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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA

CAMPUS DE RIO PARANABA

APOSTILA DA DISCIPLINA

CRP 194 ESTATSTICA EXPERIMENTAL

Prof. Carlos Eduardo Magalhes dos Santos

Rio Paranaba/MG

2011

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA Campus de Rio Paranaba

CRP 194 Estatstica Experimental 2011/II Professor: Carlos Eduardo Magalhes dos Santos 1. CONTEDO Captulo 1 Introduo a Estatstica Experimental Captulo 2 Testes de hipteses Captulo 3 Contrastes Captulo 4 Introduo Experimentao Captulo 5 Delineamento Inteiramente Casualizado Captulo 6 Procedimentos para Comparaes Mltiplas Captulo 7 Delineamento em Blocos Casualizados Captulo 8 Delineamento em Quadrado Latino Captulo 9 Experimentos Fatoriais Captulo 10 Experimentos em Parcelas Subdivididas Captulo 11 Regresso e Correlaes 2. AVALIAES

Prova Data Horrio Local 1 08/09 (Qui) 08:00 GOU 002 2 13/10 (Qui) 08:00 GOU 002 3 24/11 (Qui) 08:00 GOU 002

O sistema de avaliao constar de:

Avaliaes Peso Prova 1 30% Prova 2 30% Prova 3 30%

Avaliao (Assiduidade, Listas de Exerccios e Sabatinas) 10%

Sero ministradas sabatinas sobre o contedo explicado, com valor a ser definido pelo professor, a perda da mesma acarretar em perca da pontuao, mesmo havendo justificativa.

Ser aplicada uma quarta prova escrita com peso de 30%, que abordar todo o assunto do semestre, para o estudante que perder pelo menos umas das trs provas por motivo condizente. O clculo do rendimento acadmico ser realizado tomando-se os trs valores das provas realizadas mais o valor da avaliao do aluno.

Levar tabelas dos testes de hipteses e calculadora para as provas, pois so de uso individual.

As listas de exerccios sugeridos devero ser entregues, impreterivelmente, no dia da realizao da prova daquele contedo.

2

No momento das provas no ser permitida qualquer comunicao entre os alunos e utilizao de meios ilcitos (cola), provocando cancelamento da prova do(s) aluno(s) interceptado(s).

O professor marcar um nico perodo de reviso para cada uma das provas que dever ser respeitado, dado que no sero abertas excees para revises de provas fora do perodo estabelecido. O perodo de reviso de prova ser divulgado no quadro de avisos do Campus e no SAPIENS.

A data da prova final ser marcada pelo Registro Escolar. 3. BIBLIOGRAFIA BANZATTO, D. A.; KRONKA, S. N. Experimentao agrcola. FUNESP: Jaboticabal, 1989. 249 p. BARBIN, Dcio. Planejamento e anlise estatstica de experimentos agronmicos. Editora UFV: Viosa, 2003. GOMES, F. P. Curso de estatstica experimental. 14 edio, Livraria Nobel S.A.: So Paulo, 2000. 475 p. MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatstica aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 edio, LCT Editora: Rio de Janeiro, 2003. 463 p. RAMALHO, M. A. P., FERREIRA, D. F., OLIVEIRA, A. C. Experimentao em gentica e melhoramento de plantas. Lavras: Editora UFLA, 2005. 322 p. RIBEIRO JNIOR, J. I. Anlises estatsticas no Excel guia prtico. Editora UFV: Viosa, 2004. 249 p. VIEIRA, S.; HOFFMANN, R. Estatstica experimental. Editora Atlas: So Paulo, 1989, 179 p.

3

4. PLANEJAMENTO

Aula Dia Assunto 01 01/08 Apresentao da disciplina 02 04/08 Testes de hipteses: conceitos e aplicaes 03 08/08 Teste t para uma mdia 04 11/08 Teste F para duas varincias 05 15/08 Teste t para duas mdias independentes 06 18/08 Teste t para duas mdias dependentes 07 22/08 Contrastes: conceitos 08 25/08 Mtodos para obteno de contrastes ortogonais 09 29/08 Princpios bsicos da experimentao 10 01/09 Recesso (ExpoALTO 2011) 11 05/09 Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) 12 08/09 Prova 1 13 12/09 Anlise de varincia (ANOVA) 14 15/09 Teste de Tukey e Duncan 15 19/09 Testes t e de Scheff 16 22/09 Delineamento em Blocos Casualizados (DBC) 17 26/09 Aplicaes do Delineamento em Blocos Casualizados 18 29/09 Delineamento em Quadrado Latino (DQL) 19 03/10 Aplicaes do Delineamento em Quadrado Latino 20 06/10 Experimento Fatorial (EF) 21 10/10 Resoluo de exerccios 22 13/10 Prova 2 23 17/10 Interao A x B no significativa de EF 24 20/10 Interao A x B significativa de EF 25 24/10 Experimentos em parcelas subdivididas (EPS) 26 27/10 Interao A x B no significativa de EPS 27 31/10 Interao A x B significativa de EPS 28 03/11 Regresso linear de 1 grau 29 07/11 Regresso linear de 2 grau 30 10/11 Regresso linear com delineamento experimental: Aplicaes 31 14/11 Recesso (Comemorao do Dia do Servidor Pblico) 32 17/11 Correlaes: conceito 33 21/11 Exerccios 34 24/11 Prova 3 35 28/11 Interface de sistemas estatsticos 36 01/12 Exerccios

CRP 194 Estatstica Experimental 2011/II _____________________________________________________________________________

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1

1.0 - INTRODUO ESTATSTICA EXPERIMENTAL

1.1 Introduo

A estatstica entendida como a matemtica aplicada a dados observados,

fornecendo mtodos para gerao, coleta, organizao, descrio, anlise e

interpretao deles. A estatstica experimental tem por objetivo o estudo dos

experimentos, isto : seu planejamento, execuo, anlise dos dados e interpretao

dos resultados obtidos.

Existem alguns conceitos bsicos relacionados a essas etapas da

experimentao agrcola, que passaremos a enunciar:

a) Experimento ou ensaio: um trabalho previamente planejado, que segue determinados princpios bsicos e no qual se faz a comparao dos efeitos

dos tratamentos.

b) Tratamento: utilizado para designar o mtodo, elemento ou material cujo efeito desejamos medir ou comparar em um experimento. Um tratamento pode ser

por exemplo: variedades de soja, quantidade de fertilizantes para a cultura

do milho, doses de fungicidas para controle de Alternaria solani na cultura da

batata, recipiente para a produo de mudas de espcies florestais, dentre

outros.

c) Unidade experimental ou parcela: a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados que devero refletir seu efeito. Uma parcela por ser: uma

planta ou um grupo delas, uma rea do terreno com plantas, um vaso com

plantas, um animal, dentre outros.

d) Delineamento experimental: o plano utilizado na experimentao e implica na forma como os tratamentos sero designados s unidades experimentais,

alm de um amplo entendimento das anlises a serem feitas quando todos

os dados estiverem disponveis. Como exemplo de delineamentos

experimentais, podemos citar: delineamentos inteiramente casualizados,

delineamento em blocos casualizados e delineamento em quadrado latino.

Captulo 2 Testes de hipteses _____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________ Prof. Carlos Eduardo Magalhes dos Santos

2

e) Esquema: quando no mesmo experimento so avaliados dois ou mais fatores, os nveis dos fatores podem ser combinados de maneiras diferentes.

Exemplos: esquemas fatoriais e esquemas de parcelas subdivididas.

f) Populao ou conjunto universo: o conjunto constitudo por todos os dados possveis com relao caracterstica em estudo. Por exemplo, se

desejamos estudar a produtividade de milho na regio do Alto Paranaba, a

populao ser constituda pelas produtividades das lavouras de milho de

toda a regio do Alto Paranaba.

g) Amostra: uma parte representativa da populao, isto , um subconjunto do conjunto universo. Na prtica, trabalhamos com amostras (experimentos)

para obter informaes que sero utilizadas nas populaes amostradas.

h) Varivel resposta: a varivel mensurada usada para avaliar o efeito de tratamentos.

i) Erro experimental: o efeito de fatores que atuam de forma aleatria e que no so passveis de controle do experimentador.

j) Hiptese: uma suposio fundamentada sobre o porqu de um fato, ou seja, uma suposio sobre causas. Hiptese cientfica aquela passvel de ser

testada.

Em qualquer pesquisa cientfica, o procedimento geral o de formular hipteses

e verific-las, diretamente, ou por meio de suas conseqncias. Para tanto

necessrio um conjunto de observaes ou dados, e o planejamento de experimentos

essencial para indicar o esquema sob o qual as hipteses podem ser testadas.

As hipteses so testadas por meio de mtodos de anlise estatstica que

dependem do modo como as observaes ou os dados foram obtidos, e, desta forma,

o planejamento de experimentos e a anlise dos dados esto intimamente ligados e

devem ser utilizados em uma certa sequncia nas pesquisas cientficas.

1.2 Pesquisa Cientfica


___________________________________________________________________________________

3

Figura 1 Fluxograma da pesquisa cientfica.

2 Formulao de questes e

hipteses

3 - Planejamento

4 Coleta dos dados

5 - Anlise 6 - Testes

7 - Concluses

1 - Objetivo

8 Reformulao do conhecimento



4

2.0 TESTES DE HIPTESES

2.1 Introduo

Um dos principais objetivos da Estatstica a tomada de decises a respeito da

populao, com base na observao de amostras, ou seja, a obteno de concluses

vlidas para toda a populao, com base em amostras retiradas dessa populao.

