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2015
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo
[APPUNTI DI FISICA: LA RELATIVITA’]
Dai Teoremi del campo elettrico alla Relatività Generale.
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 1
1) TEOREMA DI GAUSS nel campo elettrico: (pag. 140 vol.2 Caforio-Ferilli)
- Il flusso di campo elettrico uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla quantità
di carica Qin racchiusa all’interno della superficie, divisa per la costante dielettrica del
vuoto:
Φ = Q𝑖𝑛
𝜀̥
Le cariche sono sorgenti del campo elettrico.
2) CIRCUITAZIONE del campo elettrico: (pag.169 vol.2)
- Lungo qualsiasi cammino chiuso la circuitazione del campo elettrico è nulla:
∮𝐸 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑠 = 0
Qualsiasi campo vettoriale è conservativo se e solo se la sua circuitazione è nulla lungo ogni
linea chiusa.
3) TEOREMA DI GAUSS per il magnetismo: (pag. 282 vol.2)
- Il flusso di campo magnetico uscente da qualunque superficie chiusa è nullo.
Φm = 0
Non esistono monopoli magnetici isolati (impossibilità di dividere i poli di un magnete).
4) TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE del campo magnetico di Ampere:
(pag.283 vol.2)
- La circuitazione del campo magnetico, calcolata lungo qualsiasi cammino chiuso, è
uguale al prodotto della permeabilità magnetica del vuoto per la corrente totale
concatenata con il cammino:
∮𝐸 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑠 = µ˳𝑖𝑐
5) LEGGE DI FARADAY-NEUMANN - (LENZ ): (pag.5 vol.3)
- Se il flusso concatenato con un circuito varia di una quantità ΔΦm in un intervallo di
tempo Δt, la f.e.m. indotta f che in media agisce nel circuito nell’intervallo di tempo
considerato è:
f = ΔΦm
Δt
la cui unità di misura è Wb/s.
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 2
- Legge di Lenz:
In un circuito, la corrente indotta scorre in verso tale da opporsi (mediante il campo
magnetico prodotto) alla variazione di flusso da cui essa stessa ha avuto origine.
- N.B. Questo giustifica il segno meno nella formula di Faraday-Neumann.
LA VELOCITÀ DELLA LUCE PER MAXWELL
La velocità v delle onde elettromagnetiche si può scrivere come:
v = 𝟏
√𝜺˳µ˳
con 𝜺˳ : costante dielettrica nel vuoto = 8,854*10-12
C2 /(N m
2)
e µ˳ : permeabilità magnetica nel vuoto = 4 𝜋 *10-7
N/A2
si deduce che è la stessa velocità della luce nel vuoto : C = 𝟏
√𝜺˳µ˳
CIRCUITAZIONE AMPERE - MAXWELL
C’è una differenza sostanziale tra il campo elettrico generato da cariche ferme e campo
elettrico indotto (con cariche in movimento). Il primo è conservativo (circuitazione nulla lungo
qualsiasi linea chiusa), il secondo invece: un campo magnetico variabile nel tempo genera un
campo elettrico indotto non conservativo.
IL TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE DI AMPERE : (pag.55 vol.3)
Viene modificato così da Maxwell:
∮𝐵 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑙 = µ˳(𝒊 + 𝜺˳𝑑𝜙
𝑑𝑡)
N.B. il primo termine tra parentesi è l’intensità di corrente che attraversa una superficie il
cui contorno è la linea sulla quale si calcola la circuitazione di 𝐵 ⃗⃗ ⃗ , mentre il secondo termine è la
corrente di spostamento che attraversa la stessa superficie.
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 3
EQUAZIONI DI MAXWELL : (pag.56 vol.3)
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 4
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 5
1) TEOREMA DI GAUSS nel campo elettrico:
- Il flusso di campo elettrico uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla quantità
di carica Qin racchiusa all’interno della superficie, divisa per la costante dielettrica del
vuoto:
Φ = Q𝑖𝑛𝜀̥0
2) TEOREMA DI GAUSS per il magnetismo:
- Il flusso di campo magnetico uscente da qualunque superficie chiusa è nullo.
