APPUNTI

DI

ANALISI MATEMATICA

SABO

FUNZIONI

concetto: legame tra due (o più) variabili costituito da relazioni matematiche

Razionale: x non è sotto radice

intera

Algebrica: le operazioni che costitui-

scono il legame sono di

tipo matematico (+, -, x, :)

fratta

Funzione:

Irrazionale: x è sotto radice

intera

fratta

Trascendente: funzione non algebrica

Dominio (Campo di Definizione): insieme di tutti i valori attribuibili alla variabile x , per

ciascuno dei quali esiste il corrispondente valore della y.

Codominio: insieme dei valori y al variare di x.

Intervallo di una Funzione: (a, b) insieme limitato definito da un estremo inferiore (a) e da un

estremo superiore (b) a < b

y = f(x) è definita in (a, b) se, per ogni valore di x interno all'intervallo [x (a, b)], y assume uno

ed un solo valore.

Intervallo chiuso: [a, b] a x b intervallo aperto a sinistra: a, b a < x b

Intervallo aperto: a, b a < x < b intervallo aperto a destra: a, b a x < b

a = a = illimitato inferiormente

b = intervalli

illimitati

b = illimitato superiormente

a = b = a = b = illimitato

n. b. in corrispondenza dell'estremo l'intervallo è aperto.

Funzione crescente in (a, b) a < b x1 (a, b); x2 (a, b); x1 x2

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

Funzione decrescente in (a, b) a < b x1 (a, b); x2 (a, b); x1 x2

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

Estremi di una Funzione:

E: insieme non vuoto x E

E limitato superiormente: esiste un valore L tale che x L L = estremo superiore

E limitato inferiormente: esiste un valore l tale che x = estremo inferiore

E limitato: esistono contemporaneamente ed L tale che x L

Massimo: l'estremo superiore appartiene ad E M = max E (max = L)

Minimo: l'estremo inferiore appartiene ad E m = min E (min = )

se ad E appartengono sia sia L, l'insieme E ha minimo e massimo.

D = dominio = estremo inferiore di

C

estremo inf.

f(x)

y = f(x)

C =

codominio

L = estremo superiore di

C

estremo sup.

f(x)

y = f(x) è inferiormente e/o superiormente limitata in D se

è inferiormente e/o superiormente limitata in C.

Minimo assoluto di f(x) in D: se esiste il limite inferiore in D e se il suo estremo inferiore l C

(valore unico): x0 D f(x0) = C

Massimo Assoluto di f(x) in D: se esiste il limite superiore in D e se il suo estremo superiore L C

(valore unico): x0 D f(x0) = L C

dato un punto c si dice "intorno completo del punto c" un qualunque intervallo aperto che contiene il

punto c

intorno del punto c: totalità dei punti vicini (poco distanti) al punto c.

Massimo relativo di f(x) definita in (a, b):

x0 = massimo relativo di f(x) se, per x H = |x0- , x0+ | (intorno di x0), risulta:

f(x) f(x0) (possibilità di avere più valori)

Minimo relativo di f(x) definita in (a, b):

x0 = minimo relativo di f(x) se, per x H = |x0- , x0+ | (intorno di x0), risulta:

f(x) f(x0) (possibilità di avere più valori)

SUCCESSIONI

Funzioni aventi per dominio N0 e per codominio R

f : n an a1, a2, ..., an

an = termine n-mo (di indice n) della successione

superiormente

:

se esiste un numero reale k tale che an k qualunque

sia n

successione limitata

inferiormente: se esiste un numero reale h tale che an h qualunque

sia n

successione limitata: h an k

crescente: an < an+1

successione decrescente: an > an+1

costante: an = an+1

successione monotona: se è sempre crescente o sempre decrescente.

Limiti di una Successione

Successione Infinitesima (tendente a zero)

concetto intuitivo: an = 1/n n an 0

lim 0n n = a

se per 0 e piccolo a piacere è possibile determinare un indice N, dipendente da , tale che per

ogni n > N si ha:

|an| < - < an < +

Esempio: lim-2

3n + 1= 0

n

2

3n 1 < <

2

3n + 1 <-

considerando la diseguaglianza di destra (è lo stesso se si considera la sinistra) si ha:

2

3 1n < 2 < 3 n + n >

2 -

3

= 10-4

n >3 10

4

2 10 4

n > 6666, 3 (N = 6666, 3)

n = 66667 2

3 66667 1 = - 0,00009999 a 0n

Successione Convergente (tendente ad ; 0, R)

concetto intuitivo: an

nn

1 n an 1

lim a = 0n n

se per 0 e piccolo a piacere è possibile determinare un indice N, dipendente da , tale che per

ogni n > N si ha:

|an - | < - < an < +

lim a lim (a ) 0 n n n n

Esempio:

lim 5n - 3

n + 1 = 5

5n - 3

n + 1

n

< -8

n + 1 < <

8

n + 1

8

n + 1

n >8 -

-

8 n

e 10 n >8 - 10

10 n > 79999 (N = 79999)

n = 80000 5 80000 3

80000 14,9999 an 5

4-4

4

Successione Divergente (tendente ad )

concetto intuitivo: an = 2n n an

a) positivamente: lim a = +n n

se fissato un valore k, grande a piacere, è possibile determinare un indice N, dipendente da k, tale

che per ogni n > N si ha:

an > k

Esempio:

limn 1

2n 3n

2

n 1

2n 3k n 1 2kn 3k n 2kn (3k 1) 0

n k k (3k 1) k = 10 n > 10 10 3 10 1

n 1,50 (N = 1,50) n = 2 2 1

2 2 33 an k

n 19998,50 (N = 19998,50) n = 20000

20000 1

2 20000 310000,75 a k

22 2

2 4 4 8 4

1

2

22

n

b) negativamente: lim a = -n n

se fissato un valore k, grande a piacere, è possibile determinare un indice N, dipendente da k, tale

che per ogni n > N si ha:

an < k

Esempio:

lim3 - n

2n 1n

2

3 n

2n 1k 3 - n 2kn k n 2kn (k 3) 0

n > -k k k 3 k = 10 n > -10 10 10 3

n 20000,50 (N = -20000,50) n 20000

3 - (-20000)

2 ( 20000) 19999,75 a k

n 0,50 (N = 0,50) n 1 3 - 1

2 1 12 a k

22 2

2 4 4 8 4

1 12

n

2 2

2

n

Successione non regolare (indeterminata)

a = -1 n

n 1n

n

n = pari an +1

n

n = dispari an -1

successione che non ammette limite, cioé non convergente né divergente (positivamente o

negativamente).

Definizione del numero e (numero di Nepero)

è dato dal limite, per n , della funzione:

y = 1 +1

n

n

e = lim 1 +1

n = 2,7182818284. . .

n

n

il numero e è un numero irrazionale compreso tra i valori 2 e 3.

LIMITI DI UNA FUNZIONE REALE

y = f(x) definita nell'intervallo chiuso [a, b] eccetto al più nel punto c interno all'intervallo.

Limite finito di f(x) per x c (c valore finito)

lim = f(x) = x c

se per ogni > 0 e piccolo a piacere, è possibile determinare un numero , dipendente da , tale che

per ogni valore x compreso nell'intorno |x- , x+ | ad esclusione di x = c si ha:

|f(x) - |< - < f(x) < +

Esempio:

lim x 4

x 2 = 4

x 2

2

x [0, 4] x 2

x 4

x 24

x 4 4(x 2)

x 2

x

(x - 2)

x - 2 x - 2 2 - < x < 2 +

2-

2 2

2

4 4

2

x

x

[x appartiene all'intorno di estremi (2- , 2+ )]

= 10-4

2-10-4

< x < 2+10-4

1,9999 < x <2,0001

x = 1,9999 f(x) = 3,99999 ; x = 2,0001 f(x) = 4,00005

Limite infinito di f(x) per x c (c valore finito)

lim = f(x) = x c

se per ogni M grande a piacere, è possibile determinare un numero , dipendente da M, tale che per

ogni valore x compreso nell'intorno |x- , x+ | ad esclusione di x = c si ha:

| f(x) | > M

in particolare:

f(x) > M il valore del limite è +

f(x) < - M il valore del limite è -

Esempio:

lim 1

(1 - x) = +

x 1 2

1

(1 x)M (1 - x)

1

M 1 - x

1

M

1 -1

Mx 1

1

M

22

M = 1*1010

0,99999 < x < 1,00001

x = 0,99999 f(x) = 1*1012

; x = 1,00001 f(x) = 4*1010

Limite finito di f(x) per x

lim = f(x) = x

se per ogni > 0 e piccolo a piacere, è possibile determinare un numero k, dipendente da , tale che

per ogni valore di x per il quale sia | x | > k si ha:

|f(x) - |<

Esempio:

limx 1

x1 ( > 0 e molto piccolo)

x + 1

x1

1

x x

1

1k

x

(k valore molto grande) |x| > k

= 10-6

k = 106 x = 10

7 f(x) = 1,0000001 1

Limite infinito di f(x) per x

lim = f(x) = x

se, per ogni valore M, si può determinare un numero k, dipendente da M, tale che per ogni x per il

quale sia | x | > M, si ha:

f(x) > M

Esempio:

lim 1 xx

M > 0 (molto grande) x > k x < -k ; x > k

1 x M 1 - x > M x < 1 - M (1 - M negativo)

k 1 M k > 0 - k < 0 x < -k

M = 1 10 x < 1 - 10

x < -1 10

k ( 1 10 ) x < -k = -1 10 x = -1 10

1 - (-1 10 3.162.278

2 2 2

2

6 12 12

12 12 13

13

FORME INDETERMINATE

Sono da considerarsi indeterminate quelle funzioni per le quali l’operazione di limite porta ad avere

come risultato una delle seguenti forme:

