apostila matemática cálculo cefet capítulo 04 derivadas
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8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
1/50
Captulo 4
DERIVADA
4.1 Introduo
Neste captulo estabeleceremos a noo de derivada de uma funo. A derivada envolve avariao ou a mudana no comportamento de vrios fenmenos. Inicialmente apresentaremosa definio de reta tangente ao grfico de uma funo. Posteriormente, definiremos funesderivveis e derivada de uma funo num ponto, dando nfase ao seu significado geomtrico.
4.2 Reta Tangente
Seja:
uma funo definida num domnio
que pode ser um intervalo aberto ou uma reunio deintervalos abertos, ou ainda,
tal que para todo intervalo aberto
que contenha
, se tenha:
" $ %
' ( .Considere
0
'
2
$ $
e6 7
'
7 2
7 $ $
(9
' @
2 A 2 C D D D D D D
) pontos no grfico de
,0 %
'
6 7
;seja
G Ha reta secante que passa por
0e
6 H; seu coeficiente angular :
Q
H
'
H $
$
H
D
Fixemos o ponto0
e movamos6 H
sobre o grfico de
em direo a0
, at um ponto6 U
'
U
2
U
$ $ tal que 6 U %'
0 ; seja G U a reta secante que passa por 0 e 6 U ; seu coeficiente angular:
Q
U
'
U$
$
U
D
Suponha que os pontos 6 7 ( 9 ' @2 A 2 C D D D D D D
) vo se aproximando sucessivamente do ponto 0(mas sem atingir
0
), ao longo do grfico de
; repetindo o processo obtemosG
H2 G
U2 G X 2 D D D
, retassecantes de coeficientes angulares Q
H2
Q
U2
Q
X 2 D D D
, respectivamente. possvel provar, rigoro-samente, que quando os pontos
6 7vo se aproximando cada vez mais de
0, os Q
7respectivos,
variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos por Q a c .
141
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142 CAPTULO 4. DERIVADA
P
x x x x x
QQ
QQ
rr
r
r
f(x)
n1
23
n 3 2 10
n3
2
1
Figura 4.1:
Definio 4.1. A reta passando pelo ponto0
e tendo coeficiente angular Q a c , chamada reta tangenteao grfico de
no ponto
2
$ $
.
Se
Q ac
'
a a c
$
$
existe, fazendo a mudana
'
, temos:
Qa c
'
$
$
D
Como
um ponto arbitrrio, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente aogrfico de
para qualquer ponto 2
$ $
:
Q a
'
$
$
Assim, Q a s depende
.
Definio 4.2. Se
for contnua em
, ento, a equao da reta tangente ao grfico de
no ponto
2
$ $
:
$
'
Q a c
$
se o limite existe,
Exemplo 4.1.
[1] Determine a equao da reta tangente ao grfico de
$
'
U , no ponto
@
2 C $
.
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144 CAPTULO 4. DERIVADA
curva passando por0
e6
:
Q
'
$
@
A
@
A
'
A
D
1/2 0
P
Q
x
Figura 4.4:
Novamente do desenho, intuitivo que se 6 aproxima-se de 0
aproxima-se de@
A
os coe-
ficientes angulares de ambas as retas ficaro iguais; logo:
Q
'
a c
Q
'
D
A equao da reta tangente ao grfico de
, no ponto
H
U
2 A $
A
'
H
U
$
ou, equivalen-temente,
' .
0.5
4
Figura 4.5: Reta tangente a ' Ha , no ponto
H
U
2 A $
.
[3] Determine a equao da reta tangente ao grfico de
$
'
X
@ , no ponto
@
2
@
$
.Utilizemos agora diretamente a definio:
@
$
@
$
'
U
C
A $
'
U
C A $
'
A D
-
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4.3. FUNES DERIVVEIS 145
Logo QH
'
A. A equao da reta tangente ao grfico de
, no ponto
@
2
@
$
A
'
@ .
2 1 1 2
1
2
3
Figura 4.6:
Da definio segue que a equao da reta normal ao grfico de
no ponto 2
$ $ :
$
'
@
Q a c
2
se Q a c%
'
4.3 Funes Derivveis
Definio 4.3. Seja
uma funo definida num domnio
que pode ser um intervalo abertoou uma reunio de intervalos abertos ou ainda,
tal que para todo intervalo aberto
que contenha
,se tenha:
" $ %
' ( .
derivvel ou diferencivel no ponto
quando existe o seguintelimite:
$
'
a a c
$
$
Fazendo a mudana
'
, temos:
$
'
$
$
D
$
chamada a derivada de
no ponto
. Como
um ponto arbitrrio, podemoscalcular a derivada de
para qualquer ponto
Q
$
;
$
'
$
$
Assim
funo de
e
$
.
Definio 4.4. Uma funo
derivvel (ou diferencivel) em
, se derivvel ou diferencivelem cada ponto
.
Outras notaes para a derivada de ' $
so:
ou
a
.
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146 CAPTULO 4. DERIVADA
Exemplo 4.2.
[1] Calcule
@
$
e
A $
, se
$
'
U .
$
'
$
$
'
$
U
U
'
A
$
'
A
D
Logo,
@
$
'
@
A
e
A $
' .
[2] Calcule
@
A
$
se
$
' @
U .
$
'
@
$
U
@
U
'
A
@
$
U
@
U
'
@
U
D
Logo,
@
A
$
'
C
C
.
[3] Calcule
@
$
se
$
'
U .
$
'
$
$
'
A
$
'
A
$
'
A
D
Logo,
@
$
'
A.
[4] Calcule
@
A
$se
$
'
@
.
$
'
$
$
'
@
@
'
@
U
'
@
U
D
Logo,
@
A
$
'
.
Interpretao Geomtrica
A funo
" $
, definida por
$
'
$
$
2
representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao grfico de
passandopelos pontos
2
$ $
e
2
$ $
. Logo, quando
derivvel no ponto
, a reta de coefici-
ente angular
$
e passando pelo ponto
2
$ $
a reta tangente ao grfico de
no ponto
2
$ $
. Se
admite derivada no ponto
, ento, a equao da reta tangente ao grfico de
no ponto
2
$ $
:
$
'
$
$
A equao da reta normal ao grfico de
no ponto 2
$ $:
$
'
@
$
$ 2
se
$ %
'
-
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4.3. FUNES DERIVVEIS 147
Figura 4.7: As retas tangente e normal ao grfico de '
$
.
Exemplo 4.3.
[1] Determine as equaes da reta tangente e da reta normal ao grfico de
$
'
U
@
, noponto de abscissa
' @ .
Se
' @ ento
$
'
A
; logo, a reta tangente passa pelo ponto
@
2 A $
e seu coeficiente angular
@
$
. Temos:
$
'
$
$
'
$
U
@
U
@
$
'
A
D
@
$
'
Ae as respectivas equaes so:
A
' eA
' .
1 1
1
2
3
Figura 4.8: As retas tangente e normal ao grfico de '
$
.
[2] Determine a equao da reta tangente ao grfico de
$
'
que seja paralela retaA
@ ' .
Para determinar a equao de uma reta, necessitamos de um ponto1 2
$
e do coeficienteangular
$
. Neste problema, temos que determinar um ponto. SejamG
a reta tangente,G
a reta dada, Q e Q os correspondentes coeficientes angulares; comoG
eG
so paralelas,ento Q ' Q ; mas Q '
A
e Q '
$
, onde
a abscissa do ponto procurado; como
$
'
@
A
, resolvendo a equao
$
'
A
, obtemos
'
@
@
e
@
@
$
'
@
; a equao @
@ ' .
-
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148 CAPTULO 4. DERIVADA
1 2
1
Figura 4.9: Reta tangente ao grfico de
$
'
paralela reta
A
@ ' .
[3] Determine as equaes das retas tangentes ao grfico de
$
'
X
C
@ que sejam perpen-
diculares reta
' .
SejamG
a reta tangente,G
a reta dada, Q e Q os correspondentes coeficientes angulares; comoG
eG
so perpendiculares, ento Q Q '
@ ; mas Q '
@ e Q '
$
, onde
a abscissa doponto procurado; resolvendo a equao
$
' @ , temos
$
'
U
e
' @ ; as equaesso:
C
C
' eC
C
@ ' .
Figura 4.10:
Teorema 4.1. Se
derivvel em
ento f contnua em
.
Para a prova veja o apndice.
Exemplo 4.4.
