la estructura topologi-ca y diferenciable denida por la siguiente biyeccion canonicaT(U) U c, va(a, v),donde va Ta(c) es la derivada direccional en a relativa al vector v c.Llamaremos aplicacion proyeccion canonicaenUa la aplicacion:T(U) U, (vp) = p,sivp Tp(c).1.4. Campostangentes1.4.1. CampostangentesDenicion. Poruncampodevectores enunabiertoUdeunespaciovectorial centenderemos una aplicacionF :U c.Diremos que el campo es de clasek siFes de clasek.Figura1.3.CampodevectoresLainterpretaciondeunaaplica-ci on F como un campo de vecto-resquedapatenteenlagura(1.3),donde hemos representado encadapunto(x, y)del planoreal el vectorF(x, y) = (cos xy, sen (x y)).Aun-queestadeniciones muyvisual ysugerente, tiene el problema de noser muy manejable y la desventaja denecesitar la estructura vectorial de c18 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialpara que tenga sentido. Por ello recordando que un vectorv = F(p) cen un puntop Udene una derivacionvp Tp(c), damos la siguientedenicion equivalente, aunque solo como justicacion para una posteriordenicion mejor.Denicion. Llamaremos campo de vectores tangentes, de clase k, en U,a un conjunto de vectoresDp Tp(c) : p U,que satisfacen la siguiente condicion:Para cadaf ((U), la funcionp U Dpf R,esta en (k(U).Observemosquedaruncampodevectorestangentes DppUesequivalente a dar una seccion de:T(U) U:U T(U), (p) = Dp.Ejercicio1.4.1 (a)Demostrarqueexisteunabiyecci onentrecamposdevec-toresF: U Edeclasekycamposdevectorestangentes {Dp Tp(E):p U}declasek,queverica:(i) Si a Fle corresponde {Dp} y a G {Ep}, entonces a F +G le corresponde{Dp +Ep}.(ii) Si a Fle corresponde {Dp} y f Ck(U), entonces a fFle corresponde{f(p)Dp}.(b) Demostrar que {DpTp(E) : pU} es uncampo de vectorestangentesdeclaseksi ys olosi laaplicaci on: U T(U), (p)=Dpesunaseccionde,declasek.Denicion.Llamaremos campo tangentede claseken el abiertoUdeca toda derivacionD: ((U) (k(U),es decir toda aplicacion que verique las siguientes condiciones:1.-D(tf +rg) = tDf +rDg,2.-Dt = 0,3.-RegladeLeibnitz:D(fg) = f(Dg) +g(Df),paraf, g ((U) yt, r R.1.4. Campostangentes 19Denicion. Dado un campo tangente D de clase k, llamaremos integralprimeradeD a toda funcionf (k+1(U) tal queDf= 0.Nota1.19Denotaremos con Tk(U) el conjunto de los campos tangentesaUdeclase k, yporcomodidadparak= escribiremos T(U) =T(U). Observemos que tenemos las inclusionesT(U) Tk(U) T0(U),por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los masgenerales.Noobstanteenelsiguientetemaintroduciremosloscamposlocalmente lipchicianos, que denotaremos con TL(U) y que estan entrelosdeclase1yloscontinuosyqueseranlosqueconsideremosparaestudiar el problema de unicidad de solucion de una ecuacion diferencial.En Tk(U) denimos lasumadedos campos D, ETk(U) yelproducto de una funciong (k(U) por un campoD, de la forma,(D +E)f = Df +Ef,(gD)f = g(Df),para todaf ((U). Tales operaciones dotan a Tk(U) de una estruc-tura de modulosobre la Ralgebra (k(U), pues se tienen las siguientespropiedades,f(D +E) = fD +fE,(f +g)D = fD +gD,(fg)D = f(gD),1D = D.y para cadak, Tk(U) forman un haz de modulos.A continuaci on veremos que dar un campo tangente de clasek enUconsiste en elegir de forma diferenciable (de clase k), un vector tangenteen cada punto deU.Proposicion1.20Existe una biyeccion entre campos tangentes de claseky campos de vectores tangentes de clasek, para la que se tiene:a) SiD, E Tk(U) yp U, entonces (D +E)p = Dp +Ep.b) Sif (k(U), entonces (fD)p = f(p)Dp.20 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialDemostracion.Dada laD denimos losDpde la forma.Dpf= Df(p).Recprocamente dado un vector Dp Tp(c), en cada p U, denimosel campo tangenteD Tk(U) de la formaDf(p) = Dpf.Dado un sistema de coordenadas linealesxien c, es facil demostrarque los operadores diferencialesxi: ((U) ((U),fxi(p) = lmt0f(p +tei) f(p)t,para cadap Uy cadaf ((U), son derivaciones/xi T(U).Si no hay confusion usaremos la notacioni = /xi.A continuacion veremos que Tk(U) es un modulo libre sobre (k(U)con base lasi.Teorema1.21Dado un sistema de coordenadas linealesxien cyD Tk(U), existen unicas funcionesfi (k(U) tales queD =ni=1fixi,Demostracion.- Que la expresion es unica es inmediato aplicando-sela a lasxi. Para ver que existe basta demostrar queD = (Dxi)i,puesDxi (k(U).Locualesunaconsecuenciainmediatade(1.15)y(1.20).Denicion. DadosU Wabiertosde cyD Tk(W),denimoslarestricciondel campoDaU,comoelcampode T(U),correspondientepor (1.20) aDp Tp(c) : p U,oequivalentementeporel ejercicio(1.2.1), alarestriccionaUdelaaplicacion de clasek,F :W c, correspondiente aD.1.4. Campostangentes 21Es facil demostrar que si xi es un sistema de coordenadas lineales enc, entonces la restriccion del campoD =ni=1Dxixi,aUes la derivacionni=1fixi,parafi = Dxi|U, la restriccion aUdeDxi.Nota1.22Observese que toda derivacion de Tk(U) es automaticamentecontinua, por (1.21), respecto de la topologa denida en (1.10).Observese tambien que toda derivacionD: (k+1(U) (k(U),deneunaderivacionde Tk(U), pues ((U) (k+1(U), esdecirdeltipo fiidado un sistema de coordenadas linealesxi, con lasfideclase k. Recprocamentetodaderivacion fii Tk(U), conlasfi ((U), seextiendenodeun unicomodo, aunaderivaciondel tipo (1.22). Ahora bien si exigimos que la extension sea continua respecto de la topologa denida en (1.10), tendremos que s es unicay es fii. Demuestrese eso como ejercicio.Denicion.DadaF :V c2 U c1de clasek + 1, y dos campostangentesD Tk(V ) yE Tk(U) diremos queFllevaD aE, si paracadax VFDx = EF(x).Figura1.4.FllevaelcampoDalcampoE22 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialSi c1= c2, U VWabiertoyD Tk(W)diremosqueFdejainvariante aD siFllevaD enD, es decir si para cadax VFDx = DF(x).Proposicion1.23SeaF :U c1 V c2, de clasek +1,D Tk(U)yE Tk(V ). Entonces son equivalentes:i)FllevaDenE.ii)FD = FE.iii)D F = F E.Demostracion. Hagase como ejercicio.1.4.2. Campotangenteasoporte.Consideremos una aplicacion diferenciable (de clase )F: V c2 U c1.Denicion. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativoaF, de clasek, a las derivacionesDF: ((U) (k(V ),con la regla de LeibnitzDF(fg) = DFfFg +FfDFg.Denotaremos con TFk (U) el (k(V )modulo de estos campos con lasoperaciones(DF+EF)f= DFf +EFf, (gDF)f= gDFf.Nota1.24SiFes de claser, podemos denir los campos a soporte declasek r como las derivacionesDF: ((U) (k(V ).Denicion.Dada la aplicacionFde clase , denimos los morsmosde modulosF: T(V ) TF(U), (FD)f= D(Ff),F: T(U) TF(U), (FD)f= F(Df),1.4. Campostangentes 23Nota1.25Lo mismo si F es de clase k+1 considerando todos los camposde claser k.Ejercicio1.4.2 Demostrarqueentrelosconjuntosdevectores{DFp TF(p)(E1) : p V },conlapropiedaddequeparacadaf C(U),lafunci onp V DFp f R,est a en C(V ) y el espacio DF(U), existe una biyeccion vericando las siguien-tescondiciones:i)SiDF,EF DF(U),entoncesparacadap V(DF+EF)p= DFp+EFp .ii)Sif C(V ),entoncesparacadap V(f DF)p= f(p) DFp .Ejercicio1.4.3 SeaF :V E2 U E1,diferenciable.Demostrarque(i)ParacadaD D(V )yp V(FD)p= FDp.(ii)ParacadacampoD D(U)yp V[FD]p= DF(p),yque DF(U)esunm odulolibreconbaseF