1 ; ; 0 ; 0 ; - ; 0

0 ; 00

si calcolano apportando alcune modifiche alla funzione, trasformandola in una funzione

equivalente:

I. lim x = c ; lim P (x) = P (c)x c

n nx c n n [ Pn (x) = polinomio di grado n]

II. lim P (x) = a xx n 0

n

da ciò segue:

A. lim P (x) = a x =

a 0 +

a 0 -x n 0n 0

0

B. lim P (x) = a x =

a 0 n pari +

n disp -

a 0 n pari -

n disp +

x n 0n 0

0

III. lim

P (x)

Q (x) =

P (c)

Q (c) Q (c) 0

x

n

m

n

mm

IV. lim

P (x)

Q (x) =

a x

a' x =

a

a' lim x

x

n

m

0

n

0

m

0

0x

n - m

A. n-m > 0 si ricade nel caso 2;

B. n-m = 0 xn-m

= x0 = 1 risultato = a0 /a'0

C. n-m < 0 n-m = -t xn-m

= x-t = 1/x

t risultato = 0

FUNZIONI CONTINUE

regola mnemonico-pratica: f(x) è continua se non si deve staccare la penna dal foglio.

Definizione: data una f(x) definita in [a, b] ed un punto c [a, b], f(x) è continua in c se

risulta:

lim f (x) f (c) x c

x |c- , c+ | |f(x) - f(c)| <

Condizioni necessarie e sufficienti:

1. la funzione esiste ed assume valore finito in c:

f(x) = f(c)

2. il limite di f(x) per c tendente da sinistra deve assumere lo stesso valore finito di quello di c

tendente da destra

lim f (x) lim f (x)x c x c

3. il valore finito raggiunto dal limite della funzione per x tendente a c deve coincidere con il

valore che la funzione assume per x = c

= f(c)

Esempio:

funzione continua: f(x) = x2 x = 0 f(0) = 0 lim x lim x 0

x 0

2

x 0

2 0 = f(0)

funzione discontinua:

f(x)2x 1 per x 0

x per x > 0 x = 0 f (0)

1

non definita

lim f(x) lim (-2x + 1) 1 ; lim f(x) lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

limiti diversi tra loro la funzione non ha limite. Ciò implica che non può essere verificata la

terza condizione.

TEOREMA

Somma, differenza, prodotto, quoziente (se il denominatore non si annulla in c) di funzioni continue

in c danno come risultato funzioni continue in c.

Continuità di particolari funzioni

dalla definizione di continuità in un punto discende:

lim f (x) f lim xx c x c

ciò permette di dire:

limite dell'esponenziale = esponenziale del limite

lim a alim x

ax c

x x c c

limite del logaritmo = logaritmo del limite:

lim log x log lim x log cx c x c

limite della radice = radice del limite:

lim x lim x cx c

n

x cn

n

ed estendendo il concetto:

Funzioni Composte:

y f(x)

z g(x) g f(x)

lim f(x) ; lim g(y) g( ) lim g(f(x)) g( lim f(x)) g( ))x c x x c x c

Esempio:

0,20069 = 1,5874 log4logxlim logxlog lim

xlogy

33 2

2x

3 2

2x

3 2

FUNZIONI CONTINUE IN UN INTERVALLO

f(x) è continua in [a, b] se è continua in ogni suo punto. Da ciò segue:

1. se f(x) è continua in [a, b] ammette in esso un massimo assoluto ed un minimo assoluto;

2. se f(x) è continua in [a, b] assume in esso tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo

massimo;

3. se f(x) è continua in [a, b] e se per x = a e per x = b assume valori di segno opposto,

assumerà valore nullo in almeno un punto interno ad [a, b] (la funzione ammette almeno

uno zero)

y = f(x) x = a f(a) = +c (-c)

x = b f(b) = -d (+d)

f(a) f(b) c d

esiste almeno un punto a, b tale che:

f() = 0

Esempi:

zeri di f(x):

y = x3+2x

2-x-2 [0, 2] ; f(0) = -2 ; f(2) = 12

x3+2x

2-x-2 = x

2(x+2) - (x+2) = (x+2) * (x

2-1) = (x+2) * (x+1) * (x-1)

Bisogna vedere in quali punti la funzione tocca l'asse delle x:

y x 2x x 2

y 0

3 2

x3+2x

2-x-2 = 0 (x+2) * (x+1) * (x-1) = 0 x = -2 ; x = 1 ; x = 1

dovendo considerare la funzione in [0, 2], il punto in cui f(x) interseca l'asse delle x è x = 1 per il

quale è y = 0

Massimo e minimo di f(x)

y = 2x-4 definita in [-2, 3] intervallo chiuso e limitato; la funzione esprime in esso un segmento ben

definito e come tale dotato di massimo e di minimo:

min per x = -2 y = -8 ; max per x = 3 y = 2

assume, inoltre, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo.

