apostila fis exp. 1

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Este texto contém o curso experimental de Física Geral I que há mais de um quarto de

século ministro na Universidade Federal de Uberlândia. O seu conteúdo corresponde, exatamente,

à disciplina semestral que no currículo atual da nossa Universidade recebeu a denominação de

Física Experimental I, com carga horária de 2 horas/semana, durante um semestre, e que é parte

integrante da grade curricular do 2º período do curso de graduação de engenharia.

Sabemos que toda teoria científica parte de um conjunto de hipóteses que são sugeridas

pela observação, mas da qual representam uma idealização. A teoria deve então ser verificada

pela comparação entre as predições deduzidas destas hipóteses com os resultados experimentais.

Assim se expressou Karl Popper: ³$�FLrQFLD�p�LQYHQomR�GH�KLSyWHVHV��D�H[SHULrQFLD�GHVHPSHQKD�R

SDSHO� GH� FRQWUROH� GDV� WHRULDV´� Se muitas dessas verificações são feitas e nenhum desacordo é

encontrado, então as hipóteses adquirem gradualmente o status de ³OHLV�GD�QDWXUH]D´� Portanto a

experiência é a única fonte da verdade; só ela nos pode dar a certeza sobre um determinado

modelo.

Um exemplo recente do que afirmei acima pode ser encontrado na Teoria da Relatividade

Generalizada, que Einstein apresentou em 1915. Até 1960 a Teoria da Relatividade Generalizada

era evitada por um grupo numeroso de físicos, os quais argumentavam ser ainda extremamente

reduzido o número de testes comprovadores da sua veracidade. (Na realidade o único teste que

até aquela data era aceito sem impugnações era o da explicação da diferença – 43 �SRU�VpFXOR�–

entre o avanço observado do periélio do planeta Mercúrio e o avanço previsto pela teoria

newtoniana). A partir de janeiro de 1960, no entanto, devido principalmente ao trabalho do grupo

da Universidade de Harvard (USA), a Teoria da Relatividade Generalizada foi incorporada

definitivamente à Física (lembro que esse trabalho consistiu, essencialmente, em utilizar o efeito

Mössbauer para medir o desvio, para o vermelho, das raias espectrais, desvio esse devido à ação

de um campo gravitacional).

Este curso, como já declarei, destina-se a estudantes de engenharia, e visa desenvolver a

habilidade em resolver problemas científicos. Isto envolve, portanto, decidir o que fazer, observar o

que acontece e selecionar dados relevantes e de interesse, escolher entre o método sofisticado ou

o simples, analisar os próprios erros e propor suas correções, etc. Mas é claro que nenhum

estudante, no estágio inicial de seu desenvolvimento, será capaz de usar todas estas habilidades,

mas sentirá a necessidade de desenvolvê-las depois que se defrontar com o primeiro problema

experimental. Terá, então, oportunidade de desenvolver sua criatividade, curiosidade, capacidade

de análise, atitude científica, ou seja, envolver-se totalmente com o problema e exercitar suas

habilidades.

Mas, para que estes objetivos sejam alcançados, é necessário que o estudante assuma

uma atitude de participação ativa, pois que o trabalho de laboratório será útil na medida em que se

saiba, a cada instante, o que se faz e por que é feito, devendo ter, por conseguinte, uma idéia clara

de cada operação e do conjunto da experiência, sem o que esta se transformará numa simples

execução de uma receita que pouco ou nenhum valor tem. Por outro lado, o laboratório tem,

também, uma função de controle: indica se realmente a teoria foi compreendida, pois o não saber

aplicar uma teoria nas questões experimentais é uma clara indicação de que ela não foi

compreendida, ou – o que é ainda pior – foi compreendida de forma distorcida, uma vez que não

se sabe aplicar o que não foi compreendido ou foi compreendido incorretamente.

Por fim, se tornaria extremamente impossível citar todos os autores cujas idéias utilizei

aqui. Mas seria uma injustiça não registrar o meu profundo reconhecimento a um professor que

não conheci pessoalmente, mas que influenciou decisivamente minha vida acadêmica, primeiro

como estudante e, depois, como docente, pelos seus extraordinários livros, de uma clareza e

precisão inigualáveis: o professor L. P. M. Maia, Livre-Docente em Mecânica Clássica da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, de quem, muitas vezes, utilizei até suas próprias

expressões. Como agradecimento a todos – e agradecer é um ato primário do espírito –, acho

justo dizer que este é “nosso” livro. Algo que Blaise Pascal escreveu e que tem uma aplicação

perfeita neste caso:

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Uberlândia, março de 2005.

�� Everaldo Ribeiro Franco

Engenheiro e Ex-Professor Titular de Física da UFU

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Medidas e Erros

15

0HGLGDV�H�(UURV�� 0HGLGD�GH�XPD�JUDQGH]D�

Um dos aspectos mais importantes da Física Experimental consiste em testar teorias e

como regra geral, com poucas exceções, tais testes incluem medidas. Desta forma, a observação

de um fenômeno é incompleta quando dela não resultar uma informação quantitativa. Para se

conseguir esse tipo de informação, é necessário medir uma propriedade física e, por isso, a

medida constitui uma boa parte da rotina diária do físico experimental. William Thomson (/25'�.(/9,1, 1824-1907), dizia: “Tenho afirmado freqüentemente que quando se pode medir aquilo de

que se está falando, e exprimir essa medida em números, então ficamos sabendo algo a seu

respeito; mas quando não se pode exprimi-la em números, o conhecimento é limitado e

insatisfatório. Ele pode ser o começo do conhecimento mas o pensamento terá avançado muito

pouco para o estágio científico, qualquer que seja o assunto”. Ainda que esta afirmação possa

parecer exagerada, principalmente para algumas áreas do conhecimento humano, ela exprime

uma filosofia que um físico deve seguir durante todo o tempo que estiver fazendo pesquisas.

Medir uma grandeza significa compará-la com outra da mesma espécie e verificar quantas

vezes essa outra é menor ou maior do que ela. Assim, por exemplo, medir o comprimento, ��GH�uma haste, nada mais é do que verificar quantas vezes esse comprimento é maior (ou menor) do

que um comprimento tomado para comparação (ou padrão). Suponhamos, para exemplificar, que

o comprimento da haste considerada seja de 3 m. Isto significa que a haste contém 3 vezes o

comprimento do metro padrão. Exprimiremos isto de uma maneira concisa, dizendo que o

comprimento da haste é de 3 metros e escreveremos:

� ��P� convencionando que a expressão 3 metros significa: 3 vezes o comprimento de 1 m.

A porção de uma grandeza que é escolhida para termo de comparação das grandezas da

sua espécie é chamada unidade de medida da grandeza. No caso acima, a unidade de

comprimento escolhida foi o comprimento de 1 m.

Observando a relação anterior, verificamos que a expressão completa de uma grandeza é

constituída pelo produto de dois fatores: um deles é a unidade de medida da grandeza (no caso,

m), e o outro é a medida relativa a essa unidade, ou seja, o número que exprime quantas vezes a

grandeza medida contém a unidade utilizada (3, no caso acima considerado).

As leis físicas são relações entre medidas das grandezas que caracterizam um fenômeno;

são, pois, leis de natureza experimental que relacionam números resultantes de medidas

Física Experimental – Mecânica

16

efetivamente realizadas em laboratório. Foi desta forma que Galileu chegou à lei fundamental da

Mecânica, hoje conhecida como a 2ª lei do movimento de Newton-Galileu.

A exatidão dessas leis está, porém, condicionada pela precisão das medidas das

grandezas correspondentes ao fenômeno estudado e esta precisão depende de inúmeros fatores

inerentes ao mundo físico onde ocorrem os fenômenos. Em última análise, a medição de uma

grandeza física consiste em uma operação pela qual se efetua uma amostragem de todas as

observações possíveis da grandeza, e esses resultados estão por isso sujeitos a variações ou

flutuações decorrentes de inúmeros fatores resultantes de inevitáveis imperfeições nos dispositivos

de medida ou de limitações impostas pelos nossos sentidos que devem registrar a informação.

�� 2�FRQFHLWR�GH�HUUR�

Do que acabamos de expor, fica claro que todas as vezes que medimos uma grandeza

cometemos um certo erro, isto é, não encontramos, em geral, o seu valor correto ou exato, mas

sim apenas um valor aproximado. Este valor aproximado encontrado é chamado valor experimental

da grandeza medida.

Neste nosso curso estaremos interessados em apenas dois índices de erro, dos quais

passamos a tratar a seguir. Antes, porém, desejo esclarecer que a teoria dos erros, devida quase

totalmente a C. F. *$866 (1777-1855), físico e matemático alemão e um dos maiores gênios de

todos os tempos, tem sua origem no cálculo das probabilidades, e não será objeto de nosso estudo

aqui. O estudante interessado deverá consultar livros especializados no assunto.

�� (UUR�DEVROXWR�

Um valor experimental de uma grandeza contém, geralmente, um certo erro, ou seja, existe

geralmente uma discrepância entre o valor verdadeiro de uma grandeza e o valor experimental que

é resultado de uma operação de medida. A discrepância entre o valor verdadeiro (ou teórico) e o

valor experimental é geralmente indicada por meio de um índice de erro.

Assim, chamamos erro absoluto de uma medida de uma grandeza, por convenção, à

diferença entre o valor teórico (ou verdadeiro) da grandeza e o valor experimental que é obtido

pela medida efetuada:

Ea = Vv – Ve.

Por exemplo: se o valor verdadeiro da distância entre dois pontos for de 1m, e

encontrarmos, como resultado de uma medida, um valor de 0,999 m, o erro absoluto, Ea, da

medida, será de 0,001 m.

Medidas e Erros

17

É interessante observar, no entanto, que os valores verdadeiros não nos são, em geral,

acessíveis, a não ser em raríssimos casos. Para compreender isto, é interessante contrastar esse

conceito com o que ocorre na Matemática. Quando dizemos que a soma dos ângulos internos de

um triângulo vale 180º (na geometria euclidiana) ou ainda que sen² � �� FRVð � � �� HVWDPRV�enunciando valores e relações absolutamente exatos. Tais valores e relações referem-se a entes

abstratos que só existem em nossas mentes e não dependem de quaisquer experiências para

serem provados, o que não ocorre com as leis físicas. A exatidão absoluta das propriedades

matemáticas é simples conseqüência de elas serem estabelecidas mediante soluções lógicas,

feitas a partir de definições previamente convencionadas, e essas definições introduzem entes que

não existem no universo físico.

Ao contrário, as medidas físicas referem-se a propriedades do mundo físico que não

gozam da vantagem de serem verdades eternas. As medidas físicas estão sujeitas a incertezas,

não tendo sentido falar em valores exatos ou verdadeiros – a não ser que tais valores sejam

fixados convencionalmente, isto é, por definição. Por exemplo, o índice de refração do vácuo é

exatamente 1,000...; a permeabilidade magnética do vácuo é exatamente 4 .10-7

weber/ampère.metro; em ambos os casos trata-se de valores adotados e não medidos.

Assim, é importante insistir que os valores verdadeiros das diversas grandezas não nos

são, em geral, acessíveis, a não ser em raríssimos casos, como citado. Os valores experimentais

das grandezas é que nos são, em geral, acessíveis. Só muito raramente o valor experimental de

uma grandeza coincide com o seu valor verdadeiro, isto é, só muito raramente é nulo o erro

absoluto de uma medida. Suponhamos, para exemplificar, que desejamos saber qual o intervalo de

WHPSR�� W��TXH�XP�SODQDGRU�JDVWD�SDUD�SHUFRUUHU��XPD�FHUWD�GLVWância sobre um trilho de ar. Para

isto nos utilizamos de um cronômetro e suponhamos que, efetuando cinco vezes a medida do

LQWHUYDOR�GH�WHPSR� W�HQFRQWUDmos os seguintes valores: 1,972s; 1,987s; 1,926s; 1,994s; 1,932s.

(YLGHQWHPHQWH� R� LQWHUYDOR� GH� WHPSR� W� Qão pode ser simultaneamente 1,972s; 1,987s;

1,926s; 1,994s; 1,932s. Ou é 1,972s, ou é 1,987s, ou é 1,926s, ou é 1,994s, ou é 1,932s, ou não é

nenhum desses valores. Como nos decidirmos então? Qual o verdadeiro intervalo de tempo?

A resposta à segunda pergunta é simples: jamais poderemos saber qual o verdadeiro

intervalo de tempo. A primeira questão, isto é, como nos decidirmos quando o verdadeiro valor de

uma grandeza nos for inacessível, foi resolvida por Gauss, através do 32678/$'2�'(�*$866.

Assim, após algum tempo de pesquisas, Gauss adquiriu a convicção de que o valor mais

provável que uma série de medidas nos permite atribuir a uma certa grandeza é a média aritmética

dos valores individuais da série. Este valor convencionou-se ser o valor verdadeiro da medida. No

caso anteriormente considerado, o valor mais provável do intervalo de tempo, de acordo com

Gauss é:


18

W� ��V��RX�VHMD� W� ��V� Consideraremos então, por convenção, 1,962s o valor verdadeiro do intervalo de tempo.

Devemos acrescentar, ainda, uma informação importante: na apresentação do valor mais provável,

o último algarismo deve corresponder à mesma casa decimal dos valores medidos, devendo ser

arredondado para cima caso o próximo algarismo seja superior ou igual a 5.

Pode-se provar, em Estatística, que a média aritmética é o valor verdadeiro da medida

sempre que o número de medidas seja muito grande – teoricamente deveria ser infinito. Mas, na

prática, realiza-se apenas um número limitado de medidas, resultando, assim, apenas uma

estimativa do valor verdadeiro, em que esta se aproxima tanto mais do valor verdadeiro quanto

maior for o número de medidas.

�� (UUR�UHODWLYR�

Suponhamos que a distância entre dois dados pontos de uma rodovia seja de 400 km

(valor verdadeiro, por hipótese), que o comprimento de uma certa via pública seja de 4 km (valor

verdadeiro, por hipótese), e que duas pessoas, A e B, foram encarregadas de medir esses

comprimentos. Suponhamos mais: que a pessoa A encontrou, para a distância entre os dois

pontos da rodovia, um valor de 399 km, enquanto a pessoa B encontrou para o comprimento da via

pública um valor de 3 km. Poderíamos perguntar então: qual das duas pessoas cometeu maior

erro? Ora, os erros absolutos cometidos pelas duas pessoas foram iguais (no caso, 1 km).

Percebemos nitidamente, no entanto, que a importância do erro cometido pela pessoa A é muito

menor que a do erro cometido pela pessoa B, isto é, sentimos claramente que a pessoa A cometeu

um erro muito menos grave que a pessoa B, a despeito do fato de serem iguais os erros absolutos

cometidos por uma e outra. E isto pela simples razão de que 1 km a mais ou a menos em 400 km

faz uma diferença muito menos sensível do que 1 km a mais ou a menos em 4 km. Somos levados,

então, muito naturalmente, a dar mais importância não ao erro absoluto de uma medida de uma

grandeza, mas sim ao valor da razão entre esse erro e o valor verdadeiro da grandeza, chamado,

por convenção, de erro relativo, isto é:

Er = Ea/Vv.

Assim, no presente caso, os erros relativos cometidos pelas duas pessoas são:

A ⇒ Er = 1 km/400 km = 0,0025

B ⇒ Er = 1 km/4 km = 0,25,

o que nos mostra que o erro cometido pela pessoa A foi 100 vezes menor que o cometido pela

pessoa B.

Medidas e Erros

19

Os erros relativos são geralmente expressos sob a forma de porcentagem, o que nos dois

casos considerados nos leva a escrever:

A ⇒ Er = 0,0025 ou 0,25%

B ⇒ Er = 0,25 ou 25% .

É fácil observar, então, que quanto menor for o erro relativo de uma medida de uma

grandeza, mais próximo do seu valor verdadeiro estará o resultado encontrado, ou seja, mais

precisa foi a medida realizada.

Finalizando, desejamos alertar que o erro relativo é um número adimensional (por ser a

razão de duas grandezas de mesma espécie); o erro absoluto tem as mesmas unidades (ou

dimensões) da grandeza medida. E uma das razões de se medir a precisão pelo erro relativo é que

isto permite comparar as precisões de grandezas de espécies diferentes, o que, evidentemente,

não é possível utilizando o erro absoluto.

�� $OJDULVPRV�6LJQLILFDWLYRV�

Sabemos, então, que uma medida de uma grandeza qualquer é geralmente aproximada, a

aproximação sendo, em geral, função do operador e do instrumento utilizado. A grande parte das

medidas físicas envolve leituras de escalas quando, evidentemente, o instrumento não for digital.

Há óbvias limitações quanto à separação entre as linhas numa escala, sem falar no fato de que

estas linhas não têm, por certo, espessura nula. Em cada caso, portanto, a determinação do

algarismo final numa leitura terá que ser obtido por estimativa e, portanto, será, até certo ponto,

incerto. Não obstante, este algarismo incerto é significativo no sentido de que ele dá informação

utilizável sobre a quantidade que está sendo medida. Assim, a necessidade de se utilizarem

instrumentos de medidas nos leva a conceituar o que chamamos de algarismos significativos de

uma medida. Vejamos alguns exemplos. Utilizando-se uma régua centimetrada (dividida em

centímetros), conforme ilustra a figura, podemos observar que o comprimento AB pode ser

avaliado em 8,3 cm. Sendo o comprimento do segmento AB = 8,3 cm, temos os algarismos 8 e 3,

onde o 8 é correto e o 3 é avaliado (ou estimado). Um segundo observador poderia considerar 8,2

cm ou 8,4 cm. Por este motivo denominamos o algarismo 3 (no caso da primeira leitura) de

duvidoso.


20

Se utilizarmos uma régua comum (uma régua graduada até milímetros) para medir o

mesmo segmento, podemos ter uma situação conforme ilustrado a seguir. Neste caso podemos

avaliar seu comprimento como sendo AB = 8,26 cm. Os algarismos corretos são agora 8 e 2, pois

sabemos que o comprimento é maior que 8,2 cm e menor que 8,3 cm, ao passo que o duvidoso é

6, uma vez que sua obtenção surgiu de uma avaliação do experimentador.

Se utilizássemos um paquímetro, poderíamos obter, para a medida em foco, um valor de

8,271 cm, e um micrômetro nos permitiria obter um valor que poderia ser 8,2713 cm.

Uma régua graduada em centímetros nos permitiu ler a grandeza com dois algarismos (um

exato e um duvidoso); uma régua comum nos forneceu, para a mesma grandeza medida, três

algarismos (dois exatos e um duvidoso ou estimado), etc. Um instrumento de maior precisão

poderá medir uma mesma grandeza com um número maior de algarismos, ou seja, a precisão do

valor de uma quantidade física é refletida no número de algarismos significativos usados na

indicação do valor. Mas, estaríamos chegando ao verdadeiro valor da grandeza, ou apenas nos

aproximando de seu valor mais provável?

Com a segunda régua jamais poderíamos ler, digamos, 8,269 cm, pois no máximo

poderíamos ler apenas até centésimos de centímetro (avaliando). Conseqüentemente, usando tal

régua só poderíamos considerar representativos, ou seja, significativos, algarismos que

exprimissem até centésimos de centímetro, no máximo. Escrever, como resultado de medidas

efetuadas com tal régua, algarismos que representassem milésimos de centímetro, seria uma

atitude totalmente desprovida de significado lógico.

Estas considerações introduzem, de forma natural, o conceito de algarismos significativos

de uma medida, entendendo ser aqueles algarismos que sabemos serem corretos e mais o

primeiro duvidoso.

Em Física só devemos escrever algarismos significativos. Por este motivo vamos nos deter

um pouco mais na análise deste assunto.

Suponhamos que um certo estudante determinou a massa de um objeto como sendo m =

0,02130 kg. Esta grandeza foi obtida com quatro algarismos significativos. Observe que o zero à

direita é significativo (surgiu de uma avaliação) ao passo que os da esquerda não. Assim

poderíamos escrever também: 2,130.10 ² kg; 21,30.10 ³ kg; 2,130.10 g; 21,30 g. Em todas estas

formas apresentadas a medida continuou com quatro algarismos significativos. Qualquer

Medidas e Erros

21

representação da mesma que altere o número de algarismos significativos é incorreta como, por

exemplo, 2,13.10 ² kg. Neste caso o algarismo duvidoso agora é o 3, e a medida passou a ter três

algarismos significativos. É importante notar que a localização do ponto decimal nada tem a ver

com o número de algarismos significativos.

Utilizando-se o conceito de algarismo significativo pode-se compreender que, fisicamente,

5 m/s não é idêntico a 5,0 m/s.

