aprendizaje de operaciones aritméticas con apoyo de … · progresiva de diferentes actividades...
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Paula Hueda Diez
Luz Roncal Gómez
Facultad de Letras y de la Educación
Grado en Educación Primaria
2014-2015
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
Aprendizaje de operaciones aritméticas con apoyo de materiales
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
Aprendizaje de operaciones aritméticas con apoyo de materiales, trabajo fin degrado
de Paula Hueda Diez, dirigido por Luz Roncal Gómez (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
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Trabajo de Fin de Grado
APRENDIZAJE DE OPERACIONES ARITMÉTICAS CON APOYO DE
MATERIALES
Autor:
PAULA HUEDA DIEZ
Tutor/es:
Fdo. LUZ RONCAL
Titulación:
Grado en Educación Primaria [206G]
Facultad de Letras y de la Educación
AÑO ACADÉMICO: 2014/2015
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ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………………. 7
2. OBJETIVOS…………………………………………………………………… 9
3. METODOLOGÍA……………………………………………………...……….. 11
4. ANÁLISIS DEL CURRÍCULO. CONTENIDOS…………………………………..... 13
4.1. Bloque 2: Números……………………………...…………… 13
5. JUSTIFICACIÓN TEÓRICA………………………………………...…………… 15
5.1. Tipos de problemas…………………………………...……… 15
6. POSIBLES MATERIALES Y RECURSOS PARA TRABAJAR LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS
BÁSICAS………………………………………………………………………. 21
6.1. Materiales cotidianos………………………………………… 21
6.2. Materiales específicos……………………………...………… 21
7. PROPUESTA PROGRESIVA DE ACTIVIDADES PARA TRABAJAR LAS OAB………. 27
8. CONCLUSIÓN………………………………………………………………….. 45
9. BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………… 47
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RESUMEN
En este proyecto se pretende poner de manifiesto la importancia de utilizar
materiales en la enseñanza de las matemáticas, concretamente en las operaciones
aritméticas básicas (OAB), suma, resta, multiplicación y división. Son muchos los
recursos y materiales con los que aprender matemáticas puede resultar una tarea mucho
más sencilla.
He dividido mi trabajo en una parte teórica, en la que expongo el uso positivo de
dichos materiales, y en una parte práctica en la que realizo una propuesta progresiva de
actividades para trabajar las OAB utilizando diferentes materiales.
PALABRAS CLAVE
Matemáticas, primaria, materiales, suma, resta, multiplicación, división.
ABSTRACT
This project is intended to highlight the importance of using materials in the
teaching of mathematics, particularly in the basic arithmetic operations (OAB),
addition, subtraction, multiplication and division. There are many resources and
materials with which learning math is a much simpler task.
I have divided my work into a theoretical part, in which I show the positive
use of such materials, and a practical part in which I propose progressive activities to
work the OAB by utilising different materials.
KEY WORDS
Mathematics, primary, materials, addition, subtraction, multiplication, division.
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1. INTRODUCCIÓN
Las matemáticas son una asignatura en la que a través de la manipulación de
objetos, juegos y materiales, los alumnos pueden alcanzar un aprendizaje significativo
para lograr posteriormente un desarrollo intelectual óptimo.
Sin embargo, en muchas ocasiones, las matemáticas son un obstáculo al que el
niño se enfrenta durante su transcurso educativo. Este obstáculo principalmente radica
en la falta de motivación y la actitud con la que se afrontan los diferentes problemas
matemáticos que los alumnos tienen que resolver.
Muchas teorías, algunas de las cuales explicaré posteriormente, dicen que parte
de este problema es por la metodología empleada por los docentes, ya que seguir el
libro de texto, o ceñirnos a fichas de actividades en las que solo se emplea papel y boli
puede resultar en muchos casos aburrido.
En este proyecto, trabajaré las operaciones aritméticas básicas (suma, resta,
multiplicación y división) en primero, segundo y tercero de primaria. Estas operaciones
son importantes, ya por el simple hecho de aparecer en el currículo. Además es esencial
dominar la realización de las mismas, y fundamentalmente dotarlas de significado, para
posteriormente lograr conocimientos más elevados en el ámbito de las matemáticas y
poder desenvolverse en muchas situaciones de la vida diaria.
Para trabajar dichas OAB, propongo el uso de materiales que permiten un
aprendizaje más simple y sencillo y lograr así entenderlas mejor por medio de la
manipulación de estos.
Se introducirían los materiales con el objetivo de que al final del proceso el niño
no necesite del uso de los mismos porque haya adquirido las suficientes competencias y
conocimientos. Esto le permitirá razonar y entender el proceso que tiene que seguir para
lograr la solución de los ejercicios o problemas que se propongan.
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2. OBJETIVOS
El objetivo principal de este trabajo es realizar una propuesta progresiva en
la que se trabajen las diferentes operaciones aritméticas básicas con el apoyo de
materiales lúdico-manipulativos en los cursos de primero, segundo y tercero de
primaria.
Además de este objetivo principal el trabajo pretende los siguientes objetivos
específicos:
- Analizar los contenidos correspondientes a las OAB en primero, segundo y
tercero de primaria.
- Concienciar sobre la importancia del uso de materiales en el área de
matemáticas.
- Fomentar el aprendizaje significativo en el alumnado.
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3. METODOLOGÍA
La metodología que voy a emplear para la realización de este trabajo tiene un
carácter teórico-práctico.
En un primer lugar desarrollaré una parte teórica en la que analizo las partes del
currículo, concretamente los contenidos, en los que aparecen las operaciones aritméticas
básicas. Para ello me basaré en el Decreto 24/2014, de 13 de junio, por el que se
establece el currículo de la Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de La
Rioja [D]. En esta parte teórica además hago una clasificación de los diferentes tipos de
problemas que pueden surgir a la hora de realizar estas operaciones. También realizaré
una justificación de la importancia del uso de materiales para trabajar las mismas. Para
ello he hecho una revisión bibliográfica de diferentes autores que defienden la utilidad
de estos materiales. Las principales fuentes que he utilizado son fuentes primarias,
principalmente libros y diferentes revistas. También me he servido de fuentes
secundarias como pueden ser distintos artículos de opinión. Para finalizar este apartado
expondré una lista con los posibles materiales que utilizaré más adelante en la parte
práctica.
Por otro lado realizaré una parte práctica, en la que expongo una propuesta
progresiva de diferentes actividades sobre las operaciones aritméticas básicas en los
cursos de primero, segundo y tercero de primaria. Cada actividad trabajará un contenido
diferente de los nombrados en la parte teórica empezando con el uso de materiales
cotidianos y después utilizando materiales específicos.
Estos ejercicios en general los puedo realizar tanto individualmente como en
grupo. Dependiendo de los materiales con los que cuente podré hacer agrupaciones más
pequeñas o más grandes. Lo deseable es que se puedan realizar la mayor parte de los
ejercicios individualmente.
En cuanto a la temporalización, utilizaré estos materiales como apoyo a una
explicación previa, es decir, después de haber explicado un contenido servirán como
método de aclaración y demostración del mismo. Se pueden usar tanto al principio del
trimestre como al final. Yo los utilizaré al principio de cada tema para lograr así que los
alumnos interioricen los significados que pretendo lo antes posible.
