application of an ant colony optimization

8/8/2019 Application of an Ant Colony Optimization

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O p t i m a l O p e r a t i o n o f R e s e r v o i r s 2 7 5

t h o r o u g h l y i n t h e l o c a l n e i g h b o r h o o d , w h e r e g o o d s o l u -

t i o n s h a v e p r e v i o u s l y b e e n f o u n d . H i g h e r e x p l o i t a t i o n

i s r e e c t e d i n r a p i d c o n v e r g e n c e o f t h e a l g o r i t h m t o a

s u b o p t i m a l s o l u t i o n , w h e r e a s h i g h e r e x p l o r a t i o n r e s u l t s

i n b e t t e r s o l u t i o n s a t h i g h e r c o m p u t a t i o n a l c o s t d u e t o

t h e s l o w c o n v e r g e n c e o f t h e m e t h o d . D i e r e n t m e t h o d s

h a v e b e e n d e v e l o p e d f o r a p r o p e r t r a d e - o b e t w e e n

e x p l o r a t i o n a n d e x p l o i t a t i o n i n a n t a l g o r i t h m s .

A p p l i c a t i o n o f a n t a l g o r i t h m s t o a n a r b i t r a r y

c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m r e q u i r e s t h a t t h e

p r o b l e m b e p r o j e c t e d o n a g r a p h [ 9 ] . C o n s i d e r a g r a p h ,

G = ( D ; L ; C ) i n w h i c h D = f d

1

; d

2

; ; d

n

g i s t h e

s e t o f d e c i s i o n p o i n t s a t w h i c h s o m e d e c i s i o n s a r e t o

b e m a d e , L = f l

i j

g i s t h e s e t o f o p t i o n s ( a r c s ) j ,

( j = 1 ; 2 ; ; J ) , a t e a c h o f t h e d e c i s i o n p o i n t s i ,

( i = 1 ; 2 ; ; n ) , a n d n a l l y C = f c

i j

g i s t h e s e t o f c o s t s

a s s o c i a t e d w i t h o p t i o n s L = f l

i j

g . T h e c o m p o n e n t s o f

s e t s D a n d L m a y b e c o n s t r a i n e d i f r e q u i r e d . A f e a s i b l e

p a t h o n t h e g r a p h i s c a l l e d a s o l u t i o n ( ' ) a n d t h e

m i n i m u m c o s t p a t h o n t h e g r a p h i s c a l l e d t h e o p t i m a l

s o l u t i o n ( '

) . T h e c o s t o f t h e s o l u t i o n i s d e n o t e d b y

f ( ' ) a n d t h e c o s t o f t h e o p t i m a l s o l u t i o n b y f ( '

) .

A C O A w a s u s e d r s t f o r t h e T r a v e l i n g S a l e s m a n

P r o b l e m ( T S P ) . I n T S P , e a c h a n t s t a r t s f r o m a n

a r b i t r a r y c i t y a n d , w h i l e p a s s i n g a l l o t h e r c i t i e s , g o e s

b a c k t o t h e s t a r t i n g c i t y . T h e o b j e c t o f t h i s p r o b l e m i s

t o n d t h e s h o r t e s t p a t h c o v e r i n g a l l c i t i e s o n l y o n c e .

T h e g r a p h o f t h i s p r o b l e m i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 .

E a c h c i t y i s c o n s i d e r e d a s a d e c i s i o n p o i n t , t h e r e f o r e ,

t h e n u m b e r o f d e c i s i o n p o i n t s i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f

c i t i e s . E a c h o p t i o n ( a r c s ) d e n e s t h e p a t h t a k e n f r o m

o n e c i t y t o a n o t h e r . I n T S P , e a c h c i t y ( d e c i s i o n p o i n t )

i s c o n n e c t e d t o a l l o t h e r c i t i e s ( d e c i s i o n p o i n t s ) a n d ,

h e n c e , t h e u s e o f a f u l l y c o n n e c t e d g r a p h . T h i s m e a n s

t h a t i n T S P e a c h a n t i s f a c e d w i t h t h e t o t a l n u m b e r o f

o p t i o n s n e a r l y e q u a l t o t h e n u m b e r o f c i t i e s . W h e n a n

o p t i o n ( a r c ) i s c h o s e n b y a n a n t , t h e n e x t c i t y ( d e c i s i o n

F i g u r e 1 . B a s i c g r a p h f o r T S P .

p o i n t ) t o m o v e t o i s k n o w n . T h e c o s t o f e a c h o p t i o n i s

e q u a l t o t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o c i t i e s .

T h e b a s i c s t e p s o f t h e a n t a l g o r i t h m m a y b e

d e n e d a s f o l l o w s [ 1 0 ] :

1 . m a n t s a r e r a n d o m l y p l a c e d o n n d e c i s i o n p o i n t s ,

a n d t h e a m o u n t s o f p h e r o m o n e t r a i l o n a l l a r c s a r e

i n i t i a l i z e d t o s o m e p r o p e r v a l u e a t t h e s t a r t o f t h e

c o m p u t a t i o n .

2 . A t r a n s i t i o n r u l e i s u s e d a t e a c h d e c i s i o n p o i n t , i ,

t o d e c i d e w h i c h o p t i o n i s t o b e s e l e c t e d . T h e a n t s

m o v e t o t h e n e x t d e c i s i o n p o i n t a n d t h e s o l u t i o n s

a r e i n c r e m e n t a l l y c r e a t e d b y a n t s a s t h e y m o v e f r o m

o n e p o i n t t o t h e n e x t . T h i s p r o c e d u r e i s r e p e a t e d

u n t i l a l l d e c i s i o n p o i n t s o f t h e p r o b l e m a r e c o v e r e d .

T h e t r a n s i t i o n r u l e u s e d i n t h e o r i g i n a l A n t

S y s t e m i s d e n e d a s f o l l o w s [ 1 0 ] :

P

i j

( k ; t ) =

[

i j

( t ) ]

[

i j

]

J

P

j = 1

[

i j

( t ) ]

[

i j

]

; ( 1 )

w h e r e :

P

i j

( k ; t ) t h e p r o b a b i l i t y t h a t a n t k s e l e c t s o p t i o n

L

i j

( t ) f o r t h e i t h d e c i s i o n p o i n t a t

i t e r a t i o n t ;

i j

( t ) t h e c o n c e n t r a t i o n o f p h e r o m o n e o n

o p t i o n ( a r c ) L

i j

( t ) a t i t e r a t i o n t ;

i j

t h e h e u r i s t i c v a l u e r e p r e s e n t i n g t h e c o s t

o f c h o o s i n g o p t i o n j a t p o i n t i ;

t h e p a r a m e t e r t h a t c o n t r o l t h e r e l a t i v e

w e i g h t o f t h e p h e r o m o n e t r a i l ;

t h e p a r a m e t e r t h a t c o n t r o l s t h e r e l a t i v e

w e i g h t o f t h e h e u r i s t i c v a l u e .

T h e h e u r i s t i c v a l u e (

i j

) i s a n a l o g o u s t o p r o -

v i d i n g t h e a n t s w i t h s i g h t a n d i s s o m e t i m e s c a l l e d

v i s i b i l i t y . T h i s v a l u e i s c a l c u l a t e d o n c e a t t h e s t a r t

o f t h e a l g o r i t h m a n d i s n o t c h a n g e d d u r i n g t h e

c o m p u t a t i o n .

3 . C o s t s , f ( ' ) , o f t h e t r a i l s o l u t i o n s g e n e r a t e d a r e

c a l c u l a t e d . T h e g e n e r a t i o n o f a c o m p l e t e t r a i l

s o l u t i o n a n d c a l c u l a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g c o s t

i s c a l l e d t h e c y c l e ( k ) .

4 . T h e p h e r o m o n e i s u p d a t e d a f t e r s t e p s 2 a n d 3 a r e

r e p e a t e d f o r a l l a n t s a n d , t h e r e f o r e , t h e g e n e r a t i o n

o fm

t r a i l s o l u t i o n s a n d c a l c u l a t i o n o f t h e i r c o r r e -

s p o n d i n g c o s t s a r e r e f e r r e d t o a s i t e r a t i o n ( t ) .

T h e g e n e r a l f o r m o f t h e p h e r o m o n e u p d a t i n g r u l e i s a s

f o l l o w s :

i j

( t + 1 ) =

i j

( t ) +

i j

; ( 2 )


4/13

2 7 6 R . M o e i n i a n d M . H . A f s h a r

w h e r e :

i j

(t

+ 1 ) t h e a m o u n t o f p h e r o m o n e t r a i l o n o p t i o n

j a t t h e i t h d e c i s i o n p o i n t , w h i c h i s

o p t i o n L

i j

a t i t e r a t i o n t + 1 ;

i j

( t ) t h e c o n c e n t r a t i o n o f p h e r o m o n e o n

o p t i o n L

i j

a t i t e r a t i o n t ;

t h e c o e c i e n t r e p r e s e n t i n g t h e

p h e r o m o n e e v a p o r a t i o n ( 0 1 ) ;

i j

t h e c h a n g e i n p h e r o m o n e c o n c e n t r a t i o n

a s s o c i a t e d w i t h o p t i o n L

i j

.