Por fim desejo alertar o leitor para o fato de que, freqüentemente, o valor de uma grandeza

não é obtido por medida direta da grandeza, mas sim por meio de operações sobre valores de

outras grandezas. Foi nosso propósito não entrar no mérito das operações com algarismos

significativos, bem como remeter a textos específicos a questão referente à propagação de erros.

No entanto, considerando o conjunto das experiências aqui descritas e a aparelhagem existente

em nosso laboratório, iremos adotar em todo este nosso curso o procedimento mais simples, que

consiste em realizar todas as operações matemáticas sem tomar conhecimento do problema das

operações com algarismos significativos, devendo o resultado final, após o arredondamento, ser

apresentado com dois algarismos significativos após a vírgula.

�� 4XHVW}HV�

1. No exemplo citado no parágrafo 1.1, relativo ao comprimento da haste, falou-se em

“medida da grandeza relativa à unidade escolhida”. Quer isto dizer que a medida de uma

grandeza depende da unidade escolhida? Explique.

2. Podemos comparar a precisão de medidas de grandezas de espécies diferentes? Em caso

afirmativo, que índice de erro devemos usar?

�� 3UREOHPDV�

1. Medindo-se várias vezes, com uma mesma régua e usando-se a mesma técnica, a

distância d entre dois pontos fixos, A e B, encontraram-se os seguintes valores: 21,23 cm,

21,25 cm, 21,28 cm, 21,27 cm, 21,22 cm. Pede-se: a) quantos algarismos significativos há

em cada medida?; b) em cada medida quais os algarismos que sabemos serem corretos?;

c) qual a menor subdivisão da régua utilizada?; d) qual o valor mais provável que as

medidas efetuadas nos permitem atribuir à distância d?; e) qual o erro absoluto de cada

uma das medidas efetuadas?; f) qual o erro relativo percentual da terceira medida?

2. Medindo-se os ângulos agudos de um triângulo retângulo, encontraram-se os seguintes

valores: = 58Û��¶� H� � � ��Û��¶�� 3HGH-se calcular o erro relativo percentual que essas

medidas acarretam para a soma S = ��


22

3. Em um porta-aviões, os aviões, partindo do repouso, são impelidos por uma catapulta,

alcançando uma velocidade de 100 km/h no final da pista de lançamento. Supondo ser de

10% o erro relativo cometido na medida de tal velocidade, pede-se calcular quais poderão

ser os valores verdadeiros das velocidades dos aviões no final da pista de lançamento.

4. Um motorista viajando numa rodovia observa que o odômetro de seu automóvel assinala

5344 km quando passa pelo marco quilométrico 398 km da rodovia. Minutos depois ele

passa por outro marco que indica 448 km enquanto o odômetro registra 5392 km. Supondo

que a marcação da estrada esteja correta, qual o erro relativo percentual que se comete

quando se utiliza esse odômetro para medir distâncias?

5. Na construção de uma régua milimetrada, de 30 cm, houve um defeito na fabricação e ela

apresenta apenas 29 cm. Qual o erro relativo que se comete na utilização desta régua?

Um torneiro mecânico usando esta régua construiu um parafuso de 10 cm de

comprimento. Qual o verdadeiro comprimento do parafuso?

�� %LEOLRJUDILD� �

AXT, R. & GUIMARÃES, V.H.. )tVLFD� H[SHULPHQWDO� ,� H� ,,. Porto Alegre, Editora da Universidade

Federal do Rio Grande do Sul, 1981. 91p.

HENNIES, C.E. et alii. 3UREOHPDV�H[SHULPHQWDLV�HP�ItVLFD. Campinas, Editora da UNICAMP, 1986.

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MARTINS, N. et alii. )tVLFD� SDUD� D� XQLYHUVLGDGH�� DQiOLVH� GLPHQVLRQDO. São Paulo, Editora

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MORENO, M.Q.. ,QLFLDomR�j�DQiOLVH�GH�GDGRV�H[SHULPHQWDLV. Belo Horizonte, Universidade Federal

de Minas Gerais, 1986. 97p.

A Análise Dimensional

23

$�$QiOLVH�'LPHQVLRQDO�� ,QWURGXomR�

O fim último da Física é o conhecimento do Universo em que vivemos. Para isto esta

ciência procura descobrir as possíveis relações existentes (equações) entre as várias grandezas

físicas, isto é, entre os vários parâmetros capazes de caracterizar os fenômenos observáveis no

mundo físico; e as suas leis nada mais são do que as expressões dessas relações. As mais

importantes dessas leis são quantitativas, isto é, podem ser expressas por fórmulas contendo

símbolos representativos das medidas das grandezas consideradas.

Muitas dessas equações são conhecidas, enquanto que outras ainda não o são. Por

exemplo, o aluno pode se recordar da expressão que fornece a força centrípeta que mantém uma

partícula de massa m, e velocidade escalar v, em trajetória circular, de raio R; no entanto, julgamos

nós, ele já esqueceu, ou não estudou em seu curso pré-universitário, a expressão que fornece a

velocidade de escape – velocidade mínima necessária para que um corpo lançado de um planeta

não mais volte a ele.

A $QiOLVH� 'LPHQVLRQDO é desenvolvida a partir do estabelecimento do conceito de

dimensão de uma grandeza. E um dos muitos objetivos desse assunto, de particular interesse na

engenharia moderna, em que os problemas são às vezes tão complexos que os métodos da

Matemática Clássica são totalmente impotentes para resolvê-los, é o da previsão de fórmulas

físicas. Tal previsão, feita pela Análise Dimensional, se baseia no “SULQFtSLR�GD�KRPRJHQHLGDGH

GLPHQVLRQDO” e num importantíssimo teorema, conhecido como “WHRUHPD�GH�%ULGJPDQ”. Antes,

porém, devemos definir o que é um VtPEROR�GLPHQVLRQDO.

�� 2V�6tPERORV�'LPHQVLRQDLV�

Há tantas grandezas físicas que difícil se torna organizá-las. Elas não são, entretanto,

independentes uma das outras. Por exemplo, a energia cinética de uma partícula é igual ao

semiproduto da massa pelo quadrado da velocidade da partícula. O que fazemos é selecionar,

entre todas as grandezas físicas possíveis, um número pequeno delas que chamamos

fundamentais, sendo todas as demais grandezas derivadas delas. Surgem, em conseqüência,

duas perguntas: (a) quantas grandezas fundamentais deveriam ser selecionadas?; (b) Quais

seriam?

A resposta é simples e lógica: deveremos selecionar o menor número de grandezas físicas

que conduzirá a uma descrição completa da Física nos termos mais simples. Muitas escolhas são

possíveis. Em um dado sistema, por exemplo, força é uma grandeza fundamental. No sistema que

vamos adotar, é uma grandeza derivada.


24

Para ficar somente na área da Mecânica, a escolha de apenas três grandezas

fundamentais são suficientes para que possamos expressar todas as outras grandezas

pertencentes a esse campo da Física. A 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas (1971),

estruturada no trabalho de conferências e comitês internacionais precedentes, selecionou como

grandezas fundamentais o comprimento, a massa e o tempo. Esta é a base do Sistema

Internacional de Unidades, abreviado SI, do francês “Le Système International d’Unités”.

Desta forma, os símbolos dimensionais – que dão uma idéia da dimensão da grandeza –

usados em Mecânica são representados usualmente por L, M e T, respectivamente, isto é, usa-se

pôr:

[ s ] = L, [ m ] = M, [ t ] = T,

em que por s, m e t estamos representando, respectivamente, as grandezas comprimento, massa

e tempo.

Assim, a velocidade, que é uma grandeza derivada, tem por símbolo dimensional LT-1, isto

é: [ v ] = LT-1 .

A força escrita em símbolos dimensionais é: [ F ] = LMTØ², pois, força = massa x

aceleração.

�� 2�3ULQFtSLR�GD�+RPRJHQHLGDGH�'LPHQVLRQDO�

As equações da Física exprimem relações existentes entre um certo número de grandezas.

Representam, portanto, igualdades nas quais os dois lados da equação devem ter as mesmas

dimensões, isto é, devem ser de mesmo grau em relação aos símbolos dimensionais. Ou seja: as

equações físicas verdadeiras devem ser homogêneas em relação aos símbolos dimensionais. Esta

condição, necessária a toda e qualquer equação da Física, fornece-nos um critério cômodo e

seguro para reconhecer, de partida, se uma determinada equação é falsa ou se pode ser

verdadeira. Tal critério, que é denominado “princípio da homogeneidade dimensional” é o seguinte:

“Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea”.

Note-se que esse princípio fornece-nos apenas uma condição necessária, mas não

suficiente para a legitimidade de uma equação física, isto é, uma equação física não pode ser

verdadeira se não for dimensionalmente homogênea, mas nem toda equação dimensionalmente

homogênea é obrigatoriamente verdadeira fisicamente. Assim, em qualquer equação física

autêntica as dimensões de todos os termos devem ser as mesmas.

Para exemplificar, citemos um fato comum entre os alunos. Sabemos que o volume de um

cilindro reto de altura h e raio de base r é dado por V = r²h, uma igualdade dimensionalmente

homogênea. No entanto, é comum estudantes apresentarem em seus relatórios que o volume do


25

cilindro é V = 2 rh, uma equação dimensionalmente não homogênea. Por outro lado, se o

estudante escrevesse, para tal volume, V = rh², podemos notar que a equação é

dimensionalmente homogênea, mas não verdadeira. Portanto, uma das maneiras de verificar se

uma equação apresenta erro, é examinar as dimensões de cada um de seus termos.

�� $�'LPHQVLRQDO�GH�XP�1~PHUR�5HDO�

Algumas equações da Física apresentam constantes puramente numéricas, enquanto que

outras têm constantes universais mas que possuem unidades, isto é, possuem dimensão. Assim, a

expressão da energia cinética de uma partícula de massa m, animada de velocidade escalar v, é K

= (1/2)mv². Neste caso 1/2 é um fator puramente numérico, como se pode comprovar aplicando o

princípio da homogeneidade dimensional. Já a lei de Newton da gravitação universal mostra-nos

que G – constante gravitacional – possui dimensão. Sugerimos que o leitor determine e verifique o

seu símbolo dimensional.

Nestas condições, embora exista uma demonstração a respeito, deve-se ter concluído que

o símbolo dimensional de um fator puramente numérico (um número puro ou um número

adimensional, como se costuma chamar) é igual a um, isto é, [fator puramente numérico] = LÛ�0Û�7Û��= 1.

�� 2�7HRUHPD�GH�%ULGJPDQ�

Enfatizamos, anteriormente, que uma das possibilidades da Análise Dimensional é a

previsão de fórmulas físicas. Consegue-se, mediante simples considerações dimensionais,

determinar o aspecto geral da expressão de uma lei física, isto é, determinar com que dimensões

irão aparecer, nessa expressão, as diversas grandezas que influem no fenômeno em estudo. No

entanto, o pesquisador que procura prever a fórmula de um fenômeno deve conhecer, a priori, as

diversas grandezas que influem nele, pois o processo para a previsão de fórmulas baseia-se no

princípio da homogeneidade das leis físicas. O processo geral para a previsão consiste em

estabelecer a igualdade entre as dimensões das grandezas correspondentes dos dois membros da

expressão procurada. Chega-se, assim, a um sistema de equações, que resolvido dá as

dimensões que se quer determinar.

A equação matemática que relaciona as diversas grandezas envolvidas no fenômeno é

fornecida pelo seguinte teorema, conhecido como teorema de Bridgman, que, como já dissemos, é

fundamental para a Análise Dimensional. Tal teorema afirma:

“Uma qualquer grandeza física pode sempre ser posta, a menos de um fator puramente

numérico, sob a forma de produto de potências de grandezas das quais a considerada dependa,

isto é, se a grandeza G depende das grandezas A, B, C,..., pode-se sempre escrever que”:


26

G =K. Aa Bb Cc...

onde K, a, b, c, ... são números puros”.

Admitiremos este teorema, neste nosso curso, sem demonstração, uma vez que a mesma

está acima do escopo e do objetivo proposto.

Para finalizar, duas observações se fazem necessárias: 1ª) a previsão de fórmulas físicas através

da Análise Dimensional só é possível, como já enfatizado, quando sabemos de quais grandezas a

grandeza procurada depende. Desse modo a Análise Dimensional é inoperante quando não são

conhecidas as relações qualitativas existentes entre as grandezas relativas a um determinado

problema, isto é, quando não se sabe de quais grandezas uma determinada grandeza depende.

Por este motivo a Análise Dimensional deve ser usada, na tecnologia, juntamente com a

experimentação, pois que só a experiência pode indicar, de maneira simples, quais os fatores que

têm influência sobre um determinado fenômeno. Tal fato está, na realidade, ligado ao conceito de

função, onde a palavra função é empregada aqui em sua acepção científica, isto é, no sentido de

Dirichlet-Moore: correspondência unívoca; 2ª) a Análise Dimensional não admite coeficientes

numéricos; isto faz com que, em geral, não seja possível determinar completamente a lei física de

um fenômeno qualquer, pois nela poderá figurar um coeficiente puramente numérico. A

determinação desse coeficiente deverá ser feita experimentalmente.

([HPSOR�

Prever, usando Análise Dimensional, uma expressão que permita calcular a força

centrípeta atuante sobre uma partícula de massa m, que descreve, com uma velocidade escalar v,

uma curva de raio R, sabendo-se experimentalmente que a força centrípeta, F, depende apenas de

m, v e R e que é igual a 1 o fator adimensional que figura na relação de dependência procurada.

De acordo com os dados fornecidos no enunciado do problema, temos pelo teorema de

Bridgman:

F = f (m; v; R) ⇒ F = K. ma.vb.Rc

onde K é um fator puramente numérico e a, b e c são os expoentes a serem determinados.

Passando-se os símbolos dimensionais na equação precedente e de acordo com o

princípio da homogeneidade dimensional, vem que:

[F] = [m]a. [v]b. [R]c

donde, tendo-se os símbolos dimensionais das grandezas envolvidas e que são: [F] = LMT-2, [K] =

1, [m] = M, [v] = LT-1, [R] = L, vem que:


27

LMT-2 = Ma.(LT-1)b.Lc = Lb+c.Ma.T-b , donde resulta:

b + c = 1; a = 1; -b = -2, que fornece: a = 1, b = 2, c = -1.

Levando-se para a equação procurada estes valores dos expoentes encontrados, vem que:

F = K.m.v².RØ1, e sabendo-se que K = 1, resulta a equação já conhecida:

F = mv²/R.

�� 3UREOHPDV�

1. A velocidade mínima necessária para que um corpo lançado de um dos pólos da Terra não

volte mais a esta é de aproximadamente 11,2 km/s (considerando-se desprezível a

resistência do ar), velocidade esta chamada velocidade de escape. Determine a expressão

desta velocidade, sabendo-se que ela depende apenas da constante G da gravitação

universal e da massa, M, e do raio, R, da Terra.

2. A potência P de uma hélice de avião depende da densidade absoluta � GR� DU�� GD�YHORFLGDGH� DQJXODU� � H� GR� UDLR� U� GD� Kélice. Determine a equação que dá a potência em

função das grandezas das quais depende.

3. A velocidade com a qual uma onda transversal se propaga num fio de massa específica

OLQHDU� �� VXEPHWLGR� D� XPD� WUDção uniforme T, depende apenas de � H� 7�� &DOFXOH� D�velocidade com a qual uma onda transversal se propagará num fio metálico submetido a

uma tração uniforme de 9,0 kgf, sabendo-se que o fio tem 50 cm de comprimento e 0,050

kg de massa. Sabe-se mais: que o fator adimensional que figura na relação de

dependência da velocidade da onda em função de �H�7�YDOH�� 4. Calcule a velocidade v coma qual uma onda longitudinal se propaga num meio elástico,

contínuo, cuja massa específica vale � H� FXMR�Pódulo de Young vale E. Sabe-se que v

GHSHQGH�DSHQDV�GH� �H�(�H�TXH�R�IDWRU�DGLPHQVLRQDO�WHP�YDORU�LJXDO�D�� 5. A altura h que um líquido, num tubo capilar, alcança acima do nível livre fora do tubo é

inversamente proporcional ao diâmetro d do tubo. Explique como h depende da tensão

VXSHUILFLDO� �GR�Oíquido, da sua massa específica �H�GD�DFHOHUDção da gravidade g no local

onde esteja situado o tubo.

6. O tempo de contato entre duas esferas idênticas, parcialmente elásticas, ao se chocarem

centralmente, é diretamente proporcional ao raio R das esferas e inversamente

proporcional à raiz quinta da velocidade relativa v de aproximação das esferas. Calcule

como o tempo de contato, t, depende também do módulo de Young E e da massa

específica �GR�PDWHULDO�GDV�HVIHUDV��VDEHQGR-VH�TXH�W�GHSHQGH�DSHQDV�GH�5��Y��(�H� �


28

7. Kepler, apoiado em observações do astrônomo Tycho Brahe, de quem ele havia sido

colaborador, encontrou que os quadrados dos períodos, T1 e T2, de revolução de dois

planetas em torno do Sol estão entre si como uma certa potência, n, da razão entre os

comprimentos, a1 e a2, dos semi-eixos maiores das elipses que eles descrevem em torno

do Sol, isto é, encontrou que: T1²/T2² = (a1/a2) ��6DEHQGR-se que o período de revolução de

um planeta em torno do Sol depende apenas da massa M do Sol, da constante G da

gravitação universal e do comprimento a do semi-eixo maior da órbita do planeta, calcule o

valor de n que satisfaça a equação acima, equação essa que traduz matematicamente a 3ª

lei de Kepler.





v.1, 221p.

MAIA, L.P.M.. ,QWURGXomR�j�ItVLFD. Rio de Janeiro, Nacionalista, 1961. 143p.

MARTINS, N. et alii. )tVLFD� SDUD� D� XQLYHUVLGDGH�� DQiOLVH� GLPHQVLRQDO. São Paulo, Editora

Pedagógica e Universitária, 1979. v.1, 133p.

Gráficos

29

*UiILFRV�� ,QWURGXomR�

Como sabemos, as leis físicas expressam relações entre quantidades físicas. Estas

relações podem ser apresentadas de várias maneiras:

I. em palavras, através de um enunciado;

II. em símbolos, por meio de uma equação;

III. pictoricamente, através de um gráfico.

A escolha dependerá do uso que se quer fazer da informação. Por exemplo, se queremos

fazer cálculos, então uma equação é o meio de expressão mais conveniente.

A representação gráfica, que constitui o objetivo desta unidade, é um dos recursos mais

valiosos para a análise de dados experimentais, ou, em outras palavras, soluções gráficas são

particularmente usadas quando o fenômeno estudado vem definido por dados experimentais; daí

sua ampla utilização em Física.

Assim, recorre-se aos gráficos seja para verificar se uma determinada lei física é válida em

condições especificadas, seja para estabelecer a lei física que porventura relacione certas

grandezas, seja ainda para calcular o valor de constantes físicas.

De maneira geral, no estudo de qualquer fenômeno, os cientistas devem lançar mãos de

gráficos e equações para relacionar as grandezas ligadas ao fenômeno. Por isto mesmo, nesta

unidade, vamos estudar alguns aspectos importantes dos gráficos que serão usados, ao longo do

curso, para descrever fenômenos não só da Física mas também de outras ciências.

�� &RQVWUXomR�GH�*UiILFRV�

Um gráfico serve para mostrar a conexão entre duas quantidades variáveis, sendo uma

representação diagramática do modo como uma varia em função da outra. Para representar

graficamente a relação entre duas variáveis, costuma-se observar algumas regras práticas

tradicionalmente adotadas, a seguir descritas:

a. Todo gráfico deve ser construído a partir de dados adequadamente tabulados. A tabela

deve conter os símbolos das grandezas envolvidas e suas respectivas unidades de medida

e, a seguir, os valores das variáveis medidas.

b. No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente, isto é, a variável cujos

valores são escolhidos pelo experimentador; no eixo vertical (ordenada) é lançada a

variável dependente, isto é, aquela obtida em função da primeira.


30

c. Para lançar os pares de pontos, precisamos adotar uma escala que não necessita ser igual

para os dois eixos, pois representam grandezas diferentes, mas que deverá estar de

acordo com os algarismos significativos dos dados e escolhida de maneira que o gráfico

ocupe todo o papel e não fique restrito a um canto. A escala deve ser simples. Adotam-se

valores múltiplos ou submúltiplos de números inteiros (0,1; 0,2; 0,3;...; 1; 2; 3; ...; 10; 20;

30; ...). Quando for necessário ressaltar algum ponto, deve-se fazê-lo de maneira clara.