Para la evaluación me atendré al currículo y los instrumentos que utilizaré serán
sobre todo de observación directa. Principalmente usaré anecdotarios y diarios para
recoger información relevante sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje.
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4. ANÁLISIS DEL CURRÍCULO. CONTENIDOS.
Los contenidos que trabajaré en este proyecto, según el Decreto 24/2014, de 13
de junio, por el que se establece el currículo de la Educación Primaria en la
Comunidad Autónoma de La Rioja [D] y pertenecientes al bloque 2 de matemáticas,
números, son:
4.1. Bloque 2: Números
1º de Primaria
Operaciones: operaciones con números naturales: adición, sustracción, iniciación a
la multiplicación y al reparto.
La multiplicación como suma de sumandos iguales y viceversa
Propiedad conmutativa de la suma utilizando números naturales
Cálculo: utilización de los algoritmos estándar de suma y resta. Automatización de
los algoritmos.
Descomposición de forma aditiva.
Iniciación en la construcción de las tablas de multiplicar.
2º de Primaria
Operaciones: operaciones de sumar (juntar o añadir) y restar (separar o quitar) y su
uso en la vida cotidiana.
Iniciación a la multiplicación como suma de sumandos iguales y para calcular
número de veces. Las tablas de multiplicar
Expresión matemática oral y escrita de las operaciones y el cálculo de sumas y
restas.
Propiedades de las operaciones y relaciones entre ellas utilizando números naturales.
Cálculo: estrategias de cálculo
Estrategias iniciales para la comprensión y realización de cálculos de sumas y restas
Cálculo mental automático: construcción y memorización de las tablas de sumar y
restar de hasta 10 más 10
Elaboración y utilización de estrategias personales y académicas de cálculo mental
Cálculo aproximado. Utilización de diferentes estrategias para estimar y redondear
el resultado de un cálculo
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Cálculo de sumas utilizando el algoritmo académico
Utilización de los algoritmos estándar de suma, resta, multiplicación e iniciación a
la división por una cifra.
Automatización de los algoritmos
Construcción y memorización de las tablas de multiplicar
Primeras estrategias de cálculo mental
3º de Primaria
Operaciones: división de números naturales.
Operaciones con números decimales: adición, sustracción y multiplicación.
Potencia como producto de factores iguales.
Cálculo: automatización de los algoritmos hasta la multiplicación de números
decimales
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5. JUSTIFICACIÓN TEÓRICA
En este documento pretendo trabajar las diferentes operaciones aritméticas
básicas (suma, resta, multiplicación y división) con el apoyo de distintos materiales.
Lograr el razonamiento lógico-matemático en el niño es uno de los retos a los
que muchos docentes se enfrentan hoy en día. Es un hecho que las matemáticas suponen
una de las áreas que más problemas trae consigo en la escuela, y el aprendizaje de las
mismas resulta complicado para muchos niños si no se enseñan de la manera adecuada.
Las operaciones aritméticas básicas aparecen en los contenidos del currículo de
educación primaria, como he mencionado anteriormente, y por lo tanto hay que
aprenderlas. Además de porque aparecen en el currículo, estas OAB tienen un
significado en la vida real y por lo tanto han de aparecer también con algún tipo de
sentido a la hora de enseñarlas, como respuesta a ciertas situaciones y a problemas
cotidianos. Es decir, en diferentes situaciones de la vida nos podemos encontrar con
problemas en los que hay que hacer algo para resolverlos, y por lo tanto se introducen
las operaciones aritméticas básicas y los algoritmos como respuesta a estas situaciones.
Estos problemas se pueden clasificar en diferentes tipos según las operaciones
básicas que estemos trabajando.
5.1. Tipos de problemas
Los problemas de sumas y restas se pueden clasificar según cuatro criterios
(basados en [Rel], [CHMRSV], [Ar]):
1. Según el lugar que ocupa la incógnita: En este caso la dificultad de estos
problemas viene determinada por el lugar en donde se encuentra la incógnita,
bien sea en uno de sus términos o en el resultado.
a +/- b = ¿
a +/- ¿ = c
¿ +/- b = c
2. Según el significado de la situación planteada: En estos problemas se pueden
dar tres tipos de situaciones;
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Situaciones de transformación o cambio. En las que la cantidad total sufre
una transformación al añadir o quitar una parte para dar lugar al resultado.
La incógnita puede aparecer tanto en la cantidad inicial, en la resultante del
cambio o en la cantidad final.
Situaciones de combinación. En este caso dos cantidades se unen para llegar
a un resultado o un resultado se descompone en diferentes cantidades.
Situaciones de comparación. En las que hay una comparación entre
cantidades que generalmente se suele expresar a través de las “fórmulas
más/menos que”. En este tipo de problemas la incógnita puede situarse en
diferentes lugares ya que se puede preguntar tanto por la diferencia, por la
cantidad comparada o por la cantidad referente.
Situaciones de igualación. A través del aumento o disminución de una de las
cantidades que se muestra se pretende igualar la otra. En estos problemas se
puede preguntar tanto por la cantidad que se quiere igualar, por el referente
o por la igualación.
3. Según la formulación verbal. A la hora de resolver problemas repercute
también el orden en el que se presenta la información así como explicación de la
información que se presenta y la información que ya se conoce.
4. Según la magnitud de las cantidades utilizadas. Las cantidades que se utilizan
en un problema determinan si este será más sencillo o más difícil. Cuanto
menores sean las cantidades generalmente más sencillo será el problema, a no
ser que aparezcan llevadas en el mismo. Por ejemplo, restar 15 – 5 resulta una
tarea sencilla y restar 50 – 10 también, sin embargo no parece tan fácil realizar
la resta 21 – 7 a pesar de que estos números sean menores que los anteriores.
En la propuesta de actividades propondré ejemplos a trabajar de cada tipo de
problemas.
Los problemas de multiplicar y dividir se pueden clasificar en tres tipos (para
mi clasificación tomo ideas, adecuadamente modificadas, que se pueden encontrar en
[CHMRSV]):
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1. Proporción, razón, partición. Este tipo de problemas es el más sencillo. Se
puede observar una proporcionalidad directa entre las medidas y el resultado, ya
que al aumentar o disminuir una o las dos medidas el resultado lo hace en la
misma proporción. Estos problemas pueden dar lugar a 4 situaciones:
o Multiplicación. Razón 1: Son problemas en los que dada una cantidad inicial
(multiplicando) y las veces que se repite dicha cantidad te preguntan por la
resultante.
o Multiplicación. Razón 2: Son problemas en las que se dan dos cantidades
(multiplicando, y multiplicador) de distinta naturaleza y se pregunta por el
resultado que es de la misma naturaleza que el multiplicando.
o División. Partición / razón: Son problemas en los que dadas dos cantidades
(dividendo y divisor) de naturaleza diferente se pregunta por el resultado
que es de la misma naturaleza que el dividendo.
o División. Cuotición o Agrupamiento / razón: Son problemas en los que
dadas dos cantidades (dividendo y divisor) de la misma naturaleza se
pregunta por el resultado que es de naturaleza diferente.
En la propuesta de actividades propondré actividades para trabajar las
cuatro situaciones.
Los otros dos tipos de problemas se trabajan sobre todo en niveles de 4º
de primaria en adelante, por lo que solo voy a realizar una breve explicación
sobre ellos.