D i e r e n t m e t h o d s h a v e b e e n d e v e l o p e d f o r c a l c u l a t i n g

t h e c h a n g e o f p h e r o m o n e ,

i j

, o n e o f w h i c h i s t h e

M a x - M i n A n t S y s t e m [ 1 3 ] .

M A X - M I N A N T S Y S T E M

P r e m a t u r e c o n v e r g e n c e t o s u b o p t i m a l s o l u t i o n s i s a n

i s s u e t h a t c a n b e e x p e r i e n c e d b y a l l a n t a l g o r i t h m s . T o

o v e r c o m e t h e p r o b l e m o f p r e m a t u r e c o n v e r g e n c e , w h i l s t

s t i l l a l l o w i n g f o r e x p l o i t a t i o n , S t u t z l e a n d H o s s [ 1 4 , 1 5 ]

d e v e l o p e d t h e M a x - M i n A n t S y s t e m ( M M A S ) . T h e

b a s i s o f M M A S i s t h e p r o v i s i o n o f d y n a m i c a l l y e v o l v i n g

b o u n d s o n t h e p h e r o m o n e t r a i l i n t e n s i t i e s , s u c h t h a t

t h e p h e r o m o n e i n t e n s i t y o n a l l p a t h s i s a l w a y s w i t h i n a

s p e c i e d l o w e r b o u n d ,

m i n

( t ) , o f a t h e o r e t i c a l l y a s y m p -

t o t i c u p p e r l i m i t ,

m i n

( t ) , t h a t i s

m i n

( t )

i j

( t )

m a x

( t ) f o r a l l e d g e s ( i ; j ) . A s a r e s u l t o f t h e l o w e r

b o u n d s t o p p i n g t h e p h e r o m o n e t r a i l s f r o m d e c a y i n g t o

z e r o , a l l p a t h s a l w a y s h a v e a n o n t r i v i a l p r o b a b i l i t y o f

b e i n g s e l e c t e d a n d , t h u s , a w i d e r e x p l o r a t i o n o f t h e

s e a r c h s p a c e i s e n c o u r a g e d . T h e u p p e r p h e r o m o n e

b o u n d a t i t e r a t i o n t i s g i v e n b y :

m a x

( t ) =

1

1

f(

s

g b

(t

) )

; ( 3 )

w h e r e :

m a x

( t ) u p p e r b o u n d o f p h e r o m o n e t r a i l a t

i t e r a t i o n t ;

t h e c o e c i e n t r e p r e s e n t i n g p h e r o m o n e

e v a p o r a t i o n ( 0 1 ) ;

r e w a r d i n g f a c t o r ( u s u a l l y = 1 ) ;

f ( s

g b

( t ) ) c o s t o f t h e b e s t g l o b a l s o l u t i o n a t

i t e r a t i o n t .

T h i s e x p r e s s i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e a s y m p t o t i c

l i m i t o f a n e d g e r e c e i v i n g p h e r o m o n e a d d i t i o n s o f

f ( s

g b

( t ) )

a n d d e c a y i n g b y a f a c t o r o f ( 1

) a t t h e e n d o f

e a c h i t e r a t i o n . T h e l o w e r b o u n d a t i t e r a t i o n t i s g i v e n

b y :

m i n

( t ) =

m a x

( t )

1

n

p

P

b e s t

( N O

a v g

1 )

n

p

P

b e s t

; ( 4 )

w h e r e P

b e s t

( 0 P

b e s t

1 ) i s a s p e c i e d p r o b a b i l i t y t h a t

t h e c u r r e n t g l o b a l - b e s t p a t h ( s

g b

( t ) ) w i l l b e s e l e c t e d ,

g i v e n t h a t n o g l o b a l b e s t e d g e h a s a p h e r o m o n e l e v e l

o f

m i n

( t ) a n d a l l g l o b a l - b e s t e d g e s h a v e a p h e r o m o n e

l e v e l o f

m a x

( t ) ; a n d N O

a v g

i s t h e a v e r a g e n u m b e r o f

e d g e s a c r o s s a l l d e c i s i o n p o i n t s .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a l o w e r v a l u e o f

P

b e s t

i n d i c a t e s t i g h t e r b o u n d s . T h e o r e t i c a l j u s t i c a -

t i o n o f

m i n

( t ) a n d

m a x

( t ) i s g i v e n i n S t u t z l e a n d

H o o s [ 1 6 ] .

A s t h e b o u n d s s e r v e t o e n c o u r a g e e x p l o r a t i o n ,

p r o v i s i o n f o r e x p l o i t a t i o n i s m a d e i n M M A S b y a d d i -

t i o n o f p h e r o m o n e t o o n l y t h e i t e r a t i o n - b e s t a n t p a t h

( s

l

( t ) ) a t t h e e n d o f a n i t e r a t i o n a n d , t o f u r t h e r e x p l o i t ,

t h e g l o b a l - b e s t s o l u t i o n ( s

g b

( t ) ) i s u p d a t e d e v e r y T

g b

i t e r a t i o n s . T h e M M A S u p d a t i n g s c h e m e i s g i v e n b y :

i j

( t + 1 ) =

i j

( t ) +

i b

i j

( t ) +

g b

i j

( t ) I

N

t

T

g b

;

( 5 )

w h e r e N i s t h e s e t o f n a t u r a l n u m b e r s ( n o t e ,

t

T

g b

i s a n

e l e m e n t o f N i n e v e r y T

g b

i t e r a t i o n ) , a n d

i b

i j

( t ) i s t h e

p h e r o m o n e a d d i t i o n g i v e n b y i t e r a t i o n - b e s t a n t ( s

l

( t ) ) ,

w h i c h i s d e n e d a s b e l o w :

i b

i j

( t ) =

f ( s

l

( t ) )

I

s

l

( t )

f ( i ; j ) g ; ( 6 )

w h e r e :

t h e c o e c i e n t ( u s u a l l y = 1 ) ;

f ( s

l

( t ) ) c o s t o f b e s t g l o b a l s o l u t i o n a t i t e r a t i o n t ;

I

s

l

(t

)

= 1 i f a r c ( i ; j ) i s c h o s e n b y b e s t a n t ( i b ) ;

I

s

l

( t )

= 0 o t h e r w i s e .

A p p l i c a t i o n o f M M A S t o s o m e b e n c h m a r k c o m b i -

n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n e x a m p l e s s u c h a s t h e T r a v e l i n g

S a l e s m a n P r o b l e m ( T S P ) , h a s s h o w n t h a t i t o v e r -

c o m e s t h e s t a g n a t i o n p r o b l e m a n d , h e n c e , i m p r o v e s

t h e p e r f o r m a n c e o f t h e a n t a l g o r i t h m s f o r t h e r a n g e

o f p r o b l e m s c o n s i d e r e d .

F O R M U L A T I O N O F T H E R E S E R V O I R

O P E R A T I O N P R O B L E M S

A v a r i e t y o f r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m s h a v e b e e n

d e v i s e d a n d s o l v e d w i t h d i e r e n t m e t h o d s . T h r e e

m a j o r m o d e l i n g a p p r o a c h e s t h a t h a v e b e e n w i d e l y

u s e d f o r o p t i m i z a t i o n o f r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m s

a r e : L i n e a r P r o g r a m m i n g ( L P ) , N o n - L i n e a r P r o g r a m -

m i n g ( N L P ) a n d D y n a m i c P r o g r a m m i n g ( D P ) . A p -

p l i c a t i o n o f D P t e c h n i q u e s t o w a t e r r e s o u r c e s y s t e m s

h a s b e e n r e v i e w e d b y Y a k o w i t z [ 1 7 ] . M a r i n o a n d

L o a i c i g a [ 1 8 ] a n d B e c k e r a n d Y e h [ 1 9 ] s o l v e d t h e

o p t i m a l o p e r a t i o n o f r e s e r v o i r s w i t h D P s . R e c e n t l y ,

