ESTATSTICA IIParte I DOCENTE: Cristiano Andrade DISCIPLINA: Estatstica aplicada ADM-II LONDRINA 20111 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 1 INTERVALOS DE CONFIANA 1.1 Introduo Usualmente,impraticvelobservartodapopulao,sejapelocustosejapelas dificuldadesdiversas,ento,examina-seumaamostra.Seessaamostrafor representativa,seusresultadospoderosergeneralizadosparatodaapopulao, chamada de inferncia estatstica.Opropsitodainfernciaestatsticaoudaestatsticaindutivabuscar informaesarespeitodeumfenmenoqualquer,visandoapresentarargumentos estatsticos sobre suas caractersticas, baseando-se em informaes dadas pela amostra. Emparticular,quandoestefenmenoaleatrio,abuscadeinformaes direcionadaparaestabeleceraformadadistribuiodavarivelqueodescrevecomo tambm de seus parmetros. Paraisto,utiliza-sededoisprocedimentosparaasoluodesteproblema.O primeiro, consiste em aplicar o censo, que identifica diretamente a forma da distribuio davariveleseusparmetros.Osegundo,consisteemobterestasinformaes indiretamente, atravsdaestimao,ouseja, avaliar os parmetrosdeumadistribuio atravsdeseusestimadoresobtidosemumaamostra,combasenoclculode probabilidades. 1.2 Estimativa por Intervalo Visto que nas estimativas no se permite julgar a possvel magnitude do erro que estamoscometendo,poisnosepodeesperarqueaestatsticadaamostrasejasempre igualaoparmetrodapopulaocorrespondente.Pelaestimaoporintervalo,que consistenaconstruodeumintervalocentradonaestatsticadaamostra,podemos afirmar com certa probabilidade,de que este intervalo conter o verdadeiro parmetro. Aprobabilidadeconsideradanaconstruodointervalochamadadenvelde confiana, representada por 1- , onde o nvel de significncia ou a probabilidade de erro que se comete ao se afirmar que o intervalo conter o verdadeiro parmetro. Os mtodos de estimao por intervalos de confiana so baseados na distribuio deprobabilidadedasvariveis,oquepermiteiniciarasuaconstruoatravsdas distribuies de probabilidade, tais como: normal, t de student, etc. 17.2.1 Intervalo de Confiana Para a Mdia Populacional - Varincia Conhecida (2o ) Neste caso deve-se usar a distribuio normal (z): 1

2z 2z Q 2 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) Portanto: 12 2 =|

z z z Pcal sabe-se que nzcaloQ - x= Substituindo chega-se a:

=|

o+ Q o

1n. zxn. z x P2 2 ou oQ

'+

'

1 para .x :2nz O Sendo o erro amostral dado por: nzo. e2= Exemplos 1.OdepartamentodeRecursosHumanosdeumagrandeempresainformouqueo tempodeexecuodetarefasqueenvolvemparticipaomanualvariadetarefapara tarefa,masqueoseudesvio-padropermaneceaproximadamenteconstante,em3 minutos.Umaamostraaleatriadotempogastonadeexecuode50destasnovas tarefasforneceuum tempomdiode15minutos.Determineointervalodeconfiana de 95% para o tempo mdio de execuo desta nova tarefa. % 95 82 , 15 ; 18 , 14 82 , 0 15503. 96 , 1 15 1n. zx :2= = ='+

'

='+

'

oQO O O 2.Sabe-se que num processo de certo produto, a varincia admitida de 1,96. Construir umintervalodeconfianapara amdiapopulacional,sendoonveldesignificnciade 2% considerando a seguinte amostra:25,2; 26,0; 26,4; 27,1; 28,2; 28,4. % 98 21 , 28 ; 55 , 25 33 , 1 88 , 2664 , 1. 33 , 2 88 , 26 1n. zx :2= = ='+

'

='+

'

oQO O O 3.A durao da vida de umequipamento tal que o desviopadro de5 horas. Foram amostradas100dessesequipamentos,obtendo-semdiade500horas.Construaum intervalodeconfianaparaaverdadeiraduraomdiadestesequipamentoscomum nvel de 90% de confiana. % 90 82 , 500 ; 18 , 499 82 , 0 5001005. 64 , 1 500 1n. zx :2= = ='+

'

='+

'

oQO O O 3 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 1.2.2Intervalo de Confiana Para a Mdia Populacional - Varincia Desconhecida (2o )

Paraseconstruirointervalodeconfianabaseadonaestatsticadaamostra, deve-se utilizar a distribuio t de student, com n-1 graus de liberdade, pois nem sempre sedispemdeinformaesarespeitodovalordadispersopopulacional.Nestecaso, usa-se a estimativa da varincia que dada por: 1121 22

'+

'

===nnxxsniniii e o desvio padro por 2S s = Logo, a distribuio de probabilidade determinada atravs de nstcal - x Q=Cons iderando um nvel de significncia , graficamente, temos: 1 2t2t Portanto: 1 t t t P2cal2=|

como ns - xtcalQ= tem-se : Q =|

+ 1 .x . x2 2nStnSt Pou Q

'+

'

1 para .x :2nSt O Sendo o erro amostral ou margem de erro dado por: nst e .2= Exemplos 1.Umrgodedefesadoconsumidorquersaberocustomdiodosconsertosde mquinasdelavar.Paraisso,selecionaaoacaso25custospagosnestesconsertos,obtendo uma mdia de R$ 100,00 e um desvio-padro de R$ 17,50. a)Fornea um intervalo de confiana de 95% para a mdia da populao. % 95 21 , 107 ; 79 , 92 21 , 7 100255 , 17. 06 , 2 100 1nS. tx :2= = ='+

'

='+

'

QO O O 4 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) b)Qual o erro de estimao (margem de erro) mximo permitido para a probabilidade de 95%?R$7,21 2.Construir o Intervalo de Confiana de 95% para a mdia da populao considerando-se uma amostra extrada de uma populaonormal dada pelos seguintes valores: 17,5 18 20 20,5 21,5 22. % 95 85 , 21 ; 99 , 17 93 , 1 92 , 19683 , 1. 57 , 2 92 , 19 1nS. tx :2= = ='+

'

='+

'

QO O O 3.Deumapopulaonormalcomparmetrosdesconhecidos,tiramosumaamostrade tamanho 20, obtendo-sex=112 e s=11. Fornea um intervalo de confiana para a mdia (Q) ao nvel de significncia de 10%. % 90 26 , 116 ; 74 , 107 26 , 4 1122011. 73 , 1 112 1nS. tx :2= = ='+

'

='+

'

QO O O 1.2.3 Intervalo de Confiana Para a Proporo Sendopaproporodaocorrnciadeumfatodentrodapopulao,calculada por Nxp = ,pode-seestimaroseuvaloratravsdointervalodeconfianapara proporodaamostra,dadapor nxf = ,ondexonmerodeocorrnciadofatona amostraesuadistribuiodeprobabilidade,umabinomial.Naconstruodeste intervalodeconfianausa-seadistribuionormalcomoaproximaodabinomial com a mdia dada por npx= Q e a varincia por npq2x= o, onde q = 1- p. Assim, comoxxzoQ =substituindo a mdia e a varincia chega-se a: nq pp fz.

