apostila_calculo1_2011_1
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPELINSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICAMAT301 - CÁLCULO 1SEMESTRE 01/2011
1. Introdução1.1 Números Reais RConjuntos numéricos:- Números Naturais: N = 1,2,3, ...- Números Inteiros: Z = ...,−2,−1,0,1,2, ...- Números Racionais: Q = x\x = m
n , com m ∈ Z, n ∈ Z∗
- Números Irracionais: Q′ . Não podem ser escritos em termos de uma fração.Ex.: π,e, 2 , ...
- Números Reais: R = Q′ ∪ Q
1.2 Intervalos:- Intervalo aberto limitado: a,b = x ∈ R\a < x < b. Representação gráfica:- Intervalo fechado limitado: a,b = x ∈ R\a ≤ x ≤ b.Representação gráfica:- Intervalo semi-aberto ou semi-fechado limitado: a,b= x ∈ R\a < x ≤ b
a,b = x ∈ R\a ≤ x < b- Intervalo aberto ilimitado: a,∞ = x ∈ R\x > a
−∞,b = x ∈ R\x < b- Intervalo fechado ilimitado: a,∞ = x ∈ R\x ≥ a
−∞,b= x ∈ R\x ≤ b
1.3 Valor Absoluto:Seja a ∈ R :
|a| =a, se a ≥ 0
−a, se a < 0
|a| = da, 0 = distância do ponto a até a origem.|a − b| = da,b = distância entre a e b.
|a − b| =a − b, se a ≥ b
b − a, se b > a
Propriedades:1) |x| < a −a < x < a
2) |x| > a −a > x ou x > a
Ex.: |x| < 2 , ou seja, dx, 0 < 2.Se x = 1, então d1,0 = 1, mas d−1,0 = 1 também! Logo, −2 < x < 2.
1.4 Desigualdades:i) a < b ⇔ b − a é positivoii) a > b ⇔ a − b é positivoiii) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b
iv) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b
Inequações do 1∘ Grau:Exemplos: Determine todos os intervalos que satisfaçam as inequações abaixo. Faça a representação gráfica:i) 7 < 5x + 3 ≤ 9 Resp.: 4/5,6/5ii) |7x − 2| < 4 Resp.: −2/7,6/7
1
iii) 2 > −3 − 3x ≥ −7 Resp.: −5/3,4/3iv) |x + 12| > 7 Resp.: −∞,−19 ∪ −5,∞
Inequações do 2∘ Grau:Exemplos:1) x2 − x − 2 > 0 Resp.: −∞,−1 ∪ 2,∞2) x2 − 4x + 3 ≤ 0 Resp.: 1,33) x2 + 2x ≥ 0 Resp.: −∞,−2 ∪ 0,∞4) x2 + 6x + 5 < 0 Resp.: −5,−1
LISTA DE EXERCÍCIOS 1:Resolva as desigualdades e exprima a solução em termos de intervalos:
1. 2x + 5 < 3x − 7 2. 3 ≤ 2x − 35
< 7 3. x2 − x − 6 < 0
4. x2 − 2x − 5 > 3 5. x2x + 3 ≥ 5 6. |x + 3| < 0.01
7. |2x + 5| < 4 8. |6 − 5x| ≤ 3 9. |3x − 7| ≥ 5
10. |−11 − 7x| > 6 11. −5 ≤ 3x + 4 < 7 12. |6x − 7| > 10
13. 0 < 3x + 1 ≤ 4x − 6 14. |5 − 2x| ≥ 7 15. −6 < 3x + 3 ≤ 3
16. |x − 4| ≤ 16 17. 1 < x − 2 < 6 − x 18.x − 7 ≥ −5 ou x − 7 ≤ −6
19.x < 6x − 10 ou x ≥ 2x + 5 20.2x − 1 > 1ou x + 3 < 4 21.1 ≤ −2x + 1 < 3
22.x + 3 < 6x + 10 23.|2x − 3| > 4 24.2 < 5x + 3 ≤ 8x − 12
25.|2x − 3| ≤ 5
RESPOSTAS:
1. (12,∞ 2. [9,19) 3. (-2,3)
4. (-∞,−2 ∪ 4,∞ 5. (-∞,−5/2∪1,∞ 6. (-3.01,-2.99)
7. (-9/2,-1/2) 8. [3/5,9/5] 9. (-∞, 2/3∪4,∞
10. (-∞,−17/7 ∪ −5/7,∞ 11. [-3,1) 12. (−∞,−1/2 ∪ 17/6,∞
13. [7,∞ 14. (-∞,−1 ∪ 6,∞ 15. (-3,0]
16. [-12,20] 17. (3,4) 18.−∞, 1∪2,∞
19.−∞,−5∪2,∞ 20.−∞, 1 ∪ 1,∞ 21.(-1,0]
22.−7/5,∞ 23.−∞,−1/2 ∪ 7/2,∞ 24.5,∞
25.[-1,4]
2. Funções
2.1. O que é uma função?Podemos definir função da seguinte maneira:
Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único valor de y.Dizemos que y é a variável dependente e x é a variável independente.
Escrevemos y = fx, onde f é o nome da função.O domínio da função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente e a imagem é o conjunto
correspondente de valores da variável dependente.Uma função pode ser representada por tabelas, gráficos e fórmulas.
exemplo: No verão de 1990, a temperatura, no estado do Arizona, ficou alta durante todo o tempo (tão alta, de fato,que algumas empresas aéreas decidiram que talvez não fosse seguro aterrissar seus aviões lá). As altas diárias detemperatura na cidade de Phoenix, de 19 a 29 de junho são dadas na tabela abaixo:
2
Data 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Temperatura oC 43 45 46 45 45 45 49 50 48 48 42
Tabela 1. Temperatura em Phoenix, Arizona, junho de 1990
Trata-se de uma função: cada data tem uma única temperatura mais alta, associada a ela.
2.2. Gráfico de uma função:
O gráfico da função f em um plano xy é o conjunto de pontos x,y, onde x pertence ao domínio de f e y é o valorcorrespondente fx de f.
-5
0
5
10
15
20
25
f(x)
-2 -1 1 2 3x
2.3. Tipos de Funções:
a) Funções polinomiais:1) Função Linear: fx = mx + b
onde x é a variável independente e m e b são constantes (números reais).⋅ A constante m é a inclinação da reta determinada por y = fx.⋅ b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo vertical.⋅ zero ou raiz da função é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo horizontal.
Observe que:⋅ Se m = 0, a função linear fx = b é uma função constante. Desenhe seu gráfico!⋅ Se b = 0, então temos fx = mx. Trata-se de um conjunto de retas com inclinação m, todas passando na origem0,0.
Por exemplo: y = −2x, y = −x, y = − 12
x, y = 12
x, y = x, y = 2x,
y = −2x,y = −x,y = −x/2,y = x/2,y = x,y = 2x
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
Coeficiente Angular de uma reta:
O coeficiente angular ou inclinação de uma reta não vertical pode ser determinado, se conhecermos dois de seuspontos, a partir da expressão:m = y2 − y1
x2 − x1Equação de uma reta de coeficiente angular conhecido:
y − y1 = mx − x1Exemplo 1: A equação da reta que passa pelo ponto 3,−2 e tem coeficiente angular 2
3 é? Resposta: y = 23 x − 4.
3
Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos −3,−5 e 2,−2. Resposta: y = 35 x − 16
5 .Exemplo 3: Dada a função fx = 2x + 4, esboce o gráfico da função, mostrando os interceptos vertical e horizontal.Resp.:
0
2
4
6
8
-2 -1 1 2x
Exemplo 4: A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendoconstantemente nos últimos anos. Em 2000, a média foi de 582 pontos, enquanto que em 2005, a média foi de 552pontos.a) Defina a função do valor da média em relação ao tempo. Resposta: y = −6x + 582b) Se a tendência atual se mantiver, qual foi a média de pontos obtida em 2010? Resposta: 522 pontosc) Em que ano, a média é de 534 pontos, nestas condições? Resposta: Em 2008.
2) Função Quadrática:Uma função quadrática é da forma fx = ax2 + bx + c
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x2 − 1. Resposta:
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x
Observação: Esta curva é chamada parábola. Uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ouconcavidade voltada para baixo (a < 0).
Elementos da Parábola:
Raízes: Calcula-se por Báskhara (são os valores onde a parábola intercepta o eixo x). −b ± b2 − 4ac
2a.
Vértice: é onde se encontra o valor máximo (se a < 0) ou o valor mínimo (se a > 0) da função.
xv = − b2a
e yv = − Δ4a
= − b2 − 4ac4a
.
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = x2 + 2x − 3, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem.Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = −x2 + 5x − 6, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem.Resposta:
Exemplo 2: Exemplo 3:
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
01 2 3 4 5x
Exemplo 4: A temperatura de uma certa região em função do tempo x é Cx = −0,15x2 + 3,8x + 12 grauscentígrados.a) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: 35,8 ∘C.
4
b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 19 e 22 horas? Resposta: Diminuiu 7,05∘C.3) Função Cúbica: fx = ax3 + bx2 + cx + d
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x3. Resposta:
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 -1 1 2x
Exemplo 2: Suponha que o custo total, em reais, para fabricar q unidades de um certo produto seja dado pelafunção: Cq = 1
27 q3 + 5q2 + 125q + 250.a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades. Resposta: R$ 5.046,30.b) Calcule o custo de fabricação da 20a. unidade. Resposta: R$ 362,26.Observação: Vejamos o caso particular, das funções polinomiais da forma y = fx = xn:
1) para n ímpar: x,x3,x5,x7.
-15
-10
-5
0
5
10
15
-3 -2 -1 1 2 3x
∙ Identifique-as, escolhendo uma cor diferente para cada uma delas.∙ O que você observa?2) para n par: x2,x4,x6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 1 2x
∙ O que você observa?