Os testes de hipteses fazem parte de um conjunto de procedimentos

inferenciais usados em estatstica. O uso de tais procedimentos permite ao

pesquisador fazer inferncias a respeito de uma populao a partir de uma ou mais

amostras representativas da populao da qual as amostras foram retiradas.

No dia a dia usamos de inferncia para tomarmos certas decises. Por

exemplo, quando vamos a feira para comprar abacaxi e um feirante nos oferece um

pedao de abacaxi. Qual o nosso procedimento? Se aquele pedao de abacaxi for

doce, conclumos que todo o lote de abacaxi vendido por aquele feirante doce. Por

outro lado, se o pedao for azedo, inferimos que todo o lote azedo. lgico que

podemos tomar decises erradas devido amostragem. Por exemplo, corremos o

risco de levar abacaxi azedo para casa, mesmo que na prova tenha sido doce. Isto

pode acontecer porque o lote de abacaxi pode no ser completamente uniforme no

teor de acar, ou porque experimentamos um abacaxi doce no meio de um lote

composto por abacaxis azedos.

Este um exemplo prtico que ilustra o principio bsico do teste de hipteses.

Porm, em cincia necessrio que todos os procedimentos sejam padronizados e

bem especificados. O objetivo deste captulo fornecer os conceitos tericos

fundamentais para um correto uso dos testes de hipteses mais comuns para

comparar no mximo parmetros de duas populaes. Outros testes de hipteses

aplicveis para comparaes de parmetros envolvendo mais de duas populaes

sero apresentados no captulo sobre comparaes mltiplas.


___________________________________________________________________________________

5

2.2 Conceitos fundamentais em testes de hipteses

2.2.1 Parmetro: uma medida usada para caracterizar uma populao. Assim sendo para se obter o valor de um parmetro necessrio coletar informao a

respeito de uma ou mais variveis em todos os indivduos dessa populao, ou seja,

realizar um censo da mesma. possvel caracterizar uma populao por meio de duas

medidas principais: posio e disperso.

As medidas de posio so tambm conhecidas como medidas de tendncia

central, pois elas indicam em que posio, a distribuio dos valores de uma

populao tende a se concentrar. Alguns exemplos de medidas de posio so a

mdia aritmtica (m = = E(X)), a mediana (Md) e a moda (Mo).

As medidas de disperso indicam quanto os valores de uma populao esto

dispersos em torno de sua mdia. Como exemplo de medidas de disperso temos a

varincia ( 2 = V(X)) e o desvio-padro ( ).

2.2.2 Estimador: quando na maioria das situaes no possvel realizar o censo de uma populao, porque ou a populao muito grande ou de tamanho infinito.

Para contornar este problema, o pesquisador pode retirar uma amostra da populao e

a partir desta amostra caracterizar a populao de onde a amostra foi retirada sem

nenhum vis.

Para alcanar este objetivo deve-se usar frmulas estatsticas, conhecidas

como estimadores, que apresentem caractersticas estatsticas desejveis, tais como

no-tendenciosidade, varincia mnima, fornecer estimativas que se aproximem do

valor paramtrico medida que o tamanho da amostra aumenta, dentre outros.

Exemplos de estimadores so a mdia aritmtica amostral, m , que usada

para estimar a mdia populacional; e a varincia amostral, s2

, que usada para

estimar a varincia populacional. Outras simbologias comuns para a mdia amostral

so e x , e para a varincia amostral so 2 e V (X). Observe que algumas vezes a simbologia usada para representar os

parmetros e seus respectivos estimadores muito parecida. Por exemplo, podemos

representar a mdia populacional por m e seu estimador por m , ou seja, a diferena

entre o parmetro e o seu estimador o chapu que existe no smbolo usado para



6

representar o estimador. Isto parece ser uma diferena mnima, mas do ponto de vista

estatstico, a diferena conceitual entre parmetro e estimador enorme.

O parmetro sempre um valor constante, pois para a obteno do mesmo so

usados todos os elementos da populao. Por outro lado, o estimador representa uma

varivel aleatria, pois seus valores mudam de amostra para amostra. Isto acontece

porque os elementos que pertencem a uma amostra geralmente no so os mesmos

em outras amostras. Consequentemente possvel estabelecer uma distribuio de

probabilidades para os valores de um estimador. Para o parmetro, isto no

possvel, pois se assume que ele tem um valor constante. Por isto recomenda-se muito

cuidado para usar corretamente a simbologia para o parmetro e para o estimador.

Conforme mencionado anteriormente, os estimadores podem assumir valores

diferentes em amostras diferentes. Estes diferentes valores que um estimador assume

so tambm conhecidos como estimativas, exemplo, .,s,X 554510 2 ==

2.2.3 Hipteses em um teste estatstico

uma suposio quanto ao valor de um parmetro populacional que ser

verificada por um teste paramtrico, ou uma afirmao quanto a natureza da

populao, que ser verificada por um teste de aderncia. As hipteses estatsticas

devem ser formuladas de modo a minimizar os erros de deciso.

Para realizar um teste de hiptese e divulgar as concluses necessrio seguir

um procedimento aceito pela comunidade cientfica. Neste procedimento, o

pesquisador deve deixar claro qual a hiptese que ele deseja testar. Para isto ele

precisa escrever em termos estatsticos a sua hiptese cientfica. A hiptese cientfica

do pesquisador, nada mais o que levou a realizar a sua investigao.

Por exemplo, suponha que um pesquisador deseja verificar se as variedades de

soja Cristalina e Roundup Ready apresentam a mesma produtividade por hectare.

Em termos estatsticos esta hiptese expressa por:

mCristalina = m

Em que: Roundup Ready

m'Cristalina: mdia da produtividade/ha da variedade de soja Cristalina; e


___________________________________________________________________________________

7

mRoundup Ready

: mdia da produtividade/ha da variedade de soja Roundup

Ready.

O pesquisador deseja testar esta hiptese porque ele desconfia que a mdia de

produtividade ha-1

m

no seja a mesma para as duas variedades. Ento ele tem que ter

uma alternativa para esta hiptese inicial. Nesta alternativa, ele lana a sua

desconfiana a respeito do que pode acontecer. Se ele desconfiar que a variedade

Cristalina tem uma mdia de produtividade/ha maior que a variedade Roundup

Ready, ento a hiptese alternativa expressa por

'Cristalina > m

Por outro lado, se ele desconfiar que a variedade Roundup Ready tem uma

mdia de produtividade/ha maior que a variedade Cristalina, ento a hiptese

alternativa expressa por

Roundup Ready

m'Cristalina < m

Roundup Ready

Uma outra alternativa seria a situao em que ele no tem nenhuma

desconfiana de qual variedade teria uma mdia de produtividade/ha maior do que a

outra. Neste caso, a hiptese alternativa expressa por

m'Cristalina m

Neste ponto fica claro que para realizar um teste de hipteses necessrio que

o pesquisador lance duas hipteses. A primeira que contm um sinal de igualdade

conhecida como hiptese de nulidade, comumente denotada por H

Roundup Ready

0. dado este

nome pois ela representa uma nulidade de diferena entre mdias. J a outra hiptese

que contm um sinal de desigualdade, conhecida como hiptese alternativa,

comumente designada por Ha ou H1. Como o prprio nome diz, ela uma alternativa

a hiptese de nulidade. Na verdade, quando um pesquisador realiza um experimento,

a hiptese de nulidade construda com o expresso propsito de ser rejeitada. Isto faz

sentido porque, quem teria o trabalho de realizar um experimento se achasse que

duas mdias so iguais? Qualquer um se daria ao trabalho de instalar um

experimento, apenas se desconfiar que exista diferena significativa entre as mdias

de duas populaes. No entanto, num teste de hipteses, at que se prove o contrrio,

a Ho considerada como a hiptese verdadeira.



8

Para o exemplo dado, supondo que o pesquisador no desconfie a princpio

qual variedade que apresenta maior mdia de produtividade/ha, o par de hipteses a

ser lanado expresso por

Ho: mCristalina = m

Ha: mRoundup Ready

'Cristalina m

Roundup Ready

Observe que apesar de ser possvel existir trs possibilidades para Ha, apenas

uma possibilidade foi lanada. Outro ponto importante que as hipteses foram

lanadas em termos dos parmetros e no em termos dos seus estimadores. No faz

sentido lanar as hipteses usando os estimadores, pois os mesmos no possuem um

valor fixo, ou seja, apresentam valores diferentes para amostras diferentes, enquanto

que o parmetro possui um valor fixo.

1.2.4 Deciso em um teste de hipteses Para decidirmos se devemos ou no devemos rejeitar a hiptese de nulidade,

baseamos na comparao do valor especificado para o parmetro com aquele

estimado a partir de uma amostra da populao. Raramente, o valor estimado ser

idntico quele especificado para o parmetro.

Conforme mencionado anteriormente, um estimador pode assumir valores

diferentes para amostras diferentes, sendo que existem intervalos de valores mais

provveis de ocorrer do que outros. Portanto pode-se construir uma distribuio de

probabilidades para os valores de um estimador.

O valor fornecido pelos estimadores poder diferir do ponto de vista

matemtico, do valor esperado para o parmetro. Esta diferena matemtica nem

sempre representa que a hiptese de nulidade deve ser rejeitada, pois como o

estimador uma varivel aleatria, esperado que ele possa assumir valores dentro

de um intervalo. O que um teste de hipteses geralmente faz comparar duas fontes

de variao. A primeira fonte de variao diz respeito variao entre o valor

paramtrico e uma estimativa. A segunda fonte de variao diz respeito variao

existente na populao.

