aprendizaje estrategico y competencia de mercadocon el fin de resaltar la relación entre el...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD DE VALENCIA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALES
APRENDIZAJE ESTRATEGICO Y COMPETENCIA DE MERCADO
EN MODELOS DE DUOPOLIO
V.B.
LA DIRECTORA
Memoria para optar al grado de
Doctor en Ciencias Económicas
presentada por:
M. DOLORES ALEPUZ CHAQUES
Dirigida por:
Dña. AMPARO URBANO SALVADOR
Profesora Titular del Departamento
de Análisis Económico.
Fecha de Entraz^ .h M ñ yQ .rJM l
Fecha de Lectura
calificación mo.'cuA.MAmlaíR __________________( T j l ’ / A á J J ñ ip a d .
UMI Number: U607617
All rights reserved
INFORMATION TO ALL USERS The quality of this reproduction is dependent upon the quality of the copy submitted.
In the unlikely event that the author did not send a complete manuscript and there are missing pages, these will be noted. Also, if material had to be removed,
a note will indicate the deletion.
Disscrrlation Püblish<¡ng
UMI U607617Published by ProQuest LLC 2014. Copyright in the Dissertation held by the Author.
Microform Edition © ProQuest LLC.All rights reserved. This work is protected against
unauthorized copying underTitle 17, United States Code.
ProQuest LLC 789 East Eisenhower Parkway
P.O. Box 1346 Ann Arbor, MI 48106-1346
t f tP o fa M ¿ r l9 r ¿,tnj nftit
Quiero hacer constar, desde estas líneas, mi
agradecimiento a Amparo Urbano, por su constante dedicación
más sincero
y apoyo.
A Luis...
INDICE
INTRODUCCION 1
PRIMERA PARTE: EXPERIMENTACION Y COMPETENCIA EN EL MERCADO.
CAPITULO 1. Competencia de Cournot y Experimentación. 24
I. El modelo:
1.1. Supuestos básicos. 24
1.2. Desarrollo del juego. 26
II. Análisis del primer periodo: 33
11.1. Condiciones de primer orden. 35
11.2. Existencia del equilibrio. 38
III. Experimentación y búsqueda de señales de mercado más
informativas. 41
IV. Experimentación: monopolio y duopolio. 45
CAPITULO 2. Competencia de Bertrand (duopolio simétrico) y experimentación.
I. El modelo: 52
1.1. Supuestos básicos. 52
1.2. Desarrollo del juego. 54
II. Análisis del prim er periodo: 58
II.1. Condiciones de primer orden. 60
CAPITULO 3. Experimentación y diferenciación del producto. 66
I. El modelo:
/./. Supuestos báseos. 67
1.2. Desarrollo del juego. 69
II. Análisis del primer periodo: 76
II. 1. Flujo de infomación y setales de mercado:
la propiedao del ratio de verosimilitud
monótono. 78
11.2. Condiciones di primer ordei. 83
SEGUNDA PARTE: EXPERIMENTACION Y DISPERSION DE PRECIOS.
CAPITULO 4. Aprendizaje y dispersión de precios. 89
I. El modelo:
/./. Supuestos báseos. 90
I.2. Desarrollo del juego. 91
II. Análisis del primer periodo: 100
II.1. Flujo de infomación y setales de mercado:
la propiedac del ratio de verosimilitud
monótono. 102
11.2. Condiciones di primer ordei. 107
11.3. Extensiones. 116
III. Interpretación de la dspersión de precios. 119
CONCLUSIONES. 125
APENDICE A.
APENDICE B.
APENDICE C.
APENDICE D.
BIBLIOGRAFIA
INTRODUCCION
IN TR O D U C C IO N
Es un hecho bien conocido, que las empresas intentan adquirir
información, en situaciones de incertidumbre. Este intento, tiene lugar
cuando se obtienen unos beneficios mayores y/o una ventaja comparativa en el
mercado, como resultado de este proceso de búsqueda. En esta Tesis se estudia
un aspecto de la adquisición de información conocido como experimentación. Se
entiende por experimentación cualquier cambio en las acciones presentes
inducido por el deseo de variar la información disponible futura. Los agentes
cambian sus acciones óptimas a corto plazo (o miópicas), lo cual supone
sacrificar parte de los beneficios comentes, con el fin de recabar más
información sobre su incertidumbre estructural e incrementar, de esta forma,
los beneficios futuros. Por tanto, los agentes únicamente experimentarán
cuando el valor de la información sea positivo.
Con la experimentación, las empresas tratan de aumentar el contenido
informativo de las observaciones de mercado, es decir, del precio (cuando se
compite en cantidades) o de. las ventas (cuando se compite en precios). Como
esta señal de mercado es públicamente observable, los mercados de duopolio
introducen una dimensión estratégica en el comportamiento experimentador de
cada empresa. Los cambios en las acciones presentes, de cualquiera de ellas,
no solo afectan a la información disponible propia, sino que también influyen
en la información disponible de la empresa rival. El análisis de la
complejidad que introduce esta dimensión estratégica es uno de los objetivos
principales de esta Tesis Doctoral.
i
Además, este comportamiento experimentador estratégico se verá
altamente influido por el tipo de competencia prevaleciente en el mercado. En
particular, si las empresas compiten en cantidades (competencia de Coumot) o
si lo hacen en precios (competencia de Bertrand). Cada tipo de competencia da
lugar a unas propiedades distintas con respecto a la información. Así, bajo
competencia de Coumot, las empresas son sustituías en la información. Esto
implica que la tasa de cambio en las ganancias de cualquier empresa,
derivadas de una mayor información, aumenta cuanto más desinformada está la
empresa rival. Adicionalmente, como bajo Coumot se tiene sustitución
estratégica en el mercado, un competidor más informado será un peor rival.
Sin embargo, bajo la competencia en precios las empresas son complementarias
estratégicas en el mercado, lo que las convierte en complementarias en la
información, en el sentido de que la tasa de cambio en los beneficios, que
cualquiera de ellas obtiene de una mayor información, es mayor cuanto más
informada está la empresa rival. O lo que es lo mismo, un competidor
informado es un mejor rival.
Los objetivos básicos de esta Tesis Doctoral son:
1. Estudiar la adquisición estratégica de información bajo una
situación de competencia imperfecta, y su relación con la competencia
en el mercado.
2. Relacionar los resultados obtenidos para producto homogéneo, con la
adquisición de información en los modelos de monopolio existentes en
la Literatura.
2
3. Analizar como el motivo de la experimentación, puede dar lugar en
juegos dinámicos simétricos a soluciones asimétricas en estrategias
puras. En concreto, cómo la experimentación puede explicar la
dispersión de precios.
4. Interpretar los resultados obtenidos a través del concepto de
señales de mercado más informativas.
En otras palabras, las cuestiones básicas que se plantean son: ¿Cómo se
desvian las empresas de su nivel de producción a corto plazo o miópico para
explotar la habilidad de obtener información por medio de la experimentación?
y ¿Cómo el hecho de que exista más de una empresa en el mercado influye en el
comportamiento experimentador de los agentes? o lo que significa lo mismo
¿Puede el aprendizaje modificar el comportamiento estratégico de una
industria duopolista que se enfrenta a incertidumbre en la demanda?, y por
último ¿Cómo la búsqueda de señales de mercado más informativas, justifica la
experimentación?. Con el fin de dar respuesta a estas preguntas se estudian
distintos modelos de duopolio bajo dos tipos de competencia: en cantidades
(Competencia de Coumot) y en precios (Competencia de Bertrand).
l.Se analiza, en primer lugar, un modelo dinámico (dos periodos) donde
las empresas venden productos homogéneos y compiten en cantidades
(Competencia de Coumot). Estas se enfrentan a una curva de demanda lineal
con pendiente desconocida (que es una variable aleatoria) y además sometida a
un ruido blanco aditivo que representa la existencia de cualquier fluctuación
3
aleatoria en la demanda. La incertidumbre sobre dicha pendiente persiste a lo
largo de los dos periodos, debido al término de perturbación en la demanda.
Cada empresa tiene unas creencias iniciales sobre la media de la pendiente,
que son comunes para las dos y que además son conocimiento público.
En el primer periodo cada empresa elige un nivel de producción que
junto con la realización del ruido aleatorio, da lugar a un precio en el
mercado. Se supone que las dos empresas observan este precio, así como la
producción total de la industria. Con esta información, se revisan las
creencias sobre la media de la pendiente de la curva de demanda. Estas nuevas
creencias son utilizadas en el segundo periodo. El primer resultado básico
derivado de este tipo de modelo, es que la experimentación siempre da lugar a
un incremento en la producción (de cada empresa y por tanto agregada), con
respecto a la óptima a corto plazo.
Así mismo, se formaliza la relación entre experimentación y mayor
información. En particular, se demuestra que cantidades mayores producen
precios (señales de mercado) más informativos. Lo que a su vez redunda en
creencias posteriores, sobre la pendiente desconocida, más precisas y por
tanto en mayores beneficios futuros para las empresas.
Finalmente, se analiza el papel que juega la competencia en el mercado
sobre la experimentación estratégica. Concretamente, bajo competencia de
Cantidades (Coumot), las empresas son sustituías estratégicas en el mercado,
por lo que cada empresa prefiere que su competidor esté desinformado. Como
los precios son públicamente observables, esto se trasladaría a niveles de
4
experimentación de las empresas, menores que en el caso del monopolio. Esta
conjetura es cierta, y de hecho se demuestra que el nivel de experimentación
del duopolio (considerado como mercado) es menor que el del monopolio1.
Con el fin de resaltar la relación entre el comportamiento
experimentador de las empresas y el tipo de competencia en el mercado se
repite el análisis llevado a cabo anteriormente, para el caso de un duopolio
diferenciado que compite en precios (Competencia de Bertrand).
Las empresas se enfrentan a curvas de demanda lineales y estocásticas
donde las pendientes (iguales) de cada uno de los mercados son desconocidas.
Para facilitar la comparación con el modelo de Coumot se supone que la
simetría del modelo es total, por lo que la señal de mercado que se observa
es el valor medio de las ventas. De nuevo, la experimentación da lugar a un
aumento de los precios por encima de los óptimos a corto plazo.
2. A continuación, se analiza un modelo con producto diferenciado, dando
lugar a la existencia de dos mercados. Se estudia en primer lugar, la
competencia en cantidades (Coumot). La incertidumbre, se refleja en el
!La comparación se realiza con una adaptación del modelo de monopolio de
Mirman, Samuelson, Urbano (1991,a). La adaptación consiste en estudiar la
experimentación, en un contexto donde las variables aleatorias son continuas
y en concreto se distribuyen de acuerdo con una Normal. De este modo, la
revisión de las creencias se hace de forma Bayesiana para la familia de
Conjugadas de las Distribuciones Normales.
5
desconocimiento por ambas empresas de las pendientes (distintas) de cada una
de las curvas de demanda. Cada empresa parte de unas creencias iniciales
sobre el parámetro desconocido, de su propia demanda y de la de su rival. La
observación del vector de precios permite la revisión de las creencias de
cada duopolista.
Como las empresas observan la producción de su rival, el interés de
cada una de ellas, reside en obtener información sobre su propia demanda. Sin
embargo, dada la interacción estratégica de los mercados y la correlación
existente entre las creencias posteriores (debida a la correlación entre los
términos de ruido de las demandas), cada empresa tiene en cuenta el efecto de
su propia experimentación en el nivel de información de la empresa rival.
Por tanto, el objetivo que se persigue en este tipo de modelo, es
analizar cómo la relación estratégica de las empresas en los mercados
(sustitutos o complementarios estratégicos) influye en los niveles de
experimentación llevados a cabo, por ambas. En este sentido, cualquier
intento por parte de una de las empresas de cambiar el contenido informativo
de la señal, debe tener en cuenta los efectos que producirá sobre las
creencias de la empresa rival. En particular, si las empresas son sustituías
estratégicas, cada una de ellas estará mejor cuanto más desinformada esté la
empresa rival. Como la correlación entre las creencias posteriores es
positiva, cada empresa experimenta menos que bajo el supuesto de que
estuviera sola en el mercado.
Dada la simetría y la linealidad de las demandas el modelo de Coumot
6
con productos sustitutos (complementarios) es el perfecto dual de Bertrand
con productos complementarios (sustitutos). Por lo que bajo competencia de
precios, con productos sustitutos, las empresas llevarán a cabo los niveles
máximos de experimentación.
3. Por último, se estudia la experimentación en el duopolio en el caso en
el que hay más de un parámetro desconocido en la curva.de demanda. El
análisis se lleva a cabo bajo competencia de precios y diferenciación de
producto en un duopolio simétrico. Se supone que los productos son sustitutos
y en particular, tanto la pendiente de la curva de demanda, como el grado de
sustitución del producto son desconocidos. Las empresas asignan una
probabilidad subjetiva común y conocimiento público a los posibles valores de
estos parámetros. De la misma manera utilizan la realización de las ventas de
las dos empresas para revisar sus creencias iniciales sobre las demandas.
Como en los modelos anteriores, el principal objetivo es hacer este vector de
señales más informativo, sin olvidar el efecto que ello supone sobre las
creencias del competidor. Además el análisis de dichos modelos asegura que
cuando se compite en precios con productos sustitutos, las empresas son
informacionalmente complementarias y entonces coordinan sus acciones para
hacer la señal de mercado más informativa.
En este contexto, nuestro principal resultado es mostrar como la
búsqueda de información lleva a las empresas a fijar precios distintos, o lo
que es lo mismo, cómo la dispersión de precios es un equilibrio, para el
primer periodo, en estrategias puras. Esto se explica por el hecho, de que
con la dispersión de precios las empresas observan dos puntos, en vez de uno
de las curvas de demanda de mercado. Esto es lo que se conoce como "Efecto
muestreo" (Sampling Effect).
En los resultados que se han ido obteniendo, en los modelos previos de
esta Tesis Doctoral, se observa que el comportamiento experimentador de
empresas simétricas siempre da lugar a equilibrios en el primer periodo
(precios o cantidades según el tipo de competencia) distintos de los óptimos
a corto plazo, pero en cualquier caso, siempre simétricos. En este último
duopolio dicho comportamiento experimentador da lugar a soluciones diferentes
de las miópicas pero además asimétricas si las empresas se restringen a
equilibrios en estrategias puras. Para obtener algún tipo de caracterización
del equilibrio, en este modelo, es necesario suponer que las distribuciones
de probabilidad de los términos aleatorios de la demanda satisfacen algún
tipo de propiedad monótona. En particular, es necesario que los ratios de
verosimilitud de la distribución conjunta de ruidos, sean monótonos en el
vector de señales de mercado. En concreto, se generalizan los resultados
obtenidos por Aghion, Espinoza y Jullien (1990), en el sentido de que se
extiende el análisis a la clase de funciones de densidad (para las
perturbaciones aleatorias de la demanda) que satisfacen la monotonía
anteriormente mencionada.
8
LITERATURA RELACIONADA:
El intento de la Literatura Económica por acercarse a la realidad,
se ha plasmado en la introducción de la noción de incertidumbre. La
incertidumbre puede reflejarse en los parámetros estructurales de los modelos
o en la relación que guardan las variables en ellos,.... Esta induce a los
agentes económicos a tratar de procurarse información con el fin de tomar
decisiones mejor fundadas. En este sentido existen trabajos pioneros en
distintos campos, encabezados por el estudio de Spencer (1973) en el mercado
de trabajo o en el campo de los seguros con Rostchild y Stiglitz (1976).
Existe una corriente en la Literatura que analizando el equilibrio en
expectativas racionales, plasma la incertidumbre en la relación existente
entre las variables. Claro ejemplo de ello, es el artículo de Bray (1982) que
plantea el problema en un mercado de activos donde el aprendizaje se realiza
a través de métodos econométricos (OLS). El principal resultado que obtiene
es la posibilidad de equilibrios en expectativas racionales aún cuando el
modelo esté mal especificado, durante el proceso de aprendizaje.
En esta misma línea, Bray y Savin (1986) plantean, de nuevo, la
estabilidad del equilibrio en expectativas racionales. Para ello, especifican
un modelo de la telaraña, donde se estudia un continuo de empresas que
producen un bien homogéneo y que se enfrenta a una demanda exógena y
estocástica. En este modelo se conoce la relación existente entre las
variables, pero los parámetros se caracterizan por su variabilidad en el
tiempo. Sin embargo, no es ésta la única diferencia con el tipo de modelos
9
presentados anteriormente. Estos autores, formulan el aprendizaje no solo a
través de métodos econométricos, sino también con métodos Bayesianos.
Este problema había sido tratado, con anterioridad, por Townsend
(1978), pero desde un punto de vista exclusivamente Bayesiano. Feldman (1987)
trata de contribuir a los resultados antes mencionados, demostrando la
posibilidad de convergencia a un equilibrio en expectativas racionales, a
pesar de la heterogeneidad de las creencias iniciales. Para ello analiza un
modelo con agentes Bayesianos que inicialmente poseen una especificación
correcta de la estructura subyacente de la economía, pero donde hay
incertidumbre sobre algunos parámetros.
A diferencia de estos estudios, los modelos que se analizan en esta
Tesis Doctoral son modelos de aprendizaje donde:
1. La incertidumbre se plasma en el desconocimiento de algun/os parámetro/s
de la demanda a la que se enfrenta un duopolista.
2. Los parámetros desconocidos se caracterizan por ser fijos en el tiempo.
3. Los agentes que tratan de conocerlos son Bayesianos.
4. La incertidumbre permanece en el tiempo, ya que los modelos se plantean
sujetos a perturbaciones aleatorias.
5. El mecanismo de transmisión de la información es endógeno en el modelo, es
decir se genera como resultado de la propia acción de los agentes.
10
Dentro de los modelos con incertidumbre, con las características
anteriores, pero para el estudio de un solo decisor , el objetivo perseguido
ha sido distinto, en función del horizonte temporal objeto de estudio. En
primer lugar tenemos modelos con un horizonte temporal infinito donde la
cuestión básica que se plantea es si el agente aprenderá finalmente el
verdadero estado de su función objetivo. Un ejemplo lo constituye Easley y
Kiefer (1988) que con un aprendizaje Bayesiano muestran un análisis próximo
al de esta Tesis Doctoral. La función objetivo es lineal y son desconocidas
la intersección con el eje de ordenadas y la pendiente. El agente cree que
estas dos variables se distribuyen de acuerdo con una Normal Bivariante. Las
creencias se van revisando a medida que el agente acumula información. Se
muestra que la secuencia de creencias converge y se caracterizan las
creencias en el límite cuando se sigue una política óptima. En esta misma
línea está el articulo de Kiefer y Nyarko (1989) donde se examinan las
propiedades asintóticas de la secuencia de creencias sobre el parámetro
desconocido, que no es más que una secuencia de distribuciones posteriores.
Se muestra que esta secuencia converge casi con seguridad.
También Aghion, Bolton, Harris y Jullien (1991) analizan un problema de
decisión dinámica de un agente que inicialmente desconoce la verdadera forma
de la función de pagos, pero que puede obtener información sobre ella, a
partir de las observaciones de la producción de los periodos anteriores. El
agente debe seleccionar una acción cada periodo en un horizonte temporal
infinito. Entre los resultados que se obtienen destaca el hecho de que en el
largo plazo los beneficios de la experimentación son cero, ello desde una
perspectiva general, que recoge tanto funciones de pago determinísticas como
estocásticas. En ambos casos, el aprendizaje conlleva desviaciones cada vez
n
menores de la producción miópica, cuando los periodos de tiempo tienden a
infinito.
En el otro extremo tenemos modelos de dos periodos como los de
Grossman, Kihlstrom y Mirman (1977), Kihlstrom, Mirman y Postlewaite (1984),
Tonks (1984), Fusselman y Mirman (1989), Urbano (1990) y Urbano (1992,a). En
este tipo de modelos la atención se centra en cómo las acciones del primer
periodo difieren de las óptimas a corto plazo, con fines experimentales.
Entre los primeros resultados están los de Grossman, Kihlstrom y Mirman
(1977) (GKM, de ahora en adelante) que estudian la experimentación en un
contexto de consumo y donde el parámetro desconocido puede tomar "n" valores
de una variable aleatoria (el término de ruido se distribuye normalmente).
Cada nivel de consumo da lugar a una distribución diferente de la posible
señal, estando asociado a un diferente experimento estadístico. Estos
experimentos están ordenados por la noción de "suficiencia" en el sentido de
Blackwell. Por el teorema de Blackwell se muestra que un experimento
suficiente aumenta la utilidad futura. En otras palabras, los experimentos
suficientes son experimentos más informativos, a partir de los cuales se
produce información que aumentará la utilidad futura esperada. Urbano (1992),
y en el contexto de un monopolio, extiende los resultados anteriores, a la
clase general de funciones de distribución del término de ruido, que
satisfacen que sus ratios de verosimilitud son monótonos. Además se demuestra
la otra dirección del teorema de Blackwell, en el sentido de que mayores
niveles de producción (o de Consumo) dan lugar a señales más informativas y
por tanto a experimentos suficientes. Tonks (1984), analiza un ejemplo del
caso general estudiado por GKM, estudiando un consumidor que se enfrenta a la
elección de un bien cuyo efecto sobre la función de utilidad es desconocido,
12
introduciendo la posibilidad de que su presupuesto pueda extenderse a más de
un periodo. Por último, Fusselman y Mirman (1989) concluyen el mismo
resultado que (GKM) adaptando el concepto de variable aleatoria con más
riesgo al problema.
En la primera parte de la Tesis Doctoral de Urbano (1990) se
especifican las condiciones necesarias para el comportamiento experimentador
de un agente: que la información sea valiosa y que cambios en la variable de
elección sean capaces de alterar el contenido informativo de la señal que se
observa. Esta autora, estudia la experimentación en función de que la
incertidumbre aparezca reflejada en la intersección con el eje de los precios
de la curva de demanda, que se considera lineal, o en la pendiente de la
misma. Los parámetros desconocidos pueden tomar dos valores teniendo las
empresas una probabilidad inicial sobre ellos. Los resultados básicos son los
siguientes: A) La experimentación incrementa la cantidad, cuando el
monopolista desconoce la pendiente de la curva de demanda a la que se
enfrenta. B) Con intersección, con el eje vertical de la curva de demanda,
desconocida, no tiene lugar la experimentación. C) Cuando existe
incertidumbre tanto en la pendiente como en la intersección con el eje de
precios de la curva de demanda, la dirección de la experimentación no es
única.
En la presente Tesis Doctoral se sigue el segundo enfoque analizado,
examinando modelos de dos periodos que centran su atención en los efectos de
la experimentación en los niveles de producción del primer periodo. Sin
embargo no hay que olvidar que en esta Tesis se introduce una visión
diferente en cuanto que son dos los agentes que intervienen en el problema.
13
En este sentido es posible un análisis adicional sobre el papel estratégico
de la experimentación. Con estas características, el artículo de Gal-or
(1988) estudia un modelo donde los duopolistas experimentan para obtener
información. Su análisis difiere del presentado aquí en que la incertidumbre
concierne a los costes más que a la demanda. Sin embargo, la diferencia
básica es que en este modelo existe un mecanismo especificado exógenamente
por medio del cual las cantidades se transforman en información. En este
sentido, se especifica que cantidades mayores, darán lugar a una información
más precisa.
Un modelo que también analiza la relación entre la competencia en el
mercado y la adquisición de información es el de Vives (1988). Vives estudia
los canales por medio de los cuales una mejora en la precisión de la
información de las empresas puede favorecer la posición competitiva de las
mismas. De acuerdo con Porter (1985), esta ventaja competitiva proviene de la
reducción de costes y de la diferenciación del producto. En concreto, se
trata de analizar el efecto que sobre los beneficios de una empresa produce
una mejor información en las empresas rivales que componen la industria. Las
empresas hacen inversiones en el primer periodo sin conocer los resultados en
el mercado y con el fin de obtener la citada ventaja. El resultado básico que
obtiene este autor, es que el incremento en la precisión de la información
siempre favorece la posición competitiva y los beneficios propios y aumenta o
disminuye la posición competitiva del rival y sus beneficios en función del
tipo de competencia que prevalece en el mercado. A saber: bajo la competencia
en precios (Bertrand) es preferible un competidor bien informado y bajo
Coumot los resultados son los contrarios.
14
Para su análisis Vives presenta un modelo genérico donde la
parametrización da lugar a tres posibles interpretaciones:
1. Competencia de Coumot con productos homogéneos con costes marginales
crecientes.
2. Competencia de Coumot con productos diferenciados y costes marginales
constantes.
3. Competencia de Bertrand con productos diferenciados y costes marginales
constantes.
Cuando el modelo se estudia con certidumbre la inversión en el primer
periodo tiene un efecto directo sobre los propios beneficios. Sin embargo en
los casos dos y tres tienen interpretaciones distintas: en el caso de Coumot
con productos diferenciados el efecto de la inversión sería el de una
ampliación en el mercado o lo que es lo mismo un aumento del número de
consumidores. Para el caso tres, el efecto de la inversión sería el de que
ahora los consumidores tienen que pagar un mayor precio por el bien. El
análisis se plantea también con incertidumbre y es entonces cuando aparecen
las semejanzas y diferencias con los modelos que se estudian aquí. El
parámetro desconocido es la intersección con el eje de precios de la demanda;
sin embargo, a diferencia de nuestro estudio, las empresas reciben señales
privadas que no se generan dentro del modelo sino que son exógenas al mismo.
La estructura del juego es la siguiente: las empresas invierten primero para
obtener una posición competitiva, reciben una señal privada y entonces
compiten en el mercado. Se plantea como un juego en dos etapas buscando de
esta forma el Equilibrio Perfecto Subjuego.
El parámetro desconocido y las señales se relacionan a través de una
estructura en la información que parametriza la precisión de la misma y
15
computa explícitamente los beneficios del segundo periodo en función de la
inversión en el primer periodo.
El estudio de Vives (1988) es similar al de esta Tesis, en cuanto
que también analiza la relación entre la información!beneficios con el tipo
de competencia en el mercado. Sin embargo difiere en que la transmisión de
información, al igual que Gal-or (1988), se hace de forma exógena al modelo.
Todos los modelos aquí analizados tienen como ya se ha indicado, la
característica común de que las señales de mercado se generan de forma
endógena, es decir dentro de los mismos. Cuando se compite en cantidades
(precios), los precios (ventas) o señal de mercado son el resultado de la
toma de las decisiones de los agentes en el primer periodo.
La introducción de los modelos multiagente, permite observar que
cuando una empresa cambia su acción a corto plazo, no solo trata de afectar
al flujo de información sobre el que basará sus decisiones futuras
(experimentación). También es posible, que dicha empresa trate de alterar el
aprendizaje de la empresa rival. Este intento por manipular el aprendizaje
del competidor se denomina "emisión de señales confusas" o "signal jamming".
Para que esto ocurra, necesariamente, los agentes no pueden observar las
acciones de la empresa rival. En concreto, en modelos como los aquí
presentados, el signal jamming se da si las empresas no pueden observar las
cantidades producidas (los precios fijados) por las rivales. Las empresas
únicamente observan los precios de mercado que están sujetos a perturbaciones
aleatorias y esto da lugar a una información imprecisa sobre el verdadero
valor del parámetro. Cada empresa puede entonces, variar su nivel de
16
producción con el fin de manipular la distribución de los precios de mercado
e inferir en las creencias de su oponente.
En la segunda parte de la Tesis Doctoral de Urbano (1990) se estudian
modelos de duopolio con incertidumbre en la demanda, donde la producción de
las empresas no es observada. Se estudia un duopolio con productos homogéneos
y donde se compite en cantidades. El análisis da lugar a dos posibles
situaciones. En primer lugar, cuando las empresas no conocen la intersección
con el eje de los precios de la curva de demanda, el duopolista no
experimenta, pero sí que varía la producción con el fin de manipular la
información que recibe la empresa rival. Es decir las empresas practican
"signal jamming". En segundo lugar si la incertidumbre se refleja en el
desconocimiento de la pendiente de la curva de demanda, las empresas
practican tanto la experimentación como el "signal jamming" .
Mirman y Urbano (1991) y Urbano (1992,b) también analizan
comportamientos de manipulación de información en contextos de información
asimétrica. Para aislar dicho comportamiento, estos autores suponen modelos
donde la incertidumbre a la que se enfrentan las empresas está reflejada en
la intersección con el eje de precios de la curva de demanda.
