apostila de limites

Autoditada cria a Análise

Gottfried Weilhelm Leibniz nasceu em Leipizig; aOs quinze anos entrou na Universidade,aos dezessete já era bacharel e aoS vinte doutorou-se em Nuremberg. Adquiriu grande conhecimento geral em Teologia, Direito, Filosofia e Matem~tica sendo considerado um dosúltimos sábios. Viajou muito representando o governo como diplomata e, numa de suas visitasa Londres, em 1643, tornou-se membro do Royal Society.

Leibniz, por ser autodidata, freqüentemente redescobria teorias e as desenvolvias

I· - é" f' . 11 1 1 1 1romo é o caso de sua primeira rea Izaçao em s nes In Inltas: "4 = "1 - 3' + 5" - 7" +

expansão da teoria de Gregori.Ao estudar um problema proposto por Huygens, acabou por fazer uma descoberta,

-o triângulo harmônico, análogo ao triângulo de Pascal que fascinava Leibniz. Passou então aestudar as obras de Pascal sobre cilóides e séries infinitas, generalizando um método impor·tante para soma e diferença de funções, tanto racionais como irracionais, algébricas outranscendentes (palavra que ele criou).

Percebendo a grande importância das notações como auxiliar de pensamento, é résponsável por muitas delas como dx e dy para diferenciais em x e y, fydx para integral e foio primeiro a empregar as expressões "cálculo diferencial", "cálculo integral" e "função".Usou o ponto para multiplicação e escreveu proporção na forma a : b = c : d o que nossugeriu: para indicar divisão. Ainda criou a notação --...... para Ué semelhante a" e ::::::::: para "écongruente a fl

• Leibniz e Nevvton é que persistiram no uso do sinal =, criado por Recorde,até hoje usado.

Em 1684, sob o tl'tulo de "Um novo método para máximos e mínimos, e também paratangentes, que não é obstruído por quantidades irracionais", expõe, pela primeira vez, seu

d_x = ydx -,xdy ecálculo diferencial dando às fórmulas de derivação: dxy = xdy + ydx,y y

dx n-= n xn- 1dx, juntamente com aplicações geométricas.

CAPÍTULO II

LIMITE

I. NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO

21. Seja a função f{x) = (2x ~x1~ ~~ - 1) definida para todo x real e x *1.

Se x * 1, podemos dividir o numerador e o denominador por x - 1 obtendof(x) = 2x + 1.

Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1,mas diferentes de 1.

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:

x ° 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999

f(x) 1 2 2,5 2,8 2,98 2,998

Gottfried W. Leibniz(1646 - 1716)

Sua obra mais famosa é "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos) onde observouuma diferenciação e integração são operaçõesinversas enunciando o teorema fundamental docálculo e mostrando que as funções transcendentes são fundamentais em Análise.

Sua teoria de diferenciação, pelas notaçõesque usou, foi mais aceita do que a Teoria dosFluxos· de Newton, embora oS dois tivessemdesenvolvido a Análise na mesma época.

Em 1963, numa carta a L'Hospital, chegoua dar antecipação da teoria dos determinantes.

Como filósofo pretendia reduzir as discussões lógicas a formas sistemáticas. Otimista ao extremo, sempre acreditou numa futura universali.zação da linguagem, o que foi muito produtivopara a Matemática.

Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001

f(x) 5 4 3,5 3,2 3,02 3,002

Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez maisde 1, f(x) aproxima-se cada vez mais de 3, isto é, quanto mais ptóximo de 1estiver x, tanto mais próximo de 3 estará f(x).

21-H

Notemos na primeira tabela que:

x = 0,9 == f(x) = 2,8 isto é, x - 1 = -0,1 == f(x) - 3 = -0,2

x = 0,99 == f(x) = 2,98 isto é, x - 1 = -0,01 == f(x) - 3 = -0,02

x = 0,999 == f(x) = 2,998 isto é, x - 1 = -0,001 == f(x) - 3 = -0,002

e, a segunda tabela nos mostra que:

x = 1,1 == f(x) = 3,2 isto é, x- l = 0,1 == f(x) - 3 = 0,2

x = 1,01 == f(x) = 3,02 isto é, x - 1 = 0,01 == fI)' - 3 = 0,02

x = 1,001 == f(x) = 3,002 isto é, x - 1 = 0,001 == (x) - 3 = 0,002

É importante perceber que 8 depende do € considerado. Nas duas tabelasvemos que:

1~) Ix-ll=0,1==lf(x)-31=02então se for dado lO = 0,2, tomamos 8 = Ó,l e afirmamos que

O < Ix - 11 < 0,1 == If(x) - 31 < 0,2

29) Ix-li = 0,01 == If(x) - 31 = 002então se for dado lO = 0,02, tomamos 8 = á,Ol e temos:

O < Ix - 11 < 0,01 == If(x) - 31 < 0,02

3?) Ix-ll=O,OOl == If(x) -31=0002então se for dado lO = 0,002, tomamos 8 = O,OÓl e temos:

O < Ix-li < 0,001 == If(x) -31 < 0,002

Notemos que, dado lO, tomamos 8 = ~ . Generalizando, afirmamos que,

qualquer que seja o valor positivo lO, podemos tomar 8 = ~ tal queportanto, pelas duas

Ix - 1\ = 0,1

Ix - 11 = 0,01Ix - 11 = 0,001

tabelas vemos que:

== If(x) - 31 = 0,2== If(x) - 31 = 0,02== If(x) - 31 = 0,002 0<lx-11<8

lO=-

2 == If{x) - 31<lO

Observemos que podemos tornar f(x) tão próximo de 3 quanto desejarmos,bastando para isto tomarmos x suficientemente próximo de 1.