Se as duas fontes de variao apresentarem valores semelhantes ento o valor

do parmetro no difere do valor especificado na hiptese de nulidade. Neste caso, a


___________________________________________________________________________________

9

variao observada entre o valor paramtrico e sua estimativa uma variao prpria

dos dados. Conclui-se, portanto que a hiptese Ho no deve ser rejeitada.

Por outro lado, se as duas fontes de variao apresentarem valores bem

diferentes, conclui-se que a variao entre o valor especificado para o parmetro e o

de sua estimativa no prpria dos dados. Neste caso a variao entre o valor

paramtrico e a estimativa significativa, o que leva a rejeitar-se a hiptese de

nulidade.

Para ento decidirmos entre rejeitar ou no-rejeitar a hiptese de nulidade

devemos estabelecer o que uma pequena e uma grande variao. Para isto,

precisamos conhecer a distribuio de probabilidades do estimador usado para

estimar o parmetro. Vamos ilustrar esta situao no seguinte exemplo.

Suponha que um pesquisador desconfie que a estatura mdia dos adolescentes

na faixa etria de 13 a 15 anos menor do que aquela informada por um rgo oficial

como sendo igual a 1,5 metros. Este pesquisador sabe de fontes seguras que a

estatura uma varivel aleatria que segue uma distribuio normal com varincia

igual a 0,25 metros2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.5 0.8 1.0 1.3 1.5 1.8 2.0 2.3 2.5

f(X)

Varivel X

. Se a informao do rgo oficial for verdadeira, ou seja, a mdia

de estatura for igual a 1,50 metros, poderamos descrever a distribuio de valores da

varivel estatura, digamos X, como X ~ N (1,50; 0,25) e representar esta distribuio

por meio do grfico;

m =



10

A funo densidade de probabilidade de uma varivel aleatria contnua que

tem distribuio normal, no caso, f(X) dada por:

( )2

21

21

=

mx

eXf

Para verificar se a informao do rgo oficial correta, o pesquisador tem

duas opes: medir a estatura da populao de todos os adolescentes, ou ento tomar

uma amostra de adolescentes e medir a estatura dos mesmos e usar um teste de

hipteses. Na primeira opo nenhum teste de hipteses seria necessrio, pois o

pesquisador teria condies de conhecer o verdadeiro valor da mdia de estatura, ou

seja, ele conheceria o parmetro mdia daquela populao de adolescentes. Na

segunda opo, o pesquisador teria que usar uma mdia da amostra para tomar a sua

deciso.

evidente que a segunda opo operacionalmente mais fcil, pois o custo e o

tempo gasto so muito menores. Para a realizar a segunda opo, o pesquisador deve

escolher um tamanho de amostra adequado, por exemplo, suponha que para este

exemplo o tamanho amostral ideal seja igual a 10 indivduos. Da populao de

adolescentes possvel retirar um grande nmero de diferentes amostras de tamanho

10.

Cada amostra fornece um valor para a mdia amostral. Pode ser demonstrado

que a mdia de todas as mdias amostrais igual mdia da varivel original, a

varincia igual varincia original dividido pelo tamanho da amostra e que a varivel

aleatria m tambm segue distribuio normal, ou seja, m ~ N(1,5; 0,025). O grfico da

distribuio das mdias amostrais seria


___________________________________________________________________________________

11

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

f(Xb)

Varivel: Xb em que Xb = m e f(Xb) = f(m ).

Como pode ser notado, a distribuio das mdias amostrais para a varivel

estatura, representadas no grfico por Xb, mais concentrada em torno da mdia do

que a varivel original X. Isto acontece porque a varincia das mdias amostrais

menor do que a varincia da varivel original estatura.

Deve ficar entendido que possvel retirar um nmero muito grande de

amostras de mesmo tamanho de uma populao, principalmente se a populao for

muito grande. No entanto, numa pesquisa geralmente toma-se deciso usando-se

apenas uma nica amostra. As hipteses estatsticas para esta situao seriam:

Ho: malturaHa: m

= 1,5 metros

altura

< 1,5 metros

Para se entender a lgica dos testes de hipteses, vamos supor diferentes

resultados possveis para a mdia amostral obtida a partir de uma amostra de 10

estudantes. Suponha inicialmente que o pesquisador, obtenha uma mdia amostral,

digamos m , igual a 1,49 metros. Neste caso, a variao entre o valor observado igual

a 1,49 e o valor suposto igual a 1,50 muito pequena. Pode-se-ia atribuir esta

variao ao acaso, ou seja, esta variao uma variao prpria de uma populao

que apresente mdia igual a 1,5 metros. Em termos probabilsticos poderamos dizer

que existe uma grande probabilidade de numa populao com mdia igual a 1,50

m =



12

metros existir grupos de 10 indivduos que apresentem uma mdia de estatura igual ou

inferior a 1,49 metros. Justificativa semelhante poderia ser atribuda a mdias

amostrais que tivessem valores prximos ao valor suposto, tais como: 1,48; 1,47; 1,42;

etc.

Por outro lado, se a mdia amostral apresentar um valor muito distante do valor

suposto, como por exemplo, 0,60 metros, o pesquisador tem a tendncia de rejeitar a

hiptese de nulidade, isto porque h um forte indcio de que a amostra foi retirada de

uma populao que apresenta uma mdia menor do que a suposta de 1,5 metros. Em

termos probabilsticos poderia se dizer que a probabilidade de encontrar um grupo de

indivduos com mdia igual ou inferior a 0,60 metros muito pequena, em uma

populao que apresenta uma mdia igual a 1,5 metros. Veja a figura a seguir

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

f(Xb)

Varivel: Xb A funo densidade de probabilidade da mdia amostral de uma varivel

aleatria que tem distribuio normal, no caso, f(Xb), dada por:

( )

2

21

21

= n

mx

e

n

Xbf

0,60


___________________________________________________________________________________

13

A rea sob a curva abaixo do valor 0,60 m indica a probabilidade de se

encontrar um valor igual ou inferior a 0,60 metros em uma populao com mdia igual

a 1,5 metros. Como pode ser notada, esta probabilidade pequena em relao rea

total do grfico. Com base neste raciocnio que o pesquisador estabelece um valor

crtico que o ajuda a decidir sobre a rejeitar ou no-rejeitar a hiptese de nulidade.

Este valor crtico pode a princpio ser estabelecido de duas maneiras. A primeira delas

seria a situao em que o pesquisador de posse de seu conhecimento prvio no

assunto estabeleceria um valor crtico antes de coletar a amostra. Este valor crtico

seria um valor para a mdia amostral tal que acima dele o pesquisador no-rejeitaria a

hiptese de nulidade e abaixo dele rejeitaria a hiptese de nulidade. Digamos que

neste caso o valor crtico adotado fosse igual a 1,0 metro. O valor para a mdia igual a

1,0 metro determinaria duas regies na distribuio das mdias amostrais, conforme

apresentado na figura a seguir. Estas duas regies so denominadas como Regio de

No-Rejeio da Hiptese de Nulidade (RNRHo) e Regio de Rejeio da Hiptese de

Nulidade (RRHo). Como os respectivos nomes indicam, se o valor da mdia amostral

estiver contido na RNRHo, o pesquisador no deve rejeitar a hiptese de nulidade.

Caso, contrrio, se o valor da mdia amostral estiver contido na RRHo, o pesquisador

deve rejeitar a hiptese de nulidade e considerar a hiptese alternativa como sendo a

hiptese verdadeira.



14

Deve-se observar que ao adotar o critrio acima, o pesquisador sempre estar

sujeito a cometer um de dois erros possveis. Um destes erros, conhecido como erro

tipo I ou erro alfa ( ) , se refere probabilidade de rejeitar uma hiptese verdadeira, no caso a hiptese de nulidade. Na figura citada anteriormente, o critrio adotado pelo

pesquisador foi que se a mdia amostral assumisse um valor menor que 1,0 metro,

ento rejeitar-se-ia a hiptese de nulidade. exatamente a adoo deste critrio que

pode levar o pesquisador cometer um erro em sua tomada de deciso, pois como se

pode observar na figura, em uma populao que realmente apresenta mdia igual a

1,5 metros, existe uma pequena percentagem de indivduos que podem apresentar

uma altura mdia inferior a 1,0 metro. No entanto, o pesquisador acaba assumindo

que devido ao fato daquela chance ser muito pequena, ele decide que se uma amostra

de elementos apresentar mdia menor que 1,0 metro, ela pertence a uma populao

com mdia inferior especificada de 1,5 metros, conforme mostrado na figura seguir.

Nesta figura, pode-se observar duas curvas: a da esquerda quando se assume

que a populao tem uma mdia inferior a especificada, isto a curva para a hiptese

alternativa (Ha) com m < 1,5 metros; e a curva da direita para a situao em que a

populao apresenta mdia igual especificada, ou seja, curva para a hiptese de

H0: m = 1,5 Ha: m < 1,5


___________________________________________________________________________________

15

nulidade (Ho) com mdia m = 1,5 metros. Quando o pesquisador toma a deciso de

rejeitar a Ho, ele na verdade acaba por concluir que a populao de onde foi retirada a

amostra pertence aquela populao com mdia m < 1,5 metros. Observem, valores

nesta regio podem levar a duas concluses que a rigor ambas estariam corretas,

mas a probabilidade de encontrar indivduos com mdia inferior ou igual ao valor

crtico, no caso 1,0 metro, bem maior numa populao com m < 1,5 metros do que

numa populao com mdia m = 1,5 metros. esta diferena nas probabilidades que

leva o pesquisador a rejeitar Ho ao invs de no rejeit-la.