Φm = 0
3) LEGGE DI FARADAY – NEUMANN – LENZ :
- La circuitazione del campo elettrico 𝐸 ⃗⃗ ⃗ è la derivata rispetto al tempo, cambiata di segno,
del flusso campo elettrico attraverso una superficie avente come contorno una linea
chiusa lungo la quale si calcola la circuitazione.
∮𝐸 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑙 = − 𝑑Φm
𝑑𝑡)
4) LEGGE DI AMPERE – MAXWELL oppure AMPERE generalizzata:
- La circuitazione del campo magnetico 𝐵 ⃗⃗ ⃗ è uguale al prodotto della permeabilità
magnetica nel vuoto µ˳ per la somma della corrente concatenata con la linea chiusa
lungo la quale si calcola la circuitazione e della corrente di spostamento che attraversa
una superficie avente quella linea come contorno:
∮𝐵 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑙 = µ˳(𝒊 + 𝜺˳𝑑𝜙
𝑑𝑡)
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 6
TRASFORMAZIONI DI GALILEO per la fisica classica:
Siano Σ e Σ’ due sistemi di riferimento spazio-temporali vediamo come si trasformano le
coordinate di un evento osservato in un riferimento Σ (x,y,z,t) rispetto alle coordinate dello stesso
evento osservato in un riferimento Σ’ (x’,y’,z’,t’) in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣 rispetto
a Σ e avente la direzione di x e x’.
Le trasformazioni di Galileo sono valide per velocità v << C (velocità della luce)
{
𝑥 = 𝑥′ + 𝑣𝑡𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
𝑡 = 𝑡′
⟾
{
𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧𝑡′ = 𝑡
Ma se la velocità v è di poco inferiore a quella della luce C, o confrontabile con essa, queste
non valgono più.
Infatti occorrono le Trasformazioni di LORENTZ per la fisica relativistica:
{
𝑥
′ = 𝑥−𝑣𝑡
√1−𝑣2
𝑐2
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ = 𝑡−
𝑣𝑥
𝑐2
√1−𝑣2
𝑐2
⟾
{
𝑥 =
𝑥′−𝑣𝑡′
√1−𝑣2
𝑐2
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
𝑡 = 𝑡′−
𝑣𝑥′
𝑐2
√1−𝑣2
𝑐2
Posto β = 𝑣
𝑐 e γ =
𝟏
√𝟏−𝜷𝟐 (fattore di Lorentz)
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 7
Esse quindi diventano:
{
𝑥
′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡)
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧𝑡′ = 𝛾(𝑡 − 𝛽
𝑥
𝑐)
⟾
{
𝑥 = 𝛾(𝑥′ − 𝑣𝑡′)
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
𝑡 = 𝛾(𝑡′ − 𝛽𝑥′
𝑐)
Che per valori piccoli di v rispetto a c, cioè con β<<1 si ha γ≈1 e β𝑥
𝑐 ≈0 si ritorna alle
trasformazioni classiche di Galileo.
I POSTULATI DELLA RELATIVITA’ RISTRETTA: (pag.93 vol.3)
1. E’ impossibile distinguere con esperimenti fisici due sistemi di riferimento in moto rettilineo
uniforme l’uno rispetto all’altro; cioè le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i
sistemi inerziali.
2. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali, indipendentemente
dallo stato di moto del sistema e della sorgente. Cioè è la stessa “c” sia che venga emessa da
una sorgente fissa che da una sorgente in movimento.
N.B. la velocità della luce è una grandezza invariante.
Il tempo relativistico:
Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo t e il tempo t’ non coincidono, cioè il tempo
non è più un invariante.
Definizione di simultaneità:
Due eventi nei punti A e B si dicono simultanei se un osservatore, posto nel punto medio
M del segmento AB, riceve i segnali luminosi provenienti dai punti A e B nello stesso
istante.
Spazio di Minkowski: (quadriuniverso) (pag.100-101 vol.3)
Per il fatto che il tempo non è un invariante Minkowski ideò una quadrupla di valori
che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni
di Lorentz. Per queste considerazioni le coordinate di un punto-evento non si scrivono
(x, y, z, t) ma in realtà sono (x, y, z, ct) moltiplicando l’asse dei tempi per la velocità della
luce. E’ come se fosse sottinteso c=1 , in tal modo si possono misurare posizioni e tempi con
le stesse unità di misura.