= . Fixando-se um nvel de confiana1 , graficamente tem-se: O intervalo de confiana escrito para a distribuio normal z : =|

12 2Z Z Z PSubstituindo o valor de Z , obtm-se: 0 Q 5 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) =|

1 Znq . pp fZ P2 2 =|

+ 1nq . p. Z f pnq . p. Z f P2 2 Para se obter o intervalo acima necessrio o valor de p, que desconhecido,o substitumos por f e como f dado por nxf = e q por 1 - p ,ento, q =1 -f, ento, a expresso acima fica: =|

+

1) 1 (.) 1 (.2 2nf fZ f pnf fZ f P ou

'+

'

1 para ) 1 (. :2nf fZ f p OSendo o erro amostral ou margem de erro igual a nf fZ e) 1 (.2

= Exemplos 1.Paraestimaraporcentagemdealunosfavorveismodificaodocurrculoescolar, tomou-se uma amostra de 100 alunos verificando-se que 80 deles eram favorveis a esta mudana. a)EncontreumICpara a proporode todososalunosfavorveis modificao aum nvel de significncia de 4%.% 96 882 , 0 ; 718 , 0 082 , 0 8 , 0 04 , 0 . 05 , 2 8 , 0100) 8 , 0 1 ( 8 , 005 , 2 8 , 0 = = = ='+

'

O O b) Qual o valor do erro de estimao cometido no intervalo acima? e = 8,2% 2.Em uma pesquisa recente efetuada com 300 habitantes de uma grande cidade revelou que128consideravamaseguranaoprincipalproblemadacidade.Determineo intervalodeconfianade95%paraaproporodestacidadequeconsiderama segurana o principal problema. % 95 49 , 0 ; 37 , 0 06 , 0 43 , 0 03 , 0 . 196 43 , 0300) 43 , 0 1 ( 43 , 096 , 1 43 , 0 = = = ='+

'

O O 3.Dos rolamentos fabricados por uma industria, 82de um lote formado por 1564 peas apresentaramdefeitosdefabricao.Qualdeveseronmeroderolamentoscom defeitosnaproduomensaldaindustria, formada por 100.000unidades.Assumir alfa igual a 1%. . 6000 4000% 99 06 , 0 ; 04 , 0 01 , 0 05 , 0 006 , 0 . 57 , 2 05 , 01564) 05 , 0 1 ( 05 , 057 , 2 05 , 0unidades a = = = ='+

'