Conforme mencionado anteriormente, a rea sob a curva da hiptese Ho que

leva a sua rejeio se refere probabilidade de se rejeitar Ho quando Ho verdadeira.

Isto foi definido anteriormente como erro alfa. Um raciocnio lgico que se tem tentar

fazer este erro ser o menor possvel. No entanto, em todo teste de hipteses existe

tambm um outro erro, conhecido como erro tipo II ou erro beta ( ) , o qual aumenta o seu valor medida que se diminui o erro alfa. Este erro se refere probabilidade no-

rejeitar a hiptese Ho quando Ho falsa (ver figura anterior). No exemplo que estamos

trabalhando, este erro beta ser tanto maior, quanto menor for o valor crtico. Se por

exemplo, fizermos que o valor crtico para a mdia amostral seja igual a 0,9 m, ento a

nova proporo entre os erros alfa e beta seria conforme a figura a seguir.



16

Ns acabamos de ver a maneira emprica de realizar um teste de hiptese, a

qual se baseia no fato do pesquisador estabelecer o valor crtico de rejeio da

hiptese Ho com base em seu prvio conhecimento do problema. Este procedimento,

embora seu forte apelo prtico traga a desvantagem de no poder estabelecer a

princpio qual seria a probabilidade de ser cometer o erro tipo I, ou seja, a que nvel de

significncia que o teste de hipteses ser realizado. de consenso que se publique,

que nos trabalhos cientficos, a que nvel de significncia um teste de hipteses foi

realizado. Desta forma, possvel comparar os resultados e concluses de diferentes

trabalhos de pesquisa, pois existe uma tendncia que, para determinada rea do

conhecimento, o nvel de significncia esteja dentro de uma faixa de valores aceito

pela maioria dos pesquisadores. A determinao do nvel de significncia quando se

usa o mtodo emprico possvel, embora computacionalmente no seja uma tarefa

fcil, pois envolve a integrao de funes complexas tais como exponenciais, gama,

beta, dentre outros. Devido a todas estas razes, o mtodo no-emprico o mais

usado.

O quadro abaixo sintetiza as probabilidades de uma escolha decisiva:

Realidade

Deciso Ho verdadeira Ho falsa

Rejeitar Ho 1 Aceitar Ho 1

O procedimento para um teste de hipteses usando o mtodo no-emprico

similar ao mtodo emprico. A diferena est basicamente que no mtodo no-

emprico, o valor crtico conhecido a partir do nvel de significncia estabelecido e o

uso de tabelas estatsticas. Existe uma tabela estatstica apropriada para cada tipo de

teste de hipteses. Estas tabelas fornecem valores crticos que delimitam regies de

rejeio e de no-rejeio de Ho. O valor obtido de uma ou mais amostras retirada

da(s) populao(es) ento usado para calcular o valor de uma estatstica que tem

distribuio de probabilidades idntica quela usada para identificar o valor tabelado. A

comparao dos valores calculado e tabelado permite ao pesquisador decidir entre

rejeitar ou no-rejeitar Ho.


___________________________________________________________________________________

17

Os prximos itens deste captulo iro tratar sobre alguns testes de hipteses

que usam este mtodo no-emprico.

2.3 Testes de hipteses

2.3.1 Teste Z

2.3.1.1 Teste de hipteses para uma mdia populacional

Caso em que X normalmente distribudo com varincia populacional

conhecida. Seja uma varivel aleatria ( )2,N~X . Pode-se demonstrar que a mdia amostral X tambm segue est distribuio normal com a mesma mdia porm a

varincia est dividida pelo tamanho da amostra

n,N~X

2

.

Usando-se a varivel normal padronizada ou reduzida Z, temos 2x

oxZ

= ou

n

xZ o

= , onde:

x = mdia amostral;

o = valor da hiptese Ho;

= desvio padro populacional;

n = tamanho da amostra.

Exemplo:

a) A produtividade mdia por hectare do feijoeiro vermelho na Regio de Viosa/MG

de 1800 Kg e o desvio padro de 100 Kg. Mediante avanos no programa de

melhoramento gentico desta cultura na UFV proclamou-se que a produtividade pode

ser aumentada. Para testar esta declarao, ensaiou-se 50 lavouras em diferentes

pequenas propriedades, tendo-se determinado a produtividade mdia nestas de 1850

Kg. Pode-se confirmar a eficincia do melhoramento da cultura ao nvel de

significncia de 0,05 (ou 5%). R: Zcal

= 3,54



18

b) Considerando o mesmo problema anterior, testar:

b.1) Kg:Ha

%Kg:Ho1800

51800

==

b.2) Kg:Ha

%Kg:Ho1800

11800

==

2.3.1.2 Teste de hipteses para duas mdias populacionais

Caso em que XA e XB

Sejam

so normalmente distribudos com varincia

populacionais conhecidas.

BA XeX as mdias obtidas em duas amostras de tamanho nA e nB,

retiradas de duas populaes normais PA e PB22BA e

, respectivamente, com varincias

conhecidas mdias BA e desconhecidas. Considerando-se as variveis

aleatrias BA XeX independentes, tende-se que:

( )

+

B

B

A

ABABA nn;N~XeX

22

Nosso problema , ao nvel de significncia , testar:

3210

BABABA

BABA

ou;ou;:Ha:Hoou:Ho

==

Utilizaremos ento a estatstica:

( ) ( )( )BA

BABA

XeXVXeXZ =

Sob Ho segue-se que ( )BA XeX vai seguir uma distribuio normal com mdia

zero e varincia

+

B

B

A

Ann

22, ou ento: ( )

+

B

B

A

ABA nn;N~XeX

220 , ento:

( )

B

B

A

A

BA

nn

XeXZ22

0+

= ou ( )

B

B

A

A

BA

nn

XeXZ22 +

=

Exemplo:


___________________________________________________________________________________

19

a) Dois diferentes tratores so indicados para a execuo de determinada tarefa na

propriedade. Deseja-se saber se so igualmente eficientes no sentido de tempo

exigido para execuo da mesma. Sabe-se que os tempos de execuo em minutos

atravs dos mtodos A e B, so normalmente distribudos com varincias

., BA 10822 == Afim de chegar a uma deciso, retirou-se uma amostra de 48

operaes realizadas com o trator A e 36 operaes realizadas com o trator B. A

seguir os tempos de execuo foram medidos obtendo-se as seguintes mdias

amostrais (minutos): .XeX BA 4240 == A que concluso chegaremos ao nvel %.1=

b) Um fabricante faz 2 tipos de pneus para o tipo A ( )milhasA 2500= e para o tipo B ( )milhasB 3000= . Um veculo testou 50 pneus do tipo A e 40 pneus do tipo B, obtendo 24000 milhas e 26000 milhas de durao mdia dos respectivos tipos. Adotando-se

um risco %4= , testar a hiptese de que a vida mdia dos 2 tipos a mesma.

Teste para a proporo

1 passo:

Ho: p = po Ha

;

1: p > po Ha

, ou

2: p < po Ha

, ou

3: p po

.

2 passo:

Fixar , varivel escolhida a Z

3 passo:

Regio crtica (demonstrado no quadro)



20

4 passo:

Calcular Z

( )

np1p

pfZoo

o

=

onde: f = freqncia relativa do evento na amostra;

pon = tamanho da amostra.

= valor de Ho;

5 passo;

Concluso

a) Se 2ZZ2Z Rejeita-se Ho (Teste bilateral)

b) Se ZZ Rejeita-se Ho (Teste unilateral direita)

c) Se ZZ Rejeita-se Ho (Teste unilateral esquerda)

Exemplo;

As condies de mortalidade de uma suinocultura so tais que a proporo de

nascidos que sobrevivem at 60 dias de 0,6. Testar est hiptese ao nvel = 5% se

em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente verificou-se 530 sobreviventes at

60 dias.

2.3.2 Teste t de Student Teste para pequenas amostras

A aplicao do teste t indicada quando o tamanho amostral igual ou inferior a 30 elementos. Para amostras com tamanho superior a 30, recomenda-se o


___________________________________________________________________________________

21

teste Z. O uso do teste t pressupe que a caracterstica em anlise normalmente

distribuda com varincia populacional desconhecida. O teste t tem trs aplicaes principais: teste para uma mdia populacional,

teste para duas mdias populacionais e teste para mais que duas mdias

populacionais. As duas primeiras aplicaes vo ser apresentadas neste captulo. A

terceira aplicao ser apresentada no Captulo sobre Comparaes Mltiplas.

2.3.1.1 Teste de hipteses para uma mdia populacional

Este teste usado para verificar se a mdia de uma caracterstica de uma

populao assume um valor especificado, digamos mo. Para aplicao deste teste

devemos selecionar uma amostra aleatria de tamanho n da populao. Digamos que

os elementos amostrais sejam: X1, X2,...., Xnm

. Com base nestes elementos amostrais,

calculamos a sua mdia, , e seu desvio padro, s. Estas estatsticas so ento

utilizadas para calcular o valor de t usando a expresso

nsmmt o=

Esta estatstica t, tem distribuio t de Student com n-1 graus de liberdade, ou

seja, uma distribuio de probabilidades que depende do nmero de graus de

liberdade associado. A figura a seguir, ilustra a distribuio t para trs valores

diferentes no nmero de graus de liberdade.