Otros modelos de duopolio donde la manipulación y transmisión de
información son importantes, son los siguientes: en primer lugar modelos
donde la transmisión de información se hace de forma exógena (a través de
anuncios sobre la información privada), sería el caso de Li (1985) y Shapiro
(1986). En segundo lugar modelos que examinan la transmisión de información a
través de acciones perfectamente observables, ejemplo de ello es Mailath
2Vease Mirman, Samuelson y Urbano (1991,b).
17
(1988). Matthews y Mirman (1983) y Fundenberg y Tiróle (1986) serían un
ejemplo del tercer tipo de estudios, en los que el agente que actúa como
"signal jammer" o como emisor de señales confusas, está perfectamente
informado sobre la información sujeta a dicha actividad. Por último, el
modelo de Riordan (1985) estudia la manipulación de la información por parte
de los agentes económicos, cuando ellos mismos están inciertos. Este tipo de
modelo se acerca al analizado por Mirman y Urbano (1991); en él se estudia la
emisión de señales en un modelo en el que las empresas tienen distintas
expectativas iniciales sobre algún parámetro desconocido de la demanda.
El fenómeno del "signal jamming" no es objeto de estudio de esta
Tesis, en cuanto que todos los modelos presentados en ella, suponen que las
acciones de la empresa rival se observan. Sin embargo, es importante resaltar
este tipo de literatura dada la relación que presentan con la aquí estudiada.
Con respecto a los modelos donde se estudia la dispersión de precios
cabe señalar lo siguiente. Las principales explicaciones sobre la dispersión
de precios se centran en los costes de búsqueda. Estos modelos no excluyen la
existencia de equilibrios simétricos en estrategias puras. Además, la mayoría
de los modelos de búsqueda con dispersión de precios necesitan algún tipo de
supuesto que introduzca asimetría en la información disponible de los
agentes. En términos de Burdett y Judd (1983) existen modelos que justifican
la dispersión de precios, con agentes racionales, a través de algún tipo de
heterogeneidad "ex-ante", por ejemplo, distintos costes de búsqueda por parte
de los consumidores reflejadas en Salop y Stiglitz (1976), o Wilde y Schwartz
(1979) donde los consumidores tienen distintas propensiones de búsqueda. En
18
contraste Burdett y Judd (1983) observan que las empresas pueden fijar
diferentes precios siempre que exista una probabilidad positiva, pero no
cierta, de que algún consumidor aleatorio conozca sólo un precio. Este
mecanismo será el que genere la dispersión de precios.
El modelo más similar al nuestro es el de Aghion, Espinoza y Jullien
(1990). En él, se estudia un duopolio donde las empresas ofrecen productos
diferenciados. La diferenciación del producto es horizontal, y en particular
se estudia el modelo de Hotelling, donde se compite en precios. El modelo se
presenta como un juego repetido. La incertidumbre en la demanda se refleja a
través del grado de sustituibilidad de los productos que ofrecen las dos
empresas. Esta falta de información sobre la sustituibilidad se formaliza
suponiendo que las dos empresas no conocen los costes de transporte a los que
se enfrentan los consumidores.
El eje principal de este artículo se centra en el hecho de que la
información sobre los costes de transporte se adquiere de forma más efectiva
si las empresas experimentan fijando precios distintos . Se muestra que en un
equilibrio simétrico, la dispersión de precios es mayor cuanto más débil es
la información y que esta dispersión desaparecerá en el largo plazo cuando
las empresa adquieran una información completa sobre los costes de transporte
de los consumidores. Los resultados básicos obtenidos son tres: 1. El
aprendizaje óptimo, a través de la experimentación con varios agentes,
requiere que los agentes tomen diferentes acciones con el fin de obtener
tantas muestras de la observación como sea posible, efecto conocido como
"sampling effect". 2. El aspecto de bien público que toma la experimentación
individual crea un incentivo a la aparición de "free-riding". 3. La
19
experimentación para varios agentes lleva consigo la posibilidad de manipular
la señal que reciben los otros agentes y disminuir en este sentido la
acumulación de información. La diferencia básica con este modelo la
conseguimos a través de la generalización a las funciones de densidad de las
perturbaciones aleatorias que cumplen los ratios de verosimilitud monótonos.
Para sintetizar, los modelos que se estudian en esta Tesis se
caracterizan por:
1. La incertidumbre se refleja en el desconocimiento de la pendiente
de la curva de demanda que aunque desconocida permanece fija en el
tiempo. Esta incertidumbre se emplea tanto en el modelo de Coumot
como en el de Bertrand. En el modelo de dispersión de precios la
incertidumbre se da, tanto en el parámetro de la pendiente como en el
del grado de sustitución de los productos.
2. La incertidumbre permanece en el tiempo debido a la existencia de
una perturbación aleatoria aditiva.
3. El horizonte temporal de estudio es de dos periodos. Centrándose el
análisis en el cambio de las acciones del primer periodo con fines
experimentales.
4. Se estudian modelos dinámicos de duopolio. Con ello se introduce un
aspecto estratégico, en el sentido de que las acciones presentes
afectan a la información futura, y como esta es conocimiento público,
afectarán también a la información disponible del competidor.
5. Las empresas determinan, con sus propias acciones el contenido
informativo de la señal de mercado, que es endógena al modelo. La
señal es el precio si las empresas compiten en cantidades (Coumot) o
20
las ventas si las empresas compiten en precios (Bertrand).
6. Los modelos que se utilizan no recogen la emisión de señales
confusas o "signal jamming" en cuanto que las acciones de las
empresas se conocen. No existe la posibilidad de variar la producción
o los precios con el fin de alterar las creencias de la empresa
rival.
7. En todos nuestros modelos, existe una única señal o vector de
señales, generado por la propia acción de las empresas. Además, todos
los agentes se enfrentan a la misma señal y no existe ningún tipo de
asimetría de partida, siendo todos los agentes iguales.
Así pues, los modelos que se presentan en esta Tesis Doctoral permiten
obtener los siguientes resultados. Cuando la incertidumbre se refleja en la
pendiente de la curva de demanda y bajo competencia de Coumot, con productos
homogéneos, el nivel de experimentación del duopolio es menor que el del
monopolio. Se demuestra que la vertiente estratégica derivada de la
competencia de Coumot hace que la experimentación de lugar a un nivel de
producción de la industria menor que el del monopolio. De esta manera se
invierten los resultados propios del comportamiento miópico. La dirección de
la experientación es la misma, cuando se analiza un duopolio que compite en
precios y cuya característica básica es la existencia de una sola señal en el
mercado: las ventas medias.
Cuando las empresas aumentan las cantidades o los precios, están
aumentando, en definitiva, la precisión de la señal de mercado o lo que es lo
mismo haciéndola más informativa.
Si los productos son diferenciados, la competencia en cantidades hace
21
que las empresas sean sustituías en la información por lo que un competidor
menos informado es un mejor competidor. Mientras que si las empresas compiten
en precios son complementarias en la información dando lugar a que
un competidor más informado sea un mejor rival. Por supuesto la
complementariedad estratégica dará lugar a los mayores grados de
experimentación.
Finalmente, cuando la incertidumbre afecta tanto a la pendiente como al
grado de sustitución del producto se obtiene un equilibrio asimétrico en
estratégias puras. Este resultado se justifica por el deseo de las empresas
de obtener una mayor información: éstas pueden observar dos puntos de las
curvas de demanda, en vez del que se daría si el equilibrio fuera simétrico.
En este caso, de nuevo, la dispersión de precios busca hacer la señal de
mercado más informativa.
Por último, señalar que las pérdidas de segundo orden derivadas de la
experimentación, se compensan con las ganancias de primer orden derivadas de
una mayor información.
El plan de la Tesis es el siguiente. En la primera parte, se analiza la
relación existente entre la experimentación y la competencia en el mercado.
Esta parte consta de tres capítulos, el primero de ellos analiza la
experimentación estratégica en el modelo de Coumot con productos homogéneos.
Así mismo, se formaliza el nexo entre señales de mercado más informativas y
experimentación. El segundo capítulo extiende el análisis a un duopolio
simétrico de Bertrand. Finalmente, se introducen los modelos de
diferenciación de producto, en el capítulo 3. En este, se considera tanto la
22
competencia en cantidades como en precios.
La parte segunda, se dedica a mostrar cómo el aprendizaje puede dar
lugar a la dispersión de precios. Esto se estudia en el capítulo 4.
Por último, la Tesis se cierra con un apartado dedicado a resumir los
aspectos más relevantes de los temas analizados.
23
PRIMERA PARTE
EXPERIMENTACION Y COMPETENCIA EN EL MERCADO.
En esta primera parte, se estudia la relación existente entre
experimentación y competencia en el mercado. En concreto, se muestra cómo el
tipo de competencia en el mercado afecta a la experimentación, cuando las
empresas se enfrentan a curvas de demanda con pendiente desconocida. El
análisis permite demostrar que cuando las empresas compiten en cantidades
(competencia de Coumot) son sustituías estratégicas en la información y
además están mejor cuanto menos informada está la empresa rival. Si las
empresas compiten en precios, (competencia de Bertrand) son complementarias
estratégicas en la información y estarán mejor cuanto más informada esté la
empresa rival. Esto da lugar a que los niveles de experimentación más altos
se consigan con la competencia de Bertrand, mientras que los menores se darán
cuando las empresas compitan en cantidades, Coumot, con productos
homogéneos. Demostrándose, a su vez, que en este caso la experimentación es
menor que en el monopolio.
CAPITULO 1.
Competencia de Cournot y Experimentación.
CA PIT U LO 1.
Competencia de Cournot y Experimentación.
Se supone un modelo dinámico de duopolio con información imperfecta
sobre su función de demanda lineal y estocástica. El duopolista considera que
tanto el parámetro desconocido (la pendiente) como el término aleatorio de la
curva de demanda tienen funciones de distribución Normales, y usa la
observación de los precios como información para revisar sus expectativas,
sobre este parámetro de la curva de demanda.
I. El modelo.
1.1. Supuestos básicos:
1. Se supone un duopolio, donde el horizonte temporal de cada empresa
es de dos periodos.
2. La curva de demanda estocástica vendrá dada por la siguiente
expresión
P = a - 0(Q( + Q2) + é (1)
donde P es el precio de mercado, Qj y Q2 son las cantidades que
producen cada uno de los duopolistas 1 y 2, 0 es la pendiente de la
curva de demanda que es desconocida para las empresas y £ es una
variable de ruido. Se supone que los términos de ruido son
independientes y están idénticamente distribuidos en cada periodo.
Además son independientes de 0.
24
3. Las empresas suponen que tanto 0 como e se distribuyen en la recta
real [R, con función de distribución Normal. Entonces, estas se
caracterizan por su media y su precisión. Esto es, e N (0,T); donde1 2 "E[e]=0 y T = ------- siendo T la precisión y a su varianza. Las
creencias iniciales sobre 0 se reflejan en la distribución Normal:1
0^ N(m,h), donde E[0] = m >0 y h = --------- , siendo h la precisión y° e
/y '5*'a _0 la varianza de 0 .
4. Estas creencias iniciales se revisan a medida que las empresas
consiguen más información. Esta información adicional disponible, es
el precio de mercado del primer periodo, junto con la producción
propia y la de la empresa rival.
5. El objetivo de las empresas es la maximización de beneficios,
eligiendo aquella producción que maximiza la suma de beneficios
esperados de los dos periodos. Su producción pertenece a un
subconjunto cerrado de la recta real.
6 . Para simplificar suponemos que los costes de producción son nulos o
que el precio que consideramos es un precio neto, que resulta de
restarle al precio de mercado un coste marginal constante que es el
mismo para las dos empresas.
7. No hay posibilidad de entrada en el mercado. Es decir, la estructura
de mercado duopolista se perpetua a lo largo del tiempo.
25
El siguiente apartado modela la interacción en el mercado de las
empresas, como un juego de información imperfecta. Dicho juego se desarrolla
de la siguiente forma:
1.2. Desarrollo del juego:
El juego consta de dos periodos:
En el periodo 1, se pueden distinguir dos etapas:
Etapa 1: la naturaleza elige un valor 0 y un valor z de las variables
aleatorias independientes 0 N(m,h) y que e N(0,x), donde h y T son la
precisión de üj y e., respectivamente.
Etapa 2 : las empresas que no conocen la elección de la naturaleza,
pero saben como se distribuyen y e^, eligen simultánea e
independientemente las cantidades del primer periodo, y Q . Estas
cantidades son conocidas por las dos empresas.
Sea Q = Qn + Q^. El precio de mercado, P , vendrá determinado por:
P = a - 0Qi + er (2)
precio, que es observado por (o anunciado a) las empresas.
En el periodo 2 se distinguen, también, dos etapas:
Etapa 1: La naturaleza vuelve a elegir un nuevo valor z^ de z^.
Etapa 2: las empresas, de nuevo, eligen cantidades: Q y Q22 que
dependen del precio y de las cantidades del primer periodo (Qt y P^. El
precio del segundo periodo (que, también se anuncia a las empresas) vendrá
dado por:
P2 = a - 6Q, + e2. (3)
26
Las Estrategias para estas dos empresas en cada uno de los periodos son:
o, = (Qn,Q12(P , Q,)) (4)
= « V W Q .» <5>
Dado el supuesto de que los costes de producción son cero, la estructura de
pagos es la siguiente:
Estructura de Pagos. Sean los beneficios de cada una de las empresas en
el segundo periodo:
71 (o ,o ) = Q E[P (Q ,Q )/P ,Q ] (6)12 1 2 12 L 2 12 22 1 ^1J v 7Ti (o ,o ) = Q E[P (Q ,Q )/P ,Q ] (7)22 1 27 22 L 2 12 22 I ^1J v 7
De esta forma, la suma de los beneficios esperados de los dos periodos, para
cada una de las empresas, es:
n ((Q ,Q„ ),(Q ,Q )) = Q E [P (Q ,Q )] + n (8)1 11 21 12 2 2 ^ 1 1 L l VN1i r ^ 2 1 / J 12 v '
n ((Q ,Q ),(Q ,Q )) = Q E [P (Q ,Q )] + ti (9)2 11 21 12 22 21 L 1VN:11 >c2 r J 22 7
Estamos particularmente interesados en el Equilibrio Perfecto Subjuego
de este juego de dos periodos. El equilibrio se calcula por inducción hacia
atrás. Se analiza, inicialmente, el equilibrio en el segundo periodo en
función de la información que adquieren las empresas en el primero. Después,
se determinan las acciones de este último. Se empieza, pues, estudiando el
equilibrio en el segundo periodo que en nuestro caso es un equibrio
Bayesiano-Nash.
27
En el último periodo, las empresas, después de observar P y conociendoA A
Qj eligen las producciones Q y Q22 tal que:
Q12 e Argmax E H ^ . Q ^ . Q , ^ (10)Q 1 2
Q22 e Argmax B t P ^ . Q ^ . Q , ] ^ (11)Q 2 2
Para resolver este problema se tiene que hallar, en primer lugar, la
expresión E ^ /P ^ Q j] , es decir, E[a - 0Q2 + e /P ,Q ] que depende de Qi y P
y donde Q = Q + Q„ y Q = Q + O . Dado que:J ^1 ^11 21 J 2 12 22 n
E[a - 0Q2 + e/P .Q j] = a - E[0/Pi,Q[]Q2 (12)
es suficiente obtener E[0/P ,Q J.
Después del primer periodo, una vez elegidas las producciones de las
empresas, se realizan los valores de e, 0, y P. Las empresas observan el
precio correspondiente al primer periodo y la producción agregada, pero no
las realizaciones de e y 0. Como consecuencia, no podrán determinar el valor
de la media de 0. Sin embargo, las observaciones del precio, junto con el
conocimiento de la producción agregada, permite a éstas revisar sus creencias
sobre dicha media. La revisión se hace de acuerdo con el procedimiento
Bayesiano para la familia de conjugadas de las distribuciones de las señales
que se han observado.
En particular P ^ a - 0Qt + 8, entonces, las empresas observan, después
del primer periodo la siguiente señal de mercado:
28
a - P ~— Q— L = 0 Q ~ <13>
Entonces, para cada valor de 0:
a - PQ ‘ . N [0 , tQ j ] (14)
(Recuerdese que T es la precisión de e ). El valor de 0 es desconocido para
las empresas, pero ellas creen inicialmente que 0 N(m,h). Por tanto,
después de observar Pj y conociendo Q , las nuevas creencias o expectativasK A A
sobre 0 vienen dadas (ver DeGroot, 1970, pag 167) por 02 _ N(0,h) donde:
a ' phm
0 = ------------------ :----- — i— = ----------------- — i - (15)h + tQ j h + tQ i
r a - P %
+TQ> [ mh + * Q ,(a - P.)
h = h + T (r . (16)
Por tanto, E t^ /P ^ Q ^ 0, y por (12), E ^ / P ^ ] = a -0Q2, donde Q2=
Q + Q22. Entonces, las ecuaciones (10) y (11) se convierten en:
Qi2 e Argmax [ a- 6(Q,2 + Q22)]q ,2, (17)Q 1 2
Q22 6 Argmax [ a- 9(Q|2 + Q22)j Q22- (18)Q 2 2
Defínase Q: IR+ -» IR+, como Q(M) = • Resolviendo simultáneamente las
condiciones de primer orden de (17) y (18) se obtiene la única solución
29
s i m é t r i c a d e l p r o b l e m a :
A A A A A A
Q 12( 0 ) = Q 22(G ) = Q ( 9 ) =a (19)
Así, los beneficios esperados para ambas empresas, en el segundoA A
periodo, son función de 0. Sea V(0), la función que representa los beneficios
esperados de equilibrio de cada empresa en dicho segundo periodo:
V(0), la función de Valor de cada empresa, expresa los beneficios
esperados en el equilibrio en el segundo periodo, en función de las creenciasA
posteriores, 0. En el siguiente Lema, se muestran sus principales
propiedades.
A ALema 1: V(0) es una función decreciente y estrictamente convexa en 0.
La intuición del Lema es clara. La primera propiedad indica que V(.)A
es menor cuando mayor sea el valor de 0, media de la demanda estocástica. La
segunda propiedad, la convexidad, indica que la información sobre 0, siempre
es valiosa para las empresas.
Demostración,
l.Función decreciente: es obvia a partir de la expresión (20).
a a a r A A AlV(0) = Q(0)|a - 20Q(0)J
2a (20)
A
av(21)
30
Esta derivada implica que valores altos de 0, suponen menoresA
Ibeneficios esperados para la empresa. Esto es así , ya que 0 representa la
«estimación de la pendiente de la curva de demanda, por lo tanto valores altosA
<de 0 suponen curvas de demanda mas bajas, lo que implica menores beneficios
2. Convexidad de la función:
>0 (22)a 2V 2a2
30 90'
■Para demostrar el significado de esta propiedad empezamos definiendo
para cada valor 0 de 0, las soluciones óptimas:
Q12(0) = Argmax [a - 0(Q + Q,,)]QI2 Q!2
Q22(0) = Argmax [a - 0(Qu + Q2,)]Q22 ^ 1 2
De aquí se obtiene Q(0) = Q12(0) = Q22(9) = ~3'Q~» Por ^ue os
beneficios para cada empresa, y para cada valor 0 de 0, son:
V(0) = Q(0)[a -20Q(0)] (23)
Las empresas no conocen la realización de 0, así que eligen su
producción de acuerdo con las expresiones (17) y (18). Supóngase que a
posteriori, las empresas consiguen conocer el verdadero valor de 0. Sea VQ(0)
los beneficios posteriores para cada empresa, bajo la producción óptima de
equilibrio ex-ante. Es decir:
31
Vo(0) = Q(0)[a - 20Q(0)] (24)
Definición 1: La información sobre 0 es valiosa a posteriori, si para
cualquier valor 0 de 0, cada empresa hubiera preferido estar informada sobre
0, cuando eligió su producción óptima del segundo periodo. O lo que es lo
mismo, si se cumple que:
V(0) > Vo(0) (25)
Por (23) y (24), (25) es equivalente a:
- Q(0)[a - 20Q(0)] > Q(0)[a - 20Q(0)] (26)
AEntonces, como V(0) , definida en (20), es convexa, por argumentos
estándar la expresión anterior se cumple.
Además, la Definición 1, no sólo garantiza que la información es
valiosa a posteriori sino que también lo es ex-ante. Para comprobarlo es
suficiente comparar los beneficios esperados del segundo periodo, cuando las
empresas aprenden el verdadero valor del parámetro entre el periodo 1 y 2 y
cuando no lo hacen. Los beneficios esperados del segundo periodo en el primer
caso son E[V(0)] = J + V(0)h(0)d0, donde h(0) es la función de densidad de 0,A
y en el segundo, son simplemente V(E[0])=V(0). Entonces la información sobre
0 será valiosa ex-ante si
E[V(0)) > V(E[0]) = V(0). (27)
Nótese que tomando esperanzas en (25) se tiene que
E[V(0)] > E[Vq(0)] = V(E[0]) (28)
(por la linearidad de VQ en 0).
32
II. Análisis del primer periodo.
Cuando las empresas eligen su producción en el primer periodo, lasA
creencias posteriores 0, son variables aleatorias. Su distribución depende de
la producción de la industria en este periodo, así como de la distribución de
precios inducida por £ y 0. Dado el análisis realizado del segundo periodo,
podemos expresar los beneficios esperados de cada empresa, en los dos
periodos, en función de las producciones del primero.
Sea:
k{Q U'Q21) = E[a -0Q, + e]Qu, ¡=1,2. (29)
los beneficios esperados del primer periodo, y sea
riCQn-Qj,) = n.+ e [ v (§ ( p ,Q i)] (30)
donde Q t= Q^+ Q . Nótese que:
e [v (§(P .Q^)] = I v ^ P . Q ^ f í a - P l)dPi (31)
siendo f la función de densidad de la variable aleatoria (a - P ):
a - P = 8(Qn+ Q2I) - e = 0QI - e (32)
Esta variable se distribuye para cada como una Normal de media y
precisión:
hx
[■ ■ PJ - N mQ' n r ; - (33)
33
Por tanto, su función de densidad es:
f(a-P) =
hxh + t q :
1 / 2
■1/2
/ 2 71(34)
Entonces, el problema que las empresas 1 y 2 tienen que resolver en el* *
periodo 1 es la elección de la producciones y Q2j, tal que:
Q*j e Argmax n ^ Q ^ Q * ^ . (35)^ i i
Q2i g Argmax ^ ( Q ^ Q ^ ) . (36)Q 2 1
Sean Q y Q las producciones óptimas a corto plazo o miópicas de las
empresas, es decir:
Q™ e Argmax n (Q n ,Q2i) (37)^ i i
Q™i G Argmax ^ ( Q ^ Q ^ ) (38)Q 2 i
Nuestra atención se centra , pues, en conocer si las empresas obtendrán* * m mniveles de producción Q y Q distintas de Q y Q , con el fin, de
procurarse información sobre el parámetro desconocido.
La próxima sección caracteriza las soluciones del primer orden
derivadas de la maximización de beneficios. Para garantizar soluciones
interiores es suficiente que cada Qn >0 , i=l,2 , por lo que el duopolio
opera en los dos periodos y que con E[Q ] es decir que la producción
34
total del duopolio esté acotada por el nivel de producción que iguala el
precio a cero.
I I .1. Condiciones de primer orden:
Cuando las empresas actúan de forma miópica, tenemos que:
dn (Q ,Q ) 1 v 1 1 2 1 = 03Q 1 1
m
= o3Q
(39)
(40)2 1
mientras que las condiciones de primer orden para el problema dinámico, son:
dn (Q >Q ) 3E= o .
aQ n aQ(41)
11
an (Q ,Q ) aE 2 i r NC2i / ____ V í QCPj . Q j)= 0 .
aQ21
aQ(42)
2 1
La diferencia entre las dos posibles alternativas (dinámica y estática)A
dependerá del valor de — .i
Considérese este problema para el caso de la empresa 1. Sea:
r n(Qu) = E [V(0)] = V ^ P ^ M a - P^dP (43)
Estamos interesados en el signo de ar^^Q jjV aQ ^, en cuanto que este signo
35
nos dirá si la utilización del flujo de información que se deriva del primer
periodo, da lugar a algún tipo de desviación en la producción con respecto a
aquella que elige la empresa cuando se comporta de forma miópica.
Lema 2:
- 1 1 (Q " ) = j m É l l >0, para cada fi. a<2 „
(44)
Demostración:
Por la ecuación (43):
dT (Q )i i v x i rá Z J 11
f(a-P )dP +3 0 3Q V 1
11
A aV(0) 5
aQf(a-Pi)dPi
íi(45)
El estudio de (45) es largo y tedioso y con el fin de hacer el análisis
más fluido ha sido relegado al Apéndice A, donde se muestra que (45) puede
expresarse como:
ar (Q )i i VN:i raQ 11
A
V"(0)[- - | p - Jfía-P^dP,. (46)
A A 2aPor el Lema 1, V(0) es estrictamente convexa, de hecho V"(0) =
A30 -t q :
Ai90
u J f V 1 1 ADado que = < 0 y que h viene dada por (16), nos quedará quei >■ h + tQ 2J
(46) es positiva, o sustituyendo por su valor:
36
ar (Q )i i v^ i raQ 11
2a2xQ ]72
9h 03 f(a-P)dP >0 (47)
donde Q = Q + Q . H^1 11 21 ■La siguiente proposición, muestra el primer resultado de este capítulo:
Proposición 1. Sean Q™ y Q™ las producciones miópicas de cada uno de
los duopolistas, entonces Qn > y Q™i ^ tam^ n = Q n + Q21 >
Qm + Qm = Qm.^11 21 ^1
Demostración:
Por (41) y (42) se cumple que:
Qn = -7 S T - ~ - T <?» + - Z S - W " E[V(§)]’^11(48)
= - d r - - 4 - < . + T 5 - - V E[V(é)]-21
(49)
/ \ T» *T* *T*E[V(0)] depende de Qt= Q + , y en el equilibrio depende de Q t= Q n + Q21>
de forma que - L j - E[V(é)] = - L y - E[V(9)]. Por (48) y (49), Q* =Q* , y por V 11 21
(46) y (47),
Por (39) y (40):
2a tQ7ry
27mhfe f(a-P )dP0
(50)
Qm =Qm = *^ i i 2i 3m (51)
37
De este modo por (47) se tiene que Q j ^ Q ^ j y ^ 21^ 22’ ^
* _ 2a 4a tQ i
1 3m 27mh24 j f(a-P,)dP, > ^ - = Q ; (52)
La intuición del resultado anterior, es que aumentando la cantidad
producida las empresas aumentan la precisión de la señal de mercado,
haciendo, de esta forma, que el precio sea más informativo. Esto dará lugar a
unas expectativas más precisas. Lo que a su vez, permite a las empresas
elegir una cantidad más apropiada en el segundo periodo y con ello elevar el
valor esperado de los beneficios del mismo. Cada empresa estará dispuesta a
sufrir la pérdida de segundo orden, asociada al incremento en la producción
sobre el óptimo no experimental, para asegurarse la ganancia derivada de una
mejor información.
La próxima sección formalizará esta intuición. Antes de proceder a
esto, se analiza la existencia del Equilibrio:
II.2. Existencia del equilibrio:
En este apartado, se estudian, las condiciones bajo las cuales existe,
al menos, unequilibrio. La existencia de equilibrios, en estrategias puras,
es problemática para este tipo de juegos, cuando no se imponen restricciones
sobre las funciones de demanda y sobre las variables aleatorias que
intervienen en el problema. La razón de esta dificultad, es que sin estas
restricciones, las funciones de valor V(.), pueden no ser cóncavas (aunque la
función de pagos del primer periodo lo sea).