PUNTI DI DISCONTINUITÀ

punti in cui la funzione non è continua (almeno una delle tre condizioni non è rispettata):

Discontinuità di 1° specie:

lim f(x) lim f(x) lim f(x) lim f(x) saltox c x c x c x c

Esempio: f(x) 2xx

x

per x = 0 lim 1 ; lim 1x 0 x 0

salto in x=0 1-(-1) = 2

(funzione continua a tratti)

Discontinuità di 2° specie:

non esiste uno dei limiti oppure uno di essi vale infinito.

Esempio: f(x) 21x per x = 0 si ha: x

x

x

x x

xx

x

0

1

0

1 1

10

0

0lim

lim

/ lim /

/ lim /

= = = =

= = =

2 2 21

2

2 2 2

Discontinuità di 3° specie o eliminabile

si presenta quando per x = c esiste finito il limite ma non esiste il valore di f(x) in c, oppure risulta

lim f(x) f(c)x c

si dice eliminabile perché si può ristabilire la continuità o ponendo lim f(x) = f(c)x c

quando in c la

f(x) non è definita, oppure cambiando il valore di f(x) per x=c, ponendo lim f(x) f(c)x c

. In

quest'ultimo caso il risultato ottenuto è detto "prolungamento per continuità di f(x) in c".

Esempio: yx 4x 3

x 3

2

discontinuità per x = 3 eliminabile perché, pur essendo la f(x) non definita in x = 3, risulta:

limx 4x 3

x 3lim

(x 1) (x 3)

x 3lim (x 1) 2

x 3

2

x 3 x 3

considerando la seconda alternativa si ha l'eliminazione della discontinuità per prolungamento:

y

x 4x 3

x 3 per x 3

2 per x = 3

2

ASINTOTI DI UNA FUNZIONE

y = f(x) curva con rami che si estendono all'infinito; P(x, y) punto della curva

asintoto: retta la cui distanza dal punto P, al tendere di P all'infinito, tende a

zero.

Si possono avere:

asintoti verticali se lim f(x)x c

x = c asintoto

asintoti orizzontali se f(x)limx

y = asintoto

asintoti obliqui se lim f(x)x

y = mx + p asintoto

m limf(x)

x ; p = lim f(x) mx

x x

Esempi:

yx 1

x 2

limx 1

x 2x 2

x = 2 asintoto verticale

1

x

21x

x

1+1x

lim2x

1xlim

xx

y = 1 asintoto orizzontale

yx 3

x 2

2

limx 3

x 2x 2

2

x = -2 asintoto verticale

limx 3

x 2x

2

non esistono asintoti orizzontali

esistono, invece, asintoti obliqui di equazione y = mx + p

obliquo asintoto 2- x=y 2- = p 2- = 2x

32xlim

= 2x

2)x(x3xlim = x1

2+x

3x lim = mxf(x) limp

1 =

2/x)(1x

)3/x(1xlim =

2xx

3xlim =

2)x(x

3xlim =

x

f(x)limm

x

2

x

2

xx

2

22

x2

2

x

2

xx

DERIVATA DI UNA FUNZIONE

Data una y = f(x) definita e continua in [a, b] ed i punti x0 e (x0+h), entrambi appartenenti

all'intervallo [a, b], si dice:

incremento di f(x) la differenza: f(x0+h) - f(x0)

rapporto incrementale di f(x) il rapporto: f(x h) f(x )

h

0 0

si dice derivata della funzione in x0 il limite, per h 0, del rapporto incrementale:

f (x ) limf(x h) f(x )

h

I

0 h 0

0 0

se tale limite esiste ed è finito. Estendendo, poi, il concetto ad un qualunque punto x [a, b], si

dice derivata di y = f(x) il limite, per h 0, del rapporto incrementale della funzione:

y ' = f (x) = limf(x h) f(x)

h

I

h 0

Esempio: y = x3

limf(x h) f(x)

h lim

(x h) x

h lim

lim y ' = 3x

h 0 h 0 h 0

h 0

3

2

3

2 2 23 3 3

x 3hx 3h x h x

h

3 2 2 3 3

( )x hx h x

la derivata della funzione nel punto x = 3 vale:

lim(3 h) 3

hlim

3 3 3 h 3 3 h 3

hlim (27 9h h ) 27

h 0

3 3

h 0

3 2 2 3

h 0

2

Significato Geometrico della Derivata

La derivata della y = f(x) nel punto x0 è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva

nel punto x0: y = f(x) curva ; y - y0 = m(x-x0) tag in x0

m f ' (x ) limf(x h) f(x )

h0 h 0

0 0

Esempio: determinare la tangente alla curva y = 3x2-5x+7 nel punto di ascissa x0 = 2

x0 = 2 y0 = 3*(2)2-5*(2)+7 = 9

y-y0 = m(x-x0) y-9 = m*(x-2) m = f ' (x0) = 6*x - 5 = 6*(2) - 5 = 7

y - 9 = 7(x - 2) y = 7x - 5

Regole di Derivazione

Derivata di una somma algebrica:

F(x) = f(x) g(x) F'(x) = f'(x) g'(x)

Derivata di un Prodotto:

F(x) = f(x) g(x) F'(x) = f '(x) g(x) + f(x) g'(x)

Derivata di un rapporto:

F(x)f(x)

g(x) F ' (x) =

f ' (x) g(x) - f(x) g' (x)

g(x)2

Derivata di una funzione Composta:

F(x) = f[g(x)] F'(x) = f ' [g(x)] g'(x)

Derivata di una Potenza:

f(x) = xn f '

(x) n x

n-1

FORMULE DI DERIVAZIONE

FUNZIONE DERIVATA FUNZIONE DERIVATA

y = k y ' = 0 y = k * f(x) [k = cost] y ' = k * f I (x)

y = x y ' = 1 y = f(x) + g(x) y ' = f I (x) + g

I (x)

y = xn y ' = n * x

n-1 (*) y = f(x) * g(x) y ' = f

I (x) * g(x) + f

(x) * g

I (x)

y = lga x y '

1

xlg ea

y

f(x)

g(x) y '

f ' (x) g(x) - f(x) g ' (x)

g(x)2

y = ax y ' = a

x * ln a y = f[g(x)] y ' = f '[g(x)] * g '(x)

(*) permette di calcolare anche le

derivate dei radicali e l'inversa della

funzione

y = [f(x)]n y ' = n * [f(x)]

n-1 * f ' (x)

y = af(x)

y ' = af(x)

* ln a * f ' (x)

(**) ln e = 1 y = ef(x)

y ' = ef(x)

* f ' (x) (**)

equazione della tangente alla curva [ y - y0 = m(x - x0)]

y - f(x0) = f ' (x0) * (x - x0) f ' (x0) = m

REGOLA di DE L'HOSPITAL

Permette di calcolare i limiti di funzioni che si presentano in forma indeterminata,

sostituendo alle funzioni originarie le loro derivate:

lim f(x) 0 ; lim g(x) 0 ; lim f(x) ; lim g(x) ;x c x c x c x c

c = valore finito (compreso lo zero) o infinito

limf(x)

g(x) lim

f ' (x)

g' (x)x c x c

Esempio:

limx 0

1e forma indeterminata

0

0

x

x

f(x) = ex - 1 f'(x) = e

x ; g(x) = x g'(x) = 1 lim lim

x x0 0

1

1

e =

e = 1

x x

x

Determinazione della Crescenza e Decrescenza di f(x)

Sia data una f(x) continua e derivabile in ogni punto di [a, b], ricordando che per x0 [a, b]

la f'(x0) rappresenta il coefficiente angolare della tangente alla f(x) in x0 e ricordando che se m > 0

la retta è crescente e se m < 0 la retta è decrescente, risulta:

f'(x) > 0 funzione crescente;

f'(x) < 0 funzione decrescente

f'(x) = 0 non si può dire nulla

Esempio:

f(x) = x3-3x

2+3 ; f'(x) = 3x

2-6x ; gli zeri di f'(x) sono x = 0 ; x = 2

per x < 0 f'(-5) = 105 > 0 ; per x > 2 f'(10) = 240 > 0 ; per 0 < x < 2 f'(1) = -3 < 0

x ,0 2,+ f(x) crescente

x 0,2 f(x) decrescente

Massimi e Minimi di una Funzione

Risultando in una funzione il massimo il punto più alto della ed il minimo il punto più basso

si ha:

x max relativo a sinistra di x f(x) crescente f ' (x) > 0

a destra di x f(x) decrescente f ' (x) < 000

0

x min relativo a sinistra di x f(x) decrescente f ' (x) < 0

a destra di x f(x) crescente (x) > 000

0 f '

ciò significa che si ha un punto di massimo o di minimo quando f '(x) cambia di segno, il che si

traduce nel ricercare i punti in cui è f '(x) = 0 (sono questi i punti che rappresentano il massimo e il

minimo):

y = f(x) c [a, b] f '(c) = 0

f ' (c ) 0

f ' (c 0 max ;

f ' (c ) 0

f ' (c 0 min ;

f ' (c ) 0

f ' (c 0

f ' (c ) 0

f ' (c 0 nè max nè min

) ) ) )