Finalmente, se os valores a representar forem muito grandes ou muito pequenos, convém

escrevê-los usando potências de 10 que devem ser lançadas junto com a unidade de

medida correspondente.

d. O traçado da curva deve ser suave e contínuo, adaptando-se da melhor maneira aos

dados experimentais a menos que não se trate de uma função contínua. Unir pontos

experimentais com traços retos, dois a dois, implica em que a relação entre as duas

grandezas tenha uma forma quebrada, o que, exceto em circunstâncias especiais, é pouco

provável ocorrer.

e. Cada ponto deve ser claramente identificado por símbolos, tais como um ponto (�), um

quadrado ( ), um círculo( ��XP�WULkQJXOR�� Às vezes, em um mesmo sistema de eixos

são traçados dois ou mais gráficos a fim de permitir comparar o comportamento de um

sistema em diferentes circunstâncias. É conveniente, nesses casos, identificar os pontos

de cada gráfico com símbolos diferentes, indicando em uma legenda o significado de cada

um.

f. Efetuado o traçado do gráfico, deve-se indicar o fenômeno representado, dando-lhe um

título objetivo e claro.

A título de ilustração, mostramos um gráfico do trabalho realizado pela força resultante

sobre três carrinhos de massas diferentes em função do quadrado da velocidade de cada carrinho,

onde os dados foram obtidos experimentalmente com um trilho de ar.

Gráficos

31

�� /LQHDUL]DomR�GH�XPD�)XQomR�

É importantíssimo acrescentar que somente quando o gráfico de uma lei física é retilíneo

podem ser obtidos dados quantitativos sobre ela, tais como os valores de constantes que figuram

na lei física do fenômeno. Como nem todas as leis físicas são lineares, o problema então é como

lançar os dados experimentais no gráfico para obter uma linha reta.

No gráfico anterior, que é linear, observe que está representado o trabalho em função do

quadrado da velocidade dos carrinhos. Se tivéssemos representado o trabalho em função da

velocidade de cada carrinho, o gráfico seria uma parábola, como se mostra a seguir, e, neste caso,

pouca ou nenhuma utilidade teria esse gráfico em laboratório. Os gráficos curvilíneos quase

sempre têm apenas o propósito de ilustrar o comportamento de um sistema físico, isto é, esses

gráficos descrevem visualmente as propriedades do sistema estudado mas não permitem extrair

informações quantitativas. Geralmente são desse tipo os gráficos que figuram nos livros didáticos

de Física.

Como afirmamos, nem sempre a lei física de um dado fenômeno é linear; entretanto, é

sempre possível transformar, mediante simples artifícios de cálculo, expressões não lineares em

lineares. E como os gráficos retilíneos são os que permitem obter informações quantitativas,

freqüentemente, é necessário fazer uma transformação matemática na expressão de uma lei física

e reagrupar convenientemente os dados experimentais, a fim de que o gráfico correspondente seja

retilíneo. A este processo chamamos de linearização.

Como não existe um método geral, aplicável a todos os casos, cada um deve ser

examinado individualmente, para se conseguir a transformação adequada. O fato é que devemos

sempre proceder a uma transformação na função para que ela tome exatamente o aspecto de uma

reta, isto é, fique da forma y = a + bx. Por exemplo, seja a função x.y = c, que representa a

dependência entre as variáveis x e y, sendo o gráfico cartesiano de y versus x equivalente a uma


32

hipérbole. Se fizermos x = 1/z, então teremos transformado uma hipérbole numa reta que passa

pela origem, pois teremos obtido a equação linear y = cz.

�� 5HJUHVVmR�/LQHDU�6LPSOHV�

Para que o gráfico representativo de um dado fenômeno seja retilíneo, como já explicado,

freqüentemente é preciso reagrupar as variáveis a serem representadas nos eixos cartesianos.

Uma vez linearizada a função temos então a garantia de que os pontos, devidamente

transformados pela linearização, pertencem a uma reta. No entanto, como os valores medidos

acham-se afetados por erros, os pontos não estarão nunca exatamente alinhados, o que nos leva

à procura da “melhor reta” que represente esses pontos.

O procedimento consagrado para se encontrar a “melhor reta” é uma combinação de

análise gráfica e análise numérica, denominada regressão linear, e se baseia no método dos

mínimos quadrados. Quando apenas duas variáveis estiverem envolvidas, uma independente e

outra dependente, ter-se-á o caso de regressão simples. Se duas ou mais variáveis independentes

e uma dependente estiverem envolvidas, ter-se-á uma regressão múltipla. Trataremos, aqui,

somente do primeiro caso.

Sejam, então, duas grandezas tais que a variação do valor de uma delas acarreta a do

valor da outra. Assim, depois de obtidos n valores experimentais das grandezas e realizadas as

devidas transformações necessárias à linearização, temos, portanto, uma representação gráfica

que é uma função linear da forma y = a + bx, onde a e b são as constantes, a serem encontradas,

da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais.

No caso da regressão linear simples, demonstra-se em Estatística, pelo método dos

mínimos quadrados, que a equação da “melhor reta” será determinada pela resolução do sistema

de equações:

�\� �QD��E�[

�[\� �D�[��E�[² ,

que nos permitirá determinar o coeficiente linear, a, e o coeficiente angular, b, da reta de regressão

linear, y = a + bx, que é a reta que melhor se ajusta aos pontos. Aqui, n representa o número de

pares de pontos obtidos experimentalmente.

Por fim, é importante salientar que uma das grandes vantagens do método da regressão linear é

que o traçado da “melhor reta” passa a ser um processo inteiramente objetivo, dispensando o

julgamento visual de melhor ajustamento aos pontos experimentais.

�

Gráficos

33

([HPSOR��

Os valores da tabela correspondem a um exemplo experimental, no qual um planador

desloca-se com aceleração constante sobre um trilho retilíneo, partindo da origem do referencial

com velocidade inicial nula. Para o estudo da lei posição-tempo, s = f(t), medem-se os tempos

gastos pelo planador para atingir diferentes posições.

s(m) t(s)

0,2 1,671

0,3 2,050

0,4 2,352

0,5 2,626

0,6 2,868

0,7 3,100

Lançando-se estes dados em um gráfico da posição em função do tempo teremos uma

parábola, pois para um movimento de aceleração constante a equação correspondente é da forma

s = so + vot + t²/2, onde no caso presente so = 0 e vo = 0.

Para linearizar a função anterior, basta fazer t² = u, resultando assim a função s = ( /2)u,

uma reta que passa pela origem e de inclinação igual a /2. É o que nos mostra o gráfico de s

contra t².


34

Deste último gráfico podemos obter a aceleração do planador pela inclinação da reta, ou

VHMD��WHUHPRV��WJ � � /2, que dá aproximadamente ≈ 0,15 m/s².

Este mesmo resultado poderá ser obtido por regressão linear, onde: y = s, x = t², a = 0 e b

= /2. A tabela a seguir ajudará nos cálculos de a e b da reta de regressão linear.

y x xy x²

0,2 2,792 0,558 7,795

0,3 4,203 1,261 17,665

0,4 5,532 2,213 30,603

0,5 6,896 3,448 47,555

0,6 8,225 4,935 67,651

0,7 9,610 6,727 92,352

2,7 37,258 19,142 263,621

Aplicando-se as equações para determinação de a e b, teremos:

2,7 = 6a + 37,258b

19,142 = 37,258a + 263,621b,

que, resolvidas, dão: a = - 0,0073 ≈ 0 (um resultado esperado) e b = 7,36.10-2.

Assim a aceleração do movimento é: /2 = 7,36.10-2 ⇒ ≈ 0,15 m/s².

�

Gráficos

35

([HPSOR��

Resolver o mesmo problema anterior admitindo que a função s = f(t) seja da forma s = k.t �� Para linearizar essa função devemos tomar logaritmos:

log s = log k + n log t,

e fazer y = log s e x = log t. Teremos então uma reta cuja inclinação é n (o valor do expoente) e

como coeficiente linear, log k. A tabela a seguir ajudará nos cálculos de a e b da reta de regressão

linear, onde a = log k e b = n.

s(m) t(s) x = log t y = log s

0,2 1,671 0,22298 -0,69897

0,3 2,050 0,31175 -0,52288

0,4 2,352 0,37144 -0,39794

0,5 2,626 0,41929 -0,30103

0,6 2,868 0,45758 -0,22185

0,7 3,100 0,49136 -0,15490

Resolvendo-se de forma semelhante ao exercício anterior, encontramos (a

complementação da tabela deixamos a cargo do leitor):

a = -1,15 e b = 2,03.

Deste modo obteremos: -1,15 = log k ⇒ k = 7,08.10 ², que fornece uma aceleração de

2x7,08.10 ² ≈ 0,14 m/s², bem próxima àquela calculada no exemplo anterior.

Como o valor de b dá o expoente da função, vem que o seu valor a partir dos dados

experimentais é 2,03, com um erro absoluto de 0,03 (o seu valor verdadeiro é 2).

�� 3UREOHPDV�

1. A equação dos focos conjugados, que exprime a relação entre as distâncias imagem e

objeto (p' e p) de uma lente esférica delgada com a respectiva distância focal f, é: 1/f = 1/p

+ 1/p'. Como devemos transformar as variáveis para se obter uma reta? Qual a inclinação

da reta? E o seu coeficiente linear?

2. A tabela mostra o acréscimo �QR�FRPSULPHQWR�GH�XP�ILR�GH�Dço em função da variação

�GD�WHPSHUDWXUD��2�FRPSULPHQWR�LQLFLDO�GR�ILR�é o = 1 m.


36

�PP� �ºC)

0,20 18

0,35 32

0,50 44

0,75 68

1,00 90

Determine, por regressão linear, o coeficiente de dilatação linear do material. Construa

um gráfico de �FRQWUD� �H�REWHQKD�GR�PHVPR�R�FRHILFLHQWH� .

3. Uma experiência muito simples, cujo resultado revela um decaimento exponencial de

temperatura, consiste em aquecer água alguns graus acima da temperatura ambiente e,

após colocá-la num recipiente fechado, controlar como sua temperatura decresce em

função do tempo. A tabela a seguir mostra dados desse experimento, sendo � D�temperatura da água. Durante a coleta dos dados a temperatura ambiente permaneceu

constante.

t(min) (ÛC)

0 35,2

10 33,1

20 31,5

30 30,0

40 28,8

50 27,6

60 26,0

Trace um gráfico da temperatura em função do tempo, e outro do Q� � HP� IXQção do

tempo. Em seguida, aplique a regressão linear e encontre a função � �I�W�� 4. A tabela registra o período de oscilação, T, de um corpo de massa m suspenso de uma

mola helicoidal que vibra verticalmente. A equação que relaciona T e m é:

__________ T = 2 ¥��P��0��N��

sendo M a massa da mola e k uma constante.

Gráficos

37

m(kg) 0,1910 0,2395 0,2880 0,3365 0,3850 0,4335

T(s) 0,731 0,816 0,892 0,964 1,030 1,090

Aplicando regressão linear, encontre a constante k e a massa M da mola.

5. Em uma lente convexa, a distância do objeto ao primeiro foco, x, e a distância da imagem

ao segundo foco, y, estão relacionadas pela equação x.y = f², sendo f a distância focal da

lente. Em uma experiência foram obtidos os dados seguintes:

x(mm) 61 114 145 162 200

y(mm) 236 126 99 89 72

A partir dos dados construa um gráfico que permita encontrar o valor da distância focal f da

lente. Aplique a regressão linear e obtenha f.





v.1, 221p.

MORENO, M.Q.. ,QLFLDomR�j�DQiOLVH�GH�GDGRV�H[SHULPHQWDLV. Belo Horizonte, Universidade Federal

de Minas Gerais, 1986. 97p.

��3$57(��

'HVFULomR�GDV�([SHULrQFLDV�*DOLOHX�p�FRQVLGHUDGR�DWXDOPHQWH�R�3DL�GD�&LrQFLD�0RGHUQD��QmR�DSHQDV�SHOR�YDORU�LQWUtQVHFR�GDV�VXDV�FRQWULEXLo}HV��PDV�WDPEpP��H�SULQFLSDOPHQWH��SHOR�PpWRGR�SRU�HOH�LQWURGX]LGR�QD�SHVTXLVD�FLHQWtILFD��R�PpWRGR�H[SHULPHQWDO��1mR�TXHUHPRV�FRP�LVVR�GL]HU�TXH�DQWHV�GH�*DOLOHX�QmR�VH�IL]HVVHP�H[SHULPHQWDo}HV�QD�SHVTXLVD�GD�1DWXUH]D��2�TXH�GLVWLQJXLX�R�PpWRGR�H[SHULPHQWDO�GH�

*DOLOHX�IRL�D�VXD�PHQWDOLGDGH�LQWHLUDPHQWH�QRYD��ID]HQGR�D�H[SHULPHQWDomR�VXEVWLWXLU�R�SULQFtSLR�GD�DXWRULGDGH��H�WDPEpP�D�IRUPD�SRU�HOH�DGRWDGD�QD�LQWHUSUHWDomR�GRV�GDGRV�IRUQHFLGRV�SHOD�

H[SHULrQFLD��D�IRUPD�VLPSOLILFDGRUD�GR�UDFLRFtQLR�PDWHPiWLFR��$OLiV��*DOLOHX�HUD�XP�DSDL[RQDGR�GD�DSOLFDomR�GD�0DWHPiWLFD�DR�HVWXGR�GD�1DWXUH]D��1XP�GRV�VHXV�OLYURV�PDLV�IDPRVRV��,O�6DJJLDWRUH��

5RPD��HOH�GHFODUD�H[SOLFLWDPHQWH��³2�OLYUR�GD�1DWXUH]D�p�HVFULWR�HP�OLQJXDJHP�PDWHPiWLFD��RV�VHXV�FDUDFWHUHV�VHQGR�WULkQJXORV��

FtUFXORV�H�RXWUDV�ILJXUDV�JHRPpWULFDV��VHP�WDLV�PHLRV�p�KXPDQDPHQWH�LPSRVVtYHO�HQWHQGHU�VH�XPD�SDODYUD��p�XP�GHEDWHU�VH�LQXWLOPHQWH�QXP�ODELULQWR�HVFXUR´��

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB��

$V�H[SHULrQFLDV�DTXL�GHVFULWDV�RIHUHFHP�D�YDQWDJHP�GH�IXQFLRQDU�FRP�HTXLSDPHQWR�SRXFR�GLYHUVLILFDGR��VLPSOHV��GH�IiFLO�RSHUDomR�H�FDSD]�GH�DVVHJXUDU�PHGLGDV�UiSLGDV�H�SUHFLVDV��

$SDUHOKRV�VRILVWLFDGRV�RFXOWDP��HP�JHUDO��D�VLPSOLFLGDGH�GD�TXHVWmR�LQYHVWLJDGD��HQTXDQWR�TXH�DSDUHOKRV�PDLV�VLPSOHV�IDYRUHFHP�D�REVHUYDomR�GRV�SULQFtSLRV�GH�)tVLFD��$�ULJRU��JUDQGH�SDUWH�GR�HTXLSDPHQWR�TXH�VHUi�XWLOL]DGR�IRL�SURGX]LGR�QDV�RILFLQDV�H�ODERUDWyULRV�GD�8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�

GH�8EHUOkQGLD��

$�GHVFULomR�GRV�WUDEDOKRV�GHVWD�SDUWH�GHYHUi�VHU�IHLWD�DWUDYpV�GH�UHODWyULRV��'DGRV��FiOFXORV�H�JUiILFRV�FRQVWLWXHP�R�FRUSR�GR�UHODWyULR��2V�PHVPRV�GHYHUmR��WDPEpP��WHU�XP�WtWXOR��XPD�

LQWURGXomR�FRP�GHVWDTXH�SDUD�R�LQWHUHVVH�ItVLFR�GR�SUREOHPD��H�XPD�GHVFULomR�GR�SURFHGLPHQWR�H[SHULPHQWDO�DGRWDGR��$OpP�GLVWR��DV�UHVSRVWDV�jV�TXHVW}HV�SURSRVWDV�H�XPD�GLVFXVVmR�GRV�

UHVXOWDGRV��LQFOXLQGR�XPD�HVWLPDWLYD�GR�HUUR�H�FRPHQWiULRV�DGLFLRQDLV�UHOHYDQWHV��p�IXQGDPHQWDO��

3RU�ILP��DFUHVFHQWR�TXH�WRGDV�DV�H[SHULrQFLDV�IRUDP�WHVWDGDV�DQWHV�GH�VHUHP�SURSRVWDV�DR�DOXQR��H�RV�UHVXOWDGRV�REWLGRV�VmR�GH�H[FHOHQWH�SUHFLVmR��

O Pêndulo Simples

41

2�3rQGXOR�6LPSOHV�� ,QWURGXomR�

Teoricamente um SrQGXOR� VLPSOHV� é um sistema ideal que consiste de uma massa

puntiforme suspensa por um fio leve e inextensível. Em termos práticos pode ser considerado

como uma massa suspensa por um fio preso em um ponto fixo. Quando afastado de sua posição

de equilíbrio e largado, o pêndulo oscilará em um plano vertical executando um tipo de movimento

denominado de PRYLPHQWR�KDUP{QLFR�VLPSOHV (0�+�6�). Se o ângulo máximo de afastamento for

SHTXHQR� �DPSOLWXGH� ��º), o pêndulo executará um movimento cujo período T independe de ��dependendo apenas do comprimento �GR�Sêndulo e da aceleração da gravidade local g.

�� 3URFHGLPHQWR�

Sabe-se que o comprimento �GH�XP�Sêndulo simples não coincide com o comprimento do

fio, sendo, na realidade, a distância do ponto de suspensão até o centro de gravidade da massa

pendular. Como, em geral, a posição exata do centro de gravidade do pêndulo é desconhecida,

torna-se impossível medir �GLUHWDPHQWH��0DV�LVWR�SRGH�VHU�FRQWRUQDGR�ID]HQGR-se uma marca no

fio um pouco acima da massa pendular, de modo a dividir o comprimento �HP�GXDV�SDUWHV��XPD�GR�centro de gravidade até a marca (distância c), e outra da marca até o ponto de suspensão

(distância p). Assim teremos que � �S��F��VHQGR�SRVVtYHO�PHGLU�S�GLUHWDPHQWH� Nesta experiência determinaremos o valor da constante adimensional, K, da equação do

período do pêndulo simples, e a posição do centro de gravidade do pêndulo (distância c). Para tal

devemos construir cinco pêndulos diferentes, isto é, tomaremos cinco valores diferentes de p, e

mediremos, com auxílio do cronômetro, o tempo para o pêndulo executar 20 oscilações completas.


42

p(m) 20T(s)

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

A fim de ajudar na obtenção dos valores pretendidos, siga as instruções a seguir:

I. Obtenha, por Análise Dimensional, a equação do período do pêndulo simples, sabendo

que T = f( ��J�� II. Substitua, na equação encontrada acima, �SRU�S��F�

III. Linearize a nova equação, identificando o coeficiente linear e o coeficiente angular da reta

de regressão com os parâmetros desejados.

IV. Aplique aos dados da tabela a regressão linear e encontre K e c (é dado o valor da

aceleração da gravidade de Uberlândia: g = 9,79 m/s²).

�� 4XHVW}HV�

1. Sabendo-se que o valor verdadeiro da constante adimensional K é 2 , qual o erro relativo

cometido no valor experimental encontrado?

2. Trace, em papel milimetrado, um gráfico de T² em função de p e obtenha do gráfico os

valores de K e de c.

3. Esboce um gráfico qualitativo da velocidade da esfera em função do tempo, considerando

apenas o tempo correspondente a meio período. Em que pontos a aceleração tangencial

da esfera é máxima? E nula? Em que pontos a velocidade é mínima? E máxima? Mostre

como tudo isso é evidenciado no gráfico.

�� %LEOLRJUDILD�

GOLDEMBERG, J.. )tVLFD� JHUDO� H� H[SHULPHQWDO. 3.ed. São Paulo, Companhia Editora Nacional,

1977. v.1, 525p.

HEINE & HOLZER. 3K\VLFV�� XQLYHUVLW\� ODERUDWRU\� H[SHULPHQWV. Göttingen, Phywe Series of

Publications, 1980.

O Pêndulo Simples

43

RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. )tVLFD. 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1980.

v.2, 309p.

TIPLER, P.A.. )tVLFD. 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.

Pêndulo Bifilar

45

3rQGXOR�%LILODU�� ,QWURGXomR�

Chama-se SrQGXOR�ELILODU ao sistema formado por uma barra horizontal homogênea presa

por dois fios verticais de mesmo comprimento e igualmente distanciados das extremidades, que

pode oscilar em torno de um eixo vertical central O-O, conforme mostra a figura.