Um outro modo de dizermos isto é dizer: podemos tornar o módulo da diferença entre f(x) e 3 tão pequeno quanto desejarmos desde que tomemos o m6dulo da diferença entre x e 1 suficientemente pequeno.

De fato,

0< Ix-ll<8 =Í == IX-11< ~ ==2Ix~11<lO === 12x - 21 < lO == I~ - 31 < lO = If(x) _ 31 < lO

flx)

22. A linguagem utilizada até aqui não é uma linguagem matemática, pois ao dizermos "I f(x) - 31 tão pequeno quanto desejarmos" e "I x - 1\ suficientementepequeno", não sabemos quantificar o quão pequenas devem ser essas diferenças.

A Matemática usa s(mbolos para indicar essas diferenças pequenas. Os s(mbolos usualmente são lO (epsilon) e 8 (delta).

Assim, dado um número positivo lO, se desejamos If(x) - 31 menor que lO,devemos tomar Ix-li suficientemente pequeno, isto é, devemos encontrar umnúmero positivo 8, suficientemente pequeno, de tal modo que

O < Ix - 11 < 8 == If(x) - 31 < lO

A condição O< Ix-li é neste caso equivalente a O* Ix-lI, isto é, x * 1,porque estamos interessados nos valores de f(x). quando x está próximo de1, mas não para x = 1.

22-H

Notando que

O < Ix - 11 < 8 ~ 1 - ó < x < 1 + 8

e x * 1e

If(x) - 31 < lO ~ 3 - lO < f(x) < 3 + lO

vejamos qual é o significado do lO e 8no gráfico ao lado.

. Para todo x entre 1 - 8 e 1 + 8e x * 1, temos os valores de f(x) entre 3 - lO e 3 + lO.

vJ

1-8 1 + 8 x

23-H

que o pode assumir.

€ b'Assim se considerarmos oI ="3 teremos tam em

24. Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f umafunção definida para x E I - {a}. Dizemos que o limite de f(x). quando xtende a a, é L e escrevemos lim f(x) = L, se para todo € > O, existir o> O

x+a

23. o valor considerado € para o não é único, é simplesmente o maior valor2

11. DEFINIÇÃO DE LIMITE

0< Ix-11<01€

3== If(x) - 31 < € tal que se O< Ix - a I < o

Em símbolos, temos:então If(x) - LI < €.

2€===> 12x-21<

3

€ 2€==>lx-11<3 ==>2Ix-11< 3

De fato:

0< Ix-11<01€

3

2€== 1l0.J - 31 < 3f(xl

==

==É importante observarmos nesta definição que nada é mencionado sobre o

valor da função quando x = a, isto é, não é necessário que a função esteja definidaem a. Assim no exemplo anterior, vimos que

2€===> If(x) - 31 < 3

Iim __(_2,--x_+--;--,-,1)'----"-(x07----:1é...)x+1 (x - 1)

lim (2x + 1)x+1

3

== If(x) - 31 < €

2€mas 3 < €

mas f(x) = (2x + 1) (x - 1) não está definida para x = 1.(x - 1)

Pode ocorrer que a função esteja definida em a e lim f(xl *' f(a).x+a

Desde que, para qualquer valor positivo €, podemos encontrar um valor apro

priado para o tal que

O < Ix - 11 < li == if(x) - 31 < €

dizemos que o limite de f(x). para x tendendo a 1, é 3. Em símbolos:

lim f(x) = 3x+!

Considerando oI < o, percebemosque o intervalo de extremos 1 - oI e1 + oI está contido no intervalo de extremos 1 - o e 1 + o e, portanto, todo

x que satisfaz

1 - OI < x < 1 + OI e x*,1

satisfará

1-0<x<1+0 e x*'1

e, conseqüentemente, teremos

3 - € < f(x) < 3 + €

o que pode ser confirmado no gráfico ao

lado.

y

3 + €

3

l-li l-O 1i 1+0 1+1i 1x

Por exemplo, na função

f(x) = {25X + 1 se x*'1

se x = 1

temos:

lim f(x) lim (2x + 1) 3 *' f( 1)X+l x+l

É importante ter sempre em mente no cálculo de lim f(x) que interessa ox+a

comportamento d, f(x) quando x se aproxima de a e não o que ocorre com

f quando :< = a.O próxi.no teorema afirma que uma função não pode aproximar-se de dois

números diferel'tes qua Ido x se aproxima de a. É o teorema da unicidade dolimite de uma fun~ão; ele nos garante que se o limite de uma função existe, então

ele é único.

25-H24-H

111. UNICIDADE DO LIMITE EXERCICIOS

deflim f(x) = LI = (V E > O, 38 1 > O I O < I x - a I < ÓI

Demonstração

Demonstraremos este teorema por redução ao absurdo.

