APPUNTI SUL CAMPO MAGNETICO ROTANTE

Campo Magnetico Rotante ad una coppia polare Consideriamo la struttura in figura che rappresenta la vista, in sezione trasversale, di un cilindro

cavo, costituito da un materiale ad alta permeabilit relativa, in cui alloggiato un elettromagnete

opportunamente sagomato ed alimentato da una corrente continua. Lelettromagnete, il cui nucleo

anchesso ad alta permeabilit, libero di ruotare, sia in senso orario sia antiorario, intorno al

proprio asse centrale qualora venisse messo in rotazione da un motore primo esterno. Nel seguito

chiameremo, in gergo, ferro ogni materiale ad alta permeabilit relativa.

Tra la parte mobile (rotore) e quella fissa (statore) c uno spazio in aria (permeabilit relativa

unitaria) che detto traferro. La riluttanza dellaria risulta, in generale, essere molto pi grande di

quella del ferro in virt dellalta permeabilt di questultimo che >>1. Quindi si ha:

AriaFeAriaRRR +

Ci ci permette di considerare che tutta la forza magnetomotrice relativa alla struttura in esame sia

concentrata nel traferro.

Assumiamo inoltre che la particolare sagomatura dellelettromagnete produca nel traferro una

distribuzione spaziale di induzione sinusoidale. Per un assegnato sistema di riferimento di

coordinata angolare la distribuzione dellinduzione, al traferro, a rotore fermo sia:

( ) cos( )MB B =

S N

Riferimento angolo

)(B

2

pi pi

2pi

Se adesso si fa ruotare il rotore ad una velocit angolare si potr scrivere, relativamente ad un

osservatore fisso esterno alla struttura:

( , ) cos( )MB t B t = dove il segno indica il fatto che la rotazione impressa pu essere oraria o antioraria rispetto

allosservatore.

La precedente espressione dunque la descrizione matematica relativa ad un campo magnetico

rotante generato da una rotazione meccanica di un elettromagnete a 1 coppia polare Nord (N) Sud

(S).

Vediamo ora come sia possibile generare un analogo campo magnetico rotante al traferro senza

operare uneffettiva rotazione meccanica ma attraverso adeguate correnti fluenti variabili nel tempo

e fluenti in conduttori alloggiati in opportune cave realizzate nello statore

(Ricordiamo che: HB 0= con IH )

Se le correnti fossero correnti continue, e immaginando che le cave siano pi delle due disegnate in

figura e che occupino quindi un settore circolare di statore, si sicuramente in grado di realizzare

un campo magnetico statico al traferro che abbia distribuzione spaziale ancora di tipo sinusoidale

nel sistema di riferimento di coordinata angolare (detta anomalia) . Si avr che, assegnato segno

positivo al polo Nord (N) e viceversa a quello Sud (S):

( ) cos( )MB B =

1I

1I

Conduttore

Campo Magnetico

N S

)(B

2

pi pi

2pi

traferro in aria

N N

S

Alimentiamo ora i conduttori di statore con un generatore di corrente che varia nel tempo in modo

puramente sinusoidale con pulsazione :

( ) cos( )MI t I t=

La relativa forza magnetomotrice prodotta al traferro, e quindi linduzione, saranno anchessi

sinusoidali e dipendenti dallanomalia . Un osservatore esterno alla struttura vedr nel traferro un

campo pari a :

( , ) cos( )cos( )MB t B t =

Che un campo pulsante nel tempo(onda stazionaria). In figura riportiamo landamento

dellinduzione per tre istanti di tempo diversi

Da un punto di vista matematico possiamo decomporre il campo pulsante utilizzando semplici

relazioni trigonometriche:

( , ) [cos( ) cos( )]2

MBB t t t = + +

Ci si accorge immediatamente che londa stazionaria pu essere vista come la sovrapposizione di

due campi magnetici, ciascuno rotante in verso opposto allaltro (uno verso orario = inverso, laltro

antiorario = diretto).

In presenza di un campo rotante dovuto ad un elettromagnete evidente che un osservatore in moto

solidalmente con il rotore non vedrebbe alcuna variazione di induzione nel tempo, cio misurerebbe

un campo costante.

La velocit di rotazione dei due campi diretto e inverso si pu allora calcolare semplicemente

ponendo a zero la derivata dellargomento di ciascuno dei due coseni delle componenti del campo

totale:

==+=+dt

d

dt

dt

dt

d00][ (campo inverso)

===dt

d

dt

dt

dt

d00][ (campo diretto)

Quindi la pulsazione elettrica svolge lo stesso ruolo della velocit meccanica .

( , )B t

0tt =

1tt =

2tt =

Per ottenere allora un effettivo campo magnetico rotante basta sopprimere o il campo orario o

quello antiorario. Si pu operare come segue:

Si dispongono sullo statore due avvolgimenti, meccanicamente sfasati di un angolo , come in

figura, e percorsi da correnti di uguale ampiezza ma sfasate nel tempo di una quantit :

1( ) cos( )Mi t I t= e )cos()(2 += tIti M

Nel traferro le due induzioni, che ciascuna corrente in grado di produrre, possono essere sommate

(il mezzo nel traferro lineare).