Seja
$
'
.
contnua em todo
; em particular em
' . Mas a derivada de
em
no existe; de fato:
$
'
a
$
$
'
a
D
Calculemos os limites laterais:
-
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4.3. FUNES DERIVVEIS 149
a
'
a
' @
a
'
a
'
@
D
Logo,
$
no existe. Para
"
,
$
existe e:
$
'
@ se
@ se
D
Do teorema segue que no existe a derivada de
no ponto
se
descontnua no ponto
.Tambm no existe a derivada de
no ponto
nos eguintes casos:
i) Se existe "quina"no grfico da funo contnua no ponto de abscissa , como no ponto '
do exemplo anterior.
ii) Se
contnua em
e se possui reta tangente vertical passando pelo ponto de abscissa
.Neste caso,
a a c
$
' .
Figura 4.11: Funes no derivveis.
Exemplo 4.5.
[1] Seja
$
'
U
@
$
se
%
'
se
'
D
$
'
a
$
$
'
a
@
$ $
' $
logo, a derivada em existe; ento,
contnua em .
[2]
$
' &
contnua em todo
e no diferencivel em
' . De fato:
$
'
a
$
$
'
a
@
&
U
'
D
-
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150 CAPTULO 4. DERIVADA
-2 -1 1 2
-1
1
Figura 4.12: Grfico do exemplo [2].
4.4 Regras de Derivao
[1] Se $
'
, ento
$
'
.[2] Se
$
'
Q
$
Q
2
e Q%
' , ento
$
'
Q .
De fato, a funo contnua e seu grfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto;logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente,
$
$
'
Q
'
Q
D
[3] Se $
'
; , ento
$
'
H .
De fato:
$
$
'
H
H
U
U
D D D D D
U
$ $
e:
$
'
$
$
'
$
'
H
H
U
U
D D D D D
H
'
H
D
Proposio 4.1. Sejam
'
$
e
'
$
funes derivveis; ento:
1. Regra da soma: As funes so derivveis e
$
$
'
$
$
2. Regra do produto: A funo
derivvel e
$
$
'
$ $ $
$
3. Regra do quociente: A funo
derivvel, e
!
"
$
'
$ $
$
$
$ $
U
se
$ %
'
-
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4.4. REGRAS DE DERIVAO 151
Veja as provas no apndice.
Da regra do produto temos: $ $
'
$
, para toda constante
. Da regra do quociente,
temos: se
$
'
2
%
'
, com
, ento
$
'
H
.
Exemplo 4.6.
[1] Calcule
$
, sendo
$
'
C
@
;
%
' .
Note que:
$
'
H
C
, temos:
$
'
H
C
$
'
U
@
A
D
[2] Calcule
$
sendo
$
'
X
A
@
$
A
U
C $
.
Aplicando diretamente as regras:
$
'
X
A
@
$ $
A
U
C $
X
A
@
$
A
U
C $ $
e
$
' @
A
@
U
.
[3] Calcule
$
, sendo
$
'
U
X
@
.
$
'
U
X
@
'
U
$
X
@
$
U
$
X
@
$
X
@
$
U
$
logo,
$
'
A
X
A
@
X
@
$
U
'
@
U
U
@
$
U
.
[4] Determine as equaes das retas tangentes aos grficos de:
(a)
$
'
U
C
que passa pelo ponto
C 2
$
.
(b)
$
'
X
, paralelas reta
A
' .
(a) O ponto dado no pertence ao grfico de
. Por outro lado a equao da reta tangente aogrfico de
no ponto 2
$ $
$
'
$
$
$, onde
$
'
A
Ce
$
'
U
C
. O ponto
C 2
$
pertence reta tangente, logo, obtemos:
'
C $
'
U
C A
CI $ C
$
'
U
D
Resolvendo a equao, obtemos:
' @ e
' . Ento, as equaes obtidas so
@ '
e
A
' .
(b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto
$
'
C
U
@ e deve ser igual aocoeficiente angular da reta dada; ento
C
U
@ '
A
; logo,
' @ . As equaes das retastangentes so
A
A
' e
A
A
' .
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152 CAPTULO 4. DERIVADA
3
4
1 1
Figura 4.13: Grficos do exemplo [4].
4.5 Derivada da Funo Composta
Suponha que desejamos derivar a seguinte expresso:
$
'
@
$
H com as regrasdadas. S temos a possibilidade de desenvolver o trinmio e aplicar sucessivamente a regrada soma ou escrever como produto de @ polinmios e usar a regra do produto. Comoambas as possibilidades so tediosas, vamos tentar reescrever esta funo. Seja
$
'
H
e
$
'
@ ; claro que
$
'
$
$
. Logo, se soubermos derivar a compostade funes o problema estar resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma funocomposta
em termos das derivadas de
e
, que so mais simples.
Teorema 4.2. Regra da Cadeia
Sejam
e funes, tais que
esteja bem definida. Se
derivvel em
e derivvel em
$
,
ento
derivvel em
e:
$
$
'
$ $
$
Outra maneira de escrever o ltimo pargrafo : se ' $
e
'
$, nas hipteses do
teorema, temos que:
'
Para a prova, veja o apndice.
Aplicao: Seja $
'
$ $ , onde
. Ento:
$
'
$ $
H
$.
Exemplo 4.7.
[1] Calcule
$
se $
'
@
$
H .
Neste caso $
'
@ ; logo,
$
'
e ' @ ; ento:
$
'
$ $
H
$
' @
$ $
$
' @
@
$
$ D
[2] Calcule
se '
$
'
X
@ e
'
$
'
U
@ .
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4.5. DERIVADA DA FUNO COMPOSTA 153
Pela regra da cadeia:
'
'
A
C
U
@
$
'
U
@
$
U
A
D
[3] Seja uma funo derivvel e
$
'
U
@
$
. Calcule
@
$
se
A $
' .
Observemos que $
'
$ $, onde
$
'
U
@ ; pela regra da cadeia:
$
'
$ $
$
, e
$
'
A
. Logo,
$
'
U
@
$ A
. Calculando a ltima expressoem ' @ , temos que:
@
$
'
A
A $
' @ .
[4] Se '
X
U
C
e
'
A
U
@ , calcule
.
Pela regra da cadeia:
'
'
C
U
A
$
'
C
A
U
@
$
U
A
A
U
@
$ $
'
@
A
X
$
$
ou, fazemos a composta das funes:
'
X
U
C
'
A
U
@
$
X
A
U
@
$
U
C
e
'
@
A
X
$ D
[5] Determine
@
$
se
$
'
$ $ $
,
@
$
' @ e
@
$
'
A
.
Pela regra da Cadeia:
$
'
$
$ $
$ $ $
; logo,
@
$
'
.
Teorema 4.3. Funo Inversa
Seja
uma funo definida num intervalo aberto
. Se
derivvel em
e
$ %
' para todo
,ento
possui inversa
H
derivvel e:
H
$
$
'
@
H
$ $
Para a prova da primeira parte veja a bibliografia avanada. A frmula pode ser obtida dire-tamente da regra da cadeia. De fato,
H
$
$
'
para todo
. Derivando ambos os
lados, temos que:
H
$
$
'
H
$ $
H
$
$
' @
D
Exemplo 4.8.
[1] Seja
$
'
U
2
; logo sua inversa
H
$
'
e
$
'
A
%
'
se %'
; logo,
H
$ $
'
A
. Aplicando o teorema:
H
$
$
'
@
A
2
%
'
D
[2] Seja
$
'
X ; logo sua inversa
H
$
'&
e
$
'
C
U
%
' se %
' ;
H
$ $
'
C
&
U . Aplicando o teorema:
H
$
$
'
@
C
&
U
2
%
'
D
-
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154 CAPTULO 4. DERIVADA
[3] Se
, ento:
$
'
H
, para todos os valores de
tais que
seja definida.
De fato, seja
$
'
; para par,
e para mpar,
no tem restries; a inversa de
H
$
'
e
$
'
H
;
$ %
'
se %'
. Aplicando o teorema, temos:
'
H
$ $
'
@
H
$ $
'
H
D
Em geral, pela regra da cadeia, se
'
$
uma funo derivvel e
$
'
$ $
,
;ento,
$
'
$ $
H
$
.
[4] Calcule
$, se
$
'
U
@ . Escrevemos
'
, onde $
'
e
$
'
U
@ ;
logo,
$
'
@
A
e
$
'
A
; ento:
$
'
$ $
$
'
U
@
.
[5] Determine
$
, se
$
'
$
$
@ ,
$
' e
$
' @ . Pela regra da cadeia:
$
'
$
$ $
@
$ $
X
$
logo,
$
' @ .