Sabe-se que o período T de um tal pêndulo, para pequenas oscilações, depende do

comprimento �GR�Sêndulo (distância do ponto de suspensão até o centro de gravidade da barra),

da distância d entre os fios, da aceleração da gravidade local g, da massa m da barra e de seu

momento de inércia I em relação ao eixo de rotação (símbolo dimensional igual a L²M), isto é: T =

f( � �� G� �� J� �� P� �� ,�� 1R� HQWDQWR�� VRPHQWH� SHOR� 7HRUHPD� GH� %ULGJPDQ não é possível prever a

equação física que relaciona tais parâmetros, o que nos obriga a apelar para a experimentação a

fim de levantar as indeterminações que surgem e, assim, chegarmos à equação física do

fenômeno.


Do acima exposto, aplique o Teorema de Bridgman para se certificar de que é impossível

prever a equação do fenômeno somente por Análise Dimensional (nunca será demais lembrar que

a constante adimensional não é encontrada pela Análise Dimensional). Como o número de

incógnitas é maior do que o número de equações, devemos levantar esta indeterminação

procurando obter experimentalmente dois dos expoentes desconhecidos, e para isto usaremos um

método básico em ciência que é fixar todas as grandezas, exceto a que se quer estudar. Por

questão de facilidade de ordem prática, determinaremos os expoentes de � � H� GH� G�� PDV� D�pesquisa dos outros expoentes poderia ser feita da mesma maneira.

Para encontrar experimentalmente o valor do expoente de ��GHYHPRV�IL[DU�WRGRV�RV�RXWURV�parâmetros e fazer variar somente , obtendo, para cada valor de �� R� YDORU� � FRUUHVSRQGHQWH� GR�


46

período T do pêndulo, medindo o tempo para a barra realizar dez oscilações completas (neste

caso fixe o valor de d = 0,30m).

�P� 10T(s)

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

Linearizando-se a equação de T = f( �� H� DSOLFDQGR-se aos dados da tabela a regressão

linear (use cinco casas decimais para os logaritmos), encontra-se o valor experimental do expoente

procurado. No entanto, o valor verdadeiro do expoente será aquele indicado pelo princípio

heurístico da simplicidade, ou seja, arredondando-se convenientemente o expoente encontrado.

De forma similar, para se encontrar o valor experimental do expoente de d devemos fixar

os outros parâmetros da equação, variando somente d e obtendo, para cada valor de d, o período

T correspondente, de acordo com a tabela a seguir (neste caso fixe � ��P�� d(m) 10T(s)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

Linearize a nova equação de T = f(d), aplique a regressão linear (use cinco casas decimais

para os logaritmos) e obtenha o valor experimental do expoente procurado. Proceda de acordo

com o princípio heurístico da simplicidade para obter o valor verdadeiro do expoente, que não

coincide com o valor experimental em virtude dos inevitáveis erros cometidos nas medições.

Finalmente, de posse dos valores verdadeiros dos expoentes de � H� G� HQFRQtre,

matematicamente, os outros expoentes e expresse a equação geral de dependência do período

em função de todas as variáveis envolvidas.

Restará determinar a constante adimensional, K, cujo valor mais provável poderá ser

encontrado, de acordo com o Postulado de Gauss, pela média aritmética de dez valores obtidos

das tabelas precedentes. Para isto são dados: 1) aceleração da gravidade local g = 9,79 m/s²; 2)

Pêndulo Bifilar

47

momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa I =

mL²/12 (onde L é o comprimento da barra oscilante, a ser medido em metros, e m é a massa da

barra, em kg).

�� 4XHVW}HV�

1. Se o valor verdadeiro da constante adimensional é K = 4 , qual o erro relativo cometido na

experiência?

2. Qual a unidade de medida da grandeza momento de inércia, em um sistema de unidades

cujas unidades fundamentais são o metro, o quilograma e o segundo?

3. Qual seria o símbolo dimensional de massa, em um sistema cujas grandezas fundamentais

fossem força, comprimento e tempo?


BEER, F.P. & JOHNSTON, E.R.. '\QDPLFV. 2.ed. New York, McGraw-Hill, 1972. 875p.

MERIAM, J.L.. 0HFKDQLFV��G\QDPLFV. 2.ed. New York, John Wiley & Sons, 1959. v.2, 420p.

TIMOSHENKO, S. & YONG, D.H.. 0HFkQLFD�7pFQLFD��GLQkPLFD. Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico,

1969. 524p.

Movimento em Uma Dimensão: movimento de queda livre

49

0RYLPHQWR�HP�8PD�'LPHQVmR��PRYLPHQWR�GH�TXHGD�OLYUH�� ,QWURGXomR�

Um movimento é chamado de XPD�GLPHQVmR quando apenas uma das três coordenadas

cartesianas (x; y; z) que definem a posição de uma partícula, relativamente a um determinado

referencial, varia no decurso do tempo. Assim, a queda livre é um movimento unidimensional

porque x = constante, y = f(t) e z = constante.

A “TXHGD�OLYUH”, a rigor, somente é observada no vácuo. No caso da experiência presente,

no entanto, a resistência oferecida pelo ar pode ser negligenciada devido à forma do objeto (uma

esfera), à sua grande massa específica e à baixa velocidade que atinge durante o movimento. Se a

experiência fosse realizada no vácuo estas considerações seriam desnecessárias, uma vez que

não teria o ar para afetar o movimento e, conseqüentemente, tanto uma pena como um pedaço de

metal cairiam no mesmo tempo, como pode ser visto num WXER�GH�1HZWRQ.

Desejamos, finalmente, chamar a atenção para o fato de que o problema geral do

movimento de um corpo através do ar é um problema muito complexo, que tem que ser feito

experimentalmente, e este é o motivo principal da necessidade, para a indústria aeronáutica, da

construção dos caríssimos túneis aerodinâmicos de prova.


Nesta experiência utilizaremos um eletroímã e um cronômetro digital acoplado a duas

fotocélulas, cujo esquema é mostrado na figura a seguir. A esfera está inicialmente presa ao

eletroímã e, quando abrimos o circuito, ela cai executando um movimento aproximado de queda

livre. O cronômetro dispara quando a esfera passa pela primeira célula fotoelétrica e trava ao

cruzar a segunda barreira, determinando assim o tempo para a esfera percorrer a distância entre

as duas fotocélulas.


50

Para analisarmos o movimento de queda livre, utilizaremos os dois procedimentos

descritos a seguir.

I. Coloque uma fotocélula imediatamente abaixo da esfera, de modo que o cronômetro seja

acionado assim que a esfera começa a cair (neste caso qual a velocidade inicial da esfera?). A

segunda fotocélula, colocada abaixo da primeira, deverá ser ajustada em cinco posições diferentes

e, para cada uma dessas posições, medimos cinco vezes o tempo de queda da esfera. Tome a

origem do referencial na primeira fotocélula, oriente seu sentido para baixo como positivo e

preencha a tabela abaixo, sendo y a posição da esfera no tempo t correspondente.

y(m) t(s)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

II. Neste segundo caso coloque a primeira fotocélula em posição fixa a uns 10 cm abaixo

da esfera, e a outra fotocélula abaixo da primeira, em posições variadas, conforme a tabela a

seguir. Observe agora que a velocidade inicial da esfera não é nula, pois quando o cronômetro for

acionado a esfera já estará em movimento. Da mesma forma que no procedimento I, deve-se

medir cinco vezes o tempo para a esfera percorrer a distância entre as duas barreiras. Oriente o

referencial para baixo e tome sua origem na primeira fotocélula (neste caso qual a posição inicial

da esfera?).

y(m) t(s)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

�� 4XHVW}HV�

1. No caso do procedimento I, suponha que a equação da posição em função do tempo para

o movimento, y = f(t), seja da forma y = k.t ��'HWHUPLQH�SRU�UHJUHVVão linear os valores de

Movimento em Uma Dimensão: movimento de queda livre

51

k e n. O que eles representam no movimento estudado? Use cinco casas decimais para os

logaritmos.

2. Qual o valor experimental da aceleração da gravidade, para o caso da questão anterior?

Calcule, a seguir, os erros relativos cometidos nas determinações da aceleração da

gravidade (o valor verdadeiro da aceleração da gravidade em Uberlândia é 9,79m/s²) e do

expoente da equação da posição.

3. Para o procedimento II, use a equação da posição já conhecida para este movimento.

Linearizando-se tal equação e aplicando-se aos dados da tabela correspondente a

regressão linear, encontre os valores da velocidade inicial da esfera e da aceleração

gravitacional local.

4. No caso do procedimento II, calcule a velocidade escalar instantânea da esfera ao passar

pelas barreiras colocadas na 2ª e 5ª posições e, a seguir, tire a média aritmética dos

valores encontrados. Calcule, a partir dos dados da tabela, entre os mesmos pontos, a

velocidade escalar média da esfera. Qual a conclusão?

5. A partir dos dados da tabela do procedimento II, trace um gráfico linear indicando os

significados dos coeficientes linear e angular do mesmo.

6. Demonstre, analítica e graficamente, que para um movimento de aceleração tangencial

constante, a velocidade escalar média, num certo intervalo de tempo, é média aritmética

entre as velocidades inicial e final.


LUCIE, Pierre. )tVLFD�EiVLFD��PHFkQLFD��. Rio de Janeiro, Campus, 1979. 685p.


v.1, 348p.


Movimento em Duas Dimensões: movimento de um projétil

53

0RYLPHQWR�HP�'XDV�'LPHQV}HV��PRYLPHQWR�GH�XP�SURMpWLO�

�� ,QWURGXomR�

Diz-se que um movimento é em GXDV�GLPHQV}HV quando duas das três coordenadas (x; y;

z) que definem a posição cartesiana de uma partícula, relativamente a um certo referencial, variam

no decurso do tempo. Assim, para o presente caso, temos: x = f(t), y = h(t), e z = constante.

O movimento de um projétil lançado obliquamente, submetido à ação gravitacional e

desprezando-se a resistência do ar, descreverá uma trajetória cujas equações paramétricas x = f(t)

e y = h(t) são, respectivamente: x =(vo�FRV� ��W�H�\� ��Yo�VHQ� ��W�- gt²/2. Eliminando-se entre elas o

parâmetro comum t, que é o tempo decorrido desde o lançamento, obtém-se a equação

cartesiana, y = f(x), da trajetória do projétil :

y = tg . x – g x²/ 2vo²cos² ,

onde os símbolos estão indicados na figura.


Nesta experiência usaremos uma rampa para lançar horizontalmente uma esfera de aço

imprimindo-OKH�XPD�FHUWD�YHORFLGDGH�LQLFLDO��DVVLP��QR�FDVR�SUHVHQWH��WHPRV�TXH� = 0º), como se

vê na figura a seguir. Para garantir que a esfera iniciará o movimento balístico, a partir do final da

rampa de lançamento, com a mesma velocidade inicial a cada lançamento, devemos ter o cuidado

de soltá-la sempre da mesma posição sobre a rampa.

Para cada lançamento da esfera registre cinco vezes sua posição sobre o anteparo (para

tal registro fixe papel branco sobre o anteparo, e cubra-o com papel carbono), e desloque-o

sucessivamente de 0,10m, conforme mostra a figura adiante.

Uma questão que não pode ser negligenciada é: a esfera, nesta experiência, poderá ser

tratada como um ponto material ou partícula, isto é, podemos desprezar sua dimensão? Para

facilitar a análise, sugerimos que o estudante verifique o movimento do centro da esfera, desde o


54

instante em que ela deixa a rampa de lançamento (início do movimento balístico) até o momento

da colisão com o anteparo.

Assim, para a execução desta experiência, complete a tabela abaixo. Adote o eixo x para a

direita, o eixo y para baixo como positivo (tome a origem do referencial no centro da esfera e não

esqueça de marcar esta origem do sistema de referência sobre o papel branco) e lembre-se de

TXH�QR�FDVR�SUHVHQWH� � �º. A equação da trajetória ficará então

y = gx²/2vo² .

x(m) y(m)

�� 4XHVW}HV�

1. Pode-se admitir que a equação da trajetória seja da forma y = k.x ��/LQHDUL]DQGR-se esta

equação e aplicando-se aos dados da tabela a regressão linear, encontre os valores de k e

n. O que eles representam na equação da trajetória? Use cinco casas decimais para

expressar os logaritmos.

2. Se a aceleração da gravidade local é g = 9,79 m/s², encontre a velocidade inicial da esfera

no movimento balístico.

3. Qual o erro relativo cometido na experiência para o valor do expoente de x?

4. Determine a velocidade da esfera ao atingir o anteparo colocado na 3ª posição.

5. Calcule a velocidade vetorial média da esfera entre a 2ª e a 5ª posições do anteparo.

Movimento em Duas Dimensões: movimento de um projétil

55

6. Qual a aceleração tangencial da esfera no instante em que ela toca o anteparo colocado

na 4ª posição? Qual o valor da componente normal da aceleração neste mesmo instante?


ALONSO, M. & FINN, E.J.. )tVLFD��XP�FXUVR�XQLYHUVLWiULR��PHFkQLFD. São Paulo, Edgard Blücher,

1972. v.1, 481p.



v.1, 348p.


Cinemática da Rotação: estudo do movimento circular

57

&LQHPiWLFD�GD�5RWDomR��HVWXGR�GR�PRYLPHQWR�FLUFXODU�� ,QWURGXomR�

Dizemos que um sistema rígido está animado de um PRYLPHQWR� GH� URWDomR,

relativamente a um certo referencial, se todos os seus pontos descreverem circunferências

concêntricas com seu eixo de rotação.

Para estudar a &LQHPiWLFD�GD�5RWDomR de um corpo rígido que gira em torno de um eixo

fixo no referencial do observador, utilizaremos o aparelho de movimento mostrado.

Este aparelho é constituído, basicamente, de um aro suspenso por seu eixo central

vertical, ligado a um sistema semelhante a um rolamento, e acionado por um peso preso a um fio

que fornece o torque necessário à rotação.

O aparelho deve ser ajustado enrolando-se o fio em torno de um pequeno tambor em que

está ligado, tantas vezes quantas o necessário para que o aro efetue o número de voltas desejado.

Liberando-se o aro, cuidadosamente, pela retirada da haste lateral, este inicia o seu movimento.


Realizaremos nesta experiência dois procedimentos distintos:

I. Libere o aro, pela retirada da haste lateral, e meça o tempo, contado imediatamente a

partir do momento em que a haste é retirada, para que o aro execute uma volta, duas

voltas,... , cinco voltas. Repita o procedimento cinco vezes, para se obter o valor mais

provável do tempo.


58

�YROWDV� t(s)

1

2

3

4

5

II. Libere o aro, mas só inicie a contagem de tempo a partir do exato instante em que ele

completar o primeiro giro. Meça, então, a partir deste momento, o tempo para que ele dê

uma volta, duas voltas,... , cinco voltas. Repita o processo cinco vezes.

�YROWDs) t(s)

1

2

3

4

5

Alguns dados serão necessários para as questões a seguir:

raio do aro = 0,31m; diâmetro da polia fixa = 75mm; raio do tambor de enrolamento = 1cm.

�� 4XHVW}HV�

1. Suponha que a posição angular do aro varie com o tempo, para o caso do procedimento I,

de acordo com a equação � � N�W �� RQGH� � é o ângulo descrito pelo aro, medido em

radianos. Linearizando-se esta equação e aplicando-se a regressão linear aos dados da

tabela correspondente, encontre os valores de k e n. Pelo valor do expoente n (lembre-se

do princípio heurístico) é possível concluir que tipo de movimento o aro executa? Neste

caso, qual o valor da sua aceleração angular? Use cinco casas decimais para os

logaritmos.

2. Sabendo-se que o aro executa um movimento circular uniformemente variado, determine,

com os dados da tabela do procedimento II, sua velocidade angular inicial e sua

Cinemática da Rotação: estudo do movimento circular

59

aceleração angular, linearizando a equação apropriada a este movimento e aplicando a

regressão linear.

3. No caso do procedimento II, calcule, em rpm, a velocidade angular do tambor de

enrolamento após o aro ter executado 2,5 voltas. Determine, também, a aceleração

tangencial de um ponto da periferia do tambor e o tempo para o aro executar 2,5 voltas.

4. Qual a distância percorrida pelo peso suspenso no intervalo de tempo entre a 2ª e a 4ª

voltas do aro, no caso do procedimento I?

5. Qual a aceleração de um ponto da periferia do aro após ter ele executado a 3ª volta, no

caso do procedimento II? É o módulo desta aceleração constante durante todo o

movimento?

6. Determine a velocidade e a aceleração do peso suspenso após o aro ter executado 4,5

voltas, no caso do procedimento II.

7. Qual a velocidade linear e a aceleração centrípeta de um ponto da periferia da polia fixa

após o aro ter executado a 5ª volta, para o caso do procedimento I?



Publications, 1980.

McKELVEY, J.P. & GROTCH, H.. )tVLFD. São Paulo, Harper & Row do Brasil, 1979. v.1, 426p.


v.1, 348p.


As Leis de Newton-Galileu

61

$V�/HLV�GH�1HZWRQ�*DOLOHX�� ,QWURGXomR�

A Mecânica que estamos estudando é conhecida como 0HFkQLFD�&OiVVLFD e está apoiada

sobre um número muito reduzido de SULQFtSLRV, isto é, proposições aceitas como verdadeiras, sem

demonstração. Tais princípios – três ao todo – são atualmente conhecidos como DV� OHLV� GH

1HZWRQ�*DOLOHX, uma vez que foram Newton e Galileu quem as estruturaram da forma coerente e

racional que constitui atualmente uma das mais maravilhosas criações do espírito humano.

Uma dessas leis – a 2ª lei do movimento de Newton-Galileu – nós iremos tratar em uma

experiência específica, e nosso objetivo aqui é considerar as outras duas, ou seja, a 1ª lei de

Newton-Galileu ou lei da inércia, e a 3ª lei de Newton-Galileu ou lei da ação e reação.

�� $��OHL�GH�1HZWRQ�*DOLOHX��D�OHL�GD�LQpUFLD��

Aristóteles partia do pressuposto de que a velocidade de um corpo é função das forças

atuantes sobre ele. Tal idéia, primitiva no nosso espírito, pois que dificilmente concebemos a

possibilidade de movimento sem força causadora, dominou inteiramente a Física por mais de 1700

anos. Já antes de Aristóteles era conhecido o fato de que se uma partícula estiver em repouso e

nenhuma força agir sobre ela, ou se for nula a resultante das forças que atuam sobre ela, ela

permanecerá em repouso; a base do erro de Aristóteles foi imaginar que a recíproca de tal fato era

verdadeira, isto é, que se for nula a soma das forças que atuam sobre uma partícula, ela deverá,

obrigatoriamente, estar em repouso. Esse erro, aliás, é um erro histórico, uma vez que é,

essencialmente, o único erro da Mecânica Aristotélica. Mas sendo um erro básico invalidou

totalmente aquela Mecânica.

Analisando profundamente os dados experimentais de que dispunha, Galileu adquiriu a

convicção – contrária à crença da sua época – de que se um corpo estivesse em movimento e

conseguíssemos tornar nula a soma das forças atuantes sobre ele, ele não pararia: continuaria a

se mover, sendo retilíneo e uniforme o seu movimento a partir do instante em que passasse a ser

nula a soma das forças atuantes sobre ele. Nas próprias palavras de Galileu:

³,PDJLQH�XPD�SDUWtFXOD�TXDOTXHU�ODQoDGD�VREUH�XP�SODQR�KRUL]RQWDO��VHP�DWULWR��VH�R�SODQR�IRU�LOLPLWDGR��D�SDUWtFXOD�VH�PRYHUi�VREUH�HOH�FRP�PRYLPHQWR�XQLIRUPH�H�SHUSpWXR�´��*DOLOHR�*DOLOHL��'LVFRUVL�

,QWRUQR�D�'XH�1XRYH�6FLHQ]H��/H\GHQ��


62

Com este enunciado, que constitui a chamada lei da inércia, Galileu revelou uma das mais

fundamentais propriedades mecânicas possuídas pelos diversos sistemas materiais: a

incapacidade que uma partícula qualquer demonstra em mudar espontaneamente a sua própria

velocidade. Tal propriedade é modernamente chamada inércia, isto é, chama-se inércia de uma

partícula à incapacidade dela mesma alterar o seu estado de repouso ou de movimento retilíneo e

uniforme.

De tudo isso depreende-se que se um corpo estiver em repouso e nenhuma força agir

sobre ele, ele permanecerá em repouso; se estiver em movimento e conseguirmos tornar nula a

soma das forças atuantes sobre ele, ele não pára, mas continua a se mover em linha reta com

velocidade constante.