38
Recordemos que el problema para las empresas viene dado por la
maximización de la expresión (30). Dado los supuestos de linealidad en la
demanda y de Normalidad en las variables aleatorias, la función objetivo,
(30), es continua y alcanza un máximo en el conjunto compacto [0,XJ.] paraA
algún valor Q., puesto que E[V(0(P ,Q ))] está acotada superiormente por los
beneficios del monopolio, para la curva de demanda más favorable, y
lirn rc.(Qn ,Q21)-> -°o.Q .i i
Por tanto, una mejor respuesta de cada empresa, qué será simétrica,
debe existir. Nótese, que la condición de segundo orden será:a 1T
-2m + - ü < 0 (53)a Q ^ 1 1
* *Si (53) se cumple para todo Q y Q t entonces, sea:
^ d i "" ^
P . W . . + Q*.) = « V Q21>* A a r
evaluada en Q =Q . Nótese que por (47), y por la definición de 0, —^11
depende de Q n + Q y no de y Q por separado. Se define P2(Qn +Q21)’
de forma análoga.* * 2
Ahora sea g(Qn + Q21)G R ’ ^finida como sigue:s|c * n * *
Fíjese un valor de + Q2j, y por tanto un valor de P1(Q11+Q21) yP * *
(Q + Q )•2 1 1 ^ 2 r
Entonces sea g(Qu +Q21) = (^(Q n+Q j^g^Q n+Q ^)). que SOn los
valores de (gj,g2) que resuelven:
a - m(2gi + g2) + P,(Q*+Q*,) = 0 (54)
a - m(2g2 + gj) + P2(Q*+Q21) = 0 (55)
39
si la solución cae en el primer cuadrante. Si no, (g ,g ) es la solución* *
í(q +q„ :n * *esquina apropiada. Puesto que p.(Q +Q ) es constante, una vez fijadas$ $
(Q i i +Q2j), existirá una única solución a (54) y (55),
( g i ( Q * i+ Q * i) ,g 2( Q * + Q 2 , ) ) ’ P 8™ a lg ú n v a lo r d e (^ t i + (^ 2 r E s to e s a s i ’ P ° rciu e
(54) y (55) son las funciones de reacción para el caso de un duopolio, conn * *una demanda lineal, desplazadas por
Ahora, construimos una función G:IR-*IR, ta l. que .G(Q)=g (Q) + g (Q)-o
G(Q*|+Q*,)=g1(Q*1+Q*1) + g2(Q*,+Q*,)- Entonces, G es continua (porque* *
g.(Q +Q ) lo es) y para un valor de Q lo suficientemente grande G(Q)<Q* * * *
(porque Pi(Q 11+Q21) no crece sin límites como Q y Q lo hacen). De este
modo, G tiene un punto fijo, llamémosle Qp.Dado Qp, (Q1F,Q2p)s(g1(QF).g2(QF))
resuelve:s r
a - m(2Q + = 0,^11
y a - m(Q + 2Q^ ) + - g ^ L = 0.21
entonces Q =Q*=(Q* +Q* ).F ^ 1 1 21
De esta forma, tenemos una condición suficiente para la existencia del* *equilibrio, que es que (53) se cumpla para todo Q y Q . Esta condición
* *suficiente, no es necesaria. En particular (53) no es constante en Qn +Q21-
* *(53) puede fallar, entonces, para algunos valores de Q n +Q21 s n excluir Ia
*existencia, con tal que (53) se cumpla para los valores de equilibrio Q y
*Q2i» y Que *a función objetivo de las empresas se comporte lo suficientemente
bien como para tener un máximo local.
Es posible ofrecer condiciones de suficiencia, relacionadas con las
distribuciones Normales. A partir del supuesto de Normalidad de las variables
40
aleatorias, se tiene alguna especificación del problema, para el cual, ela
11 30equilibrio existe. En concreto, como — depende de - ^p -, y a su vez, esta^11 i
a a 2última expresión depende inversamente de h, (h = h + xQ ), es decir, de la
a 2r 1 Am i ] Arevisión de la precisión sobre 0 , ----------- también depende inversamente de h.
3Q ^ 11A K
Tomemos un valor de h muy grande (o una varianza de 0 muy pequeña). Cuandoa 2 r a 2r
esto ocurre -———1 tiende a cero. Como —— es continua y converge a una Q 2 a Q 2^11 ^11
límite continuo (cero) en un conjunto compacto de valores de Q y , la
convergencia puede tomarse como uniforme. Así pues, se puede elegir un valorA
de h (eligiendo h o x) que cumpla (53). Por tanto, existirá, al menos,
equilibrio. H
III. Experimentación y búsqueda de señales de mercado más informativas.
La proposición 1, indica el sentido de la experimentación, que en este
caso da lugar a un incremento de la producción con respecto a la producción
miópica. La explicación de este fenómeno se recoge en el hecho de que las
empresas producen más en el primer periodo, con el fin de recoger información
sobre la elección que la Naturaleza ha hecho sobre 0. En concreto, en el
segundo periodo, después de revisadas las creencias, cada uno de losw A A A A
duopolistas considera que 02 ^ N(0,h), donde 0 y h vienen dadas por (15) y
(16). Sin embargo, en el primer periodo, antes de que las producciones seA
elijan, 0 es todavia una variable aleatoria que se genera a partir de laa-P
señal del parámetro 0. Sea S = t-j— (ver (13))i
41
Para una mayor comprensión del fenómeno de la experimentación,
recurrimos a la siguiente Definición:
Definición 2: Diremos que una variable aleatoria X es más
informativa que otra variable aleatoria Y, si la distribución de X domina a
la de Y en el sentido de Dominancia Estocástica de Segundo Orden.
Sean y x , dos valores cualesquiera de la producción agregada del
primer periodo. Sustituyase la variable aleatoria X por la señal del
parámetro 0, Sxt e Y por la señal Sx2.
Obsérvese, que por (13), para cualquier valor x de la producción total:
N m, hxx2h + xx2
(56)
Por (15) las señales Sx y Sx2 dan lugar a las creencias
A Aposteriores, ©(Sx^ y 0(Sx2) respectivamente. Defínase:
§ ( X ,S ) = mh + Tx.2* (57)h + xx
A Ay nótese que 0 = 0(Q ,Sq ), donde 0 viene dada por (15). A partir de aquí:
Lema 3: Sx es más informativa que Sx2, si :
ESx [F(é(x ,Sx ))] > ESx [F(0(x2,Sx2))], (58)1 2
Apara cualquier función F(0) estrictamente convexa. Es decir, para cualquier
AF(0) estrictamente convexa:
42
F(0(xi,s)f(xf s)ds > F(9(x2,s)f(x2,s)ds (59)
donde f(x,s) el la función de densidad de Sx evaluada en s. (Recordemos quea-P
Sx = l- )
Demostración: Dado que E[Sx ] = E[Sx ] = m por (56), para determinar (58) o
(59), se tiene que probar que la precisión de Sx es mayor que la precisión
Supongamos que:
de Sx .2
+ooF(0(xi,s))f(xi,s)ds >
+00F(0(x2,s))f(x2,s)ds,
donde F es estrictamente convexa.
Por las definiciones de Sx y 0, la función
(60)
F(0(x,s)f(x,s)ds puede
expresarse como:
F(0(x,s))f(x,s)ds = F(0(x,a-P))f(x,a-P)dP (61)
Nuestro próximo paso, es demostrar que el término de la derecha de (61)
es creciente en x.
Nótese primero, que (46) se cumple si sustituimos F por V. En segundoA
d 0lugar, como gp <0, entonces por la estricta convexidad de F:
aax F(0(x,a-P)f(*,a-P)dP
A
F"(6)[- -§ t j f (x ,a -P i)dP>0 (62)
43
De esta forma, por (61) y (62), F(0(x,s)f(x,s)ds es una función creciente en
x, para cualquier F estrictamente convexa. Por tanto, para que (60) se
verifique, xj>x2-
Pero como, Sx N m, hxx2 d hxx2 í 7 12h xxh + Tx2 ,y dx h + xx2to J h + xx2
>0,
la Precisión de la señal, también crece en x.
La siguiente proposición es inmediata:* mProposición 2: Sea Q y Q la producción agregada del primer periodo y
* * *la miópica respectivamente. Entonces, la señal que se deriva de Q , S =SQit
es más informativa que la derivada de Q™, Sm= Sq™.
Demostración: Por el Lema 2, es suficiente demostrar que:
A * *Es * [F(0(Q ,S ))] > Es m [F(0(Q ,S )]
para una función estrictamente convexa, F.
(63)
Por la Proposición 1, Q > Qm y por (62) Ec [F(0(x,S))] es una función1 1 Jcreciente en x, siempre que F sea estrictamente convexa, entonces (63) se
cumple para cualquier función estrictamente convexa. m
La anterior Proposición formaliza la relación existente entre
experimentación y mayor información. En ella se demuestra que cantidades
mayores producen señales de mercado más informativas. Todo ello, redunda en
mejores decisiones en el segundo periodo, puesto que la mayor información, da
lugar a unas creencias posteriores más precisas. Este proceso se resume en la
44
obtención de mayores beneficios futuros por parte de las empresas.
El siguiente apartado analiza la experimentación y la dimensión
estratégica derivada del duopolio. Para ello se comparan los resultados de la
experimentación bajo competencia de Coumot con productos homogéneos, con los
del monopolio. Se toma como referencia el artículo de Mirman, Samuelson y
Urbano (1991,a), adaptándolo al caso en que las variables aleatorias son
continuas, y en concreto se distribuyen como Normales.
IV. Experimentación: Monopolio y Duopolio.
Vamos a considerar el mismo modelo descrito en este capítulo, pero para
un monopolista.
* w wSea y el output de equilibrio para el monopolista en el primer
periodo y el miópico respectivamente. La revisión de la media de laA
pendiente, 0, se obtiene de igual forma a partir de (15).
VM(0) representa los beneficios esperados máximos en el segundo A 2 A
periodo, (con VM(0)= aA ), siendo VM(0) estrictamente convexa.40
Si x es cualquier valor de la producción del primer periodo, podemos a - P
definir Sx= ---- -— ■-, como la señal de mercado derivada a partir de x, y
también Egx[VM(0(x,Sx))], como el valor esperado de VM(0) bajo la elección de
x. Por la demostración del lema 3, Egx[VM(0(x,Sx))] es creciente en x.
45
Demostración:
Sea 7C (Q )=(a - mQ )Q , los beneficios esperados del monopolio en el
primer perido, donde rc^(Qj) es una función estrictamente cóncava. Entonces:
Q” e Argmax n“ (Q() (64)^ i
Q*m e Argmax [«“ (Q,) + EfV&Q^a-P,))]] (65)Q, L J
La condición de primer orden derivada de (65) es:
3 ít“ S E tV íe íQ ^ a -P ,)) ]W - + -------------- a ( j = °- (66)^ 1 ^ 1
A
APor la demostración del lema 3, E[V(0(Q ,a -P ))] es creciente en Q ,
~ _ m
Mentonces por (66) —¿ q ~~ <0 • Como n i es estrictamente cóncava, entonces
= T i -
A continuación se comparan las soluciones del monopolio y del duopolio
para el primer periodo. Recuerdese, en primer lugar, que la producción
miópica del duopolio de Coumot es mayor que la producción miópica del
monopolista. Sin embargo, es posible demostrar que la experimentación cambia
la desigualdad anterior, en el sentido de que cuando hay experimentación la
producción del monopolista en el primer periodo es mayor que la producción
total del duopolio.
46
La intuición de este resultado sería la siguiente. La empresa aumenta
su producción con respecto a la miópica, con el fin de hacer la señal de
mercado más informativa. Dado que el precio es comunmente observado en el
duopolio, las acciones de cada empresa también afectan a la revisión que, de
sus creencias, realiza la empresa rival. De esta forma aparece una dimensión
estratégica en la elección, ya que cada empresa se planteará si es
conveniente o no hacer más informativa una señal de mercado que es pública.
Esta elección dependerá de las propiedades en la información de la
competencia en el mercado. Es decir, el comportamiento experimental de las
empresas dependerá de la relación existente entre información y competencia.
Bajo la de Coumot las empresas son Sustituías Estratégicas y además cuando
la información aumenta o las señales de mercado son más informativas,
aumentan los beneficios esperados de las mismas. Por tanto, las empresas se
convierten en sustituías en la información y cuanto mejor informada está una
empresa peor rival es. De aquí se deduce que la adquisición de información
será menor bajo una situación de duopolio de Coumot que en el monopolio.
Este resultado se establecerá en la siguiente proposición.
Antes de realizar la comparación entre el monopolio y el duopolio
recuerdese que 7C (Q ) es el beneficio esperado de cada duopolista en el
periodo 1. Definamos:
jtD(Q ) = jt (Q ,0 ) + n (Q ,Q ) (67)r ^ r iVNCn 2v n ^ 2r v 7
Y de igual forma definamos los beneficios esperados del segundo periodo para
47
el duopolio como:
VD(é(Q,)) = 2 V & Q P (68)
La siguiente proposición demuestra que cuando se experimenta, la
producción total del duopolio en el primer periodo, es menor que la del
monopolio,
*Proposición 3: < Qj .
Demostración:
MPrimero mostramos que Q } > Q . i . La curva de demanda del primer periodo*
es P = a - 0Q + e y E[P]= a - mQ. De aquí, se obtiene que a -m Q ^ 0, por tantovMQ < = 2 0 .
Por el lema
duopolio es simétrica lo anterior implica que
Por el lema 4, Q11 < Q jM. Entonces - y Q <Q M. Como la solución del
M MComenzamos el análisis, suponiendo que Q i >Q . Dado que Q representa
la producción óptima del monopolio, se cumple que para cualquier otra*
producción, y en particular para Q :
7l“ (Q*M) + E[Vm(0(Q*m))] > + E[Vm(0(Q*))] (70)
* } * * *De igual forma, puesto que Q n = - y Qj y (Q n ’Q2i es Pr°ducci°n de
equilibrio Nash para el primer periodo, tenemos que para el duopolio:
48
* * A * * w * * A * w
Itn (Q n ’Q2i) + EIV(0CQ,))3 ¿ V Q , - Q21,Q2I) + E tv ce íQ ^))] (71)* * A * * * W * A * W
n2,(Q u .Q21) + E[V(0(Q())] > it2|(Q | | ,Q | M- Q ,,) + E[V(0(Qf ))] (72)
y yPor (69), las desigualdades (71) y (72) están bien definidas (Q M- y
*Qj - Q u >0). Sumando (71) y (72) obtenemos:
n°(Q ,) + E t V ^ Q ^ ) ] S ^ ( Q / ) + E[VD(0(QfM))], (73)
(70) y (73) pueden escribirse como:
< ( Q * m) - Jt“ (Q*) > E[Vm(0(Q*)] - E[Vm(0(Q*m ))] (74)
E[Vd(0(Q*))] - E[Vd(0(Q*m))] > 7t°(Q*M) - Jl°(Q*) (75)
A partir de (74) y (75) es posible derivar la siguiente contradicción cuando* *1U
Q, > Q ,“ :
E[Vm(0(Q*))] - E[Vm(9(Q*m))] > E[Vd(0(Q*))] - E[Vd(0(Q*m))] (A)
y
< ( Q * M) - T^iQ *) = 7T°(Q*M) - Tl^Q*) (B)
Comenzamos probando (A). Para ello definamos:
P = a - 0Q* + e, P^= a - 0Q*m+ e.
*A mh + t Q (a - P ) A mh + xQ “ (a - Pm)
h + t Q’j h + tQ M2
2 2 recuérdese que: VM(0) = , VD(0) = 2V(0) =
40 90
49
Sea:rM n n r M A *
w m= E[Ym(0(Q ))] - E fV ^eíQ “ ))] = VM(0)f(a-Pl)dPl - VM(éM)f(a-PM)dPM =
0«a-PjJdP, - L f (a -P > P ^
e>o (76)
por la demostración del lema 3, y sea
A * A *VlTa. E[VL'(0(Qi))] - .E[Vü(0(Q1M))] = Vu(0)f(a-Pi)dPi - VD(0M)f(a-PM)dPM=
V 1
2a'0
f(a-Pi)dPi - ~ L f (a -P > P ^ >0, (77)
de nuevo, por la demostración del lema 3. Restando (76) y (77) obtenemos:
WM - WD =0
f(a-P )dP -r i L f (a -P > P ^0
a la ' 1 >0 (78)
MDe aquí que (A) se cumple cuando •
Para probar (B) tenemos que:
* *«7(Q, ) - » , (Q ,) = (a - mQ , ) Q , - (a - mQ )Q (79)
Mxy ^ ( Q , “ ) - J^(Q ,) = (a - mQ]M)Q[i + (a - m Q ,” ) ^ - 2(a - m Q ^Q .^
(a - mQt )Qj - (a -m Q ^ Q ^ 7Tj (Q i ) - ^ ( Q j ) (80)
Ms * *
Por lo tanto, (B) se cumple.* *MProbado (A) y (B) queda demostrada la contradicción asociada a Q j>Q j •
* *Por lo tanto que Q iM
50
El comportamiento estratégico derivado de la competencia de Coumot,
explica la existencia de una menor experimentación con respecto a la de
monopolio. Es decir, un duopolista de Coumot, tendrá en cuenta que la
experimentación , llevada a cabo por la empresa, incrementa la información
disponible propia y también de la empresa rival dado la señal de mercado es
pública. De esta forma, entran en juego dos efectos de sentido contrario, en
primer lugar el derivado del deseo de procurarse información sobre el
parámetro desconocido, y el segundo derivado de la competencia en el mercado.
El primero supera al segundo, en cuanto que la experimentación sigue siendo
positiva, pero en cualquier caso, menor que la que se obtendría cuando la
empresa fuera la única abastecedora del mercado.
El próximo capítulo, extiende el análisis realizado a un modelo de
duopolio donde las empresas eligen precios como variables estratégicas
(Competencia de Bertrand).
51
CAPITULO 2.
Competencia de Bertrand (duopolio simétrico)
y Experimentación.
C A PIT U LO 2.
Competencia de Bertrand (duopolio simétrico) y Experimentación.
En este capítulo, se extiende el análisis realizado para el modelo de
Coumot (homogéneo) a un modelo de duopolio donde las empresas eligen precios
como variable estratégica. Se demuestra que, también aquí, las empresas
eligen precios superiores a los miópicos, con fines experimentales. Se
analiza un modelo de duopolio dinámico donde las empresas producen bienes
sustitutos y compiten en precios. Las empresas se enfrentan a curvas de
demanda lineales y estocásticas, donde las pendientes (iguales) son
desconocidas. Para poderlo comparar con el modelo de Coumot, anteriormente
estudiado, se supone que la simetría del modelo es total.
I. El modelo:
7.7. Supuestos básicos del modelo:
1. La estructura de demanda de cada periodo viene dada por el siguiente
sistema (Dixit 1979):
2. Pj y P2 son los precios en cada uno de los mercados y y Q2 son las
ventas de cada uno de los duopolistas. e y e2, representan las
perturbaciones aleatorias de la demanda.
3. Los costes marginales son constantes e iguales para cada empresa por lo
que nuestro análisis hace referencia a precios netos de coste marginal.
Q = a - ÜP + cP + e , ^1 1 2 1Q = a - 0P + cP + e
2 2 1 2
(1)
(2)
52
4. Las empresas desconocen el valor de 0 y suponen que tanto 0 como e se
distribuyen como una Normal caracterizada por su media y su precisión.
Esto es, 0 _ N(m,h) y e _ N(0,t). El término de error es independiente
y está idénticamente distribuido, además es independiente de 0.
5. Suponemos que c>0 por lo tanto estamos considerando que los productos
son sustitutivos. Este grado de sustituibilidad del producto es
conocido.
6. Con el fin de simplificar el modelo y hacer el análisis de este tipo de
competencia más parecido al modelo de Coumot suponemos que e =e =e.
7. Los supuestos sobre la información coinciden con los del modelo de
Coumot, en cuanto que las creencias iniciales se revisan con el
transcurso del tiempo, contando al finalizar el primer periodo con
la información adicional de los precios y de las ventas (tanto las
propias como las de la rival).
8.El objetivo de las empresas es la maximización de los beneficios,
eligiendo aquel precio que maximiza la suma de los beneficios esperados
de los dos periodos.
9.No existe posibilidad de entrada de nuevas empresas.
A continuación, como en el caso de Coumot, planteamos el modelo como
un juego de dos periodos con información imperfecta.
53
1.2.Desarrollo del juego:
El juego consta de dos periodos:
En el periodo uno podemos distinguir dos etapas:
Etapa 1: la naturaleza elige un valor 0 y un valor ej de dos variables
aleatorias independientes: 0 ^ N(m,h) y e w N(0,t), donde h y T son la
precisión de 0 y e respectivamente.
Etapa 2 :las empresas, que no conocen la elección de la naturaleza, pero
que si conocen las distribuciones de 0 y 8, eligen simultánea e
independientemente los precios de venta del primer periodo, P y P .
Precios que son conocidos por las dos empresas. Las ventas, de cada una de
las empresas, se determinan de acuerdo con las curvas de demanda de mercado:
Q = a - 0P + cP„ + 8 (3)^11 11 21 i v 7Q = a - 0P + cP + e (4)21 21 11 1 v 7
Las ventas se anuncian a las empresas.
En el periodo 2 distinguimos dos etapas:
Etapa 1: La naturaleza vuelve a elegir un nuevo valor de 8.
Etapa 2: Las empresas, de nuevo, eligen los precios de venta para el
segundo periodo P y P22. Estos precios dependerán de las ventas y de los
precios del primer periodo (Pn »P21» ^ n ’ 21 * ventas ^ seSund° periodo
vendrán dadas por :
Q = a - 0P + cP_ + e . (5)12 12 22 2 v 7
Q = á - 0P + cP + e . (6)>¿22 22 12 2 v 7y se anuncian a las empresas.
54
Las Estrategias para cada uno de los duopolistas pueden expresarse como:
o = (P ,P (P ,P , Q ,Q ))1 v 11 12 11 21 ^11 W-2V/o = (P ,P (P ,P ,Q ,Q ))2 v 21 22 11 2121 22 11 21 (8)
(7)
La Estructura de Pagos. Puesto que los costes de producción son cero, los
beneficios esperados para el segundo periodo son:
por lo que los beneficios esperados para los dos periodos vendrán dados por:
Para caracterizar las soluciones del primer periodo, es necesario
analizar, inicialmente, el equilibrio en el segundo periodo, es decir, el
equilibrio que incorpora la información del primero. Nótese que como este
periodo es el último del horizonte temporal, su estudio se considera a partir
del juego estático correspondiente. El equilibrio de este segundo periodo es
un equilibrio Bayesiano-Nash.
Así pues, después de observar las ventas y conocidos los precios, cadaA A
empresa elige P y P , correspondientes al segundo periodo, tal que:
(9)
(10)
( 11)
( 12)
55
P e Argmax E[Q (P ,P )/(P ,P , Q ,Q )]P (13)12 & L l2y 12 22 1 1 21* ^ l l ’ 21/J 12 v 'P 1 2
K e A**»*» Q „,Q 21)]P22 (14)P 2 2
Para resolver este problema, se ha de calcular E[Q ^/(P ,P , Q M»Q21)Í y
E[Q> /(P ,P , Q ,Q )], esto es E[a-0P +cP +e/(P ,P ,Q ,Q )] = 22 11* 21 ^ 1 1 ,>62 1 / j * l 12 22 v 11 21 ^ 1 1 ^ 2 1 / J
a-E[S]Pl2+cP22 y E[a-0P22+cP|2+5/(Pn ,P2i, Q n>Q21)] =a-E(S]P22+cP12> lo que
reduce el análisis a la obtención de E[0/(P ,P , Q ,Q )].l n » 2 1 »
Dado que las empresas observan las cantidades y los precios del primer
periodo y además e , esto significa que las dos empresas ven una
única señal al finalizar el primer periodo. En particular las empresas
observan la señal:
Q,-P J J - T V.----- p-0 n-rj— + C - n— (15)
P + P Q + Q1 1 2 1 11 21 donde P }= es el precio medio y Q1 = --------£-------son as ventas
medias del primer periodo.
Esta señal se distribuye para cada valor de 0 como:
Q- p - + C - — p i - _ N (0 . xPj) (16)
•ydonde 0 es la media y tPJ es la precisión. El valor de 0 es desconocido para
las empresas, pero estas tienen una distribución subjetiva inicial,
0 N(m,h), donde E(0) = m, h = —í— . De esta forma, la distribución° e
Aposterior de 0 después de observar las ventas medias del mercado, es una
56
A Adistribución Normal con media 0 y precisión h, es decir 8 N(0,h), donde:
r a+cP -Q ^mh + x P ^ F 7 — L J mh + x P (a + c P -Q )
6 = --------------------;------ = ----------------4 ---------— - (17)h + xP h + tP1 1
h = h + xP2 (18)A A
Por tanto, E[0/P ,Q ] = 0, lo que permite reescribir (13) y (14) del
siguiente modo:
P,2 e Argmax [a - 0P]2 + c P J P ^ (19)P 1 2
P22 6 Argmax [a - 0P22 + cPi2]PM (20)P 2 2
Defínase P :IR -> IR , por P(M) = ----- . Al resolver (19) y (20) se obtiene la1 + + (2M-c)
única solución simétrica:
A A A A A A OP(e) = P (6) = P (0) = - 4 — . (21)
12 22 (20-c)
El supuesto de que las curvas de demanda son lineales implica, en este
juego estático, que el equilibrio es único. Por esto, los beneficios
esperados de equilibrio de ambas empresas están bien definidos y puedenA
expresarse en función de 0. Sean estos beneficios de equilibrio:
<5 AA A A A A i A A<j A a A
V(0) = aP(0) - 0P2(0) + cP2(0) = V , (22)(2 0 -c )2
Esta función de valor presenta las siguientes propiedades:
57
Lema 1: V(0) es una función decreciente y estrictamente convexa.
Demostración:
A partir de (22), es posible obtener:
3 V = - » 2 ( 2 3 + c ) < 0 (23)~K /\ -i3 0 (20 - c )3
De igual forma:
>0 (24)30 2 (20 - c )4
ALa primera de estas propiedades indica que un valor alto de 0, supone
una demanda desfavorable para la empresa, lo que da lugar a unos beneficios
esperados máximos en el segundo periodo más bajos. La convexidad garantiza,
al igual que el caso de Coumot, que la información es valiosa.
II. Análisis del prim er periodo:
Una vez analizado el segundo periodo y las correspondientes funciones
de Valor, pasamos a estudiar el primer periodo. Se debe recordar que en este
periodo, las creencias posteriores de las empresas son variables aleatorias
cuya distribución depende de los precios y de las ventas medias del primer
periodo. Esto permite expresar los beneficios de los dos periodos en función
de los precios del primero. Por tanto definamos estos, para la empresa i,
i=l,2 como:
58
H / W = *¡ <P„ ' P21> + E fv W P .Q ,) ] , i= 1.2 (25)
donde el primer sumando representa los beneficios corrientes del
primer periodo, es decir:
n (P ,P ) = E [(a - 0P + cP + e)P 1, i=l,2i v 11 2V [ il jl , i l j (26)
y donde:
E [ v ^ C P ^ ) ] = Y V í é í P ^ M a - Q j+ cP^dQ (27)
siendo f la función de densidad de la variable aleatoria (a -Q ^cP ^ , que por
(1) y (2) es,
a - Q i+ cP = SPr e = 5 [ “ 2 21] - e (28)
y que se distribuye para cada P y P , como:
(a - 6 + cP ) _ N Í mP ---- ^ — 11 1 >• 1 h + xP2 J
(29)
hxdonde-------------es la precisión de la señal y mP es la media. De esta forma,h + xP2 1i
la función de densidad de esta variable vendrá dada por la siguiente
expresión:
K . . 0 , . a y . Í I Z Ü É (30)/ 2n 1
59
El problema que tratarán de resolver las empresas en el periodo uno se reduce * *
a la elección de P y P , tal que:11 J 21 ^
P*n g Argmax i y P ^ P ^ ) (31)pi i
P2I e Argmax I ^ P * ^ ) (32)?2 1
Sean y ^ los precios óptimos cuando la empresa actúa de forma
miópica, es decir:
P* G Argmax n<? ) (33)p 1i i
P ^ g Argmax n f P ^ ^ ) (34)?2 1
De nuevo, nuestro interés se centra en analizar las diferencias entre* * _ m - mP , P y r , r . Estas diferencias mostrarán la existencia o no de11 21 J 11 21
experimentación y el sentido de la misma.
77.7 Condiciones de primer orden:
Las condiciones de primer orden derivadas de los problemas a corto
plazo y dinámico, son respectivamente:
571. (P. ,P m )11 11 J 1 - = 0 (35)
5P i 1
* a E j v ^ P ^ ) ]571. (P. ,P. )11 11 J 1 + ------- =---------------- 1 = 0 (36)
aP a Pi 1 i 1
60
Para caracterizar las soluciones del primer periodo y en particular
para analizar si existe experimentación se estudia el comportamiento deA
E[V(0)], en P .^ i=l,2 . En este sentido se pueden dar tres casos:
8 e [v (S)1-------------------- = 0 lo cual indicaría que la empresa, al tener en cuenta los dos
aPi 1
periodos elige el mismo precio que el que es óptimo a corto plazo, por tanto,
no existe experimentación.
a e [ v ( 0 ) ]-------------------- > 0, la empresa eligirá un nivel de precios mayor que el miópico
aPi 1
con fines experimentales para un nivel de precios dado de la rival.