LISTA DE EXERCÍCIOS 2:1) Um tomate é jogado verticalmente para o alto, no instante t = 0, com velocidade de 15 metros por segundo. Suaaltura y, acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação y = −5t2 + 15t.Faça uma análise dafunção quadrática definida por esta equação, isto é:∙ esboce um gráfico da posição versus tempo;∙ determine os zeros desta função e interprete o que representam;∙ determine as coordenadas do ponto mais alto da curva e interprete o que este ponto representa;∙ responda: durante quanto tempo ocorreu o movimento do tomate ?
2) Considerando a função polinomial definida por: fx = 3x3 − 7x2 − 22x + 8 , construa seu gráfico e determine ospontos de intersecção com os eixos horizontal e vertical.3) Esboce os gráficos das funções e determine seus zeros:(a) fx = 1
2x − 5 (b) gx = 2 − 5x (c) hx = 10 − x2 (d) lx = x2 − 2x + 4
5
4) Uma caixa retangular de base quadrada, tem volume 125. Expresse a área A, de sua superfície total, como funçãoda aresta x , de sua base.(Lembre-se: o volume de uma caixa retangular pode ser obtido pelo produto da área de sua base pela altura, a áreada superfície total de uma caixa retangular é obtida pela soma das áreas de todas as suas faces).
5) Expresse a área de um quadrado como função de seu perímetro.
6) Considere o gráfico abaixo para responder as perguntas a seguir.
-10
-5
0
5
10
y
-10 -5 5 10x
(a) Quantos zeros tem a função? Dê suas localizações aproximadas.(b) Dê valores aproximados para f2 e f4.(c) A função é crescente ou decrescente na vizinhança de x = −1 ? E na vizinhança de x = 3 ?(d) O gráfico é côncavo para cima ou para baixo na vizinhança de x = 5 ? E na vizinhança de x = −5 ?(e) Dê os intervalos (aproximados) onde a função é crescente.
7) Se fx = x2 + 1, encontre:(a) ft + 1 (b) ft2 + 1 (c) f2 (d) 2ft (e) ft2 + 1
8) Esboce o gráfico de uma função definida para x ≥ 0 com as seguintes propriedades. (Existem várias respostaspossíveis.)(a) f0 = 2.(b) fx é crescente para 0 ≤ x < 1.(c) fx é decrescente para 1 < x < 3.(d) fx é crescente para x > 3.(e) fx → 5 quando x → ∞.
9) Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos apresentados a seguir:
( ) y = −x ( ) y = x3 − 4x − 2 ( ) y = −28 + 34x − 9x2
( ) y = −x2 + x − 2 ( ) y = x2 + 2 ( ) y = 2x − 6
-6
-4
-2
0
2
-4 -2 2 4x
(1)
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 1 2 3x
(2)
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
(3)
6
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
(4)
-4
-2
0
2
4
1 2 3 4x
(5)
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x
(6)
10) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 40,00 por dia e 15 centavos o quilômetro rodado.Os carros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro rodado.(a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distânciapercorrida.(b) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de ambas as funções.(c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato ?
b) Função Módulo: fx = |ax + b|Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = |x|.Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = |x − 1|.Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = |2x + 1|.Respostas:
Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x0
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3 4 5x0
1
2
3
4
5
6
7
-4 -3 -2 -1 1 2 3x
c) Função Racional: fx = pxqx
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 1x .
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = 1x − 2
.
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = 1x + 2
.
Respostas:
Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
-10
-5
0
5
10
-2 -1 1 2 3 4 5x
-10
-5
0
5
10
-5 -4 -3 -2 -1 1 2x
Exemplo 4: Supõe-se que a população de uma certa comunidade, daqui a x anos, será de Px = 30 − 5x + 2
milhares.a) Daqui a 10 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: 29,58 mil habitantes.b) De quanto a população crescerá durante o 10o ano? Resposta: 30 habitantes.
7
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: Crescerá até 30 mil habitantes.
d) Função Raiz Quadrada: fx = ax + b
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = x .Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = x − 3 .Respostas:
1)0
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4x 2)-1
0
1
2
3
2 3 4 5 6 7 8 9x
e) Funções Trigonométricas:
Os primeiros estudos sobre Trigonometria tiveram origem nas relações entre lados e ângulos num triângulo e datamde muito tempo.(Trigonon : triângulo e metria : medição). Nosso objetivo principal, agora, é o estudo defunções trigonométricas. Podemos definí-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicasou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta sãoperiódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sangüinea em um coração, uma corrente alternada, a posiçãodas moléculas de ar transmitindo uma nota musical, todos flutuam com regularidade e podem ser representados porfunções trigonométricas.
Medida de arcos de circunferênciaUsamos, basicamente, duas unidades de medidas para arcos de circunferência:
∙ GrauUm grau corresponde a 1
360da circunferência onde está o arco a ser medido.
∙ RadianoUm radiano corresponde à medida do arco de comprimento igual ao raio da circunferência onde está o arco a sermedido.É importante lembrar que o arco de uma volta mede 360∘ ou 2π rad π ≈ 3,14.
Exemplo: Quantos graus correspondem, aproximadamente, a um arco de 1rad ?Definição 1: Considere um ângulo t, medido em radianos, num círculo de equação x2 + y2 = 1. Seu lado terminalintercepta o círculo num ponto Px,y. O seno de t é definido como sendo a ordenada do ponto P e o co-seno de t édefinido como sendo a abscissa do ponto P. Isto é:
sent = y e cos t = x.
Sobre o círculo abaixo, de raio 1, marque um ponto P e identifique o seno e o co − seno do ângulo que elerepresenta, em cada um dos seguintes casos:a) P ∈ 1o quadrante b) P ∈ 2o quadrante c) P ∈ 3o quadrante d) P ∈ 4o quadrante
Observe que à medida que o ponto P movimenta-se sobre o círculo, os valores de sent e cos t oscilam entre −1 e 1.
8
Como consequência imediata da definição, temos que;
sen2t + cos2t = 1.
Veja, no mesmo sistema de eixos cartesianos, os gráficos das funções f e g , definidas, respectivamente, porft = sent e gt = cos t. Identifique cada uma delas.
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 2 4 6 8t
A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximo
e mínimo.
O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete
um ciclo.
A amplitude de cos t e sent é 1 e o período é 2π.
Definição: Consideremos um número qualquer t , com cos t ≠ 0. A função tangente é definida por
tan t = sin tcos t
.
∙ Observe o gráfico da função f , definida por ft = tan t
-15
-10
-5
0
5
10
15
-4 -2 2 4t
LISTA DE EXERCÍCIOS 3:
1) Relacione cada gráfico com a função que ele representa:
( 1 ) fx = 1 + senx ( 2 ) gx = senx − 2 ( 3 ) hx = sen2x
( 4 ) lx = 2senx ( 5 ) mx = 5sen2x ( 6 ) nx = −5sen x2
-2
-1
0
1
2
1 2 3 4 5 6 7x
( )
-2
-1
0
1
2
1 2 3 4 5 6 7x
( )
-6
-4
-2
0
2
4
6
-4 -2 2 4x
( )
9
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7x
( )
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7x
( )
-4
-2
0
2
4
-2 2 4 6 8 10 12x
( )∙ Qual a amplitude e o período de cada uma das funções?
2) Idem para:
( 1 ) Fx = cosx + 2 ( 2 ) Gx = 1 − cosx ( 3 ) Hx = cos x2
( 4 ) Lx = cosx2
( 5 ) Mx = 4cos2x ( 6 ) Nx = 4cos 12
x
-1.5
-1
-0.50
0.5
1
1.5
1 2 3 4 5 6 7x
( )
-4
-2
0
2
4
2 4 6 8 10 12x
( )
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
( )
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7x
( )
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7x
( )
-4
-2
0
2
4
-10 -5 5 10x
( )3) Qual a diferença entre senx2, sen2x e sensenx ? Apresente exemplos, justificando.
4) Localize, no círculo trigonométrico, o ângulo de π2
e determine o seno , o cosseno e a tangente do mesmo.
5) Um disco realiza 33 rotações por minuto. Qual é o período de seu movimento ?
6) Complete, determinando uma fórmula para descrever oscilações do tipo:
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -2 2 4 6x
fx =
-1
-0.5
0
0.5
1
-4 -2 2 4 6 8 10x
gx =
f) Função exponencial:Definição: é uma função real, com base a positiva e diferente de 1, definida por fx = ax
10
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 2x.Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = 1
2 x.
Respostas:
1)0
5
10
15
20
25
30
-4 -2 2 4x 2)0
5
10
15
20
25
30
-4 -2 2 4x
Exemplo 3: Um determinado veículo automotivo tem seu valor depreciado de tal forma que após t anos deutilização porde ser descrito pela função Vt = 15.000e−0,08t + 600.a) Qual era o preço do veículo novo? Resposta: 15.600b) Quanto o veículo valerá após 10 anos? Resposta: 7.339,93
Exemplo 4: A função exponencial natural fx = ex é um caso particular da função exponencial de base a qualquer.Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1. Esboce o gráfico. Resposta:
-2
0
2
4
6
8
10
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3x
Exemplo 5: Se o custo anual y de manutenção de um computador está relacionado com o seu uso mensal médio x
(em centenas de horas) pela equação y = 35.000 − 25.000e−0,02x, qual é o custo anual de manutenção, em reais parao uso mensal médio de 200 horas? Resposta: R$ 10.980,26
g) Função Logarítmica:Definição: A função logarítmica de base a, positiva e diferente de 1, é uma função real, definida por fx = logax
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = log3x.Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = log 1
3x.