M o u s a v i a n d K a r a m o u z [ 2 0 ] i m p r o v e d t h e D P m o d -

e l s b y d i a g n o s i n g i n f e a s i b l e s t o r a g e c o m b i n a t i o n s a n d

u s i n g t h e r e s u l t s f o r s o l v i n g m u l t i - r e s e r v o i r o p e r a t i o n

p r o b l e m s . H o w e v e r , t h e m a i n s h o r t c o m i n g o f D P


5/13


i s t h e e x p o n e n t i a l i n c r e a s e i n c o m p u t a t i o n a l b u r d e n

a n d m e m o r y r e q u i r e m e n t s , k n o w n a s t h e c u r s e o f

d i m e n s i o n a l i t y , a s t h e n u m b e r o f s t a t e v a r i a b l e s i n -

c r e a s e . T h u s , t h e a p p l i c a b i l i t y o f D P i s l i m i t e d t o

s y s t e m s w i t h v e r y f e w r e s e r v o i r s . T o p a r t i a l l y o v e r c o m e

t h e d i m e n s i o n a l i t y p r o b l e m i n d y n a m i c p r o g r a m m i n g ,

e v o l u t i o n a r y a l g o r i t h m s h a v e b e e n u s e d . T h e r e h a v e

b e e n s e v e r a l a p p l i c a t i o n s o f G A s t o m u l t i - r e s e r v o i r

o p e r a t i o n p r o b l e m s [ 2 1 - 2 3 ] . E s a t a n d H a l l [ 2 1 ] c l e a r l y

d e m o n s t r a t e d t h e a d v a n t a g e s o f G A s o v e r s t a n d a r d

d y n a m i c p r o g r a m m i n g t e c h n i q u e s i n t e r m s o f c o m p u -

t a t i o n a l r e q u i r e m e n t s . W a r d l a w a n d S h a r i f [ 2 4 ] a p p l i e d

G A s t o a f o u r - r e s e r v o i r s y s t e m o p e r a t i o n p r o b l e m

c o n c l u d i n g t h a t G A ' s w i t h r e a l v a l u e c o d i n g p e r f o r m

s i g n i c a n t l y f a s t e r t h a n t h o s e e m p l o y i n g b i n a r y c o d i n g .

T h e y e x t e n d e d t h e f o r m u l a t i o n t o a m o r e c o m p l e x

t e n - r e s e r v o i r p r o b l e m . B e i n g a t i t s e a r l y s t a g e s

o f d e v e l o p m e n t , a H o n e y - B e e M a t i n g O p t i m i z a t i o n

( H B M O ) m e t a - h e u r i s t i c a l g o r i t h m w a s a p p l i e d t o a

s i n g l e r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m [ 2 5 ] . R e c e n t l y ,

J a l a l i e t a l . u s e d a m u l t i - c o l o n y a n t c o l o n y o p t i -

m i z a t i o n a l g o r i t h m t o s o l v e a t e n - r e s e r v o i r o p e r a t i o n

p r o b l e m [ 2 6 ] .

W i t h a v i e w t o h a n d l e t h e s c a l e a s p e c t o f t h e

r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m u s i n g h e u r i s t i c s e a r c h

m e t h o d s , s u c h a s A C O A u s e s h e r e , o n l y r e s e r v o i r o p e r -

a t i o n s f o r t h e w a t e r s u p p l y a n d r e s e r v o i r o p e r a t i o n s f o r

t h e h y d r o p o w e r g e n e r a t i o n o f a s i n g l e r e s e r v o i r w i t h a

k n o w n s t o r a g e v o l u m e a t t h e s t a r t o f t h e o p e r a t i o n a r e

c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r . T h e e x t e n s i o n o f t h e m e t h o d s

t o m u l t i - r e s e r v o i r p r o b l e m s w i l l p o s e n o p r o b l e m o n c e

t h e b a s i c s o f t h e m e t h o d s a r e u n d e r s t o o d .

R e s e r v o i r O p e r a t i o n f o r W a t e r S u p p l y

O p t i m a l o p e r a t i o n o f a s i n g l e r e s e r v o i r f o r w a t e r s u p p l y

m a y b e s t a t e d m a t h e m a t i c a l l y a s f o l l o w s :

M i n i m i z e F =

N T

P

t = 1

[ D ( t ) r ( t ) ]

2

D

m a x

; ( 7 )

s u b j e c t t o c o n t i n u i t y e q u a t i o n s a t e a c h p e r i o d :

s ( t + 1 ) = s ( t ) + I ( t ) r ( t ) l ( t ) ; ( 8 )

a n d m i n i m u m a n d m a x i m u m a l l o w a b l e v a l u e s f o r t h e

r e l e a s e a n d s t o r a g e v o l u m e s a t e a c h p e r i o d :

s

m i n

s ( t ) s

m a x

; ( 9 )

r

m i n

r ( t ) r

m a x

; ( 1 0 )

w h e r e :

N T t o t a l n u m b e r o f p e r i o d s ;

D ( t ) w a t e r d e m a n d i n t i m e p e r i o d t ;

r ( t ) w a t e r r e l e a s e f r o m t h e r e s e r v o i r i n t i m e

p e r i o d t

;

D

m a x

m a x i m u m w a t e r d e m a n d ( c o n s t a n t ) ;

s ( t ) r e s e r v o i r s t o r a g e a t t h e b e g i n n i n g o f p e r i o d

t ;

I ( t ) w a t e r i n o w t o t h e r e s e r v o i r i n p e r i o d t ;

r ( t ) w a t e r r e l e a s e f r o m t h e r e s e r v o i r i n p e r i o d t ;

l ( t ) e v a p o r a t i o n l o s s i n p e r i o d t ;

s

m i n

m i n i m u m w a t e r s t o r a g e o f t h e r e s e r v o i r ;

s

m a x

m a x i m u m w a t e r s t o r a g e o f t h e r e s e r v o i r ;

r

m i n

m i n i m u m w a t e r r e l e a s e f r o m t h e r e s e r v o i r ;

r

m a x

m a x i m u m w a t e r r e l e a s e f r o m t h e r e s e r v o i r .

O p t i m a l R e s e r v o i r O p e r a t i o n f o r H y d r o p o w e r

G e n e r a t i o n

T h e p r o b l e m o f o p t i m a l r e s e r v o i r o p e r a t i o n f o r h y -

d r o p o w e r g e n e r a t i o n i s o f t e n s t a t e d m a t h e m a t i c a l l y a s

f o l l o w s :

M i n i m i z e F =

N T

X

t = 1

1

p ( t )

p o w e r

; ( 1 1 )

w h e r e :

N T t o t a l n u m b e r o f t i m e p e r i o d s ;

p ( t ) p o w e r g e n e r a t e d b y t h e h y d r o - e l e c t r i c p l a n t

i n p e r i o d t ;

P o w e r t o t a l c a p a c i t y o f h y d r o - e l e c t r i c p l a n t ( M W ) .

T h e p o w e r g e n e r a t e d b y t h e p l a n t i s d e n e d a s :

p ( t ) = m i n

g R ( t )

P F

h

t

1 0 0 0

; p o w e r

;

( 1 2 )

w i t h :

h

t

=

H

t

+ H

t + 1

2

T W L ; ( 1 3 )

w h e r e :

p ( t ) p o w e r g e n e r a t e d i n p e r i o d t ( M W ) ;

g g r a v i t y a c c e l e r a t i o n ( m

2

/ s ) ;

e c i e n c y o f h y d r o - e l e c t r i c p l a n t ;

P F p l a n t f a c t o r ;

h

t

e e c t i v e h e a d o f h y d r o - e l e c t r i c p l a n t i n

p e r i o d t ;

H

t

e l e v a t i o n o f w a t e r i n t h e r e s e r v o i r i n p e r i o d

t ;

T W L t a i l w a t e r e l e v a t i o n o f h y d r o - e l e c t r i c p l a n t

( c o n s t a n t ) ;

R ( t ) t u r b i n e r e l e a s e ( r e l e a s e r a t e f r o m r e s e r v o i r ,

( m

3

/ s ) ) .


6/13


S u b j e c t t o t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n o f t h e r e s e r v o i r

a t e a c h p e r i o d :

s ( t + 1 ) = s ( t ) + I ( t ) r ( t ) l ( t ) ; ( 1 4 )

a n d m i n i m u m a n d m a x i m u m a l l o w a b l e v a l u e s f o r t h e

r e l e a s e a n d s t o r a g e v o l u m e s a t e a c h p e r i o d a n d m i n i -

m u m p o w e r y i e l d a n d t u r b i n e r e l e a s e a t e a c h p e r i o d :

s

m i n

s ( t ) s

m a x

; ( 1 5 )

r

m i n

r ( t ) r

m a x

; ( 1 6 )

p ( t ) p

m i n

; ( 1 7 )

R ( t ) R

m i n

: ( 1 8 )

s ( t ) r e s e r v o i r s t o r a g e a t t h e b e g i n n i n g o f p e r i o d

t ;

I ( t ) w a t e r i n o w t o t h e r e s e r v o i r i n p e r i o d t ;

r ( t ) w a t e r r e l e a s e f r o m t h e r e s e r v o i r i n p e r i o d t ;

l(

t) e v a p o r a t i o n l o s s i n p e r i o d

t;

s

m i n

m i n i m u m w a t e r s t o r a g e o f r e s e r v o i r ;

s

m a x

m a x i m u m w a t e r s t o r a g e o f r e s e r v o i r ;

r

m i n

m i n i m u m w a t e r r e l e a s e f r o m r e s e r v o i r ;

r

m a x

m a x i m u m w a t e r r e l e a s e f r o m r e s e r v o i r ;

p

m i n

m i n i m u m p o w e r y i e l d ;

R

m i n

m i n i m u m t u r b i n e r e l e a s e .