8 e [v (6)1-------------------- < 0 la experimentación conducirá en este caso, a la empresa i, a
aPi 1
elegir un nivel de precios menor que el miópico.
Recuérdese que:
E[V(é)] = V(é(P,,Q,))f(a-Q,+cP,)dQ„ (37)r'-i" '■i r '■r
Lema 2:
aE [V (6 (P ,Q )]!— !— > 0 (38)
aPi 1
Demostración: Véase Apéndice B, donde se muestra que (38) puede expresarse
como:
61
SE [V í GCPj.Qj)]
SP i 1
1—7T2h
A
v "(é )[- J f íQ ^ Q , =
A
1 V"(0)[- - |® jf(Q [)dQ| . (39)
Ad 0Dado que V(.) es estrictamente convexa, y que ■ *q - <0» (39) es positiva, o
sustituyendo por su valor:
s e [v c g íP j.q ^ ] 4xa2PSP i 1
A
(9 a+ c) f(Q,)dQ >0(26- c)4
(40)
Obsérvese que la expresión (39) (o la (40)), es el término de
experimentación, y que es el análogo en competencia de precios al
correspondiente término de experimentación en competencia de Coumot, es
decir a la expresión (46) (y (47)) del capítulo 1.
La siguiente proposición, muestra que los duopolistas, fijan un precio
de mercado en el primer periodo mayor que el precio óptimo a corto plazo.
Proposición 1: Sean Pj1 y los precios miópicos de cada uno de los* rjn * _jnduopolistas, entonces P > r y P > r .
r 11 11 ^ 21 21
Demostración: Por (35) se cumple que:*
. P1,= T 5 T + - £ r + T S T - § F - <41>* 11
V EW 1 <42>21
62
* *A * ^>11+ ^>21E[V(0)] depende de P , y en equilibrio de , de forma que
| p - E[V(é)] = 4 p ~ E[V(0)]. Por (41) y (42) P* = P* y por (39) y (40): 11 21
^ i i ^21 (2m-c) + (2m-c)4xa P " (0+c)
(20 -c)(43)
Por (35):
pm pm a11 2i (2m-c)
rJD * w nDe este modo, por (40), se obtiene que ^ ^2 *21 ^
(44)
* 4x a PP = P ^ + ----------
i l Í l v,a 2(2m -c)h .( a+C)4 f(Q,)dQ,
(20 -c)4 1 1(45)
Por tanto, el resultado es análogo al obtenido en el caso de Coumot, y* wnlas empresas elegirán un precio P >P^, con fines experimentales. Así
precios mayores darán lugar a ventas medias más informativas. La demostración
formal de este resultado sigue las pautas de la Sección III del capítulo 1,
por tanto no se repetirá aquí.
Finalmente, sólo queda por analizar cómo la competencia en precios
afecta al nivel de experimentación llevado a cabo por las empresas. Para tal
fin, tenemos que comparar el precio experimental del primer periodo, con el
precio fijado por el monopolista experimentador.
El siguiente resultado muestra que los precios son en principio
distintos. Para comprobarlo definamos previamente:
63
Qm = a - 0P*M+ e
mh + xP M(a - Qm)kM\
éM =h + xP
V (0) = V (0) =40 20'
* ’l'MProposición 2: P ^ P .
Demostración: por (45) tenemos que:
p* = p"1 + — -(2m-c)h ,
V"D(0D) [ - 4 ^ - ]f(Q,)dQ,
donde:
0 =mh + x P ( a + c P - Q )i v i
h + xP
(46)
y realizando un análisis similar para el monopolio:
p M = 2m1
------7C2mh
V" (0M)M [- f(Q)dQ (47)
* *Supóngase que P j = P M, como en el monopolio Qm= a - 0P JV1 + e, y en elM
duopolio - cP M= a - 0P m + e, entonces Qm = Q - cP , y porM tanto:
0D=0M. (48)
Además como:2 D 8a (0 +c) a ««v, v ,
------- 4 > + — 7 .— 4 > v(20 - c ) 20“ (20 -c)
2 o 28a c //M
entonces por (46) y (47):
p p p 01 - a ai ’ 2m 2m-c 2m
lo que es una contradicción.
>0 (49)
64
* * M * M *En general, P j> P . Supongamos lo contrano, es decir P >Pj, entonces
Qm < Qj- cP ^ y por la definición de 0D y 0M: 0D* = 0M.
Si 0 > 0 , por el resultado anterior se llegaría a que P >P , lo queAjj Aj j
sería una contradicción. Por tanto supongamos que 0 >0 . No obstante como la
diferencia máxima entre P - P = — 2m c ^ ac ° £lue ^ < “m- ^ ^ue
P > ~2^ ■ ), entonces V"D sigue siendo mayor que V"M y realizando los
oportunos cálculos, se llegaría a que P >P . Pero por la proposición* *Mantenor P . a
La intuición es clara, bajo competencia de Coumot las empresas son
complementarias en la información. Además cada empresa está mejor cuanto más
informada está la rival. Por ello se suman dos efectos, por un lado el deseo
de adquirir información y el segundo derivado de la competencia en el
mercado. Por tanto el precio que fijan los competidores de Bertrand, con
fines experimentales, será mayor que el que fija el monopolista, cuando
también éste experimenta.
65
CAPITULO 3
Aprendizaje y Dispersión de Precios.
C A PIT U LO 3.
Experim entación y D iferenciación de Producto:
En este capítulo se analiza, con más profundidad, la relación existente
entre competencia y experimentación. Para tal fin, se consideran mercados con
productos diferenciados. De esta forma, se separan convenientemente los
motivos que tienen las empresas, para acumular información para sí mismas, y
los motivos que les llevan a procurar una mayor o menor información para el
rival, en función del tipo de competencia en el mercado. En resumen, el
objetivo básico de. este tipo de modelo es analizar como la relación
estratégica en los mercados (sustitutos o complementos estratégicos) influye
en los niveles de experimentación llevados a cabo por las empresas.
Además se trabaja con sólo dos valores del parámetro desconocido,
abandonando, de esta forma, el supuesto de Normalidad, que hasta ahora se
había seguido. Esto se debe, a la dificultad que incorpora el análisis de la
distribución Normal Bivariante, en cuanto que no permite llegar a expresiones
que puedan dar lugar a resultados transparentes. Sin embargo, se extiende el
análisis a la clase de funciones de densidad (para las perturbaciones
aleatorias de la demanda) que satisfacen ratios de verosimilitud monótonos.
En concreto, se considera un duopolio donde el producto que se vende es
heterogéneo. Las empresas desconocen el valor de la pendiente correspondiente
a la demanda de cada uno de los mercados. Cada parámetro puede tomar dos
valores, de forma que las empresas asignan una probabilidad a cada uno de
ellos, que se irá revisando a medida que estas obtienen información.
El análisis de este capítulo supone que las empresas actúan bajo
66
competencia de Coumot, extendiéndose los resultados al final, al caso de
Bertrand. Dada la estructura lineal de la demanda, la competencia de Coumoti
con productos sustitutos (complementarios) es el perfecto dual de Bertrand
con productos complementarios (sustitutos).
I. El modelo.
1.1. Supuestos básicos del modelo:
1. El duopolio se analiza en un horizonte temporal de dos periodos.
2. Las demandas vendrán dadas por:
P = a - b iQi - cQ2 + e ] (1)
P2= a - b2Q2 - cQj + e (2)
Qi y Q2 es la producción de cada duopolista, P y P2 los precios de
cada mercado y donde e j y e2, son las fluctuaciones aleatorias de
cada una de las demandas, que se distribuyen conjuntamente de acuerdo
con una función de densidad f(e ,e ) con E[e ] = E[e ] = 0 y donde af(e ,e ) af(e ,e ) 1— ----- y — ^ ------- existen y son continuas. El soporte de
(ej,e2) es IR2.
3. bj y b2 son los parámetros desconocidos que representan la pendiente
de la demanda en cada uno de los mercados, a y c representan,
respectivamente, la intersección con el eje de precios y el grado de
sustitución (c >0) o de complementariedad (c < 0) del producto. Ambos
se consideran comunes con el fin de simplificar los cálculos.
67
4. bj e (b^bj), y cada empresa asigna una probabilidad inicial, común,
(X0= Prob {bj = 5 ^ . b2 e (52,b2) y de igual forma, cada empresa
asigna una probabilidad inicial común pQ= Prob {b2 = b2). Estas
probabilidades son, además conocimiento público. Los cuatro posibles
estados de la naturaleza serán:
La distribución de probabilidad asociada a estos cuatro estados es:
5. Al finalizar el primer periodo, y una vez observados los precios en
cada uno de los mercados, las empresas revisan las probabilidades
asignadas inicialmente, a Q y pQ, obteniendo a y p que serán las que
se utilicen en el segundo periodo.
6. Las empresas eligen aquel nivel de producción que maximiza la suma
de beneficios esperados para los dos periodos.
7. Suponemos que los costes de producción son nulos o alternativamente
que el precio fijado por las empresas es un precio neto del coste
(3)
{“ <&’ a o(1 - IV ’ ü - « A i 1 - “ o*1 - iv } (4)
marginal.
8. No hay posibilidad de entrada de nuevas empresas, la estructura de
duopolio se perpetua en el tiempo.
A continuación, se modela la interacción en el mercado de las empresas,
como un juego de información imperfecta. El juego se desarrolla como sigue:
1.2. Desarrollo del juego:
Planteamos el modelo como un juego de dos periodos con información
imperfecta. En cada periodo distinguimos dos etapas:
Periodo 1:
Etapa 1: La naturaleza elige unos valores (bj,b2) de entre los cuatro
posibles estados descritos en (3), de acuerdo con la función de probabilidad
de (4). Al mismo tiempo elige valores y e2 correspondientes a las
variables aleatorias e y e de acuerdo con f(e ,e ).1 J 2 v 1 TEtapa 2: Los duopolistas eligen independiente y simultáneamente las
producciones correspondientes al primer periodo, y Q2i, sin conocer la
elección previa de la Naturaleza, pero sabiendo la distribución de
probabilidad asociada a cada estado. Las producciones de cada una de las
empresas son conocidas y determinan los precios de acuerdo con:
P = a ■ b Q - cQ + e ,11 1 11 21 1P = a - b Q - cQ + 8 .21 2 21 11 2
Precios que se anuncian y son conocidos por las dos empresas.
Periodo 2:a a ~ ^
Etapa 1: La naturaleza elige e j y E2 de y e2>
Etapa 2: Las empresas eligen Qi2, Q^, en función de Q , Q ^, P y
69
P (precios y producción del primer periodo que constituyen el conjunto de
información disponible para la empresa al inicio del segundo periodo). Los
precios del segundo periodo se obtienen a partir de:
P = a - b Q -c Q + 8 ,12 1 12 22 1*
P = a - b Q - cQ + e .22 2 22 12 2
(siendo anunciados a las empresas)
Las estrategias de los duopolistas vienen dadas por:
a = (Q , Q (Q ,Q ,P ,P )) (5)1 vv:l l ’ ^12vv¿l l ,v¿2 f 11 21 v 7
o = (Q , Q (Q ,Q ,p ,p )) (6)2 vn:21 22 11 21 11 21 v 7
Estructura de pagos: Por el supuesto [7], los beneficios esperados para el
segundo periodo son:
n (o ,a ) = Q E[P (Q ,Q )/(Q ,Q ,P ,P )] (7)12 1 2 12 L 12 12 22 11 21 11 21/ J V 7
n (a ,a ) = Q E[P (Q ,Q )/(Q ,Q ,P ,P )] (8)22 1 2 22 L 22 12 22 11 21 11 21/J v 7
por lo tanto, la suma de los Beneficios Esperados de los dos periodos, se
expresa por:
n (o ,o ) = Q E[P (Q ,Q )] + n (c ,o J (9)r 1 2 ^11 L llvx:ll ^ 21/J 12 1 27 v 7n (a ,a ) = Q E[P„ (Q ,Q )] + n ( a ,a ) (10)2 1 2 21 L 21vxlH x:217J 22 1 27 v 7
Nuestro interés se centra en la obtención del Equilibrio perfecto
subjuego de este juego en dos peridos. Comenzamos analizando el segundo
70
periodo que expresamos en función del conjunto de información que se obtiene
a partir del primer periodo.
Al acabar el primer periodo Q , Q2j, P , y P son conocidos, deA A
forma que al comienzo del segundo periodo las empresas eligen Q y Q22, tal
que:
6 ^ max BIP« (Q.**VQ„*Q2.*p , . 'p1.]Q.1 <n >Q 1 2
Q € Argmax E[P (Q ,Q )/Q ,Q ,P ,P ]Q (12)22 L 22 12 22 11 21 11* 21J ^ 2 2 v 7
2 2
Si tenemos en cuenta que = E[e2] =0, podemos expresar (11) y (12) como:
E[P (Q ,Q )/(Q ,Q ,P ,P )1 = a - E[b7(0 ,0 ,P ,P )1Q - cQ ,L i2 12 22 11 21 11* 217J L i VVl l ’V 2l’ 11* 217JVi2 Vj2*
i*j. i=l,2 (13)
Para obtener (13) es suficiente conocer E[b/(Q ,Q ,P ,P )].v / l 11’ 21
Sea a : RxlR [0,1]. Definamos G(P ,P ) como la probabilidad posterior
que cada una de las empresas asigna a b =B , cuando P y P se han
observados y Q y O son conocidas.J ^11 J 21
De igual forma a partir de la función P: IRxIR -> [0,1] definamos
P(Pi},P2i) como la probabilidad posterior que cada empresa asigna a b2=f>2»
cuando se observan P , P y Q , Q son conocidas.11 21 J 11* ^21
71
Dadas las funciones de demanda (1) y (2) es posible definir:
é = P - a + 6 0 + cQ (14a)1 11 1 11 21 v 7e = P - a + b Q + cQ (14b)-1 11 -1^11 21 v 7é = P - a + 6 Q + cQ (14c)2 21 2 21 ^11 V 7e = P - a + b Q + c Q (14d)-2 21 -2 21 ^11 v 7
Y aplicando la Regla de Bayes:
a(P ,P„ ) = Prob (b =6 / P =P y P„ =P, ,Q ,Q„ )= v 11 21 1 1 1 11 11 7 21 2 1 * ^ 1 1 * ^ 2 1 1
“ o M W + a o(1-P o)f(é i ’?2>a 0[P0f(é ,.é2) + ( 1-P0)f (é ,,e 2)] + ( l - o c ^ P ^ e ^ ) + (l-P o)f(?i,e2)]
(15)
y, P(P ,P ) = Prob {b =5 / P =P y P =P„ ,Q ,Q, )=J 11 21 1 2 2 11 11 ^ 21 21 11 21
+ (1-<xo)Pof (? A )
P0[«0f(é l>É2> + + ( 1-P0>t«0f(é X+2) + (1' V f(- l ’52)1(16)
Con estas últimas expresiones se obtiene que:
E[P (Q ,Q )/Q ,Q ,P ,P 1 = a - a6 Q - (l-a)b Q - cQ =L 12 12 22 11 21 11’ 21 1 12 V - 1 ^ 1 2 ^ 2 2
a - b Q - cQ . (17)1 12 22 v 7
E[ P 2(Q12,Q22)/Q„,Q2l,p lr P | ] = a - PB2Q22 - d-P)b2Q22 - cQ,2 =
a - b ^ - cQi2. (18)
donde: b = ocB + ( l - a ) b , (19)
b2 = P52 + (1-P)b2, (20)
72
y por (17) y (18) las expresiones (11) y (12) son:
Qi2 e Argmax Qi2[a - b ^ - cQ22], (21)Q 1 2
€ ArSmaX % 2[a ' K Q22 - CQ12]- (22)Q 2 2
a (2 b .( N ) - c)Sea Q :[0,l]x[0,l] -»IR , definida como Q [M,N] = ---------------------------------- y,
1 + i [4b.(M )b. (N ) - c2]
donde: b.(M) = B.M + b.(l-M)
b.(N) = 6.N + b.(l-N), i^j, i=l,2.
La resolución simultánea de (21) y (22) da lugar a:
a(2b - c)Q,,(“ .P) = ------7r~/r-----j - . (23)
12 [4btb2 - c2]
a a ( 2 b - c)Q„(a.p) = A ----- r - (24)
22 [4b,b2 - c2]A A
donde b} y b2 son como en (19) y (20).
Con (23) y (24) es posible expresar los beneficios de equilibrio del
segundo periodo, en función de las expectativas posteriores a y p. Sean pues,
A Aa b (2b - c)i
V (a,P) = Q.,(a>P)[a - b Q (a,p) - cÓ,(a,p)l = W r y (25)1 12 L 1 12 22 j [4b b - C2] 2l i 2 J
A Aa b (2b - c)"a « r AA « a « i 2' i " }
V (a,P) = a , ( a ,P ) a - b O (a,p) - cQ (cc.P) = --------— — — (26)2 22 l 2 22 12 J [4b b - C 2 ] 2
L 1 2 Jdichos beneficios.
73
El próximo Lema, muestra las principales propiedades de estas funciones
(tomamos como ejemplo la función correspondiente a la empresa 1):
Lema 1:
(i) V (a,p) es decreciente en a y creciente en p para productos
sustitutos (c>0) y decreciente en a y p para productos
complementarios (c<0).
(ii) V (a,p) es convexa en a. (para cualquier valor de c).
(iii) V (a,p) es cóncava en p si c>0 (sustitutos) y convexa en p si c>0
(complementos)aV (ct,p)
(iv) Con respecto al efecto cruzado, — álxa"P— este ten( r signo negativo
para productos sustitutos, y positivo para complementarios.
Demostración:
(i)
a v ^ a .P ) -a2(4b[b2 + c2)(2b2- c)2^ - b_)d a A A a i
(4btb2 - c2)3
3 V [ (<x,P) 4a bic(2b2 - c)(2bt- c)(62> t>2)ap A A 0 “X
(4b b - c2)3 \ 1 2 '
(ü)
a ’ v ^ a .P )oA _ a A A A o
16a b (5 -b )2(2b -c )2[2b b + c2] 2 1 - 1 2 / L 12 Jd a 2
A A 2 4(4b_b2 - c2)4
(iii)
32V , (a ,p ) -4a*c(6I-bJ K V V ^ V ^ i V V '
a a a pA A 2 4
(4b b - c2)4 \ , 2 '
< 0
' >0 si c>0 <0 si c<0
>0
(27)
(28)
(29)
>0 si c<0
(30)
74
(iv)
a 'v ^ a .P ) -8(62-b2) V b ic(2b]-c)[2bi(4bJ-3c) + c2]
3 p2 (4bib2 - c2)4 >0 si c<0
(31)
Pasemos a analizar la intuición de este lema:
(i) Cuanto mayor sea a , mayor es la probabilidad de que la pendiente de
la demanda en el mercado 1 sea alta. Ello supone, una demanda baja para el
primer duopolista y unos beneficios esperados menores para el segundo
periodo. Esto ocurre, indistintamente de la relación existente entre los
productos. Por el contrario, valores altos de P, reflejan una demanda baja en
el segundo mercado y una menor producción para la empresa 2 y como
consecuencia de esto mayores beneficios esperados para la empresa 1, cuando
los productos son sustitutos. Si por el contrario los bienes son
complementarios la menor producción de la segunda empresa disminuye los
beneficios de la primera.
(ii) La convexidad con respecto a a , indica que la información es
valiosa siempre, con independencia de la relación entre las empresas. En
concreto, este término refleja el deseo de cada empresa a procurarse
información para revisar sus propias creencias.
(iii) y (iv), representan los incentivos estratégicos para la
experimentación. En concreto (iii), refleja la interacción entre la
información de las dos empresas. Para el caso de bienes sustitutos su signo
negativo indica que revisiones a la baja en a , son menos valiosas cuanto
menor es p. En este sentido las empresas son sustituías en la información.
75
Cuando los productos son complementarios, el signo positivo refleja que las
empresas son complementarias en la información. Por último, (iv) indica que
para el caso de bienes sustitutos, la empresa 1 está mejor cuanto menos
informada está la 2. Por el contrario, para productos complementarios, un
rival bien informado es un mejor competidor. Es decir, refleja si a la
empresa 1 le interesa que 2 esté informada.
II. Análisis del primer periodo:
En el periodo 1, las creencias posteriores de las empresas a y p, son
variables aleatorias cuando las empresas deciden su nivel de producción. Como
en capítulos anteriores, podemos expresar los beneficios esperados del
segundo periodo en función de las producciones del primer periodo.
los beneficios esperados del primer periodo, para cada empresa, y sea:
La suma de los beneficios esperados de los dos periodos,donde a= a(P n ,P2i)
Sea:
(32)
(33)
E[V .(a,p)] = V.(ot(P ,P„),B(P ,P„ ))h(P ,P )dP dP„L » r / j j \ V u * 21 11 21 v 11* 2 r 11 21 (34)
con:
76
h(P ,P ) = a B f(P - (a-b Q -cQ ), P - (a-b Q -cQ )) +v 11 I V Or O 11 1 11 V 21 2 21 ^ l l "
a (1-B )f(P - (a-b Q -cQ ), P - (a-b Q -cQ )) +O r O 11 111 217 21 v -2 21 ^ l l "
(1-a )B f(P - (a-b Q -cQ ), P - (a-b Q -cQ )) +v 0/ r 0 11 -1^11 ^2r 21 ' 2 21 ^ l l "
( I - ' X / I - W . - (a-biQi]-cQ2i), P21 - (a-b2Q2i-cQ]i)) =
+ “ . W í W + + <1-a o)(1-Po)f(? .’?2)-(35)*
De esta forma, las empresas elegirán unos niveles de producción Q n y
Q 21. tal que:
Q*, s Argmax n n (Qn ,Q21) (36)Qn
Q* e Argmax r i2l(Qu ,Q2l) (37)Q 2 1
Por el contrario si las empresas maximizan los beneficios corrientes o a
corto plazo eligen Q™ y Q™ , tal que:
Q™ e Argmax n n (Qn , Q21) (38)Qn
Q j i G Argmax Q21) (39)Q 2 i
Cuando esto ocurre la producción para cada una de las empresas es:
donde:Ab = a b + ( l - a jb , 10 0 1 v 0-1b = 6 5 + (1-6 )b .
20 F0 2 V K0 - 2
Estamos interesados, en analizar si las empresas eligen cantidades♦
y Q2i, distintas de los miópicas, Q“ y Q™ , con el fin de recoger
información. Para ello se estudia, previamente, la relación existente entre
el proceso de revisión de creencias y las señales de mercado, y
concretamente, la propiedad monótona de los ratios de verosimilitud, de la
distribución conjunta de las perturbaciones de las demandas.
II .I Flujo de Información y Señales de mercado: la propiedad del ratio de
verosimilitud estrictamente monótono.
En los modelos anteriores, la relación entre las expectativas
posteriores y las señales de mercado era inmediata. En este modelo, para
resolver las condiciones de primer orden se necesita conocer, también, esta
relación. Para ello estudiaremos, en primer lugar, la relación existente
entre las señales de mercado, P y P y las creencias posteriores de las
empresas a y p.
Recordando la Regla de Bayes y la revisión de la probabilidad asignada
por cada empresa a los valores de b y b2 tenemos que:
donde £. = P. - (a - 6.Q. - cQ. ),
j*i, i=l,2.
Nótese que a = a(P ii,P2j) y que similarmente P = P(Pii,P2j), por lo que
se estudia, a continuación, el efecto de las variaciones en los precios sobre
ambas expectativas posteriores.
Considérese, en primer lugar, el efecto de un cambio en P , sobre a .
En este caso variará. La siguiente condición nos permite dar un signo a la
variación de a .
decrece en (donde f (e , e ), i=l,2 representa la derivada de f(e , e )
respecto a e.) se cumple la Propiedad del Ratio de Verosimilitud
Estrictamente Monótono en la variable 8^ para la función:
(1-P )f(8 ,8 ), nos da la probabilidad de que se realice el par de precios
Si para todo é2 y e2, y para un Pqg [0,1] se cumple que:
C.l
p0f(ei,é2) + (l-p0)f(ei,e2).
Sea e = P - (a-6 Q -cQ„), la función de probabilidad B f(e ,é ) +1 11 1 11 21 r 1 2
79
(P,j,P2i) cuando la empresa considera que su demanda es mala o lo que es lo
mismo que 6^
d OCLa condición C.l nos dará el signo de -^ p —, que indica si unos precios11
altos (o bajos) en el primer mercado aumentan la probabilidad posterior
asociada a una buena demanda b = b .i -i
Similarmente, si se quiere analizar el cambio en p ante cambios en P
se requiere que la propiedad del ratio de verosimilitud estrictamente
monótono, en la variable 8 , se cumpla para la función:
a 0f(é,.e2) + (l-<x0)f(eI,e2).
En particular, para todo 8j y 8} y a Q e [0,1], suponemos que:
a f (e , e j + ( l-o c jf (e , e j0 2V 1 r v O7 2 -1 2y £ 2a 0f( é , .e 2) + ( l - a o)f(e ( ,e 2)
decrece en e .2
La función a f(é ,8 ) + (l-a^ f(e , e ), nos da la probabilidad de
observar (Pn »P21) cuando la demanda de la empresa 2 es alta b2=&2» ° baja.
d BEsta condición nos dará el signo de -^ p - . indicando si precios altos (o21
bajos) aumentan la probabilidad de una buena demanda en el segundo mercado.
No obstante, a también depende de P , y p de P .Por lo tanto, paraO (y _
obtener -^ p será, ahora, la función PQf(e ,§ ) + (l-p^f(e ,8 ) la que 21
80
tendrá que satisfacer una condición similar a la propiedad del ratio de
verosimilitud estrictamente monótono para pero en este caso tomando
derivadas con respecto al segundo argumento. A saber:
P0f2( e , ,é ; ) + ( l - P 0)f2(e , .ea)
P0f(e ,é ) + (1-p )f(e ,e )C.3
es decreciente en e .8 3Y por último, para obtener » se ha de cumplir que:
11
a 0f( é , .e 2) + ( l - a 0)f(e1,e J )C.4
sea decreciente en e .2
Lema 2 :Si las densidades | f(p 11-(a-b1Q1f cQ21)«p21“
con b = (B ,b } y b= {b2,b2}, satisfacen C.l, C.2, C.3, y C.4 se cumple que:
(i) - § p - <0> <“> 4 p - <0’11 21
(iii) - § p - <0- ( i v ) 4 é - < 0 .21 11
Demostración: Véase Apéndice C.
Este lema nos indica que un cambio en el precio de cualquiera de los
mercados provoca cambios de sentido contrario en las creencias posteriores de
las empresas. A saber, un aumento (disminución) de P da lugar tanto a una
disminución (aumento) de a como de p, por lo tanto a un incremento en la
probabilidad de una buena demanda en los mercados: b i=bj y b2=b2>
81
El siguiente lema, explica como cambian a y p al cambiar los niveles de
producción del primer periodo:
Lema 3 :
(B b )-§{3— 6. - § f - + - V 1 c^11 11 L J 21
.............................................................................................................................(42)
- § Q -= 62 -5 P - + - ( '- “ (« o C -P o )^ ,.? ,)]] +21 21 L J
SQL í a i \C -gp- (43)11
6r § f ; + ^ r r i ) [p(i-«0)(i-p0)f(? ,§2) - (i-P)(i-«o)pofi(§i,é2)]] +
c - | | - (44)21
(B b )4 § ^ = V Ü ^ + - H T 1 [pt«0<l-P0>fa(é1 2>H l-a0Ki-P0)fa<el í l H]+ c - g | -
(45)
y de igual forma es posible expresar estas derivadas como:
% = + ^ } [<»-«> W / M P + “ . W . W h c
(46)
(B b )4 q - = P r f p - + - V - a V -a o > W * M + c - § ? -
21 21 L J 11
(47)
82
- K r = * ? r§ £ - + ^ ) [(l-P)«0P0f ( é .é 2) - Pao(l-P0)f1(é1,?2)]]+ c f - ^11 11 L J 21
(48)
(b b )- § £ " = V § £ “ + - V [(l-P)[«„P0f2(é,,é2) + (l-a0)P0f2(?i,é2)]]+ c - § f -
21 21 L J 11
(49)
donde D = a 0P0f(ii,§2)+a0(l-p0)f(é1,e2)+(l-a0)P0f(ei,é2)+(l-a0)(l-P0)f(ei,e2)
Demostración: Véase Apéndice C. B
La próxima sección caracteriza las condiciones de primer orden
derivadas del problema de maximización.