Exemplo 3: A função logarítmica natural fx = lnx é um caso particular da função logarítmica de base a qualquer,porque lnx = logex. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1. Esboceo gráfico.Respostas:
1)-3
-2
-1
0
1
2
1 2 3 4 5x
2)-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5x
3)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
2 4 6 8 10x
Propriedades:1) lnA.B = lnA + lnB
2) ln AB
= lnA − lnB
3) lnAr = r lnA
4) Mudança de base: logab = logb
loga= lna
lnb
11
Exemplo 4: Uma máquina tem depreciação exponencial dada pela fórmula V = V0eat. Sabendo que, em 1995, seuvalor era de R$ 14.500,00 e em 2004 era de R$ 9.800, calcule seu valor em 1997. Resposta: R$ 13.291,00
h) Função par: f−x = fxExemplos:
1) Função módulo: fx = |x| 2) Função quadrática: fx = x2
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x0
5
10
15
20
25
-4 -2 2 4x
i) Função Ímpar: f−x = −fxExemplos:
1) Função identidade: fx = x 2) Função cúbica: fx = x3
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
-20
-10
0
10
20
-3 -2 -1 1 2 3x
j) Função periódica: fx = fx + T = fx + 2T = ...Exemplo: As funções trigonométricas: função seno e função cosseno.
k) Função definida por partes:
Há funções que são definidas por mais de uma expressão.Exemplo 1:
fx =
2x + 3 se x < 0
x2 se 0 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 1 2 3x
Exemplo 2: A função valor absoluto |x| =x se x ≥ 0
−x se x < 0é uma função definida por duas sentenças.
12
LISTA DE EXERCÍCIOS 4:
1. A função degrau de Heaviside, H, é definida por Hx =0 se x < 0
1 se x ≥ 0. Construa seu gráfico.
2. Considerando a função H, definida acima, determine a função Hx − 1 e construa seu gráfico.
3. Represente graficamente a função g, definida por gx =
0 se x < 1
1 se 1 ≤ x < 2
2 se 2 ≤ x < 3
3 se 3 ≤ x < 4
4 se x ≥ 4
e determine:
a) g−1 b) g1 c) g2,5 d) g4 e) g5
4. Construa o gráfico da função h, definida por hx = |x2 − 4| − 3 e responda às seguintes questões:a) Quais os zeros de h ?b) Quais os valores de x que tornam hx um número positivo ?c) Quais os valores de x que tornam hx um número negativo ?
Resposta: Gráfico
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 2 4x
m) Função Composta: Dadas duas funções f e g, a função composta de f e g ,denotada por f ∘ g é definida porf ∘ gx = fgx
Exemplo 1: Dadas as funções fx = x e gx = x − 1, encontre a composição de funções f ∘ gx.Resposta: f ∘ gx = fx − 1 = x − 1
Exemplo 2: A análise das condições da água de uma pequena praia indica que o nível médio diário de substânciaspoluentes presentes no local será de Qp = 0,6p + 18,4 unidades de volume, quando a população for p milharesde habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população seja de pt = 6 + 0,1t2 mil habitantes.a) Expresse o nível de substâncias poluentes em função do tempo. Resposta: Qt = 22 + 0,06t2
b) Qual será o nível de substâncias poluentes daqui a 2 anos? Resposta: 4,72 unidades de volumec) Em quanto tempo, aproximadamente, o número de substâncias poluentes será de 5 unidades de volume?Resposta: 7 anos.n) Função Inversa:Exemplo 1: Encontre a função inversa de fx = 2x.Solução: escrevendo y = 2x, então reslvemos a equação para x, 2x = y x = y/2. Finalmente, trocamos x pory temos: y = x/2.Exemplo 2: As funções exponencial y = ex e logarítmica y = lnx são inversas.Observe que o gráfico da função inversa é obtido refletindo-se o gráfico de fx em torno da reta y = x.
Exemplo 1:-10
-5
0
5
10
-4 -2 2 4x
Exemplo 2:
-4
-2
0
2
4
-2 -1 1 2x
Exemplo 3: Encontre a função inversa de fx = x3 + 2.
13
Solução: Escrevendo y = x3 + 2, então resolvemos a equação para x, x3 = y − 2 x = 3 y − 2 . Finalmente,trocamos x por y, obtemos y = 3 x − 2 .
LISTA DE EXERCÍCIOS 5:
1) Construa o gráfico das funções:
a) fx = 5/2 b)fx = 2x + 1 c)fx = 5 − 3x
d)fx = −x2 + 8x − 7 e)fx = 2x + 1 f)fx = lnx + 1
Respostas:
a)1.5
2
2.5
3
3.5
-4 -2 0 2 4x b)-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 1 2 3x
c)-4
-2
0
2
4
6
-2 -1 1 2 3 4 5x
d)-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
2 4 6 8x
e) 0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3x f)-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 1 2 3x
2) Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico:
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2x
Em quanto tempo percorrerá 15 Km? Resposta: 6 min.
3) Escreva a função do 2o grau representada pelo gráfico:
-2
0
2
4
6
8
-1 1 2 3 4 5x
Resposta:fx = x2 − 4x + 3
4)O custo para a produção de x unidades de certo produto é dado por C = x2 − 40x + 1600. Calcule o valor do customínimo. Resposta: C = 1200.
5) Dada a função fx = |x − 2| − 1, construa o gráfico e dê o conjunto imagem de f. Resposta:Imf = y ∈ ℜ\y −1.
14
6) Determine o domínio, a imagem, o gráfico e o período das funções:
a)y = 2sinx Resp.:D = ℜ, Im = −2,2, período= 2π.b)y = 2 + sinx Resp.:D = ℜ, Im = 1,3, período=2π.c)y = sin3x Resp.:D = ℜ, Im = −1,1, período=2π/3.d)y = cos2x Resp.:D = ℜ, Im = −1,1, período=π.e)y = cosx + π/2 Resp.:D = ℜ, Im = −1,1, período=2π.f)y = 1 + 2cosx + π Resp.:D = ℜ, Im = −1,3, período=2π.
7) Encontre uma fórmula para a função inversa.a) fx = 10 − 3x , b) fx = ex3
, c) fx = lnx + 3, d) y = 2x2 + 2.Resposta: a) f−1x = − 1
3 x2 + 103 . b) f−1x = ex − 3, c) f−1x = x−2
2 .
3. LimitesO conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados. Usamos a palavralimite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas quejamais pode ser ultrapassado.Exemplos:a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porqueexiste um Limite de elasticidade da borracha.b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o Limite de carga que este suporta.c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem estabelecer um Limite mínimo de combustível necessáriopara que a aeronave entre em órbita.
É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se aproximartanto quanto desejar. Iniciaremos por estudá-los de uma forma intuitiva.
Limites descrevem o que acontece com uma função fx à medida que sua variável x se aproxima de umnúmero particular a. Para ilustrar este conceito, vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Suponha que você quer saber o que acontece com a função fx = x2 + x − 2x − 1
à medida que x se
aproxima de 1. Embora fx não esteja definida em x = 1, você pode obter uma boa idéia da situação avaliando fxem valores de x cada vez mais próximos de 1 , tanto à esquerda quanto à direita. Isto pode ser feito através de umatabela de valores.
x fx
0.9 2.9
0.99 2.99
0.999 2.999
0.9999 2.9999
donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua esquerda, fx se aproxima do número 3 eescrevemos:
limx→1−
fx = 3 ,
lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela esquerda é 3De forma análoga, investigamos o limite à direita. Vejamos:
x fx
1.1 3.1
1.01 3.01
1.001 3.001
1.0001 3.0001
donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua direita, fx se aproxima também do número 3 eescrevemos:
15
limx→1+
fx = 3 ,
lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela direita é 3”.
Concluimos que:
limx→1
fx = 3
Graficamente temos:
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
Observe que o gráfico da função fx = x2 + x − 2x − 1
representado acima é uma reta com um ”buraco” no ponto
(1,3).
No caso da função fx = x2 + x − 2x − 1
, a qual concluimos quex→1lim fx = 3 tabelando valores à esquerda e à
direita de 1, este também pode ser determinado de forma algébrica, ou seja,
x→1lim fx =
x→1lim x2 + x − 2
x − 1=
x→1lim x + 2x − 1
x − 1=
x→1lim x + 2 = 1 + 2 = 3
Propriedades:1) O limite é único.2) Se lim
x→afx = L e lim
x→agx = M existem e c é um número real qualquer, então:
a) limx→a
fx ± gx= limx→a
fx ± limx→a
gx = L ± M
b) limx→a
c.fx = c limx→a
fx = cL
c) limx→a
fxgx = limx→a
fx limx→a
gx = LM
d) limx→a
fxgx
=limx→a
fx
limx→a
gx= L
M, para M ≠ 0
e) limx→a
fxn = limx→a
fxn = Ln
f) limx→a
c = c
LIMITES LATERAIS:
- Limite pela direita: - Limite pela esquerda:
limx→a+
fx limx→a−
fx
Teorema 1: Se os limites à direita e à esquerda são diferentes limx→a−
fx = A e limx→a+
fx = B, então o limite limx→a
fx nãoexiste.
Notamos que no exemplo 1 obtivemos para a função fx = x2 + x − 2x − 1
,os limites laterais iguais, isto é,
x→1−lim fx = 3 =
x→1+lim fx e por este motivo afirmamos que
x→1lim fx = 3. Nem sempre isso ocorre. Vejamos um
segundo exemplo.
Exemplo 2: Dada a função fx =x + 1 se x < 3
6 se x ≥ 3, cujo gráfico está representado a seguir
16
-4
-2
0
2
4
6
8
-6 -4 -2 2 4 6x
temos:x→3−lim fx = 4 e
x→3+lim fx = 6 logo, conclui-se que ∄
x→3lim fx, pois os limites laterais são
distintos.Exemplo 3: Dada a função fx = 1
x , vamos verificar o comportamento da função quando tomamos valorespróximos de x = 0. Embora fx não esteja definida em x = 0, pode-se obter uma idéia da situação avaliando fxem valores de x cada vez mais próximos de 0 , tanto à esquerda quanto à direita, como foi feito no exemplo 1,através de uma tabela,
x fx
−0.1 −10
−0.01 −100
−0.001 −1000
−0.0001 −10000
−0.00001 −100000
donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, à sua esquerda, fx decresce indefinidamente (semlimitação) e escrevemos:
limx→0−
fx = −∞ ,
De forma análoga, investigamos o limite à direita.
x fx
0.1 10
0.01 100
0.001 1000
0.0001 10000
0.00001 100000
donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, à sua direita, fx cresce indefinidamente (sem limitação)e escrevemos:
limx→0+
fx = +∞
Concluimos então que ∄x→0lim fx , usando o argumento de que os limites laterais são distintos.