xi

,paracadasistemadecoordenadaslinealesxienU.(iii)Que {DFpTF(p)(E1): p V }, satisfacelascondicionesde(a)yportantodeneuncampoasoporteDF DF(U)siys olosi:V T(U), (p) = DFp ,esunaaplicaci ondeclase ,talque = F.24 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial1.4.3. Campoasoporteuniversal.Consideremos en cun sistema de coordenadas lineales xi y en U clas coordenadas (xi, zi) naturales, es decirxi(p, v) = xi(p), zi(p, v) = xi(v),ahora pasemoslas aT(U) por la biyeccionT(U) U c,vp (p, v),xi(vp) = xi(p),zi(vp) = xi(v) = vpxi,Esdecirquevp T(U)tienecoordenadas(p1, . . . , pn, v1, . . . , vn)siy solo sip = (vp) tiene coordenadas (p1, . . . , pn) yvp =ni=1vi

xi

pDenicion. Llamaremos campo a soporte universal en Ual campo tan-gente aUcon soporte enT(U),E T(U), que por el ejercicio (1.4.3)queda determinado por la aplicacion identidad:T(U) T(U), (Dp) = Dp,es decir que para cadav T(U) vericaEv = v.Ademasenlascoordenadas(xi, zi)deT(U),vemosporelejercicio(1.4.3), queE =ni=1zi xi,pues para cadaDp T(U)Exi(Dp) = Dp(xi) = zi(Dp).1.5. Espaciocotangente. Ladiferencial 251.5. Espaciocotangente.LadiferencialDenicion. Para cada x c denotaremos con Tx(c) el espacio vectorialdual deTx(c), es decir el espacio vectorial real de las formas Rlineales( o 1formas)x:Tx(c) R,al que llamaremos espacio cotangente de cen x y vectores cotangentes asus elementos.Denicion. DadaF :U c1 V c2declase1ydadosx Uey = F(x), llamaremos aplicacion lineal cotangente deFenx aF:Ty(c2) Tx(c1),la aplicacion dual deF:Tx(c1) Ty(c2). Es decir tal queF(y) = y F.Denicion. Dadounpuntox c,llamaremosdiferencial enx,alaaplicaciondx: (1(c) Tx(c),tal que para cadaf (1(c) y para cadaDx Tx(c)dxf :Tx(c) R, dxf(Dx) = Dxf.A la 1formadxfla llamamos diferencial defenx.Ejercicio1.5.1 DadaF :U E1 V E2,declase1,demostrarlassiguien-tespropiedadesdeF:(a)SiU= V yF= id,entoncesF= id.(b)Si F : U V yG: VW, sondeclase1, conU E1, V E2yW E3abiertos,entonces(G F)= F G.(c)SiFesundifeomorsmo,entoncesFesunisomorsmo.(d)Parax Uey= F(x),F dy= dx F.Ejercicio1.5.2 Demostrarquedxesunaderivaci onenx.26 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialHemosvistoen(1.15),queparacadasistemadecoordenadaslinealesxide c, las derivaciones (ix) son base deTx(c). Se sigue por tanto deladeniciondediferencial, quelasdxx1, . . . , dxxnsonlabasedual enTx(c), puesto quedxxi