R ( t ) = c o ( t ) r ( t ) ; ( 1 9 )

w h e r e c o ( t ) = t i m e c o e c i e n t f o r p e r i o d t a n d o t h e r

p a r a m e t e r s a r e d e n e d a s b e f o r e .

T h e w a t e r e l e v a t i o n c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e

v o l u m e - e l e v a t i o n c u r v e d e n e d a s f o l l o w s :

H

i

= a + b s

i

+ c s

2

i

+ d s

3

i

; ( 2 0 )

w h e r e a ; b ; c ; d = c o n s t a n t c o e c i e n t s o b t a i n e d b y

t t i n g t h e a b o v e e q u a t i o n t o t h e d a t a a v a i l a b l e .

P r o p o s e d F o r m u l a t i o n s

F o r m u l a t i o n o f t h e o p t i m a l o p e r a t i o n o f r e s e r v o i r s a s a n

o p t i m i z a t i o n p r o b l e m r e q u i r e s t h e s e l e c t i o n o f d e c i s i o n

v a r i a b l e s . B a s i c a l l y , t w o d i e r e n t s e t s o f d e c i s i o n

v a r i a b l e c a n b e s o u g h t i n r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m s ,

n a m e l y s t o r a g e v o l u m e s ( s ) o r r e l e a s e s ( r ) a t e a c h

p e r i o d . F u r t h e r m o r e , a p p l i c a t i o n o f a n t a l g o r i t h m s ,

s u c h a s M M A S , r e q u i r e s t h a t t h e p r o b l e m u n d e r c o n -

s i d e r a t i o n b e p r e s e n t e d i n t e r m s o f a g r a p h b y d e n i n g

d e c i s i o n p o i n t s , o p t i o n s a v a i l a b l e a t e a c h d e c i s i o n p o i n t

a n d c o s t s a s s o c i a t e d w i t h e a c h o f t h e s e o p t i o n s . T h e

p r o b l e m g r a p h i s v e r y m u c h d e p e n d a n t o n t h e d e c i s i o n

v a r i a b l e s s e l e c t e d f o r t h e p r o b l e m .

W i t h t h e r e l e a s e s t a k e n a s t h e d e c i s i o n v a r i a b l e s ,

t h e p r o b l e m g r a p h c a n b e d e n e d a s i l l u s t r a t e d i n

F i g u r e 2 . B a s i c g r a p h w h e n r e l e a s e i s t h e d e c i s i o n

v a r i a b l e ( r s t f o r m u l a t i o n ) .

F i g u r e 2 . I n t h i s r e p r e s e n t a t i o n , r e f e r r e d t o a s r s t

f o r m u l a t i o n , e a c h p e r i o d o f t h e o p e r a t i o n i s c o n s i d e r e d

a s t h e d e c i s i o n p o i n t o f t h e p r o b l e m . D i s c r e t i z i n g

t h e r a n g e o f p o s s i b l e v a l u e s o f r e l e a s e i n e a c h p e r i o d ,

t h e o p t i o n s a v a i l a b l e a t e a c h d e c i s i o n p o i n t a r e t h e n

r e p r e s e n t e d b y t h e s e t o f d i s c r e t i z e d v a l u e s o f t h e

r e l e a s e s . I t i s t o b e n o t e d t h a t t h e o p t i o n s a r e , i n f a c t ,

r e p r e s e n t e d b y t h e s e t o f d i s c r e t i z a t i o n p o i n t s r a t h e r

t h a n a r c s i n i t s r e a l s e n s e . W h e n t h e i n i t i a l r e s e r v o i r

s t o r a g e i s u n k n o w n , t h i s p a r a m e t e r i s a l s o t a k e n a s a

d e c i s i o n v a r i a b l e l e a d i n g t o a p r o b l e m w i t h t o t a l o f

N T + 1 d e c i s i o n v a r i a b l e s . F o r t h e r s t p r o b l e m , a

c o s t c a n b e a s s o c i a t e d t o e a c h o p t i o n j a t d e c i s i o n

p o i n t i , w h i c h i s d e n e d a s t h e s q u a r e d d e v i a t i o n o f

t h e r e l e a s e f r o m t h e r e q u i r e d d e m a n d a t t h a t p e r i o d .

T h e c o r r e s p o n d i n g h e u r i s t i c v a l u e c a n , t h e r e f o r e , b e

d e n e d a s :

i j

=

1

( D ( t ) r

i j

)

2

; ( 2 1 )

w h e r e :

i j

h e u r i s t i c v a l u e a t a r c ( i ; j ) ;

D ( t ) w a t e r d e m a n d a t p e r i o d t ( d e c i s i o n p o i n t i ) ;

r

i j

j t h d i s c r e t i z e d r e l e a s e f r o m r e s e r v o i r a t

p e r i o d ( d e c i s i o n p o i n t ) i .

D e n i t i o n o f a c o s t f o r e a c h o p t i o n i n a h y d r o p o w e r

r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m , h o w e v e r , i s n o t p o s s i b l e

i n t h i s f o r m u l a t i o n , s i n c e i t r e q u i r e s t h e v a l u e o f t h e

e e c t i v e h e a d , w h i c h i s n o t k n o w n . N o t e t h a t t h e

e e c t i v e h e a d i s a f u n c t i o n o f t h e s t o r a g e v o l u m e s a t

t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e p e r i o d .

T h e s i t u a t i o n i s s o m e h o w d i e r e n t w h e n s t o r a g e

v o l u m e s a r e t a k e n a s t h e d e c i s i o n v a r i a b l e s . I n t h i s

c a s e , t h e p r o b l e m c a n b e r e p r e s e n t e d b y t w o d i e r e n t

g r a p h s . I n t h e r s t r e p r e s e n t a t i o n , r e f e r r e d t o a s

s e c o n d f o r m u l a t i o n , t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f e a c h

p e r i o d a r e t a k e n a s t h e d e c i s i o n p o i n t s o f t h e p r o b l e m ,

a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3 . D i s c r e t i z i n g t h e r a n g e

o f p o s s i b l e v a l u e s o f s t o r a g e v o l u m e a t e a c h d e c i s i o n

p o i n t , t h e o p t i o n s a v a i l a b l e a r e t h e n r e p r e s e n t e d b y

t h e s e t o f d i s c r e t i z e d v a l u e s o f t h e s t o r a g e v o l u m e s

a t t h a t d e c i s i o n p o i n t . I n t h i s f o r m u l a t i o n , i t i s n o t

p o s s i b l e t o a s s o c i a t e a c o s t t o t h e o p t i o n s a v a i l a b l e


7/13


F i g u r e 3 . B a s i c g r a p h w h e n s t o r a g e i s d e c i s i o n v a r i a b l e

( s e c o n d f o r m u l a t i o n ) .

a t e a c h d e c i s i o n p o i n t , d u e t o t h e f a c t t h a t t h e

c o s t f u n c t i o n o f b o t h w a t e r s u p p l y a n d h y d r o p o w e r

r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m s a r e f u n c t i o n s o f r e l e a s e .

I t i s c l e a r t h a t t h e a m o u n t o f r e l e a s e c a n o n l y b e

k n o w n w h e n t h e s t o r a g e v o l u m e s a r e k n o w n a t b o t h

t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e p e r i o d . T w o n o t e s

h a v e t o b e m a d e r e g a r d i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h i s

f o r m u l a t i o n . F i r s t , t h e o p t i o n s a v a i l a b l e a t d i e r e n t

d e c i s i o n p o i n t s a r e i n d e p e n d e n t f r o m e a c h o t h e r a n d ,

t h e r e f o r e , t h e d e c i s i o n s m a d e a t f o r e x a m p l e t w o

c o n s e c u t i v e d e c i s i o n p o i n t s c a n b e m a d e a r b i t r a r i l y ,

a s s h o w n i n F i g u r e 3 . S e c o n d , a v a i l a b l e o p t i o n s a t

e a c h d e c i s i o n p o i n t a r e i n f a c t s o m e p o i n t s c h o s e n o n

t h e r a n g e o f p o s s i b l e v a l u e s o f t h e d e c i s i o n v a r i a b l e

a s s o c i a t e d w i t h t h a t d e c i s i o n p o i n t . T h e r e i s n o

a r c i n t h e s e n s e t h a t e x i s t s i n T S P p r o b l e m i n t h i s

f o r m u l a t i o n o f t h e r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m . T h e

p h e r o m o n e s a r e , t h e r e f o r e , a s s o c i a t e d t o t h i s p o i n t

r a t h e r t h a n t h e a r c s i n i t s t r u e m e a n i n g s . T h i s i s

s o m e h o w r e l a t e d t o t h e f a c t t h a t n o h e u r i s t i c i n f o r -

m a t i o n c a n b e d e n e d f o r o p t i o n s i n t h i s r e p r e s e n t a -

t i o n .

