apostila geometria

O desenho tcnico evoluiu gradualmente para uma eficiente forma internacional de comunicao grfica entre desenhistas, profissionais e consumidores

117Engenharia Mecnica

Desenho Tcnico

INTRODUO

O desenho tcnico evoluiu gradualmente para uma eficiente forma internacional de comunicao grfica entre desenhistas, profissionais e consumidores.

Instrues claras, inequvocas, devem ser transmitidas pelos desenhos e as Associaes de Normas Nacionais continuamente tentam melhorar detalhes secundrios para a obteno de aceitao mundial. No Brasil a ABNT ( Associao Brasileira de Normas Tcnicas), fixam condies gerais que devem ser observadas na execuo dos desenhos tcnicos.

importante que o Engenheiro consiga apreciar toda a informao transmitida pelo desenho, muito importante entender a razo para a incluso de cada uma das linhas e notas.

Os desenhos mais avanados podem incluir centenas de detalhes dimensionados, mas cada um deles representa informao bsica relativa a formato, localizao, estrutura e acabamento de peas isoladas, se bem que relacionadas.

Desenhos de grandes dimenses so preparados e desenvolvidos combinando-se uma variedade de traos de forma geomtrica e o desenhista deve familiarizar-se com os princpios associados da geometria.

Nesta disciplina, sero apresentados certos aspectos da geometria necessrios atravs de aplicaes tcnicas para possibilitar que o aluno atinja um razovel padro de competncia como desenhista.

Para tanto sero utilizados tcnicas desenvolvidas tanto em prancheta como no AutoCAD, instrumento atualmente essencial para a confeco e modelagem de peas.

DIFERENAS ENTRE O DESENHO ARTSTICO E O DESENHO TCNICO

O desenho tcnico um tipo de representao grfica utilizada por profissionais de um mesma rea, como por exemplo na mecnica, na marcenaria, na eletricidade.

O artista transmitiram suas idias e seus sentimentos de maneira pessoal. Um artista no tem o compromisso de retratar fielmente a realidade. J o desenho tcnico, ao contrrio do artstico, deve transmitir com exatido todas as caractersticas do objeto que representa. Para conseguir isso, o desenhista deve seguir regras estabelecidas previamente, chamadas de normas tcnicas, assim os desejos so normatizados.

Os desenhos ou peas grficas, so feitas por meio de traos, smbolos, nmeros e indicaes escritas, de acordo com normas tcnicas.

No Brasil, a entidade responsvel pelas normas tcnicas a ABNT ( Associao Brasileira de Normas Tcnicas), na qual sero seguidas nesta disciplina.

ETAPAS DE ELABORAO DO DESENHO TCNICO

A elaborao do desenho tcnico muitas vezes complexo envolvendo vrios profissionais. O profissional que planeja a pea ou o projeto predial Engenheiro, responsvel tambm pelo seu desenvolvimento a nvel de projeto, que inclui o desenho da pea.

Primeiro o Engenheiro observa a que necessidade deve suprir, imaginando como graficamente deve ser. Depois representa suas idias por meio de um esboo, isto , um desenho tcnico mo livre. O esboo serve de base para a elaborao do desenho preliminar. O desenho preliminar corresponde a uma etapa intermediria do processo de elaborao do projeto, que ainda pode sofrer alteraes.

Depois a aprovao, o desenho que corresponde soluo final do projeto ser executado pelo desenhista tcnico. O desenho tcnico definitivo, tambm chamado de desenho para execuo, contm todos os elementos necessrios sua compreenso.

O desenho para execuo, que tanto pode ser feito na prancheta como no computados, deve atender rigorosamente a todas as normas tcnicas que dispem sobre o assunto.

O desenho tcnico chega pronto s mos do profissional que vai executar . Esse profissional deve ler e interpretar o desenho tcnico para que possa executar a pea. Quando o profissional consegue ler e interpretar corretamente o desenho tcnico, ele capaz de imaginar exatamente como ser a pea, antes mesmo de execut-la. Para tanto, necessrio conhecer as normas tcnicas em que o desenho se baseia e os princpios de representao da geometria descritiva.

BASE O DESENHO GEOMETRIA DESCRITIVA

Geometria Plana Prtica

Os antigos egpcios recebem o crdito por uma das primeiras aplicaes conhecidas da geometria prtica. Defrontaram-se com o problema da restaurao de marcos removidos pelas enchentes do Rio Nilo

Os estudantes da antiga Grcia desenvolveram as bases do nosso sistema de geometria e a prpria palavra derivada de duas palavras gregas: ge ( a terra), combinado com mtron (medir).