22

As hipteses num teste t, para uma mdia populacional, so do seguinte tipo

Ho: m = moHa: m > m

versus

o

Ha: m < m

ou

o

Ha: m

ou

> m

o

Para decidirmos entre Rejeitar ou No-Rejeitar Ho, comparamos o valor de t

com o valor tabelado de t obtido por ( )1= ntt tab . A tabela apresentada no anexo desta apostila uma tabela elaborada para testes bilaterais. Neste caso, para

encontrarmos o valor tabelado basta entrar com o valor de e o respectivo nmero de

gruas de liberdade. Por outro lado, se desejarmos realizar um teste unilateral e

usarmos uma tabela bilateral, devemos entrar na tabela com 2 como nvel de

significncia. Este procedimento garante que realizaremos o teste ao nvel de

significncia como desejado para testes unilaterais.

Depois de obtido o valor calculado e o valor tabelado de t, usamos a seguinte

regra decisria:

- se tabtt ento Rejeita-se Ho.

- se tabtt ento No-Rejeita-se Ho.


___________________________________________________________________________________

23

Exerccios 2.1 Em indivduos sadios, o consumo renal de oxignio distribui-se normalmente em

torno de 12 cm3

14,4 12,9 15,0 13,7 13,5

/min. Deseja-se investigar, com base em cinco indivduos portadores

de certa molstia, se esta tem influncia no consumo renal mdio de oxignio. Os

consumos medidos para os cincos pacientes foram:

Qual a concluso ao nvel de 1% de significncia?

2.2 Uma amostra de seis elementos, extrada de uma populao normal, forneceu

0846

1,X

ii =

=

e ( ) 05526

1,mX

ii =

=

Deseja-se saber se a mdia da populao pode ser considerada como superior

a 11. Qual a concluso, ao nvel de 5% de significncia?

2.3.1.2 Teste de hipteses para duas mdias populacionais

O objetivo deste teste verificar se suas populaes, digamos populao 1 e

populao 2 apresentam um mesmo valor mdio para uma determinada caracterstica,

isto , deseja-se verificar se m1 = m2

. Com esta finalidade necessrio obter uma

amostra de cada populao. Estas duas amostras podem ser relacionadas ou no, ou

seja, podem ser dependentes ou independentes uma da outra. Esta distino no

relacionamento das duas amostras gera dois testes distintos.

2.3.1.2.1 Teste de hipteses para o caso de duas amostras independentes

Duas amostras so ditas independentes quando no existe nada que as relacione. Nesta situao, os valores amostrais foram obtidos em conjuntos amostrais

distintos, ou seja, os elementos amostrais que originaram os valores de uma amostra

so distintos dos elementos amostrais que originaram a segunda amostra.

Conforme mencionado anteriormente, para comparar as mdias das duas

populaes, toma-se uma amostra de cada populao. Suponha que as amostras

geradas sejam X11, X12,..., X1n e X21, X22,..., X2m, onde o tamanho das amostras

podem ser diferentes, ou seja, n pode ser diferente de m. Para cada amostra, ento

calcula-se a sua mdia e varincia. Um estimador comum para a varincia obtido



24

tomando-se uma mdia ponderada das estimativas de varincia obtidas para as duas

amostras. O tamanho da amostra utilizado como um peso para o clculo desta

varincia mdia ponderada. A obteno de um estimador comum para a varincia

pressupe que a varincia das duas populaes sejam idnticas, ou seja 2221 = . A

frmula do estimador comum :

em que 22

21 ses so as varincias amostrais das populaes 1 e 2, respectivamente. A

frmula geral para o clculo da varincia amostral dada por:

Uma vez obtidas estas estimativas, calcula-se o valor da estatstica t dada por:

Esta estatstica tem distribuio t de Student com (n1 + n2 - 2)graus de liberdade. A comparao do valor calculado de t com o valor tabelado dado por ttab = t(n1 + n2

2), usada para testar a hiptese de nulidade

H0: m1 = m2Ha: m

versus

1 > m2Ha: m

ou

1 < m2Ha: m

ou

1 m

A regra de deciso idntica ao caso anterior, ou seja: 2


- se tabtt < ento No-Rejeita-se Ho.


___________________________________________________________________________________

25

2.3 Os dados que seguem referem-se a cinco determinaes da resistncia de dois

tipos de concreto. Ao nvel de 5% de significncia, h evidncia de que o concreto 1

seja mais resistente que o concreto 2?

Concreto 1 54 55 58 51 57

Concreto 2 50 54 56 52 53

2.3.1.2.2 Teste de hipteses para o caso de duas amostras dependentes

Duas amostras de elementos so ditas serem dependentes quando existe algo que as relacione. Por exemplo, se os valores de duas amostras forma obtidos de um

mesmo conjunto de elementos amostrais, podemos dizer que as duas amostras de

valores so dependentes uma vez que foram tomados de um conjunto de elementos

amostrais comum.

O objetivo neste caso verificar se houve alterao na mdia de uma

populao quando a mesma avaliada sob duas condies diferentes. Cada condio

representa uma populao distinta, embora se suponha que os elementos

populacionais sejam os mesmos nas duas condies. Para verificar se houve

alterao na mdia, avalia-se uma caracterstica de interesse do pesquisador num

conjunto de elementos amostrais tomados ao acaso na populao quando a mesma

esteja sob a condio 1. Digamos que a avaliao da caracterstica resulte nos

seguintes valores amostrais X11, X12,..., X1n. Depois de feita esta avaliao, os

elementos amostrais que originaram a primeira amostra, sejam submetidos condio

2. Os mesmos elementos amostrais so novamente avaliados para a mesma

caracterstica na nova condio 2. Digamos que esta nova avaliao resulte nos

seguintes valores amostrais X21, X22,..., X2n

Em termos de desvios, se a alterao das condies no resultasse em nenhum

efeito significativo, poderamos dizer que a diferena entre os valores observados na

primeira condio e na segunda condio seria em mdia igual a zero. Portanto para

verificar se houve alterao na mdia de uma populao avaliada em duas condies

diferentes, pode-se testar a hiptese de que o desvio mdio ser estatisticamente igual

. Se a condio 2 no tiver nenhum efeito,

espera-se que em mdia os valores observados nas duas condies sejam iguais.



26

a zero. Portanto, a partir de duas amostras obtm-se uma outra baseada nos desvios,

conforme mostrado a seguir

Elemento amostral i 1 2 ... n

Amostra 1 X X11 ... 12 X1n

Amostra 2 X X21 ... 22 X

d

2n

i = X1i X d2i d1 ... 2 dn

Apresentado desta forma, o teste para duas amostras dependentes reduz-se

teste t para uma mdia populacional, visto anteriormente. No presente caso, deseja-se

testar se a mdia dos desvios igual por exemplo a um valor mo

. Escrevendo em

termos de hipteses estatsticas teramos

Ho: m = moHa: m > m

versus

o

Ha: m < m

ou

o

Ha: m

ou

> m

o

Para decidir entre rejeitar ou No-Rejeitar a hiptese de nulidade, deve-se

calcular o valor da estatstica t dada por

nsmmt o=

em que

n

dm

n

ii

== 1 1

1

2

12

2

=

=

=

nn

dd

s

n

i

n

ii

i

Sob Ho, esta estatstica t tem distribuio t de Student com n-1 graus de

liberdade. A comparao deste valor calculado com o valor de ttab dado por ttab = t (n-

1).


___________________________________________________________________________________

27

Depois de obtido os valores calculado e tabelado de t, usamos a seguinte regra

decisria:


- se tabtt < ento No-Rejeita-se Ho.

Exerccios

2.4 Com o objetivo de avaliar se determinado produto qumico eficiente para repelir

insetos pragas, foi realizada uma contagem de nmero de insetos, antes e aps a

aplicao deste produto qumico, em 7 lavouras. O nmero de insetos observado em

cada residncia foi

Lavouras 1 2 3 4 5 6 7

Antes da aplicao 8 6 7 8 9 6 7

Aps a aplicao 4 0 3 5 3 4 2

Por meio destes dados e ao nvel de 5% de probabilidade, possvel concluir,

em termos mdios, que o produto utilizado eficiente para repelir insetos?

2.5 Com finalidade de testar se determinado mtodo de secagem rpida consegue

reduzir significativamente a quantidade mdia de gua de gros de cereais, uma

poro de cada um dos seguintes tipos de cereais: Milho, Cevada, Trigo, Arroz e

Sorgo, foram expostas ao referido mtodo de secagem. Os resultados obtidos, para o

peso da poro (em g) amostrada por cereal, com a realizao do experimento foram:

Milho Cevada Trigo Arroz Sorgo

Sem a secagem 30 34 41 25 36

Com a secagem 21 28 33 21 31

possvel concluir ao nvel de 5% de significncia que o mtodo de secagem

proposto, eficiente para secar os gros?

2.3.3 Teste F para Comparaes de Varincias de Duas Populaes



28

A distribuio F est entre aquelas distribuies de probabilidades mais

importantes na estatstica, principalmente na estatstica experimental, com enorme

emprego na anlise de experimentos.

Este teste indicado para verificar se duas populaes, digamos 1 e 2,

apresentam igual valor para o parmetro varincia. Sejam as variveis aleatrias

independentes 1 e 2, com distribuio de qui-quadrado ( 2 ), com n1 e n2

2

1

nV2

nV1

F =

graus de

liberdade, respectivamente. Denomina-se F a varivel aleatria definida por:

Considerando 2 amostras de tamanho nx e ny

( )2x

2x1

2x

2xx

sn

s1nV1 ==

das variveis aleatrias normais

X e Y respectivamente, pode-se demonstrar que:

( )

2y

2y2

2y

2yy

sn

s1n

V2 =

=

Considerando Ho: 22y2x == , ento:

2y

2x

2

2y2

2

2

2x1

1

ss

sn

n1

sn

n1

F ==

ou seja, F tem distribuio de Fisher-Snedecor, com (nx -1)= n1 e (ny -1)= n2

graus de liberdade.