I n t h e s e c o n d r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r e s e r v o i r

o p e r a t i o n p r o b l e m w i t h t h e s t o r a g e v o l u m e s t a k e n a s

d e c i s i o n v a r i a b l e s , r e f e r r e d t o a s t h e t h i r d f o r m u l a t i o n ,

t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d o f e a c h p e r i o d a r e t a k e n a s

t h e d e c i s i o n p o i n t s o f t h e p r o b l e m , a s i n t h e s e c o n d

f o r m u l a t i o n . H a v i n g d i s c r e t i z e d t h e r a n g e o f a l l o w a b l e

s t o r a g e v o l u m e s a t a l l d e c i s i o n p o i n t s , o n e c a n r e p r e s e n t

a v a i l a b l e o p t i o n s a t e a c h d e c i s i o n p o i n t a s s h o w n i n

F i g u r e 4 b y t h e a r c s j o i n i n g e a c h a n d e v e r y o n e o f t h e

d i s c r e t i z a t i o n p o i n t s t o a l l d i s c r e t i z a t i o n p o i n t s o f t h e

n e x t d e c i s i o n p o i n t . T h i s f o r m u l a t i o n d i e r s f r o m t h e

s e c o n d f o r m u l a t i o n i n t w o w a y s . F i r s t , t h e o p t i o n s

a v a i l a b l e t o t h e a n t s a t e a c h d e c i s i o n p o i n t a r e n o t

i n d e p e n d e n t f r o m d e c i s i o n s m a d e a t p r e v i o u s d e c i s i o n

p o i n t s . T o b e s p e c i c , t h e o p t i o n s ( a r c s ) a v a i l a b l e a t

d e c i s i o n p o i n t i a r e v e r y m u c h r e l a t e d t o t h e d e c i s i o n s

m a d e a t p r e v i o u s d e c i s i o n p o i n t s a n d , i n p a r t i c u l a r ,

a t d e c i s i o n p o i n t i 1 . T h i s i s a d i r e c t r e s u l t o f t h e

p h y s i c a l r e q u i r e m e n t t h a t a s t o r a g e v o l u m e a t t h e e n d

o f e a c h p e r i o d s h o u l d b e t h e s a m e a s a s t o r a g e v o l u m e

a t t h e b e g i n n i n g o f t h e n e x t p e r i o d . T h i s p r o p e r t y i s

v e r y u s e f u l , a s i t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e s e r i a l f e a t u r e o f

F i g u r e 4 . B a s i c g r a p h w h e n s t o r a g e i s d e c i s i o n v a r i a b l e

( t h i r d f o r m u l a t i o n ) .

t h e r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m . T h e a s s o c i a t e d g r a p h

i s , i n f a c t , v e r y s i m i l a r t o t h e g r a p h c o n s t r u c t e d i n t h e

d y n a m i c p r o g r a m m i n g m e t h o d f o r a t o t a l e n u m e r a t i o n .

T h e s e c o n d d i e r e n c e , v e r y m u c h r e l a t e d t o t h e r s t ,

i s t h a t t h e o p t i o n s a r e , i n f a c t , r e a l a r c s j o i n i n g t h e

v a l u e o f t h e s t o r a g e v o l u m e s a t t h e b e g i n n i n g a n d t h e

e n d o f e a c h p e r i o d . T h i s i s v e r y s i g n i c a n t , a s i t i s

n o w p o s s i b l e t o d e n e h e u r i s t i c i n f o r m a t i o n f o r a l l t h e

o p t i o n s ( a r c s ) a t a n y o f t h e d e c i s i o n p o i n t s , s i n c e a

r e l e a s e v a l u e c a n b e c o m p u t e d f o r e a c h a n d e v e r y a r c

u s i n g t h e s t o r a g e v o l u m e s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f

t h e a r c a n d t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . I t i s i n t e r e s t i n g

t o n o t e t h a t u s e f u l h e u r i s t i c i n f o r m a t i o n c a n b e e a s i l y

c o m p u t e d f o r b o t h o f t h e r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m s

c o n s i d e r e d h e r e . T h e h e u r i s t i c v a l u e i s c a l c u l a t e d b y

E q u a t i o n 2 1 f o r w a t e r s u p p l y r e s e r v o i r o p e r a t i o n s a n d

E q u a t i o n 2 2 f o r h y d r o p o w e r o p e r a t i o n p r o b l e m s .

i j

= 1

p

i j

p o w e r

; ( 2 2 )

w h e r e :

i j

t h e h e u r i s t i c v a l u e a t a r c ( i ; j ) ;

P o w e r t o t a l c a p a c i t y o f h y d r o - e l e c t r i c p l a n t ;

p

i j

p o w e r g e n e r a t e d b y t h e p o w e r p l a n t , w h i c h

c a n b e c a l c u l a t e d b y E q u a t i o n 1 5 u s i n g t h e

k n o w n s t o r a g e v o l u m e s a n d r e l e a s e d u r i n g

t h e p e r i o d .

T o d i s c o u r a g e t h e a n t s f r o m m a k i n g d e c i s i o n s

( i . e . s e l e c t r e l e a s e s o r s t o r a g e s ) t h a t c o n s t i t u t e a n

i n f e a s i b l e s o l u t i o n , a h i g h e r c o s t i s a s s o c i a t e d t o t h e

s o l u t i o n s t h a t v i o l a t e c o n s t r a i n t s o f t h e p r o b l e m . T h i s

i s a c h i e v e d v i a t h e u s e o f a p e n a l t y m e t h o d , i n w h i c h

t h e t o t a l c o s t o f t h e p r o b l e m s i s c o n s i d e r e d a s t h e s u m

o f t h e p r o b l e m c o s t s a n d a p e n a l t y c o s t a s f o l l o w s :

F

p

= F +

p

N T

X

t = 1

C S V

t

; ( 2 3 )

w h e r e :


8/13


F o r i g i n a l o b j e c t i v e f u n c t i o n d e n e d b y

E q u a i t o n s 7 a n d 1 1 f o r t h e w a t e r s u p p l y

a n d h y d r o p o w e r c a s e s , r e s p e c t i v e l y ;

F

p

p e n a l i z e d o b j e c t i v e f u n c t i o n ;

C S V

t

a m e a s u r e o f c o n s t r a i n t v i o l a t i o n a t p e r i o d

t ;

p

r e p r e s e n t s t h e p e n a l t y p a r a m e t e r .

T E S T E X A M P L E S

I n t h i s s e c t i o n , t h e w a t e r s u p p l y a n d h y d r o p o w e r

o p e r a t i o n o f t h e \ D e z " r e s e r v o i r i n s o u t h e r n I r a n a r e

c o n s i d e r e d a s t e s t e x a m p l e s t o t e s t t h e v e r s a t i l i t y a n d

e c i e n c y o f t h e p r o p o s e d f o r m u l a t i o n s . T h e a c t i v e

s t o r a g e v o l u m e o f t h e \ D e z " r e s e r v o i r i s e q u a l t o 2 5 1 0

M C M , a n d i t s a v e r a g e a n n u a l i n o w i s e q u a l t o 5 3 0 3

M C M o v e r 5 y e a r s a n d 5 9 0 0 M C M o v e r 4 0 y e a r s . T h e s e

p r o b l e m s a r e s o l v e d h e r e f o r o p t i m a l m o n t h l y o p e r a t i o n

o v e r 5 a n d 2 0 y e a r s , i . e . 6 0 a n d 2 4 0 m o n t h l y p e r i o d s ,

r e s p e c t i v e l y . T h e i n i t i a l s t o r a g e o f t h e r e s e r v o i r i s t a k e n

e q u a l t o 1 4 3 0 M C M . T h e m a x i m u m a n d m i n i m u m

a l l o w a b l e s t o r a g e v o l u m e s a r e c o n s i d e r e d e q u a l t o 3 3 4 0

M C M a n d 8 3 0 M C M , r e s p e c t i v e l y , w h i l e m a x i m u m a n d

m i n i m u m m o n t h l y w a t e r r e l e a s e s a r e t a k e n t o b e 1 0 0 0

M C M a n d z e r o , r e s p e c t i v e l y . E v a p o r a t i o n l o s s e s i n

e a c h p e r i o d , m i n i m u m p o w e r y i e l d a n d t u r b i n e r e l e a s e s

a r e c o n s i d e r e d t o b e e q u a l t o z e r o .