Para verificar na prática o que acabamos de afirmar, coloque sobre o trilho de ar,

previamente nivelado, um planador em repouso relativamente ao trilho. Se nenhuma força agir

sobre ele, então ele permanecerá indefinidamente em repouso. No entanto, aplicando-lhe uma

força (um leve empurrão com a mão), verificaremos que ele entra em movimento retilíneo e

uniforme, não sendo necessária força alguma para manter este estado de movimento.

Esta é a lei da inércia, cujo enunciado apresentado por Newton em seu 3KLORVRSKLDH�1DWXUDOLV�3ULQFLSLD�0DWKHPDWLFD (Londres, 1687) é:

³&DGD�SDUWtFXOD�SHUPDQHFH�HP�UHSRXVR��RX�HP�PRYLPHQWR�UHWLOtQHR�H�XQLIRUPH��D�QmR�VHU�TXH�VHMD�GLIHUHQWH�GH�]HUR�D�VRPD�GDV�IRUoDV�

TXH�DWXDP�VREUH�HOD´��

�� $��OHL�GH�1HZWRQ�*DOLOHX��D�OHL�GD�DomR�H�UHDomR��

A 2ª lei de Newton-Galileu permite-nos descrever o comportamento mecânico de uma

partícula sobre a qual estejam agindo forças conhecidas. Conseqüentemente o problema de

descrever o movimento de uma dada partícula submetida à ação de forças ficará praticamente

resolvido, em cada caso, com o auxílio da 2ª lei de Newton-Galileu, se forem conhecidas as forças

atuantes sobre a partícula. Preocupado com tal problema, Newton observou cuidadosamente o

comportamento de vários sistemas materiais e conseguiu induzir um princípio geral cujo

conhecimento é de grande valia na pesquisa das forças que atuam sobre uma dada partícula. Tal

princípio – que Newton chamou lei da ação e reação e foi o terceiro (e último) dos axiomas por ele

apresentados no seu 3ULQFLSLD – é conhecido atualmente como 3ª lei de Newton-Galileu e seu

enunciado é o seguinte:

As Leis de Newton-Galileu

63

³6HPSUH�TXH�XPD�SDUWtFXOD��HVWLYHU�H[HUFHQGR�XPD�IRUoD�VREUH�XPD�RXWUD�SDUWtFXOD��HVWD�RXWUD�HVWDUi��UHFLSURFDPHQWH��H[HUFHQ��GR�WDPEpP�XPD�IRUoD�VREUH�D�SDUWtFXOD��H�WDLV�IRUoDV�VHUmR�VHPSUH�

FROLQHDUHV��GH�PyGXORV�LJXDLV�H�VHQWLGRV�RSRVWRV´��Das três leis de Newton-Galileu a 3ª é a que oferece menores dificuldades de verificação

experimental. Assim, com dois imãs, dois carrinhos e um pedaço de barbante se pode verificar

experimentalmente a validade da 3ª lei de Newton-Galileu, da forma relativamente muito simples e

convincente ilustrada e descrita a seguir.

Prenda dois imãs a dois carrinhos e a seguir coloque os dois carrinhos sobre a superfície

da mesa do laboratório e de uma forma tal que os pólos iguais fiquem voltados um para o outro.

Largando-se a seguir os dois carrinhos observa-se que eles passam a se mover, com movimentos

acelerados, afastando-se um do outro. Tal fato ocorre porque o imã 1 exerce sobre o imã 2 uma

força, enquanto que o imã 2 exerce também uma outra força sobre o imã 1, tais forças tendo sentidos opostos.

Agora, com um pedaço de barbante ligue um carrinho ao outro e a seguir coloque os dois

carrinhos sobre a mesa, como no caso anterior. Largando-se os dois carrinhos observa-se que eles

ficam em repouso. Conseqüentemente tem-se que I12 � I21 ��SRLV�TXH�VH�IRVVH� I12 �� I21 �R�sistema não ficaria em repouso, de acordo com a 1ª e a 2ª leis de Newton-Galileu.

Por fim, é justamente esta lei a que precisamente mais confusões traz ao aluno, e isto pelo

fato de ser comum, a título de simplificar a apresentação da Mecânica nos cursos elementares,

dizer-se que a 3ª lei de Newton-Galileu afirma que a toda ação corresponde uma reação igual e

contrária. Esta forma de enunciar a 3ª lei de Newton-Galileu não é apenas incorreta pelo fato de

ser ambígua, mas também por ser conceitualmente errônea. Realmente, há ações (forças) às

quais não correspondem reações. É exatamente o caso das forças de inércia, e estas não são de

forma alguma fictícias (como ainda, infelizmente, ensinam muitos textos e professores), pois que

elas realizam trabalho, deformam, etc. Ressalte-se, aliás, que resulta do SULQFtSLR�GH�0$&+ que

as forças inerciais são de origem gravitacional. Por sua vez o SULQFtSLR� GD� HTXLYDOrQFLD (da

Teoria da Relatividade) diz, em essência, que forças inerciais e forças gravitacionais (que são de

interação) são indistinguíveis entre si. A equivalência entre forças inerciais e de interação está

atualmente firmemente assentada sobre bases experimentais.


64



1972. v.1, 481p.

MAIA, L.P.M.. 0HFkQLFD�FOiVVLFD. Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1977.

v.2, 223p.

NUSSENZVEIG, H.M.. &XUVR� GH� ItVLFD� EiVLFD� �� PHFkQLFD. São Paulo, Edgard Blücher, 1981.

519p.


v.1, 348p.


A 2ª Lei de Newton-Galileu

65

$��/HL�GH�1HZWRQ�*DOLOHX�� ,QWURGXomR�

A Mecânica, tal qual a entendemos hoje, é, na realidade, praticamente devida ao trabalho

extraordinário do italiano *$/,/(8 Galilei (1564 – 1642) e do inglês Isaac 1(:721 (1642 –

1727), os dois gigantes intelectuais do início da Modernidade. Galileu realizou, entre 1589 e 1591,

uma série notável de experimentações, através das quais estabeleceu firmemente as bases da

Mecânica que usamos atualmente, bases essas que diferiam totalmente das que eram aceitas na

sua época, as quais eram devidas, principalmente, a Aristóteles. E dentre essas experimentações

constam aquelas que levaram à equação fundamental da 0HFkQLFD� &OiVVLFD ou 0HFkQLFD

1HZWRQLDQD, que é a OHL� GR� PRYLPHQWR� ou �� OHL� GR� PRYLPHQWR� GH� 1HZWRQ�*DOLOHX. Assim

encontra-se experimentalmente que DFHOHUDomR�p�IXQomR�GH�IRUoD, sendo, aliás, tal função a mais

simples dentre todas as funções: a função linear e homogênea.


O objetivo central desta experiência será verificar como é afetada a aceleração: (a) pela

variação da força resultante, quando a massa é mantida constante; (b) pela variação da massa,

quando a força resultante é mantida constante.

A experiência consiste no uso de um trilho de ar (air track) sobre o qual um planador de

massa M desliza praticamente sem atrito puxado por um porta-pesos de massa m, estando os dois

objetos ligados por um fio leve, que passa por uma polia fixa também considerada ideal.

Com o trilho de ar previamente nivelado, realiza-se a montagem mostrada na figura, onde

a primeira barreira fotoelétrica deve ser cuidadosamente ajustada de modo que o cronômetro inicie

sua marcha assim que o planador é liberado do dispositivo de retenção. Desta forma o sistema,

formado pelo planador e pelo porta-pesos, inicia seu movimento a partir do repouso, isto é, com

velocidade inicial nula. Ajuste, em seguida, a segunda fotocélula, de modo que o cronômetro seja

travado quando o sistema percorrer uma distância de 0,70 m.


66

Para o estudo das relações citadas, considere o sistema formado pelo SODQDGRU, pelo ILR,

e pelo SRUWD�SHVRV e faça um diagrama de forças para cada corpo do ponto de vista de um

observador galileano. Quais destas forças são externas ao sistema? Quais são internas? Qual a

força resultante sobre o sistema?

�� DFHOHUDomR�FRPR�IXQomR�GD�IRUoD��D� �I��)��

Em se pesquisando a relação entre a aceleração do sistema, D, e a força resultante sobre

o mesmo, ), a massa total do sistema, m*, deverá permanecer constante (anote a massa total do

sistema antes de iniciar a experiência). Isto é conseguido transferindo-se, simetricamente, duas a

duas, massas do planador para o porta-pesos. Desta forma se consegue variar a força resultante

sobre o sistema sem que a massa total sofra alteração. Transferindo-se cinco pares de massas do

planador para o porta-pesos, meça, para cada transferência, três vezes o tempo t para o planador

percorrer a distância de 0,70m a partir do repouso. A aceleração do sistema deverá ser obtida a

partir da lei posição-tempo do movimento uniformemente variado.

m(kg) t(s)

��DFHOHUDomR�FRPR�IXQomR�GD�PDVVD��D� �I��P �

Em se determinando a aceleração D como função da massa m* do sistema, a força

resultante, ), deve permanecer constante. Isto é conseguido mantendo-se a massa do porta-pesos

constante (anote o valor da massa colocada no porta-pesos). Em seguida varie a massa do

sistema pela adição de massas ao planador e meça três vezes o tempo t para o planador percorrer

a distância de 0,70m a partir do repouso. A aceleração do sistema deverá ser obtida a partir da lei

posição-tempo para o movimento uniformemente variado.

A 2ª Lei de Newton-Galileu

67

M(kg) t(s)

�� 4XHVW}HV�

1. No caso do estudo da aceleração como função da força, suponha que a equação seja da

forma F = k.a ��/LQHDUL]DQGR-se esta equação e aplicando a regressão linear aos dados da

tabela correspondente (use cinco casas decimais para os logaritmos), encontre os valores

de k e n. O que representa k? Qual o erro relativo cometido na experiência quanto ao valor

de n? Use g = 9,79m/s².

2. No estudo da aceleração em função da massa, admita que a equação seja da forma

a = K.m* �� /LQHDUL]DQGR-se esta equação e aplicando a regressão linear aos dados da

tabela correspondente (use cinco casas decimais para os logaritmos), encontre os valores

de K e n. A partir do valor de K, determine a massa m do porta-pesos. Qual o valor

verdadeiro do expoente n? Use g = 9,79m/s².

3. Uma pequena esfera está suspensa por um cordel do teto de um vagão que está se

movendo sobre trilhos retilíneos e horizontais com aceleração constante, da esquerda para

a direita, em relação à Terra. Qual a posição do fio para um observador situado dentro do

vagão, e em repouso relativamente a este? Se em determinado instante o observador

cortar o fio, mostre a trajetória descrita pela esfera vista por ele até atingir o piso do vagão.

4. Coloque sobre a mesa do laboratório um nível de bolha e puxe-o aceleradamente para a

direita. Em que sentido a bolha se desloca? Explique o resultado observado.


FRANCO, E.R.. ([SHULrQFLDV�GH�ItVLFD�FRP�R�WULOKR�GH�DU. Uberlândia, Gráfica Universidade Federal

de Uberlândia, 1986. 77p.



v.2, 223p.


68


v.1, 348p.

SANCHEZ, O. & DÍEZ, J.L.G.. ([SHULPHQWRV�GH� ItVLFD�FRP�HO�EDQFR�GH�FRMLQ�QHXPDWLFR. España,

Phywe, 1982.

As Forças de Atrito

69

$V�)RUoDV�GH�$WULWR�� ,QWURGXomR�

As IRUoDV� GH� DWULWR desempenham um papel muito importante na tecnologia e muitos

homens-hora técnicos (técnicos de manutenção) são empregados para reduzi-las. Por outro lado,

sem o atrito não conseguiríamos caminhar, não poderíamos segurar um lápis na mão e se o

pudéssemos ele não escreveria, não seria possível o transporte sobre rodas, etc. Por estes

motivos vamos analisar mais detidamente suas características nesta prática.

Como sabemos, as forças de atrito entre dois corpos sólidos são forças tangenciais às

superfícies de contato e surgem do fato de não serem perfeitamente polidas as superfícies dos

corpos reais: as rugosidades de tais superfícies engrenam-se umas nas outras quando as

superfícies são comprimidas umas contra as outras e reagem quando se tenta fazer uma

escorregar sobre a outra.

As “OHLV� GH� IRUoDV” para o atrito são leis empíricas, cujos estudos experimentais foram

realizados pelo físico francês Charles Augustin &28/20% (1736-1806), conhecido principalmente

por seus trabalhos no campo da Eletricidade, e os resultados são apenas aproximadamente

verdadeiros.


Dividiremos esta experiência em duas partes: (a) numa primeira etapa vamos estudar a

IRUoD�GH�DWULWR�HVWiWLFR entre duas superfícies não lubrificadas (chamado atrito seco); (b) numa

outra, estudaremos a IRUoD�GH�DWULWR�FLQpWLFR ou de deslizamento (e não o rolamento), também

entre superfícies secas.

Assim neste trabalho experimental, determinaremos o coeficiente de atrito estático, e, e o

coeficiente de atrito cinético, c, entre uma das superfícies do bloco (indique no relatório a

superfície utilizada), de massa M, e a superfície da mesa do laboratório. Para tal devemos

proceder às montagens indicadas.

��FRHILFLHQWH�GH�DWULWR�HVWiWLFR�

Sobre o prato suspenso acrescente massas lentamente, até perceber que o bloco sobre a

mesa está na iminência de movimento, isto é, até que esboce um leve movimento. Neste instante

pode-se afirmar que a força de atrito estático entre o bloco e a superfície da mesa atingiu o valor

máximo. Faça, então, medidas que permitam encontrar o coeficiente de atrito estático entre as

superfícies em contato.


70

��FRHILFLHQWH�GH�DWULWR�FLQpWLFR�

Neste caso coloque no porta-pesos uma massa m suficiente para imprimir ao bloco de

massa M, situado sobre a mesa, um movimento rápido, e solte repentinamente o conjunto. Depois

de cair de uma altura h, o porta-pesos é imobilizado pelo piso do laboratório, mas o bloco, por

inércia, ainda sofre um deslocamento d. Mostre, então, como determinar o coeficiente de atrito de

deslizamento entre as duas superfícies de contato, (a) pelo método dinâmico; (b) pelo emprego do

teorema do trabalho-energia cinética.

�� 4XHVW}HV�

1. A força de atrito estático entre o bloco e a superfície da mesa, durante o procedimento

realizado, apresentou um único valor (explique com clareza sua resposta)? Faça um

gráfico qualitativo do módulo da força de atrito estático sobre o bloco em função do módulo

da força a ele aplicada pela adição de massas no prato.

2. Se dobrássemos a massa M do bloco, o que ocorreria com o valor do coeficiente de atrito

de deslizamento, supondo que a massa m ainda fosse suficiente para imprimir movimento

ao bloco?

3. Como se comparam os coeficientes de atrito estático e cinético encontrados? De que

fatores eles dependem?

As Forças de Atrito

71

4. Quando andando no gelo, é melhor dar passadas curtas ou longas? Justifique com

argumentos físicos.

5. O que requer menos força: iniciar o movimento de um corpo ou mantê-lo em movimento?

Explique.




v.2, 223p.


v.1, 348p.


Dinâmica do Movimento Circular

73

'LQkPLFD�GR�0RYLPHQWR�&LUFXODU�� ,QWURGXomR�

Nesta experiência discutiremos a dinâmica do movimento circular, analisando as forças

quer de um UHIHUHQFLDO�JDOLOHDQR�RX�LQHUFLDO, quer de XP�UHIHUHQFLDO�PDFKLDQR�RX�QmR�LQHUFLDO. No primeiro caso teremos atuando sobre o sistema apenas IRUoDV�GH�LQWHUDomR, enquanto que no

segundo teremos tanto forças de interação como IRUoDV�LQHUFLDLV. É interessante acrescentar que

embora exista uma variedade muito grande de forças de interação, há, porém, na natureza,

apenas quatro possíveis forças de inércia, e que são a força de (LQVWHLQ, a força FHQWUtIXJD, a

força de (XOHU e a força de &RULROLV, de acordo com a nomenclatura proposta por Cornelius

Lanczos in 7KH�9DULDWLRQDO�3ULQFLSOHV�RI�0HFKDQLFV (Toronto, University of Toronto Press.4ª ed.).

Finalizando, quero acrescentar que o nome dado aos referenciais não inerciais, de referenciais

machianos, é uma homenagem ao físico e filósofo austríaco Ernest 0$&+ (1838-1916), que

contribuiu decisivamente para a compreensão dessas forças de inércia.


As experiências aqui propostas são, na realidade, alguns problemas que constam nos

livros de teoria, e que foram convertidos em prática para melhor ajudar na fixação dos conceitos.

3UREOHPD� �� Um tubo semicircular, de raio igual a R, gira com velocidade angular

FRQVWDQWH�� HP�WRUQR�GH�XP�HL[R�YHUWLFDO��FRPR�PRVWUD�D�PRQWDJHP�D�VHJXLU��1R�LQWHULRU�GR�WXER�coloca-se uma pequena esfera metálica, de massa m, a qual fica em equilíbrio relativamente ao

tubo. Admitindo-se que não há atrito entre o tubo e a esfera, pede-se calcular a posição na qual a

esfera fica em equilíbrio, especificando tal posição por meio do ângulo �HQWUH�D�QRYD�SRVLção e a

direção vertical . Depende esta posição da massa da esfera? Coloque, então, dentro do tubo, em

lados opostos, duas esferas de massas notavelmente diferentes e verifique. Acima de que ângulo

a aceleração centrípeta da esfera supera o valor da aceleração da gravidade?

3UREOHPD� �� Uma massa líquida gira com veloFLGDGH� DQJXODU� FRQVWDQWH� �� HP� WRUQR� GR�eixo vertical central de um recipiente cilíndrico, como se vê na figura. Mostre que a superfície do

líquido tem a forma de um parabolóide, isto é, que a seção transversal da superfície é uma

parábola cuja equação é y� � ð[ð��J�


74

3UREOHPD��A experiência mostra um eixo vertical ao qual se articula uma haste horizontal

de comprimento a. No extremo da haste prende-se um fio de comprimento �� OLJDGR� D� XPD�pequena esfera de massa m. O sistema gira com XPD�YHORFLGDGH�DQJXODU�FRQVWDQWH� �H�DVVXPH�uma posição dada pelo ângulo ��3HGH-se dizer: (a) o ângulo �GHSHQGH�GD�PDVVD�GD�HVIHUD"��E��se aumentarmos a rotação, o que ocorrerá com a tração no fio? Este é um sistema muito usado

nos parques de diversões, conhecido como “balanço gigante”.

3UREOHPD� �� Sobre o disco mostrado na figura, prenda em direção radial um nível de

bolha. Coloque, então, o sistema para girar. Em que sentido a bolha se desloca? Explique o fato

observado. Substitua o nível de bolha por duas esferas iguais, colocadas em diferentes distâncias

do eixo de rotação, e aumente gradualmente a velocidade do disco. Qual das esferas sairá

primeiro? Explique. Substitua o disco pelo aro flexível, e coloque o sistema em alta rotação.

Explique por que a forma circular se transforma em elíptica. Isto esclarece o achatamento da terra?

Dinâmica do Movimento Circular

75


�ALONSO, M. & FINN, E.J.. )tVLFD��XP�FXUVR�XQLYHUVLWiULR��PHFkQLFD. São Paulo, Edgard Blücher,

1972. v.1, 481p.


v.2, 223p.


v.1, 348p.


A Força Elástica: a lei de Hooke

77

$�)RUoD�(OiVWLFD��D�OHL�GH�+RRNH�� ,QWURGXomR�

Como se sabe, existe na natureza uma grande variedade de forças de interação, e a

caracterização de tais forças é, via de regra, um trabalho de caráter puramente experimental. Entre

as forças de interação que figuram mais freqüentemente nos processos que se desenvolvem ao

nosso redor figuram as chamadas IRUoDV�HOiVWLFDV, isto é, forças que são exercidas por sistemas

elásticos quando sofrem deformações. Por este motivo, é interessante que se tenha uma idéia do

comportamento mecânico dos sistemas elásticos, sendo este, precisamente, o objetivo desta

experiência.

Em 1660, o físico inglês Robert +22.( (1635-1703), observando o comportamento

mecânico de uma mola, descobriu que as deformações elásticas obedecem a uma lei muito

simples. Hooke descobriu que quanto maior fosse o peso de um corpo suspenso a uma das

extremidades de uma mola (cuja outra extremidade era presa a um suporte fixo) maior era a

deformação (no caso: aumento de comprimento) sofrida pela mola. Hooke observou, então, que

sempre existe proporcionalidade entre a força deformante e a deformação elástica produzida, isto

é: F = k.x, sendo F o módulo da força deformante, x a deformação produzida, e k – que é

característico da mola considerada – é usualmente denominado constante elástica da mola. A

equação acima é conhecida como a lei de Hooke, e dá a lei de força para uma mola.