2. Comparación. En estos problemas se usan las expresiones “veces más” y “veces
menos”. Para no dar lugar a equivocaciones hay que diferenciar bien estas
expresiones del sentido “más” y “menos” de la suma y la resta.
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3. Producto cartesiano. Este tipo de problemas relaciona dos cantidades para dar
lugar a una tercera distinta a las anteriores.
Como apuntaba Piaget1 en su conocida teoría del conocimiento cognitivo, los
niños entre los 7 y los 11 años se encuentran en la etapa de las operaciones concretas.
En este periodo el niño entiende las cosas con un razonamiento lógico presentadas de
una manera concreta o real. No es hasta los 11 años cuando el niño adquiere un
conocimiento abstracto que le permite utilizar un razonamiento lógico deductivo e
inductivo.
Varias recomendaciones sugieren que es necesario un cambio en la forma de
trabajar las matemáticas con los niños, dejando a un lado el enseñar a hacer cosas y
centrándose en enseñar a pensar. [CDGMR. pp. 47]
Por este motivo parece sensato introducir formas diferentes de enseñar las
matemáticas y una de ellas es trabajarlas con la ayuda de diferentes materiales. Este
interés por los materiales viene manifestándose desde el siglo XIX cuando se defendía
el uso de los mismos en el ámbito educativo. Concretamente, en el de las matemáticas,
Pestalozzi (1819) decía que el niño tenía que aprender a partir de observar sus propias
experiencias, y que había que enseñar a los niños siempre y cuando ellos lo pudiesen
ver. Explicaba que los niños ejercitarían su memoria con el apoyo de diferentes recursos
y materiales consiguiendo de este modo ser conscientes de lo que percibían [Pe].
Hoy en día, los materiales educativos y didácticos son cada vez más importantes
en la educación. Para poder alcanzar un aprendizaje significativo es necesario introducir
nuevos materiales, recursos y metodologías que hagan del mismo una tarea más sencilla
tanto de enseñar como de aprender.
Es por ello que es conveniente presentar a los niños las operaciones de una
manera directa, de forma real, concreta, manipulable, que ellos puedan comprobar por
qué sumar dos y tres es igual a cinco y no simplemente memorizar que 2 + 3 = 5.
De esta manera el alumno desarrollará habilidades y destrezas que le permitirán
entender las matemáticas de una forma más concreta a través de la manipulación o el
juego para después lograr alcanzar un pensamiento abstracto. Entendiendo por sí
mismos, por ejemplo, que si tenemos 2 canicas y ponemos 2 más, hacen un total de 4. Y
no simplemente poniendo en la pizarra que 2 + 2 = 4
1 Las obras y trabajos completos de J. Piaget aparecen recogidos en la siguiente página web: http://archivespiaget.ch/sp/jean-piaget/vida/index.html (consulta: 3 de mayo de 2015)
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“El objetivo no es jugar, sino utilizar los juegos como instrumentos para alcanzar
los objetivos que se pretende.” [CDGMR. pp. 50]
Como decía Alsina, A (2004) “Siempre que se introduzca una nueva
competencia matemática, el proceso óptimo de enseñanza-aprendizaje deberá incluir la
manipulación con distintos materiales, ya que solo a partir de una enseñanza
diversificada, rica en recursos y estrategias para abordar un mismo aprendizaje,
conseguiremos que se interioricen los aprendizajes matemáticos de una forma
significativa y aumente el grado de concienciación.” [Al].
Los diferentes materiales apoyan al aprendizaje facilitando el proceso de
adquisición del mismo, desarrollando una mayor imaginación, creatividad, atención,
memoria y consiguiendo alcanzar mejores niveles de abstracción en un futuro. La
exploración de los materiales permite al niño por lo tanto la construcción de un
aprendizaje más significativo. Es por ello que debemos adecuarnos al tiempo en el que
estamos utilizando materiales y metodologías que permitan dicho aprendizaje (Rosique,
R 2009) [R].
Por todo esto, una enseñanza de las matemáticas con el apoyo de materiales
servirá para que los alumnos interioricen y entiendan el significado de las operaciones
que se están trabajando, sabiendo realizar después estas mismas operaciones sin ayuda
de los mismos, ya que habrá logrado alcanzar un conocimiento significativo que permita
razonar de una manera abstracta.
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6. POSIBLES MATERIALES Y RECURSOS
Existen muchos tipos de materiales y recursos para trabajar en el ámbito
educativo, concretamente en el área de matemáticas.
Como estas operaciones aritméticas se trabajan en los cursos de primero,
segundo y tercero de primaria será favorable utilizar en primer lugar materiales que
estén en la vida cotidiana de los alumnos, relacionados con el mundo real de los mismos
y posteriormente se pueden ir introduciendo materiales más específicos. El objetivo
final que se pretende con el uso de los materiales es lograr la realización de los
ejercicios sin ellos, por tanto la utilización de los mismos tendrá que ser progresiva, de
más sencillos a más complejos.
A continuación realizaré una breve descripción de los materiales específicos y
más tarde en las operaciones incluiré imágenes de los mismos cuando se presenten por
primera vez.
Los materiales que se pueden utilizar para trabajar las operaciones aritméticas
básicas son:
6.1. Materiales cotidianos
Tizas
Pinturas
Canicas
Tapones
Cuadernos
Palillos
6.2. Materiales específicos
Barajas de cartas. Consisten en 48 cartas clasificadas en 4 palos diferentes y
con los números del 1 al 12.
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Figura 1: Barajas de cartas. Fuente: google imágenes [consulta: 26 de mayo de 2015]
Bingos. Son cartones de 15 números generalmente, que en este caso se
pueden adaptar para poner en vez de números diferentes operaciones.
Figura 2: Bingo. Fuente: google imágenes. [consulta: 26 de mayo de 2015]
Regletas de Cuisenaire. Consisten en 10 tipos diferentes de regletas, y cada
una de ellas representa un número del 1 al 10. Todas son prismas
rectangulares y cada una de un color diferente. [Mu]
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Figura 3: Regletas de Cuisenaire. Fuente: google imágenes [consulta: 26 de mayo de 2015]
Tableros de números. Tablero formado por diferentes números del 1 al 10
con los que hay que hacer diferentes series de números.
Figura 4: Tablero de números. Fuente: google imágenes [consulta: 26 de mayo de 2015]
Dados. “Pieza cúbica, de hueso, marfil u otra materia, en cuyas caras hay
señalados puntos desde uno hasta seis, y que sirve para varios juegos de
fortuna o de hacer.” [RAE]
Figura 5: Dados. Fuente: google imágenes. [consulta: 26 de mayo de 2015]
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Dominós. Consisten en una serie de fichas rectangulares divididas en dos
partes y en cada parte hay representado un número. Es un juego que consiste
en unir unas fichas con otras y para ello lo que se pide es que los extremos
que se unan sean exactamente iguales. En matemáticas se pueden adaptar
realizando el dominó con diferentes operaciones en vez de números.