F o r h y d r o p o w e r r e s e r v o i r o p e r a t i o n p r o b l e m , a

p o l y n o m i a l i s t t e d t o t h e v o l u m e - e l e v a t i o n d a t a ,

d e n e d a s f o l l o w s :

H

i

= 2 4 9 : 8 3 3 6 4 + 0 : 0 5 8 7 2 0 5 s

i

1 : 3 7 1 0

5

s

2

i

+ 1 : 5 2 6 1 0

9

s

3

i

: ( 2 4 )

T h e \ D e z \ r e s e r v o i r h y d r o - e l e c t r i c p l a n t c o n s i s t s o f

e i g h t u n i t s . E a c h u n i t h a s a c a p a c i t y o f 8 0 . 8 M W

a n d i s s u p p o s e d t o w o r k 1 0 h o u r s p e r d a y l e a d i n g t o a

p l a n t f a c t o r o f 0 . 4 1 7 . T h e t o t a l c a p a c i t y o f t h e h y d r o -

e l e c t r i c p l a n t o f t h e \ D e z " r e s e r v o i r i s e q u a l 6 5 0 M W

a n d i t s e c i e n c y e q u a l s 9 0 p e r c e n t ( = 0 : 9 ) . T h e

d o w n s t r e a m e l e v a t i o n o f t h e h y d r o - e l e c t r i c p l a n t f r o m

t h e s e a s u r f a c e e q u a l s 1 7 2 m e t e r s ( T W L = 1 7 2 m e t e r

a b o v e s e a l e v e l ) .

R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N S

I n t h i s s e c t i o n , t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r o p t i m a l o p -

e r a t i o n o f t h e \ D e z " r e s e r v o i r , u s i n g t h e p r o p o s e d

f o r m u l a t i o n s , a r e p r e s e n t e d a n d c o m p a r e d t o r e s u l t s

o b t a i n e d b y o t h e r m e t h o d s . A l l t h e r e s u l t s p r e s e n t e d

h e r e a f t e r a r e b a s e d o n a n i t e r a t i o n b e s t p h e r o m o n e

u p d a t i n g m e c h a n i s m , n e g l e c t i n g t h e r o l e o f a g l o b a l -

b e s t s o l u t i o n i n E q u a t i o n 6 , a n d u n i f o r m d i s c r e t i z a t i o n

o f t h e a l l o w a b l e r a n g e o f d e c i s i o n v a r i a b l e s i n t o 1 8

i n t e r v a l s f o r r s t f o r m u l a t i o n a n d 3 6 i n t e r v a l s f o r t h e

s e c o n d a n d t h i r d f o r m u l a t i o n s .

F i r s t , c o n s i d e r t h e s o l u t i o n o f t h e w a t e r s u p p l y

a n d h y d r o p o w e r o p e r a t i o n u s i n g t h e r s t f o r m u l a t i o n ,

i n w h i c h t h e r e l e a s e s a r e t a k e n a s t h e d e c i s i o n v a r i -

a b l e s o f t h e p r o b l e m . T h e g r a p h o f t h e p r o b l e m i s

a l r e a d y s h o w n i n F i g u r e 2 . A s e t o f p r e l i m i n a r y r u n s

a r e c o n d u c t e d t o n d t h e p r o p e r v a l u e s o f M M A S

p a r a m e t e r s a s s h o w n i n T a b l e 1 . T a b l e 2 s h o w s t h e

r e s u l t s o f 1 0 r u n s c a r r i e d o u t f o r t h e p r o b l e m s o f

w a t e r s u p p l y a n d h y d r o p o w e r o p e r a t i o n o f t h e \ D e z "

r e s e r v o i r u s i n g t h e p a r a m e t e r s o f T a b l e 1 o v e r 6 0

a n d 2 4 0 m o n t h l y p e r i o d s . T h e s e r e s u l t s a r e o b t a i n e d

w i t h i n 2 0 0 0 i t e r a t i o n s , a m o u n t i n g t o 4 0 0 , 0 0 0 f u n c t i o n

e v a l u a t i o n s f o r e a c h r u n u s i n g a c o l o n y s i z e o f 2 0 0 .

A s s e e n f r o m T a b l e 2 , o p t i m a l s o l u t i o n s o b t a i n e d

u s i n g t h e r s t f o r m u l a t i o n f o r w a t e r s u p p l y o p e r a t i o n s

o v e r 6 0 a n d 2 4 0 m o n t h s h a v e c o s t s o f 0 . 7 8 5 a n d 1 0 . 3 1 4

u n i t s , r e s p e c t i v e l y . O p t i m a l s o l u t i o n s o b t a i n e d u s i n g

t h e r s t f o r m u l a t i o n f o r h y d r o p o w e r o p e r a t i o n s o v e r

6 0 a n d 2 4 0 m o n t h s h a v e c o s t s o f 7 . 9 1 3 a n d 3 5 . 3 u n i t s ,

r e s p e c t i v e l y . T h e s e c a n b e c o m p a r e d w i t h t h e c o s t s

o f 0 . 7 3 1 6 a n d 4 . 7 6 8 4 o b t a i n e d w i t h L i n g o s o f t w a r e

( v e r s i o n 9 ) f o r w a t e r s u p p l y o v e r 6 0 a n d 2 4 0 m o n t h s ,

r e s p e c t i v e l y , a n d 7 . 3 7 2 a n d 2 0 . 6 2 2 o b t a i n e d w i t h L i n g o

s o f t w a r e f o r h y d r o p o w e r o p e r a t i o n o v e r 6 0 a n d 2 4 0

m o n t h s , r e s p e c t i v e l y . I t i s c l e a r t h a t M M A S i s a b l e t o

p r o d u c e a n e a r - o p t i m a l s o l u t i o n f o r b o t h c a s e s o f w a t e r

s u p p l y a n d h y d r o p o w e r o p e r a t i o n p r o b l e m . T h e s e

p r o b l e m s w e r e a l s o s o l v e d b y J a l a l i e t a l . [ 2 6 ] u s i n g

s t a n d a r d a n d i m p r o v e d A n t C o l o n y S y s t e m ( A S C ) .

S t a n d a r d A C S r e q u i r e d 4 0 0 , 0 0 0 f u n c t i o n e v a l u a t i o n t o

g e t t o a s o l u t i o n o f 0 . 9 2 6 f o r w a t e r s u p p l y o p e r a t i o n

o v e r 6 0 m o n t h l y p e r i o d s . T h e i m p r o v e d v e r s i o n o f A C S ,

o n t h e o t h e r h a n d , w a s a b l e t o o b t a i n t h e s o l u t i o n o f

0 . 8 0 4 f o r w a t e r s u p p l y r e s e r v o i r o v e r 6 0 m o n t h l y p e -

T a b l e 1 . V a l u e s o f M M A S p a r a m e t e r s u s e d i n t h e r s t

f o r m u l a t i o n .

N O . A n t p

b e s t

2 0 0 1 0 . 1 0 . 9 0 . 1 5

T a b l e 2 . M a x i m u m , m i n i m u m a n d a v e r a g e s o l u t i o n c o s t s o v e r 1 0 r u n s ( r s t f o r m u l a t i o n ) .