Supondo LI '* L2 , temos:

25. Teorema

Se lim f(x)x->a

'x~a

e lim f(x)x->a

= If(x) - LI I < E)

então LI

CD=

H.14 Seja a função f definida por f(x) = 5x - 2 para todo x real. Se lim f(x) = 8x->2

encontre um 8 para E = 0,01 tal que

O < Ix - 21<8 = Iflx) - 81 <0,01

Solução

If(x) - 81 < 0,01 <= 115x - 21 - 81 < 0,01 <= 15x - 101 < 0,01

<= 5 • Ix - 21 < 0,01 <= Ix - 21 < 0,002

Se tomarmos 8 = 0,002, teremos:

O < Ix - 21 < 0,002 = If(xl - 81 < 0,01

Notemos que qualquer número positivô menor que 0,002 pode ser usado no lugar de0,002 como sendo o 8 pedido, isto é, se O < 8 1 < 0,002, a afirmação

O < Ix - 21 <8 1 = If(xl - 81 <0,01

é verdadeira, porque todo número x que salisfaça a desigualdade O < Ix - 21 < 8 1satisfará também a desigualdade O < Ix - 21 < 8.

lim f(x)x->a

d~ I IL2 <===* (V E > O, 3 8 2 > O O < Ix - a < Ó2

= If(x) - L2 1 < €) @

= H.15 Seja f uma função tal que f(x) = 3x + 2, x E IR.Se lim flxl = 5, encontre um 8 para E = 0,01

x->Ital que O < Ix - 11 < 8 = If(xl - 51 < 0,01

que é uma contradição e, portanto, a nossa suposição é falsa. Logo LI

. x 2 - 1Seja a função f(x) = --- definida para todo x real e x '* -1 Sabendo quex + 1 .

lim flxl ~ -2, calcular 8 de modo que O < Ix + 11 < Ó ==> If(xl + 21 < 0,01.X+-l

Notemos que

1(3x+2)-51<E<=13x-31<E<=3Ix-ll<E<=lx-11< E3

H.16 Dada a função f tal que f(xl = 5 - 2x, x E IR, determine um número 8 para E= 0,001

de modo que O < Ix + 21 <8 = If(x) - 91 < E, sabendo que fim f(xl = 9.x+-2

Solução

Devemos mostrar que, para qualquer E > O, existe Ó > O tal que:

0<lx-11<8 =113x+21-51<E

H.17

. 9x 2 - 4 _. . . 2H.18 Supondo conhecido que 11m2 3X~-2 ~ 4, quao proxlmo de :3 deve estar x para

x+ 39x2 - 4

que a fração~ esteja próxima de 4, com aproximação inferior a O,0001?

H.19 Usando a definição demonstre que fim 13x + 2) = 5.x->I

=10<lx-al<8

vem2

I LI - L2 I . r }E= 2 ,3ó=mIn18 1 ,8 2

ILI - L2 I < I LI - L2 I

Se tomarmos E

e, portanto:

V E > O, 3 8 = min {8 1 , 8 2} I O < Ix - ai < Ó ==> I LI - L2 1 < 2E

ILI - L2 I

=para

Escrevendo LI - L2 como LI - f(x) + f(x) - L2 e aplicando a desigualdade

triangular (Ia + bl .;; Ia I + Ib I, V a, b E.: IR). temos:

IL I -L2 1 = I(LI -f(x))+(f(x)-L2 ) I.;; ILI-f(x)1 + If(x)-L2 1=

= If(x) - LI I + I f(x) - L2 I

Pondo 8 = min {ÓI' Ó2}, temos 8 .;; 8 1 e 8 .;; 8 2 e, considerandoeDe

0, temos:

VE > o, 3ó = min {ÓI, 8 2} 10< Ix - ai < 8 = If(x) - LII +

+ If(x) - L2 I < 2 E

mas ILI - L2 I .;; If(x) - LI I + If(x) - L2 I

26-H 27-H

Assim, se escolhermos /l = f, teremos:

V€>0,3ó=t>0 I O<lx-ll </l==1(3x+2)-51<€

De fato se

De fato

O < Ix - 11 < /l "* Ix - 11 < 1 -~ ==-==>~ -1 <x-l <1-~ <~ -1 ====~ -1<x-l<~ -1 =~<x<~== 1 - €' < x2 < 1 + €' = - €' < x2 - 1 < €' == Ix2 - 11 < €' O;;; €

Solução

Devemos provar

V € > O, 3/l > O I O < Ix - 1\ < /l = Ix2 - 11 < €

€ I €o<lx-ll </l=3"= x-li <3 ==3Ix-ll

= 13x - 31 < € = 1(3x + 2) - 51 < €

H.20 Demonstre usando a definição que:

aI lim (4x - 1) = 7x+2

b) lim (4 - 2x) = -2x+3

cl lim (3x - 2) = -5x+-l

H.21 Demonstre usando a definição que lim x2 = 1.X+l

< € == H.22 Prove pela definição de limite que:

a) lim x2 = 4x+2

b) lim (x2 + 1) = 10x+-3

c) lim (1 - x2 ) = - 3x+2

H.23 Prove pela definição de limite que

lim _9_= 3x+2 x + 1

Solução

Devemos provar

V€>O, 3/l>0 I 0<lx-21 < /l=1_9__ 31 <€x + 1

Notemos que

Notemos que

Ix2 - 1 I < € == - € < x2 - 1 < € = 1 - € < x2 < 1 + €

Suponhamos que o valor de /l que queremos encontrar seja menor ou igual aI,isto é

O < Ix - 11 < /l O;;; 1 = Ix - 11 < 1 ==> -1 < x-I < 1 ="* O < x < 2

e sendo €' > O tal que se O < € < 1 então €' = € ou se € ;;;, 1 então0<€'<1, temos

1 - € O;;; 1 - €' < x2 < 1 + €' O;;; 1 + € == O < 1 - €' < x2 < 1 + €' ==>

==>~<Ixl<~ ==~<x<~ ==>

~ {Ix - 11 <e~ - 1==>~-I<x-l<~-1 -

Ix -11 < 1-~

Notando que

0<1-~ <~ -1 <1, temos:

para todo € > O, existe /l = 1 -~ > O onde €'=€ se 0<€<1ou O < €' < 1 se €;;;. 1, tal que