4.6 Derivadas das Funes Elementares
4.6.1 Funo Exponencial
Seja
tal que
%
' @ e
$
'
a
Ento,
$
'
$
a
De fato,
$
'
a
a
'
a
@
'
$
a
. Em particular, se
'
, temos :
a
$
'
a
Seja
'
$
uma funo derivvel e considere a funo:
$
'
a
Ento:
$
'
$
a
$
De fato,
a
'
a
; usando a regra da cadeia para
$
'
a
e
$
'
$
$
, temosque
$
'
$
$
; ento
$
'
a
e
$ $
'
a
'
a
e
$
'
$
$
; logo,em particular,
a
$
'
a
$
O crescimento ou decrescimento exponencial, expresso pela funo
6 $
'
6
#
2
%
'
$
-
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4.6. DERIVADAS DAS FUNES ELEMENTARES 155
tem a propriedade6
$
'
6 $
, isto , a sua derivada proporcional funo. Alis, isto o que caracteriza a funo exponencial. Nos desenhos, a funo exponencial em azul e suaderivada em vermelho; para @ e @ , respectivamente:
Figura 4.14:
Exemplo 4.9.
[1] Seja ' a
.
Fazendo
$
'
, temos
'
a
$
'
a
$
'
U
a .
[2] Seja ' HU
.
Fazendo $
'
H
a , temos
'
A $
H
U
$
'
A $
H
U
H
a
.
[3] Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo ' a
no ponto de abscissa @ .
Derivando
'
A
a
;
@
$
'
A
H
e
@
$
'
H
; logo, a equao da reta tangentepassando pelo ponto
@
2
@
$ $
, A
H
C
H
' .
4.6.2 Funo Logartmica
Seja
tal que %
' @ e $
'
$. Usando o teorema da funo inversa para
H
'
e
$
'
a
, temos que:
$
'
$
De fato,
$
'
H
a
'
H
a
'
a
. Em particular, se
'
:
$ $
'
@
Usemos a regra da cadeia para calcular a derivada de
$
'
$ $
onde
$
umafuno derivvel. Em tal caso:
$
'
$
$
$
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
16/50
156 CAPTULO 4. DERIVADA
Em particular, se
'
:
$ $ $
'
$
$
1 1
Figura 4.15: Funo logartmica em azul e sua derivada em vermelho; para
@ e
@ ,respectivamente.
4.6.3 Aplicaes
Para todo
, se
$
'
,
; ento,
$
'
$
'
H . De fato, seja '
$
.Aplicando logaritmo expresso '
$
'
: temos, $
'
$ $
'
$. Derivando,
temos
$ $
'
$
$
'
$
ou seja,
'
; logo,
'
'
'
H
D
Em geral, se
$
'
$ $
, onde
$
e
, temos:
$
'
$ $
H
$ D
Seja '
$ $
a
, onde
$
. Aplicando logaritmo expresso '
$ $
a
; temos que,
$
'
$
$ $
. Derivando, temos:
'
$
$ $
$ $
$
2 e
$
'
$
$
$ $
$ $
$
D
Ento, se ' $ $
a
:
'
$ $
a
$
$ $
$
$
$
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
17/50
4.6. DERIVADAS DAS FUNES ELEMENTARES 157
Exemplo 4.10.
[1] Calcule a derivada de 'C
A
X ,
.
Aqui
'
H
U
,
'
e
'
X
, respectivamente; logo:
'
X
U
X
U
.
[2] Calcule a derivada de '
a
U
@
$
.
Aplicando logaritmo funo e usando as propriedades da funo logartmica, temos:
$
'
$
a
$
U
@
$
'
$
A
U
@
$ D
Derivando:
'
H
U
a
H
U
a
a
a
a
H
,logo:
'
$
@
A
@
A
U
@
'
a
U
@
$
@
A
@
A
U
@
D
[3] Calcule a derivada de '
a
2
.
Aplicando logaritmo expresso e usando as propriedades da funo logartmica, temos:
$
'
$. Derivando:
'
$
@ e,
'
$
$
@
$
'
$
@
$
a
D
[4] Calcule a derivada de ' a
2
.
Aplicando logaritmo expresso e usando as propriedades da funo logartmica, temos:
$
'
$
. Derivando:
'
$
A
@
, logo:
'
$
$
A
@
'
$ A
A
a
D
[5] Determine a equao da reta tangente ao grfico de
$
'
a
, (
) no ponto de abscissa
' @ .
Aplicando logaritmo a ambos os lados de '
a
, temos que:
$
'
U
$
; derivando,obtemos
'
A
$ $
'
a
H
A
$
@
$
;
@
$
' @ e a equao da reta tangente
' .
1
1
Figura 4.16: Grfico de
$
'
a
.
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
18/50
158 CAPTULO 4. DERIVADA
[6] Seja
$
'
$
. Sabendo que
@
$
' @ , verifique que:
@
$
'
.
@
$
'
@
$
@
$
'
@
$
'
@
$
$
'
@
$
$
ento, @ '
@
$
; logo:
@
$
'
.
Tabela
Sejam $
, $
funes diferenciveis e uma constante. Se:
[1] ' , ento
' .
[2] '
, ento
' @ .
[3]
'
$
, ento
'
$
.
[4] ' $
$, ento
'
$
$.
[5] '
$
$
, ento
'
$
$
$
$
.
[6] '
$
$
2 $ %
' , ento
'
$
$
$
$
$ $
U
.
[7] '
a
, ento
'
a
$
$.
[8] '
a
, ento
'
$
a
[9] '
$ $
, ento
'
$
$
$
.
[10] '
$ $
, ento
'
$
$
.
[11] '
$ $
,
, ento
'
$ $
H
$
.
[12] Seja '
$ $
a
, onde
$
, ento
'
$ $
a
$
$ $
$
$
$
D
4.6.4 Funes Trigonomtricas
Se '
$
, ento
$
$
'
A
$
$
, onde
'
U
. Logo:
$
'
$
$
'
$
$
'
$
$
'
$
onde, para calcular o ltimo limite usamos um limite fundamental. Se '
$
, sabendo que
$
'
U
$
e utilizando a regra da cadeia com
$
'
A
, temos:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
19/50
4.6. DERIVADAS DAS FUNES ELEMENTARES 159
'
$ $
$
'
A
'
1 $ D
Se
'
$ , sabendo que $'
$
$
e utilizando a regra do quociente, temos:
'
U
$
U
$
U
$
'
U
$ D
Se '
$
, ento
'
$
.
Se '
$, ento
'
$
Se ' $, ento
'
U
$
Se '
$
, ento
'
U
$
Se ' $
, ento
'
$
$
Se '
$, ento
'
$
$.
Tabela
Sejam
$
,
$
funes diferenciveis e uma constante. Se:
[13] Se '
$ $
, ento
'
$ $
$
.
[14] Se '
$ $
, ento
'
$ $
$.
[15] Se '
$ $
, ento
'
U
$ $
$
.
[16] Se '
$ $
, ento
'
U
$ $
$
.
[17] Se ' $ $
, ento
'
$ $
$ $
$.
[18] Se
'
$ $
, ento
'
$ $
$ $
$
.
Exemplo 4.11.
[1] Se '
$,
.
Fazendo $
'
, temos
$
'
; utilizando a tabela, temos que
'
$
.
Para as outras funes trigonomtricas, o procedimento anlogo.
[2] Seja '
$, onde
2
".
Fazendo '
$
'
$ $
, derivando como uma potncia e usando o exerccioanterior, temos:
'
H
$
$ D
Para as outras funes trigonomtricas, o procedimento anlogo.
[3] Seja '
$ $
.
Fazendo $
'
$, temos
$
'
$; logo, temos que
'
$
U
$ $
.
[4] Determine as retas tangentes ao grfico de
'
$
que tenham o coeficiente angularigual a H
U
.
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
20/50
160 CAPTULO 4. DERIVADA
Sabemos que se $
'
$, ento
$
'
$; logo, devemos resolver a equao
$
'
@
A
, ou seja,
$
'
H
U
, que tem solues
'
C
A
, onde
. As equaes so:
C
@
$
C
C
'
2 se '
C
A
2
e
C
@
$
C
C
'
2
se
'
C
A
2
D
-3 3
1
Figura 4.17: Desenho para ' .
[5] Determine os pontos onde o grfico da funo ' A
$possui reta tangente hori-
zontal.
Devemos resolver a equao
' ou, equivalentamente,
$
'
@
A
; logo, os pontos tem
abscissas
'
A
C
A
,
.
Figura 4.18: Desenho para
'
.
4.6.5 Funes Trigonomtricas Inversas
Seja ' G
$
. A funo arco seno, definida para
@
2
@ a funo inversa da funo
$
'
$
, se
A
A
.