Esempio: f(x) = x3 - 3x

2 + 3 f '(x) = 3x

2 - 6x f '(x) = 0 per x = 0 e x = 2

x ,0 2,+ f ' (x) > 0

x 0,2 f ' (x) < 0

a sinistra di 0, f ' positiva a destra di 0, f ' negativa

a destra di 2, f ' positiva a sinistra di 2, f ' negativa

f ' (0 ) 0

f ' (0 ) 0 0 max relativo ;

f ' (2 ) 0

f ' (2 ) 0 2 min relativo

DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE

Se f(x), definita in [a, b], è ivi continua e derivabile è possibile calcolare la derivata della

derivata e così via fino a che la funzione risultante dalla derivazione è ancora derivabile (è cioé

ancora continua):

f(x) f '(x) = derivata prima (derivabile)

f "(x) = derivata seconda (derivabile)

..... ........ ....... ...... ....... ....

f n (x) = derivata n-ma (non derivabile)

Esempio:

f(x) = 3x4- 2x

3 + 4x

2 + x - 1

f I (x) = 12x

3 - 6x

2 + 8x + 1 (derivata prima)

f II(x) = 36x

2 - 12x + 8 (derivata seconda)

f III

(x) = 72x - 12 (derivata terza)

f IV

(x) = 72 (derivata quarta)

f (x)x 2

x

2

f ' (x)2x (x) - 1 (x 2)

x

x 2

x 1 -

2

x = 1 - 2 x

-2

2

2

2 2

2

f ' ' (x) 0 - 2 ( 2) x- -

= 4x-2 1 3

f ' ' ' (x) 4 (-3)x- -

= - 12x-3 1 4

la funzione può essere derivata all'infinito.

CONCAVITA' - FLESSI

Il segno della derivata seconda permette di definire l'andamento di una funzione; in

particolare, detto c un punto dell'intervallo [a, b] in cui f(x) è continua e derivabile, risulta:

f II

(x) > 0 la f(x) rivolge la concavità verso l'alto

f II

(x) < 0 la f(x) rivolge la concavità verso il basso

f II

(x) = 0 la f(x) presenta un flesso in corrispondenza del punto c, qualora sia

verificata una delle seguenti condizioni:

f' ' (c ) 0

f' ' (c ) 0 ;

f' ' (c ) 0

f' ' (c ) 0

Esempi:

f(x) = 3x2 + 4x + 2 a > 0 parabola con la concavità verso l'alto

f I (x) = 6x + 4 f

II (x) = 6 f

II (x) > 0 qualunque sia x

f(x) = -2x2 + 3x - 1 a < 0 parabola con la concavità verso il basso

f I (x) = -4x + 3 f

II (x) = -4 f

II (x) < 0 qualunque sia x

f(x) = x3 - 2x

2 + 1

tenendo presente che una funzione presenta certamente una concavità in un intorno completo

del massimo e del minimo e che tali valori possono risultare presenti per f I (c) = 0, per

ricercare eventuali concavità bisogna calcolare la derivata prima della funzione e, quindi,

ricercarne gli zeri:

f I (x) = 3x

2 - 4x 3x

2 - 4x = 0 x = 0 ; x = 4/3

dopo di che si calcola il valore della f II

(x) in tali punti:

f x xII

( )( )

( )6 4

0 4 043 4 0

f concavità verso il basso

f concavità verso l' alto

II

II

presentando concavità di verso opposto è lecito supporre la presenza di flesso, almeno

nell'intervallo [0, 4/3]. Azzerando, quindi, la f II

(x) si ottiene:

6x - 4 = 0 x = 2/3 interno all'intervallo [0, 4/3]

f (x) = 6x - 4 f (0) = -4 < 0 concavità verso il basso

f 4

3= +4 > 0 concavità verso l' alto

II

II

II

f(x) presenta un flesso per x = 2/3 P(2/3 , 11/27) punto di flesso della funzione.

DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO

ATTRAVERSO LA DERIVATA SECONDA

Il verso della concavità di una funzione permette di definire i suoi eventuali punti di

massimo e minimo. Infatti se la funzione presenta concavità verso il basso in un intorno completo di

un punto c, significa che è crescente a sinistra di c e decrescente a destra di c, per cui il punto c è un

punto di massimo. Se, invece, presenta la concavità verso l'alto significa che è decrescente a sinistra

di c e crescente a destra, per cui il punto c è un punto di minimo.

Per ricercare i punti di massimo o di minimo di una funzione si ricercano gli zeri della sua

derivata prima e si sostituiscono nella derivata seconda. Se essa risulta negativa la funzione presenta

un massimo per quel valore; se risulta positiva la funzione presenta un minimo per quel valore.

STUDIO DI FUNZIONI

Serve ad avere un'esatta rappresentazione grafica di una funzione. Si fa riferimento a tre fasi

fondamentali:

dall'analisi della y = f(x) si determina:

1) il campo di esistenza (insieme dei valori per i quali ha senso la funzione);

simmetria rispetto all'asse delle y

y = f(x) ; x = c f(c) = f(-c)

simmetria rispetto all'origine

y = f(x) ; -y = f(-x) f(x) = -f(-x)

segno della funzione (stabilisce le zone in cui si sviluppa il grafico);

zeri della funzione (valori che annullano la funzione punti in cui la funzione tocca

l'asse delle x).