Figura 6: Dominó. Fuente: google imágenes [consulta: 26 de mayo de 2015]
Ábaco. “Cuadro de madera con diez cuerdas o alambres paralelos y en cada
uno de ellos otras tantas bolas móviles, usado en las escuelas para enseñar a
los niños los rudimentos de la aritmética, y en algunos países para ciertas
operaciones elementales en el comercio” [RAE]. Existen diferentes tipos de
ábacos según los países. La RAE lo define como cuadro de diez cuerdas pero
puede tener más o menos.
Figura 7: Ábaco. Fuente: google imágenes [consulta: 26 de mayo de 2015]
Recta numérica. Es un gráfico que se utiliza para representar diferentes
series de números con cierta relación entre sí.
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Figura 8: Recta numérica. Fuente: google imágenes [consulta: 26 de mayo de 2015]
Bloques multibase. Son diferentes figuras que sirven para representar el
sistema de numeración decimal. Constan de pequeños cubitos que
representan las unidades, filas de diez cubos que forman las decenas y
cuadrados formados por cien cubitos que representan las centenas.
Figura 9: Bloques multibase. Fuente: google imágenes. [consulta: 26 de mayo de 2015]
Tablas de Montessori. Tablero formado por 100 recuadros dispuestos de
manera 10 verticales por 10 horizontales que sirven para representar de
manera visual las diferentes tablas de multiplicar.
Figura 10: Tablas de Montessori. Fuente: google imágenes. [consulta: 26 de mayo de 2015]
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Ruedas de cálculo. Series numéricas en las que hay que realizar diferentes
operaciones matemáticas.
Figura 11: Ruedas de cálculo. Fuente: Cálculo mental [C].
http://www.ricardovazquez.es/IndexCalcMent.htm [Consulta: 26 de marzo de 2015]
Canciones de las tablas de multiplicar. Canciones en las cuales aparecen las
tablas de multiplicar.
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7. PROPUESTA PROGRESIVA DE ACTIVIDADES PARA LA ENSEÑANZA DE LOS
CONTENIDOS SOBRE LAS OAB
Atendiendo al currículum oficial de primaria, realizaré una propuesta progresiva
de actividades para la enseñanza de los contenidos sobre OAB.
Actividades para la introducción a la suma y resta de números naturales con
materiales cotidianos (1er
curso)
La primera operación aritmética básica que se trabaja en educación primaria,
concretamente en primer curso, es la suma. Esta operación se puede introducir al
mismo tiempo que la resta para estimular a los niños de esta manera a tener que
razonar sobre las situaciones que se presentan en los problemas.
En primer lugar, es conveniente introducir la suma a través de problemas
sencillos donde los alumnos vean la utilidad de dicha operación como sinónimo de
añadir, sin saber realmente que la están realizando, y siendo capaces de encontrar la
solución.
Al mismo tiempo que la suma y también a través de problemas sencillos, se
presenta la segunda OAB, es decir, la resta, pero esta vez como sinónimo de quitar.
Para comenzar con estas operaciones, es conveniente presentarlas de la
manera más cercana posible, es decir a través de materiales cotidianos para partir de
lo más concreto hacia lo más abstracto. Se trabajarán los diversos tipos de
problemas que he mencionado anteriormente en la justificación teórica.
1. Según el lugar que ocupa la incógnita: Una buena manera de trabajar estos
problemas sería utilizando pinturas. Es un objeto que todos los alumnos conocen por
lo que resultará más sencillo. Los alumnos para realizar estos problemas utilizarán
sus propias pinturas.
Ejemplo 1: María tiene 3 pinturas azules y Mikel tiene 4. ¿Cuántas tienen entre los
dos?
Ejemplo 2: María tenía 8 pinturas y ahora le quedan 3. ¿Cuántas le han quitado?
Ejemplo 3: Mikel tenía algunas pinturas, su tía le compro 3 más y ahora tiene 10.
¿Cuántas pinturas tenía?
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2. Según el significado de la situación planteada. Para trabajar estos problemas se
pueden utilizar tizas. En este caso por lo tanto los alumnos contarán con tizas.
Ejemplo 1: Problema de una situación de transformación: Lucía tiene 7 tizas y su
profesora le da 4. ¿Cuántas tizas tiene ahora?
Ejemplo 2: Problema de una situación de combinación: Lucía tiene 3 tizas y Iván
unas pocas más. Entre los dos tienen 9 tizas. ¿Cuántas tizas tiene Iván?
Ejemplo 3: Problema de una situación de comparación: Miguel tiene 5 tizas y Lucía
tiene 2. ¿Cuántas tizas tiene Lucía menos que Miguel?
3. Según la formulación verbal. Se puede trabajar estos problemas también con algún
material de la clase manipulable como pueden ser los cuadernos.
Ejemplo 1: Carlos y Lorena tienen 9 cuadernos. Carlos tiene 4 cuadernos. ¿Cuántos
tiene Lorena?
Ejemplo 2: Carlos y Lorena tienen 9 cuadernos en total. Carlos tiene 4 cuadernos.
¿Cuántos tiene Lorena?
En el primer ejemplo los alumnos pueden entender algo erróneo. El
problema dice que Carlos y Lorena tienen 9 cuadernos, pero a priori no especifica si
es entre los dos, o nueve cuadernos cada uno. Sin embargo el segundo está
perfectamente determinado. Son diferentes porque el primero puede llevar a la
ambigüedad.
4. Según la magnitud de las cantidades utilizadas. Para trabajar este tipo de
problemas en primer lugar se puede utilizar objetos cotidianos, como por ejemplo un
tapón de botella. Como ya he dicho anteriormente, la dificultad de estos problemas
dependerá de si las cantidades son mayores o menores y si hay llevadas o no.
Ejemplo 1: Mikel tiene 6 tapones y Lucía le quita 3. ¿Cuántos tendrá después de
quitárselos?
Ejemplo 2: Lorena tiene 31 tapones y Alberto le quita 7. ¿Cuántos tendrá después de
quitárselos?
Estos problemas se pueden utilizar para trabajar tanto la suma como la resta,
y la dificultad dependerá del tipo de problema que se escoja.
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Actividades para la introducción a la suma y la resta y descomposición de los números
en sumados con materiales específicos (1er
curso)
Regletas de Cuisenaire
El siguiente material propuesto para trabajar ambas operaciones de una manera
más abstracta serían las regletas de Cuisenaire.
La intención es tratar de abstraer las operaciones introducidas en primero.
Para trabajar con este material en un primer lugar los alumnos deberán
familiarizarse con ellas, hasta conseguir saber qué regleta representa a cada número.
Comenzaremos con la suma utilizando las regletas se puede demostrar que cada
número es igual a la suma de su número anterior más uno. Posteriormente se pueden ir
introduciendo el concepto de descomposición de números en sumandos. Manipulando
las regletas se puede observar que 10= 5+5=4+6=3+7=2+8=1+9.
Para la resta se utilizan como sinónimo de quitar para que de esta manera sea
posible la manipulación de las mismas. Por ejemplo: Si tengo 8 bolígrafos (regleta de
8) y se me rompen 2 (regleta de dos) ¿Cuántos me quedan? Al poner la regleta de dos
debajo de la de ocho, el trozo que falta para completarla equivale a una regleta de 6 y de
ahí se deduce la resta 8-2=6
A continuación trabajaremos los problemas que hemos realizado en el primer
apartado pero en este caso utilizaremos las regletas. Por ejemplo el primer problema que
hemos planteado con pinturas se realizará con regletas. Se le dará a María una regleta de
3 y a Mikel una de 4 para que al juntarla puedan comprobar que la resultante es una
regleta de 7.