M a x i m u m C o s t A v e r a g e C o s t M i n i m u m C o s t

O p e r a t i o n

6 0

P e r i o d

2 4 0

P e r i o d

6 0

P e r i o d

2 4 0

P e r i o d

6 0

P e r i o d

2 4 0

P e r i o d

W a t e r S u p p l y 0 . 8 1 4 2 0 3 1 3 . 3 2 5 9 0 . 7 9 9 1 2 7 1 2 . 0 1 3 3 0 . 7 8 4 8 5 3 1 0 . 3 1 3 5

H y d r o p o w e r 8 . 0 6 2 9 3 9 . 9 8 0 0 8 . 0 0 1 5 3 3 7 . 5 6 8 3 7 . 9 1 2 6 3 3 5 . 2 9 8 8


9/13


r i o d s w i t h 4 0 0 , 0 0 0 f u n c t i o n e v a l u a t i o n s . T h e p r o b l e m

o f w a t e r s u p p l y o p e r a t i o n o f \ D e z " r e s e r v o i r o v e r 6 0

m o n t h l y p e r i o d s w a s a l s o s o l v e d b y B o z o r g H a d d a d e t

a l . [ 2 5 ] u s i n g G A a n d H B M O a l g o r i t h m s t o o n l y a c h i e v e

s o l u t i o n s o f 1 . 1 a n d 0 . 8 2 u s i n g 6 , 0 0 0 , 0 0 0 f u n c t i o n

e v a l u a t i o n s , r e s p e c t i v e l y . A l s o , s t a n d a r d A C S f a i l e d

t o p r o d u c e a f e a s i b l e s o l u t i o n f o r h y d r o p o w e r o p e r a t i o n

o v e r 6 0 m o n t h l y p e r i o d s . T h e i m p r o v e d v e r s i o n o f A C S ,

o n t h e o t h e r h a n d , w a s a b l e t o o b t a i n t h e s o l u t i o n o f

7 . 5 0 4 f o r h y d r o p o w e r r e s e r v o i r o v e r 6 0 m o n t h l y p e r i o d s

w i t h 1 , 0 0 0 , 0 0 0 f u n c t i o n e v a l u a t i o n s . I t i s c l e a r l y s e e n

t h a t f o r b o t h p r o b l e m s , M M A S w a s a b l e t o o b t a i n

b e t t e r s o l u t i o n s t h a n s t a n d a r d a n d i m p r o v e d A C S ,

G A a n d H B M O a l g o r i t h m s . T h e C P U t i m e r e q u i r e d

b y M M A S f o r e a c h r u n c a r r i e d o u t o n a 2 . 4 M H Z

P e n t i u m P C , w e r e a b o u t 3 0 0 ( 3 2 0 ) a n d 1 2 2 0 ( 1 2 5 0 )

s e c o n d s f o r w a t e r s u p p l y ( h y d r o p o w e r ) o p e r a t i o n o v e r

6 0 a n d 2 4 0 m o n t h l y p e r i o d s , r e s p e c t i v e l y . F i g u r e s 5

t o 8 s h o w t h e v a r i a t i o n o f m a x i m u m , m i n i m u m a n d

a v e r a g e s o l u t i o n c o s t s o f w a t e r s u p p l y a n d h y d r o p o w e r

F i g u r e 5 . V a r i a t i o n o f m a x i m u m , m i n i m u m a n d a v e r a g e

s o l u t i o n c o s t s o f w a t e r s u p p l y o p e r a t i o n o v e r 6 0 p e r i o d s

( r s t f o r m u l a t i o n ) .


s o l u t i o n c o s t s o f w a t e r s u p p l y o p e r a t i o n o v e r 2 4 0 p e r i o d s



s o l u t i o n c o s t s o f h y d r o p o w e r o p e r a t i o n o v e r 6 0 p e r i o d s



s o l u t i o n c o s t s o f h y d r o p o w e r o p e r a t i o n o v e r 2 4 0 p e r i o d s


o p e r a t i o n o f \ D e z " r e s e r v o i r o v e r 6 0 a n d 2 4 0 m o n t h l y

p e r i o d s o b t a i n e d u s i n g t h e r s t f o r m u l a t i o n i n w h i c h

t h e r e l e a s e s a r e t a k e n a s t h e d e c i s i o n v a r i a b l e s .

N e x t , t h e s e p r o b l e m s a r e s o l v e d u s i n g t h e s e c o n d

f o r m u l a t i o n i n w h i c h t h e s t o r a g e v o l u m e s a r e t a k e n a s

t h e d e c i s i o n v a r i a b l e s o f t h e p r o b l e m . F o l l o w i n g a s e t

o f p r e l i m i n a r y r u n s , t h e v a l u e s o f M M A S p a r a m e t e r s

l i s t e d i n T a b l e 3 a r e s e l e c t e d f o r t h e m a i n r u n s . A g a i n

t o a s s e s s t h e s e n s i t i v i t y o f t h e p r o p o s e d f o r m u l a t i o n

t o i n i t i a l r a n d o m c o l o n y , t h e p r o b l e m s a r e s o l v e d

w i t h t e n d i e r e n t i n i t i a l c o l o n i e s . T a b l e 4 s h o w s

t h e m a x i m u m , m i n i m u m a n d a v e r a g e s o l u t i o n c o s t s

o f w a t e r s u p p l y a n d h y d r o p o w e r o p e r a t i o n o f \ D e z "

r e s e r v o i r o v e r 6 0 a n d 2 4 0 m o n t h l y p e r i o d s o b t a i n e d

T a b l e 3 . V a l u e o f M M A S p a r a m e t e r s i n t h e s e c o n d


N O . A n t p

b e s t

2 0 0 1 0 . 0 0 . 9 0 . 1 5


10/13


11/13


F i g u r e 1 2 . V a r i a t i o n o f m a x i m u m , m i n i m u m a n d a v e r a g e

s o l u t i o n c o s t s o f h y d r o p o w e r o p e r a t i o n o v e r 2 4 0 p e r i o d s

w i t h i t e r a t i o n s ( s e c o n d f o r m u l a t i o n ) .

T a b l e 5 . V a l u e o f M M A S p a r a m e t e r s i n t h e t h i r d


N O . A n t p

b e s t

2 0 0 1 0 . 3 0 . 9 0 . 1 5

2 4 0 m o n t h l y p e r i o d s . C o m p a r i s o n o f t h e s e r e s u l t s w i t h

t h o s e o b t a i n e d w i t h t h e s e c o n d f o r m u l a t i o n r e v e a l s f u l l

s u p e r i o r i t y o f t h e t h i r d f o r m u l a t i o n o v e r t h e s e c o n d .

C o m p a r i s o n o f t h e r e s u l t s w i t h t h o s e o b t a i n e d b y t h e

r s t f o r m u l a t i o n i n w h i c h t h e r e l e a s e s a r e t a k e n a s

d e c i s i o n v a r i a b l e s , l i s t e d i n T a b l e 2 , i s n o t e w o r t h y . I n

t h e w a t e r s u p p l y o p e r a t i o n p r o b l e m , t h e b e s t s o l u t i o n

o b t a i n e d b y t h e t h i r d f o r m u l a t i o n , 0 . 8 3 0 , i s s l i g h t l y

i n f e r i o r t o t h a t o b t a i n e d b y t h e r s t f o r m u l a t i o n , 0 . 7 8 5 ,

o v e r a s h o r t e r p e r i o d o f 6 0 m o n t h s , w h i l e t h e o p t i m a l

s o l u t i o n p r o d u c e d b y t h e t h i r d f o r m u l a t i o n o v e r a

l o n g e r p e r i o d o f 2 4 0 m o n t h s , 7 . 3 7 0 , i s c o n s i d e r a b l y

b e t t e r t h a n t h a t o f t h e r s t f o r m u l a t i o n , 1 0 . 3 1 3 . T h i s

s u p e r i o r i t y i s e v e n m o r e a p p a r e n t f o r t h e w o r s t a n d

a v e r a g e s o l u t i o n c o s t s , s h o w i n g t h a t t h e t h i r d f o r m u -

l a t i o n i s l e s s s e n s i t i v e t o t h e i n i t i a l c o l o n y , w h i c h i s

c o n s i d e r e d t o b e a u s e f u l p r o p e r t y f o r s t o c h a s t i c s e a r c h

m e t h o d s . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e t h i r d f o r m u l a t i o n f o r

h y d r o p o w e r o p e r a t i o n , h o w e v e r , i s n o t a s g o o d a s t h e

r s t f o r m u l a t i o n , a s o n e m i g h t h a v e e x p e c t e d . T h i s

c a n b e a t t r i b u t e d t o t h e f a c t t h a t t h e v a l u e o f t h e

h e u r i s t i c i n f o r m a t i o n f o r s o m e a r c s , t h o s e f o r w h i c h

p ( t ) p o w e r , i s i n n i t y w h i c h i s r e p l a c e d b y t h e

m a x i m u m h e u r i s t i c v a l u e o f a l l a r c s . T h i s w i l l l e a d t o

t h e s a m e h e u r i s t i c v a l u e f o r s o m e o f t h e a r c s l e a d i n g t o

p o o r e r r e s u l t s t h a n e x p e c t e d . F i g u r e s 1 3 t o 1 6 s h o w t h e

v a r i a t i o n o f m a x i m u m , m i n i m u m a n d a v e r a g e s o l u t i o n

c o s t s f o r w a t e r s u p p l y a n d h y d r o p o w e r o p e r a t i o n o v e r

6 0 a n d 2 4 0 p e r i o d s c o n s i d e r e d h e r e .