2) Ricerca di eventuali asintoti:

la presenza di un valore in cui la funzione non è definita comporta la presenza di un asintoto

verticale;

altri tipi di asintoti si ricercano calcolando il limite di f(x) per x .

Calcolo di y ' = f ' (x) e di y '' = f '' (x) per determinare se la funzione è crescente o decrescente; se ha

massimi e o minimi; se presenta flessi; se presenta concavità o convessità.

Studio Grafico – Analitico delle Funzioni Reali a Variabili Reali

Sequenza passi In pratica

Stabilire se la funzione presenta

delle simmetrie e/o è periodica

Se y = f(x) è simmetrica rispetto all’asse y, deve verificarsi:

f(x) = f(-x)

Se y = f(x) è simmetrica rispetto all’origine degli assi, deve

verificarsi: -f(x) = f(-x)

Nel caso che la funzione sia simmetrica, si può restringere lo

studio della funzione ai soli valori positivi e dunque costruire il

grafico nel solo semipiano x ≥ 0; per ottenere il grafico

completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta

Se y = f(x) è periodica, si può limitare lo studio all’ampiezza

del periodo.

Determinare il campo di

esistenza, o Dominio, della

funzione (Si tratta di individuare

l’insieme dei punti x in cui la

funzione non è definita).

Se è una funzione razionale intera il suo Dominio è costituito

da tutto l’asse Reale.

Se è una funzione razionale fratta, si deve imporre che il

denominatore sia diverso da zero. I punti che annullano il

denominatore della funzione non appartengono al suo

Dominio, per tali punti x la funzione non esiste; le rette

verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la

curva.

Se la funzione è irrazionale, bisogna guardare l’indice della

radice:

se è pari bisogna imporre che il radicando sia non

negativo poiché la funzione è a valori reali;

se è dispari non ci sono imposizioni.

Se la funzione è logaritmica bisogna imporre che l’argomento

del logaritmo sia strettamente positivo.

Se la funzione è esponenziale non ci sono imposizioni.

Quando la funzione è composta da funzioni di tipo diverso

tutte le imposizioni dovranno essere verificate

contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere

legate e condotte algebricamente come un sistema di

equazioni.

Scrivere il Dominio come unione dei diversi intervalli in cui la

funzione assume valori reali.

Segnare graficamente gli intervalli e i punti in cui la funzione

non esiste.

Studiare con i limiti il

comportamento della funzione

agli estremi del Dominio

asintoto obliquo

Calcolare i limiti, sinistro e destro, della funzione nell’intorno

dei punti x e all’infinito; riportare con un segno grafico il

comportamento della curva nell’intorno di tali punti.

Se xfcx

lim x = c rappresenta un asintoto verticale

Se xfxlim y = λ rappresenta un asintoto orizzontale

Se xfxlim è probabile che esista un asintoto obliquo

di equazione y = mx +p con:

mxxfx

xfm

x)(limp e

)(lim

x

Ricercare eventuali intersezioni

della funzione con l’asse x

Porre a sistema l’equazione della curva con l’equazione

dell’asse delle ascisse:

0f(x) 0

)(

y

xfy

Sequenza passi In pratica

Ricercare eventuali

intersezioni della funzione

con l’asse y

Porre a sistema l’equazione della curva con l’equazione dell’asse

delle ordinate:

f(0)y 0

)(

x

xfy

Studiare il segno della

funzione

Studiare la disequazione f(x) > 0.

Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà

situata sopra l’asse delle ascisse.

Riportare i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non

attraversa.

Calcolo delle derivate prime

e seconde

y’ = f’(x) = …… y” = f”(x) = ……..

Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in

cui la funzione cresce o decresce e per individuare i probabili punti

di massimo e minimo relativi.

Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli

in cui la curva è concava o convessa e per individuare i probabili

punti di flesso.

Ricerca degli eventuali punti

di massimo e di minimo

relativo

Affinché un punto sia di massimo o di minimo relativo è che sia

y’ = f’(x) = 0

Si tratta, pertanto di risolvere tale equazione; i valori che la

soddisfano sono solo probabili punti di massimo o minimo relativi,

in quanto potrebbero essere punti di flesso.

I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o

punti critici.

Studio della monotonia della

funzione

Gli intervalli di monotonia sono quegli intervalli in cui la curva è

crescente o decrescente; lo studio di tali intervalli fa comprendere

se i punti trovati sono di massimo o di minimo.