II.2. Condiciones de Primer orden:
La maximización de los beneficios corrientes (o míopicos) se obtiene a
partir de las siguientes expresiones:
3K (Q ,Q ” )11 11 J_L = o (50)
áQ jj
aK21(Q .i-Q 2,)V = 0 (51)
2 1
Mientras que las condiciones de primer orden, cuando se analizan los
dos periodos, son:
83
OQ.
a n
a n21
21
1111
Con el fin de caracterizar las condiciones de primer orden, se analiza
en primer lugar el comportamiento de E[V(a(P ,P ),P(P ,P ))] en Q .
Nótese que f es continua en QH por lo que a y p también lo son. Dado que
V.(ct,p) es continua en a y p, entonces V .(a,p) también es continua en Q .j y
como la esperanza matemática hereda las propiedades de continuidad,
E[V .(a,p)] es continua y diferenciable en Q^.
Para simplificar el análisis y la interpretación de los resultados, es
posible escribir p en función de a. Por (15) y (16):
función de Valor V (a,P) - que depende de a y p - como una función de Valor
que depende exclusivamente de a . Se define, para ello, W^fO,!] IR, como:
Con lo cual, el estudio de E[V (a(P ,P ),p(P ,P ))], queda reducido al
análisis de E[W (a(P ,P ))]. De aquí, se tiene que:
(54)
donde:
(56)
(55)
de esta forma, p = y(oc) y y '(a) Así pues, es posible expresar la
W (a) = V (a,y(a)) (57)
84
E[Wi(a(P ii,P2i))] =11
W '(a) a a h(P ,P„ )dP dP„ +r 7 5 0 v 11’ 2v 11 21^ i i
W (a) h(P ,P )dP dP„l v 7 5 Q v 11 2 Y 11 21^11(58)
donde h^P ^P ^), es como en la expresión (35).
En el Apéndice C, se muestra como (58) puede expresarse como:
11
w ; ( a ) 5 a b -5 a 5 a
J.5Q
11i 5P C 11 5P
2l.*
w ; ( a ) 5 a b - 5 a d a
J «dQM i -l 5 P 11 5P 21
a rp f(é ,é j + (1-B )f(e ,e )]dP dP + 0 L r0 v 1 27 v M r v 1 - 2 /J 11 21
( l - a )[S f(e ,é )+(l-S )f(e ,e )]dP dP„' O r 0 -1 1 r 0 -1 - i 11 21
(59)
(59) puede transformarse (ver Apéndice C) en:
-(6 -b )v i - i75 aw ;<«> - r h (l-a)[a0P /(é |Í 2)+ao(l-P0)f(é1.?2)]dp1,dP21 (60)
Este resultado, coincide con el que se obtiene en el caso de la
experimentación en el monopolio MSU (1991,a). Sin embargo, en este caso W ^ a)
no recoge la acción de un solo decisor. De hecho W ^a) = V ^ a ^ a ) ) , de modo
que:
w;'(a) =a V J (a ,P )
a a 2
a V ( a , p ) a V (a ,p )+ 2 -------¡------------ y '(«) + ------------ (y '(a))2
aaap ap
(61)
Por lo tanto, (60) es:
85
8 E[W(a)] =SQ11
a 2V (a ,P ) a2V (a ,P ) a 2v (a ,P )1 2 + 2 -------- —----------y '( « ) + ------------ (y Wa a 2 a a a p a p 2
4 p - ( l - a ) [ a p 0f(é,,é2) + a 0(l-Po)f(é1,e2)]dPi dP2i (62)11
Por el lema 1, el signo de (62) es claro, cuando los bienes que se
estudian son complementarios, c<0. Recuérdese que por el Lema 1, cuando los
bienes son complementarios, V^o^p) es estrictamente convexa en (a,p). Es
decir:
a 2 V
a a 2— > 0, o en otras palabras, la empresa 1, siempre tiene incentivos
para procurarse información asi misma.a 2 V
— > 0, que indica que el incremento en los beneficios futurosa a a p
debido a una revisión a la baja de a , es mayor cuanto menor es p.
a 2v— > 0, recoge el incentivo de la empresa 1 de procurarle
a p 2
información a la empresa 2. Es decir, 1 estará mejor cuanto más
informada esté 2.
De esta forma, cuando las empresas producen bienes complementarios, al efecto
experimentador propio, se le suman los efectos que incorporan los incentivos
estratégicos a la experimentación y (62) es positiva. De modo que, las
empresas siempre eligen niveles de producción superiores al miópico y que en
cualquier caso, supera al njvel de producción elegido por la empresa, con
fines experimentales, cuando esta es la única abastecedora del mercado. Esto
se debe a que las empresas obtienen más beneficios cuanto más informada está
la empresa rival. Por tanto, cada duopolista estará interesado en obtener
86
información no solo para si mismo sino también para sus competidores.
Sin embargo, el signo de (62) no es tan nítido cuando las empresas son
sustituías estratégicas en la información. Esto es debido a que los
incentivos estrátegicos a la experimentación son de signo contrario al deseo
propio de cada empresa por procurarse información. Es decir, cada empresa
estará, ahora, interesada en procurarse información para si misma, pero noa 2v a 2 v
para el rival. Por el Lema 1 ,----------- > 0, p ero ---------— <0, indicando que elda actap
incremento en los beneficios futuros de la empresa 1 debido a una revisión aa2V
la baja de a , es mayor cuando mayor sea p. Además----------< 0; esta concavidad30
de V (a,p) en p, indica que la empresa 1, no está interesada en procurarle
información a 2. Por tanto, como las expectativas posteriores están
positivamente correlacionadas, cualquier intento de hacer una de ellas más
precisa resulta en mayor precisión de la otra. Por tanto, los duopolistas
experimentarán menos que si operaran en solitario en el mercado.
Así pues, bajo sustitución de producto, el signo de (62) depende del
grado de correlación entre las creencias posteriores y del grado de
sustitución entre productos. Cuanto mayor sea dicha correlación y mayor el
grado de sustitución, menor será la experimentación llevada a cabo por las
empresas. Por el contrario, si esta correlación es baja y el grado de
sustitución también lo es, la experimentación será mayor. Nótese, que para un
nivel de correlación dado, la experimentación decrece con el grado de
sustitución. En particular, si este fuera la unidad (es decir, a=P), el
duopolio de producto homogéneo de Coumot, estudiado en el Capítulo 1, daría
el menor nivel de experimentación que se llevaría a cabo en el duopolio.
87
Dado que la estructura de la demanda es lineal, la competencia de
Coumot con productos sustitutos (complementarios) es el perfecto dual de
Bertrand con productos complementarios (sustitutos), (ver Vives (1984)). Por
tanto, y a partir de los resultados obtenidos, las empresas bajo competencia
de Coumot con productos sustitutos, son sustituías en la información y
además cada empresa está peor cuanto más informada está la empresa rival.
Bajo competencia de Bertrand con productos sustitutos, las empresas son
complementarias en la información y cada empresa está mejor cuanto más
informada está la empresa rival. En cualquier caso, con empresas que producen
bienes sustitutos, la competencia de Coumot da lugar a menores niveles de
experimentación que la competencia de Bertrand. Toda esta discusión queda
recogida en la siguiente Proposición.
Proposición 1: Bajo competencia de Coumot (Bertrand), si los productos
son sustitutos, las empresas son sustituías (complementarias) en la
información y cada una de ellas está mejor cuanto menos (más) informada está
la empresa rival, por lo que se espera que las empresas experimenten menos
(más) que bajo una situación de monopolio. Por lo tanto, un competidor de
Coumot experimentará siempre menos que un competidor de Bertrand. Además el
nivel más bajo de experimentación, que llevarán a cabo las empresas, tendrá
lugar bajo competencia de Coumot con productos homogéneos.
Si los productos son complementarios, los resultados son los
contrarios, por lo que un duopolista de Coumot experimentará más que uno de
Bertrand.
88
SEGUNDA PARTE:
APRENDIZAJE Y DISPERSION DE PRECIOS.
En esta segunda parte, se extiende el análisis al caso de un duopolio
con producto sustituto, donde las empresas compiten en precios (Bertrand).
Las empresas se enfrentan a una curva de demanda lineal donde, a diferencia
de la primera parte, existen dos parámetros desconocidos. En particular,
tanto la pendiente como el grado de sustitución del producto se desconocen.
Se demuestra, que bajo estas condiciones, existe un equilibrio asimétrico en
estrategias puras. A partir de resultados anteriores, sabemos que cuando las
empresas compiten en precios, son complementarias estratégicas en la
información y esto les lleva a coordinar sus acciones para hacer la señal de
mercado más informativa. Si la empresas fijan precios distintos, logran
observar dos puntos de sus curvas de demanda, en vez de uno (Efecto
Muestreo). Observando, de esta forma, un vector de señales de mercado (vector
de ventas) más informativo, que a su vez da lugar a mayores beneficios para
el segundo periodo.
CAPITULO 4.
Aprendizaje y dispersión de precios.
C A PIT U LO 4.
A prend izaje y Dispersión de precios.
En la primera parte de esta Tesis Doctoral, se ha analizado la relación
existente entre experimentación y competencia en el mercado, tanto para
productos homogéneos como para producto diferenciado. La cuestión relevante
que se ha planteado, a lo largo de los tres primeros capítulos, ha sido cómo
el comportamiento experimentador de las empresas se ve afectado por el tipo
de comportamiento en el mercado.
En esta segunda parte, nuestra atención se centra en cómo el
comportamiento experimentador de las empresas, puede dar lugar a resultados
de equilibrio que no son a primera vista "naturales". En particular, cómo el
deseo de procurarse información, da lugar a que empresas simétricas no elijan
de la misma manera.
Para analizar este fenómeno, se estudia un modelo de Bertrand con
producto diferenciado y sustituto. En él, se considera que tanto la pendiente
de la curva de demanda como el grado de sustitución del producto, son
desconocidos. En particular, se supone que estos parámetros pueden tomar dos
valores. Las empresas asignan una probabilidad inicial a cada uno de ellos.
Además estas revisarán dichas probabilidades, a medida que observan las
ventas de los mercados. Se demuestra que el motivo del aprendizaje, da lugar
a que las empresas fijen precios distintos de equilibrio en el primer periodo
(en estrategias puras).
89
I. El modelo.
7.7. Supuestos básicos:
1. El duopolio se analiza en un horizonte temporal de dos periodos.
2. Las demandas de mercado vienen dadas por:
Q = a - b P + c P + e (1)1 I 2 .1 V7Q = a - bP + cP + e (2)2 2 1 2 v '
Donde y Q2 son las ventas de cada duopolista, Pj y P2 son los
precios fijados en cada mercado y donde e y e2 son las
perturbaciones aleatorias de la demanda, que se distribuyen
conjuntamente de acuerdo con la función de densidad f(e ,e ), cons f ( e ,e ) a f(e ,e ) 1
E te ^ E f e ^ O , y donde — ^ ------ y — ^ ------ existen y son
M ^ 2continuas. El soporte de (Ej»E2) es R •
3. b y c son la pendiente y el grado de sustitución del producto
respectivamente de las curvas de demanda, y son parámetros
desconocidos. Se cumple que b>0, c>0 y b>c.
4. En cada mercado (b,c) e {(5,c),(b,c)}. Cada empresa asigna una
probabilidad inicial común y que además es conocimiento público,
pQ = Prob {(b,c)=(5,c)}. De forma que la distribución de probabilidad
subjetiva asociada a los cuatro estados de la Naturaleza posibles:
{((B,c),(b,c)), ((S,c),(b,c)), ((b,c),(b,c)), ((b,c),(b,c))} (3)
90
es:
IPo’ Po(1-Po>* (1'po>Po' (1-P0)2) (4)
5. Al finalizar el primer periodo, y a la vista de las ventas en cada
uno de los mercados, las empresas revisan la probabilidad inicial
común pQ, obteniendo p, que será la que se utilice en el segundo
periodo.
6. Las empresas maximizan beneficios y eligen un nivel de precios que
maximiza la suma de beneficios esperados de los dos periodos.
7. Se continua suponiendo que los costes de producción son nulos o que
el precio fijado por las empresas es un precio neto de un coste
marginal constante e igual para las dos empresas.
8. No hay posibilidad de entrada de nuevas empresas, por lo que la
estructura de duopolio permanece en el tiempo.
1.2 Desarrollo del juego:
Como es habitual a lo largo de esta Tesis, se plantea el modelo como un
juego de información imperfecta de dos periodos. En cada periodo distinguimos
dos etapas:
Periodo 1:
Etapa 1: La Naturaleza elige valores (b,c) de entre los cuatro estados
posibles descritos en (3). Y también elige valores y 82 de las variables
aleatorias 8 y ?2 respectivamente.
91
Etapa 2 : Los duopolistas que no conocen la elección de la Naturaleza,
pero si conocen (4), eligen independiente y simultanéamente los precios del
primer periodo, P y P , que son conocidos para las dos empresas. Cuando
esto ocurre, las ventas Q y Q se determinan de acuerdo con :
(Estas ventas se anuncian y son conocidas para las dos empresas).
Periodo 2:~ ~ a A
Etapa 1: La Naturaleza elige nuevos valores de y E . y e .
Etapa 2 : se eligen los precios para el segundo periodo P , PJ2 en
función de los precios y de las cantidades del primer periodo (P , P , Q ,
Q2i). Las ventas para el segundo periodo vendrán dadas por:
Q = a - b P + cP + e ,^11 11 21 iQ = a - b P + cP + e .
21 21 11 2
Q = a - b P + cP + e ^10 10 0012 12 22 l ’
Q_ = a - bP^ + cP + e . 22 22 12 2
(siendo anunciadas a las empresas).
Las Estrategias de las empresas vienen dadas por:
(5)
a = (P ,P (Q ,Q ,P ,P ))2 v 21 22 11 21 11 21■21 ’ 11 21(6)
Estructura de pagos: Dado el supuesto [7], los Beneficios esperados en el
Segundo periodo son:
*.2«V°2> =
n22(a i'G2> = P22E[Q22(P,2-P22)/Qn-<321’P.1’P2I]
(7)
(8)
De aquí que la suma de los beneficios esperados de los dos periodos sea,
n (a , a ) = P E(Q (P ,P„)) + tt (o ,g J1-1 2 11 vx:llv 11 21 12 1 2n (a ,a ) = P E(Q (P ,P )) + n (a ,a )2 1 2 . 21 21 11 21/y 22 1 T
(9)
(10)
Estamos particularmente interesados en el Equilibrio Perfecto Subjuego
de este juego en dos periodos. Para ello se calcula el equilibrio por
inducción hacia atrás. Primero analizamos el equilibrio del segundo periodo
en función del conjunto de Información que proporciona el primero.
En el segundo periodo, después de observar (Qn » Q^* Pn » P21) losA A
jugadores eligen los precios P y tal que satisfagan,
P e Argmax E[Q (P ,P )/(Q ,Q, ,P ,P, )]P „ 12 & 12 12 22 11 21 11 21 12P 1 2
P e Argmax E[Q (P ,P )/(Q ,Q ,P ,P )]P 22 & 22 12 22 11 21 11 21/ J 22
di )
( 12)
2 2
Para resolver este problema, primero tendremos que encontrar
E[ Pi2’P22^ii,( 2i’Pir( 2i ’ i=1,2- Teniendo en cuenta 9ue Ete^Ele^O
E(Q (P ,P )/Q ,Q ,P ,P ) = a - E[(b,c)/Q ,Q ,P ,P ]VN1i2v 12’ 22 11 21 11' 2Y LV ’ /,>¿l l '^ 2 l ’ 11* 21J
rp i2
-Pj2
(13)
93
Para conocer (13), es suficiente encontrar el valor de
E[(b,c)/(Qn ,Q2i,Pii>P2i)].
Sea p: IRxIR ->[0,1]. Interprétese P.ÍQj^Qjj) como la probabilidad
posterior que la empresa i asigna a (b,c)=(B,c) (i=l,2), cuando las ventas
del primer periodo, Q y Q2i, son observadas (conociendo los precios, P y
P ). A partir de (1) y (2) defínase:
é = Q - a + BP - cP ,1 ^11 11 21
8 = 0 - a + bP - cP ,-1 ^11 - 11 - 21§ = - a + BP„ - cP ,2 21 21 11
e = Q - a + bP - c P .- 2 21 - 21 - 11
Aplicando la regla de Bayes:
P . « w = H 0^ = (6’£)/° n =Q.*’ ^21=Q2i’P l l ’P2i} =
P0[P0f ( é l ’é 2) + (1 ' P0) f ( é l ’?2)]
po[pof(Éi ’g2) + ( 1-p0)f(é i ’?2)] + (1'Po)[pof(? i,é2) + d-PoífCe^e^(15)
y de igual forma:
p (Q ,Q ) = Probí(b,c) = (6,c)/Q =Q , Q =Q ,P ,P \K2v n ,v;2r l 11 11 21 21 11 21J
p o [ p of ( § r é 2) + ( 1 ' p 0) f ( ? r é 2) J
P0[p0f ( i , .é 2) + ( l - p 0)f(§ i ,é2)] + ( l -p 0)[p0f ( i I.?2) + ( l -p 0)f(e ,.e2)
(16)
(14a)
(14b)
(14c)
(14d)
94
Por consistencia se supone que f(£ ,8 ) = f(6 ,é ). En otras palabras,
se esta suponiendo que f(6 ,E ) = f(e ,8 ), para todos los valores de e , e ,
lo que asegura que para un valor dado, eelR, la distribución marginal de Ei
condicionada a 82=e, es la misma que la distribución marginal de 8 '
condicionada a e =8. De esta forma P1(Q11’Q21)=p2 n ’Q2i^ aclu* se deduce
que la expresión (13) puede ser escrita como:
E[Q (P „,P )/Q ,Q ,P ,P ] = a - p(6,c)i2 12 22 11 21 11 21 1
A Aa - bP + cP .i2 j2 J
p Pi2 - (l-p)(b,c) i2
; p* . ; p* .(17)
donde: b = Bp + b(l-p),Ac = cp + c(l-p).
Por tanto, las ecuaciones (11) y (12) pasan a ser:
(18)
(19)
P,2= Argmax P |2(a - bP 2 + cP22), ? 1 2
P22= Argmax PJ2(a - bP22 + c P 2). P 2 2
(20)
(21)
Sea P:[0,1] -> IR , definida por P(M) = — ^ ^ ------ .+ [2b(M) - c(M)]
La resolución simultánea de (20) y (21) da lugar a la siguiente
solución única y simétrica:
A partir de (22) obtenemos la Función de Valor, V(p), que representa
los beneficios esperados de equilibrio, en función de las creencias
posteriores de ambas empresas. Es decir,
2 A
V(p) = P(p)[a - bP(p) + £p(p)] = a A . • (23)(2b - c)2
Nótese que b es la pendiente de la demanda, y como tal, cada empresa
preferirá b=b. Sin embargo, cada empresa prefiere un valor alto del grado de
sustitución del producto, c=c. Como se está considerando que
(b,c)={(B,c),(b,c)}, entonces las empresas estarán mejor con (b,c) o con
(5,c), en función de que (B-b)« = (c-c). Dado que la influencia de b en lal <
curva de demanda de cada empresa, es mayor que la de c, el análisis resulta
más transparente si se supone que A=(B-b)=(c-c) y que c>b/2.
Lema 1: V(p) es decreciente y estrictamente convexa en p.
1. V(p) es decreciente en p.
Esta propiedad de la función de Valor, nos indica que cuanto mayor sea
p (más alta la probabilidad de que (b,c)=(B,c)) menores serán los beneficios
esperados para cada empresa.
Demostración:A 2
aV -ca Aap (2b-c):
2.Convexidad estricta de V(p).
Demostración:
<0 (24)
3 ^ M = 2 a V (2 c -b ) >Q (25)A A
a p 2 (2b - c)
96
Esta segunda propiedad de V(p) significa que la información sobre (b,c)
es valiosa para cada empresa. Para demostrarlo, defínase para cada valor
(b,c) = {(6,c),(b,c)}, las soluciones óptimas para la empresa 1 (es decir, la
solución que se daría si 1 conociera el verdadero valor de b y c):
P (1) = Argmax (a - 6P + ¿P )P (26)P 1 2
P12(0) = Argmax (a - bP[2 + c P ^ P ^ . (27)P 1 2
De forma similar defínase para la empresa 2:
P22(i) = Argmax (a - 5P22 + ¿ P 2)P22, (28)P 2 2
P22(0) = Argmax (a - bPj2 + cP 2)P22. (29)P 2 2
Las soluciones que se obtienen son:
P.2(l) = P „ (l) = — = P(l) (30)12 22 26-5
P,2(°) = P22(0) = ^ = P(0) (31)
Por tanto, los beneficios esperados de equilibrio para cada valor de
(b,c) ={(6,c),(b,c)| son:
V(l) = P(l)[a - (6-c)P(l)], (32)
V(0) = P(0)[a - (b-c)P(O)]. (33)
97
Sin embargo, como las empresas no conocen la realización de (b,c), estas
fijarán sus precios de acuerdo con (20) y (21). Supóngase ahora, que a
posteriori, las empresas conocen el verdadero valor de (b,c).
Sea VQ(p) los beneficios posteriores para cada empresa calculados con
los precios de equilibrio óptimos exante. Por (22):
Vo(l) = P(p)[a - (B-c)P(p)], (34)
VQ(0) = P(p)[a - (b-c)P(p)]. (35)
Definición 1. La información sobre (b,c) es valiosa a posteriori, si
para cualquier valor (b,c)={(B,c),(b,c)}, cada empresa hubiera preferido
estar informada sobre (b,c) cuando eligió los precios óptimos del segundo
periodo, esto es:
V(l) > V0(l) (36)
V(0) > VQ(0) (37)
Sustituyendo las expresiones por su valor, (36) y (37) pasan a ser:
P(l)[a - (B-c)P(l)] > P(p)[a - (B-c)P(p)] (38)
P(0)[a - (b-c)P(O)] > P(p)[a - (b-c)P(p)] (39)
Por la convexidad de V(p) las desigualdades anteriores se verifican.
La definición 1, no solo garantiza que la información es valiosa a
98
posteriori sino que también, lo es ex-ante. Para comprobarlo, es suficiente
comparar los beneficios esperados del segundo periodo, cuando las empresas
conocen el verdadero valor de (b,c) entre el periodo 1 y 2, y cuando no lo
conocen. En el caso en que la empresa está informada, los beneficios
esperados para el segundo periodo son:
V(l)p + V(0)(l-p), (40)
Y cuando está desinformada los beneficios esperados del segundo
periodo son:
V[E(b,c)] = V(p) (41)
De esta forma, la información es Valiosa Ex-ante si:
E[V(b,c)] > V[E(b,c)] = V(p) (42)
Si la información es valiosa Ex-post, o lo que es lo mismo si se
verifica (36) y (37) se tiene que tomando expectativas y sumando, se
satisface
E[V(b,c)] > E[Vo(b,c)] = V[E(b,c)] = V(p) (43)
(dada la linealidad de VQ en (b,c)).
99
II. Análisis del prim er periodo.
En el periodo 1, la creencia posterior de cada una de las empresas, p,
es una variable aleatoria cuando éstas fijan los precios. De esta forma, es
posible expresar los beneficios esperados del segundo periodo como una
función de los precios del primero.
Defínanse los beneficios del primer periodo para la empresa i, como:
La suma de los beneficios esperados para los dos periodos, viene
entonces dada por la expresión:
(44)
n X P . P J = 7C(P,,,P ) + E[V(p)], i=l,2 (45)
donde p= p(Qn ,Q21), y donde:
E[V(p)] = V(p(Qn ,Q2i))h(Qn ,Q2|) dQu dQ2l, (46)
con
h(Q ,Q ) = p2 f(Q - (a - 6P + ¿P ),Q - (a - 6P + cP )) +vvcn ^ 2r VN1ii v 11 21 21 v 21 i r '
p (1-p ) f(Q - (a - 5P + cP ),Q - (a - bP + cP )) + 0 r CT vx:ll V 11 21 21 v - 21 - i r 7
(1-p )p f(Q - (a - bP + cP ),Q - (a - BP + cP )) +v v ^ l l v - 11 - 21 21 v 21 117 /
(1-p )2 f(Q - (a - bP + cP ),Q - (a - bP + cP )) =v K0 / v'C jj V - 11 - 2 r ^ 2 1 - 21 117 /
De esta forma el problema de las empresas consiste en elegir un par
p * r p * i’ tal que:
P* s Argmax n (P ,P* ) (48)P 1 1
P*i e n 2<Pti*P2i ^P 2 1
Si las empresas, por el contrario, actúan de forma miópica, resolverán:
e Argmax n / P , ^ , ) . (50)P 1 1
s Argmax n ^ (51)P 2 1
La solución a este último problema viene dada por:
p ? r K r (52)11 21 1 2b -c
Adonde b = p B + (1-p )b o r 0 r 0 -
c0= p0£ + (1-P0)c •
Nuestro interés se centra en saber si las empresas fijan precios
distintos a los miópicos, cuando tratan de recoger información. Para ello
se comparan los precios derivados de cada uno de los problemas de* * rjn wnmaximización presentados, es decir, P P y r r .
F ’ 11 21 J 11 21
101
II .I Flujo de Información y Señales de mercado: La propiedad del ratio de
verosimilitud estrictamente monótono.
Antes de resolver las condiciones de primer orden que caracterizan las
soluciones, se va a considerar la relación entre las señales de mercado y
Q2i y las creencias posteriores de las empresas p.
Recordando la Regla de Bayes a partir de la cual se realiza la revisión:
P o t P o ^ i ’V + ( 1 ■ P 0) f ( é r ? 2) ]
P o ^ o ^ r V . + ( 1 - P 0) f ( § r ? 2 ) ] + ( i - P 0>[ p o f ( ? r é 2> + ^ - P o ^ r ^
donde:
é. = Qn- (a - 6Pn + cP.p (53)
e. = Q.f (a - bPn + cP.p j*i, ¡=1,2 (54)
Supóngase, ahora, que para todo §2 y £2 y para algún pQe [0,1] se
cumple que:
p f (e , é j + (1 -p ) f ( e , e jKo i v i 2 v l v l* -2 7
P0f(e i’®2) + (1'P 0)f(e i ’?2)C.1
decrece en e .
(donde i=l,2, representa la derivada de f(e ,e ) respecto a £.).
La condición C.1, representa la Propiedad de monotonicidad estricta del
ratio de verosimilitud en la variable para la función:
P0f<ei’é2> + <'-Po>f(e.'?2>-
102
Sea 8^= - (a-BP^+cP^), la función de probabilidad +
(l-p^f(e ,e ) nos da la probabilidad de que se realice el par de ventas
(Q ,Q ) cuando la empresa 1 considera que la demanda es "mala" o lo que es
lo mismo (b,c)=(B,c).
a p iEsta condición C.1 dará un signo a — . Indicando si unas ventas
^11
altas (o bajas) de la empresa 1 son "buenas noticias", en el sentido de que
aumentan la probabilidad posterior de 1, de una buena demanda, es decir
(b,c)=(b,c). Con nuestros supuestos de simetría, se cumple que p =p =p, y pora p 1 2
lo tanto C.1 también, muestra el signo de — .íi
Similarmente, la propiedad del ratio de verosimilitud estrictamente
monótono, en la variable 82, se cumple para la función pof(§i,82) +
(1-p )f(e ,e ). En particular, para todo é y E , y p 6 [0,1], se supone que:
P0f2(é ,,e2) + (i-p0)f2(e , .e i )
P 0f ( é , , e 2) + ( l - p ^ e ^ )
decrece en e .2
La función P0f(£j»62) + (l-p^f(e ,e ) nos da la probabilidad de
observar (Q ,Q ) cuando la demanda de la empresa 2 es alta, (b,c)=(B,c) (o 11 sp
baja). Esta condición nos da el signo de —, es decir indica si ventas21
altas (o bajas) en el mercado 2 aumentan la probabilidad de una buena demanda
para la empresa 2. A partir de C.2, también, podemos obtener el signo deap ,
103
La condición de consistencia f(6 ,e ) = f(e ,é ), hace que p t=p2=p,
incorporando una correlación negativa entre las variables z y Sin esta
a p , 5 P 2 d P l a P2condición de consistencia p y entonces — y — .