A geometria pode ser dividida em duas partes:

Geometria plana, que trata de linhas e da construo de figuras sobre uma superfcie plana, freqentemente chamada de geometria bidimensional;

Geometria espacial, que cuida dos objetos slidos tridimensionais.

A geometria utilizada por engenheiros, arquitetos e artistas para descrever seus projetos, no trabalho construtiva, na interpretao de desenhos e na inspeo e verificao, e sendo assim o conhecimento total dos princpios da geometria considerado necessrio.

O matemtico francs Gaspar Monge (1746 1818), criou um mtodo que permitia representar, com preciso os objetos que tem trs dimenses ( comprimento, largura e altura), em superfcies planas, como por exemplo, uma folha de papel, que tem apenas duas dimenses ( comprimento e largura)

Esse mtodo que passou a ser conhecido como Mtodo Mongeano, usado na geometria descritiva e ser muito utilizado no curso.

ELEMENTOS DA GEOMETRIA PLANA

A representao grfica, permite ao homem representar tecnicamente um objeto j constitudo no espao ou idealiza-lo(cria-lo). Para tanto foram desenvolvidas convenes para padronizar procedimentos, materiais, simbologias e mtodos de representao para todos o processos industriais, visando a sua melhor compreenso e construo pelos diversos profissionais afins (Engenheiro Eltrico, Civil, Mecnico, Hidrulico, Arquiteto e Designer Industrial)

O uso cada vez maior de desenhos produzidos por Computador modificaram a linguagem grfica. O AUTOCad o programa mais utilizado por engenheiros e arquitetos na elaborao de seus projetos, contudo normas especiais para serem seguidas na representao grfica pro computador esto sendo elaborados, sendo neste curso utilizada as Normas de Desenho Tcnico convencionais da ABNT ( Associao Brasileira de Normas Tcnicas).

Norma NBR 10068- Folha de desenho, leitura e dimenses

Folhas

O formato da folha recortada da srie A (utilizada no curso) so:

DesignaoDimenses (mm)

A0841 X 1189

A1594 X 841

A2420 X 594

A3297 X 420

A4210 X 297

As folhas de desenho podem ser utilizadas tanto na posio horizontal como vertical.

As margens esquerda e direita, bem como a largura das linhas, seguem a seguinte observao

FormatoMargem (mm)Espessura da linha NBR 8403

Esquerd Direita

A0 25 101.4

A1 25 101.0

A2 25 10*0.7

A3 25 10 *0.5

A4 25 10*0.5

Dimenso altera da norma para uso no curso

Legenda

A posio da legenda deve estar dentro do quadro principal da representao grfica, tendo as seguinte informaes:

ttulo;

nome da disciplina;

nome do aluno , RA e turma;

escala;

data.

A direo da leitura do desenho deve corresponder do desenho

A legenda deve Ter 178mm de comprimento nos formatos A4, A3 e A2 e 175 mm nos formatos A1 e Ao.

A Norma NBR 10582 define o espao da legenda, do texto e do desenho, na composio do conjunto de cada folha.

Tipos de

LinhaAs espessuras e tipos de linhas usadas so:

A ttulo de organizao na disciplina, as cores a serem utilizadas no AutoCAD, sendo referncia de espessura nas peas grficas a serem confeccionadas so:

0,10 azul

0,15 lils

0,20 amarela

0,25 - cinza

0,30 vermelha

0,35 verde

0,40 marrom

0,50 preto

1,00 laranja

Exemplo de folha (vertical)

Exemplo detalhado de legenda


Aula 1/2

A funo do desenho tcnico representar de forma inequvoca um objeto, contendo todas as informaes para sua construo.

Os entes geomtricos so definidos so ponto, reta, e plano. Apresentando-se sob as formas:

Forma bidimensional figura plana (possui duas dimenses).

Forma tridimensional figura espacial (possui trs dimenses).

Postulado Proposio no evidente nem demonstrvel, que se admite com princpio de um sistema dedutvel, de uma operao lgica ou de um sistema de normas prticas. Fato ou preceito reconhecido sem prvia demonstrao.

Teoremas so proposies que devem ser demostradas para ser aceitas.

Exemplo de postulados

Postulado fundamental Existe, no espao, um numero infinito de pontos, retas e planos.

Postulados da Reta Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos.

Dois pontos distintos determinam uma reta.

Por um ponto passam infinitas retas.

Postulados do Plano Em um plano e fora dele existem infinitos pontos.

Trs pontos distintos, no colineares, determinam um nico plano.

Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta est contida no plano.

Postulados do Espao Um plano separa o espao em dois semi-espaos cuja origem e o

prprio plano.

Por um ponto fora de uma reta passa uma nica reta paralela a

reta dada.

Toda forma bidimensional esta contida em um plano.

Conceitos fundamentais

PONTO

Elemento geomtrico, s possu posio, no tem dimenses, comprimento, largura ou espessura. O ponto pode ser representado graficamente de vrias formas; pode ser um pingo (.) - dois pequenos segmentos de retas que se cruzam ( cruz + ) , , lembre-se que as representaes representam o ponto, mas no o ponto, da mesma forma que um ponto num mapa pode representar uma cidade, contudo no a cidade. Os pontos geralmente so designados ou identificados por uma letra latina maiscula ao se lado.

RETA

infinita, representamos apenas parte dela, que pode ser sustentada por dois pontos que indicam inclusive a posio em relao aos eixos X e YMediatriz: lugar geomtrico dos pontos de um plano, eqidistantes das extremidades de um segmento

Bissetriz : semi-reta que partindo do vrtice de um ngulo divide-o em dois ngulos congruentes.

Perpendicular : se dirige sobre uma linha ou sobre um plano, formando ngulo reto.

Paralelas : so duas ou mais linhas ou superfcies eqidistantes em toda a extenso

POLIGONO Forma bidimensional inorgnica difinida por uma poligonal fechada.

Elementos notveis e um polgono lados, ngulos, vrtices e diagonais.Polgono regular possui lados e ngulos iguais.

Quanto ao numero de lados um polgono pode ser

PolgonoLados

Tringulo3

Quadriltero4

Pentgono5

Hexgono6

Heptgono7

Octgono8

Enegono9

Decgono10

Undecagono11

Dodecgono12

Pentadecgono15

Icosgono20

Observao:

polgono (do grego - "poli" muitos + "gono" ngulo) uma figura plana constituda por uma linha poligonal fechada. PRIVATE "TYPE=PICT;ALT="INCLUDEPICTURE \d "gif/poligon.gif"

O quadriltero (do latim - "quadri" quatro + "latus" lados) um polgono que tem quatro lados, quatro vrtices, quatro ngulos e duas diagonais. So quadrilteros: os paralelogramos, os trapzios e o trapezide. INCLUDEPICTURE \d "gif/quadrila.gif"

O trapzio (do latim - "trapeziu", do grego - "trapzion" mesa) um quadriltero que tem dois lados paralelos que so as bases do trapzio. Paralelogramo :quadriltero, cujos lados opostos so paralelos e congruentes, e os ngulos opostos congruentes

Os paralelogramos so: quadrado,

retngulo, losango e o paralelograma

Trapzio : quadriltero que tem dois lados paralelos que so as bases do trapzio

Pentgono : polgono que possui cinco vrtices, cinco lados e cinco ngulos

1.1 Exerccios complementares

1- Dado uma reta r suportada pelos pontos AB = 7,30cm que contem o ponto C (2,50cm), construir com o auxlio do compasso uma perpendicular a reta dada, passando pelo ponto C.

2 Dado a reta s pelos pontos DE = 6,70cm, construir por F (3,00) uma perpendicular a s com o auxlio do compasso.

3 Dada a reta GH = 8,40cm, construir pelo ponto H uma perpendicular pelo processo de diviso de arco. Obs. O raio de qualquer arco, crculo ou circunferncia, sempre os dividir em arcos de 60

4- Por um ponto P fora de uma reta dada fazer passar uma perpendicular reta dada

AB = 7.00cm

5- Dada uma semi-reta pelos pontos AB = 5,10cm, conduzir por A inicio da reta uma perpendicular pelo processo do arco capaz.

6- Traar uma perpendicular extremidade de um segmento dado DE = 5.00cm

7- Dada uma reta pelos pontos CD = 6,20cm e um ponto E fora da reta CD, pede-se conduzir pelo ponto E uma reta paralela CD com o auxlio do compasso.

8- Dividir um seguimento em 6 partes iguais dado HI = 8.00cm

9 - Construir uma quadrado de lado igual a 5.50cm

10 Construir um retngulo ABCD, onde a diagonal AC = 10cm e o lado AB = 8cm

11- Construir um paralelogramo de lado maior 6.00cm, lado menor 3,00cm e ngulo

de 60.

12- Construir um hexgono regular

13- Construir um pentgono regular

14 Construir o polgono regular, conhecido como heptgono.

AULA 3/4

Tringulo e um polgono de trs lados, trs ngulos e trs vrtices.