O < Ix - 11 < /l == Ix2 - 1 I < €

28-H

1_9 __ 31<€=_€<_9__ 3 <€=3_€< 9 <3+€x + 1 x + 1 x+ 1

Considerando €' > O tal que €' = € se O < € < 3 ou O < €' < 3 se € ;'3, temos:

3-€0;;;3-€'<~1 <3+€'0;;;3+€ =0<3_€,<_9_ <3+€,,,*x + x + 1

1 x+l 1 9 9==>3-€,>-9->3+€, ==~>x+l>3+€' =

9 9 3€' -3€'= 3-€' -3>x-2> 3+€' -3 =="3=€' > x-2> 3+€ ==

{

3€'Ix-21 <-

3-€'==> e

3€'. Ix-21 <-3 + €'

3€' 3€'Notando que O < 3 + €' < 3"=€" temos para todo € > O, existe /l =

3€'=""3+€' > O onde €' = € se O < € < 3 ou O < €' < 3 se € ;;;, 3, tal que

0<IX-21</l==I~1 -31<€x +

29-H

IV. PROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO

26. No parágrafo anterior vimos que, para provarmos lim f(x) = L, devemos exibirx+a

um o > O para um dado E > O.Considerando que freqüentemente uma função é constru ída a partir de fun

ções mais simples; por exemplo uma' função polinomial f é uma soma finita defunções do tipo fi(x) = aixi onde ai E IR e i E IN, isto é:

==>

=

=

1 x + 1 1= 3+€' < ~9- <"3=€'

3E'O<lx-21<o =lx-21< ==>3 + E'

-3 E' 3E' 3E'==> 3+€' < x - 2 < 3+"€' < 3-=€'

-3E' 3E' 9 9=3+E' <x-2< 3-€' = 3+€' -3<x-2< 3_€,-3

=_9_ < < 93+E' x+1 3-E'

De fato:

=3_E,<_9_ < 3+€' =_E,<_9_ -3<€'x + 1 x + 1

= I~1 - 31 < €' .;;;; E.x +

H.24 Prove pela definição de limite Que:

a) lim ~6_= 2X+I x + 2

b) 11m ~4_ = 2x+1 3 - x

c) Iim __2_ = 2x+3 2x - 5

==> n nf(x) = ao + alx + a2x2 + ... + anxn =L ai xi = L fj(x)

i=o i=o

Se as funções fi têm limites para x tendendo a a, então uma combinação

conveniente nos fornece o limite de f quando x tende a a.A fim de que não tenhamos que voltar repetidamente à definição de limite

para provarmos lim f(x) = L, vamos apresentar as propriedades algébricas do limitex+a

de uma função.No que segue estamos supondo que a é elemento de um intervalo aberto

I, e que em I - {a} estão definidas as funções f, g, ... "envolvidas" na propriedade.'-


IIm~=4X+2 x - 1

27. 1~ Propriedade


11m x3 = 1X+I

"Se f é a função definida por f(x) = c onde c E IR, para todo x real,então lim c = c".

x+a

Demonstração

Devemos provar:

'ri E> O, 3 o > O I O < Ix - ai < o = If(x) - cl < E

~ sempre verdadeiro, pois

If(x) - cl = Ic - cl = O < E

28. 2~ Propriedade

Se c E IR e Iim f(x) = L então lim [c • f(x)] = c • lim f(x) = c • L.x.a x.a x+a

3O-H 31-H

Demonstração

Devemos considerar dois casos:

Demonstração

Devemos provar

'ri € > O, 3 & > O I O < Ix - aI < & === I (f + g)(x) - (L + M) I < €

3&1>00<lx-al<&1

.u 'd € Tv € > O, consl eremos 2"' emos:1C? caso c = OSe c = O então c • f(x) = O • f(x) = OPela 1~ propriedade temos

lim [c • f(x) 1= Iim O = O = c • LX-1'-a x+a 3 &2 > O O < Ix - ai < &2

€===- If(x) - LI < "2

€== Ig(x) - M I < 2

21? caso c =1= ODevemos provar

'rI€>O, 3&>01 O<lx-al<& ===lc.f(x)-c.LI<€

Temos por hipótese

lim f(x) = Lx+a

isto é,

Considerando li = min {& I, &2}, e portanto &..;; &I e &..;; &2, vem

€ €& =min{li l ,&2} I o<lx-al<& ==lf(x)-LI+lg(x)-MI<2+2"=€

Mas pela desigualdade triangular, temos:

If(x) - LI + Ig(x) - MI..;; If(x) + g(x) - (L + M)\ = I(f + g)(x) - (L+M)I

então

3 li = min {&I, &2} I O < Ix - ai < & == lU + g)(x) - (L+M)I < €

'rI€ > O, 3 &1 > O I O < Ix - ai < &1 ==> If(x) - LI < €

€Então 'ri € > O, considerando

Icl

3 & > O \ O < Ix - ai < &

isto é

3&>010<lx-al<&

ou seja

3 & > O I O < Ix - ai < &

29. 3~ Propriedade

temos:

€=== If(x) - LI < Icl

€== Icl • If(x) - LI < ~ • Icl = €

== Ic.f(x)-c.LI <€

30. Esta propriedade pode ser estendida para uma soma de um número finito defunções, isto é,

Se lim f;(x) = Li, i E N e 1";; i ..;; n,x+a

então

lim ( t fi)(x) = t Li·X+a i=l i=l

Demonstração:

Faremos a demonstração por indução finita

1~ PARTE

Para n = 1 é verdadeira, pois

Se lim f(x) = L e lim g(x) = M entãox+a x+a

32-H

lim (f + g)(x)x+a

L + M.