1 21 ápEn este caso, para obtener el signo de - , la función
21
po^ei’V + (1-P0)f(epe2) ten(frá que satisfacer una condición similar a la
propiedad del ratio de verosimilitud estrictamente monótono para pero en
este caso tomando derivadas con respecto al segundo argumento, es decir:
Pof2(eA > + C»-P0)f2(e , ,§ 2)
P0f (e r é 2) + ( l-p 0)f(e i>?2)
tendría que ser decreciente en
a p 2De igual forma, para obtener el signo de —,^ i i
P 0f ,(é ,,e2) + (1-P0) f , ( e , .e 2)
Pof(é ,,e2) + ( l-p 0)f(? i ,e 2)
debería decrecer en e .2
C.3
C.4
C.3 (C.4) nos muestra si los valores altos de Q (Q ) son "buenas o21 11
malas noticias" para la empresa 1 (para la empresa 2). Sin embargo, C.3 y C.4
incorporan una correlación negativa entre las variables y e . Para verA
esto, supongamos que C.1 y C.2 se cumplen. Supongamos también, que , deA
forma que f(e ,e )=f(e ,e + 7(8^). De esta forma, la nueva distribución
marginal de 8 , para valores fijos de 8^ tiene la misma pendiente que la
anterior, pero desplazada. Entonces C.3 requiere que 7(8 ) sea negativa y
decreciente, así que la distribución marginal 82» para valores fijos de 8^
104
decrece cuando e, crece. Esto implica que cuando e, crece, los valores
verosímiles de e2 decrecen, por lo que e, y e2 están correlacionadas
negativamente. Este tipo de correlación negativa en los shocks de demanda son
comunes en mercados con bienes sustitutos, donde los shocks temporales
trasladan a los consumidores de un mercado a otro. En nuestro caso, donde
f(é ,e ) = f(e ,é ), C.3 y C.4 se cumplen, trivialmente cuando y(e )=-l.
El siguiente lema analiza la relación existente entre las señales de
mercado Q,, y Q2,, y las creencias posteriores de las empresas:
Lema 2. Si las densidades íf(Q - (a - bP + cP ),Q - (a - bP„ + cP ))1, [ VN:n v 11 2 r ’^ 2 i v 21 í v ' y
(b,c) = {(6,c),(b,c)}, con (5-b)=(c-c), satisfacen las condiciones C.1, y C.2
(i)a p ,sTJ
11 ~dQ11
apSQii
= 0 dependiendo de que P,, = p2i (55)
(ü)apaQ
21
ap, ap
21 21
= 0 dependiendo de que Píi = P„ (56) 21 v 7
Además dado que f(é ,e ) = f(e ,é ), entonces:
(iü)ap
11
(57)
Demostración: véase Apéndice D.
Este lema nos dice que si Pn >P21 (P ^ P 2 ) las dos empresas estarán
mejor (peor), cuando las ventas del primer mercado sean altas, en el sentido
105
de que disminuye (aumenta) la probabilidad posterior común p, de que
(b,c)=(B,c). Pero, por el contrario, las dos empresas están peor (mejor)
cuando las ventas en el segundo mercado son altas, en cuanto que aumenta
(disminuye) la probabilidad de que (b,c)=(B,c). Por último si Pn =P21» P> es
independiente de las ventas en cada uno de los mercados.
Con respecto a la relación que guarda p (probabilidad posterior de
(b,c)=(B,c)) con respecto a las variables de decisión del primer periodo P
y P tenemos el siguiente lema .Sea:
D=P0tP0f(éÁ ) + (1-P0)f(é,’?2)1 + (1‘Po)[POf(?l’É2) + f(§l’?2)]’entonces:
Lema 3:
-§ fr = 6 - § £ + ^ [p tP ^ í-P o tf/? ,^ ) + -il ^ i l L J
5 [p ü -Po / ? , ^ - (i-P)P0ci-Po)f/?i^2)] <58>
y alternativamente:
-§ fr = !? + - i r - Í(1-p)[Po + P o ^ -P o ^ M * )]] -il ^il L J
? ^ [ d - P Í P ^ , ^ - P P o t f - P Z /M a ) ] (59)
i*j, i=l,2.
Demostración: Véase Apéndice D. H
106
En la próxima sección se caracterizan las soluciones del primer
periodo. Los supuestos de que los precios han de ser positivos, es decirA
P >0, i=l,2, y de que el duopolista opera acotado por un precio P, para ela a y* -
cual las ventas son cero, es decir P = ^ , (b,c)={(6,c),(b,c)}, garantizan
las soluciones interiores.
11.2. Condiciones de primer orden:
Cuando el duopolista actúa de forma miópica, o lo que es lo mismo no
tiene en cuenta el flujo de información que le proporciona el primer periodo
y maximiza los beneficios corrientes, lo hace de acuerdo con las siguientes
expresiones:
an (P ,Pm )11 11 -21 = 0 (60)dP 11
an„ (Pm ,P„ )!— 11 = o (61)
2 1
Por el contrario, si cada una de las empresas maximiza la suma de* *
beneficios esperados de los dos periodos, obtiene como solución P y P
respectivamente, a partir de:
an (P ,P„ ) a ti (P ,P* )1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 a r » \ \ t a / ¿ a \
FP = FP + T P - Etv (P(Q„-Q21))] = 0 (62)1 1 1 1 1 1
a I 12i<P u ’P 21> 8 B2.<P *. -P 2.> , 3 m l l n / n n , n 8P = -------------- + -g^E [V (p (Q Q ) = 0 (63)21 aP 21
21
107
La diferencia entre las expresiones (60), (61) y (62),(63) radica en el
primer periodo necesitamos conocer el comportamiento de E[V(p(Qii,Q2i))] con
respecto a las variables de control del primer periodo (P y P ).
Nótese que f(.) es continua en P y entonces p es continua en P. .ii iiPuesto que V(p) es continua en p, entonces V(p) es continua en P , y dado
que el operador esperanza mantiene la propiedad de continuidad, E[V(p)] es
continua en p. Además por el argumento anterior E[V(p)] es diferenciable en
P. .
La siguiente Proposición muestra el primer resultado de este capítulo.
Dada su laboriosidad, ha sido relegada en su mayor parte al Apéndice D.
Proposición 1: La función E[V(p(Q ,Q ^ )] alcanza un mínimo en
P =P , es decir:ii ji*
Qtérmino E[V(p(Q ,Q ). Con el fin de caracterizar las soluciones del
il
il
E tV W Q .íD )f <0 if P <P
íi ji(64)
>0 if P >P j*i, i=l,2il jl
Demostración: Por (46)
E [Y (p (Q „ ,Q J)]
|p - E[V(P(QU,Q21))] = V’(p) - § £ - h(Qu ,Q21)dQlldQ;il il
(65)
108
donde h(Qn »Q21) viene dada por (47).
En el Apéndice mostramos como la expresión (65) puede escribirse de la
siguiente forma:
"inr e [v (p(Q ,,.Q 2i))] =il
V’(p) - f M ' - H r + * T Í r W 6.-6*» + (1-p0)f(é1’?2)]dQ iidQ 2, +L il ^ il ^ ilJ
V’(P) £ - 1? - ü r + 5 - § & - d - P o W W +
(66)
Usando el Lema 2 y el Lema 3 obtenemos que (66) es igual a (véase
Apéndice D).
- § jr E[V(p(Qn ,Q2l))] =
-V "(P) 4 £ - (l-P) (6-b) [p*f(é é ) + p (l-p )f(é e )dQ d oV il
V” (P) - § g - (1-P)(í-C)p^f(é éJdQ d o -
V ” (P) (5-c)po(l-po)pf(ei,é2)dQndQ2i
+
(67)
El primer término de la derecha de (67) mide el cambio de los
beneficios marginales de la empresa i, en el segundo periodo, derivados de
los cambios en las ventas de la empresa i (a través de la probabilidad
posterior p), cuando la demanda en el mercado i es la alta ((b,c)=(6,c)),
para alguna posible demanda del mercado j. Por la convexidad de V(p), y por
109
el lema 2, este término es positivo (negativo) si CP.J<P Este
término es similar al que aparece en Mirman, Samuelson y Urbano (1991,a) en
su análisis sobre la experimentación en el monopolio y también en análisis
del Duopolio de Coumot realizado en el primer capítulo.
El segundo y el tercer término de la derecha de (67) aparecen por el
hecho de estar tratando un duopolio diferenciado. Miden el cambio en los
beneficios marginales de la empresa i ,en el segundo periodo, debido a un
cambio en las ventas en el mercado j (Q^). Obsérvese que el primero de ellos
refuerza el efecto del cambio en las ventas en el mercado i, mientras que el
segundo recoge la correlación negativa de los términos de error.
Dado nuestro supuesto de que A=(B-b)=(c-c) y por el lema 2,
-| £ — = — ■ , (67) puede escribirse (véase Apéndice D) como:
-§jr E[V(p(Qu>Q2i))] =il
8 p [ p ü - p / f íe , ,^ ) + (l-p)p^f(éi,é2)]dQiidQ2i (68)
Si P.^P.j, tej, i=l,2, por el lema 2, >0, así que por la11 Jl ^ il
convexidad de V(p), (68) es negativo. De igual forma si P^P^» - g q - <0, y
Oentonces (68) es positivo. Por último, si Pj^P.j» -g jr E[(V(p)] = 0
jl - n
La próxima proposición caracteriza las soluciones (los precios de
equilibrio) del primer periodo. Se muestra que el equilibrio en estrategias
puras da lugar a la dispersión de precios.
110
Proposición 2: Si las densidades |f(Q -(a-bP +cP ),Q ^(a-bP +cP )),
(b,c)={(6,c),(b,c)}, satisfacen las condiciones C.l y C.2, entonces las* *soluciones del primer periodo se caracterizan por un par de precios P y P
tal que:
P* * P"1 11 11
P* * P"1 21 21
* * * *y donde ^ 11>^>2r 0 ^ 11 21' otras Palabras existe un equilibrio no
simétrico en estrategias puras.
Demostración: Para un precio dado P^ elegido por la empresa j en el
periodo 1, la empresa i eligirá su mejor respuesta a P , por (48) y (49):
P*t(P ) = Argmax [ « . . ( P , , ^ ) + E[V(p(Qn ,Q2i))]] (69)P
i 1
o por (62) y (63):a ?
p ! w = a + A° J‘ + -7 T — E[V(p(Q O ))], (70)11 Jl 2b 2b 3P 11 21
0 0 il
donde co= cp0 + c(l-po), y bo= 6po + b(l-pQ).
Cuando la empresa actúa de forma miópica su función de reacción o mejor
respuesta para cada P vendrá dada por:
P (P ) = Argmax [tt (P P )] (71)J p i 1
o por las expresiones (60) y (61):A
A a + c P.w 7^- (72).i ji 2b
111
Recordemos que P1 = —Aa A es el precio de equilibrio miópico (ver (52)).1 2b -co o
AObsérvese que como P.jÍP.j) es la función de reacción a corto plazo o
Amiópica P = P^, dependiendo de que P.^
<_ pM > >’
*Finalmente, por (72) y (70), P . jCPjj) puede expresarse como:
1* A aP ii(Pji> = pii<pji> + E[V(p(Q11,Q21))] (73)
2b aP0 il
Vamos a analizar las mejores respuestas de la empresa i para un precio
P de la empresa rival:
Supongamos en primer lugar que P ^ P ^ - Entonces, P.i(P.i)<P.i, Por (69)
esto significa que la función E[V(p(Qij,Q2i))] alcanza un mínimo en P.^P.^,
que está a la derecha del máximo de la función n. (P »P ), que se obtieneA
en P. (P )<P . Entonces, como: iiv jri ji
P (P ) - P <0 (74)iiv jri ji '
la mejor respuesta a corto plazo no es lo mejor que la empresa i puede hacer.
De hecho, (74) significa por el lema 2, que - >0, así que por la
proposición 1, E[V(p(Qii,Q2i))]<0, y entonces por (69) (nótese que
7Tii(Pn ,P i) es estrictamente cóncava en P , i=l,2), o por (73),* A
P. ^ P j/P j,) , ya Que las ganancias a corto plazo son menores que las
ganancias derivadas de la información. (Véase gráfico 1).
112
En segundo lugar, si p <p^, entonces P .^P .^P .^, y la función
E[V(p(Qn ,Q2l))] alcanza un mínimo en P.i=P.i, que está situado a laA
izquierda de de P. (P. )>P. , que a su vez es el máximo de n (P , P ).il jl jl ii 11 21
Entonces, como:
W - pj . >0 (75)
por el lema 2 y la proposición 1, ^ <0, y E[V(p(Qii,Q2i))]>0, así que pora-il
(69) o (73), P. ^ P j/P .j). (Véase gráfico 2).* A
Por último, nos queda el caso en que P =PM, P (P ) = P =PM.M M ji r üv ji7 ji iEntonces, la función [ ^ ( P ^ P ^ ) + EtV fpíQ ^Q ^))]] alcanza un mínimo enA vj ^Pn (Pji) = P.j=P i por lo que según el argumento anterior P .j
dependiendo de:
> A
< p-
[V P. i’Pí i) + e [V(P(Q11.Q21))]>< + E[V(p(Q Q ))] (76)* A * A
P >P P <Pi Í 1 1 ll
(Véase gráfico 3).
Lo que se está indicando, es la existencia de un salto en la
correspondencia de reacción de la empresa i en P. = P ^ P 1 . Por lo tanto,
las correspondencias de reacción nunca se cortarán en la diagonal: la
correspondencia de la empresa i (empresa j) tiene una discontinuidad en P =
- i r — = P„= — = P? • Nótese que este tipo de mejores respuestas2b -c 1 l " 2b -c 'J
0 0 o
excluye la existencia de equilibrios simétricos en estrategias puras o lo que
es lo mismo, siempre existe dispersión de precios en el equilibrio (Véase
gráfico 4).
113
n 11
PP P ;«
P P P
G R A F I C O 1
P
n
TT11
P
G R A F I C O 2
1 14
p p M p 1 1 - 1 = r
TT ¡ 1
p¡i(pii)=Pj»= pr p,i
G R A F I C O 3
R i ( P j)
Pj
R j ( P i )
R i ( P j )
P i
G R A F I C O U
115
Resolviendo, a partir de las condiciones de primer orden, cualquier* *
equilibrio del primer periodo, será un par (Pn »P21)» Que:
P = 11
A *a + cP
21A
2b oA *
a + cP 11A
2b
1A--------
2b aP 0 11
1 „
E[V(p)]
+2b aP
0 21
E[V(p)]
(77)
(78)
P = P"1 +íi i
p = pm +21 1
Ai 7T'(4b2-c2) ap 0 0 21
A
a 2KE[V(p)]+
AC
A_2 72
A2b.
( 4 b ;< ) apv 0 O7 ll9 E[V(p)] + - ^ \
(4b2-c2) ap ' o o' 11E[V(p)], (79)
(4b2-c2) aP„' 0 0 2 1E[V(p)]. (80)
Por el lema 2 y la proposición l, y con -?■£- = - ,y ii ^ ji
tenemos que E[V(p)]= — | p - E[V(p)], así que (79) y (80) son,ji ii
* mP = P™í l l + a1 a — e [v (P)] # p® (2b +c„) 8P 1v 0 O7 i 1
* mp = p® + jl 1 A1 A — E[V(p)] = P® - A1 A — E[V(p)] * P®
(2b +c ) ap 1 (2b +c ) ap 1v 0 O7 j 1 v 0 O7 i 1
11.3 Extensiones:
Hasta aquí, se ha hecho el supuesto de que (B-b)=(c-c). Vamos a
demostrar, ahora, que este supuesto no resta generalidad al modelo.>
Supongamos que (B-b)*{c-c), es decir, (B-b)< = (c-c). Además, <
116
supongamos que las restricciones en los parámetros (b,c) son tales que V(p)
es todavía convexa. En otras palabras, la información todavía ea valiosa. A
partir de aquí pueden reformularse todos los resultados anteriores.
Por el lema 2,
d5L il
= 0 dependiendo de que P.^r > (c-c)
= ----- 1- P =kP .< (6-b) Jl Jl
(donde k ^ 1 , dependiendo de (B -by^c -c)).
En este caso, la proposición 1 y su demostración puede readaptarse para
mostrar que como , entonces cuando P. ^ k P . y por tanto^ i i ^ji 11 Jl
E[V(p)] > 0, entonces — E[V(p)]<>0. Y, por tanto E[V(p)] alcanza un^ il ^jl
mínimo para la empresa i (empresa j) en P.^kP.j (P.i=kP.i).
También, la demostración de la proposición 2, puede modificarse. Por
ejemplo, si (B-b)>(c-c), es decir, k<l,p M
si P > — >PM, entonces P (P ) < kP -» P <P (P ). ji k i i r j r ji íi i r j r
De forma similar si (B-b)c(c-c), (k>l),p M
• 1 A ♦ Asi P. < — ,— < r , entonces en ambos casos P (P )>kP -> P >P (P .).
ji k i ’ i r j i7 ji i i i r j i 7
p M
Cuando P = * 1 , o kP =PM, entonces en ambos casos, es decirji k ’ ji r ’(B -b^^c-c), la función + ^[V(p)]} alcanza un mínimo en
P (P ) = PM=kP , i=l,2. i r j i 7 i j i ’ ’
Por lo tanto, las correspondencias de reacción de las empresas tienen
117
A P Muna discontinuidad en P.^P**, P = , i=l,2, jiri, de forma, que no
existirá un equilibrio simétrico en estrategias puras.
Nótese que el equilibrio anterior en estrategias puras implica un
problema de coordinación. De hecho la elección del equilibrio podría verse
como la solución a un juego (en forma normal) simétrico de coordinación.
Además, como cualquier juego simétrico tiene un equilibrio de Nash simétrico,
nuestro juego de duopolio tiene, a parte del equilibrio asimétrico, una
solución simétrica en estrategias mixtas. Este resultado se anuncia a
continuación, sin demostración.
Lema 4 . El juego de duopolio tiene un único equilibrio Nash simétrico* *
en estrategias mixtas, con precios P y P distribuidos en un mismo
intervalo compacto. Intervalo que está centrado en el precio de equilibrio
miópico P'J1.
Como parece que en la mayoría de casos la solución natural a un juego
simétrico es un equibrio simétrico, la justificación a esta solución
asimétrica, bajo la que se obtienen los beneficios mayores para las empresas,
tiene que basarse en dos clases de argumentos. El primero hace referencia a
lo que se denomina "comunicación prejuego" o historias de "cheap talk". Por
ejemplo, las empresas estarían interesadas en hablar, antes de comenzar el
juego para coordinarse en el equilibrio que elegirán. Podrían incluso, enviar
señales con este fin. El segundo argumento está basado en "puntos focales"
y/o "reputación prejuego" acerca de cómo eligen los jugadores. Es decir, las
empresas pueden tener algún tipo de reputación prejuego sobre su agresividad
118
para fijar los precios, o una de ellas puede estar localizada en un área de
"lujo" fijando, de esta forma, precios más altos que la otra, etc.
Suponiendo pues, que las empresas pueden coordinarse en un equilibrio
asimétrico, pasamos a analizar las propiedades de esta solución con respecto
a la información.
III. Interpretación de la dispersión de precios en el equilibrio.
La proposición 2 nos índica que las empresas eligen en el primer* *
periodo del juego dinámico un par de precios P y P , distinto al par de
precios miópico y donde los precios son distintos entre sí, es decir las
empresas fijan precios distintos en el equibrio. La razón que explica este
comportamiento es la búsqueda de información sobre la elección que la
Naturaleza hace sobre (b,c). En concreto, sabemos que en el segundo periodo
las creencias posteriores sobre (b,c) están representadas por P(Qn »Q21)' Su1* *
embargo, en el primer periodo antes de que P y P se elijan, p es una
variable aleatoria que se genera a partir de las señales de los parámetros
( M . Q „ y Q21-
Defínase para cualquier par de precios P y P , del primer periodo:
5 ' = S1 (6,c)= a - 6P + cP + e (81)p p p p V ’ / J 2 1 v /12 12
como la señal generada por P y P , en el mercado 1, cuando (b,c)=(5,c),y
similarmente, sea:
5 2 = S2 (6,c)= a - 6P + cP + e„ (82)p p p p V ’ / 2 1 212 12
la señal generada por P y P , en el mercado 2, cuando (b,c)=(B,c). De igual
forma definamos para cada uno de los mercados, cuando (b,c)=(b,c):
5 1 = s ' (b,c)= a - bP + cP + e (83)—P P P P V , / - 1 - 2 112 12
52 = S2 (b,c)= a - bP + cP + e (84)—P P —P P V , / - 1 - 2 1 v 712 12
1 2Cuando (b,c) no está especificado tenemos: S (b,c), S (b,c).p i P2 p iP2
Sea 5 = S (B,c) = (5 1 ,52 ), S =S (b,c) = (S1 ,S2 )p p p p v ’ 7 v p p ’ p p 7 - p p p p v - ’ - ; v—p p ’- p p ’
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
y Spp (b,c) el vector de señales generado a partir de P y P .1 2
La señal de mercado S (b,c) = {(a- bP + cP +e ), (a- b P + cP +e )},P P _ 1 2 1 2 1 2
1 2
(b,c)={(B,c),(b,c)) se distribuye de acuerdo con la distribución conjunta de
las variables aleatorias (a- bP^+ cP +e ) y (a- b P ^ c P ^ e ), y da lugar a una
probabilidad posterior sobre (b,c), p(S /P P ) = Prob {(b,c)=(B,c)/Sp }.PiP2 1 i 2
Defínase:
p(S /P P ) = [p'fC^1 - a + BP - cP , i? - a- BP + cP ) +KV P P 1 r LK0 v P P 1 2’ P P 2 Y
1 2 1 2 1 2
( l - p jp f(5 ‘ - a + BP - cP , S2 - a- bP + cP )] - i - (85)v v P P . 1 2 - P P. - 2 - 1/J D v 712 12
donde:
120
Por consistencia, se cumple que:
f(5 ‘ /P ,P ,S2 /P ,P ) = f(S ' /P ,P ,S2 /P ,P ) (87)v p p / i* 2’—p p i* r —p p r 2’ p p r ’12 12 12 12
y nótese que p(Q ,Q /P ,P )=p(S /P ,P ) donde p viene dada por (15).11 21 11 21 P P_ 1 21 2
Consideremos, a continuación, dos pares de precios para el primer
periodo, el par P ^ P ^ Y , y el par P ^X , P2=Y, donde x&y. La señal de mercado
asociada a cada vector es, en el primer caso:
y en el segundo:
Sy(b,c)= {Sy(b,c),S 2(b,c)) (88)
Sx,y(b’c)=,Si ,y (b'c)’Sx ,y(b-c)1’ (89)con (b,c)={(B,c),(b,c)}.
Estas señales de mercado generan probabilidades posteriores sobre (b,c),
P(Sy/y) y p(Sx y /x,y), que se obtienen de acuerdo con la expresión (85).
Entonces, la condición que asegura que los agentes decisores prefieren
la señal de mercado S (b,c) a la señal S (b,c) es la siguiente:x,y y
Definición 2.
S (b,c) es más informativa que S (b,c), si:x,y ^ y
Es [G(p(S /x,y))] > Es [G(p(S /y))] (90)x.y ’ y
para una función estrictamente convexa G(p), o lo que es lo mismo, para
cualquier G(p) estrictamente convexa:
G(p(s/x,y))[pog(s^,x,y) + (l-p0)g(siy,x,y)]ds >
G(p(s/x,y))[pog(sy,y) + (l-po)g(sy,y)]ds (91)
donde g(s^(b,c),x,y) es la función de densidad conjunta de cada Sxy(b,c)1 2evaluada en s, esto es, 5 = (5 ,5 ) tiene como función de densidadx,y x,y x,y
conjunta:
g ( \ ,y (b 'C)’X’y) = [P0f^x,y'a+6x' £y’ \ , y-a+6y-¿x) +
(l-p )f(s* -a+6x-cy, s2 -a+by-cx)] (92)x,y -x,y
(Recuerdese que f(s* /x,y, s2 /x,y) = f(s* /x,y, s2 /x,y)). g(s (b,c),y)x,y -x,y -x,y x,y y
es similar a la función de densidad conjunta S^(b,c) evaluada en s)
En otras palabras, la señal Sxy(b,c) es mas informativa que la señal
S^(b,c) si los beneficios esperados condicionados a la observación Sxy(b,c)
son mayores que los que se obtienen al observar Sy(b,c).En este sentido,
podemos señalar que Sxy(b,c) es más valiosa que Sy(b,c).
De esta forma es posible probar que:
* *Proposición 3 . Sea P y P los precios de equilibrio del primer
periodo, con P * P y sea P^j= ^ l°s precios simétricos miópicos del
primer periodo. Entonces,la señal S p* y es más informativa que la señal S pM.
122
Demostración: es suficiente probar que:* *
Es . . [G(p(Sp- p* /P ,,,P 21))] > Es M[G(p(SpM /P“ ))] (93)P P
11 2111 21
para G(p) estrictamente convexa.
Para mostrar (93), es suficiente probar que la dispersión de precios, es
decir valores de x^y hacen la señal de mercado, S , más informativa. Lo quex,y
equivale a probar que S tiene un mínimo en x=y.x.y
Por la definición de Sxy y p, tenemos que la función Eg [G(p(Sxy/x,y))]
puede expresarse como:*.y
G(p(s/x,y))[pog(s ,x,y) + (l-pQ)g(sxy,x,y)]ds =
GCpís1 ,s2/x,y))h(s1 ^dsM s^
G(p(Q11,Q21/x,y))h(Qi i ,Q2i)dQiidQ2i (94)
donde h(s\s2) = h(Qn ,Q21) = p2 + P0( l - p Q) +
( 1-p0)p0 % ¿ 2) + ( l - p 0) 2f(e i,e2)
8i = s1 - a + Bx - cy = - a + Bx + cy
£2 = s2 - a + by - ex = - a + by + ex
e y é se definen de forma similar. -1 J 2
123
Por la expresión (68) podemos reemplazar la función G(p) por V(p). Por
la estricta convexidad de G(p), y por el lema 2, ^ | = 0 dependiendo de
que x = 0 , entonces, <
Sx G (P(Q l l ’Q21/X’y))h (Q l l ’Q 2,)dQ lldQ 21 =
G” (p)[ - J [P ( l 'P 0)2f(?i’?2) + (l-p)P0f(é| ,é2)]dQiidQ2 í = 0
dependiendo de que x>= y- <
(95)
Por (94) y (95), Ec [G(p(S /x,y))],tiene un mínimo en x=y, y poro x,yx,y
lo tanto aumenta con la dispersión de precios, o lo que es lo mimo cuando
x*y.
Por la Proposición 2, tenemos que P > P1 y PA <PM, o P <PM y P„ >PM, v n íi i J 2i r íi i J 2i r* *
de modo que P *P . De esta forma, Ec *[G(p(S * * /P ,P ))] crece con1 2 2 1 u * * P P_ 11 2 1p p„
11 2111 21
la dispersión de precios y por lo tanto (95) se cumple.
Por tanto, podemos concluir este capítulo, indicando que la razón que lleva a
las empresas a dispersar sus precios, se basa en el deseo de hacer el vector
de señales (que es común) más informativo. Con ello, las empresas consiguen
mayores beneficios en el segundo periodo.
124
CONCLUSIONES.
CO NCLUSIONES.
En esta Tesis se estudia un aspecto de la adquisición de información
conocido como experimentación. En concreto, se analiza cómo los agentes
económicos pueden cambiar sus decisiones óptimas a corto plazo (o miópicas),
cuando tienen en cuenta el contenido informativo que de ellas se desprende.
Es decir, los agentes económicos experimentarán para influir en el flujo de
información sobre el que basarán sus decisiones futuras.
Este fenómeno de la experimentación, se estudia en un marco de duopolio
en el que los oferentes se enfrentan a incertidumbre relativa a un (unos)
parámetro (parámetros) de la curva de demanda estocástica de mercado. El
enfoque seguido ha sido el de restringir el análisis a dos periodos y centrar
la atención en cómo las oportunidades de experimentar afectan a los niveles
de producción (de precios) del primer periodo.
En la primera parte de esta Tesis, Capítulos 1, 2 y 3, se estudia la
relación entre la experimentación y la competencia en el mercado. La
contribución más importante es la que resulta de analizar cómo el tipo de
competencia en el mercado afecta a los niveles de experimentación de las
empresas. En concreto, en el Capítulo 1, se estudia el caso de un duopolio de
Coumot, con producto homogéneo que se enfrenta a una curva de demanda lineal
con pendiente desconocida. Cuando esto ocurre, los duopolistas incrementan
los niveles de producción con respecto al miópico. Se demuestra, en primer
lugar, que cuando las empresas aumentan la producción, aumentan el contenido
125
informativo de la señal de mercado (precio). Esto redunda en creencias
posteriores sobre la pendiente de la demanda, más precisas, permitiendo a las
empresas elegir un nivel de producción más apropiado en el segundo periodo y
por tanto elevar los beneficios correspondientes a este periodo.