O gráfico da função fx = 1x está abaixo representado
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
Observação 1: Devemos enfatizar que os símbolos +∞ e − ∞, como usados aqui, descrevem uma maneira
17
particular na qual o limite não existe; eles não são limites numéricos e, conseqüentemente, não podem sermanipulados usando regras de álgebra. Por exemplo, não é correto escrever +∞ − +∞ = 0.
Observação 2: Se limx→a
fx , onde a não é ponto crítico ( a0
, por exemplo) ou ponto de descontinuidade, então o
limite existe e é fa. Caso contrário, devemos calcular os limites laterais.
Exemplo 4: Determine, se existir, o limite de:a) lim
x→1
xx − 1
b) limx→−2
x2 − 9x + 2
:
c) Calcule limx→0
fx onde fx =−1, se x = 0
x, se x ≠ 0
Teorema 2: (Limite no infinito) Se n ∈ N , então limx→±∞
1xn = 0
Teorema 3: (Limite Infinito) Se n ∈ N , então limx→0+
1xn = ∞ e lim
x→0−
1xn =
+∞, se n é par
− ∞, se n é ímpar
OBS.: Se n é par, limx→0+
1xn = lim
x→0−
1xn , então lim
x→0
1xn existe.
Se n é ímpar, limx→0+
1xn ≠ lim
x→0−
1xn , então lim
x→0
1xn não existe.
Exemplo.: y = 1x2
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 1 2x
Expressões Indeterminadas:
00
, ∞∞ , ∞ − ∞, 00,∞0, 1∞
LISTA DE EXERCÍCIOS 6:
1) Explique com suas palavras o significado da equação
é possível diante da equação anterior que f2 = 3? Explique.
2) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
18
3) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
4) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
5) Dado que
Encontre se existir, o limite. Se não existir, explique por quê.
19
6) Calcule os limites:
1) limx→∞
2x − 5x + 8
Resp.: 2
2) limx→−∞
2x3 − 3x + 54x5 − 2
Resp.: 0
3) limx→3
x2 − 9x − 3
Resp.: 6
4) limx→1
x − 1x − 1
Resp.: 1/2
5) limx→2
x3 − 4xx3 − 3x2 + 2x
Resp.: 4
6) limx→9
x − 9x − 3
Resp.: 6
7) limx→1
x2 + x − 2x − 1
Resp.: 3
7) Calcule os limites:
1)limx→3
x − 5x3 − 7
12)limt→∞
t2 − 2t + 32t2 + 5t − 3
2)limt→2
t2 − 52t3 + 6
13) limx→−∞
5x3 − x2 + x − 1x4 + x3 − x + 1
3)limr→1
8r + 1r + 3
14)limx→3+
xx − 3
, limx→3−
xx − 3
, limx→3
xx − 3
4)limx→1
x2 − 1x − 1
15)limy→0
1 − 1 + y
7y
5)limx→0
x + 2 − 2x 16)lim
t→0 4 − t + 22
9 − t + 32
6)limx→0
|x|x 17)lim
x→−1 x2 + 3x + 2
x + 1
7)limx→0
x3 − xx 18)lim
x→0 3x + 12 − 1
x3 − 3x
8)limx→∞
2x − 1x − 2
19)limx→1
x − 1x − 1
9)limx→∞
2xx2 − 1
20)limh→0
x + h2 − x2
h
10)limx→∞
x2 − 10x + 1 21)limx→∞
−x3 + 3x2
x3 − 1
11)limx→−2
x3 − 3x + 2x2 − 4
22)limx→0+
|x|x2 , lim
x→0−
|x|x2 , lim
x→0
|x|x2
Respostas do exercício 7)1)− 1
10 9)0 17)12)− 1
22 10)+∞ 18)−23) 3
2 11)− 94 19) 1
24)2 12) 1
2 20) 2x
5) 1
2 213)0 21)−1
6)∄ 14)+∞,−∞,∄ 22)+∞,+∞,+∞7)-1 15)− 1
14 8)2 16) 23
20
4. Continuidade
Um grupo importante de funções de uma variável real é o das funções contínuas, isto é, funções que têm limite,em cada ponto de seu domínio, igual ao valor da função no ponto. O gráfico uma função contínua não tem quebras,saltos ou furos, ou seja, pode ser traçado sem levantar a ponta do lápis do papel.Def.: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a, se as seguintes condições forem satisfeitas:i) f é definida no ponto aii) lim
x→afx existe
iii) limx→a
fx = fa
Se f não satisfizer alguma destas condições, dizemos que a função f é descontínua em a ou que f tem umadescontinuidade no ponto a.
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo, se f for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Exemplo 1: fx = 1x + 1
é contínua em x = −1?
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
Exemplo 2: fx =
1x2 , se x ≠ 0
1 , se x = 0é contínua em x = 0 ?
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x
Exemplo 3: Em qual dos seguintes intervalos fx = 1x − 2
é contínua?
a) [ 2, ∞ b) (-∞, +∞ c) (2, ∞ d) [1 , 2]
Teorema: Todos os polinômios são contínuos para todo valor de x. Uma função racional é contínua em qualquerponto onde ela é definida, isto é, em todos os pontos, exceto naqueles para os quais um ou mais de seusdenominadores se anulam.
Exemplos: fx = x3 + 3x − 1
-100
-50
0
50
100
-4 -2 2 4x
é função contínua para todo x.
21
Assíntota Vertical:A linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintescondições for válida:i) lim
x→a+fx = +∞
ii) limx→a−
fx = +∞iii) lim
x→a+fx = −∞
iv) limx→a−
fx = −∞
Assíntota Horizontal:A linha reta horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma dasseguintes condições for válida:limx→+∞
fx = b ou limx→−∞
fx = b.
Traçado de Gráficos de Funções Racionais:
1o Passo: Se a função racional é dada como uma soma de quociente de polinômios, reunimos os termos num únicoquociente de polinômios, tomando o mínimo múltiplo comum.2o Passo: Determinar lim
x→∞fx e lim
x→−∞fx. Se esses limites são um número finito L, então y = L é uma assíntota
horizontal.3o Passo: Determinar os valores de x para os quais o numerador da função é zero. São os pontos onde o gráficointercepta o eixo dos x.4o Passo: Determinar os valores de x para os quais o denominador da função é zero, que é onde a função tende a ∞ou −∞, determinando uma assíntota vertical.5o Passo: Os valores de x encontrados no 3o e 4o passos são os pontos onde a função pode mudar de sinal. Essespontos determinam os intervalos. Determinamos, então, se a função é positiva ou negativa em cada um dessesintervalos, calculando seu valor num ponto de cada intervalo.
Exemplo: Ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e trace-o:
1) fx = 3xx − 1
2) fx = 2x2 − 12x2 − 3x
3) yx = x2
x + 2
4) yx = x2 + 1x2 − 1
5) yx = 3xx2 − 4
6) yx = 2x2
9 − x2
Respostas:
1)-2
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4x
2)-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x
3)-20
-15
-10
-5
0
5
10
-6 -4 -2 2 4x
4)-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4x
5)-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -2 2 4x
6)-6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 2 4 6x
22
LISTA DE EXERCÍCIOS 7:
1) Dados os gráficos de f(x) e g(x) abaixo, estabeleça os números nos quais as funções são descontínuas e expliquepor quê.
f(x) g(x)
2) Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x nos quais a função fx é descontínua:
a)fx =x
x2 − 1,se x ≠ ±1
0 ,se x = ±1b)fx =
0 ,se x ≤ 0
x ,se x > 0c)fx =
x2 − 4x + 2
,se x ≠ −2
1 ,se x = −2
d)fx =x + 3 ,se x ≠ 3
2 ,se x = 3e)fx =
x2 − 4 ,se x < 3
2x − 1 ,se x ≥ 3f)fx =
x + 6 ,se x ≤ −4
16 − x2 ,se −4 < x < 4
6 − x ,se x ≥ 4
g)fx =2x − 1 ,se x ≠ 2
0 ,se x = 2h)fx =
|x|x ,se x ≠ 0
1 ,se x = 0i)fx =
1x + 5
,se x ≠ −5
0 ,se x = −5
Gráficos:
a)-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 1 2 3x
b)0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x c)-6
-4
-2
0
2
-4 -2 2 4x
d)-2
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4x
e)-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 1 2 3 4 5x
f)-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x
g)-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4x
h)-2
-1
0
1
2
-4 -2 2 4x
i)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 2x
23
3) Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x, nos quais a função é descontínua:
a) fx =
3 − x , se x < 1
4 , se x = 1
x2 + 1 , se x > 1
b) fx =x2 − 1 ,se x < 1
4 − x ,se x ≥ 1c) fx =
1x + 1
, se x > −1
1 , se x = −1
x + 1 , se x < −1
d) gx =
3 − x2 , se x < 1
1 , se x = 1
x + 1 , se x > 1
e) gx =1
x2 − 1, se x ≠ ±1
0 , se x = ±1f) fx =
3x − 1 ,se x ≤ 1
3 − x ,se x > 1
g) gx = 1x2 − x
h) yx = x2
x2 − 4i) yx = x2
x2 − x − 2Gráficos:
a) 0
2
4
6
8
10
-2 -1 1 2 3x b)
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 2 4x
c)-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x
d)-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 1 2 3x
e)-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
f)-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -2 2 4x
g)-8
-6
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4x
h)-4
-2
0
2
4
6
-4 -2 2 4x
i)-4
-2
0
2
4
6
-4 -2 2 4x
5. Derivadas
Taxa de Variação de uma Função (Seções 2.7 e 2.9 pág. 149 a 173 Cálculo, 5a edição, vol. 1, Stewart)
Taxa de variação médiaSejam x e y quantidades variáveis e suponha que y depende de x, tal que y = fx, onde f é uma função
conveniente. Para calcularmos a taxa de variação de y por unidade de variação de x naturalmente começaremos porconsiderar uma variação em x, digamos △x. Esta variação em x provoca uma variação em y, digamos △y. Desta
forma, podemos definir taxa de variação média como: Tvm = △y△x
Exemplo 1:A tabela abaixo dá a população P dos EUA (em milhões de habitantes) no século XIX, a intervalos t de10 anos.