Recta numérica
Otro, posible recurso para trabajar la iniciación a la suma es una recta numérica.
En un papel continuo se dibuja una recta numérica con los números del 1 al 10 para
trabajar la suma en primer lugar sin llevadas. El cálculo de la suma en este caso puede
ser considerado como un juego en el que colocando una ficha en el primer sumando
(ejemplo: si es 5+2 colocamos la ficha en la recta en el número 5) se va avanzando
tantas casillas como nos indica el segundo sumando (en este caso 2). El resultado de la
suma es el lugar de la recta hasta donde hemos llegado (en este caso 7).
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Para trabajar la resta, la recta numérica será utilizada de forma contraria, la ficha
en vez de avanzar, retrocederá el número de casillas que indica el segundo número. De
esta manera si tenemos la resta 7-3, partiendo del número 7 y retrocediendo 3 lugares
llegaremos al número 4, por lo que se deduce que 7-3=4.
Dados
Los dados también sirven para trabajar la suma En este juego pueden jugar
muchos jugadores dependiendo de la dificultad que se quiera. Cada jugador tendrá un
dado. Todos tirarán el dado a la vez y el primero que haga la suma de los diferentes
dados ganará un punto. Finalmente gana el que mayor puntuación consiga. Este juego
puede tener diferentes variantes. Para trabajar también el número par o impar además de
la suma, deberán de decir si la suma de los números que han lanzado es par o impar. El
primero que lo diga ganará.
Introducción del lenguaje simbólico
Una vez introducidas la suma y la resta se representan gráficamente. En cuanto a
la suma, a la hora de sumar dos o más cantidades, se dice que añadimos una a la otra, o
que sumamos una y otra. Por lo tanto se asociará el símbolo de la suma, representado
con un +, siempre que se hable de situaciones de añadir o de sumar una y otra. Es decir
que cuando se dice 5 más 3 es igual a 8, se representa así: 5+3=8. Con la resta es el
caso contrario, se asociará el símbolo de la resta, representado con un -, siempre que se
hable de quitar o de restar. Por lo tanto cuando se diga 9 menos 3 es igual a 6, se
representará así: 9-3=6
También sería conveniente incluir la representación de la suma y resta en
columna. Primero propondré sumas y restas de una cifra en columna. Por ejemplo para
hacer 7 menos cinco, se coloca el 5 debajo del 7 y se escribe el resultado debajo de la
línea divisora. Posteriormente se explican por ejemplo con números de dos cifras como
pueden ser 36 y 24. En el caso de la suma da igual el orden en que se colocan los
sumandos pero siempre las unidades con las unidades y las decenas con las decenas en
columna. A continuación se pone a la izquierda el signo de la operación y finalmente
debajo de una línea divisora se escribe el resultado. Con la resta ocurre lo mismo pero
siempre el número mayor se pone en el minuendo (en este caso 36), el menor en el
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sustraendo (en este caso 24) y el resultado obtenido es la diferencia que también se pone
por debajo de una línea divisora.
Actividades para la utilización de los algoritmos estándar de suma y resta. (1er
curso)
Una vez planteadas la suma y la resta a través de problemas, se presentan los
algoritmos de las mismas, en primer lugar sin llevadas, y progresivamente partiendo de
operaciones con una cifra, luego con dos… hasta finalmente presentar la suma y la resta
con llevadas.
Una vez presentada la suma y resta de una cifra, será el turno de las sumas y
restas de dos cifras sin llevada. Los alumnos ya conocen el sistema de numeración
decimal, las unidades y las decenas. A la hora de realizar sumas de dos cifras hacer
especial hincapié en la forma de colocar los términos de forma vertical, ya que se
pueden producir cambios de unidades a decenas.
Ábaco
Un material que se puede utilizar es el ábaco. Para representar un número de dos
cifras (ejemplo 35) en el ábaco en primer lugar se ponen las decenas (3) y en segundo
lugar las unidades (5). Si a ese número 35 le queremos sumar 12, se añaden dos bolitas
a las unidades (2) y una bolita a las decenas (3). El resultado será el número que quede
representado en el ábaco, en este caso 47. Podemos utilizar también este material para
trabajar la resta. Los pasos son muy similares. Ejemplo de resta: 34-13=? En primer
lugar representamos el número 34 (primero las decenas y luego las unidades). Una vez
representado quitamos el número de bolitas que indican las unidades del segundo
número (en este caso 3) a las unidades que tenemos en el ábaco, y repetimos el proceso
con las decenas. El resultado será el número que quede representado en el ábaco. En
este caso 21. De la misma forma se pueden trabajar también las sumas y restas con tres
cifras sin llevadas.
Actividades para el cálculo mental automático ( 2º curso)
Al mismo tiempo que se trabajan los algoritmos de la suma y de la resta, sería
conveniente trabajar el cálculo mental.
32
Ruedas de cálculo
Un posible material para trabajar el cálculo son las ruedas de cálculo. Consisten
en series en forma circular en las que se pueden trabajar todas las operaciones que se
quiera. Se empieza por un número y se termina en el mismo. Hay que hacer diferentes
operaciones hasta conseguirlo. Por ejemplo se empieza por el número 50, el siguiente
paso es restarle 3, el número resultante se pone en el cuadro siguiente, a ese número se
le suma 15 y se pone en el siguiente y así sucesivamente. En el último cuadro en se
puede poner la incógnita en el número a sumar en vez de en el resultante que ya está
escrito (en este caso 50).
Tablero de números
Con el tablero de números podemos trabajar también el cálculo mental. Se trata
de un tablero en el que hay muchos números del 1 al 10. Consiste en buscar series de
números que sumen el número que se elija. Por ejemplo 30. Habrá que buscar por tanto
una serie que sume 30 y cuántos más dígitos se utilicen más puntos se consiguen. La
dificultad varía según a las necesidades que se tengan que atender en ese momento. Se
puede utilizar para sumas sin llevadas como por ejemplo 6, o para sumas con posibles
llevadas como por ejemplo 30.
Dados
Otro material para trabajar el cálculo mental son los dados. Con ayuda de un
dado y del profesor se pueden realizar la siguiente actividad. El profesor tira el dado y
dice en alto una operación (suma, resta o multiplicación en este caso), el primer alumno
tira el dado y al número anterior y al que ha salido hace la operación que ha indicado el
profesor y se lo pasa al siguiente alumno. Por ejemplo: El profesor tira el dado y sale 5
y dice suma, el siguiente alumno tira el dado y sale 3 el alumno deberá de sumar 5+3 y
decir en alto 8 y pasar el dado a su compañero, el profesor vuelve a decir una operación
y el alumno la deberá hacer entre el 8 y el número que le salga en el dado.
33
El curso al que va destinada está actividad depende de las operaciones que se
incluyan en el cálculo, pudiendo trabajarse incluso en tercer curso si se incluye la
división.
Cálculo mental. Estrategias de cálculo mental.
Una vez planteados los ejercicios anteriores, se proponen diferentes situaciones
en las que los alumnos dirán qué hacen para resolverlas. Esto servirá para explicar
diferentes estrategias de cálculo mental.