Em termos de hipteses estatsticas teramos:

22

21

22

21

22

21

22

21

=

:Hou:Hou:Hversus:H

a

a

a

o

OBS Neste curso, vamos adotar sempre colocar a maior varincia no numerador, de

modo a obter um F calculado maior que 1, usaremos a tabela unilateral para F>1.


___________________________________________________________________________________

29

A estatstica F usada para decidir entre Rejeitar ou No-Rejeitar Ho dada pelo

quociente entre as duas estimativas de varincia, ou seja:

22

21

ssF =

Sob a hiptese de nulidade, este quociente tem distribuio F, de Fisher-

Snedecor, com n1 e n2 graus de liberdade, ou seja, a distribuio de probabilidades da

estatstica F depende dos nmeros de graus de liberdade n1 e n2. Um grfico para a

distribuio F, para trs diferentes pares de graus de liberdade ilustrado na figura a

seguir.

A concluso do teste feita mediante a comparao do valor de F com o valor

de Ftab = F = (n1, n2

Se

).

tabFF Rejeita-se Ho ao nvel de probabilidade. Caso contrrio No -

Rejeita-se Ho

.

Exerccios

2.6 Com o intuito de controlar a homogeneidade da produo de certas partes ao

longo do tempo, amostras semanais so retiradas da produo corrente. Uma primeira

amostra, de dez elementos, forneceu mdia 284,55 e desvio padro 0,320, ao passo

que, numa segunda amostra, forneceu, nas mesmas unidades, os seguintes valores:

284,6 283,9 284,8 285,2 284,3 283,7 284,0



30

Ao nvel de 5% de significncia, podemos concluir que a semana 2 apresentou

maior variabilidade que a semana 1?

2.7 A qualidade de rebites tanto melhor quanto maior sua homogeneidade. Seis

rebites de duas marcas foram ensaiados ao cisalhamento, tendo-se obtido as

seguintes cargas de ruptura:

Rebite 1 2 3 4 5 6

Marca A 34,9 35,5 38,8 39,2 33,7 37,6

Marca B 38,5 39,0 40,7 42,9 37,8 41,4

Estes resultados ratificam a afirmao do produtor da marca B, de que seus

rebites so melhores? Use o nvel de 5% de significncia?

Exerccios Suplementares

1 Queremos verificar se duas mquinas produzem peas com a mesma

homogeneidade quanto resistncia a tenso. Para isso, sorteamos em um

determinado dia amostras de 6 peas de cada mquina, e obtivemos as seguintes

resistncias:

Mquina A 145 127 136 142 141 137

Mquina B 143 128 132 138 142 132

O que se pode concluir para = 0,01?

2 O tempo mdio, por operrio, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos, com

um desvio padro de 15 minutos. Introduziu-se uma modificao para diminuir esse

tempo, e, aps certo perodo, sorteou-se uma amostra de 16 operrios, medindo-se o

tempo de execuo de cada um. O tempo mdio da amostra foi de 85 minutos, com

desvio padro de 12 minutos. Estes resultados trazem evidncias estatsticas da

melhora desejada para um nvel de significncia de 5% de probabilidade?


___________________________________________________________________________________

31

3 - Num estudo comparativo do tempo mdio de adaptao, uma amostra aleatria, de

50 homens e 50 mulheres de um grande complexo industrial, produziu os seguintes

resultados:

Estatsticas Homens Mulheres Mdias 3,2 anos 3,7 anos Desvios Padres 0,8 anos 0,9 anos

a) Pode-se dizer que existe diferena significativa entre o tempo de adaptao de

homens e mulheres?

b) A sua concluso seria diferente se as amostras tivessem sido de 5 homens e 5

mulheres?

4 - Uma fbrica de cermica produz um tipo de pea usando o processo A de

fabricao. Com o objetivo de melhorar a mdia de resistncia das peas, quando

submetidas a determinado grau de temperatura, o processo B foi introduzido. Com os

dados amostrais abaixo, relativos temperatura de rompimento das peas, testar a

hiptese Ho e concluir para = 5%.

Processo A 90,3 93,4 96,8 91,4 92,6 102,5 103,4

Processo B 101,4 98,5 104,6 95,8 96,2 94,6 99,5

5 Um material isolante foi utilizado com a finalidade de reduzir a temperatura mdia

interna em ambientes similares. Para testar a hiptese H0

Ambiente

, 10 ambientes foram

selecionados ao acaso e expostos a uma determinada fonte de radiao de calor.

Testar a hiptese H0 e concluir para = 5%. Os dados obtidos (em C) so fornecidos

abaixo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

s/isolante 30,5 35,3 33,2 40,8 42,3 41,5 36,3 43,2 34,6 38,5

c/isolante 28,2 35,1 33,2 35,6 40,2 37,4 34,2 42,1 30,5 38,4

6 A DeBug Company vende um repelente de insetos que alega ser eficiente pelo

prazo de 400 horas no mnimo. Uma anlise de nove itens escolhidos aleatoriamente

acusou uma mdia de eficincia de 380 horas com desvio-padro de 60 horas. Teste a

afirmao da empresa, ao nvel de significncia de 1%.



32

7 - Uma companhia de seguros iniciar uma campanha extensa de propaganda para

vender aplices de seguro de vida, se verificar que a quantia mdia segurada por

famlia inferior a R$10.000,00. Tomou-se uma amostra aleatria de 50 famlias que

acusou um seguro mdio de R$9.600,00 com desvio padro de R$1.000,00. Com

base na evidncia amostral, a campanha deve ser iniciada ou no (nvel de 1% de

significncia)? Quais as hipteses necessrias?

8 - Uma amostra de 27 elementos forneceu s2=2,12. Deseja-se saber se possvel

afirmar, ao nvel de 5% de significncia que a varincia da populao inferior a 5?

Quais as hipteses necessrias?

9 - Uma operao de linha de produo foi programada para colocar 320 mg de

detergente em p em cada caixa de papelo. Uma amostra de caixas de papelo

periodicamente selecionada e pesada para determinar se est ocorrendo

subenchimento ou sobre enchimento. Se os dados da amostra levarem concluso

de subenchimento ou sobre enchimento, a linha de produo ser paralisada e

calibrada para se obter o enchimento apropriado das caixas.

a) Formule as hipteses nula e alternativa que auxiliaro a deciso de paralisar e

calibrar a linha de produo.

b) Comente a concluso quando H0c) Comente a concluso quando H

no pode ser rejeitada.

0

pode ser rejeitada.

10 - Os americanos gastam uma mdia de 8,6 minutos por dia lendo jornais. Um

pesquisador acredita que os indivduos nas posies de gerncia gastam mais do que

o tempo mdio nacional por dia lendo jornais. Uma amostra dos indivduos em

posies de gerenciamento ser selecionada pelo pesquisador. Os dados sobre os

tempos de leitura dos jornais sero usados para testar as seguintes hipteses nula e

alternativa.

H0

H

: = 8,6

1

a) Qual o erro do tipo I? Quais so as conseqncias de se cometer esse erro?

: > 8,6


___________________________________________________________________________________

33

b) Qual o erro do tipo II? Quais so as conseqncias de se cometer esse erro?

11 - Historicamente, em certa cidade, a varivel aplicao em caderneta de poupana

tem mdia de 420 unidades monetrias, com desvio padro de 100 unidades

monetrias. Foi feita uma suposio, que atualmente esta situao tenha se alterado.

Para testar tal suposio, tomou-se uma amostra de 100 depositantes, que acusou

uma mdia de 415 u.m. Usando =5%, pode-se concluir que houve alterao?

12 - A vida mdia de uma amostra aleatria de 100 lmpadas de certa marca 1615

horas. Por similaridade com outros processos de fabricao, supomos o desvio padro

populacional conhecido e igual a 120 horas. Utilizando =1%, desejamos testar se a

durao mdia de todas as lmpadas dessa marca maior de 1600 horas. Qual a

concluso?

Captulo 3 Contrastes _____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

34

3.0 CONTRASTES

3.1 Introduo

O estudo de contrastes muito importante na Estatstica Experimental,

principalmente quando o experimento em anlise composto por mais do que dois

tratamentos. Com o uso de contrastes possvel ao pesquisador estabelecer

comparaes, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de interesse.

Este captulo visa dar fundamentos para estabelecer grupos de contrastes,

obter a estimativa para cada contraste estabelecido, bem como estimar a variabilidade

associada a cada um destes contrastes. Todos os conhecimentos adquiridos neste

captulo sero utilizados no captulo sobre Comparaes Mltiplas para a realizao

de testes de hipteses para grupos de contrastes estabelecidos.