$
'
$ %
' se
A
2
A
$
. Usando a frmula do
teorema da funo inversa, temos: se '
H
$
'
G
$, ou seja,
$
'
, ento:
H
$
$
'
@
H
$ $
'
@
G
$ $
'
@
$
D
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
21/50
4.6. DERIVADAS DAS FUNES ELEMENTARES 161
Mas,
$
'
@
U
$
, pois
A
2
A
$
. Ento:
'
@
@
U
$
'
@
@
U
2
se
@
2
@
$ D
Seja ' G
$
. Como G
$
'
A
G
$
, temos:
'
G
$ $
; logo,
'
@
@
U
2
se
@
2
@
$ D
Tabela
Sejam
$
,
$
funes diferenciveis e uma constante. Se:
[19] Se
'
G
$ $
, ento
'
$
@
U
$ .
[20] Se ' G
$ $
, ento
'
$
@
U
$
.
[21] Se ' G
$ $
, ento
'
$
@
U
$
.
[22] Se ' G
$ $
, ento
'
$
@
U
$
.
[23] Se
'
G
$ $ , ento
'
$
$
U
$
@
2
$
@
.
[24] Se ' G
$ $
, ento
'
$
$
U
$
@
2 $
@ .
4.6.6 Funes Hiperblicas
As derivadas das funes hiperblicas so calculadas diretamente, pois todas elas envolvemexponenciais. Por exemplo, seja '
$
'
H
U
a
a
$
; derivando, temos:
'
$ D
Tabela
Seja
$
derivvel. Usando a regra da cadeia, temos:
[25] Se '
$ $
, ento
'
$ $
$
.
[26] Se '
$ $
, ento
'
$ $
$
.
[27] Se '
$ $
, ento
'
U
$ $
$
.
[28] Se '
$ $
, ento
'
U
$ $
$
.
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
22/50
162 CAPTULO 4. DERIVADA
[29] Se ' $ $
, ento
'
$ $
$ $
$.
[30] Se '
$ $
, ento
'
$ $
$ $
$
.
Exemplo 4.12.
Calcule as derivadas
, sendo:
[1] '
a
.
Fazendo
$
'
$
, temos '
a
; usando a tabela:
'
$
a
e
'
U
$
a
.
[2] '
$ $.
Fazendo $
'
$, temos '
$ $; logo:
'
$
$
'
@
$
.
[3] '
@
. Ento
'
@
@
.
Fazendo
$
'
@
, temos que
@
'
$ $
; como
@
'
@
U
@
, temos
'
@
@
@
.
[4] '
$ $
.
Fazendo
$
'
$
, temos '
$ $
; usando a tabela:
'
$
$ $
'
$
$ $ D
[5] ' G
C
U
$
.
Fazendo $
'
C
U
, temos
'
G
$ $
; usando a tabela:
'
$
@
U
$
'
@
D
[6] ' G
H
a
$
.
Fazendo
$
'
H
a , temos ' G
$ $
; usando a tabela:
'
$
@
U
$
'
@
@
U
D
[7] '
$ $
.
Fazendo $'
$ , temos
'
$ $ ; usando a tabela:
'
$
$ $
'
$ $
D
[8] '
U
$ $
.
Fazendo
$
'
U
$
, temos '
$ $
; usando a tabela:
'
$
$
'
A
1 $ D
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
23/50
4.6. DERIVADAS DAS FUNES ELEMENTARES 163
[9] '
@
$ $.
Fazendo $
'
a
H
a
$
, temos
'
$ $
; usando a tabela:
'
$
$
'
@
U
@
$ D
[10] ' G
$ $.
Fazendo $
'
$, temos ' G
$ $; usando a tabela:
'
H
a
a
a
H
se
H
a
a
a
H
se
H
D
[11] Calcule a rea do tringulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta tangente
curva '@
no ponto
'
A
.
A reta tangente curva '
$
'
H no ponto
'
A:
@
A
'
A $
A $. Como
A $
'
@
, a equao da reta tangente :
' . Se
' , ento ' @ ; se ' ,
ento '
. A altura do tringulo igual a@
e a base igual a
. Logo, a rea do tringulo :
'
A
D
D
1
1
Figura 4.19:
[12] Uma partcula move-se ao longo da curva ' @
A
U . Quando
'
C
a partcula escapapela tangente curva. Determine a equao da reta de escape.
A equao da reta tangente curva no ponto de abscissaC
C $
'
C $
C $
, onde
$
' @
A
U ; logo,
$
'
e
C $
'
@
A
; a equao :
@
A
@
'
D
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
24/50
164 CAPTULO 4. DERIVADA
3
Figura 4.20:
4.7 Derivao Implcita
Seja 2
$
'
uma equao nas variveis
e
.Definio 4.5. A funo '
$
definida implicitamente pela equao 2
$
' , quando
2
$ $
'
D
Em outras palavras, quando '
$
satisfaz equao
2
$
' .
Exemplo 4.13.
[1] Seja a equao
2
$
' , onde
2
$
'
X
@ ; a funo '
$
' @
X definidaimplicitamente pela equao
2
$
' , pois
2
$ $
'
X
@
X
$
@ ' .
[2] Seja a equao
2
$
'
, onde
2
$
'
@
; a funo
'
$
'
@
definidaimplicitamente pela equao
2
$
' , pois
2
$ $
'
@
$
@ ' .
[3] Seja a equao
2
$
' , onde
2
$
'
U
U
A
; esta equao define implicitamenteuma famlia de funes; por exemplo
$
'
A
U ,
$
'
A
U ; em geral,
'
$
'
A
U se
A
U se
2
para cada
2
$.
[4] Seja 2
$
' , onde 2
$
'
U
C
; ento, as funes
$
'
C
C
A
so
definidas implicitamente pela equao 2
$
' , pois:
2
$ $
'
2
C
C
A
$
'
D
Observemos que nada garante que uma funo definida implicitamente seja contnua, deri-vvel, etc. Na verdade, nem sempre uma equao
2
$
' define implicitamente algumafuno. Por exemplo, considere a seguinte equao:
X
X
U
$
$
$
'
D
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
25/50
4.7. DERIVAO IMPLCITA 165
4.7.1 Clculo da Derivada de uma Funo Implcita
Podemos calcular a derivada de uma funo definida implicitamente sem necessidade de expli-cit-la. Para isto usaremos novamente a regra da cadeia. Suponha que
2
$
' define im-plicitamente uma funo derivvel '
$
. Atravs de exemplos mostraremos que podemoscalcular
sem conhecer .
Exemplo 4.14.
Seja '
$
uma funo derivvel definida implicitamente pela equao
U
U
' @ .
[1] Calcule
.
[2] Verifique que a funo
$
'
@
U definida implicitamente por
U
U
' @ e calcule
.
Como '
$
, temos
U
$ $
U
' @ . Derivando em relao a
ambos os lados da igualdade
e usando a regra da cadeia, obtemos:
U
$
$ $
U
$
'
@
$
'
A
A
$
$
' '
$
$
'
D
Ento,
$
'
$
'
. Logo,
'
D
imediato que a funo
$
' @
U definida implicitamente pela equao
U
U
' @ e
$
'
@
U
'
.
Mtodo de Clculo
Dada uma equao que define implicitamente como uma funo derivvel de
, calcula-se
do seguinte modo:
Deriva-se ambos os lados da equao em relao a
, termo a termo. Ao faz -lo, tenha emmente que uma funo de
e use a regra da cadeia, quando necessrio, para derivar as
expresses nas quais figure .
O resultado ser uma equao onde figura no somente
e , mas tambm
. Expresse
emfuno de
e . Tal processo chamado explicitar
.
Exemplo 4.15.
Calcule
se '
$
uma funo derivvel, definida implicitamente pelas equaes dadas:
[1]
X
C
U
X
'
@ .
Note que
X
C
U
X
'
@ igual a
X
C
U
$ $
$ $
X
'
@ ; derivandoambos os lados da equao, obtemos:
X
$
C
U
$ $
$
$ $
X
$
'
@
$
; ento,
C
U
$ $
@
A
U
$
$ $
X
C
$
$ $
U
'
D
Logo,C
U
@
A
U
X
C
U
' . Expressando
em funo de
e :
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
26/50
166 CAPTULO 4. DERIVADA
'
A
U
A
U
@
U
$
D
[2] U $ ' $ . Derivando ambos os lados A
$
$
'
$
$
. Expressando
em funo de
e :
'
$
A
$
$
$
D
[3]
$
'
U
$
. Derivando ambos os lados
@
$
$
'
A
$
U
$
.Expressando
em funo de
e :
'
U
$
$
A
$
$
D
O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a funo determinada pelaforma implcita derivvel. Mas, para os exemplos e exerccios, sempre consideraremos estaexigncia satisfeita.