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Simultaneità: (pag.102 vol.3)
Per quanto verificato da Minkowski, la teoria della relatività con Einstein mostra che
il tempo non è un concetto assoluto, ma mostra invece che se due osservatori sono in moto
relativo, due eventi possono essere simultanei per uno di essi e non simultanei per l’altro
osservatore.
Sincronizzazione degli orologi: (pag.102 vol.3)
Per lo stesso motivo: per sincronizzare due orologi si dovrebbe inviare un segnale dal
primo orologio al secondo alla velocità della luce e l’osservatore che riceve il segnale deve
mettere avanti le lancette di ∆t = 𝑑 𝑐⁄ che rappresenta il tempo impiegato dal segnale
luminoso per raggiungere il secondo osservatore.
Dilatazione dei tempi:
Consideriamo l’intervallo di tempo ∆t’ tra due eventi misurati da un osservatore
fermo “O” nel primo sistema di riferimento, e ∆t l’intervallo di tempo tra gli stessi eventi,
ma misurato da un secondo osservatore “O’ “ in moto rettilineo uniforme con velocità v su
un secondo sistema di riferimento:
∆𝑡 = ∆𝑡′
√1 − 𝑣2 𝑐2
Se poniamo γ = 1
√1−𝑣2
𝑐2
(fattore di Lorentz)
Si può scrivere:
∆t = γ ∆t’
e poiché il fattore di Lorentz è sempre maggiore di 1 per velocità prossime a quella
della luce il tempo misurato da O è sempre maggiore del tempo proprio misurato da O’.
La durata ∆t > ∆t’ per cui si può affermare che ogni orologio in movimento rispetto a noi,
marcia con un ritmo più lento; per un orologio in movimento si dilata. Ovviamente il
fenomeno è più evidente per velocità prossime a quelle della luce.
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Contrazione delle lunghezze: (pag.111 vol.3)
Ovviamente per gli stessi motivi della dilatazione dei tempi si ha che:
Se d è la distanza fra due punti misurata da un osservatore che li vede fermi, un secondo osservatore
in moto rispetto al primo con velocità costante �⃗⃗� (parallela alla retta che congiunge i due punti)
misurerà la distanza d’ fra gli stessi due punti:
d’ = √1− 𝑣2
𝑐2 d
e usando il fattore di Lorentz:
d’ = 𝑑
𝛾
cioè la distanza fra i due punti è minore di un fattore 1 𝛾⁄ quando i punti si osservano in
movimento rispetto a quando sono visti in quiete, e questo fenomeno è tanto più evidente quanto
più la velocità è prossima a quella della luce.
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 10
RELATIVITA’ GENERALE (Scheda pag.153 vol.3)
Massa relativistica in funzione della velocità:
m = 𝑚0
√1−𝑣2
𝑐2
= γ m0 (pag. 132)
con m0 massa a riposo: è una caratteristica del corpo ed è anche detta massa invariante.
m massa a velocità v: è una grandezza variabile con la velocità.
γ fattore di Lorentz
La quantità di moto non è direttamente proporzionale alla velocità, ma si conserva se il sistema è
isolato
𝑝 = m�⃗⃗� = 𝑚0�⃗�
√1−𝑣2
𝑐2
= γ m0 𝒗⃗⃗ ⃗ (pag. 133)
Energia cinetica nella teoria della relatività è:
K = m c2 - m0 c
2 (pag. 135)
Da cui si ricava:
K = (γ – 1) m0 c2
e da questa si ricava:
m c2
= K + m0 c2
Tutti i termini rappresentano energie, e l’ultimo
E0 = m0 c2
è una costante indipendente dal sistema di riferimento. (Einstein la chiamò energia a riposo) e alla
E = K +E0
diede il nome di energia totale del corpo, giungendo alla nota equazione
E = mc2 . (pag. 136)
E = mc2
= 𝒎𝟎𝒄
𝟐
√𝟏−𝑣2
𝑐2
= γ m0 c2