3.2 Definies

3.2.1 Contrastes Considere a seguinte funo linear de mdias populacionais de tratamentos

C = a1m1 + a2m2 + ... + aIm

I

C ser um contraste entre mdias se satisfazer a seguinte condio: =

=I

1ii 0a

3.2.2 Estimador do Contraste Na prtica, geralmente no se conhece os valores das mdias populacionais mi

C

,

mas suas estimativas. Assim, em Estatstica Experimental, no se trabalhar com

contraste C mas com o seu estimador , que tambm uma funo linear de mdias

obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim tem-se que o estimador para o

contraste de mdias dado por:

II2211 mamamaC +++=



35

Exerccio

3.1 Num experimento de consrcio na cultura do abacaxi, com 5 repeties, as mdias

de produo de frutos de abacaxi (em t/ha), foram as seguintes:

Tratamentos im

1 Abacaxi (0,90 x 0,30m) monocultivo 53,5

2 Abacaxi (0,80 x 0,30m) monocultivo 56,5

3 Abacaxi (0,80 x 0,30m) + amendoim 62,0

4 Abacaxi (0,90 x 0,30m) + feijo 60,4

Pede-se obter as estimativas dos seguintes contrastes:

C1 = m1 + m2 m3 m

C4

2 = m1 - m

C2

3 = m3 m

4

3.2.3 Medidas de disperso associadas a contrastes Considere o estimador do contraste C, dado por:

II2211 mamamaC +++=

A varincia do estimador do contraste dada por:

( ) ( )II2211 mamamaVCV +++= Admitindo independncia entre as mdias

( ) ( ) ( ) ( )II2211 maVmaVmaVCV +++= ( ) ( ) ( ) ( )I2I222121 mVamVamVaCV +++=

Sabe-se que: ( )I

2i

i rmV = , assim

( )I

2I2

I2

222

21

212

1 rar

araCV +++=

Admitindo-se homogeneidade de varincia 2 , mas sua estimativa a qual obtida

por meio de dados experimentais. Esta estimativa denominada como estimador

comum ( 2cs ). Ento o que normalmente se obtm o valor do estimador da varincia

do estimador do contraste, a qual obtida por:


___________________________________________________________________________________

36

( ) =

=I

1i i

2i2

c rasCV

Exerccio

3.2 Por meio dos dados e dos contrastes fornecidos abaixo, obter as estimativas dos

contrastes e as estimativas das varincias das estimativas dos contrastes.

0,45s5r4r6rr21,0m10,0m10,5m11,2m

2c4321

4321

=====

====

C1 = m1 + m2 m3 m

C4

2 = m1 m

C2

3 = m3 m

4

3.2.4 Contrastes Ortogonais

Em algumas situaes desejamos testar um grupo de contrastes relacionados

com o experimento em estudo. Alguns tipos de testes indicados para este objetivo

necessitam que os contrastes que compem o grupo a ser testado, sejam ortogonais

entre si.

A ortogonalidade entre os contrastes indica independncia linear na

comparao estabelecida por um contraste com a comparao estabelecida pelos

outros contrastes.

Sejam os estimadores dos contrastes de C1 e C2

II22112

II22111

mbmbmbC

mamamaC

+++=

+++=

dados, respectivamente, por:

A covarincia entre 21 CeC , supondo independncia entre tratamentos, obtida

por

( ) ( ) ( ) ( )III22211121 mVbamVbamVbaC,CCov +++=

A varincia da mdia amostral dada por: ( )i

2i

i rmV = , para i = 1, 2, ..., I.

Logo,



37

( )I

2I

II2

22

221

21

1121 rbar

barbaC,CCov +++=

Admitindo que exista homogeneidade de varincias entre os tratamentos, ou

seja: 22I22

21 ==== , ento.

( ) =

=

+++=

I

1i i

ii22

I

II

2

22

1

1121 r

ba

rba

rba

rbaC,CCov

Sabe-se que, de duas variveis aleatrias so independentes, a covarincia

entre elas igual a zero. Assim, se 21 CeC so independentes, a covarincia entre

eles igual a zero, isto :

( ) 0C,CCov 21 =

Para que a covarincia seja nula, necessrio, portanto que:

0rbaI

1i i

ii ==

Esta a condio de ortogonalidade entre dois contrastes para um experimento

com nmero diferente de repeties para os tratamentos. Para um experimento com

mesmo nmero de repeties, satisfazendo as mesmas pressuposies (mdias

independentes e homogeneidade de varincias), a condio de ortogonalidade se

resume a:

0baI

1iii =

=

Para um experimento com I tratamentos, podem ser formados vrios grupos de

contrastes ortogonais, no entanto cada grupo dever conter no mximo (I 1)

contrastes ortogonais, o que corresponde ao nmero de graus de liberdade para os

tratamentos.

Dentro de um grupo de contrastes ortogonais, todos os contrastes tomados dois

a dois, sero tambm ortogonais.

Exerccios

3.3 Verificar se os contrastes do Exerccio 2.1 formam um grupo de contrastes

ortogonais.


___________________________________________________________________________________

38

3.4 Verificar se os contrastes do Exerccio 2.2 formam um grupo de contrastes

ortogonais.

3.2.5 Mtodos para obteno de grupos de contrastes mutuamente ortogonais

3.2.5.1 Obteno por meio de sistema de equaes lineares Neste mtodo, deve-se estabelecer, a princpio, um contraste que seja de

interesse e, a partir deste que os demais so obtidos. Por meio da imposio da

condio de ortogonalidade e da condio para ser um contraste, obtm-se equaes

lineares, cujas incgnitas so os coeficientes das mdias que compem o contraste.

Como o nmero de incgnitas superior ao nmero de equaes existentes, ser

sempre necessrio atribuir valores a algumas incgnitas. desejvel que os valores a

serem atribudos, permitam que os coeficientes sejam nmeros inteiros.

Exerccio

3.5 Foi instalado um experimento para avaliar a produo de 4 hbridos cujas as

caractersticas so apresentadas na tabela a seguir.

Hbrido 1 2 3 4

Porte Alto Alto Alto Baixo

Inicio do Florescimento Precoce Tardio Tardio Precoce

ndice de acamamento Baixo Alto Alto Baixo

r 3 i 3 3 3

Suponha que ao estabelecer as comparaes dos hbridos com relao a

produo, seja levado em considerao

o porte;

o incio do florescimento;

o ndice de acamamento.

Obtenha um grupo de contrastes ortogonais que permita testar as comparaes

segundo os critrios citados.



39

3.2.5.2 Obteno por meio de regras prticas

Por meio desta metodologia, possvel estabelecer facilmente um grupo de

contrastes ortogonais. A metodologia pode ser resumida nos seguintes passos

(Banzatto e Kronka, 1989):

Divide-se o conjunto das mdias de todos os tratamentos do experimento em

dois grupos. O primeiro contraste obtido pela comparao das mdias de um grupo

contra as mdias do outro grupo. Para isso atribui-se sinais positivos para membros de

um grupo e negativos para membros do outro grupo.

Dentro de cada grupo formado no passo anterior, que possui mais que uma

mdia, aplica-se o passo 1, subdividindo-os em subgrupos. Repete-se este passo at

que se forme subgrupos com apenas uma mdia. Ao final, devemos ter formado (I 1)

comparaes.

Para se obter os coeficientes que multiplicam cada mdia que compem os

contrastes estabelecidos, deve-se, para cada contraste:

Verificar o nmero de parcelas experimentais envolvidas no 1 grupo, digamos

g1, e o nmero de parcelas experimentais envolvidas no 2 grupo, digamos g2.

Calcula-se o mnimo mltiplo comum (MMC) entre g1 e g2 Dividir o MMC por g

.

1

Dividir o MMC por g

. O resultado ser o coeficiente de cada mdia do 1 grupo.

2

Multiplicar os coeficientes obtidos pelo nmero de repeties da respectiva

mdia. Se possvel, simplificar os coeficientes obtidos por uma constante. No caso em

que o nmero de repeties igual para todos os tratamentos, este passo pode ser

eliminado.

. O resultado ser o coeficiente de cada mdia do 2 grupo.

Exerccio

3.6 Num experimento inteiramente casualizado, com 4 repeties, foram

comparados os efeitos de 5 tratamentos em relao ao crescimento de mudas de

Pinus oocarpa, 60 dias aps a semeadura. Os tratamentos utilizados e os resultados

foram (Banzatto e Kronka, 1989):


___________________________________________________________________________________

40

Tratamentos Totais

1 Solo de cerrado (SC) 21,0

2 Solo de cerrado + esterco (SC+E) 27,1

3 Solo de cerrado + esterco + NPK (SC+E+NPK) 26,6

4 Solo de cerrado + vermiculita (SC+V) 22,1

5 Solo de cerrado + vermiculita + NPK (SC+V+NPK) 25,6

Obtenha um grupo de contrastes ortogonais entre as mdias.

3.7 Suponha agora para o exemplo 1 que os tratamentos 1 e 4 tenham 3 repeties

e os tratamentos 2, 3 e 5 tenham 4 repeties. Obtenha um grupo de contrastes

ortogonais entre mdias.

3.8 Sejam os dados abaixo relativos aos totais de tratamentos de um experimento

realizado com a finalidade de testar 4 meios de cultura no crescimento bacteriano.

Meio de cultura base de: N de repeties Total

Uria 5 16,20

Amnio 4 18,00

Nitrato 4 20,40

Fsforo 5 30,00

5e58,10, 2423

22

21 ====

Pede-se:

a) Obtenha um grupo de contrastes ortogonais entre as mdias?

b) Obtenha as estimativas dos contrastes obtidos?

c) Obtenha as estimativas das varincias dos contrastes obtidos?



41

Exerccios complementares

3.9 Dados

Tratamentos im ri

1 25,0 5

2 18,7 5

3 30,4 5

4 27,5 6

e os contrastes

C1 = m1 m

C2

2 = m1 + m2 2m

C3

3 = m1 + m2 + m3 3m

4

Admitindo que os estimadores das mdias sejam independentes e que

0,45s2c = , pede-se

a) 321 CeC,C

b) ( ) ( ) ( )321 CVe,CV,CV c) As estimativas das covarincias entre os estimadores dos contrastes, e por

meio das mesmas, dizer quais so os contrastes ortogonais entre si.

3.10 Supondo independncia entre mdias, homogeneidade de varincias entre

tratamentos e admitindo que m1, m2 e m3

C

tm, respectivamente, 5, 3 e 6 repeties,

verificar se os contrastes dados abaixo so ortogonais.