O O ATIVIDADE 1 - Intervalo de Confiana 6 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) Para Mdia com Varincia (2o Conhecida) 1)Paraestimarotemponecessrioparaoconsertode40mquinas,oencarregadoda manutenodeumaempresaescolheuao acasocincomotoreseverificouqueo tempo mdiodeconsertode4horas. Porexperinciaanterior,sabe-sequeodesvio-padro dotempodeconsertocorrespondea15%dotempomdiodeconserto.a)Quala previso mnima e a mxima para o tempo mdio de conserto de um motor, ao nvel de confiana de 95%?b) Qual a estimativa por intervalo para os 40 motores? 2) O valor de face dos ttulos depositados em um banco para cobrana simples tem uma distribuionormalcomumavarinciade400u.m..Umaamostrade10ttulos escolhidosaleatoriamenteforneceuosseguintesvalores: 80;120;71;120;140;200;180;70;45e 87.a) Qual o intervalo de confiana de 90% para o valor mdio dos ttulos da carteira?b)Oresponsvelpelacarteiraafirma,com80%deconfiana,queovalormdiodos ttulos 125. Ele pode estar correto? 3) Uma amostra aleatria simples de 50 itens resultou uma mdia de 32. Sabendo que o desviopadrodapopulao6,construaointervalodeconfianaparaamdia,com um nvel de significncia de: a) 10%b) 5% c) 1% 4) Certoempresrioest analisando aconveninciadeinformatizar aemissodenotas fiscaisdesuaempresa.Umaamostrade40notasretiradasdeumlotede100notas fiscais emitidas pela empresa, apresentou um tempo mdio de emisso de 20 minutos. O empresriosabe,porexperinciaqueodesvio-padrodapopulaoparaotempode emissodeaproximadamente30%doseuvalormdio.Construaumintervalode confiana para o tempo mdio de emisso das notas, ao nvel de 95%. 5)Umlevantamentodascotaesparaopreodeumprodutonabolsademercadoria apontou,apartirdeumaamostrade100cotaes,umpreomdiode2,4u.m./kg. Sabe-sequeavarinciapopulacionalparaestetipodecotaoaproximadamente constanteedevalor0,16.Construaumintervalodeconfianade90%paraopreo mdio deste produto. 6)Foramretiradas25peasdaproduodiriadeumamquina,encontrando-seuma medidacalculadaumamdiade5,2mm.Sabendo-sequeasmedidastmdistribuio normal comdesvio-padro populacional de 1,2mm, construir um I.C. para a mdia aos nveis de 90% e 95%. 7)Asvendassemanaisde15lojasdeumaregioapresentaramumamdiadeR$ 20.000,00.Sabendo-sequeasvendasdaslojasdaregiotmdistribuionormalcom desvio padro igual a R$ 8.300,00 esupondo um nvel de confiana de 96%, qual dever o valor estimado para a mdia populacional das vendas? 8)Umapesquisasobreocustodacestabsicaemumconjuntodemunicpiosdo interiordoestadocoletouumaamostrade25dados,apresentandoumamdiadeR$ 78,00.Estima-sequeodesviopadropopulacionalsejaigualR$37,00.Aonvelde significncia de 3%, qual deve ser a mdia populacional do custo da cesta bsica? 7 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 9) Paraestimar aquantiamdiagastaporclienteparajantaremum restaurante, foram coletadososdadosdeumaamostrade49clientesemumperodode3semanas.a) Considereumdesviopadrode$2,50.Qualmargemdeerropara95%?b)Sea mdia da amostra de $22,60, qual o intervalo de confiana de 95%? 10) Colhida uma amostra de 30 peas, forneceu os seguintes pesos:250,265,267,269,271,275,277,281,283,284,287,289,291,293,293,298,301, 303, 306, 307, 307, 309, 311, 315, 319, 322, 324, 328, 335 e 339.Pormeiodointervalodeconfiana,respondaseestaamostrasatisfazaespecificao pelo qual o pesomdio deve ser 300 Kg., sabendo que odesvio padro da populao igual a 55, utilize nvel de significncia de 5%. Para Mdia com Varincia (2o ) Desconhecida 1)Umarevistaespecializadaemeconomiaamostrouaoacaso100empresasdeuma indstria, para avaliar a rentabilidademdia do setor do ltimo trimestre.Uma amostra de14indstriasforneceuumrendimentomdiode5%sobreofaturamentolquido, comdesvio-padrode1,6%.Determineointervalode95%partaoverdadeiro rendimento mdio das indstrias. 2)Osdados a seguir representamopesodeumdispositivoeletrnico,emmiligramas: 83;73;82;80;82;69;81;90e92.Construaumintervalodeconfianaparaopeso mdio, ao nvel de significncia de 1%. 3)Umfornecedordecarrosdesejaobterinformaessobreo tempoduranteoqual os proprietriosdeautomveisdesejamconserv-los.Paraissocoletouumaamostra aleatriade25proprietriosque acusouumamdiade7,01 anosdeconservaoeum desvio-padrode4anos.Faaumintervalode95%deconfianaparaamdia populacional. 4) O preo de venda de um produto no mercado foi amostrado ao acaso fornecendo uma mdiade26u.m.,comdesvio-padrode2u.m.,numaamostrade40elementos.Este produtoserconsideradovivelpelaempresaseopreodecustorepresentarno mximo50%dopreodevendamdiadomercado.Aumnveldesignificnciade 10%, qual o custo mximo para que ele poderia ter para ser certamente vivel?Intervalo para o preo de venda. Intervalo para o custo (50%). 5) A seguinte amostra representa o comprimento de uma pea: 44,9 44,1 43 42,9 43,244,5.Determineoslimitesdeconfianaaonveldesignificnciade5%paraa mdia de todas as peas produzidas por essa empresa. 6) Numa tentativa de melhorar a produo de leite de um rebanho de 500 vacas leiteiras, umpecuaristaprocurouestudaravariabilidadedoslitrosdeleiteproduzidospordia. Umaamostrade29vacas,colhidadurantetrssemanas,obteve-seumamdiade31 litros, com um desvio-padro de 1,2litros. Construa um intervalo de confiana de 95% para mdia dos litros de leite de todo o rebanho? 7) ODepartamento de Transporte de umEstado analisando sobre a quilometragemque a populao das reas metropolitanas percorre de carro por dia, coletou uma amostra de 15residentesqueforneceuosseguintesdados:8 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 20;20;28;16;11;17;23;16;22;18;10;22;29;19e32.Calculeaestimativaporintervalode confianade95%donmeromdiodequilmetrosdapopulaoqueosresidentes desta metrpole percorrem de carro por dia? 8) Os seguintes dados foram coletados para uma amostra de uma populao normal: 10; 8; 12; 15; 13; 11; 6; 5. a) Qual a estimativa pontual da mdia da populao?b) Qual a estimativa pontual do desvio padro da populao?c) Qual o intervalo de confiana de 90% para a mdia da populao? 9)Umanalistaobtmdadosdeumaamostrade225consumidoresdeumtotalde600 queadquiriramumaofertaespecial.As225pessoasgastaram,naloja,umamdiade $33,42 com desvio padro de $5,20. Estime, com um intervalo de confiana de 95%: a) ovalormdioparatodosos600clientes;b)ovalortotaldascomprasparaos600 clientes. 10)Os dados a seguir se referem ao grau de polimerizao dos espcimes de papel para os quais a viscosidade vezes a concentrao caram em certo intervalo: 418421421422425427431434 437439446447448453454463465 Calculeointervalodeconfianacom95%paraograumdiorealdepolimerizao.O intervalosugereque440sejaumvalorplausvelparaograumdiorealde polimerizao?E quanto a 450? Para Proporo 1)Osprodutoresdeumprogramadetelevisopretendemmodific-loseforassistido regularmentepormenosdeumquartodospossuidoresdeteleviso.Umapesquisa encomendada a uma empresa especializadamostrou que, de 400 famlias entrevistadas, 80assistemaoprogramaregularmente.Combasenosdados,qualdeveseradeciso dos produtores, considerando como nvel de significncia de 5%? 2)Umaorganizaouniversitriadesejaestimaraporcentagemdeestudantesqueso favorveis a uma nova constituio do corpo discente. Para isso, seleciona uma amostra de200estudantes,econstataque120sofavorveisaestanovaconstituio.a) Construirumintervalodeconfianaparaaverdadeiraporcentagemdeestudantes favorveis aestanovaconstituio, aonveldesignificnciade2%.b)Qualoerro de estimao contido no intervalo de confiana calculado anteriormente? 3)Uma amostrade10.000 atletas foiinspecionadaeonmerodeerrosobservadosna atividade desenvolvida apresentado no quadro abaixo: Nmero de erros01234 Freqncia absoluta6000320060015050 a) Chamando de p a proporode erros na atividade,determine os limites de confiana de 98%. b) Qual o erro de estimao contido no intervalo calculado acima? 4)Umaamostrade420clientesdeumsupermercadoapresenta288clientesque utilizamocartodecrditoparapagarsuascompras.Construaumintervalode 9 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) confiana para a proporo de clientes do supermercado que utilizam o carto de crdito como fonte de pagamento, a um nvel de significncia de 5%. 5)Aindstriadetabacofiscalizatodasaspesquisasqueenvolvemofumo.Uma pesquisarevelouque,de785indivduoscomquatroanosdefaculdade,selecionados aleatoriamente,18,3%fumam.Determineumintervalocom90%deconfianaparaa verdadeiraporcentagemdosfumantesentretodososquecompletaramquatroanosde faculdade.Combasenoresultado,ataxadefumantesentreosbacharisparece substancialmente diferente da taxa geral de 27%? 6) Numa pesquisa, 57 dentre 150entrevistados afirmaramque praticavam certo tipode atividade esportiva. Sendo a populao formada por 7540 elementos, d um limite com 90% de confiana para o nmero mnimo que praticavam a atividade. 7)Umaamostrade300pessoasdeumacidademostrouque180desejavamgua fluorada. Ao nvel de 8%, construir um IC para a proporo real da populao favorvel ao tratamento da gua com flor. 8) Examinadas uma produo de 500 peas encontrou-se 40 peas defeituosas. No nvel de 90%, construir um I.C. para a verdadeira proporo de peas defeituosas. 9)Umacentenadecomponenteseletrnicosfoiensaiadae93delesfuncionarammais de 500 horas. Determinar o I.C. de 95% para a verdadeira proporo. 10) Uma amostra aleatria de 400 domiclios mostra-nos que 25% deles so de casas de aluguel. Qual o I.C. da proporo de casas de aluguel? Use w = 2%. SOLUO ATIVIDADE 1 Intervalo de ConfianaPara Mdia com Varincia Conhecida 1) a) 3,47; 4,53b) 138,8; 181,2 2) a) 100,93; 121,67b) 103,21; 119,39; no. 3) a) 30,61; 33,39b) 30,34; 33,66c)29,82; 34,18 4) 18,14; 21,86 5) 2,33; 2,47 6) a) 4,81; 5,59b) 4,73; 5,67 7) 15606,36 ; 24393,258) 61,94; 94,06 9) a)0,71 b) 21,9; 23,31 10) 276,95; 316,31; sim. 10 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) Para Mdia com Varincia Desconhecida 1) 4,08; 5,92 2) 73,25; 89,41 3) 5,36; 8,66 4) venda (25,47; 26,53)custo (12,73; 13,27)custo mximo 12,73 5) 42,88; 44,66 6) 30,54; 31,46 7) 16,78; 23,62 8) a)89 , 12 ; 11 , 7 ) 46 , 3 ) 10 c s b x = =9) a) 32,74; 34,10b) 19644; 2046010)a) 430,51 ;446,07b) Simc) No. Para Proporo 1)16,08%; 23,92%2) a)51,93; 68,07%b)% 07 , 8 3) a) 38,86%; 41,14% b)% 1 4) 64,58%; 73,42% 5) 16,04%; 20,56%; sim 6)31,5%; 44,5%nmero mnimo de 2375. 7) 55,05%; 64,95%.8) 6,01%; 9,99% 9) 88%; 98% 10) 19,96% ; 30,04% 2 TESTE DE HIPTESES Tambm uma tcnica para se fazer inferncia estatstica sobre os parmetros da populao. No caso das inferncias atravs dos intervalos de confiana, busca-se cercaro parmetropopulacionaldesconhecido.Jnotestedehipteses,formula-seuma suposio(hiptese)quantoaovalordoparmetropopulacional,epeloselementos amostrais faz-se um teste que indicar a aceitao ou rejeio da hiptese formulada. 2.1 Hipteses Estatsticas Sosuposiesouafirmaesacercadosparmetrospopulacionais.Essas suposies podem ser verdadeiras ou no. Exemplos - A altura mdia da populao brasileira 1,65 m. - A proporo paulistana com aplicaes financeiras 12%- O tempo mdio para a realizao de um teste de 80mim. -Amdiadeconsumodegasolinaamesmaparatrsmarcasdiferentesde carros. 2.2 Hipteses Nula e Alternativa Designa-se por H0, a hiptese nula a ser testada, e por H1 a hiptese alternativa, quecontradizahiptesenula.Ahiptesenulaexpressasemprepelaigualdade, enquantoqueahiptesealternativadadaporumadesigualdade.Assim,demodo geral, pode-se indic-las: ) ( : :) ( : :) ( : :0 1 0 00 1 0 00 1 0 0esquerda s unilaterai testes para H e Hdireita s unilaterai testes para H e Hbilaterais testes para H e HU U U UU U U UU U U U = -) = -= = - 11 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 2.3 Teste de Significncia (hipteses) umaregradedecisoquepermiteaceitarourejeitarumahiptesenula,com basenaevidnciadaamostra,istosignificaqueseutilizaumaamostradapopulao para verificar se o parmetro informado pela H0 deve ser aceito ou no. Quandosedecidepelaaceitaoourejeiodeumahiptesenula,est-se sujeitos a acertos e erros na deciso. Comete-se o Erro Tipo I quando se rejeita a hiptese nula quando ela deve ser aceita ( verdadeira).No caso, de aceitar a hiptese nula quando ela falsa ocorreo Erro Tipo II. Essestiposdeerrospodemsercontroladosatravsdasprobabilidades estabelecidasparaarealizaodoteste,denominadadenveldesignificncia, representadopor,aprobabilidadequeregulamentaaocorrnciadoErrotipoI, enquantoqueparaocontroledoErro tipoII, aprobabilidade representadaporF. Na realizao do teste s o nvel de significncia ( ) estabelecido. -Passos para realizao do teste de significncia Oprocedimentoparaarealizaodostestesdesignificnciaresumidonos seguintes passos:1)Enunciar as hipteses H0 e H1. 2)Fixar o nvel de significncia () e identificar a varivel teste. 3)Comoauxliodastabelasestatsticas,considerandoeavariveldoteste, determinar as RC (regio crtica ou de rejeio) e RA (regio de aceitao) para a hiptese nula. 4)Com os elementos da amostra, calcular o valor da varivel do teste. 5)Concluirpelaaceitaoourejeiodehiptesenula,pelacomparaodovalor obtidonoclculodavariveldotestecomoslimitesdasregiesdeaceitao (RA) e de rejeio (RC). 2.4 Teste de Significncia para Mdias O testeparamdiacaractersticode situaesondeseprocuraverificar alguma afirmao sobre o valor do parmetro populacional, onde a alegao confrontada com dadosdeumaamostra.Apartirdotestepossvelsaberseaafirmaoextradada amostra condiz com a alegao sobre a populao ou no. O procedimento para a realizao deste teste resumido nos seguintes passos:1) Enunciar as hipteses H0: Q = oQvsH1 : 0Q = Q ou0Q " Q ou0QQ2)Fixar.Admitindoqueavarinciapopulacional(o2)sejadesconhecida,avarivel do teste ser a t de Student, com graus de liberdade iguais a = n 1.3) Com o auxlio da tabela t de Student determinar as regies: RA e RC 12 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL)