xj

x= ij,ademas el isomorsmo canonico c Tx(c), induce otro que es la res-triccion dedxa cc Tx(c), xidxxi.1.5.1. Interpretaci ongeometricadeladiferencial.Veamosahoraelsignicadogeometricodedxf,paracadax cycadaf (1(c). Se tiene que por el isomorsmo anterior(1.5)ni=1fxi(x)

xi dxf=ni=1fxi(x)

dxxi.cuya graca es el hiperplano tangente a la graca de fen el punto x. Enparticular en R tenemos que paraf : R R,dxf :Tx(R) R y en R2,f : R2R,dxf :Tx(R2) R,Figura1.5.Gracasdefydxfen RFigura1.6.Gracasdefydxfen R21.5. Espaciocotangente. Ladiferencial 27Ejercicio1.5.3 Demostrar que para pU ydpf =0, el hiperplano (verFig.1.7)H= {Dp Tp(E) : dpf(Dp) = 0},estangentealahipersupercieS= {x: f(x)=f(p)}, enel sentidodequecoincide con el conjunto de vectores Dp Tp(E), para los que existe una curvaX: I UtalqueX(0) = p, X(t) S, X

t

0= Dp.Ejercicio1.5.4 Darlaecuaci ondelplanotangentealelipsoide4x2+y2+ 5z2= 10,enelpunto(1, 1, 1).Figura1.7.Planotangenteaunasupercie1.5.2. Fibradocotangente.Igual que todos los espacios tangentes eran canonicamente isomorfosal espacio vectorial inicial c, tambien todos los espacios cotangentes soncanonicamente isomorfos al dual cde c. Esto nos permite denir unabiyeccion canonicaT(U) U c, p(p, w),dondeT(U) es la union disjunta de los espacios cotangentes de puntosdeU.Denicion. Sea U un abierto de c. Llamaremos brado cotangente de U,al conjuntoT(U) union de todos los espacios cotangentesTx(c), parax U, dotadodelaestructuradiferenciablenatural, correspondientepor la biyeccion anterior, a la deUc, que es un abierto del espaciovectorial de dimension 2n, c c.28 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialParacada T(U)existiraun unicox Utal que Tx(c),podemos as denir la aplicacion proyeccion:T(U) U,tal que() = x. De tal modo que las bras de cadax Uson1(x) = Tx(c).1.6. UnoformasDenicion. ParacadaabiertoU c,denotaremoscon(U)eldualde T(U) respecto de ((U), y en general con k(U) el dual del modu-lodeloscampostangentes Tk(U)respectode (k(U), esdecirdelasaplicaciones (k(U)lineales: Tk(U) (k(U),quellamaremos1formasenU,dotadasdelasoperacionesde (k(U)modulo,(1 +2)D = 1D +2D, (f)D = f(D),y para cadak, k(U) forman un haz de modulos.Denicion.Llamaremos diferencial a la aplicaciond: (k+1(U) k(U), df(D) = Df,para cadaf (k+1(U) yD Tk(U) (ver (1.22).)Denicion. Diremosqueuna1forma k(U)esexactasi existef (k+1(U) tal que = df.Ejercicio1.6.1 Demostrarqueladiferencialesunaderivaci on.Ejercicio1.6.2 Demostrar que k(U) es un Ck(U)m odulo libre con base dxi,paracadasistemadecoordenadaslinealesxi,yqueparatodaf Ck+1(U)df=fxidxi.1.6. Unoformas 29Nota1.26Observemos que para una variable, la formula anterior dicedf=dfdxdx.Esto permite entender el sentido que puede tener la cancelacion de dife-renciales.Nota1.27Debemos observar que en Rnaunque la nocion dedx1tienesentido, puesx1esunafunciondiferenciable, lade/x1nolotiene,puesparaestardenidanecesitamosdaralaveztodaslasfuncionescoordenadasx1, . . . , xn.Para verlo consideremos en R2las coordenadas (x, y) y otras coorde-nadas (x, x+y). En cada caso la /x tiene un signicado distinto, puesmientras en el primero (x +y)/x = 1, en el segundo (x +y)/x = 0.Denicion. Llamaremos campo de vectores cotangentes de clase k en Ua toda coleccionx Tx(c) : x U,paralaque, dadoD Tk(U)ysusvectorescorrespondientes Dx, laaplicacionx U xDx R,es de clase k.Ejercicio1.6.3 1.- Demostrar que en un espacio vectorial E, el concepto campode vectores cotangentes de clase k en el abierto Ues equivalente al de aplicaciondeclasek,F :U E.2.- Demostrar que existe una biyecci on entre las 1formas k(U) y loscamposdevectorescotangentesenUdeclasek,paralaquesetiene:(1 +2)x= 1x +2x,(f)x= f(x)x,(df)x= dxfpara, 1, 2 k(U),x Uyf Ck(U).Ejercicio1.6.4 Demostrarque (U)siys olosi:p U p T(U)esunasecci onde.Teorema1.28El brado cotangente tiene una 1forma canonica lla-mada unoforma deLiouville.30 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialDemostracion. Para cadap Uy Tp(c) denimosw = ,es decir que para cadaDw Tw[T(U)],wDw = [Dw].Dado un sistema de coordenadas linealesxien cy sus dualeszien c,consideremos el sistema de coordenadas (xi, zi) en T(U) U c, paralas que, sipse corresponde con (p, ), entoncesxi(p) = xi(p), zi(p) = zi() = p(ip),y en este sistema de coordenadas se tiene que =ni=1zidxi,lo que prueba su diferenciabilidad.Ahora veremos una propiedad caracterstica de las funciones y de las1formas, pero de la que los campos tangentes carecen.Teorema1.29SeaF :U c1 V c2, de clasek +1. Entonces paracada k(V )existe =F() k(U),denidaencadax Udela formax = FF(x).AdemasF: k(V ) k(U) es un morsmo de m odulos, que conservala diferencial. Es decir tiene las siguientes propiedades, parag (k(V )yi k(V ):F(1 +2) = F1 +F2,F[g] = [Fg][F],F(dg) = d(Fg).Demostracion.Dado un sistema de coordenadas linealesyien c2,existengi (k(V ) tales que =gjdyj,entonces si llamamosFj = yj F, tendremos que para cadax Ux = F[F(x)]=gj[F(x)]F(dF(x)yj)=gj[F(x)]dxFj,1.6. Unoformas 31y si consideramos un campo de vectores tangentesDx, correspondientesa un campo D T(U), la funcion que a cada x U le hace corresponderxDx =gj[F(x)]DFj(x),es diferenciable. El resto lo dejamos como ejercicio para el lector.1.6.1. Camposgradiente.Figura1.8.Gradientedex2+y2Por ultimosi enunespaciovec-torial c tenemos un producto interior< ,>, entonces c y c se identicancanonicamente por el isomorsmoc c, v < v,> .y en todos los espacios tangentesTp(c) tenemos denidounproduc-to interior, pues todos son canonica-mente isomorfos a c. Esto nos permi-te identicarTp(c) yTp(c), para cadap c, mediante el isomorsmo(1.6) Tp(c) Tp(c), Dp< Dp,>,y tambien nos permite denir para cada dos camposD, E Tk(U), lafuncion< D, E>, que en cadax vale< Dx, Ex>, la cual es de clasek,pues si en celegimos una base ortonormal ei, entonces la base dual xitambien es ortonormal y por tanto tambien lo son las bases