Si può procedere in due modi:

1° metodo: si studia il segno della derivata prima, ovvero si

impone la condizione f’(x) > 0; se la derivata, nell’intorno dei punti

così trovati, non cambia di segno, questi non sono né di minimo né

di massimo

2° metodo: risolta l’equazione f’(x) = 0, si sostituiscono i valori xi

trovati nella derivata seconda e si guarda il segno che essa

assume; se:

f”( xi) > 0, cioè è positiva, la curva rivolge la concavità verso l’alto e

pertanto il punto xi è di minimo.

f”( xi) < 0, cioè è negativa, la curva rivolge la concavità verso il

basso e pertanto il punto xi è di massimo.

f”( xi) = 0 in questo caso il punto xi è molto probabilmente di flesso.

Calcolo delle ordinate degli

eventuali punti di massimo

e minimo relativo

Si ottengono sostituendo uno alla volta le ascisse dei punti di

massimo e di minimo nella y = f(x).

Si segnano poi tali punti sul grafico

STUDIO DI FUNZIONE – Esempio 1

Studiare il grafico della funzione:

Dominio: il campo di esistenza è dato da tutti i valori di x 1 (valori per i quali la funzione non è

definita).

Simmetria: la funzione è simmetrica rispetto all’origine, risultando:

x = 2 y = -8/3 ; x = -2 y = 8/3 f(2) = -f(-2)

non è, invece, simmetrica rispetto ad y, non essendoci alcun valore tale che f(x) = f(-x).

Segno: per il segno della funzione si tenga presente che:

per x < -1 y > 0 (la funzione si trova nel II quadrante)

per –1 < x < 0 y > 0 (la funzione si trova nel III quadrante)

per 0 < x < 1 y > 0 (la funzione si trova nel I quadrante)

per x > 1 y > 0 (la funzione si trova nel IV quadrante)

Zeri: l’unico punto in cui la funzione si annulla è x = 0, ciò indica che la funzione passa per

l’origine degli assi.

Asintoti:

esiste un asintoto obliquo di equazione y = -x

Massimi, minimi, punti di flesso: dalla derivata prima

risulta che la funzione cresce per - 3 < x < 3, decresce per x < - 3 e x > 3;

dalla derivata seconda

2

3

x1

xy

-1x

1x verticaliasintoti 2

x1

xlim

2

3

1x

0xx1

xlim]xm)x(f[limp ; 1

x

1

x1

xlim

x

)x(flimm

pxmy obliquo asintoto x1

xlim

2

3

xx2

3

xx

2

3

x

22

22

)x1(

)x3(x'y

32

3

)x1(

)x2x73(x2"y

si ha che per x = - 3 risulta y” = 3 3/2 > 0, per cui la funzione presenta, in tale punto, un minimo

relativo perché volge la concavità verso l’alto; per x = 3 risulta y” = -3 3/2 < 0, per cui la funzione

presenta, in tale punto, un massimo relativo perché volge la concavità verso il basso; risultando,

infine, in tali punti y” 0 la funzione non presenta flessi.

X

Y

x =

-1

x =

1

-1 13

3

32

3

32

3

STUDIO DI FUNZIONE – Esempio 2

Studiare il grafico della funzione:

21x

32xy

Dominio: il campo di esistenza è dato da tutti i valori di x -1 (valore per il quale la funzione non è

definita).

Simmetria: la funzione non è simmetrica rispetto all’origine, risultando f(x) -f(-x); non è

simmetrica rispetto ad y, non essendoci alcun valore tale che f(x) = f(-x).

Segno: per il segno della funzione si tenga presente che

Per x < -1 Y < 0 (la funzione si trova nel III quadrante)

Per –1 < x <0 Y < 0 (la funzione si trova nel III quadrante)

Per x > 0 Y > 0 (la funzione si trova nel I quadrante)

Zeri: l’unico punto in cui la funzione si annulla è x = 0, ciò indica che la funzione passa per l’origine degli assi.

Asintoti: -1 x verticaleasintoto 1

2lim

2

3

1 x

x

x

pmxx

x

xy obliquo asintoto

1

2lim

2

3

421

2lim)(limp ; 2

1

1

2lim

)(lim

2

3

2

3

xx

xxmxf

xx

x

x

xfm

xxxx

esiste un asintoto obliquo di equazione y = 2x – 4

Massimi, Minimi, Punti di flesso: la derivata prima 3

2

1

32'

x

xxy

si annulla per x = 0 e per x = -3, risulta pertanto

x < -3 y’ > 0 la funzione è crescente

–3 < x < -1 y’ < 0 la funzione è decrescente

-1 < x < 0 y’ > 0 la funzione è crescente

X > 0 y’ > 0 la funzione è crescente

Calcolando, poi, la derivata seconda 4

1

12"

x

xy e ponendo in essa x = -3, risulta y” = -2,25 < 0, per cui la

funzione presenta in tale punto un massimo relativo perché volge la concavità verso il basso; ponendo, invece, x = 0

risulta y” = 0 che fa prevedere un punto di flesso:

x < 0 y” < 0

x > 0 y” > 0

Ed infatti, cambiando verso in tale punto si ha un flesso.