Por ejemplo: ¿Cómo se puede sumar 8 + 9? Una posible solución sería 8 + 8 + 1.
O ¿cómo se puede sumar 3400 + 2300? Una posible solución sería 34 + 23 y al
resultado añadir dos ceros.
El cálculo mental debería de ejercitarse incluso en ausencia de materiales.
En los problemas de sumas se pueden encontrar diferentes estrategias para
calcular el resultado que se pide. Estas estrategias se clasifican en cuatro tipos (basados
en [Ar]):
Estrategia de descomposición: En esta estrategia hay dos opciones:
- Una de ellas es pensar en el doble. Por ejemplo si se pide 8+9 se piensa en el doble
de 8 que es 16 y se suma 1, es decir 17.
- La otra consiste en completar el número hasta 10. Por ejemplo si se pide 4+9 se hace
4+6=10 , 10+3= 13. Este caso también se puede utilizar para la resta. Por ejemplo:
15-8 se hace 15-5=10, 10-3=7.
Estrategia de contar a partir del cardinal de uno de los dos sumandos,
generalmente se hace a partir del número mayor.
Por ejemplo 6+3= 6+1+1+1=9
Estrategia de compensación: Se piensa en dos números que hagan una
compensación de la suma que se pide. Por ejemplo 5+7 se piensa en 6+6=12
34
Estrategia de supresión de ceros: Esta estrategia se utiliza en operaciones en las que
alguno de los sumandos terminan en ceros. El proceso consiste en prescindir de los
mismos para añadirlos al final. Por ejemplo: 2500+1500 se piensa en 25+15=40 y
ahora se añaden los ceros es decir 4000.
En los problemas de las restas también se pueden encontrar diferentes estrategias
de cálculo. Hay cuatro tipos de estrategias (basados en [Ar]):
Estrategia de “quitar”. Consiste en representar el total y a partir de ahí quitar la
parte que se pretende eliminar o parte conocida, por lo que el resultado será la parte
que se desconoce.
Estrategia de “emparejamiento”. Esta estrategia solo puede utilizarse en problemas
de comparación. Por ejemplo: Mikel tiene 6 gomas y María 4. ¿Cuántos gomas más
tiene Mikel que María?
Estrategia de recuento. Consiste en contar de una manera progresiva desde el
número menor o de una manera regresiva desde el número mayor.
Una posible estrategia de cálculo es en vez realizar la operación con el número
que te mandan, descomponer ese número en otros más sencillos. Por ejemplo si
vamos a trabajar la resta restando 9. En vez de restar 9, podemos restar primero 5 y
luego 4. Por ejemplo 27 – 9 = 27 - 5 (22) – 4(18) = 18. Se puede escribir la
estrategia en la pizarra, en este caso - 9 = - 5 - 4 y realizar operaciones con
diferentes números para de esta manera practicar la resta del número 9.
Actividades para las sumas y restas con llevadas (2º curso)
Para trabajar las sumas y restas con llevadas se puede utilizar el ábaco, o los
cubos multibase.
Antes de empezar a trabajar las sumas y restas con llevadas tenemos que estar
seguros de que los alumnos dominan el sistema decimal. Al mismo tiempo que se
trabajan las sumas y restas con llevadas se sigue reforzando el mismo. Es conveniente
35
que los niños trabajen con apoyo de materiales hasta que los conceptos queden claros y
después pasar a trabajar mediante un procedimiento escrito.
Ábaco
En primer lugar se trabajan las sumas con llevadas. Un posible material para
trabajarla es el ábaco. Para sumar con el ábaco, como ya he dicho anteriormente los
alumnos deben dominar el sistema decimal, y tener claro que una decena equivale a 10
unidades y una centena equivale a 10 decenas y 100 unidades, así que a la vez que se
practican las sumas con llevadas se podrá repasar el sistema decimal.
En primer lugar y una vez que se hayan presentado las cantidades a sumar, por
ejemplo 17+25, se representa en el ábaco cualquiera de los dos números por ejemplo el
25, de tal manera que habrá 2 bolitas en las decenas y 5 en las unidades. Una vez
representado el primer número hay que sumarle el segundo, para ello se comienza por
las unidades. Hay que añadir 7 bolitas a las 5 que ya había. El número resultante es 12.
Como por el 12 entero no se puede poner en las unidades, hay que convertir 10 unidades
en una decena, por lo tanto quitamos 10 bolitas de las unidades, y añadimos 1 a las
decenas. El número que hay representado ahora es el 32, pero todavía queda sumar la
decena del 17 por lo tanto hay que añadir una bolita a la fila de las decenas, es decir que
se transforma en el número 42, por lo que se deduce que 17+25 es igual a 42.
Bloques multibase
Para trabajar las restas con llevadas me he basado en ideas que he tomado de
[Ap] y un posible material serían los bloques multibase. Para realizar por ejemplo la
resta 32-17, se representa el minuendo y para ello se coge en este caso tres decenas
(barras) y dos unidades (cubitos). A este número tenemos que quitarle 17, no habría
ningún problema en quitar una barra a las tres que se han representado, pero con las
unidades no se puede hacer lo mismo ya que habría que quitar siete a dos y no se puede.
Por lo tanto, atendiendo al sistema decimal, se transforma una barra en diez cubitos, por
lo que habrá como minuendo ahora dos barras y doce cubitos. Ahora ya se puede quitar
siete cubitos a los doce que hay, y una decenas a las dos que quedan. El número
resultante es una barra y cinco cubitos por lo tanto se deduce que 32-17=15.
36
Una vez trabajadas las sumas y las restas con llevadas mediante el apoyo de
materiales se trabajan los algoritmos de la suma y la resta con llevadas. Si han
entendido bien el concepto de suma y resta con llevadas no tiene que haber problemas a
la hora de llevarlas al papel escrito. Sería conveniente una breve explicación de las
mismas a través de un power point o de un video en el que se vayan viendo los pasos
uno por uno. Para trabajar la suma y resta con llevadas un posible ejemplo de
presentación de power point sería el realizado por Clari Martínez [Mtz], que se puede
encontrar en el siguiente enlace https://espartero2primaria.wordpress.com/page/11/
Actividades para el cálculo mental automático: construcción y memorización de las
tablas de sumar y restar de hasta 10 más 10 ( 2º curso)
Para trabajar el cálculo de sumas y restas se utilizarán unas tablas de cartulina en
la que por un lado aparece la suma o resta, por ejemplo, 11+9 y por el otro lado de la
cartulina a la misma altura el resultado, en este caso 20. Se utilizan por parejas, un
miembro de la misma ve todos los resultados y el otro todas las operaciones. Se deberá
decir correctamente todas las operaciones intercambiando los roles una vez terminadas
las mismas.
Actividades para la suma y resta a través de juegos (1er
y 2º curso)
Dominó
Una vez presentadas las sumas y las restas completas, se podrá utilizar juegos
motivadores. Un posible juego será un dominó de sumas y restas en el que a diferencia
del dominó tradicional en una de las dos casillas de la ficha, irá una suma o resta que
deberán de unir con posibles resultados hasta conseguir quedarse sin fichas. El primero
en quedarse sin ninguna ganará el juego.