4) Calcular o valor da varivel teste: txs ncalo= Q/ Onde:xpmdia amostralQop valor da hiptese nula s p desvio-padro amostral n p tamanho da amostra 5) Concluso: rejeita-seH0 aonvel,quandoovalorcalculadoformaiorqueovalor tabelado, independente do sinal.Exemplos 1.Um processo de produo concebido para encher recipientes com o peso mdio de Q = 16ml. Se o processo subenche os recipientes, o consumidor no receber a quantidade indicadanortulodorecipiente.Seoprocessosobreencheosrecipientes,aempresa perdedinheiroporquemaisprodutocolocadonorecipiente.Paramonitoraro processo,opessoaldecontroledaqualidadeperiodicamenteselecionaumaamostra aleatria simples de oito recipientes para testar a seguinte hiptese.H0: Q = 16 vs H1 Q =16aonveldesignificnciade5%.SeH0rejeitado,oprocessodeproduoser paralisado e o mecanismo para regular os pesos de enchimento ser reajustado. Se a amostra retirada for:16,0216,2215,8215,9216,2216,3216,1215,9 Que deciso deve ser tomada? Soluo: H0: Q = 16 vsH1 Q = 160613 , 181798 , 016 0675 , 16nsxt0cal=

=Q =t 7; 5% = 2,3646 Concluso: Aceitar H0 com =5%. No paralisar o processo. 2.Realizou-se uma campanha de vendas durante quinze dias e verificou-se o nmero de aparelhosvendidospordia:25;30;32;24;40;34;37;33;34;28;30;32;38;29;31. Pode-sedizerqueamdiadevendassuperiora30aparelhostodassvezesquese realizar a campanha, sendo o nvel de significncia de 2,5%. Soluo: H0: Q = 30 vs H1 Q > 3055 , 11548 , 430 8 , 31nsxt0cal=

=Q = t 14; 2,5% = 2,1448Concluso: Aceitar H0, com =2,5%. 3.Umacompanhiavende repelentedeinsetosquealega sereficientepeloprazode400 horas,nomnimo.Umaanlisefeitaemnoveitens,escolhidaaleatoriamente,acusou umamdiadeeficinciade380horas.Testeaalegaodacompanhia,contraa 1 - > t 1 - /2/2 1 - 2t =

2t- t< 13 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) alternativaqueaduraoinferiora400horas,aonvelde0,5%,seodesviopadro amostral for de 60 horas. Soluo: H0: Q = 400 vs H1 Q < 4001960400 380nsxt0cal =

=Q = t 8; 0,5% = 3,36 Concluso: Aceitar H0, com =0,5%. 2.5 Teste de Significncia para a Igualdade de duas Mdias Quando a igualdade entre duas mdias testada usando a distribuio t, pode-se suporqueasvarinciasdasduaspopulaes(deondeasamostrasforamretiradas) sejam desconhecidas e admitidas iguais, independentes e normais. Oprocedimentoparaarealizaodestetestesemelhanteaoanterior diferenciando-se nos seguintes passos: 1)Enunciar as hipteses: H0: Q1 = Q2 vs 2 1 2 1 2 1 1ouou: H Q Q Q Q Q Q" = 2) Fixar . A varivel do teste a ser utilizada t de Student com = (n1 + n2 2) 3) Calcular a varivel teste por:tcal = 2 12 12 1..n nn nsx xc+

onde 21 12 122 221 1 2 + + =n ns n s nsc Exemplos 1.Umgrupodeplanejamentourbanoestinteressadoemestimaradiferenaentrea mdiaderendimentosfamiliaresparadoisbairrosemumagrandereametropolitana. Amostrasaleatriasindependentesdefamliasnosbairrosforneceramosseguintes resultados.Bairro 1 :00 , 70 $ R s 00 , 570 . 1 $ R x 8 n1 1 1= = =Bairro 2 :00 , 85 $ R s 00 , 450 . 1 $ R x 12 n2 2 2= = =Pede-seconcluir,aonveldesignificnciade5%,queasrendasfamiliaressejam diferentes nos dois bairros? Soluo:H0: Q1=Q2vsH1:Q1= Q2 t (18; 5%) = 2,1009 50 , 79 s83 , 63202 12 885 ) 1 12 ( 70 ) 1 8 (sc2 22c== + + = 31 , 328 , 3612012 . 812 850 , 791450 1570tcal= =+