I I

lim (L fi(X)) = lim fi (x) = LI = L Lix+a i=l x+a i=l

33-H

2~ PARTE

Supondo que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto é,

P Plim (L fi)(x) ~ L Lj

x+a i=l i=l·

provemos que é verdadeira para n = p + 1, isto é

p+1 p+1

lim (L fi (x))= L Lix+a i=l i'='l

Lema 2

lim f(x) L e lim g(x) = O então lim (f. g)(x) = O.x+a x+a x+a

Prova

Devemos provar que

VE > O, 3 o > O I O < Ix - ai < o ====> If(x) • g(x) I < E

Considerando que Iim f(x) = L, isto é,x"a

V E > O, 3 o > O I O < Ix - aI < o = If(x) - LI < EDe fato

mas

P+I Plim (L fi)(x) = lim [( L fi) + fp +l ] (x)X-:l>-a 1=1 x+a i=l

P P+I= lim (L fi) (x) + lim fp + I (x) = L Li + Lp + I

x+a i=l x+a j=l

31. 4~ Propriedade

P+I

= L Lii=l

e fazendo E = 1, vem

3 01 > O I O < Ix - aI < o [ = If(x) - L I < 1

I f(x) 1- ILI .;;; I f(x) - L I e portanto:

3 o [ > O I O < Ix - ai < o I ====> If(x) I < 1 + I L I

Considerando que lim g(x) = O, isto é,x"a

VE>O, 30>01 O<lx-al<o =lg(x)I<E

Se lim f(x) = L e lim g(x)x"a x"a

M então lim (f - g)(x)x"a

L - M e tomando€

1 + I LI temos

Demonstração

lim (f - g)(x) = lim [f(x) - g(x)] = lim [f(x) + (-1) • g(x)]x+a X~ X~

lim f(x) + lim [(-1) • g(x)] = lim f(x) - lim g(x) = L - Mx+a x+a x+a x+a

32. Antes de passarmos para a próxima propriedade vamos considerar dois lemas.

Lema 1

lim fix) L se, e somente se, lim (f(x) - L) = Ox+a x+a

Prova

lim f(x) = L = (V E> O, o> O 10< Ix - ai < o = If(x) - L I < E) =x+a

=('VE>O, 30>Oi O<lx-al<o==lf(x)-L-OI <E)=

= lim (I(xl - LI = Ox+a

34-H

302>01 0<lx-al<02 =lg(x)l< 1+E

iLI

isto é,

3 02 > O I 0< ix - ai < 02 = (1 + ILI) • Ig(x)1 < E 0Sendo o = min {OI, 02}, e portanto o.;;; OI e o .;;; 02, temos

V E > O, 3 o = min {OI, 02} > O I O < Ix - ai < o === If(x) • g(x)1 = lf(x)1 • Ig(x)1 < (1 + ILI) Ig(x)1 < E

(j) 0

33. 5~ Propriedade

Se lim f(x) = L e 11m g(x) = M então lim (f· g)(x) LMx+a x+a x+a

Demonstração

Notemos que

(f· g)(x) = f(x) • g(x) = f(x) • g(x) - L • g(x) + L • g(x) - LM + LM

35-H

temos

isto é,

(f· g)(x) ~ [f(x) - L] . g(x) + L . [g(x) - M] + LM

2) 11m g(x) ~ M <=> lim (g(x) - M) ~ O,x-+a x+a

===> If(x) - LI<E

então

então

3 8 > O I O < Ix - ai < 8

ILIE = 2 temos

"tE> O,

De lim f(x) ~ L vem:x+a

i) se L> O

Tomando

ii) se L < O

Prova

Então são poss(veis dois casos:

Considerando N = I ~ I > O, temos:

O < Ix - ai < 8 ===> if(x)1 > N

ILI38 > O I O < Ix - ai < 8 ===> If(x) - LI < 2 ===>

ILI ILI ILI ILI=> - "2 < f(x) - L < 2 => L - T < f(x) < L + T .

L 3LO < 2"" < f(x) < -2-

3L L2 < f(x) <"2 < O

então, para L 0# O, temos O < I ~ I < If(x) I < I 32L I.

nfi Li (*)i=l

x->ax->a

n

lim fi(x) ~ Li então lim fi fj)(x)x+a x-:l>-a i= I

i E IN, 1,;;;; i ,;;;; n

A demonstração por indução finita fica como exercicio.

lim (f· g)(x) ~ lim Uf(x) - L] • g(x) + L • [g(x) - M] + LM}x+a x+a

3) lim (f(x) - L) ~ O e lim g(x) ~ M ===> lim [(f(x) - L) • g(x)] ~ Ox+a x+a x+a

Considerando que

1) lim f(xl ~ L <=> lim (f(xl - LI ~ O,

34. Esta propriedade pode ser estendida para um produto de um número finitode funções, isto é, se

~ lim {[f(x) - L] . g(x)} + lim {L • [g(x) - MJ} + lim LM ~x+a x+a x+a

~ O + L . lim [g(x) - M] + LM ~ L • O + LM ~ LMx+a

35. 6~ Propriedade

Se lim f(x) = L então Iim (f)n (x) = Ln, n E N*,x+a x+a

(Trata-se do caso particular da propriedade vista no parágrafo 34, fazendofi = f 2 ~ ... = f n = f).