[4] Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo implcita definida por:
U
'
U
A $ 2
no ponto
@
A
2
@
A
C
A
.
Derivando a equao implicitamente:
A
'
C
$ D
Expressando
em funo de
e :
'
C
U
A
; lembrando que
'
H
U
,
'
$
e
@
A
C
A
'
@
A
'
, temos que
@
A
'
A
o coeficiente angular da reta tangente no
ponto
@
A
2
@
A
C
A
e a equao desta reta
@
@ ' .
2 1
1
1
Figura 4.21:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
27/50
4.7. DERIVAO IMPLCITA 167
[5] Determine a equao da reta tangente e a equao da reta normal ao grfico da funo
implcita definida por:
U
U
$
U
@
$ $
'
U no ponto @
A
2
@
A
.
Derivando a equao implicitamente
A
A
U
A
U
C
$
'
U
X
C
U
C
U
$ D
Lembrando que
'
@
A
,
'
$e '
@
A
,temos que
@
A
$
'
A o coeficiente angular da reta
tangente no ponto @
A
2
@
A
e a equao desta reta A
@ ' . A equao da reta normal
A
C
' .
1 1
1
1
Figura 4.22:
[6] Determine a equao da reta tangente e a equao da reta normal ao grfico da funoimplcita definida por:
U
U
U
U
' @
2
em qualquer ponto; (
e
constantes no nulas).
Derivando a equao implicitamente:
A
U
A
U
'
D
Expressando
em funo de
e :
'
U
U
; lembrando que
'
,
'
$
e
'
$
,
se %
' , temos:
$
'
U
U
, que o coeficiente angular da reta tangente no ponto 2
$
e a equao desta reta :
'
U
U
$
. Ou, equivalentemente,
U
U
' @
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
28/50
168 CAPTULO 4. DERIVADA
A equao da reta normal :
'
U
U
$
se %
' .
Estas so as equaes da reta tangente e da reta normal num ponto qualquer1 2
$
da elipse.Em particular se
'
'
G, temos todas as retas tangentes e normais num ponto qualquer
2
$
de um crculo de raioG
.
Figura 4.23: A elipse e suas tangentes.
[7] Determine a equao da reta tangente e a equao da reta normal ao grfico da funoimplcita definida por:
U
U
U
U
' @
2
em qualquer ponto; (
e
so constantes no nulas).
Derivando a equao implicitamente:
A
U
A
U
'
D
Explicitando
:
'
U
U
e lembrando que
'
,
'
$
e
'
$
, se
%
' , te-
mos
$
'
U
U
, que o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo no ponto
2
$e a equao desta reta :
U
U
'
@
A equao da reta normal :
'
U
U
$
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
29/50
4.7. DERIVAO IMPLCITA 169
se %
' . Estas so as equaes da reta tangente e da reta normal a uma hiprbole num ponto
2
$
arbitrrio.
Figura 4.24: A hiprbole e suas tangentes.
[8] Ache a equao da reta tangente ao grfico das funes implcitas definidas por:
i)
X
X
'
, no ponto
C 2 C $
. (Folium de Descartes).
ii)A
U
U
$
U
'
A
U
U
$
, no ponto
C 2
@
$
. (Lemniscata de Bernoulli).
i) Derivando a equao implicitamente:
'
A
U
U
A
D
No ponto C 2 C $ ,
'
@
e a equao da reta tangente
'
.
ii) Derivando a equao implicitamente:
'
A
U
U
$
A
U
U
$
D
No ponto
C 2
@
$
,
'
@
C
e a equao da reta tangente @C
' . Desenhos do
Folium de Descartes e da Lemniscata de Bernoulli, repectivamente:
2 2 4 6
2
2
4
6
2 2 4
1
1
2
Figura 4.25: Folium de Descartes e Lemniscata de Bernoulli, respectivamente.
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
30/50
170 CAPTULO 4. DERIVADA
4.8 Famlias de Curvas Ortogonais
As famlias de curvas ortogonais so muito utilizadas em diferentes reas. Na Fsica, por exem-
plo, as linhas de fora de um campo eletrosttico so ortogonais s linhas de potencial constantee as curvas isotrmicas (de igual temperatura) so ortogonais ao fluxo do calor.
Definio 4.6. Duas curvas so ditas ortogonais num ponto de interseo se suas retas tangentes nesseponto so perpendiculares. Uma famlia de curvas ortogonal a outra famlia de curvas se cada curva deuma famlia ortogonal a todas as curvas da outra famlia.
Exemplo 4.16.
[1] A famlia de parbolas U '
ortogonal famlia de elipsesA
U
U
'
U .
Derivamos as equaes implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam Q H oscoeficientes angulares correspondentes famlia de parbolas e Q
Uos coeficientes angulares
correspondentes famlia de elipses. Logo,
Q
H
'
A
'
A
e QU
'
A
e QH
Q
U
'
@ .
Figura 4.26:
[2] A famlia de crculos
U
U
'
ortogonal famlia de crculos
U
U
'
.Derivamos as equaes implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam Q
Hos
coeficientes angulares correspondentes famlia
U
U
'
e QU
os coeficientes angularescorrespondentes famlia
U
U
'
. Logo,
Q
H
'
A
A
'
U
U
A
e QU
'
A
A
'
A
U
U
e QH
Q
U
'
@ .
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
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4.9. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 171
Figura 4.27:
4.9 Derivadas de Ordem Superior
Definio 4.7. Seja
uma funo derivvel. Se a derivada
uma funo derivvel, ento sua deri-vada chamada derivada segunda de
e denotada por
$
'
. Se
uma funo derivvel, entosua derivada chamada derivada terceira de
e denotada por
$
'
. Em geral, se a derivada deordem
@
$
de
uma funo derivvel, sua derivada chamada derivada -sima de
e denotadapor
H
$
'
.
Notaes:
'
,
'
H ,
'
U ,
'
X , etc.
Exemplo 4.17.
[1] Sendo
$
'
A
X
@ , calcule
.
$
'
X
U
@
U
$
' @
A
U
@
A
X
$
'
A
@
A
$
'
A
$
'
D
Logo,
$
' , se
.
24
Figura 4.28: Grficos de '
$
(verde) e suas derivadas.
Em geral, se
uma funo polinomial de grau , ento,
$
'
e
$
' para
.
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
32/50
172 CAPTULO 4. DERIVADA
[2] Sendo
$
'
@
, calcule
.
$
'
U
U
$
'
A
X
X
$
'
$
'
A
$
'
@
A
$
'
A
.
Logo,
$
'
@
$
a
, para todo
.
[3] Sendo
$
'
, calcule
.
$
'
U
U
$
'
X
$
'
$
'
H
$
'
XU
$
'
Logo,
$
'
A
, para todo
.
[4] Sendo
$
'
$
, calcule
.
$
'
$
'
U
$
U
$
'
$
'
U
U
$
X
$
'
$
'
X
U
$
$
'
$
'
U
$
$
'
$
'
U
$
$
'
$
'
U
$ D
Logo,
$
'
A
, para todo
.
[5] Seja
'
U
U
$ , 2
2
. Verifique que X
X
U
'
.
Derivando:
'
A
$ A
@ ,
'
A
C
A
$e
X
'
A
; ento:
X
A
U
A
C
A
$ $
A
$ A
@
$
'
D
[6] Se ' a
$satisfaz equao
C
X
A
'
a
, determine o valor dasconstantes
e
.
Calculando as derivadas:
'
a
$ 2
'
a
A
$
e
X
'
a
C
$
$
logo a equao fica:
a
$
'
a
da qual obtemos
'
@ e
' .
[7] Calcule
X
$
, se
$
'
$
,
C $
' ,
C $
' @ e
X
C $
'
A
.
$
'
$
A
$ 2
$
'
@
C
$
$ $
X
$
'
@
X
C
$ C
$
X
$ $
$
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
33/50
4.10. APROXIMAO LINEAR 173
logo,
X
$
'
@
A
.
Em geral, nada garante que quando calculamos sucessivamente as derivadas de uma funo,
estas sejam funes derivveis.[7] Seja
$
'
U
. Ento,
$
'
C
U se
C
U se
D
Logo
$
'
C
, para todo
; analogamente temos que
$
'
para todo
;mas
no derivvel no ponto
' . Verifique.
4.10 Aproximao Linear
intuitivo pensar que uma funo derivvel restrita a um pequeno intervalo contido em seudomnio "comporta-se"como uma funo polinomial do primeiro grau.