xi

x Tx(c), dxxi Tx(c)),y se tiene que paraD =fixi,E =gixi,< D, E>=ni=1figi.Por tanto podemos denir el isomorsmo de modulos : Tk(U) k(U),D D,D(E) =< D, E> .32 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialDenicion. Dadoen cunproductointerior,llamaremosgradientedeuna funcionf (k+1(U), al campo grad f= D Tk(U) tal queD = df,es decir el campo D que en cada punto p Udene el vector Dp corres-pondiente por (1.6) adpf.Ejercicio1.6.5 Consideremosunproductointerioren E,unabaseorto-normal eiy el sistema de coordenadas lineales xicorrespondientes a esta base.Demostrarque:1.-Paratodaf Ck+1(U)grad f=fxixi Dk(U).2.-DemostrarqueelcampoD= grad f,esuncampoperpendicularalassuperciesdeniveldef.(VerFig.1.8)3.- Demostrar quesi UR2, entonces el campograd f deneencadapunto x el vector Dxel cual indica la direcci on y sentido de m axima pendientedelagr acadefenelpunto(x, f(x)).1.7. SistemasdecoordenadasProposicion1.30Lasfuncionesv1, . . . , vn (k(U)sonunsistemadecoordenadas locales de clasek enx Usi y solo si lasdxvison base deTx(c).Demostracion. Porelteoremadelafuncioninversasabemosque(vi) es un sistema de coordenadas locales enx Usi y solo si, dado unsistema de coordenadas linealesxi, se tiene quedet

vixj

= 0,1.7. Sistemasdecoordenadas 33y esto equivale a que los vectores cotangentesdxvi =nj=1

vixj

(x)dxxj,sean base.Nota1.31Observemos que de este resultado se sigue que si las diferen-ciales de un n umero nito de funciones diferenciables, son independientesen un punto, tambien lo son en un entorno del punto, pues pueden ex-tenderse a una base.Consideremos un difeomorsmo de clasek + 1F= (v1, . . . , vn):U c F(U) = V Rn,entonces las 1formasdv1, . . . , dvn,son base de k(U), pues dado un sistema de coordenadas linealesxienc, tendremos quedvi =nj=1

vixj

dxj.Denicion.En los terminos anteriores denotaremos conv1, . . . ,vn Tk(U),la base dual de lasdvi. Si ces de dimension1, yves una coordenadadeU c, escribiremosdfdv=fv.Ejercicio1.7.1 Enlosterminosanterioresdemostrarque: 1)Paray1, . . . , ynlasproyeccionesde Rn,yparacadap U,setienequeF

vi

p=

yi

F(p).2)Sif= g(v1, . . . , vn),entoncesfvi=gyi(v1, . . . , vn).34 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial3)Paracadaf C1(U),df=ni=1

fvi

dvi.4)Paracada k(U),=ni=1

vi

dvi.5)ParacadacampoD Dk(U)D=ni=1Dvivi.Ejercicio1.7.2 Demostrarquesi (u1, . . . , un)y(v1, . . . , vm)sonsistemasdecoordenadas de clase k en abiertos U E1y V E2respectivamente, entonces(w1, . . . , wn+m)talesquepara(p, q) U Vwi(p, q) = ui(p), parai = 1, . . . , n,wn+j(p, q) = vj(q), paraj= 1, . . . , m,sonunsistemadecoordenadasdeclasekenU V .Ejercicio1.7.3 Demostrarquelasfunciones =

x2+y2, =

arc cos x/

x2+y2 (0, ) siy> 0,arc cos x/

x2+y2 (, 2) siy< 0,arcsin y/

x2+y2 (/2, 3/2) six < 0.formanunsistema de coordenadas llamadas polaresde clase enelabiertoR2{(x, 0) R2: x > 0}.Ejercicio1.7.4 i)Enlosterminosdelejercicioanteriorcalcular:x2,x,[log () y],xy.ii)Escribirenlascoordenadaspolaresloscamposxx+yy, yx+xy,1.8. Ecuacionesdiferenciales 35ydarunaintegralprimeradecadauno.iii)Escribirencoordenadas(x, y)loscampos:,, , +.iv)Escribirencoordenadaspolareslas1formasdx, dy, xdx +ydy,1ydx xy2dy.v)Escribirencoordenadas(x, y)las1formasd, d, d +d.Ejercicio1.7.5 Dadosa, c R, encontrarlasoluci ondeyzx=xzyquesatis-facecz= (x y)2cuandox +y= a.Ejercicio1.7.6 a)Encontrardosintegralesprimerasdelcampode R3D= yx+xy+ (1 +z2)z.b)Encontrarunaintegralprimeracom unaloscamposde R3D= yx+xy, E= 2xzx+ 2yzy+ (x2+y21 z2)z.1.8. EcuacionesdiferencialesDenicion. Llamaremoscurvaparametrizadaenel abiertoUde catoda aplicacion de clase 1, denida en un intervalo realX:I R U.36 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialFigura1.9.CurvaintegraldeDDenicion.DadoD Tk(U) yp U, diremos que una curva parametri-zadaX: IUes unasoluciondelaecuaciondiferencial ordinaria(EDO) autonoma denida porD, ouna curva integralde D, si para cadat IX