Lema 4

Se Iim g(x) = M 0# Ox->a

então

36. Antes da próxima propriedade, vejamos mais dois lemas Prova

Lema 3

Se lim f(x) = L 0# O então existem 8 e N positivos tais quex+a

O < Ix - ai < 8 ===> If(x)i > N.

n(*) O s{mbolo fi f. (lê-se: produt6ria dos fatores f," com i EN, 1 ,;;;; i < n significa:

i =1 In11 f. = fi • f2 • f3 ••• f .

i =1 I n

Considerando que lim g(x) = M 0# O, pelo lema 3, temos:x+a

38 1 ,N>01 0<lx-al<8 1 ===>lg(x)I>N =1 1

===> -- < -Ig(x)1 N

De lim g(x) ~ M, vemx+a

"tE>O, 38>01 0<lx-al<8 ===>Ig(x)-MI<E

36-H 37-H

Considerando E' IM I • N, temos: Se lim f(x) ~ L e lim g(x) M então:x+a x+a

LI' lim c = cx->a

Sendo o ~ min {OI, 02J, vem:

'tE> O, 3 0= min {Oj, 02}

==>

=E

1~1_g(x)

~IM

Ig(x) - MITgTx)nMT

O<lx-al<o ==>

I 1 1 E·IMI·Ng(x) - MI . ig(x)1 • TMT < N. IMI

L2 • lim Ic.f(x))= c ·Iim f(x) = c· Lx+a x+a

lim l(f + g) (x)] = lim f(x) + lim g(x) ~ L + Mx+a x+a x~

lim I(f - g) (x)] = lim f(x) - lim g(x) = L - MX~ x+a x+a

L s . lim [(f· g) (x)] = lim f(x) • lim g(x) = L· Mx+a x+a x+a

Uma das conseqüências das propriedades L é a regra para obter o limite deuma função polinomial.

37. 7~ Propriedade

f LSe lim f(x) = L e lim g(x) M =1= O então lim (-) (x) - M

x->a x->a x->a 9

Demonstração

Pelo lema 4 temos:

g(x) ~ M =1= O. 1 1

lim = 11m --- - Mx->a x->a g(x)

então

f[f(x) _1 ) = 1 L

lim (-) (x) lim L· -Mx->a 9 x->a g(x) M

L6 • lim [(f)n (x)] ~ ['im f(x)]n = Ln

x->a x->a

lim f(x)f x->a L

L7 • lim [( -) (x)]lim g(x) - M (M =1= O)

x->a 9x->a

La· lim iffW n lim f(x) ~VL (se n E N* e Lx->a x->a é ímpar e L .;; O)n

V. LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL

39. Teorema

o limite de uma função polinomial

> O ou se

n

f(x) ~ ao + ai x + a2 x2 + ... + anxn = L1=0

aj E IR, para x tenden-

38. 8~ Propriedade

Se lim f(x) = L então lim ~ f(x) = VL com L >O e n E N' oux+a x+a

L < O e n é ímpar,A demonstração deste teorema será feita oportunamente, mas iremos apli

cá-lo quando for necessário.

Por uma questão de simplicidade indicaremos as propriedades de limites,como sendo as propriedades L e vamos fazer rápido sumário dessas propriedades.

38-H

do para a, é igual ao valor numérico de f(x) para x ~ a,

Antes de provarmos esta proposição, provemos que lim x a,x->a

É trivialmente verdadeira pois, dado E> O, basta tomarmos o ~ E e temos

O < Ix - ai < € ==> Ix - ai < E.

n n

Provemos agora que lim I L (ajxn- i )] ~ L (aian -i ).x+a i=o i=o

39-H

H.28 Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teoremautilizado.

De fato, por apl icações sucessivas das propriedades, temos

~: [~ (aiXn-il] =~ [~: (aiXn-i~ =~ [ai(~: xn-i~

= t [ai (Iim x)n-i] = t (ai an -i)

i=o x~a j:.o

d)x3 + 2x2 - 3x + 2 (La)

x2 + 4x + 3

(x3 + 2x2 - 3x + 2)

(x2 + 4x - 3)

x3 + 2x2 - 3x· + 2x2 + 4x + 3

EXERCICIOS

H.27 Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teoremautilizado.

a) lim 14x2 - 7x + 5) t) lim (3X2- 2 X -5rX+l x+2 _x2 +3x+4

b) lim Ix3 - 2x2 - 4x + 3) (x3 -3x2 _2X_5)2x+-l g) lim

2x2 - 9x + 2x+43x + 2

cl lim x2 _ 6x + 5 )2X2 +3x-4x+2 h) Iimx+-} 5x - 4

d) 11m3x2 - 5x + 4 f 3x3 - 5x2 - x + 22x + 1X+-l i) lim

x+-2 4x + 3

e) limx2 + 2x - 3

-/2x2 + 3x + 25 - 3xx+-3 j) limx+2 6 - 4x

Solução

x2 -4H.29 Calcular lim ~2

X+2 x - x

Temos lim Ix2 - 4) ~ O e 11m (x2 -2x) ~ O e nada podemos concluir ainda sobre o li-x+2 x+2

mite procurado.