Quando uma massa m é suspensa por uma mola ideal (sem massa) de constante elástica

k, ela executará um movimento harmônico cujo período de oscilação é dado por (proceda a

previsão desta equação por Análise Dimensional)

_____ T = 2 ¥��P�N��

Em situações reais, no entanto, a mola possui massa, o que induz a perceber que a

equação acima deverá ser modificada. É razoável esperar, nesta condição, na qual a massa do

sistema bloco-mola é maior que a massa do bloco, que o período do sistema seja maior que o

dado pela equação precedente. Entretanto, observando o movimento da mola percebemos que

diferentes partes da mesma se deslocam de modo diverso (por exemplo: a espira da mola que está

presa ao suporte não sofre qualquer deslocamento, enquanto que a espira presa ao bloco desloca-

se igualmente com ele), o que sugere que a mola não deve contribuir com toda a sua massa para

o período do sistema bloco-mola, mas apenas com uma parte dela (este é um raciocínio físico

legítimo). Assim, pode-se supor uma expressão geral para o período da forma:


78

__________ T = K¥��P��F�0��N��

em que M é a massa da mola, c uma constante que indica a porcentagem da massa da mola que

contribui para o período do sistema (um físico diria, sem realizar o experimento, que a constante c

é menor do que 1: discuta esta afirmação), e K é a constante adimensional da equação.

Nesta experiência vamos determinar a constante elástica da mola, k, a constante

adimensional, K, e o valor de c. Para tal deve-se proceder à montagem mostrada da figura, e dividir

a experiência em duas partes:

1. Pendure várias massas, m, na mola, e meça, para cada uma, o valor da deformação x

provocada. Com os valores da tabela e tendo-se que a aceleração da gravidade é 9,79

m/s², encontre o valor da constante elástica da mola.

�m(kg) x(m)

2. Para cada massa suspensa na mola, coloque o sistema para oscilar e meça o tempo de

dez oscilações completas. Repita a medida do tempo três vezes.�Meça,�também, a massa

M da mola.

A Força Elástica: a lei de Hooke

79

m(kg) 10T(s)

Linearizando-se a equação geral e aplicando-se aos dados desta tabela a regressão linear,

encontre os valores de K e de c.

Objetivando obter bons resultados, recomenda-se: (a) fixar a extremidade superior da mola

ao suporte, tomando-se o cuidado para que esse ponto não apresente movimento algum; (b) tomar

somente pequenas amplitudes; (c) colocar o sistema para oscilar e iniciar a cronometragem

somente algum tempo após; (d) evitar oscilações laterais, pois estas provocarão erros nas

medidas.

�� 4XHVW}HV�

1. Num gráfico da força deformante em função da deformação produzida, o que representa a

área sob a curva? E a inclinação do gráfico?

2. Qual o significado físico da constante elástica de uma mola?

3. Quando a constante elástica de uma mola é grande, a mola é dura ou macia? Como isto é

evidenciado no gráfico da força em função da deformação?

4. Se duas molas de constantes elásticas k1 e k2 forem ligadas em série, qual a constante

elástica k de uma única mola que substitui as outras duas?

5. Você parte uma mola na metade. Qual é a relação entre a constante elástica k da mola

original e a constante elástica para cada uma das metades?

6. Prove que se a massa M de uma mola não for desprezível, comparada à massa m de um

objeto suspenso dela, a constante c que figura na equação do período será 1/3. (Sugestão:

a condição M « m equivale a supor que a mola se distenda proporcionalmente ao longo de

seu comprimento.)


80



v.2, 223p.

PLASCAK, J.A. & SANTOS, T.J.. 0ROD� YHUWLFDO� QXP� FDPSR� JUDYLWDFLRQDO� XQLIRUPH. Revista de

Ensino de Física, São Paulo, 2(3):21-31, ago./1980.


v.2, 309p.


v.1, 348p.


A Conservação da Energia Mecânica

81

$�&RQVHUYDomR�GD�(QHUJLD�0HFkQLFD�� ,QWURGXomR�

As leis de Newton-Galileu permitem-nos, conforme foi amplamente exemplificado, resolver

o problema que realmente constitui a Mecânica, qual seja aquele de relacionar o movimento de

uma partícula com as forças atuantes sobre ela. A solução de certos problemas, no entanto, pode

ser extraordinariamente simplificada se introduzirmos algumas grandezas auxiliares, as quais,

juntamente com as grandezas já apresentadas (velocidade, aceleração, força e massa), permitir-

nos-ão ampliar os recursos dos quais poderemos lançar mão para resolver um problema que se

nos apresente. Assim, é sabido que várias grandezas auxiliares foram introduzidas na Mecânica

visando a facilitar a integração das equações de movimento. Dentre as grandezas mecânicas que

foram assim criadas, temos o WUDEDOKR, a HQHUJLD�FLQpWLFD e a HQHUJLD�SRWHQFLDO. As relações que

se descobriu existirem entre estas grandezas são tão freqüentemente utilizadas que terminaram

sendo definitivamente incorporadas à própria estrutura da Mecânica. E dentre as várias relações

que existem entre trabalho, energia cinética e energia potencial destacam-se, por sua importância

singular, dois grandes teoremas: o do WUDEDOKR�HQHUJLD�FLQpWLFD e o da FRQVHUYDomR�GD�HQHUJLD

PHFkQLFD. No contexto destas grandezas, desempenha um papel de primeiro plano uma classe de

forças que chamamos IRUoDV�FRQVHUYDWLYDV, cujo conceito é devido a J. L. /$*5$1*( (1736-

1813). Nesta experiência vamos explorar estes conceitos através de dois problemas teóricos

constantes de diversos livros de teoria.


Realizando-se a montagem descrita no enunciado de cada um dos problemas propostos,

proceda, inicialmente, à sua dedução matemática e, em seguida, faça o teste experimental para

comprovar o resultado encontrado, pois em Física exige-se sempre que a teoria vença a prova da

experiência.

3UREOHPD��O prego mostrado na figura está colocado à distância d abaixo do ponto de suspensão do

pêndulo de comprimento ��4XDO�GHYH�VHU�R�PHQRU�YDORU�GH�G�SDUD�TXH�D�HVIHUD��DEDQGRQDGD�GD�posição mostrada, descreva um círculo completo tendo o prego como centro?


82

3UREOHPD��Um corpo está preso a uma mola vertical não distendida e é vagarosamente baixado até à

posição de equilíbrio, o que distende a mola de um comprimento d. Se o mesmo corpo for preso à

mesma mola vertical, mas solto bruscamente, qual o comprimento máximo de distensão que a

mola atinge?

��4XHVW}HV�

1. No caso do PROBLEMA 1, determine, em função do peso da esfera, qual a tração no fio

imediatamente antes e imediatamente após o fio tocar o prego.

2. Discuta o que ocorrerá com a esfera nos casos em que a distância d for maior ou menor do

que o valor mínimo calculado.

3. Para o PROBLEMA 2, no caso em que o corpo é baixado vagarosamente, quais as forças

que atuam sobre o corpo? Neste caso, é aplicável ao sistema mola-bloco o princípio da

conservação da energia mecânica? Das forças atuantes, há alguma que seja não

conservativa? Qual o trabalho realizado por esta força durante toda a distensão da mola

(expresse-o em função de d e da constante elástica da mola, k)? É esta força constante ou

variável?

A Conservação da Energia Mecânica

83




v.2, 223p.


v.1, 348p.


A Conservação do Momento Linear

85

$�&RQVHUYDomR�GR�0RPHQWR�/LQHDU�� ,QWURGXomR�

É possível que as mais importantes leis do mundo físico sejam as OHLV�GH�FRQVHUYDomR.

Estes princípios de conservação são instrumentos muito úteis no estudo dos fenômenos físicos

porque são simples e universais, e podem todos eles ser colocados na seguinte forma: enquanto o

sistema se modifica, há um aspecto do sistema que permanece invariável.

No estágio atual da Física, são conhecidas seis leis de conservação. Três delas, a lei da

conservação da energia, a da conservação do momento linear e a da conservação do momento

angular, são relacionadas com as noções de tempo e espaço, isto é, as grandezas se conservam

ao longo de um tempo ou de um espaço. As outras três leis estão relacionadas com a idéia de

contar (o número é que se conserva) e são a lei da conservação da carga elétrica, a conservação

do número de bárions e a conservação do número de léptons. Estas leis são, até onde chegam os

nossos conhecimentos atuais, consideradas de validade universal.

Nesta experiência vamos verificar o SULQFtSLR� GD� FRQVHUYDomR� GR�PRPHQWR� OLQHDU (o

momento linear é mais uma das grandezas auxiliares da Mecânica, de que falamos na prática

anterior) usando um pêndulo balístico cujo esquema está apresentado na figura. O conjunto é

constituído pelo bloco suspenso por fios longos e uma esfera que é abandonada numa certa

posição de um trilho curvo. No final de seu movimento através do trilho a esfera choca-se

horizontalmente com o bloco estacionário no qual penetra através de uma cavidade aí ficando

retida.


Abandonando-se a esfera, de massa m, de uma determinada posição sobre o trilho, ela

chega horizontalmente no final da rampa com uma velocidade u imediatamente antes da colisão

com o bloco, de massa M. Se o tempo de colisão (tempo requerido para que a esfera atinja o

repouso em relação ao bloco) é muito pequeno, as cordas permanecem praticamente na vertical

durante a colisão. Portanto, não há força resultante horizontal externa atuando no sistema esfera-

bloco durante a colisão, e o momento linear total do sistema na direção horizontal é conservado.


86

Imediatamente após o choque os dois corpos se deslocam juntos com velocidade v. Desta forma,

pelo princípio da conservação do momento linear, teremos (neste caso o tratamento vetorial

coincide com o escalar, pois os vetores são de mesma direção):

P(antes) = mu e P(após) = (m + M)v.

A velocidade da esfera antes do choque, u, pode ser determinada através do alcance

sobre a mesa, usando-se os conhecimentos já adquiridos do movimento de um projétil (use papel

branco e papel carbono para obter a posição atingida sobre a mesa e, se necessário, meça o raio

da esfera). Recomenda-se soltar a esfera cinco vezes da mesma posição sobre o trilho para se

obter o valor mais provável de u.

Do mesmo modo, necessitamos da velocidade do sistema após o choque, v. Este cálculo é

obtido tendo-se em conta que depois que a colisão termina, o sistema eleva-se até uma altura

máxima h, onde a energia cinética do sistema depois do impacto é convertida em energia potencial

gravitacional. No entanto, como é difícil medir h diretamente isto nos obriga a determiná-lo

indiretamente, medindo o deslocamento horizontal, d, do cursor graduado, ajustando-se sua

posição, adequadamente, em contato com o bloco. Assim, se �!!�K�WHUHPRV��DSUR[LPDGDPHQWH��que h = d²/2 � �SURYH�HVWD�UHODoão). Aqui, também, recomenda-se soltar a esfera cinco vezes para

se obter o valor mais provável de d.

�� 4XHVW}HV�

1. Na experiência, houve conservação do momento linear da esfera? E do bloco? Explique

com clareza a resposta.

2. Qual a relação entre a energia cinética do sistema após o choque e a energia cinética do

sistema antes do choque? Que percentagem de energia cinética foi perdida na colisão?

Em que modalidade de energia, preponderantemente, houve conversão?

3. Qual a velocidade do centro de massa do sistema esfera-bloco imediatamente antes da

colisão? E imediatamente depois da colisão? A velocidade do centro de massa do sistema

é modificada pela colisão entre a esfera e o bloco? Estes resultados estão de acordo com

o que é determinado pela teoria? Explique claramente.

4. Em um prato de uma balança de laboratório coloca-se uma ampulheta tendo a areia no

compartimento inferior. Vira-se a ampulheta e coloca-se-a cuidadosamente sobre o prato.

Enquanto a areia se escoa, como fica a leitura na balança?



A Conservação do Momento Linear

87

MEINERS, H.F. et alii. /DERUDWRU\�SK\VLFV. New York, John Wiley & Sons, 1969. 436p.


v.1, 348p.


Colisão em Duas Dimensões

89

&ROLVmR�HP�'XDV�'LPHQV}HV�� ,QWURGXomR�

Muitas das informações que temos a respeito das partículas atômicas e nucleares foram

obtidas experimentalmente por observação dos efeitos de colisão entre elas. Vários outros

fenômenos como, por exemplo, as propriedades dos gases, podem ser melhor entendidos em

termos das colisões entre suas moléculas. Nas colisões aparece um tipo de força denominada

IRUoD� LPSXOVLYD (que é como se denomina uma força de intensidade muito grande, mas que só

atua durante um intervalo de tempo muito pequeno), que produz nos objetos em que atua uma

mudança brusca em seu movimento.

Nesta experiência examinaremos a mecânica das colisões, procurando verificar o princípio

da conservação do momento linear e classificando o choque ocorrido.


Investigamos, anteriormente, os momentos lineares de corpos que colidem movendo-se ao

longo de uma linha reta, o que denominamos de colisão em uma dimensão. Que acontece quando,

depois da colisão, os dois corpos tomam direções diferentes?

Para responder a esta questão, utilizaremos o dispositivo representado na figura.

Uma esfera (1), ao sair de uma rampa de lançamento, tem uma velocidade inicial

(velocidade antes do choque) horizontal e colide imediatamente com a esfera (2) em repouso. Se

não existisse a esfera (2), a esfera (1) encontraria em A um plano horizontal (o piso do laboratório).

Segundo Galileu, a velocidade horizontal da esfera é constante, e a projeção horizontal 2$

do deslocamento é proporcional àquela velocidade (velocidade da esfera (1) antes do choque).

No entanto, a colisão com a esfera alvo faz com que a velocidade e a trajetória da esfera

incidente sejam modificadas, de tal modo que a projeção do seu deslocamento passe a ser 2%.


90

Mas como a esfera cai da mesma altura, o tempo de queda é o mesmo, independente do valor da

velocidade horizontal.

Por sua vez, depois da colisão, a projeção horizontal do deslocamento da esfera (2) é 2¶&,

onde o tempo de queda é o mesmo que para a esfera (1).

Então, pela conservação do momento linear, teremos (neste caso não podemos

negligenciar o caráter vetorial)

3(antes) = 3(após)

MX = M9 + mY,

onde por M e m estamos representando as massas das esferas incidente (1) e alvo (2),

respectivamente, por X o vetor velocidade da esfera incidente antes do choque, e por 9 e Y os

vetores velocidades após o choque das esferas incidente e alvo.

Multiplicando-se ambos os membros da equação anterior por t, onde t representa o tempo

de queda, igual para as esferas, teremos:

MX.t = M9.t + mY.t,

E sendo: X.t = 2$, 9.t = 2% e Y.t = 2¶&, vem que:

2$ = 2% + (m/M) 2¶& .

Assim, a composição dos vetores 2% e (m/M)2¶& deve dar como resultante o vetor 2$, e

isto deve ser feito diretamente sobre o papel.

Por fim, duas preocupações fundamentais devem ser observadas na experiência: em

primeiro lugar, a esfera incidente deve deixar a rampa no instante da colisão, sem o que introduzir-

se-ia uma interação perturbadora com a rampa; em segundo lugar, os centros das duas esferas

devem estar no mesmo plano horizontal, no instante do choque, de modo que também as

velocidades sejam horizontais imediatamente depois. A altura da esfera alvo é regulada por meio

do parafuso suporte.

A maneira mais simples de determinar os pontos de impacto (A, B e C) é dispor papel

carbono sobre uma folha de papel branco colocada sobre o piso do laboratório, e a determinação

dos pontos O e O’ deve ser criteriosa (use o fio de prumo).

�� 4XHVW}HV�

1. Prove que o tempo de queda das esferas é o mesmo, independente da velocidade de

lançamento de cada esfera.

Colisão em Duas Dimensões

91

2. Para a experiência, qual o valor do parâmetro de impacto da colisão? Mostre diretamente

no papel.

3. Meça, com um paquímetro, os raios das esferas, e mostre como calcular o ângulo entre a

direção do movimento da esfera alvo depois da colisão, com a direção inicial do movimento

da esfera incidente. Meça diretamente sobre o papel este ângulo e compare os resultados.

4. Qual a relação entre a energia cinética das esferas antes do choque e a energia cinética

após o choque? Como você classificaria a colisão?

5. Que percentagem da energia cinética foi perdida na colisão?



3+<6,&$/�VFLHQFH�VWXG\�FRPPLWWHH. Trad. Abrahão Moraes et alii, Brasília, Editora Universidade

de Brasília, 1966, 3.pt. 186p.


v.1, 348p.


Momento de Inércia

93

0RPHQWR�GH�,QpUFLD�� ,QWURGXomR�

A teoria da 'LQkPLFD� GR� 6LVWHPD� 5tJLGR é fundamental para a moderna tecnologia, e

nessa teoria o PRPHQWR�GH�LQpUFLD de um sólido desempenha um papel muito importante. Tal fato

faz com que o engenheiro freqüentemente necessite conhecer o momento de inércia, relativo a um

dado eixo, de determinada peça do equipamento que ele está projetando.

Nesta experiência vamos determinar o momento de inércia de um sólido em rotação

usando a HTXDomR� IXQGDPHQWDO�GD�'LQkPLFD�GD�5RWDomR. Tal equação relaciona a aceleração

angular, , de um sistema rígido que gira em torno de um dado eixo com o momento ou torque

resultante, , em relação ao mesmo eixo, das forças externas que atuam sobre o sólido

considerado, sendo tal equação precisamente aquela que na literatura é conhecida como a

equação de (8/(5 (1707-1783):

= I .

A constante I é chamada, por convenção, momento de inércia do sólido, relativo ao eixo de

rotação, denominação devida ao próprio Euler.

Esta equação é válida desde que ocorra uma das duas situações seguintes:

o eixo de rotação do sólido é fixo no referencial do observador;

o eixo de rotação do sólido não é fixo no referencial do observador, mas sua direção é

invariável e passa pelo centro de massa do sistema.

Por fim, vê-se que o momento de inércia de um sistema desempenha, na rotação, papel

análogo ao da massa na translação, sendo, pois, uma medida da sua inércia na rotação em torno

de um certo eixo.


A partir da equação de Euler, determinaremos, experimentalmente, o momento de inércia

de um aro homogêneo, relativamente ao eixo que passa pelo seu centro de massa, e

compararemos o valor encontrado com o obtido através de sua geometria. Para tal utilizaremos o

aparelho de movimento anteriormente empregado no estudo da Cinemática da Rotação. Assim, se

conhecermos o torque aplicado ao aro e medirmos sua aceleração angular, poderemos encontrar o

seu momento de inércia relativamente ao eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa.


94

Considerando-se o sistema formado pelo aro e pelo tambor de enrolamento, juntamente

com os três fios tirantes, e adotando como referencial o próprio laboratório (considerado como

sendo galileano), temos que, das forças externas que atuam sobre o conjunto, somente a força de

tração que o fio horizontal faz sobre o tambor é que produz torque em relação ao eixo de rotação

que passa pelo centro de massa, sendo tal torque dado por:

= T r ,

onde T é a força de tração que o fio exerce sobre o tambor de enrolamento, r é o raio do referido

tambor, Io o momento de inércia do aro em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de

massa, e é a aceleração angular do aro. Substituindo-se o torque na equação de Euler, temos:

Io = T r .

A aceleração angular do aro pode ser obtida ajustando-se o aparelho de modo a que

execute um certo número de voltas, e medindo-se o tempo (deve-se efetuar cinco medidas, para

se obter o valor mais provável) para que o aro, a partir do repouso, efetue o número de voltas

fixado. Assim, da Cinemática da Rotação, teremos:

= t²/2 .

A tração, T, que o fio exerce sobre o tambor, atua, também, na parte superior da polia fixa,

que deverá ser tratada como um disco de momento de inércia Io’ = m’r’²/2, relativo ao seu centro de

massa. E sobre a polia fixa atuarão apenas forças de interação, as quais serão o seu próprio peso

P’, as trações T e T’, respectivamente exercidas pelos ramos horizontal e vertical do fio, e a reação

vincular S exercida pelo eixo de sustentação. De acordo com a equação de Euler, e

representando-se por ’ a aceleração angular da polia, de raio r’ e massa m’, pode-se escrever

que:

T’ r’- T r’= (m’ r’²/2) ’ ⇒ T’- T = (m’/2). ’ r’,

onde ’r’ = r é a aceleração tangencial comum de um ponto da periferia da polia fixa e de um

ponto da periferia do tambor de enrolamento. Portanto, teremos:

Momento de Inércia

95

T’- T = m’ r/2 .