=Concluso: Rejeita H0 pelos resultados do teste com = 5%.Sim. 14 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 2.A indstria de chocolates Gostosos afirmava que seus produtos so mais vendidos, em mdia, quando comparados com a mdia do rival, Chocolates Saborosos. Duas amostras em 14 lojas revelaram os dados apresentados a seguir:EstatsticasGostososSaborosos Mdia14 toneladas/ms12 toneladas/ms Desvio padro4 toneladas/ms2 toneladas/ms possvel aceitar a afirmao da indstria de chocolates Gostosos, ao nvel de 5%?Soluo: H0: Q1=Q2vsH1:Q1 > Q2sc = 3,16tcal = 1,67t26;5% = 1,71 Concluso: Aceita H0 com = 5%. 3.Umaempresadesejaestudaraeventualeficciadaaplicaodosprogramasde treinamentoministradospelasuareaderecursoshumanos.Paraissoanalisouduas amostras de desempenhos de seus funcionrios: GrupoA, treinamento de 20 horas/aula e o Grupo B com 40 horas/aula. Os desempenhos dos funcionrios foram: AmostraDesempenhos obtidos A788768978 B594866756 Verifique se os treinamentos podem ser considerados equivalentes, ao nvel de 1%. Soluo: H0: Q1=Q2vsH1:Q1=Q2sc = 1,27tcal = 2,23t16; 1% = 2,92 Concluso: Aceita H0 com = 1%. 2.6 Teste de Significncia para Proporo Otesteparaaproporodiferedotesteparaamdianosquedizrespeitoaos dadosamostrais. Comose tratanormalmentedevarivelqualitativa representadapor contagem ou por porcentagem, ao invs de mdias. Para a realizao deste teste utiliza-se:1) Formulao das hipteses:H0 :p = p0 vsH1: 0p p =ou 0p > pou0p < p 2) Neste caso, usa-se a distribuio normal padro Z a um dado nvel de significncia. 3) Calcular o valor da varivel: np 1 pp - fZ0 o0cal

=Onde: nx= ffreqncia relativa na amostra x p nmero de sucesso np tamanho da amostrap0p valor da hiptese nula Exemplos 15 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 1.Umaredebancriaafirmaqueemcertaregioaproporodeseusclientesque investemnabolsade60%.Testaressahipteseaonvelde5%seem1000clientes amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 eram investidores. Soluo: 42 , 41000) 4 , 0 ( 6 , 06 , 0 53 , 01 pp - f0,6 p : H1vs 0,6 p : Ho 0,53 f530 x1000 n00 =