T h e C P U t i m e r e q u i r e d b y M M A S f o r e a c h r u n ,

c a r r i e d o u t o n a 2 . 4 M H Z P e n t i u m P C , i s a b o u t

5 5 0 ( 3 6 0 ) a n d 2 2 0 0 ( 2 2 4 0 ) s e c o n d s f o r t h e w a t e r s u p -

p l y ( h y d r o p o w e r ) o p e r a t i o n o v e r 6 0 a n d 2 4 0 m o n t h l y

p e r i o d s , r e s p e c t i v e l y .


s o l u t i o n c o s t s o f w a t e r s u p p l y o p e r a t i o n o v e r 6 0 p e r i o d s

w i t h i t e r a t i o n s ( t h i r d f o r m u l a t i o n ) .


s o l u t i o n c o s t s o f w a t e r s u p p l y o p e r a t i o n o v e r 2 4 0 p e r i o d s

w i t h i t e r a t i o n s ( t h i r d f o r m u l a t i o n ) .

T a b l e 6 . M a x i m u m , m i n i m u m a n d a v e r a g e s o l u t i o n c o s t s o v e r 1 0 r u n s ( t h i r d f o r m u l a t i o n ) .

M a x i m u m C o s t A v e r a g e C o s t M i n i m u m C o s t

O p e r a t i o n

6 0

P e r i o d

2 4 0

P e r i o d

6 0

P e r i o d

2 4 0

P e r i o d

6 0

P e r i o d

2 4 0

P e r i o d

W a t e r S u p p l y 1 . 0 9 7 8 . 2 0 1 0 . 9 2 2 7 . 6 6 4 0 . 8 3 0 7 . 3 7 0

H y d r o p o w e r 1 4 . 7 0 1 6 4 . 7 8 4 1 3 . 7 2 7 4 7 . 0 4 3 1 3 . 0 0 2 4 2 . 9 5 5


12/13


13/13


1 0 . D o r i g o , M . , D i C a r o , G . a n d G a m b a r d e l l a , L . M . \ A n t

a l g o r i t h m s f o r d i s c r e t e o p t i m i z a t i o n " , A r t i c i a l L i f e ,

5 ( 2 ) , p p . 1 3 7 - 1 7 2 ( 1 9 9 9 ) .

1 1 . C o s t a , D . a n d H e r t z , A . \ A n t s c a n c o l o r g r a p h s " , J .

O p e r a t e R e s . S o c . , 4 8 , p p . 2 9 5 - 3 0 5 ( 1 9 9 7 ) .

1 2 . D i C a r o , G . a n d D o r i g o , M . \ T w o a n t c o l o n y a l g o -

r i t h m s f o r b e s t - e o r t q u a l i t y o f s e r v i c e r o u t i n g " , U n -

p u b l i s h e d a t A N T S ' 9 8 - F r o m A n t C o l o n i e s t o A r t i c i a l

A n t s : F i r s t I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n A n t C o l o n y

O p t i m i z a t i o n ( 1 9 9 8 ) .

1 3 . S t u t z l e , T . a n d H o s s , H . \ M A X - M I N a n t s y s t e m

a n d l o c a l s e a r c h f o r c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n p r o b -

l e m s " , i n M e t a H e u r i s t i c s : A d v a n c e s a n d T r e n d s i n

L o c a l S e a r c h P a r a d i g m s f o r O p t i m i z a i t o n , S . V O B , S .

M a r t e l l o , I . H . O s m a n a n d C . R o u c a i r o l , E d s . , K l u w e r ,

B o s t o n , p p . 1 3 7 - 1 5 4 ( 1 9 9 8 )

1 4 . S t u t z l e , T . a n d H o o s , H . \ M A X - M I N a n t s y s t e m " ,

F u t u r e G e n e r a t i o n C o m p u t e r S y s t e m s , 1 6 ( 8 ) , p p . 8 8 9 -

9 1 4 ( 2 0 0 0 ) .

1 5 . S t u t z l e , T . a n d D o r i g o , M . \ A s h o r t c o n v e r g e n c e p r o o f

f o r a c l a s s o f A C O a l g o r i t h m s " , I E E E T r a n s a c t i o n s o n

E v o l u t i o n a r y C o m p u t a t i o n , 6 ( 4 ) , p p . 3 5 8 - 3 6 5 ( 2 0 0 2 ) .

1 6 . S t u t z l t , T . a n d H o o s , H . \ I m p r o v e m e n t s o n t h e

a n t s y s t e m : I n t r o d u c i n g M A X - M I N a n t s y s t e m " , i n

P r o c e e d i n g o f I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n A r t i c i a l

N e u r a l N e t w o r k s a n d G e n e t i c A l g o r i t h m s , S p r i n g e r

V e r l a g , W i e n , p p . 2 4 5 - 2 4 9 ( 1 9 9 7 ) .

1 7 . Y a k o w i t z , S . \ D y n a m i c p r o g r a m m i n g a p p l i c a t i o n i n

w a t e r r e s o u r c e s " , W a t e r R e s o u r c e R e s e a r c h , 1 8 ( 4 ) , p p .

6 7 3 - 9 6 ( 1 9 8 2 ) .

1 8 . M a r i n o , M . A . a n d L o a i c i g a , H . A . \ D y n a m i c m o d e l

f o r m u l t i r e s e r v o i r o p e r a t i o n " , W a t e r R e s o u r c e R e s . ,

2 1( 5 ) , p p . 6 1 9 - 6 3 0 ( 1 9 8 5 ) .

1 9 . B e c k e r , L . a n d Y e h , W . \ O p t i m i z a t i o n o f r e a l - t i m e

o p e r a t i o n o f a m u l t i p l e r e s e r v o i r s y s t e m " , W a t e r R e -

s o u r c e R e s . , 1 0 ( 6 ) , p p . 1 1 0 7 - 1 1 1 2 ( 1 9 7 4 ) .

2 0 . M o u s a v i , S . J . a n d K a r a m o u z , M . \ C o m p u t a t i o n a l

i m p r o v e m e n t f o r d y n a m i c p r o g r a m m i n g m o d e l s b y

d i a g n o s i n g i n f e a s i b l e s t o r a g e c o m b i n a t i o n s " , A d v a n c e s

i n W a t e r R e s o u r c e s , 2 6 , p p . 8 5 1 - 8 5 9 ( 2 0 0 3 ) .

2 1 . E s a t , V . a n d H a l l , M . J . \ W a t e r r e s o u r c e s y s t e m

o p t i m i z a t i o n u s i n g g e n e t i c a l g o r i t h m s " , H y d r o I n f o r -

m a t i c s ' 9 4 , P r o . , 1 s t I n t . C o n f . o n H y d r o I n f o r m a t i c s ,

B a l k e r m a , R o t t e r d a m , T h e N e t h e r l a n d s , p p . 2 2 5 - 2 3 1

( 1 9 9 4 ) .

2 2 . F a h m y , H . S . , K i n g , J . P . , W e n t z l e , M . W . a n d S e t o n ,

J . A . \ E c o n o m i c o p t i m i z a t i o n o f r i v e r m a n a g e m e n t

u s i n g g e n e t i c a l g o r i t h m s " , I n t . S u m m e r M e e t i n g , A M .

S o c . A g r i c . E n g r s . , P a p e r n o . 9 4 3 0 3 4 , S t . J o s e p h , M i c h .

( 1 9 9 4 ) .

2 3 . O l i v e i r a , R . a n d L o u c k s , D . \ O p e r a t i o n r u l e s f o r

m u l t i r e s e r v o i r s y s t e m s " , W a t e r R e s o u r c e . R e s . , 3 3 ( 4 ) ,

p p . 8 3 9 - 8 5 2 ( 1 9 9 7 ) .

2 4 . W a r d l a w , R . a n d S h a r i f , M . \ E v a l u a t i o n o f g e n e t i c

a l g o r i t h m s f o r o p t i m a l r e s e r v o i r s y s t e m o p e r a t i o n " ,

J o u r n a l o f W a t e r R e s o u r c e s P l a n n i n g a n d M a n a g e -

m e n t , 1 2 5 ( 1 ) , p p . 2 5 - 3 3 ( 1 9 9 9 ) .

2 5 . B o z o r g H a d d a d , O . , A f s h a r , A . a n d M a r i n o , M . A .

\ H o n e y - B e e s M a t i n g O p t i m i z a t i o n ( H B M O ) a l g o -

r i t h m : A n e w h e u r i s t i c a p p r o a c h f o r w a t e r r e s o u r c e s

o p t i m i z a t i o n " , W a t e r R e s o u r c e s M a n a g e m e n t , 2 0 ( 5 ) ,

p p . 6 6 1 - 6 8 0 ( 2 0 0 6 ) .

2 6 . J a l a l i , M . R . , A f s h a r , A . a n d M a r i n o , M . A . \ M u l t i -

c o l o n y a n t a l g o r i t h m f o r c o n t i n u o u s m u l t i - r e s e r v o i r

o p e r a t i o n o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s " , W a t e r R e s o u r c e s

M a n a g e m e n t , 2 1 ( 9 ) , p p . 1 4 2 9 - 1 4 4 7 ( 2 0 0 7 ) .

application of an ant colony optimization

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