24
1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900
5,3 7,2 9,6 12,9 17,1 23,2 31,4 38,6 50,2 62,9 76,0
a) Qual a taxa de variação média da população dos EUA no período que vai de 1800 a 1850?b) Qual a taxa de variação média da população dos EUA no período que vai de 1840 a 1850?
Velocidade MédiaPor exemplo, se numa viagem você dirigir 150km em 3h, então, dividindo 150km por 3h, conclui-se que você
dirigiu, em média, 50km em 1h, isto é 50km/h. Isto não lhe indica, por exemplo, que após 1h de viagem você tenhapercorrido exatamente 50km. Você pode ter parado num sinal de trânsito ou pode ter viajado a 55km/h !
Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos descrever a distânciapercorrida por um objeto como uma função do tempo. Isto é, para cada valor do tempo t podemos associar umnúmero d que representa a distância percorrida pelo objeto. Por exemplo, dt = 2t + 1 é uma função que descreve omovimento de um objeto que se move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Assim, se t for medido emsegundos (seg) e d em metros (m), então, após 2seg, o objeto está a 5m (d2 = 2.2 + 1) ao longo da linha demovimento; 3seg mais tarde, isto é, quandot = 5seg, o objeto está a 11m ao longo da linha de movimento(d5 = 2.5 + 1).
A velocidade média, Vm, de um objeto em movimento é a razão (ou taxa) entre a distância percorrida peloobjeto e o tempo gasto para percorrer esta distância.
No exemplo dado, no intervalo de tempo que vai dos 2seg aos 5seg temos:
Vm = △d△t
= 11 − 55 − 2
= 2m/s ou Vm = dt + △t − dt△t
= d2 + 3 − d25 − 3
= 2m/s.
Exercício: Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d = 3t − 2, façauma análise deste movimento, no intervalo de tempo que vai de 3seg a 7seg, determinando:a) △t ; b) △d;c) a velocidade média Vm do objeto quando este se desloca do ponto em que está aos 3seg do início do movimento,ao ponto em que está aos 7seg.Velocidade InstantâneaConsideremos, agora, o problema de determinar a velocidade de um objeto em movimento, num determinadoinstante t , o que significa determinar sua velocidade instantânea. O que podemos fazer, é imaginar intervalos detempo △t cada vez menores, para que as velocidades médias correspondentes possam dar-nos informações cada vezmais precisas do que se passa no instante t. Somos, assim, levados ao conceito de velocidade instantânea Vt (outaxa de variação instantânea do deslocamento), no instante t, como sendo o limite de Vm, quando △t tende a zero,isto é
Vt = lim△t→0
dt + △t − dt△t
Exemplo 3: Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d = 3t − 2,determine a velocidade instantânea para t = 3seg.
Uma bola é lançada de uma ponte, para o alto, e sua altura, y (em metros), acima do solo, t segundos depois, é dadapor y = −5t2 + 15t + 12.a) A ponte fica a que altura acima do solo?b) Qual é a velocidade média da bola durante o primeiro segundo?c) Obtenha um valor aproximado para a velocidade em t = 1seg.d) Esboce um gráfico da função e determine a altura máxima atingida pela bola. Qual deve ser a velocidade noinstante em que a bola atinge o topo?e) Use o gráfico para determinar o instante t em que a bola atinge sua altura máxima.
Coeficiente Angular da Reta Tangente a uma CurvaPara calcular o coeficiente angular da reta tangente a f em x0, tomamos a reta secante passando por
P = x0, fx0 e um segundo ponto Q = x, fx qualquer. Aproximando x de x0 , a reta secante se aproxima dareta tangente.
25
Temos o coeficiente angular da reta secante:
ms = ΔfΔx
= fx − fx0x − x0
, para x ≠ x0. Então, ao x → x0, teremos o coeficiente angular da reta tangente:
m = limx→x0
fx − fx0x − x0
desde que o limite exista e seja finito.
Mudança de variável: se x − x0 = Δx x = Δx + x0.
Assim, fx − fx0x − x0
= fΔx + x0 − fx0Δx
E, ao x → x0, Δx → 0 :dfx0
dx= lim
x→x0
fx − fx0x − x0
= limΔx→0
fΔx + x0 − fx0Δx
Exemplo: Considere a função fx = x2
a) determine o coeficiente angular da reta tangente à curva da f, no ponto 1,1;b) determine a equação da reta tangente à curva da f, no ponto 1,1;c) construa o gráfico da curva da f e da reta tangente determinada, num mesmo sistema de eixos.
Observação: O coeficiente angular da reta tangente a f em x0 representa a taxa de variação instantânea de f emx0, também chamado de derivada de f em x0.
dfx0dx
= limΔx→0
ΔfΔx
= limΔx→0
fΔx + x0 − fx0Δx
. chamada fórmula de Leibniz.
Notações para a Derivada:
y ′, f ′x, Dxfx, Dxy, dfxdx
ou dy
dx.
Exemplos: Usando a fórmula de Leibniz, calcule a derivada das funções1) fx = 2x + 1 em x = 2 :2) fx = x2 em x = 1 : E em x = 2 ?3) fx = 3x2 + 12 , em x = 2.
OBS.: Funções deriváveis são contínuas, mas nem toda função contínua é derivável.Exemplo.: Usando a primeira fórmula estudada, calcule a derivada da função abaixo em x = 2 :
fx =7 − x , se x > 2
3x − 1 , se x ≤ 2
26
A Derivada Como Uma Função:
Se considerarmos a derivada de f em x e fizermos x variar, obtemos a função derivada dfdx
, onde dfxdx
é o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto x, fx. dfxdx
= limΔx→0
fx + Δx − fxΔx
, obtida
substituindo x0 por x.
Exemplo 1: Calcule a derivada de fx = 1x para x ≠ 0 :
Exemplo 2: Calcule a derivada de fx = 3x2 − 4 :
LISTA DE EXERCÍCIOS 8
1) Faça os exercícios ímpares 1 ao 29, página 173 e 174 seção 2.9 (Cálculo, 5a edição, Vol. 1, Stewart).
2) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, onde s cm é a distância orientada da partícula a partirdo ponto O em t segundos. Ache a velocidade instantânea vt cm/s em t segundos e então ache vt1 para o valor det1 dado:
a) s = 3t2 + 1; t1 = 3 Resp.: 6t; 18
b) s = 14t
; t1 = 12
Resp.: − 14t2 ;−1
c) s = 2t3 − t2 + 5; t1 = −1 Resp.: 6t2 − 2t; 8
d) s = 2t4 + t
; t1 = 0 Resp.: 84 + t2 ; 1
2
3) Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s = −16t2, onde s cm é a distância do objeto ao ponto departida em t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 256 cm de altura, achea) a velocidade instantânea da pedra 1s. depois de iniciada a queda; Resp.: −32 cm/sb) a velocidade instantânea da pedra 2s. depois da queda; Resp.: −64 cm/sc) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? Resp.: 4sd) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Resp.: −128 cm/s.
4) Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição inicialapós t segundos, então s = 100t2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingirá a tabela da posição inicial que está a39 cm? Resp.: 160 cm/s.
5) Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certoplano inclinado, então s = 24t + 10t2, onde o sentido positivo é o de descida do plano inclinado.a) Qual será a velocidade instantânea da bola em t1 s.? Resp.: 24 + 20t1.b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 48 cm/s? Resp.: 1,2 s.
6) Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura é T graus t horas após a meia-noite eT = 0,1400 − 40t + t2 , 0 ≤ t ≤ 12.a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h: R.: T=-2,9 graus/hb) Ache a taxa de variação de T em relação a t às 5h: R.: -3 graus/h.
7) Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com velocidade inicial de 64 m/s. Se o sentidopositivo da distância do ponto de partida é para cima, a equação do movimento é s = −16t2 + 64t com t emsegundos e s em metros.a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 1s. R.: 32 m/sb) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto? R.: 2 sc) Qual a altura máxima atingida pela bola? R.: 64 md) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo? R.: 4 s
27
e) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão. R.: -64 m/s.
Regras de Diferenciação (Capítulo 3 pag. 183, 5a edição, Cálculo Vol.1 James Stewart)
Derivada de funções polinomiais e exponenciais (seção 3.1 pag. 183)
Derivada da função constante:ddx
c = 0
Derivada da potência de x :ddx
xn = n.xn−1, onde n ∈ Q
Derivada do produto de uma constante por uma função:
ddx
cv = c. ddx
v
Derivada da soma ou diferença de funções:
ddx
u + v = ddx
u + ddx
v
Derivada da função Exponencial Natural:
d
dxex = ex
Derivada da função Logaritmo:
ddx
logax = 1x lna
; ddx
lnx = 1x
LISTA DE EXERCÍCIOS 9Exercícios ímpares 3 ao 35, seção 3.1 pag. 191 do livro texto.