Actividades para la presentación de la propiedad conmutativa (2º curso)
Regletas de Cuisenaire
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Al mismo tiempo que se trabajan estas dos OAB se presenta el concepto de
propiedad conmutativa de la suma, propiedad de algunas operaciones en las que el
orden de ejecución de la operación no se altera el resultado. Un posible material para
trabajar este concepto serían las regletas de Cuisenaire, ya que las regletas permiten
visualizar de una manera muy clara la igualdad de la regleta resultante al sumar 5+2 que
2+5.
Barajas de cartas
Otro material serían las barajas de cartas. Para que los alumnos vean que es lo
mismo sumar por ejemplo 3+4 que 4+3 utilizaremos dos barajas de cartas con números
del 1 al 20 cada una. Ser realizará un juego por parejas. Cada participante será
responsable de sacar cartas de un montón. Al mismo tiempo sacarán la primera carta del
montón poniéndola boca-arriba y el primero en realizar la suma de ambas cartas de
forma correcta se llevará las mismas. Ambos deberán decir la operación que han
pensado. De esta manera verán que da igual el orden de los sumandos porque el
resultado no varía. Ganará el jugador que con más cartas consiga terminar la partida.
Actividades de iniciación a la multiplicación (1er
curso)
La siguiente operación aritmética básica es la multiplicación. Dicha operación se
introduce en primero de primaria como suma de sumandos iguales, pero no es hasta
segundo de primaria cuando se inicia la memorización de las tablas. Al igual que con
las operaciones anteriores, trataré de introducirla dotándola de significado.
Materiales cotidianos
Es conveniente presentar la multiplicación a través de problemas sencillos, y
utilizando materiales cotidianos, al igual que en la suma y la resta.
Un posible material para introducirla serían las pinturas. Se pueden plantear dos
tipos diferentes de situaciones que he explicado anteriormente.
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- Multiplicación. Razón 1. Por ejemplo: A María le regalan 4 pinturas cada
vez que va a la librería. Si María va a la librería 3 veces a la semana.
¿Cuántas pinturas obtiene en total durante toda la semana?
- Multiplicación. Razón 2. Por ejemplo: Lorena compró 6 pinturas. Cada
pintura le costó 2 euros. ¿Cuántos euros pagó en total?
Otro ejemplo de material para ver de una forma más concreta la multiplicación
sería una simple caja de cartón con un agujero en la tapa y canicas. Para trabajar por
ejemplo la tabla del 3, en primer lugar se forma un grupo de tres canicas y se introduce
por el agujero. Se abre la tapa y se deduce que 3x1=3 (que son las canicas que hay en la
caja). Posteriormente se meten en la caja dos grupos de 3 canicas. Se abre la tapa y hay
6 canicas, por lo que se deduce que 3x2=6 y así sucesivamente. [M]
Introducción del lenguaje simbólico
Como ya he dicho anteriormente, para representar la suma se utiliza el símbolo +
y para representar la resta el símbolo -. En el caso de la multiplicación el símbolo que se
utiliza es la X e indica una suma reiterada entre dos números. Cuando se dice 3 por 4 es
igual a 12, se escribe 3x4=12.
Actividades para la presentación y memorización de las tablas de multiplicar (2º curso)
Tablas de Montessori
Un material muy interesante para trabajar la multiplicación son las tablas de
Montessori [F]. Este recurso permite al niño visualizar el concepto de multiplicación.
Estas tablas tienen diez círculos en cada eje de manera que cada vez que se quiera
visualizar la multiplicación 2x5, por ejemplo, se debe rellenar los círculos
comprendidos entre el número 2 de un eje y el 5 de otro. Se verá así que el número de
círculos que se ha tenido que completar es 10. Además se puede observar también que
el resultado es el mismo al realizar 2x5 que 5x2. Con ayuda de estas tablas se pueden
realizar actividades que fomenten la memorización de las tablas en los niños.
39
Regletas
También se pueden utilizar las regletas para trabajar las tablas de multiplicar.
Sirve para además para ver muy claramente la propiedad conmutativa. Si utilizamos
una regleta de 2 cuatro veces el resultado será el equivalente a una regleta de 8, por lo
que se deduce que 2x4=8. De la misma manera, si utilizamos una regleta de 4 dos veces,
el resultado también será el equivalente a una regleta de 8. Por lo que se deduce que
4x2=8 es decir, que multiplicar 2x4 es lo mismo que multiplicar 4x2.
Canciones
Otro recurso para el aprendizaje de las tablas son las canciones de las mismas,
puede ser conveniente presentarlas a la vez que se muestran las tablas por primera vez.
Las canciones ayudan a la memorización de las mismas. Un ejemplo son las canciones
de las tablas de multiplicación de Miliki, que se pueden encontrar en YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=oxmlTdVPIaQ
Actividades para trabajar la multiplicación a través de juegos (2ºcurso)
Bingo
Una vez memorizadas las tablas, un posible material para trabajarlas sería el
bingo. El bingo consiste en un cartón dividido en 15 casillas, y en el interior de cada
casilla se encuentra una multiplicación, por ejemplo 3x8. El profesor será el encargado
de decir los números (del 0 al 90) y los alumnos deberán de tachar la casilla en caso de
que el número dicho se corresponda con alguna de las multiplicaciones que tienen en el
cartón.
Tablero
También se puede realizar el siguiente juego que consiste en realizar en una
cartulina un tablero similar a este:
40
25 15 40
18 12 8
30 16 45
En primer lugar se divide la clase en dos grupos, el rojo y el verde por ejemplo.
El turno de palabra se le dará una vez a cada grupo. El grupo que tenga la palabra
deberá de decir una multiplicación en la que el resultado sea uno de los que hay en las
casillas. En caso correcto se pintará la casilla del color del grupo y se pasará la palabra
la grupo siguiente. Se repetirá el proceso. Los alumnos tienen que intentar hacer tres en
raya. Si algún grupo lo consigue ganará un punto, y puede volver a repetirse el proceso.
Actividades de introducción a la división con materiales cotidianos (1er
curso)
En primer lugar se introduce el concepto de división o reparto a través de
problemas sencillos y con objetos manipulables en las que el resultado de este problema
sea exacto. Por ejemplo se puede introducir la división utilizando tizas de colores.
Los problemas de división se pueden clasificar en dos tipos como he explicado
anteriormente.
- División. Partición / Razón: Una caja tiene 50 tizas de colores. Hay 5 tipos
de colores y el mismo número de tizas de cada color. ¿Cuántas tizas hay de
cada color?
- División. Cuotición o agrupamiento / Razón: Una caja tiene 50 tizas de
colores. Hay 10 tizas de cada color. ¿Cuántos colores diferentes hay?
Actividades para la iniciación a la división por una cifra (2º curso)
Regletas de Cuisenaire
La división se presenta como un reparto en partes iguales.
Se puede utilizar las regletas de Cuisenaire para que a través de la manipulación
los niños abstraigan el significado de la división. Con ayuda de una regleta, por ejemplo
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de 8, en primer lugar se debe dividir la regleta de 8 en 8 regletas de 1. Una vez que
tengamos eso se puede presentar el siguiente problema: “María tiene 8 caramelos y los
quiere dividir en partes iguales entre sus cuatro amigos. ¿Cuántos caramelos recibirá
cada uno? Repartiendo las 8 regletas de 1 que hay en 4 cajitas o círculos que
representan a cada niño, se puede visualizar que cada niño recibirá 2 regletas por lo que
se deduce que 8:4=2.