Si avr per linduzione totale:

( , ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( )M MB t B t B t = + + +

Quindi:

( , ) [cos( ) cos( )]2

[cos( ) cos( )]2

M

M

BB t t t

Bt t

= + + +

+ + + + + +

(la sovrapposizione lecita assumendo la dellaria lineare e ferro cio la riluttanza

0FerroR )

Facciamo in modo che i due campi inversi si elidano:

pi +++=+ tt

(se la differenza tra gli angoli in modulo pi i due coseni si annullano)

Infine massimizziamo il campo massimo del campo diretto ponendo

+++=+ tt

2i

1i

1i

2i

Dunque:

In tal modo si creato un campo magnetico-rotante Bifase

Campo magneto-rotante Trifase

In accordo con quanto fatto in precedenza, disponiamo ora sullo statore 3 avvolgimenti.

I tre avvolgimenti siano alimentati con una terna trifase simmetrica di correnti.

Fissato come riferimento, lo spostamento angolare meccanico del primo avvolgimento avremo:

Induzione dovuta al primo avvolgimento:

1( , ) cos( )cos( )MB t B t =

Induzione dovuta al secondo avvolgimento:

2 2

2( , ) cos( )cos( )

3MB t B t pi = +

Induzione dovuta al terzo avvolgimento:

3 3

4( ) cos( )cos( )

3MB t B t pi = +

Linduzione totale si otterr dalla somma delle tre induzioni precedenti.

0=

=+

pi

2

pi

=

=

)cos(1

tIiM

=

)2

cos(2

pi += tIi

M

Avremo:

1

2 2

3 3

( ) [cos( ) cos( )]2

2 2[cos( ) cos( )]

2 3 3

4 4[cos( ) cos( )]

2 3 3

M

M

M

BB t t t

Bt t

Bt t

pi pi

pi pi

= + + +

+ + + +

+ + + +

Facciamo ora in modo che i diretti si sommino in fase. E ovvio che deve essere:

2

2

3 pi= e 2

4

3 pi=

Sostituendo tali valori ai campi inversi si trova che la loro somma nulla. Infatti:

4 8( , ) [cos( ) cos( )cos( )]

2 3 3M

inverso

BB t t t t pi pi= + + + +

Come si pu facilmente verificare ragionando con i fasori relativi:

Quindi rimane solo la somma dei campi diretti

Questo campo rotante quello ovviamente utilizzato nei sistemi trifase.

InvB

1

InvB

3

Inv

B2

3( , ) cos( )

2MB t B t =

Ricapitolando, nel caso di elettromagnete rotante, se rn indica i giri al minuto di rotore, la velocit

angolare meccanica varr 2

60rnpi = . Nel caso di campo magnetico generato dallo statore la

velocit del campo, indicata con n, direttamente legata alla frequenza dalle relazioni:

fnHzf 6050 == , dunque i giri al minuto del campo magnetico rotante per una coppia polare

sono pari a 3000 giri/minuto.

Campo Magnetico Rotante a p >1 coppie polari Il campo fin qui visto un campo a una coppia polare perch generato da una sola coppia polare

Nord e Sud.

Per realizzare una configurazione a due coppie polari nel caso dellelettromagnete rotante,

necessario aggiungere un altro paio di bracci al magnete:

In tal caso lascissa angolare passa ora dal valore a 2

Infatti per due coppie polari si ha

( ) cos(2 )MB B =

E il campo magnetico rotante assume la forma:

( , ) cos( 2 )MB t B t =

per cui la velocit del campo varr ora, considerando il campo diretto:

2020)2(

+===

dt

d

dt

dt

dt

d

Quindi la velocit di rotazione si dimezzata

Estensione:

Pi in generale per p coppie polari si avr:

( , ) cos( )MB t B t p =

S

S

)(B

2

pi

2

pi

pi

N

S

N

N N

per cui la velocit del campo varr ora, considerando il campo diretto:

( ) 0 0d d d

t p pdt dt dt p

= = = +

Per ottenere unanaloga espressione nel caso di generazione di un campo magnetico trifase rotante

di statore occorrer realizzare p coppie polari per ciascuno dei tre avvolgimenti. In figura riportato

un esempio, relativo a p = 2, dove per semplicit si riporta solo la modalit di avvolgimento di una

sola fase delle tre (le altre due fasi seguono la stessa modalit di avvolgimento e sono sfasate di 120

gradi meccanici una con laltra):

Ricapitolando per p coppie polari:

nel caso di campo magnetico generato dallo statore la velocit del campo, indicata con n,

direttamente legata alla frequenza dalle relazioni: 60

50f

f Hz np

= = , cos ad esempio il numero

giri al minuto del campo magnetico rotante per 2 coppie polari 1500 giri/minuto.

S

N

1

1

1

1

N

S