Regra do Produto e do Quociente (seção 3.2 pag. 192)Regra do produto: Se as funções f e g têm derivadas em x, então seu produto também tem derivada e vale:
ddx
fx.gx= fx ddx
gx + gx ddx
fx
Exemplo: ddx
x3 + 3x − 14x12 − 6
Regra do quociente: Se as funções f e g têm derivadas em x e se gx não é zero, então o quociente fxgx
também
tem uma derivada em x e vale:
ddx
fxgx
=gx dfx
dx− fx dgx
dxgx2
Exemplo: Calcule a derivada de d
dx x2
2x − 1:
LISTA DE EXERCÍCIOS 10Exercícios ímpares 1 ao 35, seção 3.2, pág. 197 do livro texto.
28
Derivada de Funções Trigonométricas:(seção 3.4, pág. 210)
d
dxsenx = cosx
d
dxcosx = −senx
d
dxtanx = sec2x
d
dxcot x = −cos sec2x
d
dxcos sec x = −cos sec x cot x
d
dxsec x = sec x tanx d
dx
Exemplosa) Diferencie y = x2senx.b) Um objeto na extremidade de um mola vertical é esticado 4 cm além de sua posição no repouso e solto noinstante t = 0. Sua posição no instante t é s = ft = 4cos t. Encontre a velocidade no instante t e use-a para analisaro movimento do objeto.
LISTA DE EXERCÍCIOS 11Exercícios ímpares 1 ao 15, seção 3.4 pág. 215 do livro texto.
Regra da Cadeia (para funções compostas, seção 3.5 pag. 217):
Na última unidade vimos como diferenciar polinômios e funções racionais. Mas, frequentemente, precisamosdiferenciar potências dessas funções. Por exemplo, se y = fx2, da derivada do produto de funções, dá
dy
dx= d
dxfx.fx
= fx.f ′x + f ′x.fx
e, agrupando os termos, obtemos:dy
dx= 2fxf ′x.
É surpresa que a derivada de fx2 não seja simplesmente 2fx, como poderíamos esperar por analogia com afórmula (2.2.2) Dxxn = nxn−1, com n = 2? Há um fator adicional, f ′x, cuja origem pode ser explicadaescrevendo-se g = fx2, na forma
g = u2 com u = fx .
Entãodg
dx= d
dxfx2 ,
dg
du= 2u = 2fx e
dudx
= f ′x ,
de modo que a forma da derivada na equação toma a forma
ddx
gux = ddu
gu. ddx
ux
A equação acima - a regra da cadeia - é válida para duas funções diferenciáveis quaisquer y = gu e u = fx.Neste caso, u′x é chamada derivada da função interna.
Exemplo 1:Se
y = 3x + 517 ,
não seria prático achar o desenvolvimento binomial da 17a potência de 3x + 5. O resultado seria um polinômio com18 termos e alguns coeficientes teriam até 14 algarismos! Mas, se escrevermos
29
y = u17 com u = 3x + 5 ,
entãodg
du= 17u16 e du
dx= 3 .
Assim, a regra da cadeia fornece
ddx
3x + 517 = dy
dx= dy
du. du
dx= 17u16.3
= 173x + 516.3 = 513x + 516 .
Exemplo 2: a) yx = x2 + 4 , b) yx = x2x3 + 2x10, c) yx = 3xx2 + 7
9
Exemplo 3:Para uma interpretação física da regra da cadeia, imagine uma refinaria de petróleo que produza u litros de gasolinade x barris de óleo cru. Então, em um segundo processo, a refinaria produz y gramas de um produto petroquímico apartir dos u litros de gasolina. A figura 5 ilustra os dois processos.
x barris de óleo cru
↓
Processo 1
∣
u litros de gasolina
↓
Processo 2
∣
y gramas de petroquímico
↓
figura 5
y é, assim, uma função de u e u é uma função de x, de modo que a saída final, y, é uma função também da entrada x.Considere as unidades em que as derivadas destas funções são medidas:
dy
du: g
l(gramas de petroquímico por litro de gasolina)
dudx
: lbarril
(litros de gasolina por barril de óleo)
dy
dx: g
barril(gramas de petroquímico por barril de óleo)
Levando essas unidades a cada termo correspondente da equação (3.4.3) obtemos:g
barril= g
l. l
barril.
O prático cancelamento das unidades no segundo membro desta última igualdade, parece confirmar a validade daregra da cadeia. Por exemplo, se obtemos 3 gramas de petroquímico por litro de gasolina e 75 litros de gasolina porbarril de óleo, como poderíamos deixar de obter 3 × 75 = 225 gramas de petroquímico por barril de óleo ?Observação: A regra da cadeia pode ser escrita na forma:
ddx
gux = g′ux.u′x
Esta notação tem a vantagem de especificar os valores das variáveis nos quais se calculam as derivadas. Neste caso,u′x é chamada derivada da função interna.
A Regra da Cadeia para as funções trigonométricasSe u = fx então:
30
d
dxsenu = cosu.Dxu
d
dxcot gu = −cosec2u.Dxu
d
dxcosu = −senu.Dxu
d
dxsec u = sec u.tgu.Dxu
d
dxtgu = sec2u.Dxu
d
dxcosecu = −cosecu. cot gu.Dxu
Regra da Potência
ddx
ax = ax lna
Exemplo: yx = 2x.Solução: d
dx2x = 2x ln2 = 2x.0.69
LISTA DE EXERCÍCIOS 12Exercícios ímpares 1 ao 39, seção 3.5 pag. 223 do livro texto.
Diferenciação Implícita (seção 3.6, pág. 226)
Até agora, nossas funções envolvendo duas variáveis foram expressas, de maneira geral,na forma explícitay = fx. Em outras palavras, uma das duas variáveis era dada isolada em função de outra. Por exemplo,
y = 3x − 7, s = −16t2 + 20t, u = 3cosw
estão todas escritas em forma explícita, e dizemos que, y, s e u são funções de x, t e w, respectivamente. Muitasfunções, no entanto, não são dadas de forma explícita, sendo definidas apenas implicitamente por determinadaequação. Por exemplo, a função y = 1
x pode ser definida implicitamente pela equação xy = 1. Suponha que você
quer achar dy
dxnessa equação. Acontece que isso é, de fato, razoavelmente simples, e você provavelmente
começaria resolvendo a equação para y (isto é, isolando y).
Forma implícita Forma explícita Derivada
xy = 1 y = 1x = x−1 dy
dx= −x−2 = −1
x2
Esse método funciona bem quando é fácil isolar a variável dependente. No entanto, não podemos usá-lo nos casos
em que não sabemos isolar y como função de x. Por exemplo, como encontrar dy
dxna equação
x2 − 2y3 + 4y = 2
onde é difícil expressar y como função de x explicitamente? Para fazer isso, usamos diferenciação implícita, ondesupomos que y é uma função de x.
Para entender como encontrar dy
dximplicitamente, você precisa compreender que a derivação está sendo feita em
relação a x. Isso significa que, ao derivar termos envolvendo apenas x, derivamos como de hábito. Mas, ao derivartermos envolvendo y, precisamos usar a Regra da Cadeia, já qie estamos supondo que y está definido,implicitamente, como função de x.Estude os próximos exemplos com atenção. Note, em particular, como a Regra da Cadeia é utilizada para introduzir
o termo dy
dx.
Exemplo 1:
Encontre dy
dxdado que y3 + y2 − 5y − x2 = −4.
1. Derive ambos os lados da equação em relação a x. Não deixe de lembrar que, ao derivar termos que contém y,devemos aplicar a Regra da Cadeia.
31
ddx
y3 + y2 − 5y − x2 = ddx
−4
ddx
y3 + ddx
y2 − ddx
5y − ddx
x2 = ddx
−4
3y2 dy
dx+ 2y
dy
dx− 5 dy
dx− 2x = 0
2. Junte os termos contendo dy
dxno lado esquerdo da última equação obtida.
3y2 dy
dx+ 2y
dy
dx− 5 dy
dx= 2x
3. Fatore dy
dxdo lado esquerdo da equação.
dy
dx3y2 + 2y − 5 = 2x
4. Isole dy
dxna última equação.
dy
dx= 2x
3y2 + 2y − 5Observações:
1.Note, que a diferenciação implícita produz uma expressão para dy
dxque contém x e y.
Exemplo 2:Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de 3x2 + y22 = 100xy no ponto 3,1.
Para obter a inclinação pedida, vamos determinar dy
dx. Para maior praticidade, trocaremoa a notação dy
dxpor y ′.
3x2 + y22 ′= 100xy′
32x2 + y22x + 2yy ′ = 100xy ′ + y1
12xx2 + y2 + 12yx2 + y2y ′ = 100xy ′ + 100y
12yx2 + y2y ′ − 100xy ′ = 100y − 12xx2 + y2
y ′12yx2 + y2 − 100x = 100y − 12xx2 + y2
y ′ = 100y − 12xx2 + y212yx2 + y2 − 100x
Logo, a inclinação da tangente no ponto 3,1 é:
m3,1 =1001 − 12332 + 1212132 + 12 − 1003
= 139
.
A curva 3x2 + y22 = 100xy dada neste exemplo é chamada lemniscata
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3 -2 -1 1 2 3x
Exemplo 3:
Determine dy
dxpara senxy = 2x + 5.
derivando toda expressão senxy ′ = 2x + 5 ′, obtemos cosxyxy ′ + y.1 = 2, depois isolamos y ′.cosxyxy ′ + y cosxy = 2x cosxy.y ′ = 2 − y cosxy
y ′ = 2 − y cosxyx cosxy
32
Exercícios:
1 Encontre dy
dxdado que x2 − 2y3 + 4y = 2.
2 a) Se x2 + y2 = 25, encontre dy
dx;
b) Encontre uma equação tangente ao círculo x2 + y2 = 25 no ponto 3,4.
Derivada das funções trigonométricas inversas (pág. 231)
A função inversa da função seno é dada por:
y = sen−1x significa seny = x. Diferenciando seny = x implicitamente em relação a x obtemos cosy. dy
dx= 1
ou dy
dx= 1
cosy .