Eles se classificam em

Issceles2 lados iguais

EscalenoLados desiguais

Retngulo1 angulo reto

Acutngulo3 ngulos agudos

Obtusngulo1 angulo obtuso

2.1.1 ClassificaoOs trs ngulos de um tringulo so designados por trs letra maisculas A, B, e C e os lados opostos a eles, pelas mesmas trs letras, minsculas a, b, e c.

C

H

h

A B

2.1.2 Relaes mtricas

PITAGORAS - (BC)= (AC) +(AB)

(AH) = (CH) x (BH)

(AB) = (BC) x (BH)

(AC) = (CH) x (BC)

Tringulo equiltero tem os trs lados congruentes.

Tringulo issceles - tem os dois lados e os dois ngulos adjacentes base congruentes.

Tringulo escaleno no tem lados congruentes.

Tringulo retngulo tem um angulo reto.

Tringulo acutngulo o tringulo que tem todos os ngulos agudos.

Tringulo obtusngulo tem um angulo obtuso.

2.2 Elementos do tringulo

Mediana - de um tringulo o segmento de reta que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto.

Incentro de um tringulo o ponto de encontro das trs bissetrizes do tringulo, tambm o centro da circunferncia inscrita no tringulo.

Baricentro o ponto de encontro das trs medianas de um tringulo, o ponto que divide cada mediana do tringulo em duas partes: um tero a contar do lado e dois teros a contar do vrtice.

Circuncentro pode ser interno ou externo ao tringulo, tambm o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo.

Ortocentro o ponto de encontro das trs alturas do tringulo, ele pode ser interno ou externo ao tringulo.

2.3 Exerccios complementares

1. Construa um tringulo escaleno de base = 10 cm. e ngulos adjacentes de 75 e 45.

2. Encontrar o ortocentro, baricentro, incentro e circuncentro do tringulo do ex 1.

3. Encontrar o ponto ortico do tingulo obtusngulo de base = 8cm.

4. Circunscrever e inscrever uma circunferncia no tringulo do ex 3.

5. Construa um tringulo equiltero de 6,0cm de lado.

6. Trace um tringulo com hipotenusa AB = 8,50cm e lado AC = 4,50cm

AULA 5/6

CIRCULO - poro do plano limitada por uma circunferncia,

CIRCUNFERNCIA - lugar geomtrico dos pontos de um plano, eqidistantes de um ponto fixo chamado centro.

3. Elementos da circunferncia

Centro ponto interno que dista igual a todos os pontos situados na circunferncia

Raio segmento que une um ponto fixo chamado centro a qualquer um dos pontos de uma circunferncia ou de uma superfcie esfrica

Dimetro linha que mede a distncia atravs do crculo, a maior corda de um circunferncia

Arco cada uma das partes em que uma circunferncia dica dividida por dois de seu pontos.

Corda segmento de reta que une as extremidades de um arco

Tangente linha ou superfcie que toca outra linha ou superfcie num s ponto.

SETOR CIRCULAR poro do circulo definida por dois raios e um arco da circunferncia de origem.

SEGMENTO CIRCULAR poro do circulo definida por uma corda e um arco da circunferncia de origem.

ZONA CIRCULAR poro do circulo definida por duas cordas paralelas e os arcos compreendidos entre eles.

COROA CIRCULAR poro do circulo definida por duas circunferncias concntricas.

3.1. Posies da Circunferncia

Circunscrita circunferncia que passa pelos vrtices do polgono regularInscrita circunferncia tangente aos lados o polgono regularConcntricas so duas ou mais circunferncias que tm o mesmo centro

Secantes so duas circunferncias que se intersectam em dois pontos

Tangentes circunferncias que se tocam num s ponto.

3.2.Exerccios complementares1. Traar o dimetro de uma circunferncia de raio 4.5 cujo centro desconhecido

2. Por trs pontos no colineares fazer passar uma circunferncia.

3. Construir um tringulo equiltero cujo permetro igual ao comprimento de uma circunferncia de raio 5.

4. Inscrever em uma circunferncia de raio 4 os seguintes polgonos regulares:

Heptgono, enegono

PROPRIEDADE DAS FIGURAS

Uma das condies necessrias para projetar uma figura e conhecer suas propriedades geomtricas, isto se aprende na geometria. Neste vocs vero a obteno grfica dos segmentos notveis das figuras.