A continuación, también se analiza el papel que juega la competencia en
el mercado sobre la experimentación. Se demuestra que el nivel de
experimentación que se deriva de una situación de duopolio de Coumot, con
productos homogéneos, siempre será menor que la que se deriva de una
situación de monopolio. La justificación de este hecho es la siguiente:
cuando existe más de una empresa en el mercado, aparecen los incentivos
estratégicos de la experimentación. En competencia de Coumot las empresas
son sustituías en la información y además cada empresa está mejor cuanto
menos informada esta la rival. Como la señal (el precio) es públicamente
observable, esto dará lugar a niveles de experimentación menores que los
derivados del monopolio.
En el segundo capítulo, se repite el análisis llevado a cabo en el
primero, pero para el caso en que las empresas compiten en precios
(Competencia de Bertrand). Se estudia el caso de un duopolio simétrico, con
productos sustitutos, donde las empresas se enfrentan a curvas de demandas
lineales y estocásticas, con pendientes (iguales) desconocidas. Para
facilitar la comparación con el capítulo 1, se supone que el duopolio es
totalmente simétrico, existiendo en este caso una única señal de mercado, las
ventas medias. El principal resultado que se obtiene en este capítulo es que
las empresas fijarán precios mayores que a corto plazo con el fin de
procurarse información. Pero dado que las empresas compiten en precios, son
126
complementarias en la información y además cada empresa está mejor cuanto más
informada está la empresa rival, justificándose de esta forma el hecho de que
los duopolistas fíjen precios más altos que el monopolio.
Los Capítulos 1 y 2 se caracterizan por el hecho de que las variables
aleatorias (tanto la pendiente como el término de perturbación de la demanda)
tienen distribuciones Normales. En el tercer y cuarto capítulo se abandona el
supuesto de Normalidad, pero se amplia el campo al caso de las perturbaciones
aleatorias de la demanda que satisfacen ratios de verosimilitud monótonos.
Finalmente, en el Capítulo 3, se analiza con más profundidad, la
relación existente entre competencia en el mercado y experimentación.
Considerando, para ello, mercados con productos diferenciados. Se introduce
este tipo de modelo, con la finalidad de separar convenientemente el deseo
propio, por parte de las empresas, de procurarse información y el deseo de
procurar una mayor o menor información (en función del tipo de competencia)
para la empresa rival. El análisis central se realiza para el caso de un
duopolio de Coumot, siendo posible extender el análisis al caso de Bertrand,
dada la linealidad de la estructura de la demanda.
En el modelo que se analiza en el Capítulo 3, las empresas conocen la
producción propia y la de la rival, por lo que su interés reside en obtener
información sobre su propia demanda. Sin embargo, la interacción estratégica
de los mercados y la correlación entre las creencias posteriores, dará lugar
a que las empresas tengan en cuenta el efecto de su propia experimentación
sobre la información de la rival.
127
El resultado principal que se obtiene en este capítulo, es el siguiente.
Bajo competencia de Coumot con productos sustitutos, las empresas son
sustituías estratégicas en la información, además cada empresa está mejor
cuanto menos informada está la rival. Los duopolistas de Coumot estarán
interesados en procurarse información para si mismos, pero no para el rival.
Por tanto, los duopolistas experimentan menos que si estuvieran solos en el
mercado. En particular, el grado de experimentación, depende tanto del grado
de correlación entre las creencias posteriores como del grado de sustitución
del producto. De forma que cuanto mayor sea la correlación existente y mayor
el grado de sustitución menor será la experimentación. Además para un nivel
de correlación dado, la experimentación decrece con el grado de sustitución
del producto. Los menores niveles de experimentación se darán para el caso de
productos homogéneos, cuando las empresas compitan en cantidades, competencia
de Coumot.
Cuando este análisis se amplia al caso de Bertrand, se obtienen las
siguientes conclusiones. Con producto sustituto, las empresas son
complementarias en la información y además están mejor cuanto más informada
está la empresa rival. Esta relación estratégica, dará lugar a los mayores
niveles de experimentación. En este caso, se suma al efecto propio de
procurarse información, el deseo de procurar mayor información a la empresa
rival, en cuanto que los dos efectos redundan en mayores beneficios para el
segundo periodo.
En el cuarto y último capítulo, dentro de la segunda parte de esta tesis
Doctoral, se considera el caso en el que hay más dé un parámetro desconocido
128
en la curva de demanda. Este análisis se aplica al caso de un duopolio que
compite en precios, con productos sustitutos. Los parámetros desconocidos son
la pendiente y el grado de sustitución del producto. Las empresas observan
las ventas de los dos mercados, tratando de hacer el vector de señales de
mercado más informativas. Además, puesto que las empresas compiten en precios
y los productos son sustitutos, las empresas son complementarias en la
información, lo que dará lugar a una coordinación de sus acciones.
En este capítulo se demuestra que la búsqueda de señales de mercado más
informativas, llevará a las empresas a fijar precios distintos (en el
equilibrio en estrategias puras) en el primer periodo. Con la dispersión de
precios, las empresas pueden observar dos puntos en vez de uno de sus curvas
de demanda (Efecto Muestreo).
Los resultados que se obtienen en los tres primeros capítulos siempre
indican que empresas simétricas obtienen equilibrios simétricos en el primer
periodo. Sin embargo, en este último capítulo, el comportamiento
experimentador da lugar, no solo a soluciones distintas de las miópicas, sino
también a equilibrios asimétricos, en estrategias puras.
Esta asimetría, se puede justificar a través de dos posibles
argumentaciones. La primera de ellas hace referencia a la comunicación
prejuego o historias de "cheap talk". Las empresas pueden coordinar sus
acciones en el equilibrio, antes de ralizar su elección. Incluso, es posible
el* envió de señales para tal fin. La segunda argumentación se basa en los
"puntos focales" o "reputación prejuego" sobre la manera de elegir de los
129
jugadores. Siendo posible que las empresas tengan la misma reputación sobre
su agresividad al fijar los precios, o distinta, cuando por ejemplo una de
ellas está localizada en un área de "lujo" y pueda, por tanto, fijar precios
más altos.
130
APENDICE A.
APENDICE A.jApéndice al Capítulo 1)
Demostración del Lema 2:
Partiendo de la función de densidad de la variable aleatoria (a-P^ que viene
dada por la expresión (34) del capítulo 1, obtenemos:
a f (a -P ) hT— = f(a-P ) = -----—
aP
y también;
a f ía - P j )
r h + xQ^^a-Pj-mQ^fCa-P) ( 1)
aQ 11
-*Q, hx2Q
h + xQ2 (h + x Q 2)21 (a - P, - mQ2) +
hxh + xQ
2 (a - P - mQ^m f(a-Pj) (2)
Dada la expresión (1) el tercer sumando de (2) puede escribirse
como mf^a-Pj). De esta forma, a partir de (45) en el texto:
a r (Q ) i i VNCi r
aQ 11
v'(0) a — f(a-P )dP +aQ 1 1
V(0)-XQ
h + xQJf(a-P )dP +
V(0)hx2Q
[h + xQj ]-— (a-P -m Q )2f(a-P )dP +
2 , 2 ' i ' v i V(0) m f(a-P l)dPl (3)
/ \Integrando por partes el último término de (3) y tomando u = mV(0) y dv
f'(a-Pi)dPi nos queda1:
i A i +°°Nótese que al integrar por partes, se tiene que V(0)f(a-P ) oo= 0
131
m V(0)f(a-Pi)dPi = - m V'(0) - f p - f(a - P )dPi
(4)
Sustituyendo (4) en (3) y agrupando téminos nos queda:
5r (Q )i iv^ i r5Q n
V'(0)A A
50 50a ü - _ m “a F^ i i i
f(a-P )dP +
V(6)-xQ hx2Q
(a-P -m Q ):h + xQ2 (h + xQ ,2)2 ' 1
fCa-P^dP, (5)
A partir de la expresión (15) del capítulo 1, podemos calcular:
a 8 _ T(a - p,> 2^ . 9 , (6)5Q h + xQ 2 h + xQ 2^ i i ^ i ^ i
* -xQa6 _aP h + x Q 2 1 ^1
De esta forma, podemos expresar el término entre corchetes del primer sumando
de (5) como:
a g g x(a-Pj-mQ ) - 2xQ (8-m )- m = --------------------------- . (8)
5Q 5P h + xQ^ i i i ^ i
132
Introduciendo estos resultados en la expresión (5) nos queda
dT (Q )i i v x i r5Q i i
V'(0)a T Ía -P j-m Q j)
h + tQf(a-Pi)dPi +
V'(é) -§£ - (6 - m)f(a-P)dP + 1
A
V(0) - § r - f(a-P,)dP, + 1
a h x ¿ QV (9 )------------l— (a-P -mQ ) f(a-P )dP
(h + xQ ) 1 1 1 1(9)
Por (1), el primer sumando de (9) puede ser expresado como:
V'(6 )f(a-P l)dPl =A
50V (0)— — fía-P^dP^ (10)
Resultado que se obtiene al integrar por partes y tomando u =
dv=f(a-P )dP .A
Además, es posible obtener (0-m):
V'(é) y
a tQ ( a - P -mQ )0 - m =
h + xQ t(11)
De esta forma, la expresión (11), y de nuevo (1), nos permite reescribir el
último sumando de (9); esto esa h t Q
V(0) 1(h + xQ 2) 2
(a - Pf mQl)2f(a-Pi)dPl
como:
VíOX&mWa-P^dP (12)
133
A AEste término puede ser integrado por partes tomando u=V(0)(0-m) y
dv=f(a-Pi)dPi obteniendo:
V (é )(é - m) - § p ~ + V(0)-§L lf(a-P )dP 1 1J
(13)
Sustituyendo (10) y (13) en (9), simplificando y agrupando términos nos
queda:
dT (Q ) 1
aQ n h JV"(0) -§ j r f(a-P1)dPl + V'(0) -§ p - (0-m)f(a-Pi)dPi
1
(14)
Por (11) el segundo término de (14),
quedar como:
V'(0) - |p - (O-nOfía-P^dP! , puede 1
V'(9) - § £ - r(a-P,)dP | 1
(15)
z\ a 0y al ser integrado por partes con u = V'(m) — — y dv=r(a-Pj)dPi
iobtenemos:
V"(0)i 4 - ]
f(a-P)dP
Por tanto, la expresión (14) queda como:
1ar (Q )i r v i raQ ii
v "(0)
Aa0
Aa0
aP, f(a-p ,)dp,
1 SP 1 1 1
Que da lugar a (46) en el texto, al sustituir
Aa0
aPpor su valor.
(16)
(17)
134
APENDICE B.
A PE N D IC E B. (Apéndice al Cápitulo 2)
Demostración del lema 2:
A partir de (37), en el capítulo 2, (para el caso de la empresa 1) se
obtiene:
5 E [ V ( 0 ) ] _ a P 11
A A
- § £ - f(a-Q +cP )dQ + 3 0 a h ll 1 1 1
V(0) - |p - f ( a - Q +cP )dQ 11
(1)
dada la expresión (30), del texto, es posible obtener1 :
hxm , ) =
h + xP(a - Q + cP - mP )f(Q )2 i i v (2)
a f(Q ) - xPf(Q,) +
hx2P
3 P ] 2(h + xP2) 1 2(h + xP‘)í— - (a - Q + cP -mP )2 f(Q ) +2\2 v ^ i i r v r
1/2 (m - c) f’Q ^
Introduciendo estas dos expresiones en (1) nos quedará:
(3)
a E [V (0 )] _ d Y 11
A
V'(0) - § p - f(Q )dQ + 11
-P XV (0 )------------- f(Q,)dQ +
2(h + xP2) ' 1
V(0)-P hx'
2(h + xP2) 2(a - Q + cPf m P ^ ^ Q ^ d Q ^ - \ - V(0)(m-c)f(Ql)dQ|
(4)
!De ahora en adelante, con el fin de simplificar la notación escribiremos la
función f ia -Q ^ c P ^ f íQ ^ .
135
/ \
Integrando por partes el último término de (4), con u = V(0) y dv
f*(Qj)dQ nos queda:
V 1
A
v '(6) — f(Q,)dQ, (5)
De esta forma podemos agrupar términos en (4), obteniendo la siguiente
expresión:
3E [V (0)] _— d ¥ 11
V'(0)A A
30 , v 1 30~aV ii ^
f(Qj)dQ,+
V(0)-xP
2(h + xP pf(Q) dQ +
’ a P . h xV (0 )-------- — — (a-Q +cP -mP ) f(Q )dQ
2(h + x P p 2 1 1 1 1 1
(6)
Por la definición de 0 en (ver (17) en el texto)
A30
T Px(a - Q t+ 2cP p
ii 2 (h + x P p (h + xPp(7)
A30 -TP~dQi (h + TPp
(8)
A partir de estas dos expresiones tenemos que:
A50 , , 1 í S X(.-Q + C P - mP) xP (fi-m)- (m-c) - j - = ------- — ------- — -------- — (9)
11 ^ 1 2 (h + x P p (h + x P p
136
Por lo tanto la expresión (6) pasa a ser:
aE [V (0 )] _— d Y 11
* t(a -Q I+ cP 1 -mPf)V '(0 )-------- i----- -- f(Q )dQ -
2 (h + x P p 1 1V'(0)
xP (0 -m )f(Q,)dQ,+
(h + x P j) 1 1
-XPV (0 ) f(Q,)dQ +
2(h + xPpV(0)
P hx'
2 (h + xPp(a - Q + cP - mP )¿f(Q )dQ 2 i y vx-r
(10)
El primer sumando de (10) puede ser integrado por partes dado que por
(2) puede expresarse como V'(0)f(Q )dQ , de esta forma tomando u = V'(0) y
dv = f(Q j)dQ obteniendo:
1 1A
V"(0 ) -§75- f(Q.)dQ. ( 11)
Es posible calcular:
a xP(a-Q +cP -mP )0 - m = ----------------------- --------
(h + XPp( 12)
como
Introduciendo (2) y (12), el último término de (10) puede escribirse 1
V(0)(0- m )f(Q i)dQj y de esta forma integrarse por partes con u=
A AV(0)(0- m) y dv = f(Q)dQ obteniendo:
A
V'(0) -§75- <§- m)f(Q.)dQ -A
v (0) 4 q - f(Q,)dQ, (13)
137
Sustituyendo (11) y (13) en (10) y agrupando términos:
8 E[V(S>] _ 1— IV 1 1 2h
A \ V"(0) - | q - f(Q,)dQ,+ —
/ \
V'(0) (0-m)f(Qi)dQi
(14)
Por la expresión (12) podemos escribir el segundo término de (14) como:
2n
A* 50 -PV'(6) - ! £ . f ( Q l)dQ = Y ,(0) [ 4 ^ ] (15)
AA 5 0al ser integrada por partes con u=V'(0) q - y dv=f(Q )dQ .
1
Por tanto, (14) puede expresarse como:
5E[V (0)] _ 15~P ~7K11
V"(6) - § ° - [i + p i4 e - ] f(Qi)dQi (16)
y por último, operando con el término entre corchetes y teniendo en cuenta
que h = h + xP* (16) pasa a ser:
5E[V (0)] _ 1~dY11
A2h
* A r A
v "(é)[- 4 ^ - ) f(Q,)dQ,= 4 - V"(0)[ - - |® - J f ( Q l)dQl
que es la expresión (39) en el capitulo 2.
138
APENDICE C.
A PE N D IC E C. (Apéndice al Capítulo 3)
Demostración del lema 2:
Las condiciones C.l (i=l), y C.3 (i=2) nos indican que la expresión:
M i M P + <1'l30) f i (e .>?2)p0f(e.,é2> + (l-p ^ fíe ,e )
(1)
ha de ser decreciente en e . Con:i8 = P - (a-B Q -cO )1 11 v 1^11 ^ 217
e = P - (a-b Q -cQ ).-1 11 v - 1^11 -2VPor tanto, puesto que B >b , 6 ^ 6 , se ha de cumplir que:
p0f i(é .,é 2) + d -P o K .a ,.? ,) . P ,f ,(g,-*a> + ( 1-P0)f i(g,-g2) (2)
Pof ( é l *é 2> + ( 1 - P 0) f ( é l ’?2) P0f ( ? l ’®2) + ( 1 ' P 0) f ( ? r ? 2 )
o lo que es lo mismo:
P0( 1 -P o) [ f i(Éi ’é 2) f (? i ’?2) - f ( é i ’é2>f i (? .’?2)] +
P0(l-P0)[fi(é1,e2)f(e],é2) - f(éi,e2)f.(e1,é2)] +
(l-Po)2[fi(éi,?2)f(e,e2) - f(é1,e2)f.(e1>e2)] < 0 (3)
De forma similar (con B2>b2 y ¿2>E2)» a partir de C.2 (i=2) y C.4 (i=l) se
tiene que:
+ “ o M M P + ( 1- ° ‘o) f i ( ? 1’ ? 2) (4)
139
La expresión (4) da lugar a :
«o[f¡(éx>é2)f(éi,e2) - fCé^épf.íé^)] +
a 0(l-a 0)[fi(éI,é2)f(e1,e2) - f í é ^ f . f e ,^ ) ] +
a 0(l-a 0)[f.(ei,62)f(é|,e2) - f(?1,§2)f1(é1,e2)] +
( l-a 0)2[f.(e1,é2)f(e1,e2) - (§,.§.,)] < O (5)
Por la definición de aCP^P^), (ver (15) en el texto) se tiene que:
da~dY.
il Po[fi(¿ l,é2)f(? l’é2) ' f^ i ’é2)fi( - l ’é2)] +
■ « W . W +
P0( 1 -P0>[fi(éi'§2)f(?,’é2) ' f(é,,?2)f i(?1.é2)] +
(1-P0)2[f.(é|,e2)f(ei,e2) - . (e^ep]
donde:
(6)
D=aoP0f(éi,é2)+a0(l-p0)f(é1,e2)+(l-a0)p0f(ei>é2)+(l-P0)(l-a0)f(ei,e2), (7)
ó OCel término entre llaves de (6) es (3), de modo que — p — <0 (por C.l) y11
- § 2 - <0 (por C.3).il
Por la definición de P(Pn >P21) (ver (16) en el texto):
P o ^ P o )aV.
21 D"a 0[fi(é1,é2)f(é1.?2) - f(é1,é2)f.(é1,§2)] +
a 0( 1' CX0)[fi(é l’é2)f(? l’?2) ' +
« 0(1-tx0)[f.(ei,é2)f(e|,e2) - fíe^épf.(é^ep] +
(l-a 0)2[f.(ei,é2)f(ei,e2) - f(e (e ^ ] (8)
140
El término entre llaves de (8) coincide con la expresión (5), lo que permite
determinar el signo de - | p — < 0 (por C.2) y - | p — < 0 (por C.4). B21 11
Demostración del lema 3:
Obtención de las ecuaciones (42) y (46) del Capítulo 3.
A partir de la definición de a ((15 en el texto)), tenemos que:
dCC % ( 1 ' “ o* p„[6 f (é , é ) f ( e ,é ) - b f (e , é j f ( é ,§ )] +Mr i r i r -i r -i i - f r v i 2/J~S ^Ti O5”
Po(l-Po)[6 ,f,(ér ¿2)«?,-?2) - +Pod-PoíIB/,(£,,§/(?!,é2) - b f ( e i, é / ( é i,e2)] +
(1-P0)2[61f1(é1,e2)f(e1í 2) - b f ( e ^ é , ^ ) ] +
cP„[f2(é|,¿2)f(ei.é2) - +
cP0(l-P0)tf2(É1,É2)f(?1,?2) - f2(?,.?2)f(é,.é2)] +
CP0( 1 'P0)[ f2(® r?2)f(? l ’®2) - f2(? ,-é 2) f ( é .'?2)] +
c ü -p / l f /é ,-? /^ , .? ,) - f2(?,.?2)f(é,.?p] I (9)
Puesto que los términos del tipo:
[6 lfl(él’é2)f(?l’É2) ' - lfl(?l’é2)f(¿l’é2)]pueden expresarse como:
6ltfl(Él’é2)f(?l’®2) ’ fl(?l'É2)f(ér®2):l + (6r )fl<§l’é2)f(él,é2)O /y
es posible obtener — como:
1^77 = 5 , 4 ^ 7 , - ^ p r + « . W M * »
k ^ A V ? . - 6*) + + c - i f - (>°)J 21
Aplicando la definición de a , la expresión (10) pasa a ser:
I q - = 6. + “ ^ [a [( l-a 0)P0f ( ? |,é2) + ( l-a 0)(l-P0)fi(?i'?2)]]^11 11 D L J
dCL / -i -i \C - g p - , (11)21
que es la expresión (42) en el texto.
Alternativamente, cada término del tipo:
puede expresarse como:
Introduciendo esta transformación en (9), y con la definición de (1-oc) se
obtiene (46) en el texto.
Obtención de (43) y (47) en el texto.
A partir de la definición de a , se tiene que:
a aP0[S2f2(é 1'é2)f(? , ’é2) ' 62f2( ? A )f(éÁ )] +d% \ D2
Po( 1 -PQ)[62f2(éj,é2)f(e(,e2) - +
Po( 1 -Po)[y 2 ( é l ’?2) f ( § l ’é 2> - 6 2f 2( ? l 'é 2)f(É l ’?2)] +
( 1"P0)2^ 2f2(él-?2)f(? r?2) - b2f2(?,.?2)f(É,.?2>] +
cP2[ f (é,,é2)f(?1,é2) - f ^ e ^ M é ^ ) ] +
cP0( 1 -P0)[f,(éi,§2)f(ei,e2) - f1(?I'?2)f(¿1’É2)l +
cPo(l-p o)(f(é l,e2)f(ei,é2) - fI(e,,éí )f(é1>e2)] +
c(l-Po)2[fi(éi>e2)f(ei>e2) - f ( e ^ f í é ^ ) ] (12)
142
agrupando los términos del tipo:
[5 f (é ,é )f(e ,e ) - b f (e ,6 )f(é ,é )]1 2 2V l’ 2' - 1-2 -2 2 —1 —2 V l’ 2/Jcomo:
62[f2(éré2)f(? ,?2) - f2(?,.§2)f(é,.é2)] + (62-b2)f2(?i,?2)f(éi,é2)
nos queda:
21 21 L) L
11
(13)
por la definición de a y ( 1-a):
§ Q - 55 V § 7 - + ~ ^ [ « ( 1 - « 0)(1-P0)f2(§,.§2) - ( l -a )a 0(l-p 0)f2(é ,§2)] +21 21 U L J
c (14)11
La expresión (14) es (43) en el texto.
Si a partir de (12) se reagrupan los términos de la forma:
[62f2< ® , ‘ -2f2(? r? 2)f(Ér V ]como:
62[f2(é,,é2)f(ef?2) - f2(e,,? / ( £ , , é2)] +
y por la definición de a y (1-a) se obtiene (47) en el texto.
La obtención de (45) y (49) es similar a (42) y (46), a partir de la
definición de p. De igual forma, el procedimiento seguido para la obtención
de (44) y (48) coincide con el seguido para obtener (43) y (47), también
partiendo de la definición de p. ' H
143
Obtención de la Ecuación (59):
Partiendo de la ecuación (58) del texto:
a o * L r v ii* 2i W'(OC) - 1 2 — h(P ,P )dP dP„ + r 7 aQ v 11’ 2Y 11 21il
W (a) 3 h(P ,P )dP dP (15)l v 7 80 v 11’ 21 11 21 v 7^11
donde h(P ,P„) = a S f(é ,e j + a (1-Bjf(é ,e j +v 11 21 0r 0 v 1 2 0V r 07 v 1-2
( l ‘a 0)^0f(- rS ) + Ci-cCoX i-Po^fi^’y £ = P - (a - 5Q -cQ )J i il v i^ i l ^ j l 7
e = P - (a - b Q -cQ )-i il v - l il ^ j l 7
obsérvese que:ah(P P„ )
h (P ,P ) = — áxr---- — = ce B f.(é ,é j + a (l-PJf.(é ,e j +iv 11’ 21 a P OM) iv 1 2 0V r 07 iv 1 -27il
(l-c*o)P0fi(§I,é2) + ( l - a X l - p / í e ^ ) (16)
Sh(P ,P„ ) = a o W . < é A > + O - W M P l +^1 1
ah(P ,P„ )+ I’M W + c ap" <17>
21
De esta forma, el segundo sumando de (15) puede escribirse como:
w (a) 3 h(P ,P )dP dP„ =r 7 aQ v ii* 21 ii 21^ i i
Bi
b - -1
+ +
W . í a M l - a ^ C e , ^ + (l-P0) f (e il?2)]dP ,dP2i +
3h(P ,P„ )W ,(«) ------W ^ ~ dP„ dP2. (18)
21
144
Cada uno de los términos anteriores puede ser integrado por partes haciendo
los oportunos cambios:
W i
-5i
-b-i
-c
(a) h(P ,P )dP dP„ =v 7 aQ v 11 2 Y 11 21 11
w ;(a) + (l-P0)f(é1,e2)]dPi dP2|
w ;(a ) - § « - a - a ^ e , ^ ) + (l-Po)f(£l,?2)]dP „dp2i
w ¡(a) - f r - h ( P n ,P21)dP ,dP2, (19)
Con (19), la expresión (15) puede expresarse, después de agrupar términos
como:
- h ~ E[W,(a(Pn ’P2.»]=^11
w ;<“>[ W - - V § P - - c ]a0[p0f(é1,é2)+(I-P0)f(é1,?2)]dp11dp2i L ^11 11 21 J
WH - § £ - - > ? ,-§?- - c - § H ( 1 -a o)[p0f(?i-é2)+( 1 idP, ,dp21L ^11 11 21 J(20)
la expresión anterior es (59) en el texto. a
Obtención de la Ecuación (60):
Por el lema 3, los términos entre corchetes pueden sustituirse por su valor,
y por la definición de a y (l-cx) nos queda:
- § g - E[W «x(P _,?,,))]=
145
w ;(a)(61-bi)a2[(l-a0)p0f ( e i,é2) + d -o c ^ d -P ^ C e ^ ]
w;(a)(6r b )(l-a)2[a0p0f (é,,^) + « ¿ l - P / . í é ^ j d P , dP2) (21)
Agrupando en (21):
- V - e [W i(o(P11.P21))]= ^11
(6,-b.) w;(a)[<x2[(l-a0)P0f](ei,é2) + ( l - o / l - p / í e , .^ ) ] +
(l-a)2[a P f (é ,é ) + a (1-PJf (é ,e,)]ldP dP,v 7 L ero r i 2 ov Ko7 r i -2/JJ 11 21
(22)
A partir de (1-a)2 = (1-a) - a ( l-a ) , es posible escribir (22) como:
~ h ~ E[W (a(P ,P ))]=^11
(6,-b,) w ;(a ) |a [a (l-a 0)P0f (?i,é2) + a(l-a0)(l-p0)f (e,,§2) -
(l-a )a p f (é ,é j + (l-a)a (1-P„)f (é ,ejldP dP„v 7 oro r 1 27 v 7 ov ro7 r 1 -27J 11 21
(23)
recordando que:
a oPof(ÉV é2> + a o( 1-Po)f(6 i*5í)a =D
donde D es como en (7), se tiene que:
aD = a0P/(é,,é2) + oyd-p^f^ ,^ ) (24)
y derivando respecto a P :
146
D + a [a P f (é é ) + O (1 -P / (§ 4 ) +11 L
O - W / M P + <l-ao>(1-Po)fi(?.’?2>]= “ A W P + a o( 1-Po)f,(éi’?2)
(25)
D -§ £ - = (l-a )[aoPof,(é,,é2) + a (1-P )f (é ,e )] - 11 L J
(26)
Introduciendo el resultado en (23):
-§ T 3 - E[W ,(a(P„,P2,))] =11
- (6,-b,)
(6 ,-b,)
w ;(a) [a0p0f(é,,é2) + « 0d -P 0)f(¿1.?2)]dP11d P 111 L J
w ;( a )d - a ) [a 0P0f,(é,.é2) + a (l-Po)f,(é,,?2)]dP, dP , (27)
Integrando por partes el segundo término de (27), con u=W/(ot)(l-a)dP2i y
dv =[a B f (e ,e ) + a ( 1-B )f (e ,e )]dP dP L 0*0 r i 2 ov K(r r i -2/J 11 21
(6,-b)
-(6 .-6 ,)
(6,-b,)
w ;(a)(l-a )[a0p0f,(é,,é2) + a o(l-Po)f,(é,,e2)]dP„dP2,=
w ;'(a) - § £ - (l-a )[a P f(é é ) + a (1-P )f(é,,e2)l + 1 1 L J
w ;<«> - S P - [“ o W * * +(2 8 )
Introduciendo (28) en (27) y anulando términos:
147
^ - E [ W i(a(P ii,P2i))] =1 1
-(6 -b ) W>'(a) -§P “ ('-a ) k P 0f(éi.é2) + o (l-PoW é,^)] 1 1 L J
(29)
que es (60) en el texto.