Agora, usando a identidade triginimétrica cos2x + sen2x = 1 obtemos:
cosy = 1 − sen2y = 1 − x2 .
Portanto, ddx
sen−1x = dy
dx= 1
cosy = 11 − x2
A fórmula para a derivada da função arco tangente é deduzida de forma similar.
y = tan−1x significa tany = x. Diferenciando tany = x implicitamente em relação a x obtemos sec2y. dy
dx= 1
ou dy
dx= 1
sec2y.
Agora, usando a identidade triginimétrica sec2x − tan2x = 1 obtemos:
sec2y = 1 + tan2y = 1 + x2.
Portanto, ddx
tan−1x = dy
dx= 1
sec2y= 1
1 + x2 .
LISTA DE EXERCÍCIOS 13Exercícios ímpares 1 ao 23, 41 ao 50 seção 3.6, pág. 232 e 233 do livro texto.
Derivadas Superiores (Seção 3.7, pág. 235)
Derivada Segunda ou de Ordem 2:A derivada segunda de uma função fx é a derivada de sua derivada (primeira) f ′x.
Notação: f”x = d2fxdx2 = d
dxdfx
dx
Exemplo 1: Calcule a derivada segunda de fx = x5 − 2x.Derivadas de ordem superior:Seja f uma função derivável: f ′ é a derivada primeira de f
f ′′ é a derivada segunda de f
f ′′′ é a derivada terceira de f
fn é a derivada enésima de f.
Exemplo 2: Ache todas as derivadas da função fx = x4 + x3 − x2 + 7
Exemplo 3: Calcule d3
dx3 2sinx + 3cosx − x3 :
33
Aceleração Instantânea:É a taxa de variação instantânea da velocidade. Se v (velocidade) é dada em cm/s, a (aceleração) será dada emcm/s2.
v = dsdt
e a = dvdt
ou a = d2sdt2
Exemplo 4: Uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada. Achea velocidade e a aceleração em função do tempo t.
a) s = 16
t3 − 2t2 + 6t − 2 Resp.: v = t2
2− 4t + 6; a = t − 4
b) s = 12516t + 32
− 25
t5 Resp.: v = − 200016t + 322 − 2t4; a = 64000
16t + 323 − 8t3
c) s = 9t2 + 2 2t + 1 Resp.: v = 18t + 22t + 1−
12 ; a = 18 − 22t + 1
−32
LISTA DE EXERCÍCIOS 14Exercícios ímpares 1 ao 47, seção 3.7, pág. 239 do livro texto.
Derivada de funções logaritmicas (seção 3.8, pág. 242)
ddx
logax = 1x lna
.
Demonstração: Se y = logax, então ay = x.Derivando a equação implicitamente com respeito a x, tem-se
aylna dy
dx= 1
dy
dx= 1
ay lna= 1
x lna
Exemplo 1: Diferencie y = lnx3 + 1. Resposta: 3x2
x3 + 1.
Diferenciação Logarítmica
Passos:
1) Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação y = fx e use as propriedades dos logaritmos parasimplificar.2) Diferencie implicitamente em relação a x.3) Resolva a equação resultante para y ′.
Exemplo 2: Diferencie y = x3/4 x2 + 13x + 25 . Resposta: y 3
4x+ x
x2 + 1− 15
3x + 2.
Exemplo 3: Diferencie y = x x .
Solução: Use a diferenciação logaritmica:
lny = lnx x = x lnx e derive implicitamente
Resposta: y ′ = x x 2 + lnx2 x
.
LISTA DE EXERCÍCIOS 15Excercícios: seção 3.8, pág. 247, exercícios 2 ao 26 do livro texto.
34
Funções Hiperbólicas (seção 3.9, pág. 248)
Certas combinações das funções exponenciais ex e e−x surgem frequentemente em aplicações da matemática e, porisso, merecem nomes especiais. Elas são análogas às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com ahipérbole que as funções trigonométricas têm com o círculo. Por isso são chamadas funções hiperbólicas,particularmente seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e assim por diante.
Definições:
senhx = ex − e−x
2cos sec hx = 1
senhx
coshx = ex − e−x
2sechx = 1
coshx
tghx = senhxcoshx
cotghx = coshxsenhx
Gráficos: senhx, coshx e tanhx.
-60
-40
-20
0
20
40
60
-4 -2 2 4x
0
10
20
30
40
50
60
70
-4 -2 2 4x-1
-0.5
0
0.5
1
-4 -2 2 4x
A aplicação mais famosa é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a curva formada por um fio suspenso entredois pontos, chamada função catenária, y = c + acoshx/a.
Derivadas de funções Hiperbólicasd
dxsenhx = coshx d
dxcos sec hx = −cos sec hx cothx
d
dxcoshx = senhx d
dxsec hx = − sec hx tanhx
d
dxtanhx = sec h2x d
dxcot hx = −cos sec h2x
LISTA DE EXERCÍCIOS 16Exercícios ímpares 30ao 47, seção 3.9, pág. 254 do livro texto.
35
Taxas Relacionadas (seção 3.10, pág. 255)
São problemas envolvendo taxas de variação de variáveis que estão relacionadas.
Exemplo 1: Uma escada com 10 u.c. (unidades de comprimento) está apoiada numa parede vertical. Se o pé daescada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 1 u.c. por segundo, qual a velocidade com que aescada está deslizando para baixo na parede, quando seu pé está a 6 u.c. da parede? (Resp. − 3
4 u.c/s Exemplo 2pág. 256).
Exemplo 2: Um tanque tem a forma de um cone invertido com 4 m. de altura e uma base com 2 m. de raio. A águaflui no tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando suaprofundidade for de 3 m.? (Exemplo 3, pág. 256).
( Use as relações: Volume do cone = πr2h3
e rh
= 24
)
Exemplo 3: Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção oeste a 50mi/h e o outro seguindo a direção norte a 60 mi/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro noinstante em que o primeiro carro está a 0,3 mi do cruzamento e o segundo a 0,4 mi? (Exemplo 4 pág. 257). Resp:-78 mi/h.
LISTA DE EXERCÍCIOS 17Exercícios ímpares 1 ao 19, seção 3.10, pág. 259 do livro texto.
Diferencial (pág. 264)
Estudaremos agora a relação entre o incremento Δy e a derivada. Isto ocorre quando precisamos fazer umaestimativa da variação em fx devida a uma variação em x. A variação em x (variável independente) é chamada deincremento Δx, isto é, x varia de x para x + Δx. A variação em y (variável dependente), onde y = fx , é chamada deincremento Δy, para obtê-lo devemos subtrair o valor inicial de y de seu novo valor:
Δy = fx + Δx − fx
Vejamos, agora, qual a alteração que ocorre no valor de y, se este continuasse a variar à taxa fixa f ′x, enquantoo valor da variável independente passa de x para x + Δx. A esta alteração de y, chamaremos de diferencial de y erepresentaremos por dy:
dy = f ′xΔx ou dy = f ′xdx
Note que dy é uma função linear, por isso é chamada aproximação linear do incremento Δy.
Exemplo 1: Comparando Δy e dy Considere a função fx = x2. Encontre:a) dy quando x = 1 e dx = 0,01; b) Δy quando x = 1 e Δx = 0,01; c) compare dy e Δy.
Exemplo 2: O raio de uma esfera tem 21 cm, com um erro de medida possível de no máximo 0,05 cm. Qual é oerro máximo cometido ao usar esse valor de raio para computar o volume da esfera (V = 4
3 πr3? Resposta: 277cm3.
Nota: Embora o erro possível possa parecer muito grande, uma idéia melhor dele é dada pelo erro relativo, que écomputado dividindo-se o erro pelo volume total. No caso do exemplo anterior:ΔVV
≈ dVV
= 3 drr
Assim, o erro relativo no volume é cerca de três vezes o erro relativo no raio. No exemplo 3, o erro relativo no
raio é aproximadamente drr = 0,05
21≈ 0,0024 e produz um erro relativo de cerca de 0,007 no volume. Os erros
também podem ser expressos como erros percentuais de 0,24% no raio e 0,7% no volume.
LISTA DE EXERCÍCIOS 18Exercícios: Resolva os exercícios ímpares 15 ao 31 da página 267 do livro texto.
36
6. Aplicações da derivada
6.1 Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hôspital
Se limx→a
fx = 0 = limx→a
gx , diz-se que o quocientefxgx
tem a forma indeterminda 00
em x = a.
Se limx→a
fx = ∞ = limx→a
gx , diz-se que o quocientefxgx
tem-se a forma indeterminada ∞∞ em x = a.
Outras formas indeterminadas podem aparecer quando se quer calcular o limite. Resumindo, são 7 as formasindeterminadas
00
, ∞∞ , ∞ − ∞, 1∞, 00, ∞0, 0 ⋅ ∞.
Primeira Regra de L’HôspitalSejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que,para todo x ≠ a em I, g′x ≠ 0.
Então, se limx→a
fx = 0 = limx→a
gx e se limx→a
f ′xg′x
= L , então, limx→a
fxgx
= L.
Observação: A regra também é valida se a ou L forem substituidos por +∞ ou −∞ .
Exemplo 1: Calcule limx→0
sen2xx .
Solução: Temos uma forma indeterminada 00 . Agora, limx→0
d
dxsen2x
d
dxx
= limx→0 2 cosx2x = 0.
Logo, pela primeira regra de L’Hôspital, limx→0
sen2xx = 0 .
Exemplo 2: Calcule limx→0
ex − e−x
senx.
Solução: Novamente, temos a forma indeterminada 00 e lim
x→0
ddx e
x − e−xd
dxsenx
= limx→0
ex + e−x
cosx= 2
Logo, pela primeira regra de L’Hôspital, limx→0
ex − e−x
senx= 2
Segunda Regra de L’HôspitalSejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que,para todo x ≠ a em I, g′x ≠ 0.