Os polinômios (x2 - 4) e (x2 - 2x) anulam-se para x ~ 2, portanto, pelo teoremade D'Alembert, são divisíveis por x - 2, isto é:

a) lim (3x2 - 5x + 2)x+2

b) limx2 + 2x - 3

x+-l 4x - 3

c) lim (2X2

- x + 1rx+1 3x - 2

d) 3 x3 + 2x2 - 3x + 2lim

x2 + 4x + 3x+-2

Solução

a) pelo teorema da função polinomial IT), vem:

lim (3x2 - 5x + 2) ~ 3 • 22 - 5 • 2 + 2 = 4X+2

x2 - 4 (x + 2)(x - 2)x2 - 2x ~ xIx - 2)

x+2x

(x2 + 2x - 3)Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x tende a a, interessao comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com afunção quando x = a, concluímos:

x2 - 4 x + 2 ~ 2.Iim -2--~ limx+2 x - 2x x+2 x2X2 -X+1\2 (L7)

3x - 2 J

IimX+-1 -cc---,-~--Iim (4x - 3)X+-l

~2x - 3 (L7)

4x - 3

(2x2 _ x + 1) 2 (L6) (.= 11m

3x - 2 x+1

b) 11mx+-l

c) Iimx+1

(

limx+1limx+1

(2x2 - x

(3x - 2)

H.30 Calcular os limites:

x2 - 1a) Iim ---X+l x - 1

4 - x 2b) lim --

x+-2 2 + x

4O-H41-H

Solução

Temos lim (2x3 + x2 - 4x + 11 ~ O e lim (x 3 - 3x2 + 5x - 31 ~ O.x+l X+l

Os polinômios (2x3 + x2 - 4x + 11 e Ix3 - 3x2 + 5x - 31 anulam-se para x - 1,portanto, pelo teorema de D'Alembert, são divisfveis por (x - 1), isto é, x - 1 éum fator comum em 12x3 + x2 - 4x + 1) e (x 3 - 3x2 + 5x - 31.Efetuando as divisões de (2x3 + x2 - 4x + 11 e (x 3 - 3x2 + 5x - 3) por Ix - 11,

obtemos:

cl. 4x2 - 9 x 3 - 111m .---- g) 11m

~3 2x - 3x+2" x+1

di limx2 - 4x + 3 8 + x 3x2 - x - 6 h) lim

4 - x2x+3 x+-2

e) Ilml

2x2 + 5x - 3 x4 - 162x2 - 5x + 2 i) 11m

~x+2" x+2

f) lim6x2 + 11 x + 3

3 2x2 -=5~x+-T

2x3 + x2 - 4x + 1x3 - 3x2"+ 5x - 3

(x - 11 • (2x 2 + 3x - 11(x - 1) • Ix2 - 2x + 3)

2x2 + 3x - 1x2 -2x+3

Calcular lim flxl.X+I

Solução

Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a a, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quandox = a, temos:

se x

se

2x2 + 3x - 1lim x2 _ 2x + 3 ~ 2x+1

Então

2x3 + x 2 - 4x + 1lim x3 _ 3x2 + 5x - 3x+1


a)x3 + 3x2 - x - 3 x3 - 3x2 + 6x - 4

limx3 - x2 + 2

cl limx 3 - 4x2 + 8x - 5X+-l x+l

b) limx 3 - 6x - 9

d) limx4 - 10x + 4

x+3 x3 - 8x - 3 x+2x3 _ 2x2

X = 1

função f definida por

Ix2 - 3x + 2X - 1

3f(xl =

H.31 Seja a

x2 - 3x + 2 (x - l)1x - 2)lim flx) ~ lim - ...--- ~ 1im 11m (x - 2)x+I X+I X - 1 x+1 .---rx--=-lT- ~ x+1

-1 H.36 Calcular I imx+l

3x3 - 4x2 - x + 22x 3 - 3x2 + 1

Efetuando as divisões de 3x3 - 4x2 .. x + 2 e 2x3 - 3x2 + 1 por x - 1, temos:

Solução

Temos lim (3x 3 - 4x2 - x + 21 ~ O e lim 12x3 - 3x2 + 1) ~ O.x+l x+l

H.32 Seja a função f definida por

rX2 - 3x - 2x i= 2

x - 2se

flx) ~

3 se x ~ 2

Calcular lim flxl.x+2 3x3 - 4x2 - x + 2

2x 3 - 3x2 + 1

(x - 1) 13x2 - x - 21 3x2 - x - 2~ (x - 11 12x2 - x - 1) ~ 2x2 - x - 1

H.33 Seja a função então

Mostre que lim t(x) ~ 3.x+-3

mas

lim 13x2 - x - 2) ~ O e lim 12x2 - x - 1) ~ Ox-H x+l

{

2x2

flx) ~ 3

+ 9x + 9x + 3

se x -3

. 3x3 - 4x2 - x + 2lim 2x3 _ 3x2 + 1x+1

3x2 - x - 2lim 2x2 -x-lx+1

então

H.34 Calcular lim 2x3

+ x2

- 4x + 1x+! -;;3 - 3x2 + 5x -'3 .