t

t= DX(t).Seaxi un sistema de coordenadas en cyD =fi(x1, . . . , xn)i. Sidenotamos conXi(t) = xi[X(t)],paraXuna curva integral deD, tendremos queX

i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)].Ejercicio1.8.1 Demostrar que toda integral primera f de uncampo DesconstanteencadacurvaintegralXdeD,esdecirquef X= cte.Ejercicio1.8.2 Encontrar la curva integral en forma implcita, del campode R3D= yx+xy+ (1 +z2)z,quepasapor(1, 0, 0).1.8.1. Cambiodecoordenadas.Dado un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de coor-denadasxiX

i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)],1.8. Ecuacionesdiferenciales 37y dado otro sistema de coordenadasv1, . . . , vn, podemos escribir el sis-tema de ecuaciones en este sistema de coordenadas observando que siD =ni=1fi(x1, . . . , xn)xi=ni=1(Dvi)vi=ni=1

nj=1fj(x1, . . . , xn)

vixj

vi=ni=1

nj=1hij(v1, . . . , vn)vi,entonceslascomponentesdeXenelsistemadecoordenadasvi, Yi=vi X, satisfacen el sistema de ecuacionesY

i (t) =nj=1hij[Y1(t), . . . , Yn(t)].Ejercicio1.8.3 Obtenerlaexpresi onanterioraplicandolaregladelacadenaaY

i= (vi X)

.Ejercicio1.8.4 Escribirlossistemasdeecuacionesdiferenciales

x

= yy

= x

x

=xy2y

=1yenelsistemadecoordenadaspolares.1.8.2. Ecuacionesdiferencialesnoautonomas.Si Iesunintervaloabiertode RyUesunabiertode c,enIUtenemosunaderivadaparcial especial, aunquenohayamoselegidounsistema de coordenadas en c.Denicion.Llamaremos/t al campo tangente de T(IU) tal quepara cadaf ((I U)ft (t, p) = lmr0f(t +r, p) f(t, p)r,38 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialel cual vericat/t = 1 para la funcion deI U,t(r, p) = r.Denicion. Llamaremos solucion de una ecuacion diferencial ordinarianoautonoma denidaenI U, alaproyeccionenUdelas curvasintegralesXde los camposD T(I U), tales queDt = 1, t X = id.Si enUconsideramos un sistema de coordenadasxi y enI Ucon-sideramos el sistema de coordenadas (t, x1, . . . , xn), entonces los camposD T(IxU) tales queDt = 1, son de la formaD =t +f1(t, x1, . . . , xn)x1+ +fn(t, x1, . . . , xn)xn,y siXes una curva integral suya y llamamosX0 = t X,Xi = xi X,tendremos queX

0(r) = 1,es decir que existe una constantek, tal que para todor,t[X(r)] = X0(r) = r +k,y nuestras soluciones (t X = id) son las que corresponden a k = 0. Portanto en coordenadas la solucion X1, . . . , Xn de una ecuacion diferencialordinaria no aut onoma satisface el sistema de ecuaciones diferencialesX

1(t) = f1[t, X1(t), . . . , Xn(t)]...X

n(t) = fn[t, X1(t), . . . , Xn(t)].1.8.3. Ecuacionesdiferencialesdesegundoorden.Consideremos ahora la aplicacion proyecci on canonica:T(U) U, (Dp) = p,la cual es de clase .1.8. Ecuacionesdiferenciales 39Denicion. Llamaremosecuaciondiferencial desegundoordenenunabierto Ude ca todo campo tangente en el brado tangente de U, D T[T(U)], tal que su proyeccion porsea el campo a soporte universal,es decirD = E,o lo que es lo mismo tal que para todoTp T(U)DTp = Tp.Veamos como es un campo de estos en las coordenadas (xi, zi) verleccion 4. Por el ejercicio (1.4.3) tenemos queD = E (D)xi = Exi = zi,por tanto son los campos de la formaD =zixi+Dzizi,y siXes una curva integral suya, tendremos que llamandoDzi = fi(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),Xi(t) = xi[X(t)], Zi(t) = zi[X(t)],entoncesX

i(t) = Zi(t)Z

i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t), Z1(t), . . . , Zn(t)],o lo que es lo mismoX

i (t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t), X

1(t), . . . , X

n(t)].40 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorial1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales1.9.1. ProblemasGeometricosVamos a estudiar las curvas del plano que en cada punto su tangentedeterminaunsegmentoconlosejescoordenados,cuyopuntomedioesel dado.Figura1.10.Solucion. Sea y = y(x) una de esas curvas, entonces para cada x0, sutangentey = xy

(x0) +b, en el punto (x0, y(x0)) vericay(x0) = x0y

(x0) +b, 2y(x0) = b, 0 = 2x0y

(x0) +b,por tanto para cada x0, y(x0) = x0y

(x0) +2y(x0) y nuestra ecuacion esxy

+y = 0, es deciry

y+ 1x= 0 (log y + log x)