A tração T’ pode ser obtida aplicando-se a equação do movimento do centro de massa Fext

= Macm ao porta-pesos, de massa M:

Mg – T’- f = Ma,

onde f é a força de atrito que atua sobre todo o sistema, mas que pode ser pensada atuando

diretamente sobre o porta-pesos, e a é aceleração de translação do porta-pesos, igual em módulo

à aceleração tangencial r de um ponto da periferia do tambor de enrolamento.

Por fim, devemos determinar a força de atrito que age sobre o aparelho como um todo,

lembrando-se que tal força é não conservativa. Antes, porém, precisamos nos certificar de sua

presença na experiência. Assim, com o aparelho ajustado para executar o número de voltas

anteriormente fixado, percebemos, uma vez liberado o sistema, que o porta-pesos se desloca de

uma altura hd na descida e de uma altura hs na subida, quando o aro pára totalmente, após enrolar

o fio (estas alturas devem ser medidas com precisão). Como se verifica, hs é menor que hd, e a

diferença de energia potencial foi dissipada exatamente pelo atrito. E como Wnc� � (�� VHQGR�negativo o trabalho da força de atrito, segue-se desta equação que Wa = Ef – Ei, e como no início e

no fim só temos energia potencial gravitacional do porta-pesos, pode-se escrever que (o nível de

referência foi escolhido na posição mais baixa do porta-pesos):

-f(hd + hs) = Mghs – Mghd ⇒ f = Mg.(hd – hs) / (hd + hs).

Assim, com o conjunto de equações anteriores, pode-se determinar o momento de inércia

do aro. Para se determinar o momento de inércia de outro sólido, como um disco, basta substituir

um pelo outro, como vemos na figura a seguir.

Para o cálculo matemático do momento de inércia dos sólidos em questão, são conhecidos

os seguintes dados:

I. momento de inércia, em relação a um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo

centro de massa: Io(aro) = MR²; Io(disco) = MR²/2;

II. raio do aro = 0,31m (distância entre o centro do aro até o centro de gravidade do perfil);


96

III. raio do disco = 0,142m;

IV. as massas respectivas deverão ser medidas na balança.

�� 4XHVW}HV�

1. Encontre o erro relativo cometido no valor do momento de inércia do sólido usado na

experiência.

2. Qual o rendimento mecânico do aparelho de movimento?

3. Houve maior dissipação de energia mecânica durante a descida ou subida do porta-pesos?

4. Deseja-se determinar a inércia rotacional (momento de inércia) de um corpo de forma

bastante irregular. Por isso, o cálculo matemático de ��U²dm torna-se extremamente difícil.

Sugira como determinar experimentalmente a inércia rotacional.



1972. v.1, 481p.


Publications, 1980.

MAIA, L.P.M.. 'LQkPLFD�GR�VLVWHPD. Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1979.

302p.



v.1, 348p.


Dinâmica da Rotação e Conservação do Momento Angular

97

'LQkPLFD�GD�5RWDomR�H�&RQVHUYDomR�GR�0RPHQWR�$QJXODU�


Dizemos que um sistema é rígido, ou que se comporta como tal, se as distâncias entre os

seus diversos pontos se conservam inalteradas no decorrer do tempo. Os sistemas rígidos

desempenham um papel extremamente importante na Mecânica, tendo a sua teoria atingido um

alto grau de desenvolvimento em razão do enorme interesse que despertou em praticamente todos

os grandes matemáticos, desde o tempo de Leonhard (8/(5 (1707-1783) até os nossos dias.

Para ilustrar a importância do estudo dos sistemas rígidos cito o fato de que várias das partículas

elementares que a Física considera são visualizadas como pequenas esferas rígidas, e, como tal,

podem estar animadas das formas de movimentos que são exclusivas dos sistemas rígidos: a

translação e a rotação. Existe, até, uma grandeza muito importante associada ao movimento de

rotação de uma partícula elementar: o seu spin. Nesta prática vamos verificar leis e princípios

relacionados à Dinâmica da Rotação.

É um fato observável que os corpos em rotação apresentam às vezes comportamentos

paradoxais relativamente às suas situações de não rotação e observando experimentalmente estes

paradoxos, poderemos ir confirmando o que foi desenvolvido pela teoria acerca de inércia

rotacional, atrito de rolamento, conservação da energia mecânica, conservação do momento

angular, etc. Alguns problemas e questões presentes em livros de Física Geral serão, também,

aqui analisados.


��,QIOXrQFLD�GD�GLVWULEXLomR�GH�PDVVD�QR�PRYLPHQWR�GH�URWDomR�

Sobre um plano inclinado coloque um cilindro oco e um maciço, de iguais diâmetros e

massas. Deixe-os rolar ao longo do plano, sem deslizar. (a) Levarão o mesmo tempo para atingir a

base do plano? Mostre por cálculo que a teoria confirma suas observações. (b) Qual deles terá

maior energia cinética de rotação na base do plano? Qual terá maior energia cinética de

translação? (c) Se o plano fosse liso como se relacionaria o tempo de descida dos cilindros? Seria

este tempo maior, menor ou igual ao gasto no item (a)? Fundamente todas as respostas em

cálculos.


98

��3UREOHPD�GR�FDUUHWHO��,�

Dois discos pesados são ligados por um pequeno eixo de raio bem menor que os dos

discos. O sistema é colocado sobre um plano inclinado estreito, de modo que os discos fiquem

pendentes lateralmente e o sistema rola para baixo sobre o eixo sem deslizar. Próximo à base do

plano, os discos tocam o topo da mesa horizontal e o sistema desloca-se com velocidade

translacional muito maior. Explique fisicamente o fato observado e, em seguida, demonstre-o.

��3UREOHPD�GR�FDUUHWHO��,,�

Coloque sobre uma mesa um carretel de fita de máquina (ou um carretel de linha de

costura), com a respectiva fita. Inicialmente, com o carretel em repouso, mas em posição de poder

rolar sobre a mesa, puxe lentamente a fita aplicando-lhe uma força horizontal, como )1. De que

maneira o carretel se moverá? Aplicando-lhe, a seguir, uma força )2, tal que sua linha de ação

passe pelo ponto de contato do carretel com a mesa, o que acontece? Finalmente aplique,

lentamente, a força )3 vertical e observe o movimento do carretel. Demonstre cada uma das

observações.


99

��&RQVHUYDomR�GR�PRPHQWR�DQJXODU�GH�XPD�SDUWtFXOD�

Uma pequena esfera, de massa m, está amarrada a um cordão leve que passa por um

tubo oco. Segura-se o tubo com uma das mãos e com a outra o cordão. Põe-se a esfera a girar

numa circunferência de raio r1, com velocidade v1. Puxando-se para baixo o cordão, o raio é

diminuído para r2. O que ocorre com a nova velocidade linear v2�H�D�QRYD�YHORFLGDGH�DQJXODU� 2 da

esfera? Deduza os resultados observados.

��7RUTXH�H�PRPHQWR�DQJXODU�

Com uma das mãos segure, na posição horizontal, o eixo de uma roda de bicicleta

inicialmente parada. Neste caso você está exercendo algum torque no eixo? Especifique sua

direção e sentido? Este torque que você aplica ao eixo é necessário para contrabalançar o torque

produzido por alguma outra força?

Agora coloque a roda a girar no sentido horário, dando-lhe uma velocidade angular

relativamente grande, com seu eixo na horizontal, como na figura a. Em seguida, levante

rapidamente o eixo da roda, de modo que este passe a formar um ângulo � FRP�D�KRUL]RQWDO��como na figura b, procurando manter o eixo sempre no plano vertical. Você experimenta uma certa

guinada da roda? Em que sentido? Que torque (direção e sentido) aparece em sua mão? Que

torque você deverá aplicar ao eixo, a fim de seguir as instruções dadas?


100

Repita a experiência colocando a roda a girar no sentido anti-horário.

��&RQVHUYDomR�GR�PRPHQWR�DQJXODU�

Um estudante senta-se em uma cadeira giratória inicialmente parada e, de braços abertos,

segura em cada mão um haltere. Um colega faz rodar a cadeira e, em seguida, pede ao estudante

que aproxime as mãos de seu próprio corpo. O que acontece? Como você explica tal fato? Torne a

esticar os braços e verifique o que ocorre.

Ainda sentado na cadeira em repouso, tome em uma das mãos uma roda de bicicleta

parada, com o eixo na vertical, e, com a outra mão, faça um esforço para colocar a roda a girar

com grande rotação. O que ocorre à cadeira? Ela gira no mesmo sentido da roda? Qual o

momento angular do conjunto antes e depois da roda ser posta em rotação?

Novamente sentado na cadeira em repouso, peça a um colega para lhe entregar a roda, já

a girar em alta velocidade, com o eixo na vertical. Pare repentinamente a roda com uma de suas

mãos. O que ocorre com você e a cadeira? Qual o momento angular do conjunto (cadeira + você +

roda de bicicleta) antes de você parar a roda? Este momento foi transferido? Para quem?

Por fim, novamente sobre a cadeira parada, tome a roda já a girar em alta rotação, com o

eixo na direção vertical. A seguir incline o eixo até que ele mude de sentido. O que acontece?

Em cada situação realizada procure observar o que está acontecendo e acompanhe suas

observações com explicações dos fatos. Desenhe diagramas vetoriais dos momentos angulares

postos em jogo e veja se a conclusão tirada através deles para as variações das velocidades de

rotação da cadeira e da roda confirmam suas observações.

��0RYLPHQWR�GH�XP�JLURVFySLR�

Um dos problemas mais interessantes na Dinâmica da Rotação é o do movimento de um

giroscópio, que possui importantes aplicações na engenharia. A tendência do giroscópio em

manter o eixo de rotação fixo no espaço é um princípio usado em estabilizadores de navios, pilotos

automáticos de aviões, na bússola giroscópica, no estudo da precessão dos equinócios, no

horizonte artificial, no indicador de curvas, etc.

Consideremos, então, o problema de um giroscópio em que o eixo de rotação não tem

direção fixa. Em geral, o movimento destes sistemas é muito complicado e uma análise mais


101

detalhada é feita em textos mais especializados. Na figura mostramos um deles, usualmente

chamado SLmR�GH�/DJUDQJH, constituído por uma roda de bicicleta capaz de girar livremente em

torno de seu eixo, o qual está articulado num ponto O à distância d do centro de gravidade da roda,

podendo assumir qualquer posição.

Quando o eixo é abandonado na posição horizontal, com a roda parada, o que ocorre?

Qual o torque em relação ao ponto O em módulo, direção e sentido? Neste caso o momento

angular da roda, devido ao movimento do seu centro de massa aponta em que sentido? A força ),

no apoio, é maior, menor ou igual ao peso da roda?

Com seu eixo apoiado e em posição horizontal, ponha a roda a girar em alta rotação e, em

seguida, largue o eixo. O que acontece? O eixo de rotação da roda mantém sua direção fixa?

Repita o procedimento pondo a roda a girar em sentido contrário ao anterior. Por que o peso da

roda em lugar de fazê-la cair (como aconteceu com ela sem rotação) faz com que seu eixo se

desloque num plano horizontal? Explique todos esses fatos fundamentando as respostas de

acordo com a teoria estudada. Nesta nova situação a força ) no apoio é maior, menor ou igual ao

peso da roda?

Como foi observado, ocorreu uma variação constante na direção do vetor / (momento

angular), isto é, o eixo da roda girou em torno do eixo vertical de apoio. Este movimento é

denominado movimento de precessão (além deste movimento ocorre também uma subida e

descida correspondente do eixo de rotação, conhecida como nutação). Através da equação =

d//dt, determine a velocidade angular de precessão � �G �GW��



1972. v.1, 481p.


102

EISBERG, R.M. & LERNER, L.S.. )tVLFD�� IXQGDPHQWRV� H� DSOLFDo}HV. São Paulo, McGraw-Hill,

1982. v.1, 598p.

FONSECA, A.. &XUVR�GH�PHFkQLFD, 2.ed. Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1972. v.4, 448p.

NUSSENZVEIG, H.M.. &XUVR� GH� ItVLFD� EiVLFD� �; mecânica. São Paulo, Edgard Blücher, 1981.

519p.


v.1, 348p.


O Disco de Maxwell

103

2�'LVFR�GH�0D[ZHOO�


Sabemos que o movimento de um sistema rígido, na situação mais geral possível, poderá

ser sempre imaginado como uma combinação de uma translação e uma rotação simultâneas. É o

caso, por exemplo, do movimento da terra, constituído de uma translação em torno do sol e de

uma rotação em torno do seu eixo polar.

Nesta experiência utilizaremos um dispositivo chamado GLVFR�GH�0D[ZHOO para analisar a

dinâmica do movimento combinado de translação e rotação, relativamente a um referencial fixo no

laboratório, suposto, ele mesmo, um referencial inercial.


O disco de Maxwell consta de um disco circular, uniforme, de massa M e raio R, com eixo

cilíndrico de raio r, suspenso dois fios verticais de mesmo comprimento, cujo funcionamento é

semelhante ao do ioiô, um brinquedo bem conhecido.

Assim, nesta experiência determinaremos o momento de inércia do disco em relação ao

eixo perpendicular a seu plano e que passa pelo seu centro de massa, cujo valor, obtido por

integração, se encontra tabelado e é Io = MR²/2.

A experiência consiste em fixar a distância percorrida pelo centro de massa do disco e

medir o tempo para percorrê-la, a partir da posição em que o disco é liberado do repouso. Para

colocar o disco em movimento enrolam-se os fios de modo uniforme sobre o eixo, que é mantido

horizontalmente, com os dois fios exatamente verticais, e abandonando-se o disco ele rola para


104

baixo até desenrolar o fio, que então passa de um lado do eixo para o outro e começa a enrolar à

medida que o disco sobe. Supondo irrelevantes os possíveis atritos, assim como a massa dos fios,

teremos então as seguintes forças que numa posição genérica atuam sobre o disco: o seu próprio

peso 3 = MJ e a tração 7�exercida pelos dois fios.

Usando o teorema do movimento do centro de massa e a equação de Euler, podemos

escrever:

Fext= Macm ⇒ Mg – T = Ma

= Io ⇒ Tr = Io .

E como a = r, vem , eliminando-se a tração entre as equações anteriores, que:

a = Mg/(M + Io/r²) ,

o que mostra que o centro de massa do disco desce com uma aceleração constante, de módulo

menor do que a aceleração da gravidade. Da Cinemática (tomando a origem das posições no

ponto em que o disco é abandonado) vem que:

y = at²/2, e sendo y a distância percorrida pelo centro de massa no tempo t, teremos, portanto:

Io = M r² .[ (gt²/2y) – 1].

Tomando-se um valor de y = h, onde h é a altura percorrida pelo disco até atingir o ponto

mais baixo (observe que h = 2 rn, onde n é o número de voltas completas que o fio é enrolado em

torno do eixo), e medindo-se o tempo t gasto neste percurso (obtenha cinco medidas do tempo,

para encontrar o seu valor mais provável), podemos determinar o momento de inércia

experimentalmente e compará-lo com o valor tabelado.

Por fim, devemos analisar o que acontece na transição entre descida e subida, quando a

velocidade troca rapidamente de sentido, passando de +v na descida a -v na subida. Esta

velocidade pode ser encontrada tendo-se em conta que o centro de massa do disco desce com um

movimento uniformemente variado. Assim, teremos:

O Disco de Maxwell

105

v² = 2ay, e que para y = h, fornece:

____________ v = ± ¥�0JK��0�,o/r²) ,

com as duas raízes representando as situações descritas.

Logo, o momento linear do disco sofre uma variação brusca (não em módulo, mas em

VHQWLGR�� 3 = M(-v M - v M) = -2Mv M� QXP� SHTXHQR� LQWHUYDOR� GH� WHPSR� W�� R� TXH� VXJHUH� R�aparecimento de uma força impulsiva dada pelo teorema do impulso-momento linear: )�� W� �-2Mv M (M é o vetor unitário na direção vertical, orientado positivo para baixo). Deste modo a ação desta

força impulsiva que age sobre o disco é de sentido vertical para cima, e sua reação, que age sobre

o fio, se manifesta como um súbito puxão, o qual é percebido pelo som que aparece neste

momento de transição entre a descida e a subida.

Para o cálculo da força impulsiva necessitamos conhecer o intervalo de tempo W�GXUDQWH�R

qual ela atua mudando bruscamente o momento linear do disco, e este intervalo de tempo pode

ser estimado observando-se a figura abaixo, onde estão representados somente o fio e o eixo

central, ilustrando os estágios sucessivos desta etapa de transição.

CoPR� SRGHPRV� REVHUYDU�� R� LQWHUYDOR� GH� WHPSR� W� FRUUHVSRQGH� DR� JLUR� GR� HL[R� GH� XP�ângulo igual a � UDG�FRP�YHORFLGDGH�DQJXODU� � � Y�U��$VVLP�� W� � r/v. Logo o módulo da força

impulsiva será, finalmente, dado por:

F. r/v = 2Mv ⇒ F = 8Mghr/ (2r² + R²), e sendo r << R, vem finalmente:

F §��0�J�U�K�� R² .

�� 4XHVW}HV�

1. Qual o erro relativo cometido na determinação do momento de inércia do disco?

2. Por que o disco não retorna a seu ponto de partida durante o seu movimento ascendente?

Para onde foi transferida a diferença de energia?

3. Qual o intervalo de tempo durante o qual agiu a força impulsiva?

4. Demonstre a equação que fornece o momento de inércia do disco usando o princípio da

conservação da energia mecânica.


106

5. Explique, baseando-se no conceito de energia, por que a velocidade translacional final do

disco é menor do que se ele caísse em queda livre da mesma altura?

6. Qual o valor da força impulsiva que agiu sobre o disco? Como ela se compara com a

tração exercida pelo fio na posição mais baixa?



Publications, 1980.


v.2, 223p.



519p.


v.1, 348p.

O Atrito de Rolamento

107

2�$WULWR�GH�5RODPHQWR�� ,QWURGXomR�

Uma força de interação bastante complicada – mas que não podemos deixar de considerar

neste nosso curso, uma vez que ela desempenha um papel preponderante num grande número de

fenômenos que se desenrolam ao nosso redor – é a IRUoD�GH�DWULWR�GH�URODPHQWR. São forças de

atrito de rolamento, por exemplo, que nos permitem aumentar ou diminuir a velocidade de um

automóvel, nas condições usuais, e são elas que permitem que uma esfera role sobre um plano

inclinado.

Consideremos uma roda, por exemplo, que rola sobre uma superfície plana horizontal.

Dizemos que se trata de um rolamento sem deslizamento ou rolamento puro se cada ponto da

periferia da roda, quando entra em contato com a superfície horizontal, não desliza sobre ela (na

realidade, em lugar de um ponto de contato, há uma pequena área de contato, correspondente a

uma deformação das superfícies, o que leva ao chamado atrito de rolamento, e que o torna um

assunto eminentemente técnico). Neste caso há, então, uma situação aparentemente paradoxal:

em cada instante é nula a velocidade dos pontos da roda em contato com a superfície, e é

justamente isto que caracteriza o rolamento sem deslizamento. Mas este resultado, formalmente,

pode ser encontrado intuitivamente através de um raciocínio extremamente simples. Realmente, se

dois corpos estiverem em contato um com o outro, e não estiverem deslizando um em relação ao

outro, então, em cada instante, a velocidade de um ponto pertencente a um dos corpos será

obrigatoriamente igual à velocidade do ponto pertencente ao outro corpo que naquele instante

esteja em contato um com o outro. O contato da roda com o plano horizontal se dá ao longo de

toda uma geratriz (perpendicular ao plano do movimento), e esta linha é denominada de eixo

instantâneo de rotação. Assim, o movimento da roda pode ser tratado como uma combinação de

movimentos de translação e de rotação, ou pode também ser descrito a cada instante como uma

rotação pura, em torno do eixo instantâneo de rotação.

Do ponto de vista das forças atuantes sobre a roda, aparece também algo interessante que

até o presente momento não foi considerado. Para que haja rolamento é necessário que levemos

em conta o atrito; sem ele não haveria a rotação da roda, mas somente translação, pois é

justamente o atrito que produz o torque em relação ao centro da roda. E no caso de rolamento

puro, o ponto de contato está em repouso a cada instante, o que indica que a força atuante é a

força de atrito estático. É bastante interessante acrescentar ainda a esta análise, o fato da força de

atrito de rolamento não trabalhar, isto é, de ser sempre nulo o trabalho realizado por forças de

atrito de rolamento. De fato, sendo o trabalho elementar de uma força dado por dW = I�� dU, onde

dU = Y dt é o deslocamento elementar do ponto de contato, vem que se Y = 0, então ter-se-á que

dW = 0. Permite-nos dizer isto que a força de atrito de rolamento é não dissipativa.