. 3x2 - x - 2lim ....---x+1 2x2 - x - 1

I. Ix - 1) 13x + 2)Im

x+l Ix - 11 (2x + 11lim 3x+2 =~x+l 2x + 1 3

42-H43-H

(~+3)

(~+21

..j3x2 + 4x + 2 - 1b) lim

x+ -1 V x2 + 3x + 6 - 2

Vh+4 -y';+4cl lim .~

x+o vx+l-l

..j x2 + x - 2 - ..j x2 - x + 2di lim

x+2 v'X+2-2

e então

~ - 2 3(V4x""+1 +3) 9lim.~ =Iim -x+2 V 4x + 1 - 3 x+2 4(~ + 2) 8

~ -2 (~-2)' (~+2)~-3 (~-3)'(~+3)

3(x - 2)(-,/4x+1 + 31 3(~ + 3)

= 4(x - 2)(~+2) 4(~+2)

Calcular os limites:

Y2x'+1 - 3a) 11m • r--;::: .;;:

x+4 yx-2-V2

4-~b) Iim • r;;-;;---cc

X+6 2 -yl0-x

Solução

Como 11m (y'3;::2 - 2) = O e lim (~ - 3) = O, multiplicamos o numerador e ox+2 x+2

denominador pelo "conjugado" do numerador e também pelo "conjugado" do denominador.


a) lim3-~

x+1 x2 - 1

b) lim2-~

x+3 x2 -9

c) 11m.;;:;:J- 2

x+1 x2 - 3x + 2

d)x2 - 4

limv'X+2-~x+2

..j x2 - 3x + 3 - ..j x2 + 3x - 3e) lim

x2 - 3x + 2x+1

~-2H.42 Calcular lim~ .

x+2 4x + 1 - 3


..j2x2 - 3x + 2 - 2a) lim ./ '

x+2 y 3x' - 5x - 1 - 1

H.43

x

x

(x - 3)

(x - 3) N 1 + x + 2)

..j1 - 2x - x2 - 1d) lim -----

x+o

1

4

~-~e) lim

X+O

...[2;. - ...r;+1f) lim -----:---

x+1 x-I

xm _ 1d) lim -n--l

x-H x -

n ne)lim~

x~ x - a

m mx - afi lim xn _ an

x+a

limx+3 -v'1+X + 2

ai...,r; - 1

limX+1 x-I

bl1-~

limx+o x

y';+J - 2cl lim

X+1 x-I

a, então

y'1+"; -2lim x-3x+3

Como lim (~- 2 ) = O e lim (x - 31 = O. não podemos aplicar a propriedadex+3 x+-3

L 7 (limite do quociente). Multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo"conjugado" do numerador, temos:

~-2 (~-2)(~+2)x - 3 (x - 3) (VT+i< + 2

Solução


a) x3 - 3x + 2lim

x4 - 4x + 3x+1

b) limx4 + 4x3 + x2 - 12x - 12

x+-2 2x3 + 7x2 + 4x - 4

c) limx4 _ x3 - x2 + 5x + 4

x+-l x3 + 4x2 + 5x + 2

d) limx4 + 2x3 - 5x2 - 12x - 4

x+-2 2x4 + 7x3 + 2x2 - 12x - 8

I. y'1+";-2H.39 Calcular Im --"---'---~-=-

x+3 x - 3



x2 - a2a) lim--'----~

X'+'8 x-a

a2 - x2b) lim -3--3

x+_aa + x

nc)lim~

X+l x - 1

44-H 45-H

Solução

Notemos lim (x - 2) = O e lim (~ - 1) = O.X+2 X+2

Lembrando da identidade a3 - b3 = (a - blla2 + ab t b2L vamos multiplicar o nu

merador e o denominador por [(~)2 + </3x - 5 + 1].

x-2 (x-2)[(~5)2 +~+11~ 3x - 5 - 1 (~ 3x - 5 - 1) [(~ 3x - 5)2 +~ 3x - 5 + 1]

(X-2)[(~)2+~+11 (~)2+~+13(x . 2) 3

H.45 CalcularSolução

Notemos que lim (v--;:- 8) = O e lim (..v-; - 4) = Ox->64 x->64

Poderfamos empregar no cálculo deste limite os processos mencionados nos exercfcios

H.39 e H.45: Vamos, entretanto, apresentar um novo processo. Fazendo {fX = y,

temos v--;:= (~)3 = y3 e ~ = (.lf";)2 = y2

e notando que lim ~ = 6~ =~ = 2 = lim yx->64 V ~:':64 .. y->2

~-1c) lim

x+l ~ - 1

~-1d) lim .3r:---

x->oVl+x-l

y3 - 8 y2 + 2y + 4lim --- = lim = 3y->2 y2 - 4 y->2 Y + 2

x + 1

temos:

...r;- 8lim .3rx->64 VX - 4

a) limX+-l

..r;:- 1b) lim .3r

x+l V x - 1

H,50 Calcular os limites:

..v-; + 1

</8 - 2x + x2 - 2c) lim ------;:;---

x+O x - x2

x - 2lim 3r=====~-X->2 '\I 3x - 5 - 1

e então

Calcular os limites:

~-1a) 11m __-::- _x+o x

H.46

~-~d) Iim _...,.,...---,__x+a x - a

Calcular.,J1S-.~'es: ""xV--;:- a a

a) lim 'J"'i _r-_ x+a X - V ~

H.51x + 1b)lim )~

x->-l V 2x + 3 - 1


a) lim l-tE </3x2 - 7x + 1 + 1c) lim

x->o 1+~ x->2 </2x2 - 5x + 3 - 1

V;-.1b) 11m --....,

x->l x - 1

b) 11mX+-2

~-2

1+~

c) limx->l

~-1

~-1

~- rv;-e) lim -----

x->a nr- nr-V x - va


~-3a) lim 3

x->l~ + 1

~-2b) lim _ r--;

x->2vx-1-1

c) 11mx->l

V 3><3 - 5x + 6 - 2

</ x2 - 3x + 1 + 1

H.49 Calcular...[;-8

lim .3rx->64 V x - 4

46-H 47-H

apostila de limites

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