148
APENDICE D.
A P E N D IC E D, (Apéndice al Capítulo 4)
Demostración del lema 2 :
La condición C.l nos dice que la expresión:
P 0f .(e ,.é 2) + <l-Po>f ,<e .*«a>
Pof(e ,,é2) + ( l ‘P0)f(e 1’§2)(1)
ha de ser decreciente en £ .iCon:
E = Q - a + BP - cP ,1 ^11 11 21
e = Q - a + bP - cP . (2)-1 ^11 - 11 - 21 w
Dado el supuesto de que (B-b)=(c-c), tenemos que é ■<= Ej, en función de que
Por ejemplo, si P > P , Por Ia condición 1 tenemos que:
P 0 f . ( é Á > + ( 1- P 0) f , ( e . - § 2 ) , P o f ,< g .’6 2> + <1-pQ>f , ^ , - g 2> (3 )
P 0f ( é f é 2) + ( l - p ^ f í é ^ e p P0f(5 ,.é2) + ( 1-P0)f( ? , ’? 2)
desarrollando la expresión (3) obtenemos:
Po[ f i ( é i ’É2) f (? . ’é 2> - f ( é , . é 2) f i(? i ’é 2)] +
(1-P0)Po[f.(él’?2)f(?l’g2) ' f(Él’?2)f.(?l’é2)] +
(1-P0)Po[f1(él’é2)f(?.’?2) - f(é,’é2)f,(? ,’?2)] +<1-P0)2[f1(é1,e2)f(e1,e2) - f(£,,§ / , ( ? , , ?J)] < 0 (4)
Si tenemos que y en este caso por la condición 1 :
149
P o V y é , ) + ( i -p 0) f1( é , , e 2) P0f ,(g,-é2) + ( 1-P0)f 1(? ,-§2)
P0f (é . ,é 2) + ( l - p 0) f ( é i , e 2)
y por tanto:
Po[ f ,<e , •* ,> « ? ,-«P. '
( l - p 0)P0[f (é(,§ / ( ? , , é2) - f(é1,e2)fi(ei,é2)] +
( 1-p )p [f (é ,é )f(e ,e j - f(é ,é„)f (e ,e )] + v ' V ' V r i 2 - i - r v i t 1 - 1 - 2
(l-p 0)2[f (é,,e )«?,,§ ) - f(é ,e )f (e ,6 )] > 0 (6)
Por último, si Pn =P21» ^j=ej’ y en este cas0 expresión (6) sería
igual a 0 .
Para que se cumpla la condición 2 se ha de dar que:
P 0 f 2( é , , e 2) + (1 -P0) f 2( f , . e 2)
P 0f ( é . , e 2) + ( l -p0)f (e i ,e2)(7)
ha de ser decreciente con e . En general si (6-b)=(c-c), en el mercado dos se
cumple que = e2 en función de que P ^
Si P >P , tenemos que e >é .11 21 n -2 2
>= P . < 11
Pof2(¿,-§2) + ( l-P 0)f2(? .-§ 2) < P 0f2(é ,,é2) + (1-P0)f2( e , .é 2)
P 0f ( é , , e 2) + ( l - p ^ f í e j . C j ) Pof(ci’ea) +
Si P <P , e >e y por tanto: 11 21 2 - 2
150
pQf2(M 3> + > P 0f2(é ,.é2) + (1-P0)f2( ? , . é 2) ^
P0f(é ,.§ 2) + U -P ,)f( ? , .? 2) P0f(é , ié2) + U -P qW ? , ^ )
Por la definición de P(Qn»Q21) leñemos que:
U H - f e { [Pof . ^ l ' é2> + P0Í 1 -Po>f I<é . '?2>] [Pof<é . ’é 2> + P0( 1 -P 0) f ( é . ’?2) ^11 D ^
+ P0( 1 -Po) f (? . ’é 2} + (1 - P < / f(?>’?2)] ' [Pof . ( é .*®2> + P0( 1 'Po) f . (Él ’?2)
+ P0( 1-Po>f i<?,'é2> + + Po( 1-Po)f(É. ’?2)]}
Suprimiendo términos y sabiendo que f(e ,e ) = f(e ,é ), tenemos que:
k -
p « (1 -p JJ L _ J L - « 6 , ^ ( 6, ^ ]
( 1 -P0)P 0[ f 1Cé 1 '?2)f (? . *®2> - f<É, ’?2) f l (? l ’é 2)] +
( 1-Po)Po[fi(ér é2)f(ei,e2) - f(é1.é2)f1(§1,?2)] +
( l-p /tfjíé j.ep fíe j.ep - f(é,*?2)f1(?1*?2)]]' (10)
Elap
término de la derecha de (10) es (4), así que qq «
dependiendo de que Pu : p“ -De forma similar por (9) y por la definición de p:
<= 0 , >
apa q :1
21= 0 dependiendo de que Pn = P
21 (11)
151
Dado que por consistencia se cumple que f(É ,E ) = f(E ,É ), o lo que
es lo mismo f(E ,E ) = f(E ,E ), para todos los valores de E y e , está
asegurado que para un valor dado eelR, la distribución marginal de e
condicional a E=£2, es la misma que la distribución marginal de e2
condicionada a e=e . Por tanto por (10) y (11) se cumple:
A partir de la definición de p y recordando que e= Q.j-a+bP.^cP.
j*i, i= l,2 , y con (b,c)={(5,c),(b,c)},
Demostración del lema 3.
Cancelando términos,
152
§- = P°( 1J 0> {Po[Efi(él’é2>f(?,'é2) - W ? l’é2>«é.-é2>] +ii D
P0( 1 ‘P0)[6 f ¡(é l ’®2)f(? r? 2 ) ‘ ^ f¡(? l ’?2) f ( é A )] +
P0( 1 'Po) 1 *?2)f(? l,é2) ' k f;(?l’É2W 6r ? 2>] +
( 1-P0)!t6fi(é1,e2)f(ei,e2) - bf.(e| ,e2)f(éi,e2)]
- p* [cfj(é i,é2)f(e j,é2) - cfj(e i ,é2)f(é i,é2)]
- P0(l-P0)[cf.(éi,é2)f(ei,e2) - cf.(ei,e2)f(éi ,é2)]
- P0( l-P 0)[cf.(é1,e2)f(e i ,§2) - cf.(e
- ( l - p / t c f . í é ^ W e ^ ) - ,?2)f(é i,§2)]1- ( 12)
a
Cada término del tipo, )f(e ,£ ) - bf (e ,é )f(é ,é )]
puede expresarse como,
6 t f i( é l ’é 2) f (? l ’V ' f i( - r g2)f<él ’é 2í] + (1 3 )
y los del tipo [cf (é ,é )f(e ,e ) - cf.(e ,e )f(é ,é )], comoj 1 2 - 1-2 — j — 1 — 2 1 2
c[f.(é1,é2)f(eI,e2) - f . í e ^ W é ^ ) ] + ( c - c j f . í e ^ f í é ^ ) (14)
Introduciendo (13) y (14) en (12), agrupando términos y teniendo en a
ilcuenta la definición de (ver (10) en el Apéndice), nos queda:
(S b)- % = 6 -§ & - + - r r k f(§Á > + Po<1-Po)f(él-?2)3tPo<1-Po>f/? ,> V +il il U t L
<1-Po>2f,(? ,’?2>í] • ¿ ‘ [ « - P / W [Po( 1-Po)f<?,’é 2> +
p of ( é i ’é 2)] ‘ Po(1 'Po)fj(? i ’é 2)[(1 ' po)2f(? r ? 2) + P0( I ‘P0) f ( é r ? 2)]] (1 5 )
153
Por la definición de p y (1-p) se obtiene que:
£ = 6 - § £ - + K . W . W + « - pA w ]il il JJ L J
que es la expresión (58) en el capítulo 4.
Alternativamente, cada término del tipo
[6 f.(éi,é2)f(ei>é2)-bf.(ei,é2)f(éi,é2)]
puede expresarse como:
b[f¡(érÉ2)f(§ré2) - f . f e ^ f f é ^ ) ] + (6-b)f1(éi,é2)f(e1,é2),
y de igual forma £cf (§1.§2)f(§| ,e2) - cf (§1,e2)f(ei,é2)] =
?[fj(é1.é2)f(§1,§2) - fj(e,'?2)f(é],é2)] + (c-c)f.(é| ,é2)f(ei>e2).
Introduciendo estas transformaciones en (12), agrupando términos y por
la definición de p y (1-p), tenemos la expresión (59) del texto.
154
Demostración de la Proposición 1.
1. Obtención de la ecuación (66).
La ecuación (65) en el texto es:
| F E [V (p (Q l l ,Q2l))] =il
donde
V’(P) - % h(Qn ,Q2i)dQn dQ2| +il
v (p )4 F MQ11,Q21)dQl dQ2i (17)
h(Qu ,Q21)= Pof(éI.é2)+P0(l-P0)f(éI,e2)+P0(l-p0)f(e1,é2)+(l-p0)2f(§I,e2),
e = Q - a + 6P - cP ,i ^il il jl
e = Q - a + bP - c P .-i ^i l - il - jl
Obsérvese que:
-§T57¡Ql' ,Q2l) = Pof ,(éi 'V + Po( 1-Po)fi(é.’?P +
P o ^ ’P / / ? . ^ + <>-Po>2f .í? i '? 2> (18)
h , ( Q l l ’Q 21)= ^ Q “ ' Q 2 ,) = Pof j (®,’é 2) + P0(1 -Po>f j<é 1'?2> +
Po( 1'Po)fj (? r §2} + ( 1'P 0)2f J(? r ? 2) (19)
4 f 1(Q' 1’Q2|) = P . W . W + W . Í . » -i 1
c(P0fj(®pé2) + d - P / /? , - ^ ) ) ! +
d -p ^ rix p /x e ,,^ ) + (i-P0)r(?1,§2)) -
c(p0f.(é(,e2) + (*-P0)fj (?|.?2))] (20)
155
es
De esta forma el segundo término de la derecha de (17), estoQ
V(P)~qY h(Qii*Q^)dQiidQ2i’ Puede escribirse como:il
- u - P o ^ Á » +
M^PoXPo^f.-V +(1-P0)f¡(?l’?2))] dQl1dQ21
V(p)[poc(pof.(éi,é2) + (1-P0)fj(e,,é2)) +
cd-PoX Pof/é^) + (l-P0)r(ei,?2))]dQlldQ2i (21)
Integrando por partes los dos términos de (21) con u=J*V(p)dQ y dv=
{6po[Pof.(é1,é2) + (1-P0)f(ér §2)] + + ( l - p / . d ^ ) ] }
dQ.jdQ^ para el primero de ellos, y con u=Jv(p)dQ.i y dv =
+ ( l - p ^ f . t e ^ ) ) + c O - p ^ p / .^ ,^ ) + (l-P0)fj(?1,§2))]dQ.1dQ.1, para el
segundo, se obtiene:
+
6v ’(P )-§ £ Po[Pof(éA > + (l-P0)f(éi,?2)]dQndQ2|^il
bV (P)-§£- (l-p0)[p0f(e,,é2) + (l-P0)f(?r ?2)]dQ„dQ21
6V’(P ) -^ - PoCPof<é,’é2> + d -P 0)f(é1.?2)]dQ1|dQ21
?V’(p)-§£- d -P 0)[P0f(? |,é2) + (l-P0)f(?1,?2)]dQ1 dQ2i (22)
agrupando términos:
156
V’(p)[6 - § £ - c ^ ] p 0[p0f (é , i2) + (l-p0)f(é| -§2)]dQ11dQ21
V’(P)[b -f& - 5 + O - P / ^ W Q , , ^ , (23)
Introduciendo (23) en (17) , y simplificando términos, (17) pasa a ser:
i ? e [V (p(qu ,q 2i))] =il
V’(p) f - - § £ ] po[pof(éi’é2> + (l-P0)f(é,§2)]dQ ,d Q 21il ^ il ^ ilJ L J
+ V ’(P) § - • !? -§ § ■ + sil ^ il jl
(24)
Que es (66) en el capítulo 4.
2. Obtención de la ecuación (67).
Por el lema 3, podemos calcular los términos:i il jl
(b,c)={(6 ,c),(b,c) j. Entonces por (58) y (59) en el texto,(24) es,
r r r (6 -b)-§p- e[V (P(q ,o ))]= v ’(p) - r r - [p(p0( i - p J í (?,> 2)+( i _p0) fi(?i’?2))
il JJ L
- - r r - W H V ’W ' (i-P)P0(i-P0)fj(§ré2)]p0(Pof(é1'é2)r r r (6 -b )
+(l-po)f(éi>e2))dQi dQ2i + V (p)[ - ^ [ ( l - p X p ’f ^ )
+P0(1-P0)fi(é1>§2))] - (-T T - [ O - t f p f r M P - PP0d -P 0)fj(ér?2)]
d-PoXPo^?,’ + (1-P0)f(?,.?2))dQlldQ21 d 5 )
157
que por la definición de p:
Í p — E[V(P(Qu,Q21m= V’(P) [(6-b) [p2(p0(l-p 0)fi(§1,é2)+(l-p0)2f.(ei,e2))]
- (c-c) [p2(l-p0)2f.(ei,e2) - p(l-p)po(l-po)f.(ei,é2)]dQn dQ2i
V’W ^ -b M U -p )2^ ^ ) + p0(l-p0)f.(éi,e2))]
- (c-c)[(l-p)2p2f.(é1>é2) - p( 1 -p)pQ( 1 -p0)fj(él,e2)] dQn dQ2i (26)
~aV.
Y agrupando (26) es:
E(V(p(Qn ,Q2i))]=(6-b) V X p ) [ p X ( lM ( M a W l - p / fi(SI**))]
(l-P )2[PofA ’é2) + Po(1' po>f¡(é.’?2)í] dQ.idQ2. -
V’(p)[p2( l 'P 0)2fj(§,>?2) ' p(l-p)p0(l-p0)fj(?1.éj)
(l-p )2p2f.(é],é2) - p d - p íp ^ l - p z /é ,^ ) ] dQi dQ2i (27)
2Si tenemos en cuenta que (1-p) = (1-p) - p(l-p), (27) es:
|p - E[V(p(Qn ,Q2i))]=(6 -b) V’(P) P [PPo(1 ' po)f ¡(? Á ) + P(1 ' p o) f ¡(? r ? 2) ) ] '
( i-P íP o ^ p é j) -d -P ) p0( 1-p0)fi<éi’?2)]] + d-p)[p2f¡(é,,é2) +
p0(1-p0)fi(é l’?2>] dQ n dQ2i • < ¿-c)||v ’ (P) f [p [p( 1 -P0)2f /e , .?2) +
p p o(1 ' p o) f j( é i ’?2) ■ (1 ‘ p )Pof/ ® Á ) ' d - p )p0(1 - p 0) f/ ? | - é 2)] +
d-PJpJf/é^éj) - pp0(l-p0)fj(é| ,e2) dQ dQ,^11 21 (28)
158
Recordando que:
Pof(é l ’É2> +P 0 ( 1-Po)f(É, ’?2)P = -------------------------------------------
D
donde:
D P = PoP é i ’é 2) + P0(1 'P 0) f ( é i ’?2) (2 9 )
y derivando respecto a Q ,
D “d i +P[Pof¡(Vé2)+Po(1-Po)fi(él’?2)+Po(1-Po)fi(?l’é2)+(1-Po)2fi(§l’?2)]=
P o ^ l ’V + ( 1'P 0)Pof ( é l ’?2)
O
aD 4 ^ = (1-P)[pfcé,,é2) + PoO -P^fíé,,^)] -
P[P0( 1'Po)f¡(? l’é2)+ (1'Po)2fi(5 l’?21 (30)
De igual forma derivando (29), con respecto a y ordenando los
términos tenemos:
§ £ -= (i-p )[p ft¿ ,,É 2) + p0( 1'p 0)fj(®1’§2)] -
P[P0( l - P / j(?1.é2)+(l-P0)2fj(?1’?2] (31)
Si introducimos estos resultados en (28) obtenemos la siguiente
expresión:
159
f j r E[V(p(Qn ,Q2|))]= - (6-b)
(6-b)
(c-c)
(c-c)
V’(p)(l-p)[p„f, (é,,é2)+p0( 1 -p0)f . (é1,e2)]dQi dQ2| +
v ’(p) - ^ d p d Q , ,^ , -
V’(p)[(l-p)p^fj(é1,é2) - pp0(l-p0)f.(ei,é2)]dQn dQ2i (32)
Integrando por partes el segundo término de la derecha de (32), es
decir (6 -b) V’(p)(l-p)[pJf.(é1,é2)+po(l-po)f.(éi,e2)]dQi|dQ2i , y tomando
u=JV’(p)(l-p)dQ.lt y dv=[p^f.(éi,é2)+(l-p0)p0f.(él,e2)]dQ .dQ .l se obtiene:
(6 -b) V’(p)(l-p)[pjf.(é1,é2) + po(l-po)fi(éi,e2)]dQu dQ2 =
(6 -b) V” <P) 4 & ~ 0-p)tPof(é,,é2) + po(l-p o)f(é1>e2)]dQu dQ2i +
V” (P) 4 £ ~ lPof(§t'V + P00-Po>f(Ma>JdQ ,,d(221 (33)
De igual forma, el último término de (32), al ser integrado por partes pasa a
ser:
-(c-c)
(c-c)
V’(p)[(l-p)P^fj(éi,é2)-pp0(l-p0)f.(e1>É2)]dQiidQ2 =
V” (P) 4 ^ [(l-P)Pof(é,Í2) - pp0(l-P0)f(ei,é2)]dQn dQ2i-
V’(P) 4 & [Pof(éi'é2} + Po( 1 P0)f(? .'é2]dQi.dQ2i (34)
160
Introduciendo (33) y (34) en (32) y eliminando términos y teniendo en
cuenta que pD = + (1 -p^p f(é ), (32) pasa a ser:
|p - E[V(p)]= -(6 -b)il
+ (c-c)
- (c-c)
V” (p) - § § - (l-p)[p^(é1,£2)+P0(l-p 0)f(é| ,e2)]dQiidQ2|
V” (P) 4 ^ i[(l-p)pJf(é1,é2)]dQn dQ2i
V ” (P) PP0(1-Po)f(?i'é2)]dQiidQ2. (35)
Que es (67) en el capitulo 4.
Obtención de la ecuación (68).
Por el lema 2, , y dado el supuesto de que (6-b)=(c-c)=A,v ii
entonces (35) es:
-fp- E[V(p)]= A V” (P )(- [(l-P)[p^(é,,é2)+P0(l-P0)f(é1.?2) +
p f o ’M - P P o n - P / í e . i ^ d Q , , ^ , (36)
por la definición de p y (1-p), (36) puede escribirse como:
-§ p - e [v (P)]=a| | v » ( - - ^ - J [ ( :
+Po(1-Po)f(? Á > ] - [
D ■ J p p f rv é j
P« f ( é 1’É2)+ P o (1 -Po) f ( é . ’?2) ][P 0(l-p0)f(éI,é2)dQi dQ2i
(37)
161
Eliminando términos y de nuevo, haciendo uso de la definición de p y
(1-p), (37) pasa a ser:
-fp- E[V(p)]=Ail
"(P)[ - - j y [p(l-P0)2f(?1,?2)+(l-p)pJf(é,.é2)]dQ|1dQ2i
(38)
que nos da lá expresión que buscábamos.
162
BIBLIOGRAFIA.
BIBLIOGRAFIA.
Aghion, P., P. Bolton, C. Harris, B. Jullien, (1991), "Optimal Leaming by
Experímentation", Review of Economic Studies, 58, 621-654.
Aghion, P. M. Espinoza, y B. Jullien, (1990), "Dynamic Duopoly Games with
Leaming Through Market Experímentation". Document de Travail Delta n°
90-13.
Alepuz, M.D. y A. Urbano, (1992,a), "Duopoly Experímentation: Coumot
Competítion". Mimeo. Universidad de valencia.
Alepuz, M.D. y A. Urbano, (1992,b) "Leaming and price Dispersión". Mimeo.
Universidad de Valencia.
Balvers, R. J. y T. F. Cosimano, (1989), "Actively Leaming About Demand and
the Dynamics of Price Adjustement", mimeo.
Banks, J.S. y J. Sobel (1987), "Equilibrium Selection in Signaling Games",
Econometrica 55, n° 3, 647-661.
Blackwell, D. (1951), "Comparison of Experiments", in J. Neymann (ed),
Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical
Statistics and Probability, University of California Press.
Bray, M., (1982), "Leaming, Estimation, and Stability of Rational
Expectations", Journal of Economic Theory 26, 318-339.
163
Bray, M. y E. Savin, (1986), "Rational Expectations Equilibria, Leaming,
and Model Specification", Econometrica 54, n° 5, 1129-1160.
Burdett, K. y K. Judd, (1983), "Equilibrium Price Dispersión" Econometrica
51, nc4, 995-969.
Butters, G. R. (1977), "Equilibrium Distributions of Sales and Adversiting
Prices", Review of Economic Studies, 44, 465-491.
Cyert, R.M. y M. DeGroot, (1970), "Bayesian Analysis and Duopoly Theory"
Journal Political Economy, 78, 1168-1184.
Cyert, R.M. y M. DeGroot, (1974) "Rational Expectations and Bayesian
Analysis", Journal of Political Economy 82, 521-536.
DeGroot, M. (1970), "Optimal Statistical Decisions", New York, McGraw Hill.
Dixit, A.K. (1979) "A model of Duopoly Suggesting a Theory of Entry Barriers"
Bell Journal of Economics, 10, 20-32.
Easley D. y N. Kiefer, (1988), "Controlling a Stochastic Process With Unknown
Parameters", Econometrica, 56, 1045-1064.
Easley, D. y N. Kiefer, (*1988) "Infinite-Horizon Bayesian Control of The
Normal-Normal Regresión Process", mimeo.
164
Engers, M. (1987), "Signalling with Many Signáis", Econometrica 55, n° 3,
663-674.
Engers, M. y L. Fernandez (1987), "Market Equilibrium with Hidden Knowledge
and Self-Selection", Econometrica 55, n° 2, 425-439.
Feldman, M., (1987), "An Example of Convergence to Rational Expectations with
Heterogeneous Beliefs", International Economic Review 28, n° 3,
635-650.
Fourgeaud, C. y C. Gourieroux y J. Pradel, (1986), "Leaming Procedures and
Convergence to Rationality", Econometrica 54, n° 4, 845-868.
Fudenberg, D. y J. Tiróle (1986), "A ‘Signal-jamming’ Theory of Predation"
Rand Journal of Economics 17, 336-376.
Fusselman J. M. y L. Mirman (1989), "Experimental Consumption for a General
Class of Disturbance Densities", mimeo, University of Virginia.
Gal-or, E. (1988), "The Advantages of Imprecise Information ", Rand Journal
of Economics 17, 266-275.
Grossman, S. (1975), "Rational Expectations and the Econometric Modeling of
Markets Subject to Uncertainty. A Bayesian Approach", Journal of
Econometrics, 3, 255-272.
165
Grossman, S., R. E. Kihlstrom, L. Mirman (1977), "A Bayesian Approach to the
Production of Information and Leaming by Doing", Review of Economic
Studies 44, 533-547.
Kiefer, N.M. y Y. Nyarko, (1989), "Optimal Control of a Unknown Linear
Process with Leaming", International Economic Review 30, n° 3,
571-586.
Kihlstrom, R., L. Mirman, y A. Postlewaite, (1984), "Experimental Consumption
and the ‘Rothschild Effect’", en M. Boyer y R. Kihlstrom eds., Bayesian
Models of Economic Theory, Amsterdam: Elsevier.
Li, L., (1985), "Coumot Oligopoly with Information Sharing", Rand Journal of
Economics 16, n° 4, 521-536.
Mailath, G., (1988), "An Abstract Two-Period Game with Simultaneous
Signaling: Existence of Separating Equilibria", Journal of Economic
Theory, 46, 373-394.
Marcet, A. y T.J. Sargent, (1989), "Convergence of Least Squares Leaming
Mechanisms in Self-Referential Linear Stochastic Models", Journal of
Economic Theory" 48, 337-368
Matthews, S. y L. Mirman (1983), "Equilibrium Limit Pricing: The effects of
Prívate Information and Stochastic Demand", Econometrica , 51 , 981-996.
166
McLennan, A., (1984), "Price Dispersión and Incomplete Leaming in the Long
Run", Journal of Economic Dynamics and Control, 7, 331-347.
Mirman, L., L. Samuelson y A. Urbano, (1991,a), "Monopoly Experímentation",
Mimeo. Universidad de Virginia.
Mirman, L., L. Samuelson y A. Urbano, (1991 ,b) "Duopoly Signal Jamming",
Mimeo. Universidad de Virginia.
Mirman, L., A. Urbano, (1991), "Asymmetric Information in a
Duopolistic Market with Unknown Demand". Mimeo. Universidad de
Virginia.
Ponssard, J.P., (1970), "The Strategic Role of Information on Demand Function
in a Oligopolistic Market", Management Science, XXV, 851-858.
Reinganum , J.F., (1979) "A Simple Model of Equilibrium Price Dispersión"
Journal of Political Economy, 87,851-858.
Riordan, M., (1985), "Imperfect Information and Dynamic Conjetural
Variations" Rand Journal of Economics 16,41-50.
Rob, R., (1991), "Leaming and Capacity Expansión under Demand Uncertainty",
Review of Economic Studies,58 ,655-675.
167
Rothschild, M., (1973), "Models of Market Organization with Imperfect
Information: A Survey" Journal of political Economy, 81, 1283-1308.
Rothschild, M. y J. E. Stiglitz, (1976) "Equilibrium in Competitive Insurance
Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information" Quarterly
Journal of Economics, 90, 629-649.
Salop, S. y J. Stiglitz, (1976), "Bargains and Ripoffs: A Model of
Monopolistically Competitive Prices", Review of Economic Studies, 44,
493-510.
Shapiro, C., (1986) ,"Exchange of Cost Information in Oligopoly", Review of
Economic Studies, 53, 433-446.
Spence, M., (1973), "Job Market Signaling", Quarterly Journal of Economics,
87, 353-374.
Singh, N. y X. Vives, (1984), "Price and Quantity Competition in a
Differentiated Duopoly", Rand Journal of Economics, 15* n°4, 546-554.
Tiróle, J. (1990), La Teoría de la Organización Industrial. Ariel.Barcelona.
Tonks, I., (1984), "A Bayesian Approach to the Production of Information with
a Linear Utility Function", Review of Economics Studies, 51, 521-527.
168
Townsend, R.M. (1978), "Market Anticipations, Rational Expectations, and
Bayesian Analysis", International Economic Review, 19, n° 2, 481-494.
Urbano, A., (1990), Tesis Doctoral. Universidad de Valencia.
Urbano, A., (1992,a), "Monopoly Experímentation: A generalization". Mimeo.
Universidad de Valencia.
Urbano, A., (1992,b), "Asymmetric Information and Duopoly Behaviour". Mimeo.
Universidad de valencia.
Vives, X. (1984), "Duopoly Information Equilibrium: Coumot and Bertrand",
Journal of Economic Theory 31, 71-94.
Vives, X., (1988), "Information and Competitive Adventage". Mimeo.
Vives, X., (1990), "How Fast Do Rational Agents Leam ?" W.P. 135.90.
Instituí d’Análisi Económica, CSIC. Universitat Autónoma de Barcelona.
Wilde, L. L. y A. Schwartz, (1979), "Equilibrium Comparison Shopping", Review
of Economic Studies, 46, 543-554.
Wilson, R. (1985), "Multi-Dimensional Signalling", Economics Letters 19,
17-21.
Zellner, A.,(1981), An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics.
New York: Wiley.
169