108

��3URFHGLPHQWR�

Nesta experiência vamos estudar o movimento de uma esfera que rola sobre um trilho

inclinado de um ângulo �FRP�D�KRUL]RQWDO��GHWHUPLQDQGR��D��D�DFHOHUDção do centro de massa da

esfera (que é menor que a de um corpo que desce o mesmo trilho num movimento puro de

translação, na ausência do atrito) e (b) a velocidade de translação do centro de massa da esfera

quando esta descer de uma altura h.

Para o cálculo da aceleração do centro de massa, seja a figura, que corresponde a um

instante genérico, contado a partir da posição em que o movimento foi iniciado, onde as forças que

atuam sobre a esfera do ponto de vista de um referencial fixo no laboratório, suposto, ele mesmo,

um referencial inercial, são: o seu próprio peso 3, a reação normal total 1 exercida pelos dois lados

do trilho, e a força de atrito de rolamento I exercida também pelo trilho, nos pontos de contato.

De acordo com o teorema do movimento do centro de massa, e tomando componentes

segundo a direção paralela ao plano, pode-se escrever que:

Fext = m acm ⇒ M g sen – f = M a,

onde a é a aceleração do centro de massa da esfera.

Da equação de Euler, tomando torque em relação ao centro de massa, temos:

= Io ⇒ f d = (2MR²/5) ,

e tendo-se em conta, por hipótese, que não há deslizamento e que, portanto, o ponto P é o centro

instantâneo de rotação da esfera, vem que a = d. Assim:

Mg sen = M a + 2MR²a/5d²,

e finalmente:

D� �J�VHQ� ��Gð��Gð��5ð�� o que nos mostra que o centro da esfera se move com movimento uniformemente variado.

A distância d, difícil de ser medida diretamente, pode, no entanto, ser expressa em função

de R e de ��REVHUYH�TXH�� p�D�ODUJXUD�GR�WULOKR��GR�WULkQJXOR�GD�ILJXUD��R�TXH�Gi��G² = R² - ².

O Atrito de Rolamento

109

Para obtermos a velocidade do centro de massa da esfera no instante em que ele tiver

descido de uma altura h, ou percorrido uma distância L sobre o trilho, vamos empregar dois

métodos:

1º) método dinâmico

O método dinâmico consiste em determinar a aceleração como acima e da cinemática do

movimento uniformemente variado obtermos a velocidade. Assim:

_________________ v² = 2aL, de modo que v = ¥��JK��G²/(5d² + 2R²),

RQGH�K� �/�VHQ� � 2º) método da energia

Podemos usar o princípio da conservação da energia mecânica, uma vez que a força de

atrito não trabalha e, portanto, não é dissipativa. Assim, a esfera parte do ponto mais alto apenas

com energia potencial gravitacional, que se transforma, após descer da altura h, (a) em energia

cinética de translação e energia cinética de rotação em torno do centro de massa, ou,

simplesmente, (b) em energia cinética de rotação em torno do eixo instantâneo de rotação.

Vejamos:

(a) mgh = mv²/2 + Io ð��⇒��PJK� �PYð��P5ð ð�� ________________ H�VHQGR�Y� � �G��UHVXOWD��ILQDOPHQWH�Y� �¥��JK��Gð��Gð��5ð�� (b) mgh = IP ²/2 ,

e pelo teorema dos eixos paralelos, teremos: IP = Io + m d² = (2/5)m R² + m d².

Evidentemente isto nos leva ao mesmo resultado acima para v.

Fica claro, portanto, que a energia mecânica se conserva. À primeira vista isto pareceria

contraditório pela presença da força de atrito. Entretanto, como já salientamos, esta força não

dissipa, e seu único papel é converter energia cinética de translação em rotação.

Uma vez estabelecido o modelo matemático através da Dinâmica da Rotação, a

experiência consiste em medir o tempo que a esfera gasta para percorrer uma distância L,

preestabelecida, ao longo do trilho, e calcular a velocidade e a aceleração do seu centro de massa

a partir das equações da Cinemática, comparado-se estes valores com aqueles obtidos pelas

equações deduzidas acima.

Assim, como a esfera parte do repouso e executa um movimento uniformemente variado,

percorrendo uma distância L num tempo t (meça o tempo cinco vezes, para obter seu valor médio),

temos, da Cinemática:

vm = (v + vo)/2, e sendo, por definição, vm = L/t, resulta que: v = 2L/t.


110

E da equação da posição em função do tempo, teremos: L = at²/2 ⇒ a = 2L/t².

�� 4XHVW}HV�

O termo 5d²/(5d² + 2R²), que aparece tanto na equação da velocidade como na equação

da aceleração da esfera, é chamado ”fator de freiamento”. Explique esta denominação.

Se o trilho for substituído por uma rampa plana de mesma inclinação, qual a aceleração e a

velocidade da esfera após seu centro ter descido de uma mesma altura h?



1972. v.1, 481p.




302p.


v.1, 348p.


O Movimento de Precessão

111

2�0RYLPHQWR�GH�3UHFHVVmR�� ,QWURGXomR�

Um sólido pode executar vários tipos de movimentos, mas, dentre todos eles existe um que

sempre nos traz muito encantamento: é o que é usualmente chamado PRYLPHQWR�GH�SUHFHVVmR.

Nesta experiência vamos tratar do movimento de precessão de um sólido de estrutura

giroscópica. Um dos modelos mais usuais de um tal sólido com estrutura giroscópica é o que é

usualmente chamado JLURVFySLR�GH�)RXFDXOW e que esquematicamente é formado por um disco

circular, rígido e homogêneo, que pode girar livremente em torno do próprio eixo de simetria que

passa pelo centro de massa.

Suponha que o disco mostrado na figura esteja animado de uma velocidade angular em

torno do próprio eixo de simetria. Se esse eixo gira com uma velocidade angular em torno de um

eixo vertical perpendicular ao próprio eixo de simetria, um tal movimento é usualmente chamado

movimento de precessão, ou simplesmente precessão, e o problema que nos propomos resolver

aqui é caracterizar a grandeza que está produzindo o movimento de precessão, isto é, o

movimento de rotação do eixo do giroscópio em torno do eixo vertical de apoio.


Para cumprirmos o objetivo acima definido, vamos utilizar um giroscópio constituído por um

disco circular e homogêneo, de raio R e massa M, que gira com velocidade angular em torno do

próprio eixo de simetria �� HQTXDQWR� WDO� HL[R� � SUHFHVVLRQD� HP� WRUQR� GD� YHUWLFDO� TXH� FRQWém o

ponto O de apoio que é fixo em relação à Terra suposta, ela mesma, um referencial inercial.

Vamos calcular a velocidade de precessão com que o eixo do giroscópio gira em torno do eixo

vertical, e comparar este valor com aquele dado pela Cinemática da Rotação. Verificaremos

também um fenômeno de ampla aplicação na engenharia: a tendência do giroscópio em manter o

eixo de rotação fixo no espaço.


112

Na figura abaixo – que é correspondente a um instante genérico t – estão representados o

giroscópio e um sistema cartesiano de eixos OXYZ.

É conveniente notar que se o eixo horizontal �JLUDU�HP�WRUQR�GR�HL[R�IL[R�H�YHUtical OY, ele

o fará com uma certa velocidade angular � denominada velocidade de precessão. E o problema

proposto se resume, precisamente, em exprimir � em função das demais características dinâmicas

do giroscópio. De partida consideraremos irrelevantes os possíveis atritos, assim como a massa do

HL[R� � ��$�DXVência de atrito implica em que o módulo da velocidade de rotação do disco não

pode ser modificada por meio de ações transmitidas por intermédio do eixo relativamente ao qual o

disco está girando.

Representando por ext a soma dos torques, relativos ao ponto de apoio, das forças

externas que atuam sobre o giroscópio, podemos escrever, de acordo com a segunda lei de Euler,

que:

ext = d/�dt

onde / é o momento angular do disco, relativo ao centro de massa do disco.

Indicando com Io o momento de inércia do disco, relativo ao seu eixo de rotação que passa

pelo centro de massa, e por a velocidade angular de rotação do disco, relativa ao referencial

inercial que se esteja utilizando, ter-se-á que:

/ = Io .

Conforme foi indicado na teoria, a equação = d//dt implica em que, na ausência de um

torque externo , o momento angular / do corpo permanece constante. Se o corpo está girando em

torno de um eixo principal, / = Io e, conforme sabemos, o corpo permanece girando em torno

daquele eixo com velocidade angular constante.

Por outro lado, se o torque externo sobre o giroscópio não é nulo, o momento angular sofre

uma variação durante o tempo dt que é dada por d/ = dt. Em outras palavras, a variação no

momento angular é sempre na direção e sentido do torque. Se o torque é perpendicular ao

momento angular /, a variação d/ é também perpendicular a / e o momento angular varia em

direção, mas não em módulo. Assim, o eixo de rotação varia em direção, mas o módulo do


113

momento angular permanece constante. O movimento do eixo de rotação ao redor de um eixo fixo

devido a um torque externo é chamado precessão. Pode-se dizer, conseqüentemente, que o

movimento de precessão do giroscópio se realiza em virtude da ação de um torque externo sobre

ele.

Com o giroscópio parado e livre, de modo a poder rodar em torno dos três eixos principais,

posicione seu eixo na direção horizontal contrabalançando o peso do disco por meio do contrapeso

C, convenientemente ajustado, de tal modo que o torque total sobre o sistema, relativamente a O,

seja zero. Em seguida gire o disco do giroscópio de modo a produzir uma grande velocidade

angular, e isto se consegue enrolando-se um fio em torno do pequeno tambor acoplado ao disco e

puxando o fio. Nestas condições o que ocorre com o giroscópio? Movendo-se o giroscópio em

torno da sala do laboratório, o que podemos notar na direção do eixo de rotação do disco?

Agora, com o disco ainda girando em torno de seu eixo próprio, adicione uma massa

suplementar m num pino situado perpendicularmente ao eixo do giroscópio, próximo do ponto de

apoio. Alguma modificação ocorre no giroscópio? Remova a massa suplementar e observe.

Em seguida coloque a massa suplementar numa fenda situada na extremidade mais longa

do eixo do giroscópio, situada a uma distância r do ponto de apoio O.

Representando por o módulo da soma dos torques, relativos ao ponto fixo O, das forças

externas que atuam sobre o sistema, podemos escrever, de acordo com a segunda lei Euler, que

(o índice ext em foi omitido por comodidade):

= dL/dt

onde L é o momento angular do disco do giroscópio, relativo ao ponto O.

Das forças externas que atuam sobre o giroscópio, apenas o peso da massa suplementar

produz torque em relação ao ponto O. Tendo-se em conta a figura, podemos escrever

imediatamente que:

= mgr.

Este torque resultante cria então uma variação de / (isto é, d/) de mesma direção e

sentido de . E como o torque produzido pela força peso da massa suplementar está dirigido na


114

direção +Z, vem que d/ deve também estar dirigido nesta mesma direção, o que obriga o eixo �D�precessar com uma velocidade angular de precessão de direção -Y, como mostra a figura. Se o

ângulo descrito pelo eixo ��QXP�LQWHUYDOR�GH�WHPSR�GW��é d � � GW��H�VHQGR�G/� �/G ��UHVXOWD� PJU� �/G �GW�⇒ mgr = Io� �

e como Io = MR²/2, vem:

mgr = (MR²/2) .

Finalmente teremos para a velocidade de precessão:

= 2mgr/MR² .

7RGRV�RV�YDORUHV�DFLPD�SRGHP�VHU�PHGLGRV�GLUHWDPHQWH��LQFOXVLYH�R�YDORU�GH� �TXH�GHYHUá

ser determinado com uma fotocélula especial.

Por outro lado, da Cinemática da Rotação, temos que � � � /P, onde P é o período do

movimento de precessão do giroscópio (tempo para o eixo dar uma volta completa), obtido com um

cronômetro manual.

Assim, desta forma podemos comparar esses resultados.

�� 4XHVW}HV�

1. Sabe-se que os efeitos da precessão têm grande influência na manobra de um aeroplano.

Admita, então, que o disco giratório da figura abaixo represente o motor e a hélice de um

avião monomotor, e que o aeroplano se desloque segundo o eixo X, para o leitor. Se o

piloto deseja fazer uma volta para a esquerda (do ponto de vista do próprio piloto), de

modo a mudar a direção do vôo, em que direção o nariz do avião será solicitado? Este

efeito deve ser compensado pelo ajuste dos “ailerons”.

2. Quando o piloto do monomotor da questão anterior levantar o nariz do avião durante uma

operação de decolagem, em que direção o aeroplano será desviado? Este efeito

apareceria em um bimotor em condições normais? Que sugestão deveria ser dada ao

fabricante do bimotor para se evitar esse efeito indesejável?


115

3. A equação � � , , mostra que a velocidade de precessão depende do torque aplicado.

Esta equação pode esclarecer as propriedades estabilizantes do giroscópio, isto é, a

tendência de um giroscópio em manter o eixo de rotação fixo no espaço, um princípio

usado em estabilizadores de navios e em pilotos automáticos de aviões. Explique.

4. Baseando-se na questão anterior, como podemos conseguir uma elevada estabilidade do

eixo de um giroscópio de pequena massa e dimensões?



1972. v.1, 481p.


Publications, 1980.


302p.

MERIAM, J.L.. 0HFKDQLFV��G\QDPLFV. 2.ed. New York, John Wiley & Sons, 1959. v.2, 420p.

SEARS, F.W.. )tVLFD. Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1960. v.1, 650p.

O Raio de Giração

117

2�5DLR�GH�*LUDomR�� ,QWURGXomR�

Qualquer que seja a forma de um corpo é sempre possível achar uma distância radial a

qualquer eixo dado, à qual a massa do corpo poderia ser concentrada, sem alterar o momento de

inércia do corpo em relação a esse eixo. Essa distância é denominada UDLR�GH�JLUDomR do corpo

em relação ao eixo dado e é representada pela letra k.

Se a massa do corpo, M, estivesse realmente concentrada a essa distância, o momento de

inércia seria o de um ponto material de massa M a uma distância k do eixo, ou seja, Mk². Como é

igual ao momento de inércia real, I, temos que:

____ M k² = I ⇒ k = ¥,��0��

A equação acima pode ser considerada como a definição do raio de giração. Essa é uma

quantidade útil porque pode ser determinada, para corpos homogêneos, inteiramente pela

geometria.


Neste experimento vamos determinar o raio de giração do disco do giroscópio apresentado

na prática anterior. Para tal, dois dos eixos do giroscópio são fixados e o eixo em torno do qual o

disco gira deve estar direcionado horizontalmente. Posicione a plataforma do giroscópio na

bancada do laboratório de tal maneira que o fio, que deve passar pelo tambor, fique para fora da

mesa. O fio é preso e enrolado ao redor do tambor, e de sua extremidade livre pende um objeto de

massa m, como indica a figura. Solta-se o conjunto e mede-se o tempo que a massa m gasta para

alcançar diferentes posições ao longo de sua trajetória. O problema que nos propomos a resolver

é: determinar experimentalmente o raio de giração do disco do giroscópio, supondo irrelevantes os

possíveis atritos, assim como a massa do fio.


118

As forças que atuam sobre o disco, num instante genérico t, são as seguintes: o seu

próprio peso 3 = MJ, a reação vincular 6 do eixo, e a tração 7 exercida pelo fio. As forças que

atuam sobre o objeto suspenso são o seu próprio peso S�= mJ, e a tração 7 exercida pelo fio.

(Note que as trações são iguais, uma vez que o fio tem massa desprezível.)

Escolhendo como sistema o disco e considerando os torques e o momento de inércia em

relação ao eixo de rotação – que é fixo – podemos escrever, usando a equação de Euler para a

rotação:

= I ⇒ T r = I

donde, tendo em conta que I = k²M, vem que:

T r = k²M .

Aplicando ao bloco a segunda lei de Newton-Galileu – F = ma – e utilizando, logo, o eixo

cartesiano OY indicado na figura (vertical e fixo em relação à Terra), podemos escrever que:

p – T = ma ⇒ mg – T = ma

donde, tendo em conta que a aceleração do bloco é igual a aceleração tangencial de um ponto da

periferia do tambor e que, portanto, a = r, vem, eliminando a tração entre as duas equações:

k²Ma/r = m(g – a)r ⇒ a = g/(1 + k²M/r²m) .

Assim, vemos que o bloco executa um movimento de descida com aceleração constante –

um movimento uniformemente variado – o que nos permite escrever da equação da posição em

função do tempo: y = (1/2)at². Finalmente, teremos que:

y = (g/2) (1 + k²M/r²m)t² .

Portanto, medindo-se o tempo para que o bloco percorra diferentes distâncias verticais,

podemos encontrar o raio de giração do disco do giroscópio e comparar esse resultado com o seu

valor verdadeiro, dado pela geometria do disco.

y(m) t(s)

0,15

0,30

0,45

0,60

0,75

O Raio de Giração

119

�� 4XHVW}HV�

1. Qual o raio de giração de um disco de raio R, em relação a um eixo perpendicular a seu

plano e que passa pelo centro de massa?

2. Para calcular o raio de giração de um corpo podemos considerar sua massa concentrada

em seu centro de massa?

3. A partir dos dados da tabela acima, construa um gráfico linear e calcule do mesmo o raio

de giração do disco do giroscópio. Como esse valor se compara com o valor dado pela

geometria do disco?



1972. v.1, 481p.


Publications, 1980.


519p.


v.1, 348p.


Equilíbrio Estático de Um Corpo Rígido

121

(TXLOtEULR�(VWiWLFR�GH�8P�&RUSR�5tJLGR�� ,QWURGXomR�

Diz-se que um sistema material está em HTXLOtEULR� HVWiWLFR, relativamente a um certo

referencial, quando for fixa a posição de todas as partículas que o constituem. Assim um sistema

rígido apresenta equilíbrio estático quando (a) a resultante das forças externas que atuam sobre o

sistema é nula e, (b) o torque ou momento das forças externas, em relação a um eixo fixo

qualquer, dessas mesmas forças, for nulo.


Nesta experiência vamos estudar o equilíbrio estático de uma barra cilíndrica, rígida e

homogênea, de massa M e comprimento ��DSRLDGD�VREUH�GRLV�FXWHORV��FXQKD�HP�IRUPD�WULDQJXODU��A extremidade esquerda da barra está apoiada no cutelo A, fixo, que se encontra sobre o prato de

uma balança, graduada em gramas; o outro cutelo, B, que deverá ser deslocado sucessivamente

através das marcas gravadas na barra, mantém a barra na posição horizontal e se apóia sobre

uma mesa regulável. Anote os valores de M e �DQWHV�GH�LQLFLDU�D�H[SHULência.

Para diferentes posições d > �� do cutelo B, iniciamos a leitura indicada na balança e, a

cada deslocamento do cutelo, para a direita, vamos completando a tabela, que fornece a leitura L

na balança em função da posição d do cutelo, medida a partir da extremidade esquerda. É preciso

não esquecer de descontar, a cada leitura, a massa do cutelo colocado sobre o prato da balança,

ou então, quando houver recurso na balança, apertar apenas uma única vez a tecla “tara”, logo

após colocar sobre o prato somente o cutelo.

d(cm) L(g)

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00


122

Estabeleça, a partir das condições de equilíbrio, uma equação que relacione a leitura L em

função da distância d, e linearize esta equação. Lembre-se de que o cutelo exerce uma força sobre

o prato da balança, que é transformada numa leitura equivalente a uma certa massa.

É importante que a barra esteja perfeitamente nivelada (isto é, na horizontal), e isso é

conseguido quando a balança acusar uma leitura igual à metade da massa da barra, estando cada

cutelo colocado nos extremos da barra. O ajuste se consegue levantando ou abaixando a mesa

regulável.

�� 4XHVW}HV�

1. Aplicando-se aos dados da tabela a regressão linear, encontre a massa e o comprimento

da barra.

2. Admitindo-se que os valores da massa e do comprimento da barra obtidos por medições

diretas sejam os valores verdadeiros, encontre os respectivos erros relativos cometidos na

experiência.

3. À medida que o cutelo é deslocado, a força total exercida pelos apoios sobre a barra varia?

As forças permanecem iguais em cada apoio?

4. O centro de massa de um corpo coincide com o seu centro de gravidade? Explique.

5. Deve existir, necessariamente, alguma massa no centro de massa de um corpo?

6. O centro de massa de um corpo sólido deve estar situado necessariamente dentro do

corpo?



1972. v.1, 481p.


v.2, 223p.


v.1, 348p.

TIPLER, P.A.. )tVLFD. 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596.

apostila fis exp. 1

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