FIGURAS PLANAS

Quadrado

Segmentos notveis

a comprimento do lado

b comprimento da diagonal

Dado a , obter graficamente d

Sol. Constroi-se um tringulo retngulo issceles (metade do quadrado) de catetos a

Tringulo Equiltero

a comprimento do lado

h comprimento da altura

Dado a, obter graficamente h

Constroi-se um tringulo equiltero de lado a e traa-se uma de suas alturas que e h procurado.

Hexgono Regular

a- comprimento do lado

d- comprimento da diagonal maior (AD)

m- comprimento da diagonal menos (CE)

Propriedades

O lado e igual ao raio da circunferncia circunscrita e igual a metade da diagonal maior (diagonal principal).

OEDC e losango, logo EC e OD so perpendiculares entre si e M e ponto mdio de ambos.

O angulo ABD e reto por ser inscrito num semicrculo. Um lado (EF) e sempre paralelo a uma diagonal (AD), pois os ngulos alternos internos (60) so iguais.

Sol. A = 47,50mm, d = 82,00 mm

Tetraedro Regular

Tetraedro e uma pirmide cuja base e um tringulo, tem 4 faces (3 laterais e uma base, que pode ser qualquer delas) e tem 6 arestas (3 laterais e 3 na base).

O tetraedro regular tem as 6 arestas iguais entre si e suas faces so tringulos equilteros iguais.

Propriedades

Para entender considere o tetraedro regular da figura

Obs. Uma perspectiva de observao ou esboo, no e rigorosa, pois mostra apenas o aspecto aproximado do solido, consideradas no quantitativas e apenas qualitativas, usam-se em geometria espacial apenas para fixar idias, elas servem como auxilio, mas no servem para obteno grfica.

Seja M o ponto mdio da aresta AB. Como os tringulos ABC e ABD so equilteros, segue-se que CM e DM so perpendiculares a AB e, portanto AB e perpendicular ao plano do tringulo issceles DMC.

Onde N e o ponto mdio de CD, como o tringulo DMC e issceles, conclui-se que MN _ CD. (I)

Logo

AB CD (II)

AB MN (III)

De (II) tem-se num tetraedro regular, duas arestas opostas so sempre ortogonais, pois, se AB e CD so ortogonais, as outras opostas entre si tambm o so.

DE (I) e (III) tem-se que MN e a distancia entre AB e CD por ser a perpendicular comum a essa retas.

Seja O o ponto que divide MC na razo MO/OC = , ento O e o centro do tringulo ABC e como tetraedro regular e pirmide regular, conclui-se que OD e uma altura, pois une o centro da base ABC ao vrtice oposto D.

Seguimentos notveis.

a- comprimento das 6 arestas (AB = a, CD = a)

b- comprimento das 12 alturas da face (CM =f, DM = f)

c- distancia entre duas arestas opostas (MN =d)

d- comprimento das 4 alturas do tetraedro (OD = h)

Dado a, Obter graficamente f, d, h.

Sol. Constroi-se o tringulo equiltero de lado a, obtendo sua altura f.

Constroi-se o tringulo issceles ]d ]m ]c de base ]d ]c = a e lados D M = C M = f e altura M N relativa a base D C e d e a altura D O relativa a um lado C M e h. De fato, o tringulo DMC e o tringulo DMC do espao desenhado no papel e, v.g.

A figura b e chamada figura fundamental do tetraedro regular.

Apesar de no termos estudado Geometria Descritiva, estamos resolvendo graficamente problemas sobre objetos do espao.

Esses exemplos so resolvidos mais facilmente por meios grficos do que por meios analticos, apesar de no obtermos preciso exagerada. E por isso que em Engenharias muitos problemas tcnicos so resolvidos graficamente.AB e AC = catetos BC = hipotenusas

AH = altura relativa a hipotenusa

ngulo de 108

EMBED AutoCAD.Drawing.15

As retas A, B e O so retas paralelas entre si

Considera qualquer configurao geomtrica cuja interseo com outra forma ngulo reto.



Linha que divide um ngulo ou uma superfcie em duas partes iguais


MEDIATRIZ

Reta perpendicular a um segmento, passando pelo seu ponto mdio




















_1076174615.dwg

_1076174623.dwg

_1076174628.dwg

_1105516977.dwg

_1105517019.dwg

_1076174630.dwg

_1076174626.dwg

_1076174619.dwg

_1076174621.dwg

_1076174617.dwg

_1076174607.dwg

_1076174611.dwg

_1076174613.dwg

_1076174609.dwg

_1075224994.dwg

_1075552775.dwg

_1075553051.dwg

_1075552896.dwg

_1075225366.dwg

_1075224695.dwg

_1075190234.dwg

apostila geometria

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