Por exemplo, consideremos '
$
'
U . Estudando
num pequeno intervalo contendo
' @ , por exemplo
'
D
2
@
D
@ , obtemos:
$
D
D
@
D
D
@
@ @
@
D
@ @
D
A
@
@
D
@ @
D
A
@
A reta tangente ao grfico de
no ponto
' @ dada por 'A
@ ; seu coeficiente angular
A. Determinemos os coeficientes angulares das retas passando pelos pontos
D
2
D
$ $,
@
2
@
$ $
e
@
D
@
2
@
D
@
$ $
,
@
2
@
$ $
, respectivamente:
Q
H
'
@
$
D
$
@
D
' @
D
e QU
'
@
D
@
$
@
$
@
D
@
@
'
A D
@
D
1
1
Figura 4.29:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
34/50
174 CAPTULO 4. DERIVADA
Q
He Q
Uso valores bastante prximos de
A. Observe que se
@
(
perto de @ ), ento
$
'
U fica prxima de 'A
@ . De fato:
a
H
$
'
a
H
U
A
@ '
D
Isto nos leva a estabelecer a seguinte definio:
Definio 4.8. Seja '
$
uma funo derivvel em
. A aproximao linear de
em torno de
denotada por
$
e definida por:
$
'
$
$
$
se
2
$
,
pequeno.
A funo $
tambm chamada linearizao de
ao redor do ponto
. A proximidadede
$ e $ nos permitir fazer algumas aplicaes. A notao para
$ prxima a $
$
$
.O erro da aproximao
$
'
$
$e satisfaz seguinte condio:
a ac
$
'
a ac
$
$
$
'
D
Exemplo 4.18.
[1] Suponha que no dispomos de calculadora ou de outro instrumento de clculo e precisamosresolver os seguintes problemas:
i) Se
$
'
@
@
A
$
representa a temperatura num arame, calcule a temperatura
D
@
$
.
ii) Se
$
'
X
representa o crescimento de uma populao de bactrias, calcule a populaode bactrias para
'
A
D
@
A
.
iii) Calcule, aproximadamente
@
D
@
$
A
&
@
D
@
$
C
.
i) Vamos determinar
$
'
$
$
. Derivando:
$
'
@
A $
; ento:
@
@
! A $
$
' @
2
no intervalo
2
$ 2
tal que
(pequeno). Como
D
@
2
$ , temos,
D
@
$
D
@
$
'
D
A graus.
ii) Vamos determinar
$
'
A
$
A
$
A
$
, com
A
$
C D
A
. Derivando, obtemos:
$
'
D C
X
; ento:
X
C D
A
@
A
@
D
A
A
$ 2
no intervalo
A
2 A
$ 2
tal que
(pequeno). ComoA
D
@
A A
2 A
$, se
'
A
D
@
A, ento,
X U
H U
C D
A
@
A
@
D
A
D
@
A
'
D
D
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
35/50
4.10. APROXIMAO LINEAR 175
iii) Considere a funo
$
'
A
&
Ce
' @
D
@ . Ento, para
' @ , temos
@
$
'
A,
$
'
X
&
e
@
$
'
H X
X
; logo,
$
'
@
$
@
$
@
$
'
@
C
@
C
$ 2
para todo
prximo de @ . Em particular, para
' @
D
@ ,
@
D
@
$
A
&
@
D
@
$
C
@
C
@
C
@
D
@
$
$ A D
C C D
1
20 1
Figura 4.30: Grficos de i), ii) e iii), respectivamente:
[2] Considere a funo logstica
$
'
@
. Determine sua aproximao linear no ponto
:
Derivando:
$
'
@
$
U
; logo,
$
'
$
c
$
2
onde, $ '
c
@
c
$
U
.
2 1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.31: Desenhos para
' e
' @ , respectivamente.
[3] Calcule o valor aproximado do volume de uma esfera, construida de uma folha de ao de
D
Q de espessura sendo seu raio interno igual aA
Q .
O volume de uma esfera G
$
'
C
G
X . SejaG
'
A
; ento, a linearizao do volume :
G$
@
C
CG
$
D
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
36/50
176 CAPTULO 4. DERIVADA
Logo, A D
$
@ @
D
Q
X . O verdadeiro volume da esfera
' @ @
D
Q
X . Note que oerro cometido :
A D
$
'
A D
$
'
D
C C
C
Q
X .
4.11 Velocidade e Acelerao
Da Fsica elementar sabemos que a velocidade percorrida por um mvel em linha reta dadapelo quociente da distncia percorrida pelo tempo transcorrido. Usaremos a definio de deri-vada para determinar a velocidade instantnea de um mvel que se move ao longo de qualquertrajetria derivvel.
Suponha que uma partcula move-se ao longo do grfico da funo
'
$. Se
2
umpequeno intervalo contido no domnio de
, a velocidade mdia da partcula no intervalo
2
:
' distncia
tempo'
$
$
D
a b c
vab v
ac
Figura 4.32:
o coeficiente angular da reta passando por
2
$ $
e
2
$ $
.
no d informaosobre a velocidade da partcula no tempo
'
. Se estamos interessados na velocidade ins-
tantnea em
'
, consideremos o intervalo
2
2
; ento,
'
$
$
.
Analogamente para
.
Definio 4.9. A velocidade instantnea de uma partcula que se move ao longo do grfico da funoderivvel
'
$em
'
, :
$
'
$
c
De forma anloga definimos a acelerao mdia:
'
$
$
.
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
37/50
4.11. VELOCIDADE E ACELERAO 177
Definio 4.10. A acelerao instantnea de uma partcula que se move ao longo do grfico da funoduas vezes derivvel
'
$
em
'
, :
$
'
$
c
'
$
c
O movimento harmnico simples '
$
caracterizado por
$
'
$
(
) e omovimento harmnico amortecido por
$
'
$
$(
2
).
Exemplo 4.19.
[1] Uma partcula move-se ao longo da curva
$
'
X
U
C
. Calcule a acelerao noinstante em que a velocidade zero.
Se
$
'
X
U
C
, ento
$
'
C
U
@
; se
$
'
temos que
'
C ou
' @
. Aacelerao no instante
$
'
@ ; logo
C
$
' ou
@
$
'
.
[2] Uma sonda lanada para cima verticalmente, sendo a distncia acima do solo no instante
dada por $
'
@
$.
i) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo.
ii) Qual a altura mxima que a sonda atinge?
i) A sonda atinge o solo quando
$
'
@
$
' ou seja quando
' ou
' @ ; a sondaatinge o solo aps @
e a velocidade
$
'
$
' @
A
e
@
$
'
@
Q
.
O sinal negativo porque a sonda est caindo.ii) Se
$
' , ento
' e
$
'
A
Q .
[3] Um ponto move-se ao longo do grfico de ' U
@ de tal modo que sua abscissa varia com uma velocidade constante de
C
Q
. Qual a velocidade da ordenada quando
'
Q ?
Sejam
'
$
e '
$
a abscissa e a ordenada no instante, respectivamente. Seja
oinstante tal que
$
' . Queremos calcular a velocidade de no instante
; em outras
palavras, queremos calcular
para
'
. Usando a regra da cadeia:
'
'
A
D
O ponto tem velocidade constante igual aC
; logo,
'
C
e
'
. Para
$
' temos que
'
A
Q
.
[4] Um homem de @D
Q de altura afasta-se de um farol situado a D
Q do solo, com umavelocidade de @
D
Q
. Quando ele estiver a Q do farol, com que velocidade sua sombraestar crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra?
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
38/50
178 CAPTULO 4. DERIVADA
4.5
1.80
x y
Figura 4.33:
Seja o comprimento da sombra e
a distncia entre o homem e o ponto do solo acima do qual
est o farol. Pela semelhana de tringulos:
D
'
@
D
; logo, '@
D
A D
; ento:
'
A
C
e
'
D
Como
' @
D
, temos:
' @
Q
e o comprimento da sombra ' Q .
4.12 A Derivada como Taxa de Variao
A velocidade de uma partcula que se move ao longo do grfico da funo derivvel
'
$
no tempo
$
'
$
e representa a razo do deslocamento por unidade de variao detempo.
$
expressa a taxa de variao de
$
por unidade de tempo:
$
'
$
$
D
Se '
$
funo derivvel, ento
$
a taxa de variao de em relao a
.