1 = m1 m

C2

2 = m1 + m2 2m

3

3.11 Considere um experimento com 4 tratamentos e as seguintes informaes:

4,10s2c =

r1 = r2 =r3 = 4; r4C

= 3

1 = m1 + m2 + m3 3m4


___________________________________________________________________________________

42

C2 = m1 - 2m2 + m

3

Pede-se:

a) Forme um grupo de contrastes ortogonais, a partir dos contrastes C1 e C2

b) Obtenha

,

( )1CV c) Obtenha ( )1CV

3.12 Num experimento com 4 tratamentos e 5 repeties, so dados os seguintes

contrastes ortogonais:

C1 = m2 m

C4

2 = -2m1 + m2 + m

Determinar um contraste C4

3 que seja ortogonal a C1 e C2

.

3.13 Com os dados abaixo, obter o contraste C3 ortogonal aos contrastes C1 e C2C

.

1 = m1 m2 r1 = r3C

= 4

2 = 4m1 + 5m2 9m4 r2 = r4 = 5


___________________________________________________________________________________

43

4.0 INTRODUO EXPERIMENTAO

4.1 Introduo

A experimentao tem por objetivo o estudo dos experimentos, isto , seu

planejamento, execuo, anlise dos dados obtidos e interpretao dos resultados.

4.2 Alguns conceitos bsicos a) Experimento ou ensaio: um trabalho previamente planejado, que segue determinados princpios bsicos e no qual se faz a comparao dos efeitos dos

tratamentos.

b) Tratamento ou fator: o mtodo, elemento ou material cujo efeito desejamos medir ou comparar em um experimento. Exemplos: i) variedades de milho; ii)

nveis de protena na rao e iii) diferentes temperaturas de pasteurizao do leite.

b) Unidade experimental: a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados que devero refletir o seu efeito. De um modo geral, a escolha da parcela

deve ser orientada de forma a minimizar o erro experimental, isto , as parcelas

devem ser o mais uniforme possvel, para que, ao serem submetidas a

tratamentos diferentes, seus efeitos sejam detectados. Exemplos: i) uma fileira de

plantas com 3 metros de comprimento no campo; ii) um leito e iii) um litro de leite.

No planejamento deve ter uma discusso para definio da parcela entre o

experimentador e o estatstico.

c) Delineamento experimental: a maneira como os tratamentos so designados as unidades experimentais. Exemplos: Delineamento Inteiramente Casualizado,

Delineamento em Blocos Casualizados e Delineamento em Quadrado Latino.

d) Esquema: quando em um mesmo experimento so avaliados dois ou mais fatores, os nveis dos fatores podem ser combinados de maneiras diferentes. O

esquema justamente a maneira utilizada pelo pesquisador ao combinar os nveis

Captulo 4 Introduo Experimentao _____________________________________________________________________


44

dos fatores para se obter os tratamentos. Exemplos: Esquema Fatorial e Esquema

em Parcelas Subdivididas.

e) Varivel resposta: a varivel mensurada usada para avaliar o efeito de tratamentos.

f) Erro experimental: o efeito de fatores que atuam de forma aleatria e que no so passveis de controle pelo experimentador.

A pesquisa cientfica est constantemente se utilizando de experimentos para

provar suas hipteses. claro que o procedimento para realizar um experimento varia

de acordo com a rea para a qual est se fazendo uma pesquisa. Porm, todo

experimento deve seguir alguns princpios bsicos, para que as concluses sejam

vlidas.

4.3 Princpios Bsicos da Experimentao So trs os princpios bsicos da experimentao: repetio, casualizao e

controle local.

4.3.1 Princpio da Repetio A repetio consiste em aplicar o mesmo tratamento a vrias unidades

experimentais, ou seja, consiste na reproduo do experimento bsico. No existe

uma regra dizendo qual deve ser o nmero mnimo de repeties. Isto depende do

conhecimento do pesquisador sobre o assunto e do conjunto de condies em que

ser realizado o experimento. Como regra prtica, sugere-se que os experimentos

tenham pelo menos 20 unidades experimentais e 10 graus de liberdade para o

resduo. Quanto maior o nmero de repeties, espera-se que seja maior a preciso

do experimento.

Em termos estatsticos, o uso do princpio da repetio tem por finalidade obter

uma estimativa do erro experimental.

A Princpio da

repetio

A A A A A A

B B B B B B B


___________________________________________________________________________________

45

4.3.2 Princpio da Casualizao O princpio da casualizao consiste em distribuir ao acaso os tratamentos s

unidades experimentais. Este princpio tem por finalidade propiciar, a todos os

tratamentos, a mesma chance de ser designados a qualquer uma das unidades

experimentais, visando evitar que algum dos tratamentos seja sistematicamente

favorecido ou desfavorecido por atores fora de controle do pesquisador. Sendo assim

com o uso do princpio da casualizao, as variaes que contribuem para o erro

experimental so convertidas em variveis aleatrias.

Do ponto de vista estatstico, com o uso do princpio da casualizao em um

experimento:

a) Obtm-se uma estimativa vlida do erro experimental;

b) Fica garantido o uso de testes de significncia, pois os erros experimentais

atuam de forma independente nas diversas unidades experimentais.

REGRA GERAL: Todo experimento deve conter no mnimo os princpios bsicos da repetio e da casualizao.

A Princpio da repetio +

casualizao

A A B B B A

B B A A B A B

4.3.3 Princpio do controle da casualizao O uso do princpio do controle da casualizao s recomendado quando as

unidades experimentais no so ou no esto sob condies homogneas devido a

influncia de um ou mais fatores. Para utilizar este princpio, necessrio inicialmente

dividir as unidades experimentais em blocos de unidades de tal forma que dentro de

cada bloco haja homogeneidade e um nmero de unidades igual ao nmero de

tratamentos do experimento. A distribuio dos tratamentos as unidades feita ento

dentro de cada bloco. Da o nome do princpio controle na casualizao.

A finalidade, do uso do princpio do controle na casualizao, reduzir o efeito

do erro experimental atravs do controle da variao existente entre as unidades



46

experimentais. Espera-se que com o controle na casualizao a estimativa obtida para

o erro experimental seja menor.

B B1 B2 B3 B4 B5

A 6

Princpio da repetio +

casualizao + controle

A A B B B A

B B A A B A B

4.4 Fontes de variao de um experimento Em um experimento podem ocorrer as seguintes fontes de variao:

Premeditada aquela introduzida pelo pesquisador com a finalidade de fazer comparaes. Por exemplo: tratamentos.

Sistemtica Variaes no intencionais, mas de natureza conhecida. Variao inerente ao material experimental. Podem ser controladas pelo pesquisador.

Por exemplo: heterogeneidade do solo, tamanho de semente, etc.

Aleatria So variaes de origem desconhecida, no podendo ser controladas. Constituem o erro experimental. So devidas a duas fontes: variao no

material experimental e falta de uniformidade nas condies experimentais.

Nem sempre possvel distinguir claramente este tipo de variao da anterior.

O experimentador deve planejar o experimento de tal forma que consiga isolar

os efeitos de todos os fatores que podem ser controlados.

4.5 Mtodos para aumentar a preciso dos experimentos A preciso se refere ordem de grandeza da diferena entre dois tratamentos,

passvel de ser detectada em um experimento.

4.5.1 Escolha do material experimental Para certos tipos de trabalhos desejvel um material uniforme,

cuidadosamente selecionado. Entretanto, devemos sempre ter em mente a populao

a qual desejamos informaes, utilizando tipos de materiais experimentais que

realmente sero usados na prtica.


___________________________________________________________________________________

47

4.5.2 Escolha da unidade experimental Em experimentao de campo, as parcelas retangulares so mais eficientes na

superao da heterogeneidade do solo quando seu eixo maior est na direo da

maior variao do solo.

4.5.3 Escolha dos tratamentos Cuidadosa seleo dos tratamentos importante no apenas na obteno dos

objetivos do experimentador, mas tambm para aumentar a preciso do experimento.

O uso de experimentos fatoriais, nos quais dois ou mais fatores so testados

simultaneamente, pode proporcionar considervel aumento na preciso.

4.5.4 Aumento do nmero de repeties A preciso de um experimento sempre pode ser aumentada pelo uso de

repeties adicionais, mas o nvel de melhoria nessa preciso diminui com o aumento

do nmero de repeties.

De modo geral, para obteno de uma preciso razovel em experimentos de

campo com culturas, so necessrias de quatro a oito repeties.

4.5.5 Tcnicas mais refinadas Uma tcnica adequada tem por objetivos: a) aplicao uniforme dos

tratamentos; b) proporcionar medidas adequadas e no viciadas dos efeitos dos

tratamentos; c) prevenir erros grosseiros; e d) controlar influncias externas de forma

que todos os tratamentos sejam afetados igualmente.

A tcnica comumente utilizada a de anlise de covarincia.

4.6 Exerccios 4.6.1 Um experimento deve conter no mnimo o(s) seguinte(s) princpio(s) bsico(s)

da experimentao:

a) repetio

b) casualizao

c) controle local

d) repetio e controle local



48

e) repetio e casualizao

f) casualizao e controle local

g) nenhuma das respostas anteriores

4.6.2 A repetio tem a funo de:

a) fornecer uma estimativa do erro experimental

b) validar a estimativa do erro experimental

c) controlar a heterogeneidade das unidades experimentais

d) nenhuma das anteriores

4.6.3 A casualizao tem a funo de:

a) fornecer uma estimativa do erro experimental

b) validar a estimativa do erro experimental

c) controlar a hete

apostiladecrp194estatisticaexperimental (3)

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