= 0 xy = cte.y las soluciones son las hiperbolas con asntotas los ejes.Veamoslodeotromodo: Seah=0unatal curva, entonceslarec-tatangenteencadapuntosuyop=(x0, y0), h(p) =0esdelafor-mahx(p)(x x0) + hy(p)(y y0)=0, ypasapor(0, 2y0), portantohx(p)(x0) +hy(p)(y0) = 0, en denitivah es solucion dexhx +yhy = 0 Dh = 0, D = xx +yy,y el campoD tiene 1forma incidentexdy +ydx = d(xy), por tanto lassoluciones sonxy = cte.1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 41Ejercicio1.9.1 Encontrarlaecuaci ondelascurvasqueencadapuntolanor-maldeterminaunsegmentoconlosejescoordenados,cuyopuntomedioeseldado.Ejercicio1.9.2 Encontrarlaecuaci ondelascurvasqueencadapuntoPlanormalcortaalejexenunpuntoAtalqueOP= PA.Ejercicio1.9.3 Encontrar las curvas del semiplano x > 0, que para cada puntosuyo P, el area del tri angulo que forman la tangente, el eje y y la paralela al ejex por P, es proporcional al area de la regi on limitada por la curva, la tangenteyelejey(contandoareapositivasilacurvaest apordebajodelatangenteynegativaencasocontrario).Ejercicio1.9.4 Encontrar las curvas en el semiplano y> 0, tales que para cadapuntoPsuproyecci onAenel ejexseproyectaenel puntoBdelanormalenPalacurva,demodoquePBseadelongitudconstante.1.9.2. ProblemasQumicos.Desintegracion.Los qumicos suelen armar como verdad experimental que una sus-tancia radioactiva se desintegra con una velocidad proporcional a la can-tidad de materia que se desintegra, la razon que subyace es que si en cadainstante la materia que hay es x(t), despues de un tiempo t, habra me-nos, x(t + t)yladiferenciaserapeque nasihabapocamateriaoeltiempo transcurrido t era peque no y grande en caso de ser grande lamateriaoel tiempo, endenitivaladiferenciapareceproporcional alproductodeesasdoscantidades, lacantidaddemateriayel tiempotranscurrido,x(t) x(t + t) = ktx(t).Entalcasolacantidaddemateriaencadainstantevienedadaporlaecuacion diferencialx

(t) = kx(t),dondek > 0, por tanto(1.7)x

(t)x(t)= k log x(t) = kt + cte x(t) = x(0) ekt.Observemos que el campo tangente asociado esta en R y en la coordenadax se escribeD = kxx.42 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialEjercicio1.9.5 Si el 20 % de una sustancia radioactiva se desintegra en 10 das,encu antotiempodesaparecerael50 %?.11/25730 aose-kttx(t)/x(0)Figura1.11.Desintegraci ondelC14.Nota1.32SobreelCarbono 14. Existen en la naturaleza tres isotoposdel carbono cuyos n ucleos contienen diferente n umero de neutrones (6, 7y 8) pero el mismo de protones (6): el C12(el 98 % del CO2 del aire es deeste), el C13(el 1 % del CO2 es de este) y el C14(en menor proporcion queel anterior en elCO2, pero tambien existente). Este ultimo es inestabley radioactivo, por tanto el que queda despues de un tiempo t es por (1.7)x(t) = x(0) ekt, k =log 25730 a nos(ver la gura (1.11)), donde la constantek es la que corresponde a estematerial radioactivo (y equivale a decir que la masa deC14se reduce ala mitad despues de 5730 a nos).Es admitido com unmente queC12yC14, estan presentes en toda lamateriaorganicavivienteenproporcionconstante. LarazonqueparaellosedaesqueaunqueelisotopoC14esinestableylentamente,porlaformulaanterior,setransformaennitrogeno1yotraspartculas,es-taperdidaquedacompensadaporlaconstanteactividaddeneutronesc osmicos, que atravesando nuestro Sistema Solar, llegan a la atmosferaterrestre, donde chocan, a unos 15 km de la supercie terrestre, con elN, creandoseC14e hidrogeno.1ElNtiene7protonesy7neutrones1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 43Partedelos atomosdeC14ydeC12enlaatmosferaseoxidan,esdecirformanconel oxigenomoleculasde CO2. Todosestosprocesossonmasomenosconstantesycomoconsecuencialoeslaproporcionenel airedel CO2conC12yconC14. Lasplantasvivasadquierenelcarbono delCO2 del ambiente produciendo glucosa (C6H12O6) durantela fotosntesis. De este modo plantas y animales vivos (que se alimentande plantas) tienen una proporcion constante de ambos carbonos en sustejidos, que no es otro que el del ambiente.Sin embargo cuando un ser vivo muere el C12no se altera y podemosanalizarcuantotieneahora(untiempotdespuesdesumuerte)que,al ser constante, es el quetenacuandomurio. Por loquepodemossaberlacantidadx(0)deC14quetenaentonces(admitiendoquelaproporcion de ambos en el ambiente de entonces y de ahora es la misma).Ahora bien como este es radioactivo se desintegra (tras la muerte no hayaportenuevodeesteisotopo)ycomoconocemoslaconstantekenlaf ormula de su desintegracion, podemos aplicarla para saber la fecha desu muerte, para lo cual basta analizar la cantidad,x(t), deC14que hayen la actualidad y despejart en la formula.Este metodode datacionpor el carbonoes usadohabitualmenteporpaleontologos, egiptologos, arqueologos, biologos, geologos, qumi-cos o fsicos, quienes estan interesados en determinar la edad de huesos,pinturas o cualquier tipo de resto organico. Y como lo habitual es con-siderarlo un buen metodo, es preciso recordar sus limitaciones, es decirtodas las hipotesis quehaydetras delaconclusion. Entreellas, unaaproximacionmatematicacontinuaysencilladeunarealidaddiscretay compleja; constancia de bombardeo cosmico; constancia de atomos ymoleculasenlaatmosferayenlasuperciedelatierra,durantemilesde a nos, etc. El metodo no tiene en cuenta catastrofes a nivel mundial:explosiones de supernovas que hayan afectado a la Tierra, emisiones so-lares extra nas, meteoritos, volcanes ograndes tormentas. Siendocasicotidianos algunos de estos fenomenos.Debemos recordar pues, que todas estas hipotesis, son tan solo hipote-sis, es decir algo simple de lo que partir, pero no demostrado en el ambitocientco.Noobstantes esverdadquepuedenhacersedatacionesporotrosmetodosycotejarlaspermitiendounaverosimilitudmayorenladata-ci on.44 Tema1. LaestructuradiferenciabledeunespaciovectorialEjercicio1.9.6 Siescierto2queenunaeconomalavelocidaddedisminuci ondel n umero de personas y(x), conunsalario de por lo menos xeuros, esdirectamente proporcional al n umero de personas e inversamente proporcionala su salario mnimo, obtengase la expresion de yen terminos de x llamada leydePareto.Ejercicio1.9.7 Laleyexperimental de Lambert3establece que las l aminasdelgadasdeunmaterial transparenteabsorbenlaluzqueincideenellasdeformaproporcionalalaintensidaddelaluzincidenteyalanchodelal aminaqueatraviesa.Expreseseestaleydandolaf ormulaquedalaintensidaddeluzquesaledeunmediodeanchoL.1.9.3. ProblemasBiol ogicos.1.- Consumo de bacterias. Admitiendo que las bacterias que se sumi-nistran como alimento a una poblacion de protozoos (a razon constante),son consumidas a una velocidad proporcional al cuadrado de su cantidad,se pide encontrar:(a) El n umero de bacteriasb(t) en el instantet, en terminos deb(0).b) Cuantas bacterias hay cuando la poblacion esta en equilibrio?.Solucion.- Seay(t) el n umero de bacterias que hay en el instantetyx(t) el n umero de bacterias consumidas en el perodo (0, t), entoncesy(t) = y(0) +kt x(t), x