A interpretao da derivada como taxa de variao se aplica em diversas reas da cincia. Porexemplo, se '
$
mede a concentrao de glbulos vermelhos no sangue no instante,
mede a taxa de variao mdia da concentrao de glbulos vermelhos durante ointervalo de tempo
2
e
$
mede a taxa de variao instantnea de glbulos vermelhosno instante
'
.
Exemplo 4.20.
[1] Uma partcula move-se ao longo do grfico de '
X
@ , de modo que quando
' aabscissa cresce a uma velocidade de
A
Q
. Qual a velocidade de crescimento da ordenada
nesse instante?
Seja
'
$
a abscissa no instante
e '
X
@ ; devemos calcular:
'
D
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
39/50
4.12. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAO 179
Temos:
'
C
U e
'
A
; logo,
a
'
U
a
'
A
@ . A ordenada cresce a uma razo de
A
@
Q
[2] Um ponto move-se ao longo da elipse de equao
U
A
U
'
. Determine os pontos daelipse que satisfazem equao
'
.
Se
'
$
e '
$
so a abscissa e a ordenada do ponto no instante, derivando implicita-
mente a equao da elipse:A
' e usando a condio dada:
A
'
A
A
' $
logo,
'
A
. Da equao da elipse obtemos: ' @ e os pontos so:
A 2
@
$
e
A 2
@
$
.
[3] O tronco de uma rvore tem formato cilndrico cujo dimetro cresce razo de@
Q
e
sua altura cresce razo de@
Q
(Q
=metros). Determine a taxa de variao do volume dotronco quando o dimetro C
Q e sua altura Q .
SejaG
'
G $o raio no instante
e
'
$a altura no instante
. O volume
$
'
G
U
;
devemos calcular
; derivando implicitamente:
'
AG
G
G
U
$
o raio a metade do dimetro:G
'
C
A
,
' ; logo,A
G
'
@
e
' @ ; ento:
'
A
@
Q
X
D
[4] Uma partcula move-se ao longo da curva de equao ' . Quando a partcula passapelo ponto
2 A $
, sua abscissa cresce razo deC
Q
. Com que velocidade est variando adistncia da partcula origem nesse instante?
Sejam
'
$
e '
$
a ordenada e a abcissa no instante
e U '
U
U o quadrado dadistncia da origem ao ponto
2
$. Derivando implicitamente ambos os lados:
A
'
A
A
$
logo,
'
@
@
A
, pois '
. Logo
U
'
A
A
Q
.
[5] Um reservatrio de gua est sendo esvaziado. A quantidade de gua no reservatrio, emlitros,
horas aps o escoamento ter comeado dada por $
'
$
U . Calcule:
i) A taxa de variao do volume da gua, aps
horas de escoamento.
ii) A quantidade de gua que sai do reservatrio, nas primeiras horas de escoamento.
i) A taxa de variao
'
@
$; calculando em
'
, temos que:
'
A
. O sinal negativo porque o volume da gua est diminuindo com o tempo,
j que o reservatrio est sendo esvaziado.
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
40/50
180 CAPTULO 4. DERIVADA
ii)
$
$
'
C
litros.
[6] De um funil cnico a gua escoa a uma velocidade deC
Q
X
. Se o raio da base do funil de @
A
Q e a altura deA
Q , calcule a velocidade com a qual o nvel de gua est descendo,quando o nvel estiver a
Q
do tpo.
SejamG
o raio do crculo que forma o nvel da gua e
a altura no tempo, respectivamente.
G
'
G $
,
'
$
e
'
G
U
C
o volume do cone de raioG
e altura
.
h
r 24
12
Figura 4.34:
Pela semelhana de tringulos, temos:
H U
'
U
; entoA
G
'
e
'
H
H U
X .
'
'
@
U
D
Mas,
'
C
, pois o volume est diminuindo e
'
A
' @
; resolvendo a equao
'
C
, obtemos:
'
@
A
Q
.
[7] Dois lados paralelos de um retngulo aumentam a uma velocidade de Q , enquantoos outros dois lados diminuem, de tal modo que o retngulo resultante permanece com reaconstante de @ Q U . Qual a velocidade com que o permetro diminui quando o comprimen-to do lado que aumenta de
A
Q ? Quais so as dimenses do retngulo, quando o permetrodeixar de diminuir?
i) Seja
o lado que aumenta e o lado que diminui no tempo; logo
'
$
e '
$
; opermetro
0
'
A
$
e a rea
'
' @ . Derivando estas expresses em, temos:
0
'
A
e
'
D
Se
'
A
, ento ' ; como
' , da ltima equao, temos que
'
'
@ ; logo:
0
'
Q
.
ii) O permetro deixa de diminuir quando
0
' , o que equivalente a
'
; mas
' ; ento,
$
$
' ; logo,
$
'
$
; e o retngulo um quadrado de rea
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
41/50
4.12. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAO 181
@ '
U ; ou seja, um quadrado de @ Q de lado.
[8] Uma escada de @ Q de comprimento est apoiada numa parede vertical. Se a extremidadeinferior da escada comea a deslizar horizontalmente razo de
D
Q
, com que velocidadeo topo da escada percorrer a parede, quando a extremidade inferior estiver a Q do solo?
x
y 10
Figura 4.35:
Sejam ' $
e ' $
os lados do tringulo formado pela parede, a escada e o solo, noinstante
. Pelo teorema de Pitgoras
U
U
' @ ; derivando implicitamente:
'
D
Devemos calcular
. Como ' , ento
'
@
C
'
e
'
D
; logo,
'
'
A
C
$
a escada est deslizando a uma velocidade deU
X
Q
.
[9] A dilatao de um disco de cobre aquecido tal que o raio cresce com a velocidade de D
@
Q
. Com que velocidade cresce a rea do disco quando o raio temA
Q ?
Sejam
'
$
o raio e '
$
a rea do disco no instante, respectivamente. Ento '
U .Derivando:
'
A
$
para
'
A
e
'
D
@ , tem-se:
'
D
Q
U
. A rea do disco cresce com uma
velocidade de D
Q
U
.
[10] A lei de Boyle para gases confinados a uma temperatura constante
0 '
, onde o volume e
0a presso. Se em certo instante o volume de Q X , a presso de @ Q U e
a presso cresce razo deA
Q
U
Q
9
, com que taxa est variando o volume nesse instante?
Sejam
'
$
o volume e0
'
0 $
a presso no instante, respectivamente. Escrevamos o
volume como funo da presso: 0 $
'
0
.
Usando a regra da cadeia:
'
0
U
0
'
0
0
$
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
42/50
182 CAPTULO 4. DERIVADA
para
' ,0
' @ e
0
'
A
, temos:
'
Q
X
Q
9
. O volume decresce razo de
Q
X
Q
9
.
[11] (Sistema de Lotka-Volterra) No estudo de ecossistemas, modelos de presa-predador soutilizados para estudar a interao entre as espcies. Se uma populao de lobos siberianos dada por
'
$
e uma populao de cervos por
'
$
, a interao das duas espciespode ser medida pelo sistema:
'
'
2
onde
,
, e
so constantes positivas. Determine
e
que levem as populaes a ficarestveis para
'
D
,
'
D
@ , ' D
e
'
D
@ .
As populaes ficam estveis quando suas taxas de crescimento so nulas; ento devemos re-solver o sistema:
'
'
$
'
'
'
$
'
2
com
2
%
' ; a soluo
'
e
'
; logo, para os valores das constantes dados
' e
' . As populaes ficam em equilbrio quando tem lobos e cervos.
[12] Se uma barra feita de material homogneo, ento sua densidade uniforme e dada pelamassa por unidade de comprimento, medida em quilogramas/metros. Se a barra no homo-gnea, mas se sua massa dada por Q '
$
do incio ao ponto
da barra, ento, a massaentre os pontos
He
U dada por
U $
1 H $e sua densidade mdia dada por
a
a
a
a
.A densidade linear da barra a taxa de variao da massa em relao ao comprimento e dadapor:
'
Q
D
Sabendo que uma barra de comprimento @ Q tem massa dada por Q '
$
'
X
@ ,determine a densidade no centro da barra.
'
Q
a
'
C
U
@
$
a
' @
D
Q
D
4.13 Exerccios
1. Determine a equao da reta tangente ao grfico das seguintes funes, no ponto de abs-cissa dada:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
43/50
4.13. EXERCCIOS 183
(a) ' @
U
2
'
C
(b) '
X
@
2
' @
(c) '
1 $ 2
' @
(d) '
X
U
@ @
2
'
C
(e) '
X
2
'
(f) 'C
$ 2
'
(g) '
U
2
'
A
(h) '
H
2
' @
(i) '
U
A
2
' @
(j) '
U
@
U
@
2
'
(k) '
U
$ 2
' @
(l) '
@
$ 2
'
@
(m)
'
@
$
$ 2
'
(n) ' & a
2
'
(o) '
X
@
2
' @
(p) '@
U
@
2
' @
(q) '
@
@
2
'
@
(r) '@
U
@
$
2
' @
2. Calcule a constante
para que a reta
' seja tangente curva ' H .