=

== = l,7o = ,/ > = = =npZocal Concluso: Rejeita-se Ho com =5% 2.Umfabricantedecremedentalalegaquenomximo3%dosseusprodutos apresentammenosde100gramasporembalagem.Umaamostraaleatriacom300 produtosrevelouque14possuammenosde100gramas.Assumindoonvelde significncia de 1%, possvel dizer que o fabricante est mentindo? Soluo: H0 : p = 3% vs H1: p > 3% Zc = 1,73Ztab = 2,33 Concluso: aceitaH0 com =1% 3.Umagranderededeacademiadeginsticaalegaquenomnimo80%dos equipamentos utilizados pelos alunos estoem boas condies de uso. De uma amostra de 160 equipamentos, 90 estavam em ms condies de uso. Ser que possvel aceitar a afirmao da rede, ao nvel de 5%? Soluo: H0 : p = 80% vs H1: p < 80% Zc = - 11,25Ztab = 1,64Concluso:rejeita H0com =5% ATIVIDADES 2-Testes De Hipteses Mdias de uma amostra 1)Retirada uma amostra das idades de 14 pessoas, obteve-se as seguintes idades: 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 15. Com um nvel de significncia de 5% teste as hipteses: H0: Q = 12,5 vs H1: Q = 12,5. 2)Uma cadeia de restaurantes instalar um novo estabelecimento em um local proposto, se passar pelo local no mnimo uma mdia de 200 carros por hora, durante certo perodo do dia. Para 20 horas, aleatoriamente escolhidas durante tais perodos, passou pelo local umamdiade192carrosporhoracomdesvio-padrode30carros,supondoquea populao seja aproximadamente normal. O gerente desta cadeia alega que o volume de trfego no satisfaz exigncia. A hiptese do gerente pode ser aceita ao nvel de 5%? 3) Uma pesquisa foi realizada para determinar o teormdio de nicotina dos cigarros da marca SM. Pra isso, coletou-seuma amostra de 25 cigarros acusando umamdia de 38 mge um desvio-padro de 5mg de nicotina por cigarro. Faa um teste de hiptese para 16 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) verificar se o teor de nicotina inferior a 40 mg. Considere um nvel de significncia de 5%. 4) Uma fbrica de lajotas de cermica acrescenta um novo material em sua fabricao e acreditaque aumentar a resistnciade sualajota,quede206Kg. Paraverificar se verdade, retirou uma amostra de 30 lajotas, obtendo uma mdia de 210 Kg com desvio-padrode12Kg.Aonveldesignificnciade5%,podeofabricanteaceitarquea resistncia mdia de sua lajota tenha aumentado? 5)OgerentedaLojaBoa Comprapresumeque a rendamdiaanualde seusclientes de pelo menos R$28.000,00. Uma amostra aleatria de 58 clientes acusou uma mdia de R$27.200,00 e um desvio-padro de r$3.000,00. Considerando nvel de significncia de 5%, esta hiptese deve ser rejeitada? 6)O mecanismo para regularpesos de enchimento de um produto ajustado em 16 g. Oprocessodeproduoparalisadocasoomecanismosedesajustar.Umaamostra coletada e obtmos seguintes valores 16,02; 16,22; 15,82; 15,92;16,22; 16,32; 16,12e 15,92. Com basenosdados dessa amostra que atitudedeve ser tomada? Use o nvel de significncia de 5%. 7)ConsidereoseguintetestedehipteseH0=Q =20vsH1=Q = 20,easeguinte amostra:18,20,16,19,17,18.Usandonveldesignificnciade5%,qualasua concluso? 8)Considere o seguinte teste de hiptese H0 =Q= 15vs H1 =Q < 15, uma amostra de 22elementosusadaeodesvio-padrodaamostra8.Usandonveldesignificncia de 5% . Qual a concluso para cada um dos seguintes resultados damdia amostral: a) 13;b) 11,5;c) 15;d) 19. 9) Em fevereiro de 1999, o custo mdio para um vo domstico com passagens de ida e volta com desconto foi de R$ 258,00. Uma amostra aleatria dos preos de15 passagens de idae voltacomdesconto durante oms demaro forneceu os seguintes dados: 310, 260,265,255,300,310,230,250,265,280,290,240,285,250,260.Usando5%de nveldesignificncia,testeseopreodapassagemdeidaevoltacomdesconto, aumentou em maro. Qual a sua concluso? 10)AFloriculturaCheiroBomseespecializouemjardinagemcomprojetospadres paraasreasresidenciais.Ocustodemo-de-obraassociadoaumadeterminada proposta de jardinagem est baseado no nmero de plantaes de rvores, arbustos, etc., aseremusadosnoprojeto.Parapropsitosdeestimativasdecustos,osgerentesusam duas horas como tempo demo-de-obra para se plantar uma rvore de tamanhomdio. Ostemposreaisgastosdeumaamostrade10plantaesduranteomspassadoso apresentados a seguir (tempos emhoras). 1,9; 1,7; 2,8; 2,4; 2,6;2,5; 2,8; 3,2; 1,6 e 2,5. Usando um nvel de significncia de 0,5%, teste se o tempo mdio de plantao excede duashoras.Qualasuaconclusoequerecomendaesconsiderariafazeraos gerentes? 17 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) Igualdade de Mdias 1) Verifique se o nmero mdio de atendimentos dirios igual para os escritrios Ae B, adote = 10%. A181410139138716 B141511142021121018 2)Numestudocomparativodetempomdiodeadaptaoparaumaamostraaleatria de50homense50mulheresnumgrandecomplexoindustrial,surgiramasseguintes estatsticas amostrais: GneroMdiaDesvio padro Homem3,20,8 Mulher3,70,9 Pede-seconcluirqueoshomenstenhamtempomdiodeadaptaomenorqueosdas mulheres. Use = 5%. 3)Duaspesquisassobresalriosemduasmetrpolesrevelaraminformaessobreo salrio mdio pago aos operadores de mquinas pesadas mostrados a seguir: EstatsticasMetrpoles AB MdiaR$ 700,00R$ 750,00 Desvio padroR$ 60,00R$ 40,00Tamanho1515 Pode-se concluir que os salrios sejam diferentes nas duas regies? Use = 5% e 1% 4)Umaempresaestestudandoahiptesedeseimplantarounoaautomaono sistema de embalagens. Para testar esta hiptese, retirou-se uma amostra de 60 itens que acusouumtempomdiode4,2minutoscomumdesvio-padrode0,5minutospara seremembaladosmoeumaamostrade60itensembaladosautomaticamenteque acusou tempo mdio de 4 minutos com desvio-padro de 1,2 minutos. Teste, ao nvel de significncia de 2,5%, a hiptese de que os sistemas so iguais. 5)Natabelaabaixoestoregistradososndicesdasvendasemseissupermercadosdos produtosconcorrentesdaMarcaAeMarcaB.Verifiqueseexistediferenaentreas marcas. Use = 5%. SupermercadoMarca AMarca B 1144 22016 3228 4119 5531 61210 6)Paraavaliaroefeitodeumbrindenasvendasdedeterminadoproduto,planeja-se comparar a vendas em lojas que vendem o produto com brinde, com as vendas em lojas que no oferecem o brinde, obtendo os seguintes dados: Vendas sem brindes334326193727 Vendas com brindes433933324346 Osdadosmostramevidnciasuficienteparaseafirmarqueasvendascombrindes diferem das vendas sem brindes? Use% 5 = 18 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 7) Um pesquisador deseja estudar o efeito de um alongamento antes de um determinado exerccio. Para isso, sorteou seis estudantes, e contou onmerode vezes que os atletas executaramoexerccio.Osresultadossugeremsehounodiferenaentreorendimento dos atletas? Use% 5 = Sem alongamento233029334332 Com alongamento283839374239 8)Comopartedeumprogramadetreinamento,algunsestagiriossotreinadospelo mtodo 1 e outros pelo mtodo 2. Verifique se existe diferena de rendimento nos testes usando% 5 = . As notas nos testes foram as seguintes: M181717983767584908378 M259656259576460566662 9)Parainvestigarainflunciadaoposobreosalrioinicialderecm-formados, investigaram-sedoisgruposdeprofissionais:umdeliberaisemgeraleoutrode formadosemSistemadeinformao.Comos resultados abaixo,expressosemsalrios mnimos, quais seriam suas concluses? Use% 5 = Liberais6,610,310,812,99,212,37,0 Sistema de Informao8,19,88,710,010,28,28,710,1 10) Pesquisadores esto testando sistemas comerciais de filtragem de ar, fabricados pelas indstriasWISCepelaBFC.Testamamostrasaleatriasdecadacompanhia, registrando-seaeficinciadafiltragememumaescalapadro,escoremaisalto corresponde amelhor filtragem. Comnvel de 5% de significncia, teste a afirmaode que ambos os sistemas tm a mesma mdia com os resultados abaixo: IndstriasAmostraMdiaDesvio Padro WISC1885,72,8 BFC2480,69,7 Proporo para uma amostra 1)Ofabricantededeterminadoremdioalegaqueomesmoacusou95%deeficincia em aliviar a alergia por um perodo de 12 horas. Numa amostra de 100 indivduos que sofriamdealergia,oremdiodeupositivoem80.Determineseaalegaodo fabricante verdadeira ou no. Use = 2%. 