(t) = ay2(t), x(0) = 0,por tantoy

(t) = k ay2, que corresponde al campot + (k ay2)y,que tiene uno forma incidente, para =

k/aadt +dy2y2= d12 log +y y at

,y la solucion es +y y= c eat, c = +y(0) y(0).2Como pensaba Vilfredo Pareto, (18481923), economista, sociologo y losofofrances.3Lambert, JohannHeinrich(17281777), fueunmatematico, fsico, astronomoylosofoalem andeorigenfrances.1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 452.- Reproduccion de bacterias. Se sabe que la velocidad de reproduc-ci on de las bacterias es, cuando no hay demasiadas, casi proporcional aln umero de bacterias, y cuando hay demasiadas estas inuyen negativa-mente y la velocidad de reproduccion se hace negativa. Se plantea as lasiguiente ecuacionx

(t) = k1x(t) k2x2(t),conk1, k2> 0, yk2peque no. El campo tangente asociado esta en R yen la coordenadax se escribeD = (k1x k2x2)x.Ejercicio1.9.8 Demuestrese que la velocidad de reproduccion es m axima cuan-dolapoblaci ondebacteriastienelamitaddesutama nodeequilibrio.1.9.4. ProblemasFsicos.Ley de Galileo. Consideremos un cuerpo de masa 1. La ley de Galileonos asegura que en cada libre su aceleracionx

(t) es constante e igualag.Esunaecuaciondiferencial desegundoordenenlarecta, lacualdene una ecuacion diferencial en el brado tangente de la recta, que encoordenadas (x, z) se plantea de la formax

(t) = z(t)z

(t) = gz(t) = gt +z(0)x(t) =12gt2+x

(0)t +x(0)

y cuyo campo asociado esD = zx +gz.Nota1.33La Ley de la atraccion Universal de Newton aseguraque dados dos cuerpos con masasMym a distanciaR, se produce unafuerza de atraccion dem hacia My otra deMhacia m, de modulomGMR2,46 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialy por la Segunda Ley de Newton, la aceleracion dem valeGMR2,dondeG = 6

6731011(N m2/kg2) es una constante Universal.Ahora bien esto nos dice por una parte, que si Mes la Tierra ymesta en las proximidades de su supercie, sufre una aceleracion constanteg =GMR2= 9

8(N),independiente del valor de su masa, donde R es el radio de la tierra. Conlo cual obtenemos la Ley de Galileo.Pero por otra parte tambien tenemos una explicacion de esa constanteG.AcabamosdedecirqueuncuerpoconmasaMaceleraatodosloscuerposqueestenadistanciaRconlamismaaceleracionyqueestaaceleraciondeterminalamasaM.Estonospermitedenirapartirdeunidadesdelongitudytiempo(comometroysegundo)unaunidaddemasacanonica.Llamemos kg Natural a la masa de un cuerpo que a 1 metro aceleraa cualquier cuerpo 1m/seg2.Naturalmente como el kg es una unidad cuyo origen historico es in-dependientedel metroydel segundo, (eslamasade1cubodeaguade 1 decmetro de lado es decir de 1 litro), pues no coincide con elkgNaturalylaproporcionentreambosesestaconstanteUniversal G.Esdecirquelanaturalezamagicadeesemisterioson umerouniversalestaenlaeleccionarbitrariadel kgque, tambienescierto, puedesermas operativo que el del kg Natural.PorotraparteenLaTeoradelaRelatividadlaconstanciadelavelocidaddelaluznospermiterelacionarlasunidadesdetiempoydelongitud y hablar de a nos-luz como unidad de longitud.Es decir que las unidades de longitud y tiempo se determinan mutua-mente y con ellas se determina una unidad de masa. Pero habra algunaunidaddelongitudcanonica?. Esposiblequeseaas puestoqueenelUniverso hay protones. Y es posible que alguna de las constantes univer-sales de la fsica (de Planck, etc.), sea la conrmacion de esto (en cuyocasoeln umeroquedeneesaconstanteenunasunidadesseraconse-cuencia, una vez mas, de la eleccion arbitraria de dichas unidades. Peroesto es hablar por no callar...1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 47Elpendulo. Consideremos un pendulo de masam suspendido, en elorigen de coordenadas de R2, por una barra rgida de masa despreciabley de longitudL.Su posicion, en cada instante t, viene determinada por el angulo (t)que forma la barra en el instante t con el semieje negativo de las ordena-das, medido en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj.Figura1.12.PenduloTal posicion es(t) = L(sen (t), cos (t)) = Le1(t),y comoe