Otra manera de utilizar las regletas es viendo cuántas regletas de x (divisor)
caben en una regleta de y (dividendo). Por ejemplo para realizar la división 15 entre 3,
tenemos que comprobar cuantas regletas de 3 caben en una de 15(es decir una regleta de
10 más una regleta de 5). Una vez realizado veremos que el resultado es 5 por lo que se
puede deducir que 15: 3 = 5. Además se puede comprobar que 15: 5 = 3
Actividades para trabajar la división como operación inversa a la multiplicación (2º
curso)
Materiales cotidianos
Una vez que haya quedado claro el concepto de multiplicación como adición
reiterada, se puede presentar la división o el reparto como su operación inversa. Si la
multiplicación demuestra que 3x4=12, con la división se pone de manifiesto que 12:4=3
y 12:3=4. Para demostrar esto, se puede utilizar cualquier material manipulable, como
pueden ser garbanzos, lentejas, canicas…
Con ayuda por ejemplo de las canicas, hay que formar 3 grupo de 4 canicas. Una
vez formados se puede comprobar que la multiplicación 3x4 es igual a 12. Ahora se
realizará lo contrario, habrá que repartir las 12 canicas de una manera exacta en 3
grupos. Se comprueba así que a cada grupo le tocan 4 canicas. Y si se dividen en 4
grupos, se comprueba que toca a 3. Por lo que se demuestra que la división es la
operación inversa a la multiplicación.
Actividades para la división de números naturales. (3º curso)
La división es la operación aritmética básica que trae consigo mayores
dificultades a la hora de su resolución.
42
Para empezar a dividir números naturales, es conveniente hacerlo de una manera
progresiva. Además primero se enseña la división exacta y después con resto. En primer
lugar se empieza por las divisiones en las que el divisor tenga una sola cifra, más tarde
con dos y así sucesivamente. Para realizar la división los alumnos deben contar con
ciertos conocimientos previos, así como comprender y resolver la sustracción o resta,
también la multiplicación, y entender el valor posicional de los números.
Regletas
Una vez trabajada la división exacta, para introducir la división con resto hay
que empezar por situaciones sencillas. Por ejemplo como dividir 5 caramelos entre 3
niños.
En este caso dividimos una regleta de 5 en 5 regletas de 1. Repartiendo las 5
regletas de 1 en 3 cajitas que representan a cada niño, vemos que toca una regleta a cada
uno pero que nos sobran dos. Por lo que se deduce que no es una división exacta y que
su resto es 2.
Posteriormente se va incrementando la dificultad de los problemas. Por ejemplo
cómo dividir 26: 3 o finalmente incluso introduciendo las centenas, por ejemplo cómo
dividir 143: 3.
Bloques multibase
Un posible material para trabajar divisiones más complejas son los bloques
multibase. Para resolver el ejemplo anterior 143: 3, lo primero que se hace es
representar el dividendo (143) con el bloque multibase, para ello se utilizará 1 centena,
4 decenas y 3 unidades. Como dividir es agrupar la primera pregunta que hay que
hacerse es si se puede formar grupos de 3 (que es el divisor) con 1 bloque de centenas.
Como no se puede, lo que hay que hacer es transformar la centena en 10 decenas. Por lo
tanto ahora quedan 14 decenas y 3 unidades. La siguiente pregunta que surge, es si se
pueden realizar grupos de 3 con las 14 decenas. En este caso la respuesta es afirmativa,
por lo tanto habrá que comprobar cuántos grupos se pueden hacer. En este caso salen
cuatro grupos y sobran dos decenas. Y este resultado se debe anotar ya en el resultado
final. Como con las dos decenas que han sobrado no se pueden hacer más grupos, habrá
que cambiarlas por 20 unidades que sumadas con las 3 que había forman un total de 23.
43
Habrá que volver a hacer la pregunta de si se puede formar grupos de 3 con 23
unidades. La respuesta también es afirmativa: salen 7 grupos y sobran 2 unidades. Este
número también se anota en el resultado y ya está resuelta la división. 143:3=47 y de
resto 2.
Actividades para la representación simbólica de la división (2º y 3º curso)
Al igual que se han representado gráficamente las operaciones anteriores, con la
división ocurre lo mismo. Para repartir dos cantidades se dice por ejemplo 25 entre 5,
esto quiere decir que el 25 es el dividendo (la cantidad que hay que repartir) y que 5 es
el divisor (entre los que hay que dividir). Se representa con el símbolo (:) o a veces
incluso (/). Por lo tanto se escribiría 25:5=5
Actividades para la introducción de algoritmos de división y multiplicación (2º y 3º
curso.
Finalmente y partiendo de la manipulación que hemos realizado
anteriormente, se abstraen los mecanismos realizados tanto en la multiplicación
como en la división a través de los algoritmos.
En primer lugar se realizan multiplicaciones por una cifra. Por ejemplo 23 x
4. Se explica que en un primer lugar han de hacer 4 x 3 y poner en el resultado
solamente la unidad del resultado que hemos obtenido de esa operación. La decena
se sumará con el resultado de 4 x 2, y este resultado se añade al que ya teníamos.
Posteriormente se realizarán multiplicaciones por dos cifras y de números con
centenas y así sucesivamente.
En cuanto a la división, primero se realizarán divisiones en las que el
cociente tenga solo una cifra. Por ejemplo 23: 4. En este caso como dos entre cuatro
no es posible de dividir se coge el 23 entero para dividir entre cuatro. Al no ser una
división exacta, como ya hemos visto antes, tendremos una división con resto.
Posteriormente se introducen divisiones con centenas y números de más cifras en el
cociente.
44
45
8. CONCLUSIÓN
Como conclusión general de este trabajo pienso que es un proyecto interesante
ya que abarca diferentes contenidos de matemáticas de una manera en la que los
alumnos adquieren un conocimiento significativo y no simplemente aprenden una
sucesión de fórmulas.
Creo que es importante utilizar una metodología semejante a la que presento yo
en este trabajo y utilizar nuevas estrategias de trabajo para aumentar así la participación
y el interés de los alumnos en dicha asignatura.
La variedad de materiales con los que se puede enseñar las matemáticas es
infinita y por lo tanto creo que deberíamos aprovecharla para así facilitar la adquisición
de los conocimientos de nuestros alumnos.
Por último decir que no he podido sacar conclusiones concretas de este trabajo
debido a que no lo he puesto en práctica. La única actividad que he podido realizar
durante mis prácticas en el colegio es la del tablero, que resultó una actividad muy
entretenida y motivadora para los alumnos. Además tuvieron que realizar
multiplicaciones de forma inversa: a partir de un resultado pensar en los productos, y
eso provocó que las operaciones no resultaran tan sencillas como hasta el momento.
Después de la bibliografía revisada para realizarlo y lo poco que he podido
observar durante mis prácticas en el colegio, considero que es una propuesta bastante
completa pero que a la hora de llevarla a la práctica es posible que haya que realizar
diferentes modificaciones según el grupo de alumnos y los inconvenientes que se vayan
observando a lo largo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
46
47
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