Então, se limx→a
fx = ∞ ou −∞ , limx→a
gx = ∞ ou −∞ e se limx→a
f ′xg′x
= L , então, limx→a
fxgx
= L.
Observação: Os números a e L podem ser ∞ ou −∞ .Exemplo 1: Calcule lim
x→0+x lnx
Solução: Aqui temos uma indeterminação do tipo 0−∞. Para podermos aplicar uma das regras de L’Hôspital,devemos transformá-la em uma das indeterminações ∞
∞ ou 00
.
limx→0+
x lnx = limx→0+
lnx1x
= − ∞∞ .
Agora, aplicando a segunda regra de L’Hôspital, limx→0+
d
dxlnx
d
dx
1x
= limx→0+
− x = 0.
Portanto limx→0+
x lnx = 0
37
Exemplo 2: Calcule: limx→∞
ex
x
Solução: limx→∞
ex
x = ∞∞ . Assim, pela segunda regra de L’Hôspital, lim
x→∞
d
dxex
d
dxx
= limx→∞
ex = ∞.
Portanto, limx→∞
ex
x = ∞
LISTA DE EXERCÍCIOS 19Exercícios: Faça os exercícios ímpares 5 ao 33 página 313 do livro texto.
6.2 Derivadas e Gráficos (Seção 4.3, pág. 296)
O que a Derivada nos diz, graficamente?
Muitos problemas práticos são formulados em termos de encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função f
em um certo intervalo, como veremos nos exemplos que serão abordados aqui. Desta forma, num primeiromomento, é importante saber como determinar estes valores.
Por exemplo, observe o gráfico abaixo:
y
x
Neste exemplo, o pico pode ser caracterizado em termos de retas tangentes ao gráfico. O pico é o único pontodo gráfico no qual a tangente é horizontal, isto é, no qual o coeficiente angular da tangente é zero.
∙ Qual seria o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico, à esquerda do pico ?∙ Qual seria o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico, à direita do pico ?Quando f ’é positiva, a tangente está inclinada para cima; quando f ’é negativa, a tangente está inclinada para
baixo. Se f ’=0, então, a tangente está na horizontal. Assim, o sinal da f ’nos diz se a f está crescendo oudecrescendo.
Se f ′ > 0 em um intervalo, então a f é crescente neste intervalo.
Se f ′ < 0 em um intervalo, então a f é decrescente neste intervalo.
Se f ′ = 0 em um intervalo, então a f é constante neste intervalo.
Exemplo 1: Considere a função fx = x2 − 6x + 5 :
-4
-2
0
2
4
-1 1 2 3 4 5 6x
Sua derivada, 2x − 6, se anula em x = 3. De fato, observe no gráfico, que a reta tangente à curva nesse ponto, éhorizontal.
38
Novamente, observando o gráfico, concluímos que a função é decrescente até o ponto 3,−4 e crescente, apartir dele. Escrevemos:
f é decrescente em −∞; 3
f é crescente em 3;+∞
Pontos Críticos:
O ponto x0 é um ponto crítico de uma função f, se f é definida em um intervalo aberto contendo x0 e a derivadaf ′x0 é zero ou não existe.
Exercício: Ache os pontos críticos da função fx = 4x2 − 3x + 2. Resp.: 3/8
0
5
10
15
20
-3 -2 -1 1 2 3x
Observe que quando uma função passa de crescente para decrescente, ou de decrescente para crescente, elapassa por um extremo (máximo ou mínimo) local. Freqüentemente, as palavras máximo e mínimo são usadas parasignificar máximo e mínimo locais. Usam-se as expressões máximo absoluto ou mínimo absoluto, para designar omáximo ou o mínimo da função em todo o seu domínio.
Uma função pode não ter máximo nem mínimo. Por exemplo, fx = 1x . Construa seu gráfico e verifique !
Teste da Derivada PrimeiraO que foi discutido até aqui, pode ser resumido pelo Teste da Derivada Primeira, que nos permite determinar
máximos ou mínimos de uma dada função:Seja f uma função e a um número de seu domínio, tal que f ′a = 0, ou não existe f ′a. Se f ′x for positiva à
esquerda e negativa à direita de a, então a, fa será um ponto de máximo de f. Ao contrário, se f ′x for negativaà esquerda e positiva à direita de a, então a, fa será um ponto de mínimo de f.
Se fa é o máximo absoluto (ou mínimo absoluto) de uma função contínua f no intervalo fechado x1,x2 , a étal que f ′a = 0 ou não existe f ′a , ou ainda, poderemos ter a = x1 ou a = x2 . Em outras palavras, o máximo ouo mínimo absoluto de uma função em um intervalo, podem ocorrer nos extremos deste intervalo.
Exercícios: Calcule os valores máximos e mínimos absolutos das funções:
1) fx = 23 − x em −1,2 R.: Mín.: (2,2) Máx.: (-1,8)2) fx = 2x + 5
3em 0,5 R.: Mín.: (0,5/3) Máx.: (5,5)
3) fx = −x2 + 3x em 0,3 R.: Mín.: (0,0) e (3,0) Máx.: (3/2,9/4)4) fx = x3 − 3x2 em −1,3 R.: Mín.: (-1,4) e (2,-4) Máx.: (0,0) e (3,0)5) fs = 1
s − 2em 0,1 R.: Mín.: (1,-1) Máx.: (0,-1/2)
6) Explique porque a função fx = 1x2 tem um máximo em 1,2 mas não em 0,2.
7) Explique porque a função fx = 1x + 1
tem um mínimo em 0,2 mas não em −2,0.
LISTA DE EXERCÍCIOS 20Exercícios: Resolva os exercícios ímpares do número 15 ao 57 da página 286 do livro texto.
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O que a Derivada Segunda nos diz, graficamente?
Veja o gráfico da função f definida por fx = x − 13 :
-8
-6
-4
-20
2
4
6
8
y
-2 -1 1 2 3x
Observe que à esquerda do ponto 1,0 a curva da f é voltada para baixo (côncava para baixo) e à sua direita,a curva é voltada para cima (côncava para cima). Portanto, no ponto 1,0 há uma mudança na concavidade dográfico. Este ponto é dito ponto de inflexão da função f.
Assim como o sinal da derivada primeira de uma função nos dá informações a respeito do crescimento damesma, o sinal da derivada segunda nos dá informações a respeito de sua concavidade, quais sejam:
f ′′x < 0 para x ∈ a; b ⇒ f é côncava para baixo em a; b
e
f ′′x > 0 para x ∈ a; b ⇒ f é côncava para cima em a; b
Seja f uma função e x0 um número de seu domínio, tal que f ′′x0 = 0 ou não existe f ′′x0. O ponto x0, fx0 éponto de inflexão da f se houver uma reta tangente, bem como, uma mudança de concavidade em x0, fx0.
Teste da Derivada Segunda
O que foi discutido acima, pode ser resumido pelo Teste da Derivada Segunda, que nos permite determinarmáximos ou mínimos de uma dada função:
Seja f uma função e a um número de seu domínio, tal que f ′a = 0, ou não existe f ′a.
Se f ′′x for positiva a, fa será um ponto de mínimo de f. Se f ′′x for negativa, então a, fa será um ponto demáximo de f.
LISTA DE EXERCÍCIOS 21Resolva os exercícios ímpares do número 5 ao 41 da página 304 do livro texto.
6.3 Problemas de Otimização (Seção 4.7, pág. 331)
Exemplo: Deve-se construir uma caixa com base retangular, usando um retângulo de cartolina com 16cm de largurae 21cm de comprimento, cortando-se um quadrado em cada canto. Determine as dimensões desse quadrado paraque a caixa tenha o volume máximo possível.
Comecemos por fazer um desenho da peça de cartolina, onde introduzimos a variável x para denotar ocomprimento do quadrado a ser cortado de cada canto. Nosso objetivo é maximizar o volume V da caixa a serconstruída, dobrando-se a cartolina ao longo das retas pontilhadas.É importante perceber que existe, no contexto do problema, uma infinidade de caixas que podem ser fabricadas coma peça de cartolina, em questão. Você deve se perguntar que forma a caixa deve ter para que isto seja possível. Eladeve ser alta, baixa, ou quase cúbica? Você pode até calcular alguns volumes bastando, para isto, lembrar que suasdimensões são x , 21 − 2x e 16 − 2x , para conseguir desenvolver uma visão intuitiva de quais são as dimensões
40
procuradas. Por exemplo:Se x = 2 teremos V = 2 × 17 × 12 = 408 cm3
Se x = 0,7 teremos V = 0,7 × 19,6 × 14,6 = 200, 312 cm3
Se x = 2,8 teremos V = 2,8 × 15,4 × 10,4 = 448 ,448 cm3
De forma genérica, o volume V da caixa na figura (ii) é dado por:
V = x16 − 2x21 − 2x = 2168x − 37x2 + 2x3 .
Esta equação exprime V como função de x. Passemos à determinação dos valores críticos de V:DxV = 2168 − 74x + 6x2 = 43x − 28x − 3.
Os valores críticos são, portanto, 283
e 3 . Como 283
está fora do domínio de x, resta o valor crítico 3 .
Aplicamos o Teste da derivada primeira e, como:V ′0 = 336 > 0 ⇒ V é crescente à esquerda de 3V ′4 = −64 < 0 ⇒ V é decrescente à direita de 3 ,concluímos que o máximo de V ocorre em x = 3.
Verifiquemos, finalmente, a existência de máximos e mínimos nos pontos extremos. Como o domínimo dafunção é o intervalo 0; 8 , e, como V = 0 se x = 0 ou x = 8, o máximo de V não ocorre em nenhum dos pontosextremos do domínio. Conseqüentemente, deve-se cortar de cada canto um quadrado de 3cm de lado para se obter acaixa de volume máximo.
LISTA DE EXERCÍCIOS 22Resolva os exercícios ímpares do número 1 ao 31 da página 336 do livro texto.
41