1 =

(t)(cos (t), sen (t)) =

(t)e2(t),e

2 =

(sen , cos ) =

e1,tendremosquelavelocidaddelpenduloencada instantet vendra dada porv(t) =

(t) = L

(t)e2(t),y la aceleracion pora(t) =

(t) = L

(t)e2(t) L

(t)2e1(t)Por otra parte sobre la masa act uan dos fuerzas por unidad de masa, la dela gravedad que es (0, g) y otra con la direcci on de la barra Fe1(t), queimpide que la masa deje la circunferencia y que unas veces apuntara enla direccion del centro de la circunferencia (F< 0) y otras en direccioncontraria (F> 0). La de la gravedad se descompone en terminos de labasee1, e2de la forma(0, g) = ((0, g)e1)e1 + ((0, g)e2)e2 = mg cos e1mg sen e2,y por la segunda Ley de Newtonma(t) = (0, mg) +mFe1, es decirL

(t)e2L

(t)2e1 = g cos e1g sen e2 +Fe1,lo cual equivale al par de ecuacionesL

(t) = g sen , L

(t)2= g cos +F,48 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialy el movimiento del pendulo queda descrito por la ecuacion(1.8)

(t) = gL sen (t).Puesta en coordenadas es una ecuacion diferencial de segundo ordenen la recta real. Aunque realmente es una ecuacion diferencial de segundoordenenlacircunferenciaycorrespondeauncampotangenteenelbrado tangente a la circunferencia, que es el cilindro.Pararesolverestaecuacionintroducimosunanuevavariablez(lavelocidad de la masa, que es | v |), y consideramos el sistema

(t) =z(t)L,z

(t) = g sen (t),que corresponde al campo tangenteD =zL g sen z.3p p -p02pFigura1.13.curvasintegralesObservemosqueD= 0parala1forma exacta = Lg sen d+zdz = d[z22 gLcos ],por lo que la funcionh =z22gLcos ,quevericah gL, es unaintegral primerade Dypor tantoesconstante en las curvas integrales de D (ver dibujo (1.13). Esto demuestrala Leydeconservaciondelaenerga en el pendulo, pues la suma de laenerga cinetica y la energa potencial dem esEc +Ep = mz2(t)2mgLcos (t) = mh.Nota1.34Observemos (ver gura (1.13)), que hay cuatro tipos de cur-vas integrales y que estan sobre las curvas h = cte: Las constantes, quecorresponden a los puntos en los que D = 0, que son (0, 0) y (, 0) en lafranja [0, 2)R. El primero esta sobre la curva h = h(0, 0) = gL,1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 49quesolocontienealpunto(0, 0),puesz2=2gL(cos 1) 0,mien-trasqueelsegundoestasobrelacurvaespecial h =h(, 0) =gL =C (, 0), queestaformadapordoscurvasintegrales: laconstan-te(, 0) yel restoCquerepresentael movimientodel penduloqueseaproxima, cuandot , al puntomasaltodelacircunferencia,con velocidad tendiendo a cero, sin alcanzarlo nunca salvo en el lmite.Estacurvaintegral esla unicanoperiodica. Lacurvaintegral deD,p(t) = ((t), z(t)), con las condiciones inicialesp = (, z0), conz0 = 0,esta sobre la curvah(, z) = h(, z0) > gL,ysedemuestraqueestacurvaes latrayectoriade pyqueestaesperiodicadeperodo2. Por ultimolacurvaintegral de D, p(t) =((t), z(t)), conlascondicionesiniciales p=(0, 0), con =0 =0,satisface la ecuacionh(, z) = h(0, 0) < gLque son los ovalos en la gura 1.13. Se sigue de (2.28), pag.89, quep escompletaesdecirdenidaentodo Rycomoelcamponoseanulaenesta curva, se sigue de (5.37), pag.302, que la trayectoria de p es el ovaloyquepesunacurvaperiodica,esdecirexisteelmnimovalorT> 0al que llamamos perodo de la curva, tal quep(0) =p(T) =p. Ypara0> 0 tenemos quez(t) =

2gL(cos (t) cos 0), sit [0, T/2];

2gL(cos (t) cos 0), sit [T/2, T].Si se quiere encontrar(t) es necesario resolver una integral elpticade primera especie, pues integrando entre 0 ytdt = L

(t)z(t) dt,t =

t0L

(t)z(t) dt =

L2g

(t)(0)dcos cos 0,y por tantoT2=

L2g

00dcos cos 0,T= 4

L2g

00dcos cos 0,50 Tema1. Laestructuradiferenciabledeunespaciovectorialy utilizando la igualdadcos = 1 2 sen22,se tiene queT= 2

Lg

00d

sen202 sen22,y con el cambio de variablesen 2= sen 02sen = a sen ,tendremosT= 4

Lg

/20d

1 a2sen2,y como para [x[ < 1 se tiene11 x= 1 + 12x + 1324x2+ 135246x3+se demuestra (parax = a2sen2) queT= 2

Lg1 +

12

2a2+

1324

2a4+

135246

2a6+,y se tiene que si0 0 entoncesa 0 y el perodo converge a(1.9) T= 2

Lg .Ejercicio1.9.9 Una masa sobre una esfera lisa de radio L se desplaza innite-simalmente del punto mas alto y empieza a resbalar sin rozamiento y sin rotar.enquepuntoyconquevelocidadseseparadelaesfera?A menudo (1.8) se transforma por

(t) = gL(t),que es una buena aproximacion para peque nas oscilaciones del pendulo,pues para peque no sen , y tiene la ventaja de ser mas sencilla deresolver.1.9. Ejemplosdeecuacionesdiferenciales 51Sin embargo la razon de esta aproximacion la veremos en la leccion5.2, pag.258, donde probaremos que una ecuaci on diferencial en un puntosingulartieneasociada,canonicamente,otraecuaciondiferencialensuespacio tangente, a la que llamamos su linealizacion.En el tema de los sistemas lineales veremos quex

= k2x,conk > 0, tiene solucion periodicax(t) = A cos(kt) +Bsen(kt) = Ccos(kt +),para [0, 2) yC =

A2+B2, cos =AC, sen = BC,y que parak =

g/L) el perodo es(1.10) T=2k= 2

Lg= R2

LMG,que es el valor lmite (1.9), donde recordemos queRes la distancia dela masa al centro de la Tierra.Conesto