2)Umaamostrade100alunosdeumauniversidadeapresentou8canhotos.Testara hiptese,dequeaporcentagemdosalunoscanhotosdessaUniversidademenorque 5%. Use = 1%. 3)Umaamostrade500eleitoresselecionadosaoacasod52%aoPartidoDAE.Poderiaestaamostratersidoretiradadeumapopulaoquetivesse50%deeleitores democrticos?Use = 5%. 4)Umfabricantederemovedordemanchasafirmaqueseuprodutoremove90%de todasasmanchas.Seemumaamostraaleatriaoprodutoremove11dentre16 manchas, teste ao nvel de 5% de significncia, a afirmao do fabricante. 19 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 5) Afirma-se que dos estudantes da rea de humanas 20% conseguiro trabalho na rea derecursoshumanos.Emumaamostraaleatriade12estudantes,5afirmaramque conseguiroempregona reade R.H. Testeseaproporomaiorque20%, aonvel de 5% de significncia. 6)Umjornalafirmouque25%deseusleitorestmcursosuperior.Paratestaressa afirmao retirou-seuma amostrade740pessoas indicouqueapenas20% soleitores com curso superior. Use = 5%. 7)Considereoseguintetestedehipteses:H0=p=0,20vsH1=p = 0,20.Uma amostra de 400 forneceu uma proporo da amostra 17,5%. Ao nvel de significncia de 5%, teste as hipteses, qual a sua concluso? 8)Umindustrialconsiderasatisfatriose,nomximo,8%daspeasproduzidasporsua indstriaforemdefeituosas.Seumaamostradeduzentaspeasapresentoudezoito defeituosas,podeoindustrialsatisfazer-secomesseresultado,aonvelde5%de significncia? 9)Umcontadoracreditaqueosproblemasdefluxodecaixadeumaempresaso resultados direto do lento recebimento das contas a receber. O contador afirma que pelo menos 70% das atuais contas a receber tmmais de doismeses de idade. Uma amostra de120contasarecebermostrouque78tmmaisdedoismesesdeidade.Testea afirmao do contador a um nvel de significncia de 10%. 10)Acredita-sequepelomenos20%detodosostrabalhadoresestejaminclinadosa trabalharmenoshoraspormenorsalrioparaobtermaistempoparaasatividades pessoaisedelazer.Umapesquisacomumaamostrade596pessoasrevelouque93 trabalhadoresestavaminclinadosatrabalhamenoshoraspormenorsalrioparaobtermais tempo pessoal e de lazer. Usando um nvel de significncia de 5% realize um teste de hipteses,qual a sua concluso? 20 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) SOLUO ATIVIDADE2 Testes de Hiptese Mdias de uma amostra 1) tcal=-0,64;t tab = 2,16, aceita H0,bilateral 2) tcal=-1,19; t tab = 1,73,aceitaH0, unilateral esquerda 3) tcal = -2,00; t tab = 1,71 , aceita H0,rejeita H0. unilateral esquerda 4) tcal = 1,83; t tab = 1,7 rejeita H0, unilateral direita 5) tcal = -2,03; t tab = 1,67,rejeita H0, unilateral esquerda 6) tcal = 1,17; t tab = 2,37 ,aceita H0, bilateral 7) tcal = -3,45; t tab = 2,57, rejeita H0, bilateral 8) a) tcal = -1,17; t tab = 1,72,aceita H0 b) tcal = -2,05; t tab = 1,72 ,rejeitaH0.c) tcal = 0; t tab = 1,72 , aceita H0. d) tcal = 2,34; t tab = 1,72, aceita H0. (unil esquerda para todos) 9) tcal = 1,89; t tab = 1,76rejeita H0, unilateral direita. 10) tcal = 2,43; t tab = 3,25 aceita H0, unilateral direita. Igualdade de Mdias 1) tcal =-1,67; t tab = 1,75, aceita H0,bilateral2) tcal = -2,94; t tab = 1,66, rejeita H0,unilateral esquerda 3) tcal = -2,69; t tab = 2,048rejeita H0 a 5% e t tab = 2,76aceita a 1%. bilateral 4) tcal = 1,19; t tab = 2,27, aceita H0, bilateral5) tcal = -1,10; t tab = 2,23 aceita H0, bilateral 6) tcal = -2,01; t tab = 2,23 aceita H0, bilateral. 7) tcal = 1,65; t tab = 1,23 aceita H0, bilateral 8) tcal = 9,36; t tab = 2,101 rejeita H0, bilateral 9) tcal = 0,70; t tab = 2,16 aceita H0, bilateral 10) tcal = 2,17; t tab = 2,021rejeita H0, bilateral. Proporo para uma amostra 1) zcal = - 7,5; t tab = 2,33, rejeita H0, bilateral 2) zcal = 1,5; t tab = 2,33 aceita H0, unilateral direita 3) zcal = 1; t tab = 1,96 aceita H0; sim. Bilateral 4) zcal = - 2,62; t tab = 1,96 rejeita H0, bilateral 5) zcal = 1,83; t tab = 1,64 rejeita H0, unilateral direita6) zcal = - 2,5; t tab = 2,32aceita H0, bilateral 7) zcal = - 1,25; t tab = 1,64 aceita H0, bilateral 8) zcal =0,52; t tab = 1,64 aceita H0, unilateral direita. 9) zcal = - 1,25; t tab = 1,28,aceita H0, unilateral esquerda 10) zcal = - 2,75; t tab = 1,64 rejeita H0, unilateral esquerda. 21 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) REAS DE UMA DISTRIBUIO NORMAL PADRO Cada casa na tabela d a proporo sob a curva entre Z = 0 e um valor positivo Z. As reas para os valoresde Z negativos so obtidas por simetria. Z00,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,o0,00000,00400,00800,01200,01600,01990,02390,02790,03190,0359 0,10,03980,04380,04780,05170,05570,05960,06360,06750,07140,0753 0,20,07930,08320,08710,09100,09480,09870,10260,10640,11030,1141 0,30,11790,12170,12550,12930,13310,13680,14060,14430,14800,1517 0,40,15540,15910,16280,16640,17000,17360,17720,18080,18440,1879 0,50,19150,19500,19850,20190,20540,20880,21230,21570,21900,2224 0,60,22570,22910,23240,23570,23890,24220,24540,24860,25170,2549 0,70,25800,26110,26420,26730,27040,27340,27640,27940,28230,2852 0,80,28810,29100,29390,29670,29950,30230,30510,30780,31060,3133 0,90,31590,31860,32120,32380,32640,32890,33150,33400,33650,3389 1,00,34130,34380,34610,34850,35080,35310,35540,35770,35990,3621 1,10,36430,36650,36860,37080,37290,37490,37700,37900,38100,3830 1,20,38490,38690,38880,39070,39250,39440,39620,39800,39970,4015 1,30,40320,40490,40660,40820,40990,41150,41310,41470,41620,4177 1,40,41920,42070,42220,42360,42510,42650,42790,42920,43060,4319 1,50,43320,43450,43570,43700,43820,43940,44060,44180,44290,4441 1,60,44520,44630,44740,44840,44950,45050,45150,45250,45350,4545 1,70,45540,45640,45730,45820,45910,45990,46080,46160,46250,4633 1,80,46410,46490,46560,46640,46710,46780,46860,46930,46990,4706 1,90,47130,47190,47260,47320,47380,47440,47500,47560,47610,4767 2,00,47720,47780,47830,47880,47930,47980,48030,48080,48120,4817 2,10,48210,48260,48300,48340,48380,48420,48460,48500,48540,4857 2,20,48610,48640,48680,48710,48750,48780,48810,48840,48870,4890 2,30,48930,48960,48980,49010,49040,49060,49090,49110,49130,4916 2,40,49180,49200,49220,49250,49270,49290,49310,49320,49340,4936 2,50,49380,49400,49410,49430,49450,49460,49480,49490,49510,4952 2,60,49530,49550,49560,49570,49590,49600,49610,49620,49630,4964 2,70,49650,49660,49670,49680,49690,49700,49710,49720,49730,4974 2,80,49740,49750,49760,49770,49770,49780,49790,49790,49800,4981 2,90,49810,49820,49820,49830,49840,49840,49850,49850,49860,4986 3,00,49870,49870,49870,49880,49880,49890,49890,49890,49900,4990 3,10,49900,49910,49910,49910,49920,49920,49920,49920,49930,4993 3,20,49930,49930,49940,49940,49940,49940,49940,49950,49950,4995 3,30,49950,49950,49950,49960,49960,49960,49960,49960,49960,4997 3,40,49970,49970,49970,49970,49970,49970,49970,49970,49970,4998 3,50,49980,49980,49980,49980,49980,49980,49980,49980,49980,4998 3,60,49980,49980,49990,49990,49990,49990,49990,49990,49990,4999 22 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) Distribuio t de Student Graus liberdade (R) Nvel de significncia ()0,25 (unilateral) 0,50 (bilateral) 0,125 (unilateral) 0,25 (bilateral) 0,10 (unilateral) 0,20 (bilateral) 0,05 (unilateral) 0,10 (bilateral) 0,025 (unilateral) 0,05 (bilateral) 0,0125 (unilateral) 0,025 (bilateral) 0,005 (unilateral) 0,01 (bilateral) 0,0025 (unilateral) 0,005 (bilateral) 11,0002,4143,0786,3141,2712,5546,3661,273 20,8171,6031,8862,9204,3136,2059,9251,409 30,7651,4221,6382,3533,1834,1775,8417,453 40,7411,3441,5332,1322,7763,4954,6045,598