3. Determine as equaes das retas tangentes curva '
U , nos pontos de abscissa
'
C
.
4. Determine o ponto onde a curva ' X tem tangente paralela reta tangente mesmacurva no ponto de abscissa
' . Determine a equao da reta tangente nesse ponto.
5. Determine as equaes das retas tangentes e das retas normais s curvas, nos pontos deabscissas dadas:
(a) '
U
@
$ 2
' @
(b)
'
2
'
@
(c) '
A
$ 2
'
(d) ' G
A $ 2
'
(e) '
@
@
2
' @
(f) ' a
$ 2
'
$
(g) '
U
@
$ 2
' @
(h) '
X
C
@
$
1 $ 2
' @
6. Determine os pontos da curva 'C
X
@
U
C
onde as retas tangentes passandopor esses pontos intersectam a origem.
7. Sabendo que as curvas '
U e '
H tem retas tangentes paralelas com abscissacomum, determine-as.
8. Seja
uma funo derivvel e $'
U
a
$ . Calcule
$ se
@
$
'
A .
9. Seja
uma funo derivvel e
$
'
U
$
. Calcule
$
.
(a) Seja
uma funo derivvel e
$
'
a
C
@
$
. Calcule
$
se
@
$
'
A
e
@
$
'
C
.
(b) Seja $
'
$ $
em que
e
so funes derivveis. Se
C $
' ,
C $
' e
$
'
, determine
C $
.
10. Determine
$
se
$ 2
$
e
$
so funes derivveis e:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
44/50
184 CAPTULO 4. DERIVADA
(a)
$
'
$ $ $
(b)
$
'
$
$
$
(c)
$
'
$
$
$
(d)
$
'
@
$
$
$
11. Use [10] para calcular
$
se:
(a)
$
'
U
@
$
X
$
@
$
U
(b)
$
'
X
@
$
X
(c)
$
'
A
C
@
U
A $
(d)
$
'
X
@
U
C
A
X
@
$
12. Usando a regra da cadeia, determine
, sendo:
(a) ' C
$
(b) '
X
C
@
$
(c) '
C
$
(d) ' C
U
$
(e) '@
X
C
U
(f) '
U
@
$
U
X
A
$
U
(g) ' U
X
$
X
$
(h) ' C
$
H
C $
U
(i) ' C
A
A
@
$
(j) '@
@
$
(k) '
U
C
$
U
U
$
H
$
13. Calcule as derivadas das funes:
(a) ' a
H
(b) '
@
a
@
a
$
U
(c) '
U
$
(d) '
$
(e) '
@
$
(f) '
$ $
(g) '
@
a
$
(h) '
H
$ $
(i) '
a
$
(j) ' a
$ $ $
14. Usando a derivada de logaritmo, calcule
:
(a)
'
X
A
(b) '
(c) '
a
H
(d) 'C
a
(e)
'
a
X
@
$
A
@
(f) '
U
$
a
(g) '
a
(h) '
(i)
'
$
a
(j) '
(k) '
$
a
(l) '
$
a
15. Calcule
:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
45/50
4.13. EXERCCIOS 185
(a) '
@
U
$
(b) '
A
U
$
(c)
'
@
A
$
(d) '
C
(e) '
A
$
(f) ' @
a
X
$
U
(g) ' X A
U
$
(h) '
@
U
$
(i) '
A
$
$
U
(j) '
U
$
(k) '
A
$
@
A
$
(l) ' &
U
$
(m) ' @
U
(n) '
U
$ $
(o) ' U @
U
(p) '
U
$ $
(q) '
$ $
(r) '
$ $
16. Verifique que as derivadas das funes hiperblicas inversas, so:
(a) Se ' G
$ $
, ento
'
$
@
U
$
.
(b) Se ' G
$ $
, ento
'
$
U
$
@
2
$
@ .
(c) Se ' G
$ $
, ento
'
$
@
U
$
2
$
@ .
(d) Se ' G
$ $
, ento
'
$
@
U
$
2
$
@ .
(e) Se ' G
$ $
, ento
'
$
$
@
U
$
2
$
@ .
(f) Se ' G
$ $
, ento
'
$
$
U
$
@
2
$ %
' .
17. Calcule
:
(a) ' G @
(b) ' G
$
U
(c) ' G
U
$
(d)
'
G
@
(e) ' G
@
@
(f) '
(g) '
U
C
$
U
C
$
(h) '
U
C $
U
$
(i) '
$ $
(j) ' G
$
U
@
(k) ' G
U
A
(l) ' G
U
$
(m) '@
A
G
U
$
U
(n) '
@
U
@
18. Usando derivao implcita, calcule
:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
46/50
186 CAPTULO 4. DERIVADA
(a)
X
X
'
(b)
X
U
U
'
(c)
' @
(d) X '
(e)C
U
$
'
(f)
$
'
(g)
'
(h)
U
$
'
X
U
(i)
$
U
'
$
U
(j)
U
U
$
U
'
U
U
(k)
$
'
$
(l)
$
'
$
(m)
U
a
'
$
(n)
$
'
a
(o)
'
(p)
U
$
'
U
$
(q)
U
C
$
'
(r) G
$
G
$
' @
19. Determine os pontos da curva
U
A
C
U
'
C
nos quais as retas tangentes nessespontos sejam perpendiculares reta
' @ .
20. Em que pontos a curva U 'A
X ortogonal reta
C
@ ' ?
21. A reta
'
intersecta a curva '
X
C
C
num ponto0
e a curva 'A
U
num ponto6
. Para que valor (ou valores) de
as tangentes a essas curvas em0
e6
soparalelas?
22. Determine a equao da reta tangente curva
'
,
constante, no ponto
2
$. Ve-
rifique que
2
$
o ponto mdio do segmento de reta determinado pela reta tangenteno ponto e os eixos coordenados.
23. Determine a equao da reta tangente curva &
U
&
U
' @ no ponto
2
$
. Calculea distncia entre os pontos
e
, onde
e
so as intersees da reta tangente com oseixos coordenados.
24. Verifique que as seguintes famlias de curvas so ortogonais:
(a) A
'
2
A
'
(b)
U
a
'
2
U
'
(c)
2
X
'
2
U
C
U
'
(d) '
$ 2
'
$
(e) U
X
'
2
U
U
$
U
A
U
U
$
'
25. Determine a segunda derivada de:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
47/50
4.13. EXERCCIOS 187
(a) '
(b) '
(c) '
U
$
(d) ' U
$
(e) ' U
$
$
(f) '
A
@
$
(g) ' @
@
U
(h) '
U
@
(i) '
a
(j) '
$ $
(k) '
$ $
(l) ' G
$ $
(m)
'
$
(n) ' G
U
$
(o) ' G
X
@
$
26. Calcule as derivadas sucessivas, at a ordem dada:
(a) 'C
A 2
'
(b) 'C
A
2
'
(c) ' C
U
2
'
C
(d) '@
@
2
'
(e) ' Ua
H
2
'
C
(f) '
A
$ 2
'
(g) '
A
A
2
'
(h) '
$ 2
'
2
(i) ' @
2
'
C
(j) '
a
2
'
(k) '
$ $ 2
'
(l) ' G
$
@
U
$ 2
'
(m) '
$ 2
'
C
(n) ' G
a
$ 2
'
(o) ' $ $ 2
'
(p) '
$ $ 2
'
C
(q) '
$ $
$ $
2
'
C
(r) ' @
$
@
$
2
'
C
27. Seja
uma funo duas vezes derivvel e
$
'
U
a
$
. Calcule
$
.
28. Se '
U
a
, mostre que
'
U
a
.
29. Para '
$
e '
$
, mostre que
U
' .
30. Se ' a
A
$
, mostre que
A
' .
31. Determine tal que '
a
verifique a equao:
' .
32. Seja ' a
a
. Verifique que:
X
X
U
A
X
$
A
U
$
'
X
D
33. Calcule
$
se:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 04 Derivadas
48/50
188 CAPTULO 4. DERIVADA
(a)
' @
(b)
U
U
'
(c)
U
U
'
@
$
U
U
$
(d) U '
X
A
$
(e)
$
$
$
'
(f)
$
$
'
34. Calcule
X
$
, se
$
'
@
$
,
$
'
@ ,
$
'
@