50,7271,3001,4762,0152,5713,1634,0324,773 60,7181,2731,4401,9432,4472,9693,7074,317 70,7111,2541,4151,8952,3652,8413,5004,029 80,7061,2401,3971,8602,3062,7523,3553,833 90,7031,2291,3831,8332,2622,6853,2503,690

100,7001,2211,3721,8132,2282,6343,1693,581 110,6971,2141,3631,7962,2012,5933,1063,497 120,6951,2091,3561,7822,1792,5603,9553,428 130,6941,2041,3501,7712,1602,5333,0123,373 140,6921,2001,3451,7612,1452,5102,9773,326

150,6911,1971,3411,7532,1322,4902,9473,286 160,6901,1941,3371,7462,1202,4732,9213,252 170,6891,1911,3331,7402,1102,4582,8983,223 180,6881,1891,3301,7342,1012,4452,8783,197 190,6881,1871,3281,7292,0932,4332,8613,174

200,6871,1851,3251,7252,0862,4232,8453,153 210,6861,1831,3231,7212,0802,4142,8313,135 220,6861,1821,3211,7172,0742,4062,8193,119 230,6851,1801,3201,7142,0692,3982,8073,104 240,6851,1791,3181,7112,0642,3912,7973,091

250,6841,1781,3161,7082,0602,3852,7873,078 260,6841,1771,3151,7062,0562,3792,7793,067 270,6841,1761,3141,7032,0522,3732,7713,057 280,6831,1751,3131,7012,0482,3692,7633,047 290,6831,1741,3111,6992,0452,3642,7563,038

300,6831,1731,3101,6972,0422,3602,7503,030 400,6811,1671,3031,6842,0212,3292,7052,971 600,6791,1621,2961,6712,0002,2992,6602,915 1200,6771,1561,2891,6581,9802,2702,6172,860 0,6741,1501,2821,6451,9602,2412,5762,807 23 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 3 Testes no Paramtricos Os testes Qui-Quadrado ou no-paramtricos so de grande aplicao devido ao fatodosmesmosnodependeremdeparmetrospopulacionaisenemdesuas estimativas.Essestestesnoexigemqueavarivelemanlisesejanumricanem pressuposio a respeito da distribuio dessa varivel. 3.1 Teste de Adequao de Ajustamento Dada uma amostra de tamanho n que pode ser dividida em eventos E1, E2, ..., Ek. SejamFe1,Fe2,...,Fek,asfreqnciasesperadaseFo1,Fo2,...,Fok,asfreqncias observadas.O testede adequaode ajustamentovisacomprovar aconcordnciaentre freqnciasobservadaseesperadasparacertofenmeno,pois,naprtica,nemsempre asfreqnciasobservadasconcordamexatamentecomasfreqnciastericas esperadas. Etapas: 1) Enumerar as hipteses Ho: No h discrepncias entre as freqncias observadas e esperadas; H1: H discrepncias entre as freqncias observadas e esperadas. 2) Estabelecer o nvel de significncia . 3) A varivel teste adotada a Qui-Quadrado (2G ) com grau de liberdade k 1, onde k o nmero de eventos em que foi dividida a amostra. 4) Determinar a rea de rejeio e aceitao da hiptese nula (Ho). 5)Avaliarasfreqnciasesperadascombasenahiptesenula.Parafacilitaresta avaliao convm distribuir as freqncias num quadro, da seguinte forma: Eventos E1 E2 E3... EkTotal Freq. Observadas Fo1 Fo2 Fo3... Fokn Freq. Esperadas Fe1 Fe2 Fe3 ... Fekn 1- 2GAceita-se Ho Rejeita-se Ho 24 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 6) Clculo da varivel teste. =

+ +

+

=

=ki kk kii icalFeFe FoFeFe FoFeFe FoFeFe Fo12222 2121 122) (...) ( ) ( ) (G Observao:CasonoexistameventosquenosatisfaamcondioFeu 5,estes devero ser somados aos eventos adjacentes, originando-se novas categorias. 7) Concluso:Se u2 2G GcalRejeita-seHo,isto,asfreqnciasobservadas diferem das esperadas, e aceita-se Ho ao nvel de significncia , caso contrrio. Exemplo 1: Em 100 lances de umamoeda, observaram-se 65 coroase 35 caras. Testar a hiptese da moeda ser honesta, adotando-se = 5%. Ho: A moeda honesta H1: A moeda no honesta. EventosCaraCoroa Foi3565 Fei5050 0 , 950) 50 65 (50) 50 35 ( ) (2 2122=

+

=

= =kiii icalFeFe FoG 84 , 3 ) 05 , 0 ; 1 2 ( ) ; 1 (2 2=G Gk Concluso: Como u 84 , 32calG Rejeita-seHoaonveldesignificnciade5%, isto, a moeda no honesta. Exemplo 2: Para ilustrar, a falta dos funcionrios verificada ao longo do ano anterior da FbricaEspelhosVejaBem,estoilustradasnoquadroabaixo.Noperodoanalisado, 200 faltas foram registradas. Verifique se existe alguma diferena significativa de faltas dos funcionrios em algum dia especfico da semana. Dia da semana seg ter qua qui sexN.o de faltas 65 35 30 28 421-=95% =0,05

2G =3,84 2G25 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 3.1 Teste de Independncia A finalidade deste teste verificar se duas variveis, que podem ser divididas em categorias ou eventos, so estatisticamente independentes. Considera-seduasvariveisxeyquesedividemnoseventosx1, x2,..., xkey1, y2,...,yh, respectivamente,tem-seumatabeladeduplaentradachamadadeTabelade Contingnciahxk,ondeasfreqnciasobservadas(F0)ocupamhlinhasekcolunas, ou seja: EVENTO X EVENTO YX1 X2 ... XkTotais Y1F011 F012...F01kL1 Y2F021 F022...F02kL2 ... ...... ... ... ... YhF0h1 F0h2...F0hkLh TotaisC1 C2 ... Ckn Estetestede 2G esebaseianacomparaoentreasfreqnciasobservadas (Fo) e freqncias esperadas (Fe), cujas etapas so as seguintes: 1) As hipteses Ho: As variveis so independentes H1: As variveis no so independentes, ou seja, as variveis apresentam algum grau de associao entre si. 2) Calcularasfreqnciasesperadas(Fe)eavali-las,casoexistameventosqueno satisfaam condio Fe u 5, estes devem ser unidos aos eventos adjacentes. F011 Fe11 = nxC L1 1 F012 Fe12 = nxC L2 1 F032 Fe32 = nxC L2 3F0hk Fehk = nxC Lk h 3) Nvel de significncia Normalmente adota-se um valor de entre 1% a 10%. 4) Varivel teste Nestecaso,avariveltesteaseradotadasera2G com(h1)(k1)grausde liberdadeou(h1)(k1)RsefornecessrioRparmetrosparaoclculodas freqncias esperadas. 26 Apostila: Professores JOS C. DALMAS & JOS C. SOEIRO (D.STAT./UEL) 5) Estabelecer os valores crticos 6) Clculo da varivel teste = =

=hikj ijij ijcalFeFe Fo1 122) (Ghk2hk hk11211 11Fe) Fe Fo (...Fe) Fe Fo ( + +

= 7) Concluso: Se "2 2cal G G Rejeita-seHoaonveldesignificnciaeconcluise que as variveis so dependentes e apresentam algum grau de associao que poder ser medida atravs do Coeficiente de Contingncia (C), que dado pela frmula: % 100 xnC2cal2calGG+= . OCoeficientedeContingncia(C)possuiintervalodevariaode:0